Интегральные метрики и проекционные методы аппроксимации решений задач динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Косенко, Иван Иванович

• Косенко, Иван Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Косенко, Иван Иванович

Введение 1

1 Теорема об аппроксимации. Модель 1. 9

§1 Предварительные замечания.9

§2 Функциональная модель.11

§3 Построение функционального базиса.16

§4 Схема Галеркина.20

§5 Леммы о дифференцируемости и непрерывной обратимости.22

§6 Проверка условий теоремы.26

§7 Метод Ньютона.28

§8 Теория возмущений.35

§9 Теория возмущений. Преобразование переменных. 43

2 Теорема об аппроксимации. Модель 2. 51

§1 Редукция в пространство производных.51

§2 Функциональная модель.55

§3 Леммы о дифференцируемости и непрерывной обратимости.57

§4 Проверка условий аппроксимации.60

§5 Метод Галеркина в динамике Гамильтона и Лагранжа.63

3 Двухточечная краевая задача в динамике Ла-гранжа. 77

§1 Формулировка задачи.77

§2 Функциональная модель.79

§3 Функциональный базис.84

§4 Дифференцируемость.86

§5 Непрерывная обратимость. 104

§6 Условия аппроксимации.115

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные метрики и проекционные методы аппроксимации решений задач динамики»

Известны различные методы приближенного построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Из них можно выделить два класса: численные и аналитические. К первым относится методика представления функций "по точкам" — в виде дискретного набора значений решения и дискретного набора значений аргумента — "времени". Эта методика аппроксимации получила значительное распространение на практике. В настоящее время имеются высокоэффективные численные методы построения решений дифференциальных уравнений. Все они восходят к так называемому методу ломаных Эйлера.

В численных методах имеется недостаток, создающий неудобства в задачах динамики — при изменении начальных условий траекторию следует строить заново. Таким образом, в решении, заданном таблично и построенном численно, отсутствует качественная информация о свойствах динамической системы. Кроме того, в этом случае всегда имеется неизбежное "расползание" от точки к точке строящегося решения от точного вследствие накопления ошибок.

В определенном смысле альтернативный подход доставляют аналитические методы получившие широкое распространение в динамике. Здесь точное решение аппроксимируется сразу на всем отрезке времени с использованием аналитических свойств того или иного класса функций. Эти функции обычно являются решениями задачи, близкой к исследуемой и наследуют определенную информацию о динамической системе "в целом". Начальные условия при этом играют роль параметров в процедурах аналитического построения приближений.

В рамках декларированных свойств метод Галеркина следует отнести к классу аналитических методов. Здесь решение аппроксимируется сразу на всем отрезке своего определения с использованием функций, составляющих базис в гильбертовом пространстве с подходящей метрикой. При этом можно использовать нелинейное интегральное уравнение вида уМ = /У(т,у(т))А- (1) 0 эквивалентное задаче Коши для дифференциального уране-ния у = У(*,у), у(*0) = 0

Метод Галеркина допускает простую численно-аналитическую реализацию. Соответствующие алгоритмы имеют достаточно гибкую структуру. Можно варьировать различные функциональные базисы, подбирать интегральные метрики, обеспечивающие наилучшее качество используемых итерационных процессов.

Вектор начальных условий Хо исходной задачи Коши х = Х(*,х), х(г0)=х0 (2) является параметром уравнения (1) у) = Х(£,хо + у)).

Для решения уравнения (1) можно применить метод Пика-ра, являющийся в этом случае методом простой итерации. Тогда, однако, сходимость, обеспечиваемая сжимаемостью оператора правой части (1), гарантируется лишь локально, для достаточно малых отрезков времени. Для построения решения на всем отрезке [¿о, ¿1] его определения требуется очевидным образом "склеивать" локальные аппроксимации. Тем самым задача аналитического построения решения сразу на всем отрезке [¿о, tl] не может быть достигнута.

Трудности могут быть преодолены, если мы рассмотрим решение в подходящей гильбертовой метрике для функций, определенных на отрезке [¿о?^]- В этом случае оператор правой части (1) определен в целой области соответствующего функционального пространства, содержащей точное искомое решение. Далее следует уравнение (1) представить в операторном виде

Ну) = о (3) где

Пу) = У - Т( у), (Г(у))(*) = / У (г, у(т))е1т (4) 0 и применить для решения (3) метод Ньютона в упомянутой функциональной метрике.

На самом деле, вместо решения (3) в бесконечномерном функциональном пространстве нужно в соответствии с методом Галеркина решать проекцию (3) на конечномерное пространство.

Начальное приближение для метода Ньютона обеспечивается в рамках теории возмущений при помощи разложения по базисным функциям решения невозмущенной задачи (предполагаемого известным).

В главе 1 рассматривается метрика пространства Соболева где п — размерность вектора у(£).

Сходимость в такой метрике приводит к равномерной сходимости по фазовым переменным. При этом для производных получим среднеквадратичную сходимость.

Удобство предлагаемого подхода состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса Ньютона следует вычислять решение системы линейных уравнений, получаемой в виде конечномерной проекции системы ОДУ в вариациях. Алгоритм приобретает прозрачную форму, легко реализуемую в рамках систем компьютерной аналитики.

В данной главе рассмотрены оценки скорости сходимости итерационного процесса Ньютона при построении семейств решений, зависящих от параметра (параметров) задачи. Установлены условия равномерности по параметру для сходимости конечномерных приближений к точному решению. Рассмотрен случай аналитичности оператора правой части в пространстве с интегральной метрикой.

В главе 2 рассмотрен аналогичный подход к уравнению, получаемому из (2) при помощи перехода в пространство производных и имеющему вид г у(*) = Х(*,хо + /у(г)А-) (5) о

Отличие от методики главы 1 состоит в том, что при этом используется метрика пространства ¿2 ([¿о? ¿х], К"). При последующем переходе к первообразным снова получаем равномерную сходимость. В отличие от (4) оператор левой части (3) имеет вид

Пу) = У - Г(у)> (Т(у)Ш = Х(<, х0 + 1 у(т)йт) (6) и

Легко видеть, что подходы главы 1 и главы 2 различаются в представлении оператора Т{у). В первом случае сначала применяется нелинейный оператор правой части ОДУ, а затем — интегральный оператор. Во втором случае порядок действия этих операторов инвертирован. Использование такого подхода доставляет определенные удобства, состоящие в том, что в пространстве ¿2 ([¿о, , К") достаточно просто строить различные ортогональные функциональные базисы. Для таких пространств хорошо развита теория суммирования рядов Фурье, применяемая в итерационных алгоритмах вычисления решения уравнения (3).

В конце главы 2 рассмотрены вопросы применения интегральных метрик для приближенного вычисления движений механических систем в рамках лагранжевой и гамильтоновой динамики.

В главе 3 описанный формализм применяется к задаче приближенного построения решения двухточечной краевой задачи в механике Лагранжа. Вначале применяется стандартное представление принципа Гамильтона. Затем условия экстремальности функционала действия на решении преобразуются к системе интегральных уравнений, сводящихся в итоге к нелинейному функциональному уравнению вида (3), где

Р(у)ХО = (ВС1(у))(*), (ВСх)(<) = и(т)йт

1(у ))(*) = Тф у(*),уМ)-<0

-/ (Ту (г, у(т),у(т)) + (2 (г, у(г),у(т))) ¿т где Т(£, у, у) — кинетическая энергия, у, у) — вектор обобщенных сил. В случае лагранжевой системы вектор неизвестной функции у(1) имеет размерность конфигурационного пространства задачи. Краевые условия редуцированы к виду у (к) = у (к) = о

Метрика цу||° = (]ыт**

Чо о пространства решений Н1 ([¿о, ¿1], К-") задает на нем гильбертову структуру. Сходимость в этой метрике достаточна для равномерной сходимости функций обощенных координат у(£) на отрезке [¿о?^]- При этом обобщенные скорости будут сходиться в среднем квадратическом.

Оказалось, что для сходимости конечномерных аппроксимаций Галеркина к точному решению краевой задачи достаточно выполнимости следующего условия невырожденности: уравнение Фредгольма второго рода у(«)-/а(<)(й-1(г))У(г)<гг = 0 (7) 0 должно иметь в £2 ([¿о? ¿1] > только тривиальное решение = 0. Здесь а(£) является матрицей кинетической энергии, вычисленной на аппроксимируемом решении. Ясно, что в задачах теории возмущений условие (7) вполне поддается проверке.

В главе 4 рассматриваются некоторые примеры приложений методов, развитых в первых трех главах. В качестве простейшего рассматривается пример уравнения Матье. Здесь применяется формализм аппроксимаций, описанный в главе 1. Проведена полная редукция задачи к конечномерной системе уравнений Галеркина. Характерной особенностью решений этой задачи является наложение колебанний с различными частотами: долгопериодической "зыби" и короткопери-одической "ряби". Описанное поведение обнаруживается на больших временах эволюции. Применение точных численных методов, основанных на локальном представлении решения, здесь практически невозможно из-за требующихся значительных вычислительных ресурсов. Обычно в подобных ситуациях применяются комбинированные методики. Вначале исходная система "усредняется" в определенной области фазового пространства. Это позволяет построить долгопериодическую компоненту точного решения. Высокочастотные колебания затем вновь требуют использования численных методов.

С другой стороны, алгоритмы, основанные на применении интегральных метрик позволяют вне зависимости от области фазового пространства и точности выполнения резонансных соотношений при определенном порядке аппроксимации получить приближенное решение. Вначале такой алгоритм "учтет" низкочастотные колебания, а затем, с ростом размерности аппроксимации будет все более точно приближать гармоники высших порядков.

Во втором параграфе рассмотрен пример плоской задачи Кеплера. Здесь главной целью было продолжение решений по параметру эксцентриситета при помощи подходящего варьирования начальных данных. Оказалось, что применение метода Ньютона для такого продолжения в пространствах с интегральными метриками нечувствительно к прохождению через предел Лапласа. Скорость сходимости итерационного процесса и точность приближения решения при этом не ухудшаются. Дело в том, что указанная методика не опирается на свойства аналитичности решений по параметру эксцентриситета. Для нормальной работы алгоритмов вполне достаточно непрерывности производной Фреше. Более того, применение метрик с весовыми функциями позволяет сохранить сходимость итерационного процесса и для случая сильно эллиптических орбит, вплоть до предельного случая, соответствующего траектории столкновения с гравитирующим центром.

В §3 главы 4 предложена методика вычисления периодических решений динамических систем с использованием результатов главы 2. Эту методику удобно применять совместно с методом Ньютона для построения семейств периодических решений, зависящих от параметра. Использование интегральной метрики позволяет автоматически получать условия периодичности в результате итерационного процесса. В §4 рассмотрена аналогичная задача для случая лагранжевой механической системы. При этом используются результаты главы 3. Условия периодичности в конфигурационном пространстве обеспечиваются совмещением начальной и конечной точек траектории. В пространстве скоростекй эти условия вычисляются из разложений Фурье с использованием интергаль-ных метрик и соответствуют исчезновению коэффициентов с нулевыми номерами гармоник в упомянутых разложениях.

Глава 5 целиком посвящена решению одной задачи: поиску интегральной метрики, обеспечивающей непрерывное продолжение колебателных (и вращательных) движений спутника, центр масс которого движется по эллиптической орбите, по параметру эксцентриситета этой орбиты. По сути дела задача свелась к проверке условий теоремы о неявной функции в специально подобранном нормированном пространстве при нулевом значении параметра е, связанном с эксцентриситетом по формуле е = 1 — е2. В результате упомянутого подбора метрики удалось обеспечить регулярность итерационного процесса Ньютона при вычислении решений вплоть до предельного значения е = 1. В предельном случае обеспечиваемая алгоритмом сходимость будет автоматически равномерной на любом отрезке, не содержащем точки сингулярности.

В главе б рассмотрена более трудная, чем в предыдущей главе задача. Предполагается, что на спутник кроме гравитационного момента действует момент от сил давления параллельного светового потока. При этом мы имеем неаналитические правые части системы ОДУ, и известные методы анализа предельных случаев, опирающиеся на аналитические свойства правых частей здесь не работают. В данной главе проведена регуляризация предельной задачи, соответствующей параболической орбите центра масс. Подобраны интегральные метрики, обеспечивающие непрерывность при продолжении решений по параметру эксцентриситета орбиты е при е —> 1. Известные семейства симметричных периодических решений продолжены до предельного случая. Найдены соответствующие предельные двоякоасимптотические решения.

Подходы к приближенному построению движений при помощи конечномерных галеркинских приближений в различных задачах механики рассматривались в работах [32, 33, 34, 38]. Интегральные метрики, использованные в данной работе, для аппроксимации движений в задачах классической динамики ранее не применялись. Впервые дано строгое обоснование корректности соответсвующих методов построения решений. В связи с применением интегральных метрик появилась возможность систематического использования для построения движений метода Ньютона. Такая техника позволяет строить разнообразные семейства решений в неаналитических задачах, задачах с разрывными правыми частями, сингулярно возмущенных задачах, задачах, сводящихся к интегро-дифференциальным уравнениям.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Косенко, Иван Иванович, 2000 год

1. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. // В кн. Совр. пробл. мат. Фундаментальные направления. Т. 3. — М.: ВИНИТИ, 1985. 304 стр.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилинра, ортогональные многочлены. М: Наука,-1966, — 296с.

3. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. — М: Наука, 1965. — 416с.

4. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. — М: Изд-во Моск. ун-та, 1975. — 308с.

5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М: Наука, 1967. — 472с.

6. Демин В. Г., Косенко И. И., Красильников П. С., Фур-та С. Д. Избранные задачи небесной механики. — Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. — 210с.

7. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. — М: Наука, 1968. — 800с.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М: Наука, 1972. — 496с.

9. Косенко И. И. О построении фазовых траекторий гамиль-тоновой системы в окрестности положения равновесия. // ПММ, т. 53, Вып. 4, 1989, с. 531—538.

10. Косенко И. И. О применении многочленов Чебышева для построения траектории возмущенного движения в нелинейной механике. // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 1. С. 32—38.

11. Косенко И. И. О методе Галеркина в нелинейной механике. // ДАН. 1994. Т. 335. N. 5. С. 586—588.

12. Косенко И. И. О применении метода Галеркина в динамике Лагранжа. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 1. с. 10—20.

13. Косенко И. И. Аппроксимация решений в краевых задачах лагранжевой механики. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 4. с. 540—552.

14. Косенко И. И. Метод Галеркина для аппроксимации решений в задачах небесной механики. // Космич. исслед. 1997. Т. 35. N. 4. с. 487—494.

15. Косенко И. И. Проекционный метод вычисления периодических решений в возмущенных задачах механики. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: Вычислительный центр РАН, 2000, с. 51—60.

16. Косенко И. И. Регуляризация предельной задачи о колебаниях спутника на кеплеровой орбите с учетом светового давления. // Вторые Поляховские чтения. Избранныетруды. Под ред. С. К. Матвеева. Санкт-Петербург: 2000, (принято в печать).

17. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. — М: Наука, 1969. — 456с.

18. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. — М: Наука, 1986. — 232с.

19. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. — М: Высш. школа, 1982. — 271с.

20. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. — М: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. — 416с.

21. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 136с.

22. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М: Наука, 1970. — 332с.

23. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том I. Новые методы небесной механики. — М: Наука, 1971. — 771с.

24. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М: Мир, 1979. — 589с.

25. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М: Наука, 1980. — 496с.

26. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М: Наука 1985. — 224с.

27. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М: Наука, 1969. — 576с.

28. Шварц Л. Анализ. Т.1. — М: Мир, 1972. — 824с.

29. Шварц Л. Анализ. Т.2. — М: Мир, 1972. — 528с.

30. Agrawal О. P., Saigal S. A novel, computationally efficient, approach for Hamilton's law of varying action. // International journal of mechanical sciences. Vol. 26, No. 4, 1986, pp. 285—292.

31. Bailey C. D. A new look at Hamilton's Principle. // Foundations of physics. Vol. 5, No. 3, 1975, pp. 433—451.

32. Bailey C. D. On a more precise statment of Hamilton's principle. // Foundations of physics. Vol. 11, Nos. 3/4, 1981, pp. 279—296.

33. Bruno A. D., Varin V. P. The Limit Problems for the Equation of Oscillations of a Satellite. // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol. 67, 1997, pp. 1—40.

34. Flanagan R. C., Modi V. J. Attitude Dynamics of a Gravity Orientated Satellite under the Influence of Solar Radiation Pressure. // The Aeronautical Journal of the Royal Aeronautical Society. Vol. 74, No. 718, 1970, pp. 835—841.

35. Heinbokel J. H., Struble R. A. Periodic Solutions for Differential Systems with Symmetries. //J. Soc. Indust. Appl. Math. Vol. 13, No. 2, 1965, pp. 425—440.

36. Hitzl D. L. Implementing Hamilton's law of varying action with shifted Legendre polynomials. // Journal of computational physics. Vol. 38, 1980, pp. 185—211.