Институт налоговой амнистии и его место в системе налогового права тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 12.00.04, кандидат наук Белова, Татьяна Александровна

• Белова, Татьяна Александровна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Белова, Татьяна Александровна

Предисловие......................................................................................................................3

Введение..............................................................................................................................4

Глава 1. Теоретико-вероятностные модели риска....................15

§ 1.1. Структура системы исходов случайного испытания ... •—•

§1.2. Частота и вероятность случайных событий..........................37

§ 1.3. Сравнение и измерение стохастических рисков................59

Глава 2. Байесовские модели неопределенности........................89

§ 2.1. Формула Байеса и ее модификации..........................................—

§2.2. Рандомизированный выбор функции распределения. .. 107

§2.3. Дискретная байесовская модель..................................................121

Глава 3. Оценивание вероятностей альтернатив........................141

§3.1. Байесовское оценивание вероятностей альтернатив. ... —

§ 3.2. Интервальная информация о вероятностях событий .. 152

§3.3. Синтез сводных оценок вероятностей альтернатив..........162

Заключение........................................................................................................................186

Указатель литературы..............................................................................................189

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Институт налоговой амнистии и его место в системе налогового права»

Предисловие

Монография посвящена вопросам разработки системы математических моделей риска и неопределенности, столь характерных практически для всех видов современной финансово-экономической деятельности. Действительно, субъект экономической деятельности рискует и при организации производства, и при формировании инвестиционного портфеля, и, тем более, при биржевых спекуляциях; серьезную угрозу его делу несет неопределенность возможных последствий контактов с надзирающими, налоговыми, административными и силовыми структурами государства и с подобными структурами негосударственного рэкета.

Основу предлагаемой системы моделей риска и неопределенности составляет так называемая АСПИД-методология (АСПИД = Анализ и Синтез Показателей при Информационном Дефиците), изложенная в предыдущих работах автора (см., например, монографии [135,141] и учебное пособие [136]). Использование АСПИД-методологии при разработке моделей риска позволяет учесть дефицит информации о точных числовых значениях вероятностей альтернатив, который зачастую имеет место в ситуациях, связанных с неопределенностью результатов финансово-экономической деятельности. Разработка соответствующих математических моделей доводится до вычислительных формул и алгоритмов, допускающих простую реализацию на ЭВМ в виде различных систем поддержки принятия решений (СППР) о выборе вариантов финансово-экономической деятельности на базе нечисловой, неточной и неполной информации, которой обладает лицо принимающее решения (ЛПР). Основные особенности практики использования подобных СППР при оценке вариантов финансовой и страховой деятельности иллюстрируются подробно разбираемыми примерами соответствующих рассуждений ЛПР.

Тесная связь разрабатываемых формальных математических схем неопределенности с реальной рисковой финансово-экономической деятельностью символизируется знаком, изображенном на обложке книги и состоящем из двух переплетенных греческих букв "£", одна из которых образована контуром тела змеи. Эта сигма-змея мыслится как начальная буква слова Ито1хешЦа (реальная первооснова, живая стихия), а вторая сигма :— как начальная буква слова "Ехч^а (формальная структура, абстрактная схема).

g

Введение

Явления, связанные с понятиями риска и неопределенности, постоянно встречаются в обыденной жизни, при производственной, финансово-экономической и страховой деятельности, в сфере принятия военных и политических решений, при выборе и осуществлении проектов различного характера и назначения, и т.д. (см., например, [1,4,8,10,18,19,22,38,58-60,89,101,103,105,109,123,144,151-152,155,159,174,191,207,230]). О широкой распространенности ситуаций, характеризуемых наличием риска, и/или неопределенности, косвенно свидетельствует высокая частота употребления в научных, художественных и газетно-журнальных текстах самих слов "неопределенность", "риск" и их непосредсвенных производных ("рискнуть", "рискованно", "рискованный", "рисковый", "рисковать", "неопределенно", "неопределенный"). Даже в сравнительно спокойные для нашего государства времена, - в середине семидесятых годов, - частота употребления слов из этого семантического гнезда в русскоязычных текстах указанных видов вдвое превосходила частоту употребления слова "кошка" и лишь немного уступала частоте употребления слова "собака" (см. [40]). Сейчас, по-видимому, частота такого словоупотребления существенно возросла в связи с ростом неопределенности и рискованности резуль- I татов практически всех видов деятельности, подверженных влиянию как отечественной, так и общемировой нестабильности (см. [174,191]).

Многообразие ситуаций, в которых используются понятия, тесно связанные со словами "риск" и "неопределенность", употребляемыми в различных контекстах, имеет своим следствием многообразие толкований этих слов. Неоднозначность толкования особенно заметна для семантического гнезда понятий, группирующихся вокруг понятия "риск". Действительно, для оценки широты диапазона значений изучаемого слова достаточно привести следующий ряд примеров его определения в финансово-экономической литературе, выделяя курсивом определяемое слово "риск".

1. "Риск - предпринимаемое на удачу дело" [6, с.111] (1909 г.).

2. "Слово риск употребляется в страховании в разнообразных значениях, прежде всего в абстрактном и конкретном смысле. В первом значении под риском понимают меру опасности или выражение среднего размера возможного убытка

в определенную единицу времени; таково понимание риска, теоретиками. Практика придала этому первоначальному абстрактному понятию конкретное значение, понимая под риском объект страхования, то есть тот предмет, который при наступлении известного события, условленного в страховании, может быть разрушен, поврежден или потерян в ценности" [22, с.60] (1925 г.).

3. "Риск - это образ действий в условиях неопределенности, ведущий, в конечном результате, к преобладанию успеха над неудачей" [1, с.45].

4. "Риск означает возможную неудачу в каком-либо деле, это действие, совершаемое наудачу, в надежде на счастливый исход. В повседневной жизни термин "риск" употребляется обычно в смысле предполагаемой опасности, неудачи, неуверенности в исходе того или иного действия" [4, с. 17] (ср. [89,107]).

5. ''Риск - это ситуативная характеристика деятельности банка или фирмы, отображающая неопределенность ее исхода и возможные неблагоприятные последствия в случае неуспеха" [114, с.23] (ср. [105, с.З]).

6. "Риск - опасность, что произойдут некоторые возможные события" [174, р.358].

7. "... Первоначально дадим определение риска, не связанное с какими-либо эмоциями. Финансовая операция (сделка) называется рискованной, если ее эффективность недетер-минирована, т.е. не полностью известна в момент заключения сделки" [94, с.68].

8. "Но что такое риск? Это опасность утраты чего-нибудь, возможность потерь" [151, с.7] (ср. [165,192]).

9. "Риск страховой - 1) вероятное событие или совокупность событий, на случай наступления которых проводится страхование ... Риск страховой отличается от случая страхового - фактического наступления такого события. Риск страховой выражает потенциальную возможность выплаты страхового возмещения ... , а страховой случай - необходимость реальной выплаты. ... 2) в международной практике - конкретный объект страхования (напр. судно) или вид ответственности (напр., полная гибель судна); 3) распределение между страховщиком и страхователем неблагоприят-

ных экономических последствий при наступлении страхового случая" [ИЗ, с.191-192].

10. "... Риск можно определить как возможность недополучения прибыли или понести убытки ..." [103, с.13].

11. " Риск - поддающаяся измерению вероятность понести убытки или упустить выгоду" [124, с. 123].

12. "Риск - ненадежность, свойственная процессу извлечения прибыли ..." [144, с.101].

13. "Риск ... означает неопределенность, связанную с некоторыми событиями" [101, с. 141],

14. "Риск - 1) опасность неблагоприятного исхода на одно ожидаемое явление, т.е. поддающаяся измерению вероятность убытков или упущения выгоды в любой сфере человеческой деятельности ... 2) Объект страхования. 3) Вид ответственности страховщика" [38, с.376-377].

Отвлекаясь от ряда слишком специфических значений слова "риск", придаваемых ему как страховому термину, среди вариантов употребления этого слова можно выделить некоторый семантический инвариант, связанный, во-первых, с констатацией неопределенности, недерминированности, случайности исходов рискованной деятельности и, во-вторых, с оценочным суждением о неблагоприятности, опасности возможных результатов такой деятельности. В реальности выделенных двух аспектов значения слова "риск" легко убедиться обратившись к словарям, дающим содержательные и этимологические пояснения к общенаучному, литературному, деловому и разговорному употреблению слов из рассматриваемого нами семантического гнезда.

Действительно, уже в известном "Этимологическом лексиконе русского языка" Филиппа Рейфа, удостоенном в 1836 г. Императорской Академией наук полной премии Демидова, автор дает для слова "риск" французские аналоги : hasard (случай) и danger (опасность) [99, с.779]. Такую же трактовку глаголу "рисковать" дает и В.Даль (1882 г.): "Рисковать - ... подвергаться случайности, ... опасности, ... неудаче" [31, с.96]. Семантика этих слов остается практически неизменной и на рубеже XIX-XX вв., и в наше время (см. например, [82,97,122,146,147]).

Выявленная двуединая природа риска как неблагоприятной возможности (опасного случая) четко прослеживается и этимологией, представленной в следующих цитатах из словарей.

1. "Риск ... - новое заимств. из фр. risque опасность (фр. risque, ит. risico, risco из йен. risco скала, подводный камень, риф. Так как для мореплавателя подводный камень представляет наибольшую опасность, то слово risco ... получило переносное значение опасность" [97, с.924].

2. Риск, ... - возможная опасность ... В русском языке риск, рисковать известны с XVIII века ... В словарях риск, рисковать - с 1806 г. , ... рискнуть, рискованный - с 1847 г. ... Из французского языка. Ср. франц. (с XVI в.) risque ...; французское слово - из ит. rischio < risico - "опасность" ... Происхождение же ит. risico неясно. Некоторые этимологи возводят его, в конечном счете, к греч. прил. pi(iKOç к pi(a

- ... "подошва", "подножие" (горы, скалы), связывая знач. "риск" с несчастными случаями на море, с кораблекрушениями и т.п."[146, с.116].

3. "... Рисковать - через франц. risquer, ит. risicare, первонач.

- "лавировать между скал"" [122, с.485] (ср.[147, с.390]).

Итак, представляется вполне обоснованным употребление слова "риск" и его производных для описания ситуаций, когда имеет место "неопределенность", для которой характерно наличие многовариантности, и когда, одновременно, не все варианты в одинаковой степени благоприятны.

Если перейти на более формальный язык, то "неопределенности" можно сопоставить следующую модель. Фиксируется некоторый комплекс условий а , налагаемых на систему S (реальную или абстрактную), и наблюдается соответствующий результат ш(а) . Если при одних и тех же условиях а возможны различные результаты o;i(a:), ш2(а),... , w„(a),..., п > 1, то будем говорить о "неопределенности" функционирования системы S в этих условиях. Не слишком уменьшая общность последующих рассуждений, можно предположить, что задано множество Í2 = {w} всех возможных попарно различных результатов фиксации комплекса условий а. Дополнительно предположив наличие некоторой оценочной функции u(w) , сопоставляющей каждому возможному результату ш <Е Í) его оценку v Е V (V - множество различных оценок, упорядоченных по степени "полезности", "ценности", "благоприятности" и т.п. соответствующих результатов), мы можем говорить о "риске" получения результатам, полезность v(u>) которого не являетя наивысшей из всех возможных.

Например, пусть речь идет о финансовом инвестиционном проекте S, начальное состояние которого задается фиксацией комплекса условий а, описываемого вектором а = («i,... ,а„) ; а, > 0 - сумма, затраченная на покупку ценных бумаг г-го вида; ах~{-----b ап >0. Результирующее состояние системы S можно

описать, например, при помощи вектора ш — (их,... ,шп) , где uij -приращение за определенный промежуток времени реальной стоимости купленного пакета ценных бумаг г-го вида. Если ценность результата и есть приращение г>(ы) — и>у +----Ь ы„ реальной стоимости всего инвестиционного портфеля, то можно говорить о "неопределенности" самого результатам, определенного "с точностью до множества П", и о "риске" малой финансовой эффективности инвестиционного проекта S .

Выбрав в качестве основного значения термина " риск" его понимание как частного случая " неопределенности", связанного с оценкой ряда возможных вариантов как неблагоприятных, мы должны отметить наличие в литературе совершенно иного истолкования связи этих двух терминов (см., например, [10,72,168,173,181,190, 210]). А именно, зачастую словом "риск" обозначают ситуацию, когда для возможных вариантов определена вероятность их появления, а словом "неопределенность" - ситуацию, когда определить указанные вероятности невозможно. Такая трактовка терминов восходит, по-видимому, к известной работе Ф.Найта "Риск, неопределенность и доход", вышедшей в 1921 году [210]. В этой работе противопоставляется возможность статистического или теоретического ("априорного" - по терминологии Ф.Найта) определения вероятностей вариантов ("измеримая неопределенность" -"measurable uncertainty") полной невозможности оценить такие вероятности ("неизмеримая неопределенность" - "unmeasurable uncertainty"); при этом "измеримая неопределнность" отождествляется с " риском" (основные определения интересующих нас понятий приведены в разделе "Смысл риска и неопределенности" указанной книги [210, рр.210-235]).

За много лет употребления смыслоразличительная оппозиция "риск - неопределенность" приобрела ряд дополнительных смысловых оттенков, утратив, одновременно, некоторые исходные черты. Так, например, вряд ли Ф.Найт безоговорочно признал бы идентичность следующего понимания противопоставления "риска" и "неопределенности" своему исходному определению: "Разница

между риском и неопределенностью касается того, знает ли лицо, принимающее решение, о вероятности наступления определенных событий. Риск присутствует тогда, когда вероятности, связанные с различными последствиями, могут оцениваться на основе данных предшествующего периода. Неопределенность существует тогда, когда вероятности последствий приходится определять субъективно, поскольку нет данных предшествующего периода" [10, с.365-366].

Несмотря на подобный дрейф своего первоначального смысла, далеко уводящий от исходной концепции Ф.Найта, само рассматриваемое терминологическое противопоставление "неопределенности" и "риска" продолжает довольно широко бытовать в экономической литературе наших дней. И дело здесь не только и не столько в том, что большинство исследователей предпочитает использовать готовую терминологию, принятую определенной научной школой, ненужной трате сил и времени на осмысление обоснованности этой терминологии нормами языка и сложившимися традициями словоупотребления. На наш взгляд популярности смыслоразличительной оппозиции "риск - неопределенность" способствует глубокое реальное различие между ситуациями, описываемыми полюсами этой оппозиции. Более того, именно сейчас, когда происходит переосмысление практически всех теорий поведения экономических субъектов, различение ситуаций, предусматривающих наличие вероятностных оценок, и ситуаций, для которых обычные числовые вероятности неприемлемы, приобретает особое значение.

Действительно, некогда столь популярные "ожидаемая полезность", "рациональное экономическое поведение" и т.п. концепции, предполагающие, что экономический субъект в своем поведении руководствуется имеющейся у него информацией о вероятностях различных результатов своей хозяйственнной и финансовой деятельности (см.[74,86,92,94,118,125,159,188,192,196,226,230]), подвергаются критике именно за принятие такого нереалистического предположения о возможности получения оценок вероятностей - оказалось, что человек плохо ориентируется в вероятностном мире и вынужден принимать решения в условиях дефицита числовой информации о вероятностях тех или иных последствий этих решений (см., например, работы [5,9,10,13,45,58,65-67,102,115,154,155,173,179,195,200,207,208,210,231]). Поэтому одним

из наиболее важных этапов критики различных вариантов "теории рациональных ожиданий" становится этап доказательства, что ситуация, которая раньше описывалась как ситуация с наличием "риска" ("измеримой неопределенности"), на самом деле является ситуацией с "неопределенностью" (точнее, - с "неизмеримой неопределенностью") [173,210].

Однако, признавая наличие реальной противоположности между "измеримой неопределенностью" и "неизмеримой неопределенностью" , мы никак не можем признать обязательности терминологического оформления этого противопосталения именно в виде пары "риск - неопределенность". Поэтому далее будут использоваться определяемые ниже термины, явно указывающие на различие между "измеримой" и "неизмеримой" неопределенностью, выявленное Ф.Найтом, но не связанные с очень неудачно, по нашему мнению, выбранным им словесным оформлением этого различия.

Рассмотрим ситуацию, когда имеется некоторая абстрактная или реальная система 5 , изучаемая данным исследователем. Будем говорить, что в этой ситуации имеет место неопределенность первого рода, если исследователю известно только то, что поведение системы 5 многовариантно, то есть, что при фиксации некоторого комплекса условий а система может находиться в различных состояниях ш1(а),... ,а)„(а),..., образующих определенное множество О — {ш}, состоящее не менее, чем из двух элементов. Неопределенность второго рода имеет место, если исследователь обладает дополнительной информацией о числовой вероятности Р, заданной на определенной системе © подмножеств множества^. Иными словами, неопределенность первого рода имеет место, когда вариант поведения изучаемой системы известен исследователю с точностью до фиксированного множества всех возможных вариантов, а неопределенность второго рода характеризует ситуации, когда исследователь может адекватно описать поведение системы при помощи той или иной модификации обычной теоретико-вероятностной схемы, предусматривающей числовую оценку вероятностей осуществления различных вариантов поведения изучаемой системы.

Разумеется, введенные два рода неопределенности отнюдь не исчерпывают бесконечного многообразия реальных ситуаций и теоретических схем, связанных с различными модификациями понятий риска и неопределенности. Кроме того, по поводу введенных

терминов надо сделать ряд следующих замечаний.

Во-первых, следует отметить, что предикат "неопределенность" относится не к самому исследователю и не к отдельно рассматриваемой системе 5, но к ситуации в целом, и описывает отношение между исследователем и исследуемой системой (см. [209]). Иными словами, термином "неопределенность" фиксируется наличие у исследователя дефицита информации о системе, который не позволяет однозначно определить ее состояние или вариант поведения.

Во-вторых, "неопределенность", о которой идет речь в вышеприведенных дефинициях, имеет весьма относительный характер, так как предполагает наличие многих " определенностей": для задания ситуации, соответствующей неопределенности даже первого рода, необходимо точно определить множество возможных вариантов О, что отнюдь не является простой задачей и требует наличия у исследователя значительной информации о системе 5; для задания же ситуации, соответствующей неопределнности второго рода требуется дополнительно определить класс 6 подмножеств множества П и вероятность Р на этом классе.

ЕЗ-третьих, следует отметить предварительный характер данных определений, что требует их дальнейшего уточнения для адаптации к конкретным ситуациям. Так, например, требуется уточнить, что понимается под вероятностью (предельная частота, степень уверенности исследователя, степень возможность осуществления соответствующего события и т.д.), является ли выбранный класс 6 подмножеств множества О алгеброй (полукольцом, сигма-алгеброй, монотонным классом и т.д.), каковы свойства функции Р (является ли она мерой или внутренней (внешней) мерой, аддитивна ли она, сигма-аддитивна или вполне аддитивна, и т.д.).

Модель "неопределенность первого рода" кажется, на первый взгляд, более привлекательной для практического применения, так как требует от исследователя значительно меньше знаний об изучаемой системе, чем модель "неопределенность второго рода". Однако, в рамках концепции неопределенности первого рода возможны только выводы и рекомендации, имеющие "интервальный" характер: молено указать лишь интервалы возможных значений интересующих параметров системы (см.[2,78]). При этом определяемые интервалы указывают, как правило, весьма широкие диапазоны для возможных значений изучаемых параметров, что де-

лает подобную "интервальную информацию" по сути дела тривиальной. Так, например, вряд ли представляет интерес для страховой компании даже достоверная информация о том, что неизвестная вероятность некоторого страхового случая лежит в интервале [0.001; 0.999].

Рассмотрим подробнее ситуацию, характеризуемую неопределенностью второго рода, т.е. ситуацию, в которой исследователю известна вероятностная мера Р, заданная на фиксированной системе & подмножеств определенного множества fi, интерпретируемого как множество возможных вариантов поведения наблюдаемой системы S. В простейшем случае, когда множество fi конечно (fi = {wi,... ,ш„}), исследователь знает вероятность Р({ш,}) G (0,1) любого варианта ш, G fi поведения системы, хотя и не может сказать какой конкретный вариант из множества fi будет иметь место на самом деле. Таким образом, в рамках модели "неопределенность второго рода" предполагается, что имеется некоторый стохастический механизм выбора вариантов из множества fi = {¡j),... ,wn}, осуществляющий случайный выбор любого варианта u>i € fi с заданной вероятностью P({wj}) € (0,1), г = 1,... , п. Иными словами, модель "неопределенность второго рода" может интерпретироваться как рандомизация неопределенности (от англ. random - случайный) выбора конкретного элемента из множества fi всех вариантов, возможных при фиксации комплекса условий а. Аналогичное толкование может быть распространено и на случай бесконечного множества fi (см. §1.2).

Идея подобной "рандомизации неопределенности" восходит, по-видимому, к знаменитой "Попытке решения одной проблемы доктрины шансов" Томаса Байеса (1702-1761), посмертно опубликованной в 1763 г. в трудах Королевского общества [158]. В этой работе Т.Байес ставит задачу определить для вероятности некоторого события "шанс, что его вероятность ... лежит между какими-то двумя значениями" [158, р.298], при условии, что об этой вероятности нет никакой непосредственной информации [158, р.308]. Учитывая, что смысл термина "шанс" Байес отождествляет со смыслом термина "вероятность" (см. его Определение 6 на с.299 работы [158]), его слова о "шансах вероятности" [158, р.298], т.е. о "вероятности вероятности" (ср. [156,185,217]), однозначно указывают на то, что он полагает выбор конкретного значения вероятности ро £ [0,1] случайным. Из анализа работы [158] следует, что

Байес считал рандомизированную вероятность р = ш равномерно распределенной на. отрезке О = [0,1]. Итак, можно сказать, что неопределенность выбора конкретного значения ро = шо из множества О всех возможных значений моделируется Байесом путем задания равномерного распределения Ро.

Эта идея рандомизации неопределённости получила дальнейшее развитие в работах многих исследователей и широкое распространение в различных областях. Так, например, в 1914 г. Эмиль Борель предложил моделировать неопределенность значений слов обыденного языка именно при помощи рандомизации отнесения объектов к соответствующим классификационным категориям, определяемым этими словами, дав тем самым начало теории так называемых "нечетких множеств" (см., например,

[15.55.190.194.234]). Идею рандомизации неопределенности выбора плана проведения эксперимента широко использовал один из основателей математической статистики Р.Фишер (см.[127]). Эта же идея нашла широкое применение в теории проверки статистических гипотез, где рандомизации подвергается неопределенность выбора статистических решающих функций (см., например, [46,70]); вполне аналогично рандомизируется неопределенность выбора так называемых "чистых стратегий" в математической теории игр (см., например, [74,86]) и т.д.

Но особенно широкое применение и развитие идея рандомизации неопределенности получила в рамках так называемого байесовского подхода в математической статистике (см., например,

[41.83.104.132.235]), где рассматривается ситуация, неопределенность которой носит промежуточный характер по отношению неопределенностям первого и второго рода. А именно, предполагается, что исследователь непосредственно не знает (как и в случае неопределенности первого рода) распределения вероятности на подмножествах множества А всех возможных вариантов, а знает лишь класс ф = {Рд, 0 £ 0} распределений, к которому оно принадлежит. Дополнительно исследователь знает (как и в случае неопределенности второго рода) " априорное" распределение вероятности Р(в) на подмножествах множества 0 = {0} всех возможных значений параметра, определяющего выбор конкретного распределения Р$ из множества

Такая байесовская модель неопределенности описывает, фактически, двухуровневую рандомизацию. На первом уровне при ка-

ждом фиксированном значении параметра в £ 0 распределение Ре описывает рандомизацию неопределенности выбора какого-либо конкретного элемента из множества О . На втором уровне рандо-мизируется при помощи распределения Р(9) выбор самого распределения Рв € ф. Иными словами, при двухуровневой рандомизации сначала случайно выбирается распределение Рв, которое, в свою очередь, определяет случайный выбор элемента из множества А.

Введенные одноуровневые и двухуровневые (байесовские) модели рандомизации неопределенности служат в настоящей работе основным предметом изучения и инструментом разработки методов решения различных задач, связанных с описанием неопределенности результатов рисковой экономической деятельности.

В первой главе описываются основные компоненты теоретико-вероятностной схемы моделирования неопределенности второго рода: в §1.1 излагаются различные подходы к заданию алгебраической структуры системы случайных событий; в §1.2 обсуждается представление об эмпирической стабилизации частоты событий; в §1.3 рассматриваются подходы к сравнению случайных рисков и строится стохастическая модель банковского депозита.

Вторая глава посвящена изучению некоторых модификаций байесовской (двухуровневой) схемы описания неопределенности: в §2.1 вводятся различные варианты формул полной вероятности и Байеса; в §2.2 предлагается новая стохастическая модель неопределенности задания функции распределени; в §2.3 описывается дискретная байесовская модель оценивания дискретнозначных вероятностных распределений.

В третьей главе рассматриваются вопросы оценивания вероятностей альтернатив: в §3.1 строится классическая байесовская схема оценивания вероятностей альтернатив; в §3.2 описывается метод учета интервальной информации о вероятностях альтернатив; в §3.3 кратко излагается новый метод синтеза сводных оценок вероятностей альтернатив, возможности которого демонстрируются на примере оценивания вероятностей некоторых альтернативных событий, связанных с известным кризисом фунта стерлингов в 1992 г.

В Заключении приведена сводка результатов, полученных в настоящей работе.

Работа над настоящей монографией осуществлялась при частичной поддержке РФФИ (проект 96-06-80188).

Заключение диссертации по теме «Предпринимательское право; арбитражный процесс», Белова, Татьяна Александровна

Дадим в тезисной форме сводку основных результатов настоящей работы, указывая в скобках места монографии, где обосновываются соответствующие тезисы.

1. Анализ многообразных вариантов современного употребления и этимологии слова "риск" позволяет выявить семантический инвариант, связанный, во-первых, с констатацией неопределенности (недетерминированности, случайности) исходов рисковой финансово-экономической деятельности и, во-вторых, с оценочным суждением о неблагоприятности некоторых возможных результатов такой деятельности (Введение, §1.3).

2. Следует различать неопределенность первого рода, имеющую место, когда исследователю известно только множество О всех возможных альтернативных вариантов поведения исследуемой системы, и неопределенность второго рода, имеющую место, когда помимо множества С исследователю известно и распределение вероятности Р, заданное на некоторой совокупности подмножеств множества О (Введение).

3. Задание распределения вероятности Р на на некоторой совокупности подмножеств множества О = {и;} всех возможных вариантов исследуемой финансово-экономической системы может быть интерпретировано как рандомизация неопределенности: неопределенность выбора конкретного варианта ш £ моделируется случайным выбором этого варианта из множества О, задаваемым распределением Р. Если задана измеримая числовая оценочная функция ь(ш), ш £ а, то неопределенность (второго рода) результата финансово-экономической деятельности моделируется обычной случайной величиной V = V(и>) (Введение, §1.3).

4. Важным частным случаем рандомизации неопределенности является ситуация, когда исследователю непосредственно не известно распределение вероятности Р на подмножествах множества

но известен класс ф = {Ре, 9 £ в} распределений, к которому оно принадлежит; дополнительно исследователь знает распределение вероятности Р(9) на подмножествах множества 0 = {0} всех возможных значений параметра в, определяющего выбор конкретного распределения Р$ из класса ф. Такая байесовская модель неопределенности (второго рода) соответствует двухуровневой

рандомизации: сначала случайно выбирается распределение Рв из класса ф, которое, в свою очередь, определяет случайный выбор элемента и из множества О (Введение, §2.1).

5. Если неопределенность результатов двух вариантов рисковой финансово-экономической деятельности описывается случайными величинами г^, «2, то сравнение этих двух вариантов может быть сведено к выявлению какого-либо отношения стохастического доминирования между соответствующими случайными величинами. Среди простейших отношений стохастического доминирования

наиболее полно учитывает взаимосвязь случайных величин У\, г>2 Р

отношение У, выявляемое путем вычисления вероятности стохастического неравенства > (§1-3).

6. Распространенному подходу к измерению степени рискованности финансово-экономической деятельности, описываемой случайной величиной V, при помощи дисперсии (Т2(у) этой случайной величины можно придать определенный смысл, установив тот или иной тип монотонной зависимости между величиной с2(у) и вероятностью Р({ь > «о}), где ^о — некоторое фиксированное минимально допустимое значение оценки результата исследуемой финансово-экономической деятельности (§1.3).

7. В байесовской статистике для моделирования неопределенности выбора функции распределения, описывающей генеральную совокупность, из которой произведена наблюдаемая выборка, используется, фактически, стохастический процесс, возможными реализациями которого служат все допустимые функции распределения. Такое описание случайного выбора функции распределения существенно упрощается, если указанный процесс является стпохасти-ческим процессом, индуцированным рандомизированным параметром. Разработанная теория стохастических процессов, индуцированных рандомизированными параметрами, дает удобный математический аппарат для построения байесовских схем оценивания параметров случайных величин и для байесовского непараметрического оценивания функций распределения (§2.2).

8. Важный частный случай байесовской схемы рандомизации неопределенности возникает, когда мы имеем дело с дискретнознач-ными дискретными распределениями, описывающими генеральную совокупность, из которой взята наблюдаемая выборка. За-

дание равномерного распределения вероятности на конечном множестве всех допустимых дискретнозначных дискретных функций распределения позволяет реализовать на ЭВМ простые комбинаторные алгоритмы построения априорных и апостериорных параметрических и непараметрических байесовских оценок (§2.3).

9. Пусть информация о вероятностях альтернатив поведения финансово-экономического объекта поступает из конечного числа источников, обладающих различной "значимостью" (надежностью, точностью, достоверностью и т.д.), для которой исследователь не имеет однозначной числовой меры и располагает лишь набором сравнительных суждений типа "источник А дает более (менее) значимую информацию, чем источник В", "значимость информации, получаемой из источников А и В практически одинакова" и т.п. Помимо такой ординальной информации о значимости отдельных источников исследователь может знать и интервалы варьирования " коэффициентов значимости", определяющих "весомость" данных, получаемых от соответствующих источников. Иными словами, исследователь обладает лишь нечисловой (ординальной) и неточной (интервальной) информацией о значимости используемых источников сведений о вероятностях альтернатив. Зачастую и сама информация о вероятностях альтернатив носит нечисловой и неточный (в указанном выше смысле) характер. Методология АСПИД (Анализ и Синтез Показателей при Информационном Дефиците) позволяет разработать и реализовать на ЭВМ алгоритмы синтеза сводных оценок вероятностей альтернатив поведения сложного финансово-экономического объекта с использованием нечисловой, неточной и неполной информации (§3.3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белова, Татьяна Александровна, 2015 год

Указатель литературы

Абчук В.А. Теория риска в морской практике. JL, 1983. Алефельд Г., Хердбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М., 1987.

Аллен Р. Экономические индексы. М., 1980. Альгин А.П. Риск и его роль в общественной жизни. М., 1989. Арана JI. Восприятие как вероятностный процесс // Вопр. пси-хол. 1961. №5. С.47-52.

Бабенко И.П. Бухгалтерский терминологический словарь. СПб., 1909.

Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. М., 1984.

Бачкай Т., Месена. Д. Хозяйственный риск и методы его измерения. М., 1979.

Беляев Л.С. Объективное и субъективное в оценках вероятности при принятии решения // Филос. науки. 1987. №4. С.80-84. Беренс В., Хавранек П. Руководство по оценке эффективности инвестиций. М., 1995.

Бернштейн С.Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковского мат. об-ва. 1917. T.XV. №5-6. С.209-274.

Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. 3-е изд. М., 1934. Биркгоф Г. Математика и психология. М., 1977. Биркгоф Г. Теория решеток. М., 1984. Борель Э. Случай. М.;Г1г., 1923.

Буняковский В.Я. Основания математической теории вероятностей. СПб., 1846.

Буре В.М., Кирпичников Б.К. Вероятностные модели функционирования сложных систем. СПб., 1993. Валдайцев C.B. Оценка бизнеса и инновации. М., 1997. Венецкий И.Г. Вероятностные методы в демографии. М., 1981. Вишняков И.В., Довгаль В.В., Хованов Н.В. Анализ динамики надежности коммерческих банков // Мат. методы в соц.-эконом. иссл. СПб., 1996. С.8-33. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М., 1969. Воблый К.Г. Основы экономии страхования. М., 1995. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М., 1961.

24. Высочанский Д.Ф., Петунии Ю.И. Обоснование правила Зет для одномодальных распределений // Теория вероятн. и мат. стат.

1979. №21. С.23-35.

25. Гелбаум В., Олмстед Д. Контрпримеры в анализе. М., 1967.

26. Гливенко В.И. Курс теории вероятностей. М.;Л., 1939.

27. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев АД. Математические методы в теории надежности. М., 1965.

28. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 6-е изд. М., 1988.

29. Гроот М. де Оптимальные статистические решения. М., 1974.

30. Давидов А.Ю. Математическая теория вероятностей. Литогр. курс лекций. М., 1882-1883.

31. Даль В. Толковый словарь живого великорусского языка. T.IV. М., 1882.

32. Даль К.Ю., Хованов Н.В. Байесовский синтез статистических данных и интервальной информации о вероятностях событий // Мат. методы модел. и анализа управл. процес. СПб, 1996, с.40-46.

33. Джини К. Средние величины. М., 1970.

34. Доес Р. Устойчивая привлекательность неправильных линейных моделей принятия решений // Нормативные и дескриптивные модели принятия решений. М., 1981. С.305-309.

35. Евсеев A.B., Корников В.В., Хованов Н.В. Рандомизированная линейная свертка критериев // Управл. динам, сист. Л., 1991. С.157-161.

36. Енюков И.С. Методы оцифровки неколичественных признаков // Алгоритм, и програм. обеспечение прикл. стат. анализа. М.,

1980. С.309-316.

37. Еремеев Н.Е., Хованов Н.В. Три подхода к арифметизации ординальных шкал // Мех. управл. движения. Вып.З. Л., 1979. С. 188-190.

38. Ефимов С.Л. Экономика и страхование. М., 1996.

39. Зарецкий К.А. О представлении с.трутур множествами // Успехи мат. наук. 1961. Т.16. Вып.1(97). С.153-154.

40. Засорина Л.Н. Частотный словарь русского языка. М., 1977.

41. Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии. М., 1980.

42. Кетле А. Социальная система и законы ею управляющие. СПб., 1866.

43. Кевеш II. Теория индексов и практика экономического анализа. М., 1990.

44. Кирута Ф.Я., Рубинов A.M., Яновская Е.Б. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах. Л., 1980.

45. Козелецкий Ю. Психологическая теория решений. М., 1979.

46. Кокс Д., С'нелл Э. Прикладная статистика. М., 1984.

47. Колари Дж., Федотов Ю.В., Хованов Н.В. Построение в условиях дефицита информации сводных показателей деятельности коммерческих банков // Вестн. СПб ун-та. 1995. №5. С.89-98.

48. Колесникова О.Н., Корников В.В., Рожков H.H. Стохастические процессы с равновероятными монотонными реализациями, моделирующие дефицит информации // Вестн. Ленингр. ун-та. 1987. №1. С.21-26.

49. Колесникова О.Н., Хованов Н.В. Прямой байесовский метод оценки распределений и параметров одномерных случайных величин. Л., 1981.

50. Колмогоров А.Н. Общая теория меры и теория вероятностей // Сб. тр. секц. точн. наук Коммунист, акад. Вып.1. М., 1929. С.8-21.

51. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М., 1936.

52. Колмогоров А.Н. Об определении среднего // Избр. труды. Математика и механика. М., 1985. С.136-138.

53. Корников В.В., Скигович В.П., Хованов Н.В. Статистические методы анализа эффективности и надежности сложных систем в условиях дефицита информации // Вопр. мех. и процес. управл. Вып.9. Л., 1986. С.84-116.

54. Корников В.В., Хованов Н.В. Квазиравномерные распределения рандомизированных параметров /'/ Вестн. Ленингр. ун-та. 1982. №19. С.90-92.

55. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М., 1982.

56. Крамер Г. Математические методы статистики. М., 1975.

57. Крутиков А.Г. Выбор оптимальных систем по методу "затраты-эффективность". М., 1988.

58. Крушвитц Л., Шобель Р. Теория временных предпочтений в условиях неопределенности будущих состояний // Вестн. СПб ун-та. 1995. №26. С.65-82.

59. Кудинова Т.А. Оценка финансовых рисков // Вестн. СПб ун-та. 1996. №12. С.103-106.

60. Кудрявцев A.A. Демографические основы страхования жизни. СПб., 1996.

61. Кумбс К. Некоторые подходы к восприятию и оценке степени риска // Нормативные и дескриптивные модели принятия решений. М., 1981. С.51-66.

62. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970.

63. Курно О. Основы теории шансов и вероятностей. М., 1970.

64. Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908.

65. Ларичев О.И. Принятие решений как научное направление // Сист. иссл. Ежегодник-1982. М., 1982. С.227-243.

66. Ларичев О.И., Мошкович Е.М. Качественные методы принятия решений. М., 1996.

67. Ларичев О.И., Никифоров А.Д. Аналитический обзор процедур решения многокритериальных задач математическиого программирования // Эконом, и мат. методы. 1986. Т.22. Вып.З. С.508-523.

68. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. М.;Л., 1934.

69. Лебег Г. Об измерении величин. М., 1938.

70. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М., 1979.

71. Ллойд Д., Липов М. Надежность. М., 1964.

72. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. 3-е изд. М., 1993.

73. Лоэв М. Теория вероятностей. М., 1962.

74. Льюс Р., Райфа X. Игры и решения. М., 1961.

75. Малышев В.В., Хованов Н.В. Оценка качества судов при неполных проектных данных // Судостроение, 1990, №8, с.3-5.

76. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М., 1983.

77. Мачевариани Л.М., Хованов Н.В. Алгоритмы генерации монотонных функций // Прилож. асимпт. методов в мат. физике и статистике. Л., 1985. С.3-14.

78. Меньшиков Г.Г. Практические начала интервальных вычислений. Л., 1991.

79. Мешалкин А.Д. Приписывание числовых значений качественным признакам // Стат. проблемы управл. Вып. 14. Вильнюс, 1976. С.49-56.

80. Мизес Р. Вероятность и статистика. М.-Л., 1930.

81. Михалевич М.В. Методы учета риска в задачах принятия решений. Киев, 1989.

82. Михельсон М.И. Русская мысль и речь. Т.2. М., 1994.

83. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход. М., 1971.

84. Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. М., 1969.

85. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М., 1969.

86. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., 1970.

87. Некрасов П.А. Философия и логика науки о массовых проявлениях человеческой деятельности. М., 1902.

88. Некрасов H.A. Теория вероятностей. 2-е изд. СПб., 1912.

89. Ойгензихт В.А. Проблема риска в гражданском праве. Душанбе, 1972.

90. Орлов А.И. Прикладная теория измерений // Прикл. много-мерн. стат. анализ. М., 1978. С.68-138.

91. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М., 1979.

92. Осауленко Л.А. Вопросы измерения технико-страхового риска // Вестн. СПб ун-та. 1995. №5. С.104-106.

93. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и в теорию меры. М., 1983.

94. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М., 1994.

95. Пирсон К. Грамматика науки. СПб., б/г.

96. Пирсон К. Таблицы неполной бета-функции. М., 1974.

97. Преображенский А.Г. Этимологический словарь русского языка. Т.2. М., 1959.

98. Пфанцагль И. Теория измерения. М., 1976.

99. Рейф Ф. Русско-французский словарь, в котором русские слова расположены по происхождению, или этимологический лексикон русского языка. Т.2. СПб., 1836.

100. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М., 1985.

101. Роуз П. Банковский менеджмент. М., 1995.

102. Рудашевский В.Д. Риск, конфликт и неопределенность в процессе принятия решений и их моделирование // Вопр. психол. 1974. №2 С.84-94.

103. Рэдхэд Л., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. М., 1996.

104. Савчук В.П. Байесовские методы статистического оценивания. М., 1989.

105. Севрук В.Т. Банковские риски. М., 1994.

106. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М., 1990.

107. Серебровский В.И. Очерки страхового права. М., 1926.

108. Сикорский Р. Булевы алгебры. М., 1969.

109. Синки Д. Управление финансами в коммерческих банках. М., 1994.

110. Скитович В.П. Элементы теории массового обслуживания. Л., 1976.

111. Скорняков Л.А. Элементы теории структур. 2-е изд. М., 1982.

112. Слейтер Р. Сорос. Жизнь, деятельность и деловые секреты величайшего в мире инвестора. Харьков, 1996.

113. Словарь страховых терминов / Ред. Е. В. Коломин, В. В .ТПахов. М., 1992.

114. Соложенцев Е.Д., Карасев В.В., Соложенцев В.Е. Логико-вероятностная оценка банковских рисков и мошенничеств в бизнесе. СПб., 1996.

115. Сорос Дж. Алхимия финансов. М., 1996.

116. Сорос Дж. Сорос о Соросе. М., 1996.

117. Толстов Г.П. Мера и интеграл. М., 1976.

118. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М., 1981.

119. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М., 1972.

120. Уилкс С. Математическая статистика. М., 1967.

121. Уолрэнд Д. Введение в теорию сетей массового обслуживания. М., 1993.

122. Фасмер М. Этимологический словарь русского языка. Т.З. М., 1987.

123. Федотов Ю.В. Методы и модели построения эмпирических производственных функций. СПб., 1997.

124. Финансы и инвестиции. Англо-русский и русско-английский словарь. М., 1995.

125. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М., 1978.

126. Фишберн П., Кини Р. Обобщенная независимость по полезности и некоторые смежные вопросы // Стат. модели и многокритер. задачи принятия решений. М., 1979. С.45-62.

127. Фишер Р. Статистические методы для исследователей. М., 1958.

128. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М., 1965.

129. Халмош П. Теория меры. М., 1953.

130. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М., 1969.

131. Харди Г., Литтльвуд Д., Полна Г. Неравенства. М., 1948.

132. Хей Дж. Введение в методы байесовского статистического вывода. М., 1987.

133. Хеннекен П., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М., 1974.

134. Хованов Н.В. Стохастическое поле агрегации индивидуальных ординальных экспертных измерений // Матер. 1-го Всесоюзн. совещ. по стат. и дис.кр. анализу нечисловой инф. М., 1981. С.58-59.

135. Хованов Н.В. Математические основы теории шкал измерения качества. Л., 1982.

136. Хованов Н.В. Стохастические модели теории квалиметрических шкал. Л., 1986.

137. Хованов Н.В. АСПИД — система квалиметрических методов оценивания в условиях дефицита информации качества сложных технических объектов // Методол. и практ. оценки качества продукции. Вып.2. Л., 1988. С.56-61.

138. Хованов Н.В. Универсальная форма реляционных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1988. №15. С.39-44.

139. Хованов Н.В. Синтез сводной оценки при решении задачи распознавания в условиях дефицита информации // Тез. докл. 4-ой Всесоюзн. конф. "Мат. метод, распозн. образов". Ч. 2. Секц. 1. М., 1989. С.162-164.

140. Хованов Н.В. Универсальность линейной свертки отдельных показателей // Методол. и практ. оценки качества продукции. Вып.З. Л., 1990. С.70-74.

141. Хованов Н.В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб., 1996.

142. Хованов Н.В., Михайлов М.В. Многокритериальное оценивание в условиях дефицита информации вариантов предпринимательских решений // Тез. Междунар. научн. конгр. "Народы СНГ накануне третьего тысячелетия". СПб., 1996, С.15-16.

143. Хованов Н.В., Хитров Г.М., Митрофанов Ф.М. Система математических методов числового представления результатов измерений по нечисловым квалиметрическим шкалам //Докл. между-народн. конф. "МЕРА-90". М., 1990. С.147-155.

144. Холт Р., Барнес, С. Планирование инвестиций. М., 1994.

145. Хоменюк В.В. Элементы теории многоцелевой оптимизации. М., 1983.

146. Черных П.Я. Историко-этимологический словарь современного русского языка. Т.2. М., 1993.

147. Шанский Н.М., Иванов В.В., Шанская Т.В. Краткий этимологический словарь русского языка. М., 1871.

148. Шейнин P.JI. Вероятностный выбор альтернатив // Авт. и теле-мех. 1986. №6. С.5-24.

149. Ширяев А.Н. Вероятность. М., 1980.

150. Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей. М., 1979.

151. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. Б/м, б/г.

152. Шувалова Е., Гришанков Д., Суздальцев А. На свой риск и страх // Коммерсантъ. №47. 22-28 нояб. 1993.

153. Юл Дж., Кендел М. Теория статистики. М., 1960.

154. Albert J., Sponsler G. Subjective probability calibration //J. Math. Psych. 1989. Vol.33. N.3. P.298-308.

155. Arrow K. Risk perception in psychology and economics // Econ. Inq. 1982. Vol.20. N.l. P.l-9.

156. Baron J. Second-order probabilities and belief functions // Theory and Dec. 1987. Vol.23. N.l. P.25-26.

157. Bawa V. Stochastic dominance: a research bibliography // Management Sci. 1981. Vol.28. P.698-712.

158. Bayes T. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances // Biometrika. 1958. Vol.5. Part 3,4. P.296-315 (Reproduced from Phil. Trans. Royal Soc. 1763. Vol.53).

159. Begg D. The Rational Expectations Revolution in Macroeconomics. Oxford, 1982.

160. Bell D. Regret in decision making under uncertainty // Oper. Res. 1981. Vol.30. P.961-981.

161. Bell D. Risk premiums for decision regrets // Management Sci. 1983. Vol.29. P. 1156-1166.

162. Bickel P., Lehmaun E. Measure of location and scale // Proc. Prague Symp. Asymp. Stat. Vol.1. Prague, 1974. P.25-36.

163. Blyth C. Some probability paradoxes in choice from among random alternatives // J. Amer. Stat. Assoc. 1972. Vol.67. N.338. P.366-373.

164. Boole G. Studies in Logic and Probability. London, 1952.

165. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Berlin, 1970.

166. Campenhout J., Cover T. Maximum entropy and conditional probability // IEEE Trans. Inf. Theory. 1981. Vol.27. N.4. P.483-489.

167. Caratheodory C. Measure and Integration. London, 1963.

168. Chikan A., Dobos I. A concept of uncertainty and risk // Pure Math, and Appl. 1991. Vol.2. N.l. P.87-91.

169. Collins A., Green R. Statistical methods for bankruptcy forecasting // J. Econ. and Business. 1982 Vol.34. P.691-694.

170. Colombo A., Constantini D. Ground-hypotheses for beta-distribution as Bayesian prior // IEEE Trans. Reliab. 1980. Vol.29. N.l. P. 17-21.

171. Dahl C., Dovgal M., Hovanov N. Applied DSS for multicriteria estimation under uncertainty: from ASPID-3 to GINGER // Abstr. Intern. Conf. "Math. Meth. and Tools in Comp. Sim." SPb. 1994. P.29-30.

172. Dahl C., Hovanov N. Bayesian synthesis of statistical data and expert interval information on probabilities of events // Abstr. Intern. Conf. "INTERVAL-94". SPb. 1994. P.74-75.

173. Davidson P. Is probability theory relevant for uncertainty? //J. Econ. Persp. 1991. Winter. P.129-143.

174. Davis E. Debt, Financial Fragility and Systemic Risk. Oxford, 1995.

175. Dawes R., Carrigan B. Linear models in decision making // Psych. Bull. 1974. Vol.81. P.95-106.

176. Dershem H. A relationship between approximation theory and statistical measurement // PI Mu Epsilon J. 1975. Vol.6. N.2. P.69-74.

177. Dombi J. Basic concepts for a theory of evaluation: the aggregative operator // Eur. J. Oper. Res. 1982. Vol.10. N.3. P.282-293.

178. Dubins L., Freedman D. Random distribution functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1963. Vol.69. P.548-551.

179. Dubois D., Prade H. Modelling uncertainty and inductive inference: a survey of recent non-additive probability systems // Acta Psych. 1988. Vol.68. P.53-78.

180. Duran B., Booker J. A Bayes sensitivity analysis when using the beta-distribution as a prior // IEEE Trans. Reliab. 1988. Vol.37. N.2. P.239-247.

181. Engemann K., Miller H., Yager R. Decision making with belief structures: an application in risk management // Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Syst. 1996. Vol.4. N.l. P.l-5.

182: Evans R. The principle of minimal information // IEEE Trans. Realiab. 1969. Vol.18. N.3. P.87-89.

183. Falk R. Multiplicative analogues of some statistics // Amer. Math. Mon. 1984. Vol.91. N.3. P.198-202.

184. Fellenberg B., Pilz J. On the choice of prior distribution for Bayesian reliability analysis // Freiberger Forsch. 1985. N.170. P.49-68.

185. Ferguson T. Prior distribution on space of probability measures // Ann. Math. Stat. 1973. Vol.1. N.2. P.209-230.

186. Fish burn P. Stochastic dominance and the foundation of mean-variance analysis // Res. Finan. Vol.2. Greenwich (Conn.). 1980. P.69-97.

187. Fishburn P. Foundations of risk measurement: I.Risk as probable loss // Management Sci. 1984. Vol.30. P.396-406.

188. Friedman M., Savage L. The utility analysis of choices involving risk // J. Polit. Econ. 1948. Vol.56. N.4. P.279-304.

189. Frink O. Ideals in partially ordered sets // Amer. Math. Month. 1954. Vol.61. N.4. P.223-234.

190. Gains B. Fuzzy and probability uncertainty logic // Inf. and Control. 1978. Vol.38. N.2. P.154-169.

191. Gapper J. Basle model for banking safegards // Financial Times. 13 April. 1995. P.22.

192. Gerber H. An Introduction to Mathematical Risk Theory. London, 1980.

193. Girotto B., Holzer S. Some de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo type integral representation theorems for means on masses // Rend. Inst. Mat. Univ. Trieste. 1988. Vol.20. N.l. P.129-173.

194. Godal R., Goodman T. Fuzzy sets and Borel // IEEE Trans. Syst., Man, and Cyb. 1980. Vol.10. N.10. P.637.

195. Good I. The weight of evidence provided by uncertain testimony or from an uncertain event //J. Stat. Comp. and Sim. 1981. Vol.13. N.l. P.56-60.

196. Grandel J. Aspects of Risk Theory. Berlin, 1991.

197. Hadar J., Hadar R., William R. Rules for ordering of uncertain prospects // J. Amer. Econ. Assoc. 1969. Vol.59. N.l. P.25-43.

198. Hammond J. Simplifying the choice between uncertain prospects where preference is nonlinear // Management Sci. 1974. Vol.20. N.7. P. 1047-1072.

199. Heilmajm W. Ordering of distributions and risk management // D. Gesell. Versicherungsmath. 1986. Vol.17. N.3. S.225-235.

200. Hogarth R. Cognitive processes and the assesment of subjective probability distributions // J. Amer. Stat. Assoc. 1975. Vol.70.

N.350. P.271-289.

201. Hovanov N. Universal representation of mathematical structures // Proc. Int. Algebraic Conf. SPb., 1997. P.58-60.

202. Hovanov N., Fedotov Yu., Kornikov V. General aggregation problem in economics // Abstr. 4-t.h Int. Workshop "Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty". M., 1996. P.37.

203. Hovanov N., Fedotov Yu., Seregin I. Uncertain choice of monotonic functions in economics // Abstr. 4-th Int. Workshop "Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty" . M., 1996. P.38.

204. Hovanov N., Kornikov V., Seregin I. A stochastic model for an uncertain choice of a distribution in the Bayesian scheme // Proc. 6-th Int. Conf. "Inf. Proc. Man. Uncertainty in Knowledge-Based Syst.". Vol.11. Granada, 1996. P.969-972.

205. Hovanov N., Kornikov V., Seregin I. Qualitative information processing in DSSS " ASPID-3W" for complex objects estimation under uncertainty // Proc. Int. Conf. "Informatics and Control". Vol.2. SPb. 1997. P.808-816.

206. Janes E. Where do we stand on maximum entropy? // R. Levin (ed.) The Maximum Entropy Formalism. Cambridge, 1979. P.15-118.

207. Johnson E., Hershey J., Meszaros J., Kunreuter H. Framing, probability distortions, and insurance decisions //J. Risk and Uncertainty. 1993. Vol.7. P.35-51.

208. Kahneman D., Slovic P., Tversky A. Judgement under Uncertainty. Cambridge, 1982.

209. Keynes J. A Treatise on Probability. London, 1921.

210. Knight F. Risk, Uncertainty, and Profit. Boston, 1921.

211. Lee Y., Stam A., Yu P. Dominance concepts in random outcomes // Cours. and Lect. ISM Int. Cent. Mech. Sci. 1985. N.289. P.23-43.

212. Lehmann E. Ordered families of distributions // Ann. Math. Stat. 1955. Vol.25. N.3. P.399-419.

213. Loomes G., Sudgen R. Regret theory: an alternative theory of rational choice under uncertainty // Econ. J. 1982. Vol.92. P.805-824.

214. Loomes G., Sudgen R. Regret theory and measurable utility // Econ. Let. 1983. Vol.12. P.19-21.

215. Loomis L. On the representation of sigma-complete Boolean algebras // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. Vol.53. P.757-760.

216. Los J. On the axiomatic treatment of probability // Coll. Math. 1955. Vol.3. N.2. P.125-137.

217. Marshak J. Do personal probabilities of probabilities have an operational meaning? // Theory and Dec. 1975. Vol.6. N.2. P.127-132.

218. Measurement of Risk. Ed. by G. Berg and H. Mailie, N.Y., 1980.

219. Meyers P., Pifer H. Prediction of bank failures // J. Fin. 1970. N.4. P.853-868.

220. Norris N. General means and statistical theory // Amer. Stat. 1976. Vol.30. N.l. P.8-12.

221. Savage L. The Foundations of Statistics. N.Y., 1954.

222. Scarsini M. A note on Bernoulli's Principle and probability dominance // J.Optimiz. Theory and Appl. 1985. Vol.47. N.l. P.109-113.

223. Schneeweiss H. Entscheidungskriterien bei Risiko. Berlin, 1967.

224. Schneeweiss H. Die Unverträglichkeit von (p, cr)-Prinzip und Dominanzprinzip // Unternehmensforschung. 1968. Vol.12. N.3. S.180-184.

225. Schneeweiss H. Entscheidungskriterien mit metrischen und ordinalen Parametern // Meth. Oper. Res. 1972. Vol.13. P.380-386.

226. Schoemaker P. The expected utility model: its variants, purposes, evidence and limitations // J. Econ. Liter. 1982. Vol.20. N.2. P.529-563.

227. Shaier G. The unity and diversity of probability // Stat. Sci. 1990. Vol.5. N.4. P.435-462.

228. Skilling J. Classic maximum entropy // Proc. 8-th Workshop "Max. Entropy and Bayesian Meth." Dordrecht, 1989. P.45-52.

229. Stone M. The theory of representations for Boolean algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1936. Vol.40. P.37-111.

230. Tremolieres R., Page D. Insurance and investment risk diversification: an overview // Math. Sci. 1990. Vol.15. N.2. P.74-113.

231. Tversky A., Kalmeman D. Judgement under uncertainty: heuristics and biases // Science. 1974. Vol.46. N.l. P.1124-1131.

232. Weerhandi S., Zidek J. A characterization of the general mean // Can. J. Stat. 1979. Vol.7. N.l. P.83-90.

233. Wrather C., Yu P. Stochastic dominance in random outcomes //J. Optimiz. Theory and Appl. 1982. Vol.36. P.315-334.

234. Zadeh L. Fuzzy sets // Inf. and Control. 1965. Vol.8. N.3. P.338-353.

235. Zellner A. Bayesian econometrics // Econometrica. 1985. Vol.53. N.72. P.253-269.