Интегральное представление электромагнитного поля зеркальных антенн в приближении барицентрического метода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Степанов Дмитрий Евгеньевич

• Степанов Дмитрий Евгеньевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Степанов Дмитрий Евгеньевич

Введение

Глава 1. Ретроспективный анализ предметной области и постановка задачи дифракции электромагнитного поля зеркальной антенны

1.1 Основные определения и соотношения

1.2 Методы электродинамического анализа антенных систем зеркального типа

1.3 Постановка задачи дифракции электромагнитного поля зеркальной антенны

1.4 Моделирование отражающей поверхности зеркальной антенны с применением барицентрического подхода

1.5 Выводы по первому разделу

Глава 2. Применение барицентрического метода в решении задач

Дирихле и Неймана в К2 для уравнения Гельмгольца

2.1 Постановка задачи

2.2 Аппроксимация в барицентрическом методе липшицевой функции внутри произвольного многоугольника и оценка

порядка ее приближения

2.3 Оценка сходимости барицентрического метода в решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца

2.4 Выводы по второму разделу

Глава 3. Электродинамический анализ зеркальных антенн в

приближении барицентрического метода

3.1 Порядок выбора набора базисных функций в решении задач

дифракции на проводящих тонких экранах в барицентрическом методе

Стр.

3.2 Существование и единственность решения и оценка сходимости

барицентрического метода в решении задач дифракции на проводящих тонких экранах

3.3 Интегральное представление электромагнитного поля

зеркальных антенн в барицентрическом методе

3.4 Выводы по третьему разделу

Глава 4. Особенности алгоритмической реализации и результаты

верификации сформированных решений

4.1 Особенности алгоритмической реализации численного решения внутренних задач Дирихле и Неймана в R2 для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом

4.2 Сравнительные результаты численного решения внутренних

задач Дирихле и Неймана в R2 для уравнения Гельмгольца

4.3 Особенности алгоритмической реализации барицентрического метода в решении задач электродинамического анализа зеркальных антенн

4.4 Сравнительные результаты численного решения задач электродинамического анализа зеркальных антенн в приближении барицентрического метода

4.5 Выводы по четвертому разделу

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Листинг программного кода FreeFem++ в решении внутренней задачи Дирихле для однородного уравнения Гельмгольца

Приложение Б. Сравнительные результаты вычисления векторных собственных функций методом конечных элементов и барицентрическим методом

Приложение В. Документы, подтверждающие внедрение основных

результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральное представление электромагнитного поля зеркальных антенн в приближении барицентрического метода»

По ряду конструктивно-технологических, энергетических и стоймост-ных показателей зеркальные антенны являются предпочтительными, находя широкое применение в современных системах радиосвязи СВЧ-диапазона. В этой связи задачи их анализа (электродинамический анализ, предполагающий определение характеристик направленности и интегральных параметров) имеют важное практическое и теоретическое значение. Эффективность решения задач анализа связана с развитием электродинамической теории зеркальных антенн, направленной на изучение линейных и нелинейных процессов излучения, распространения, дифракции, рассеивания, взаимодействия и трансформации электромагнитных волн (ЭМВ).

Основу современной электродинамической теории зеркальных антенн при выделении особенностей относительно решений внешней и внутренней задач электродинамики составляет большая разновидность асимптотических и численных методов. Асимптотические методы базируются на дифракционной теории, включающей приближения геометрической оптики (принцип Ферма, понятие эйконала, законы отражения и преломления), физической оптики (приближения Кирхгофа), геометрической теории дифракции (J.B. Keller [1], В.А. Боровиков, Б.Е. Кинбер [2]) и ее модификации (равномерная геометрическая теория дифракции R. Kouyoumjian, P. Pathak [3]), физической теории дифракции (П.Я. Уфимцев [4; 5]) и теории дифракции Боровикова для многоугольников и многогранников [6]. На основе указанных методов в отношении задач анализа зеркальных антенн разработаны апертурный, токовый методы и их модификации, предполагающие комбинирование токового метода с методами геометрической или физической теориями дифракции. Указанные асимптотические методы получили широкое применение и развитие в работах таких зарубежных и отечественных ученых, оказавших существенный вклад в развитие математической теории зеркальных антенн, как Л.Д. Бахрах, Г.К. Галимов [7], М.В. Гряник, В.И. Ломан [8], Г.З. Айзенберг [9], P.J. Wood [10], Б.Е. Кинбер [11], А.М. Сомов [12—14], Н.С. Архипов [15; 16] и др. Главное достоинство асимптотических методов заключается в невысоких вычислительных и емкостных затратах формируемого расчетного алгоритма анализа зеркальной антенны. Существенный недостаток — относительно низкая универсальность при анализе

многоэлементных зеркальных антенн с отражающими и облучающими устройствами сложной геометрической формы при относительно невысокой точности.

Численные методы, с учетом стремительного развития средств вычислительной техники, позволяют нивелировать недостатки асимптотических. Их базовую основу составляет метод интегральных уравнений, формируемых в задачах дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях. Существенный вклад в его формирование внесли А. Зоммерфельд [17; 18], А. Мауэ [19], Я.Н. Фельд [20; 21]. К настоящему моменту времени обобщенный подход к решению задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях развит в работах А.С. Ильинского, Ю.Г. Смирнова [22; 23]. В отношении электродинамической теории зеркальных антенн, используя постановку задачи дифракции на системе ограниченных экранов произвольной формы [22], в работах А.В. Неганова, Д.С. Клюева [24; 25] разработаны предложения по построению систем сингулярных, гиперсингулярных интегральных уравнений, уточняются методы их регуляризации и подходы к исследованию. Основу численного решения подобных интегральных уравнений составляет применяемый в проекционной постановке метода Б.Г. Галёркина метод конечных элементов. Его реализация предполагает составление кусочно-линейной или кусочно-полиномиальной аппроксимации искомой функции плотности тока на поверхности экранов в представлении базисных функций Рао—Уилтона—Глиссона [26]. Недостаток подобного решения состоит в низкой вычислительной эффективности реализуемой численной схемы. С целью ее повышения в работах И.С. Полянского [27; 28] предложен барицентрический метод. Его преимущество заключается в формировании глобальной системы базисных функций относительно анализируемой области. В отношении задач анализа и синтеза зеркальных антенн недостаток предложенной в [29] реализации барицентрического метода состоит в следующем: 1) постановка задачи дифракции и интегральное представление электромагнитного поля отличаются от классически принятых [22] для зеркальных антенн [25]; 2) базисные функции определяются через дифференциальные формы Уитни (краевые векторные функции Неделека [30]) вычислительно избыточно; 3) вопросы получения априорных оценок скорости сходимости остались нераскрыты. Учитывая вычислительную предпочтительность барицентрического метода, задача устранения указанных недостатков при формировании интегральных представлений электромагнитного поля зеркальных антенн в приближении барицентрического метода представляется актуальной.

Целью данной работы является модификация барицентрического метода при вычислительно эффективном формировании интегральных представлений электромагнитного поля зеркальной антенны для решения задач, связанных с излучением и дифракцией электромагнитных волн.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Сформировать постановку задачи дифракции электромагнитного поля зеркальной антенны.

2. Выполнить решение задач Дирихле и Неймана в ограниченной одно-связной области О с К2 для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом с получением соответствующих априорных оценок сходимости.

3. В представлении барицентрического метода разработать базисные функции для решения задач дифракции на проводящем тонком экране.

4. Определить существование и единственность решения задач дифракции на проводящем тонком экране барицентрическим методом и оценить порядок сходимости.

5. Сформировать интегральное представление электромагнитного поля зеркальной антенны в барицентрическом методе при определении особенностей выделения плотности поверхностного тока на освещенной и теневой сторонах экрана.

6. Выделить особенности алгоритмической реализации барицентрического метода при апостериорном исследовании сравнительной предпочтительности применения сформированных решений.

Научная новизна:

1. Впервые в представлении барицентрического метода сформирована аппроксимация липшицевой функции внутри произвольного многоугольника и определена апостериорная оценка порядка ее приближения для формирования вычислительно эффективных решений в задачах дифракции электромагнитного поля зеркальных антенн.

2. Для барицентрического метода впервые определена оценка сходимости численного решения задач Дирихле и Неймана в ограниченной одно связной области О с К2 для уравнения Гельмгольца.

3. В представлении барицентрического метода разработан порядок формирования базисных функций для решения задач дифракции на проводящем

тонком экране, вычислительная эффективность которых определена при получении априорной оценки сходимости.

4. Сформулировано интегральное представление электромагнитного поля зеркальной антенны в барицентрическом методе, которое в отличие от известных в постановке метода Галёркина позволяет формировать вычислительно эффективную схему численного решения задачи дифракции электромагнитного поля зеркальной антенны при применении простых правил регуляризации систем сингулярных интегральных уравнений с обеспечением возможности определения плотности поверхностного тока на освещенной и теневой сторонах экрана.

Теоретическая значимость состоит в совершенствовании барицентрического метода в применении к численному решению краевых и начально краевых задач математической физики.

Практическая значимость заключается в выделении оригинальных особенностей алгоритмической реализации барицентрического метода в решении задач дифракции на системе ограниченных экранов произвольной формы при разнообразной апостериорной верификации результатов исследования. Полученные в рамках диссертационного исследования результаты использованы при выполнении опытно-конструкторской работы «Форейтор-Ж» в АО «НПП «Радиосвязь» (г. Красноярск) и научно-исследовательской работы «Фрегат-В-Т» в АО «ТИАС» (г. Санкт-Петербург).

Методология и методы исследования. В диссертационной работе для решения обозначенных частных задач использованы методы математического моделирования, теория интерполяции и аппроксимации, теория ортогональных многочленов, вычислительные методы электродинамики, метод Галёркина, математический аппарат теории интегральных уравнений, методы геометрического моделирования, методы численного интегрирования, теория функции комплексного переменного, методология экспериментальных исследований с применением вычислительной техники и пакетов прикладных программ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Решение задач Дирихле и Неймана в ограниченной односвязной области О С К2 для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом с определением априорных оценок сходимости.

2. Решение задачи дифракции на проводящем тонком экране барицентрическим методом при определении существования и единственности и оценки порядка сходимости.

3. Интегральное представление электромагнитного поля зеркальной антенны в барицентрическом методе при выделении плотности поверхностного тока на освещенной и теневой сторонах экрана.

4. Особенности алгоритмической реализации барицентрического метода при апостериорном исследовании сравнительной предпочтительности применения сформированных решений.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических процедур, общеизвестных уравнений, методов и подходов, которые обоснованы в общепринятой научной литературе, апробированы и хорошо себя зарекомендовали при проведении научных исследований. Достоверность результатов подтверждается их верификацией в процессе тестирования, включающего сравнение с точными решениями (при их наличии) и с выходными результатами современных и широко используемых систем автоматизированного проектирования антенн и СВЧ-устройств, а также сравнением отдельных результатов с известными теоретическими решениями.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: XVIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР», Томск, 2013 г.; Международной научнопрактической конференции «Наука и общество в современных условиях», Уфа, 2013 г.; XIV Международной научно-практической конференции «Научное образование физико-математических и технических наук в XXI веке», Москва, 2015 г.; XVII Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Казань, 2019 г.; научной конференции «Тихоновские чтения: посвящается памяти академика Андрея Николаевича Тихонова», ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2020 г.; XVIII Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара, 2020 г.

Личный вклад. Соискатель имеет 1 публикацию без соавторов. В остальных опубликованных работах соискателю принадлежат решения относительно оценок сходимости барицентрического метода, математические модели интегрального представления электромагнитного поля зеркальной антенны, выделенные алгоритмические особенности барицентрического метода при еди-

ноличной программной реализации сформированных в настоящем исследовании решений, анализ и интерпретация полученных результатов и оформление их для публикации. Все результаты, выводы, положения, выносимые на защиту, данной диссертационной работы получены автором лично.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных изданиях, 10 из которых изданы в рецензируемых журналах из перечня ВАК при Минобрнауки России, 2 —в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 7 —в тезисах докладов. Зарегистрированы 1 патент и 3 программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 3 приложений. Полный объём диссертации составляет 110 страниц, включая 40 рисунков. Список литературы содержит 128 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Степанов Дмитрий Евгеньевич

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. С целью частичного устранения первого недостатка барицентрического метода сформирована постановка задачи дифракции электромагнитного поля зеркальной антенны в классическом представлении задачи дифракции электромагнитной волны на системе бесконечно тонких идеально проводящих экранов. Относительно заданных математических обозначений во взаимосвязи с указанными недостатками барицентрического метода уточнена основная частная задача диссертационного исследования — составление рационального набора ф* для идеально проводящего тонкого экрана произвольной формы в барицентрическом представлении.

2. Для унификации решения с применением барицентрического подхода предварительно сформированы правила математического моделирования экрана произвольной формы без разбиения 5 на конечные элементы и(или) охватом избыточной областью.

3. С использование полиномов типа Бернштейна в барицентрическом методе сформирована аппроксимации липшицевой функции и ее частных производных внутри произвольного многоугольника при оценке порядка их приближения (2.8) и (2.18) соответственно.

4. Для барицентрического метода математически обосновано установлен порядок формирования базисных функций в решении задач Дирихле и Неймана в ограниченной односвязной области О с К2 для уравнения Гельмгольца при определении порядка полиномиальной сходимости (2.24) и (2.30) для последующего формирования вычислительно эффективных решений в задачах дифракции электромагнитного поля зеркальной антенны.

5. Определен порядок формирования рационального набора базисных функций (3.1) в решении задач дифракции на проводящих тонких экранах барицентрическим методом.

6. Доказано существование и единственность решения задач дифракции на проводящем тонком экране барицентрическим методом, а также получена оценка (3.3), устанавливающая полиномиальный порядок сходимости барицентрического метода в решении задач дифракции вида (1.30).

7. Для электродинамического анализа зеркальных антенн в приближении барицентрического метода сформулировано интегральное представление электромагнитного поля, сводящаяся к решению системы линейных алгебраических уравнений (3.17), (3.18). Заданные интегральные представления во взаимосвязи с оценкой (3.3) позволяют формировать вычислительно эффективную схемы численного решения задачи дифракции (1.25)—(1.29) при обеспечении возможности выделения плотности поверхностного тока, распределенного на освещенной и теневой сторонах экрана.

8. Уточнены особенности алгоритмической реализации численного решения внутренних задач Дирихле и Неймана в К2 для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом, основу которых составляет представление алгоритмов вычислительно эффективного формирования Мр, Мр и Мр.

9. Выделены особенности алгоритмической реализации барицентрического метода в решении задач электродинамического анализа зеркальных антенн, позволяющие формировать вычислительно эффективную схему при применении простых правил регуляризации систем сингулярных интегральных уравнений.

10. Определена предпочтительность барицентрического метода в решении внутренних задач электродинамики в сравнении с сеточными методами

^ ^ 1 \ и выделены основные направления дальнейших исследований: 1) решение

задачи формирования оптимальной аппроксимации липшицевой функции на произвольном многоугольнике в барицентрическом представлении; 2) уточнение сформированных оценок сходимости (2.24), (2.30), (3.3) барицентрического метода в направлении учета особенностей выбора порядка р аппроксимации относительно геометрического размера О и степени кривизны Б в зависимости от Л.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степанов Дмитрий Евгеньевич, 2021 год

Список литературы

1. Keller, J. B. Geometrical theory of diffraction [Текст] / J. B. Keller // Journal of the Optical Society of America. — 2020. — Vol. 52, no. 2. — P. 116—130. — URL: https://doi.org/10.1364/JOSA.52.000116.

2. Боровиков, В. А. Геометрическая теория дифракции [Текст] / В. А. Боровиков, Б. Е. Кинберн. - М.: Связь, 1978. - 248 с.

3. Kouyoumjian, R. A uniform geometrical theory of diffraction for an edge in a perfectly conducting surface [Текст] / R. Kouyoumjian, P. Pathak // Proceedings of the IEEE. — 1974. — Vol. 62, no. 11. — P. 1448—1461. — URL: https: //doi.org/10.1109/PR0C.1974.9651.

4. Уфимцев, П. Я. Метод краевых волн и физической теории дифракции [Текст] / П. Я. Уфимцев. - М.: Сов. радио, 1962. - 244 с.

5. Уфимцев, П. Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. Введение в физическую теорию дифракции: Пер. с англ. [Текст] / П. Я. Уфимцев. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 243 с.

6. Боровиков, В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках [Текст] / В. А. Боровиков. - М.: Наука, 1966. - 456 с.

7. Бахрах, Л. Д. Зеркальные сканирующие антенны : Теория и методы расчета [Текст] / Л. Д. Бахрах, Г. К. Галимов. - М.: Наука, 1981. - 302 с.

8. Гряник, М. В. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа [Текст] / М. В. Гряник, В. И. Ломан. - М.: Радио и связь, 1987. - 72 с.

9. Айзенберг, Г. З. Антенны УКВ. В 2 ч. Ч. 1. [Текст] / Г. З. Айзенберг. -М.: Связь, 1977. - 381 с.

10. Вуд, П. Анализ и проектирование зеркальных антенн: пер. с англ. [Текст] / П. Вуд. - М.: Радио и связь, 1984. - 208 с.

11. Кинбер, Б. Е. Развитие и применение методов физической теории дифракции к расчету антенн: дис. ... д-ра техн. наук [Текст] / Б. Е. Кинбер. - М., 1965.

12. Сомов, А. М. Метод фрагментации для расчёта шумовой температуры антенн [Текст] / А. М. Сомов. - М.: Горячая линия телеком, 2009. - 208 с.

13. Сомов, А. М. Расчёт дальнего бокового излучения зеркальной парабо-лоидальной антенны [Текст] / А. М. Сомов // Труды НИИР. — 1976. — № 3. — С. 8—12.

14. Сомов, А. М. Многолучевые зеркальные антенны [Текст] / А. М. Сомов, Р. В. Кабетов. — М.: Горячая линия телеком, 2019. — 256 с.

15. Архипов, Н. С. Анализ и структурно-параметрический синтез зеркальных антенн [Текст] / Н. С. Архипов, И. С. Полянский, А. М. Сомов; под ред. А. М. Сомова. — М.: Горячая линия телеком, 2017. — 226 с.

16. Гибридные зеркальные антенны [Текст] / Н. С. Архипов [и др.] // Зарубежная радиоэлектроника. — 1987. — № 12. — С. 62—77.

17. Зоммерфельд, А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики [Текст] / А. Зоммерфельд. — М.: Иностр. лит-ра, 1950. — 457 с.

18. Зоммерфельд, А. Оптика [Текст] / А. Зоммерфельд. — М.: Иностр. лит-ра, 1953. —486 с.

19. Maue, A. W. Toward Formulator of a General Diffraction Problem via an Integral Equation [Текст] / A. W. Maue // Zeitschrift fur Physik. — 1949. — Vol. 12. - P. 601-618.

20. Фельд, Я. Н. Основы теории щелевых антенн [Текст] / Я. Н. Фельд. — М.: Сов. радио, 1948. — 162 с.

21. Фельд, Я. Н. Дифракция электромагнитных волн на наземкнутых металлических поверхностях [Текст] / Я. Н. Фельд // Радиотехника и электроника. — 1975.—Т. 20, № 1. —С. 28—38.

22. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) [Текст] / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. — М.: ИПРЖР, 1996. — 176 с.

23. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики [Текст] / Ю. Г. Смирнов. — Пенза: Информационно-издательский центр ПензГУ, 2009. — 268 с.

24. Неганов, В. А. Метод сингулярных интегральных уравнений в теории зеркальных антенн [Текст] / В. А. Неганов, Д. С. Клюев, В. С. Якунин // Вестник СГАУ. — 2010. — № 2. — С. 212—218.

25. Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения в теории зеркальных и полосковых антенн. Монография [Текст] / А. Н. Дементьев [и др.]; под ред. Д. С. Клюева. — М.: Радиотехника, 2015. — 216 с.

26. Rao, S. M. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape [Текст] / S. M. Rao, D. R. Wilton, A. W. Glisson // IEEE Trans. Antennas Propagation. — 1982. — No. 3. — P. 409—418.

27. Полянский, И. С. Барицентрический метод в вычислительной электродинамике [Текст] / И. С. Полянский. — Орёл: Академия ФСО Росии, 2017. — 148 с.

28. Полянский, И. С. Математическое моделирование и структурно-параметрический синтез адаптивных многолучевых зеркальных антенн : дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 05.13.18 [Текст] / И. С. Полянский. — М., 2018. — 256 с.

29. Полянский, И. С. Барицентрический метод в решении сингулярных интегральных уравнений электродинамической теории зеркальных антенн [Текст] / И. С. Полянский, Ю. С. Пехов // Труды СПИИРАН. — 2017. — Т. 54, № 5. — С. 244—262.

30. Nedelec, J. C. Mixed finite elements in Л3 [Текст] / J. C. Nedelec // Numer. meth. - 1980. - Vol. 35. - P. 315-341. - URL: https://doi.org/10.1007/ BF01396415.

31. Степанов, Д. Е. Алгоритм обработки сигналов LTE восходящего направления [Текст] / Д. E. Степанов, Н. Н. Чурбанов // материалы Международной научно-практической конференции «Наука и общество в современных условиях». - Уфа: БГУ. — 2013.

32. Степанов, Д. Е. Обработка служебной информации L1/L2 в системах семейства стандартов LTE в условиях отсутствия информации о начальной инициализации [Текст] / Д. Е. Степанов, Н. Н. Чурбанов // материалы XVIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР». В 5 ч. Ч. 1/ Томск: ТУСУР. — 2013.

33. Степанов, Д. Е. Обобщенная схема обработки сигналов нисходящего направления семейства стандартов LTE в условиях отсутствия информации о начальной инициализации [Текст] / Д. Е. Степанов, Н. Н. Чурбанов // материалы XVIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР». В 5 ч. Ч. 1/ Томск: ТУСУР. — 2013.

34. Степанов, Д. Е. Сшивание электромагнитных полей группового облучателя и рефлектора многолучевой гибридной зеркальной антенны [Текст] / Д. Е. Степанов, И. С. Полянский // материалы XIV Международная НПК «Научное образование физико-математических и технических наук в XXI веке». Москва. - 2015.

35. Степанов, Д. Е. Статистические параметры зеркальных антенн в трактовке метода геометрии масс [Текст] / Д. Е. Степанов, Н. С. Архипов, С. Н. Архипов // Вестник СОНИИР. - 2006. - № 4. - С. 20-29. - URL: https: //www.elibraryru/item.asp?id=11913546.

36. Степанов, Д. Е. Синтез отражающей поверхности по заданному распределению плотности потока мощности в зеркальных системах [Текст] / Д. Е. Степанов, Н. С. Архипов, Н. Ф. Хабибулин // Вестник СОНИИР. - 2006. -№ 4. - С. 30-45. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=11913547.

37. Степанов, Д. Е. Эффективность функционирования антенн зеркального типа при пространственной обработке сигналов [Текст] / Д. Е. Степанов, Д. Ю. Патронов // Вестник СОНИИР. - 2006. - № 4. - С. 80-85. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=11913556.

38. Степанов, Д. Е. Гибридный генетический метод с градиентным обучением и прогнозированием для решения задач глобальной оптимизации много-экстремальных функций [Текст] / Д. Е. Степанов, И. С. Полянский, М. М. Фролов // Вестник БГТУ. - 2014. - Т. 43, № 3. - С. 138-146. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=22481460.

39. Степанов, Д. Е. Синтез отражающих поверхностей антенной системы зеркального типа с использованием барицентрического подхода при параметризации рефлектора [Текст] / Д. Е. Степанов, А. М. Сомов, И. С. Полянский // Антенны. - 2015. - 8(219). - С. 11-19. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp? id=25407621.

40. Степанов, Д. Е. Структурно-параметрический синтез многолучевой зеркальной антенны [Текст] / Д. Е. Степанов // Антенны. - 2016. - 2(222). -С. 11-19. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=25680929.

41. Патент 2576493 Рос. федерация, МПК7 H 01 Q 3/01. Способ синтеза формы отражающей поверхности антенной системы зеркального типа [Текст] / И. С. Полянский, Д. Е. Степанов (Российская Федерация); заявитель Академия ФСО России. —№ 2014124657/08; заявл. 17.06.2014; опубл. 27.12.2015, Бюл. № 36 (I ч.); приоритет 10.03.2016, 09/289, 037 (Рос. Федерация). - 18 с. : ил.

42. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. Программа для реализации алгоритма синтеза отражающих поверхностей антенных систем зеркального типа [Текст] / И. С. Полянский, Д. Е. Степанов, А. И. Ветров; И. С. Полянский, Д. Е. Степанов, А. И. Ветров. - Заявл. 18.09.2014, 2014619647 (Рос. Федерация).

43. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. Программа анализа характеристик излучения зеркальных антенных систем в приближении методов физической оптики и физической теории дифракции [Текст] / И. С. Полянский, Д. Е. Степанов; И. С. Полянский, Д. Е. Степанов. — Заявл. 10.07.2014, 2014617058 (Рос. Федерация).

44. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. Анализ дальнего бокового излучения зеркальных параболических антенн в приближении методов физической оптики и физической теории дифракции [Текст] / А. М. Сомов, И. С. Полянский, Д. Е. Степанов; ФГУП НИИР. — Заявл. 09.09.2015, 2015619651 (Рос. Федерация).

45. Табаков, Д. П. Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля излучающих и переизлучающих структур специальной формы : дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 01.04.03 [Текст] / Д. П. Табаков. — Самара, 2018. — 256 с.

46. Смирнов, Ю. Г. Решение задачи дифракции электромагнитной волны на экранах сложной формы [Текст] / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, М. А. Максимова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2012. — 4(24). — С. 59—72.

47. Расчет диаграммы направленности зеркальных антенн в приближении методов физической оптики и физической теории дифракции [Текст] / Д. Е. Степанов [и др.] // Труды НИИР. — 2015. — № 2. — С. 43—53. — URL: https://www. elibrary.ru/item.asp?id=23859836.

48. Клюев, Д. С. Расчет характеристик зеркальной антенны с плоским зеркалом методом двумерных сингулярных интегральных уравнений [Текст] / Д. С. Клюев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2010. — 1(13). — С. 21—26.

49. Клюев, Д. С. Электродинамический анализ зеркальных антенн самосогласованным методом [Текст] / Д. С. Клюев, Ю. В. Соколова // Журнал технической физики. — 2014. — Т. 44, № 11. — С. 80—86.

50. Клэррикоутс, П. Д. Б. Высокоэффективные зеркальные СВЧ-антенны [Текст] / П. Д. Б. Клэррикоутс, Д. Т. Поултон // ТИИЭР. — 1977. — Т. 65, № 10. — С. 57—97.

51. Зоммерфельд, А. Диффренециальные уравнения в частных производных физики [Текст] / А. Зоммерфельд. — М.: Иностр. литература, 1950. — 457 с.

52. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния: Пер. с англ. [Текст] / Д. Колтон, Р. Кресс; под ред. А. Г. Свешниковой. — М.: Мир, 1987. — 311 с.

53. Дитчберн, Р. Физическая оптика [Текст] / Р. Дитчберн; под ред. Л. А. Вайнштейна. — М.: Наука, 1965. — 637 с.

54. Григорьев, А. Д. Методы вычислительной электродинамики [Текст] / А. Д. Григорьев. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. — 432 с.

55. Митра, Р. Вычислительные методы в электродинамике [Текст] / Р. Митра. — М.: Мир, 1977. — 243 с.

56. Gibson, W. C. The Method of Moments in Electromagnetics [Текст] / W. C. Gibson. — 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300 Boca Raton, FL 33487-2742, USA: Chapman, 2008. - 273 p.

57. Полянский, И. С. О решении проблемы оптимального управления адаптивной многолучевой зеркальной антенны [Текст] / И. С. Полянский, Н. С. Архипов, С. Ю. Мисюрин // Автоматика и телемеханика. — 2019. — № 1. — С. 83—100.

58. Самарский, А. А. Теория разностных схем [Текст] / А. А. Самарский. — М.: Наука, 1977. — 656 с.

59. Крон, Г. Тензорный анализ сетей: Пер. с англ. [Текст] / Г. Крон; под ред. Л. Т. Кузина, П. Г. Кузнецова. — М.: Сов. Радио, 1978. — 720 с.

60. Christopoulos, C. The Transmission-LineModeling Method [Текст] / C. Christopoulos. — Oxford: Morgan, Claypool, 2006. — 124 p.

61. Годин, А. С. Численное электродинамическое исследование внутренней трехмерной задачи куба Сестрорецкого [Текст] / А. С. Годин, М. С. Мацаян, К. Н. Климов // Радиотехника и электроника. — 2016. — Т. 61, № 6. — С. 534—546.

62. Иванов, А. С. Метод импедансного аналога электромагнитного пространства для решения начально-краевых задач электродинамики [Текст] / А. С. Иванов, Б. В. Сестрорецкий, А. Н. Боголюбов // Вычислительные методы и программирование. — 2008. — Т. 9, № 3. — С. 274—304.

63. Корнеев, В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности [Текст] / В. Г. Корнеев. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. — 208 с.

64. Сильвестер, П. П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков: Пер. с англ. [Текст] / П. П. Сильвестер, Р. Л. Феррари. — М.: Мир, 1986. — 229 с.

65. Бенерджи, П. Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с. англ. [Текст] / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. — М.: Мир, 1984. — 494 с.

66. Sauter, S. A. Boundary Element Methods [Текст] / S. A. Sauter, C. Schwab. - 233 Spring Street, New York, NY 10013, USA: Springer, 2011. -563 p.

67. Rjasanow, S. The Fast Solution of Boundary Integral Equationss [Текст] / S. Rjasanow, O. Steinbach. - 233 Spring Street, New York, NY 10013, USA: Springer, 2007. — 285 p.

68. Степанов, Д. Е. Барицентрический метод в задачах анализа поля в регулярном волноводе с произвольным поперечным сечением [Текст] / Д. Е. Степанов, Н. С. Архипов, И. С. Полянский // Антенны. — 2015. — 1(212). — С. 32—40. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23340113.

69. Полянский, И. С. Векторный барицентрический метод в вычислительной электродинамике [Текст] / И. С. Полянский // Труды СПИИРАН. — 2017. — 2(51). — С. 206—212. — URL: https://doi.Org/10.15622/sp.51.9.

70. Полянский, И. С. О применении барицентрического метода в численном решении внутренней задачи электродинамики [Текст] / И. С. Полянский // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 36—42. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=35787655.

71. Аналитический обзор методов вычислительной электродинамики [Текст] / Д. В. Десятченко [и др.] // Радиотехника. — 2020. — Т. 84, 8(15). — С. 37—53. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=43979756.

72. Андреев, В. Б. О сходимости модифицированной монотонной схемы Самарского на гладко сгущающейся сетке [Текст] / В. Б. Андреев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1998. — Т. 38, № 8. — С. 1266—1278.

73. Полянский, И. С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (Часть 1) [Текст] / И. С. Полянский // Вестн. СГТУ. — 2015. — Т. 78, № 1. — С. 30—36. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23640471.

74. Полянский, И. С. Барицентрические координаты Пуассона для многомерной аппроксимации скалярного потенциала внутри произвольной области (Часть 2) [Текст] / И. С. Полянский // Вестн. СГТУ. — 2015. — Т. 78, № 1. — С. 36—42. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23640472.

75. Полянский, И. С. Барицентрические координаты Пуассона-Римана [Текст] / И. С. Полянский // Труды СПИИРАН. — 2016. — Т. 49, № 6. — С. 32—48. — URL: https://doi.org/10.15622/sp.49.2.

76. Метод вспомогательных источников. Вычисление полей вне граничных поверхностей [Текст] / В. Ф. Апельцин [и др.] // Материалы IX Всесоюзной школы по дифракции и распространению волн. Казань : Изд-во КАИ. — 1988.

77. Ерёмин, Ю. А. Анализ сложных задач дифракции на основе метода дискретных источников [Текст] / Ю. А. Ерёмин, Н. В. Орлов, А. Г. Свешников // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1995. — Т. 35, №6.— С. 918—934.

78. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции [Текст] / под ред. Ю. А. Ерёмин, С. А. Г. — М.: Изд-во МГУ, 1992. — 182 с.

79. Гришина, Н. В. Новая концепция метода дискретных источников в задачах электромагнитного рассеяния [Текст] / Н. В. Гришина, Ю. А. Ерёмин, А. Г. Свешников // Математическое моделирование. — 2015. — Т. 27, № 8. — С. 3—12.

80. Kyurkchan, A. G. Mathematical modeling in diffraction theory. 1st Edition [Текст] / A. G. Kyurkchan, N. I. Smirnova. — Elsevier, 2015. — 280 p.

81. Смирнов, Ю. Г. О сходимости методов Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах, и о решении уравнения электрического поля [Текст] / Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2007. — 1(47). — С. 129—139.

82. Cai, W. Singularity treatment and high-order RWG basis functions for integral equations of electromagnetic scatterin [Текст] / W. Cai, Y. Yijun, X. C. Yuan // International journal for numerical methods in engineering. — 0202. — Vol. 53. — P. 31-47.

83. Медведик, М. Ю. Эллиптичность интегрального уравнения электрического поля для поглощающих сред и сходимость метода Рао—Уилтона—Глиссона [Текст] / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — 1(54). — С. 105—113. — URL: https: //doi.org/10.7868/S0044466914010104.

84. Канторович, Л. Приближенные методы высшего анализа. Изд. 3-е [Текст] / Л. Канторович, В. И. Крылов. — М.: Гостехиздат, 1950. — 695 с.

85. Степанов, Д. Е. Представление отражающих поверхностей антенной системы в задачах анализа и синтеза зеркальных антенн методами физической оптики [Текст] / Д. Е. Степанов, Н. С. Архипов, И. С. Полянский // Телекоммуникации. — 2014. — № 7. — С. 15—21. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id= 21717197.

86. Farin, G. Curves and surfaces for CAGD: A Practical Guide (5th edition) [Текст] / G. Farin. — Morgan-Kaufmann, 2002. — 499 p.

87. Реутов, А. С. Методы синтеза гибридных зеркальных антенн для радиосистем с одномерным сканированием : дис. ... кандидата тех. наук : 05.12.04 [Текст] / А. С. Реутов. — Москва, 2003. — 125 с.

88. Родионов, В. И. О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в числовом анализе [Текст] / В. И. Родионов // Вестник Удмуртского университе-та. Компьютерные науки. — 2010. — № 4. — С. 146—153.

89. Wachspress, E. A rational finite element basis [Текст] / E. Wachspress. — New York: Acad. Press, 1975.

90. Den, C. Iterative coordinates [Текст] / C. Den, Q. Chang, K. Hormann // Journal Computer Aided Geometric Design. — 2020. — Vol. 79. — URL: https: //doi.org/10.1016/j.cagd.2020.101861.

91. Floater, M. S. Floater Mean value coordinates [Текст] / M. S. Floater // Journal Computer Aided Geometric Design. — 2003. — Vol. 1(20). — P. 19—27. — URL: https://doi.org/10.1016/S0167-8396(03)00002-5.

92. Li, X. Y. Poisson Coordinates [Текст] / X. Y. Li, S. M. Hu // IEEE Transactions on visualization and computer graphics. — 2013. — Vol. 19, no. 2. — P. 344-352. - URL: https://doi.org/10.1109/TVCG.2012.109.

93. Belyaev, A. On Transfinite Barycentric Coordinates [Текст] / A. Belyaev // Proc. Fourth Eurographics Symp. Geometry Processing (SGP '06). — 2006. — P. 88-89. - URL: https://doi.org/10.1201/9781315153452.

94. Ильинский, А. С. Приближенный метод определения гармонических барицентрических координат для произвольных многоугольников [Текст] / А. С. Ильинский, И. С. Полянский // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2019. — 3(59). — С. 38—55. — URL: https://doi.org/10. 1134/S0044466919030098.

95. Степанов, Д. Е. О сходимости барицентрического метода в решении внутренних задач Дирихле и Неймана в R2 для уравнения Гельмгольца [Текст] / Д. Е. Степанов, А. С. Ильинский, И. С. Полянский // Вестник удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2021. — № 1.

96. Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций [Текст] / В. Л. Гончаров. — М.: Гостехиздат, 1954. — 327 с.

97. Михлин, С. Погрешности вычислительных процессов [Текст] / С. Мих-лин. — Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1983. — 261 с.

98. Loop, C. T. A Multisided Generalization of Bezier Surfaces [Текст] / C. T. Loop, T. B. DeRose // ACM Transactions on Graphics. — 1989. — Vol. 8. — P. 204-234.

99. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Н. Корн. — М.: Наука, 1970. — 720 с.

100. Березин, И. С. Методы вычислений [Текст] / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — М.: ГИФМЛ, 1962. — 464 с.

101. К вопросу сходимости барицентрического метода в решении задач дифракции на проводящих тонких экранах [Текст] / Д. Е. Степанов [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2020. — Т. 23, № 3. — С. 34—43. — URL: https://doi.Org/10.18469/1810-3189.2020.23.3.34-43.

102. Карчевский, М. М. Уравнения математической физики. Дополнительные главы: Учебное пособие. 2-е изд., доп. [Текст] / М. М. Карчевский, М. Ф. Павлова. — Спб.: Лань, 2016. — 276 с.

103. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа. Изд. 3-е. [Текст] / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — М.: Гостехиздат, 1950. — 695 с.

104. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галёркина. Пер. с англ. [Текст] / К. Флетчер. — М.: Мир, 1988. — 352 с.

105. Романовский, П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. [Текст] / П. И. Романовский. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

106. Кострикин, А. И. Линейная алгебра и геометрия [Текст] / А. И. Костри-кин, Ю. И. Манин. — М.: Наука, 1986. — 304 с.

107. Nicolaidis, R. A. On the class of finite elements generated by Lagrange interpolation [Текст] / R. A. Nicolaidis // SIAM J. Numer. Anal. — 1972. — Vol. 9, no. 3. - P. 435-445. - URL: https://doi.org/10.1137/0710019.

108. Григорьев, М. И. Полиномы Бернштейна и составные кривых Безье [Текст] / М. И. Григорьев, В. Н. Малоземов, А. Н. Сергеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — 11(46). — С. 1962—1971. — URL: https://doi.org/10.1134%5C%2FS0965542506110042.

109. Трибель, Х.Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы [Текст] / Х. Трибель. — М.: Мир, 1980. — 664 с.

110. Даугавет, И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. 2-е изд., перераб. и доп [Текст] / И. К. Даугавет. — Л.: СПб., 2006. — 288 с.

111. Приближенное решение операторных уравнений [Текст] / М. А. Красносельский [и др.]. — М.: Наука, 1969. — 455 с.

112. Хёнл, Х. Теория дифракции: Пер. с англ. [Текст] / Х. Хёнл, А. Мауэ, К. Вестпфаль; под ред. Г. Д. Малюжница. — М.: Мир, 1964. — 428 с.

113. Степанов, Д. Е. О сходимости барицентрического метода в решении задач дифракции на проводящих тонких экранах. [Текст] / Д. Е. Степанов, А. С. Ильинский, И. С. Полянский // «Тихоновские чтения»: научная конференция: тезисы докладов: посвящается памяти академика Андрея Николаевича Тихонова. Факультет ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова. — Москва: МАКС Пресс, 2020.

114. Степанов, Д. Е. Интегральное электромагнитного поля бесконечно тонкого проводящего экрана в приближении барицентрического метода [Текст] / Д. Е. Степанов, И. С. Полянский // материалы XVIII Международной научно-технической конференции. Самара, 2020. Издательство: Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики. — 2020.

115. Электродинамический анализ зеркальных антенн в приближении барицентрического метода [Текст] / Д. Е. Степанов [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2020. — Т. 23, № 4. — С. 36—47. — URL: https://doi.Org/10.18469/1810-3189.2020.23.4.36-47.

116. Степанов, Д. Е. Решение задачи дифракции электромагнитных волн на экранах произвольной формы барицентрическим методом [Текст] / Д. Е. Степанов, А. С. Ильинский, И. С. Полянский // Прикладная Математика и информатика: Труды факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова. — 2020. — № 65. — С. 15—30. — URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44726938.

117. Смирнов, Ю. Г. О сходимости методов Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах, и о решении уравнения электрического поля [Текст] / Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2007. — 1(47). — С. 129—139.

118. Малых, М. Д. О нормальных модах закрытого волновода с разрывным заполнением [Текст] / М. Д. Малых // Вестник Российского университета дружбы народов: Серия Математика, информатика, физика. — 2018. — Т. 26, № 4. — С. 320—329.

119. Вайникко, Г. М. Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в проблеме собственных значений // Журнал вычислительной математики и математической физики [Текст] / Г. М. Вайникко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1964. — 3(4). — С. 405—425.

120. Самарский, А. А. О возбуждении радиоволноводов. I [Текст] / А. А. Самарский, А. Н. Тихонов // Журнал технической физики. — 1947. — Т. 18, № 7. — С. 1283—1296.

121. Боголюбов, А. Н. Двусторонние оценки собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа и их применение в задачах математической теории волноводов [Текст] / А. Н. Боголюбов, М. Д. Малых, А. А. Панин // Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии. — 0009. — Т. 10. — С. 83—93.

122. Graglia, R. Hierarchical divergence conforming bases for edge singularities in quadrilateral cells [Текст] / R. Graglia, A. Peterson, P. Petrini // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2018. — Vol. 66, no. 11. — P. 6191—6201. — URL: https://ieeexplore.ieee.org/document/8434247.

123. Kolundzija, B. Accurate solution of square scatterer as benchmark for validation of electromagnetic modeling of plate structures [Текст] / B. Kolundzija // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2018. — Vol. 46, no. 7. — P. 1009—1014. — URL: https://ieeexplore.ieee.org/document/8434247.

124. Степанов, Д. Е. Особенности алгоритмической реализации барицентрического метода в вычислительной электродинамике [Текст] / Д. Е. Степанов, И. С. Полянский // материалы XVII Международной научно-технической конференции. Казань, 2019. Издательство: Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева. — 2019.

125. Алгоритмы. Построение и анализ., 2-е изд. : Пер. с англ. [Текст] / Т. Х. Кормен [и др.]. — М.: Изд. дом «Вильямс», 2005. — 1296 с.

126. Программа для триангуляции сложных двумерных областей Gridder2D [Текст] / под ред. И. А. Щеглов. — М.: Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2008. — 32 с.

127. Taylor, M. A. Several new quadrature formulas for polynomial integration in the triangle [Текст] / M. A. Taylor, B. A. Wingate, L. P. Bos. — 2007. — URL: http://xyz.lanl.gov/format/math.NA/0501496.

128. Автоматизированные технологии построения неструктурированных расчетных сеток [Текст] / Ю. В. Василевский [и др.]. — М.: ФизМатЛит, 2016. — 216 с.