Инфракрасные сингулярности в эффективном поле в квантовой электродинамике при конечной температуре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Никитин, Владимир Валерьевич

• Никитин, Владимир Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитин, Владимир Валерьевич

Содержание

Введение

1 Инфракрасные особенности в Б-матрице

1.1 Квантовая электродинамика

1.1.1 Лямбда-регуляризация

1.1.2 Факторизация инфракрасных вкладов

1.1.3 Инфракрасные радиационные поправки

1.1.4 Излучение мягких фотонов. Сокращение инфракрасных расходимостей

1.1.5 Альтернативные регуляризации

1.2 Дальнейшее развитие проблематики

2 Эффективное поле в квантовой теории

2.1 Измеримость поля

2.2 Методы вычисления эффективного поля. Формализм Швингера-Келдыша

2.2.1 Основы метода

2.2.2 Формализм Швингера-Келдыша на бесконечном временном интервале

2.2.3 Формализм Швингера-Келдыша на конечном временном интервале

2.3 Квантовая теория при конечной температуре. Формализм вещественного времени

2.4 Открытые проблемы формализма эффективного поля

2.4.1 Проблема калибровочной зависимости

2.4.2 Инфракрасные расходимости

3 Электрон в тепловой бане. Постановка задачи

3.1 Модель

3.2 Фиксация калибровочной свободы на конечном интервале времени

3.3 Теория возмущений

3.3.1 Правила Фейнмана

3.3.2 Правила обхода полюсов в фейнмановских диаграммах

4 Инфракрасные эффекты

4.1 Инфракрасные сингулярности в эффективном токе

4.1.1 Приближения

4.1.2 Факторизация инфракрасных особенностей

4.2 Альтернативный метод рассмотрения инфракрасных эффектов. Уравнение для матрицы плотности электрона

4.3 Физический смысл инфракрасных сингулярностей

4.3.1 Качественное рассмотрение инфракрасной термализа-

ции

4.3.2 Инфракрасная термализация и релаксация по импульсам

4.3.3 Квантовая энтропия состояния электрона

4.4 Физические эффекты, связанные с инфракрасными сингу-лярностями

4.4.1 Необратимое расползание волнового пакета

4.4.2 Дифракция электронов

4.5 Калибровочные симметрии в эффективном поле

5 Релаксация электрона по импульсам

Заключение

А Закон Гаусса в калибровке Лоренца

В Квантовая энтропия в случае гауссового пакета

С Инфракрасные сингулярности и закон сохранения тока

D Инфракрасные особенности в эффективном поле на бесконечном интервале времени

D.1 Вклад от диаграмм, содержащих вершины типа 2

D.2 Факторизация инфракрасных особенностей

D.3 Модификация Л-регуляризации

Е Тождества Уорда в формализме Швингера-Келдыша на бесконечном интервале времени

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инфракрасные сингулярности в эффективном поле в квантовой электродинамике при конечной температуре»

Введение

Квантово-полевые модели, содержащие частицы с нулевой массой, занимают особое место в квантовой теории. В силу несохранения числа частиц их взаимодействие сопровождается рождением произвольного числа квантов безмассового поля. Как известно, это приводит к появлению инфракрасных расходимостей при расчете радиационных поправок к физическим процессам1. Значительное количество экспериментальных приложений квантовой теории поля связано с процессами рассеяния, поэтому наибольшее внимание уделялось исследованию инфракрасной проблемы в ¿'-матричном формализме. Так, в электродинамике было показано, что сечение рассеяния с образованием фиксированного числа безмассовых частиц, вычисленное с учетом радиационных поправок от виртуальных фотонов во всех порядках теории возмущений, равно нулю. С другой стороны, конечная разрешающая способность приборов не позволяет детектировать фотоны сколь угодно малой энергии. Поэтому инклюзивная вероятность, т.е. сумма вероятностей перехода в состояния, отличающиеся друг от друга лишь числом и энергиями мягких ненаблюдаемых фотонов, которая только и измеряется в экспериментах, является конечной величиной. Таким образом, расходимости, возникающие в результате интегрирования по малым импульсам виртуальных и излученных фотонов, сокращаются. Этот результат был впервые получен в работе [4] в рамках упрощенной модели электромагнитных взаимодействий, в которой, в частности, не учитывалось рождение электрон-позитронных пар, и известен как теорема Блоха-Нордсика. Впоследствии было получено обобщение этой теоремы на случай полной электродинамической теории [5,6], а также гравитации [7] и полей Янга-Миллса [8-11].

Указанные результаты справедливы в рамках Б-матричного формализма. Однако, не все физические процессы сводятся к рассеянию частиц. В

1 Одними из первых это отметили авторы работ |1-3]

частности, в работах [12,13] показано, что для измерения электромагнитного поля с максимальной точностью, определяемой соотношением неопределенностей, необходимо использовать макроскопический прибор. Отсюда следует, что изучая рассеяние элементарных частиц в данном поле, нельзя получить полную информацию о нем. Помимо этого, попытки вычислить поле исходя из значений 5-матричных элементов также встречают ряд принципиальных трудностей. Например, в электродинамике ¿"-матричное определение потенциала было предложено в работе [14], а для гравитационного поля — в [15]. Однако во втором случае было показано, что, используя упомянутый метод, невозможно получить однозначное значение поля [16-18]. Таким образом, для вычисления поля целесообразно рассматривать величины, отличные от матрицы рассеяния. Так как все статистические свойства электромагнитного поля содержатся в его операторе, полное его описание может быть получено в терминах квантовых средних значений произведений полевых операторов. Тогда результат [12,13] гарантирует, что все предсказания, полученные таким путем, могут быть проверены экспериментально. Одной из наиболее важных величин такого сорта является математическое ожидание самого оператора поля, называемое также средним, или эффективным, полем.

Эффективное поле играет важную роль при описании таких физических явлений как спонтанное нарушение симметрии в электрослабой теории, образование кварк-глюонная плазмы в хромодинамике, рождение пар частица-античастица и др. Тем не менее, аппарат среднего поля является гораздо менее разработанным, чем ¿"-матричный формализм. В частности, одна из открытых проблем заключается в том, что, в отличие от инклюзивных сечений рассеяния, инфракрасные сингулярности в эффективном поле не сокращаются. Однако проблема их интерпретации и исследования связанных с ними физических эффектов обходилась в большинстве работ. Например, если масса частиц достаточно велика, то можно формально пренебречь инфракрасно-расходящимися радиационными поправками. Предположения такого рода лежат в основе классического вычисления [19, 20] эффективного электромагнитного поля статического точечного источника, его обобщений [21,22], а также расчетов гравитационного поля [23-27]. Таким образом, авторы перечисленных работ вычисляли эффективное поле, создаваемое классическим источником, тем самым оставляя открытым вопрос о расчете поля, создаваемого элементарными частицами.

Другой важной проблемой является вопрос о калибровочной зависимости, т.е. зависимости эффективного поля от вспомогательных условий, накладываемых для фиксации калибровочной свободы. В квантовой электродинамике получен ряд существенных общих результатов в этой области. А именно, в общей форме доказана калибровочная независимость таких эффективных величин как лагранжиан Гейзенберга-Эйлера и среднее поле, создаваемое классическим источником [28-31]. Тем не менее, в квантовой гравитации вопрос остается открытым. Попытки получить значение значение эффективного метрического тензора, калибровочную зависимость которого можно было бы устранить соответствующим диффеоморфизмом пространства-времени, пока не увенчались успехом [23-25,32-40]. Проблема имеет место и в теориях с полями Янга-Миллса, калибровочная зависимость эффективного потенциала в которых исследовалась в работах [29,41-51].

Таким образом, вычисление инфракрасно-сингулярных вкладов в электромагнитном поле играет важную роль как с точки зрения предсказания возможных физических эффектов, связанных с ними, так и с точки зрения развития формализма среднего поля. Действительно, ряд общих открытых вопросов теории, таких как калибровочная зависимость и измеримость поля, решены в рамках квантовой электродинамики. И решение оставшейся проблемы инфракрасных особенностей будет гарантировать наличие физического смысла результатов расчета эффективного поля заряженных частиц.

Целью диссертационной работы является выяснение влияния инфракрасных эффектов на эволюцию электрона посредством изучения создаваемого им эффективного электромагнитного поля. Как будет показано, инфракрасные эффекты существенно усиливаются при наличии равновесного излучения, поэтому предметом исследования будет электрон, погруженный в тепловую баню фотонов. Рассмотрение конечных температур является также необходимым с принципиальной точки зрения, так как равновесное излучение, пусть и очень низкой температуры, всегда присутствует в эксперименте.

Анализ показывает, что инфракрасные особенности в эффективном поле приводят к наличию расходящихся интегралов, только если рассматривать эволюцию системы заряженных частиц, являющейся источником поля, на бесконечном промежутке времени. Действительно, из соотноше-

ния неопределенностей следует, что для излучения фотона энергии ш необходимо время порядка 1 /и. Если же система эволюционирует в течение времени т, то за этот конечный промежуток времени возможно излучение лишь конечного числа фотонов, энергия которых больше или порядка 1/т. Таким образом, рассматривая систему на конечном интервале времени, мы вводим эффективное обрезание импульсов инфракрасных фотонов на масштабе 1/т. Отсюда следует, что, хотя подход, основанный на процедуре адиабатического выключения взаимодействия при Ь —> — оо, широко распространен в квантово-полевых расчетах (эта процедура используется, в частности, при построении •Б'-матрицы), в присутствии безмассовых частиц использование понятия удаленного прошлого требует специального обоснования. Теорема Блоха-Нордсика дает такое обоснование в случае 5-матрицы, однако эффективное поле необходимо рассматривать на конечных интервалах времени.

Для решения поставленной задачи в диссертации предложена техника, основанная на методе Швингера-Келдыша [52,53] и формализме реального времени [54,55], позволяющая вычислять квантовые средние неравновесной системы, эволюционирующей в тепловой бане в течение конечного промежутка времени. Как будет показано, в среднем поле имеет место факторизация инфракрасных особенностей, аналогичная той, которая возникает при расчете амплитуд рассеяния. Это позволяет вычислить инфракрасно-сингулярный вклад, представляющий собой одну из ведущих при больших временах поправок в эффективное поле, с учетом всех порядков теории возмущений. В диссертации проделан соответствующий расчет, произведен анализ полученного результата и дана его физическая интерпретация в терминах термализации электрона.

В связи с исследуемыми проблемами в диссертации будет рассмотрен также вопрос о калибровочной зависимости эффективного поля, создаваемого квантовыми объектами, который, в отличие от случая классического источника, не разрешается работами [28-31]. А именно, будет показано, что при рассмотрении эволюции системы на конечном временном интервале оказывается невозможным произвести фиксацию калибровочной свободы, не нарушив явную Лоренц-инвариантность модели.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова. По теме диссертации опубликовано 3 статьи [129-131]. Основные результаты диссертации

докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Бооса Эдуарда Эрнстовича (ОЭФ-ВЭ НИИЯФ МГУ им. М.В.Ломоносова)

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Морозова Алексея Юрьевича (ИТ-ЭФ им. А.И. Алиханова)

• семинар под рук. д. ф.-м. н., проф. Смирнова Александра Дмитриевича (Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова)

• семинар лаборатории теоретической физики (ЛТФ им. H.H. Боголюбова ОИЯИ, Дубна)

• научная конференция "Ломоносовские чтения" 2009, 2013 года [132]

Объём и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка ис-. пользуемой литературы и четырех приложений.

В главе 1 приведены краткие сведения об инфракрасных особенностях в ¿"-матричном формализме, производится обзор работ, посвященных проблеме.

Доказательство теоремы Блоха-Нордсика для квантовой электродинамики в сокращенном виде приводится в § 1.1. Рассматривается вопрос о регуляризации электронных пропагаторов, лежащих на массовой оболочке. Вводится новый тип регуляризации — Л-регуляризация — имеющая ряд преимуществ по сравнению с известными при исследовании инфракрасных особенностей в эффективном поле.

§ 1.2 посвящен инфракрасным особенностям в других моделях. Даются краткие сведения о коллинеарных расходимостях в хромодинамике и электродинамике с безмассовыми заряженными частицами. Приводится обобщение теоремы Блоха-Нордсика для квантовой гравитации.

В главе 2 даны общие сведения о формализме эффективного поля в квантовой теории.

В § 2.1 обсуждается вопрос об измеримости поля. Показывается, что для его полного описания необходимо выйти за рамки ¿"-матричного формализма. Вводится понятие эффективного поля.

В § 2.2 описывается формализм Швингера-Келдыша, позволяющий вычислить значение эффективного поля. Метод излагается в двух случаях: на бесконечном интервале времени и на конечном временном промежутке — в той форме, в которой он использован в диссертационном исследовании.

В § 2.3 изложены основы формализма вещественного времени в квантовой теории при конечной температуре, который впоследствии используется при исследовании влияния тепловой бани на электрон.

В § 2.4 описываются открытые вопросы формализма эффективного поля. Одним из таких вопросов является проблема калибровочной и парамет-ризационной зависимостей эффективных величин. Она имеет место при рассмотрении квантовой гравитации и неабелевых калибровочных полей. Другим существенным вопросом является проблема интерпретации инфракрасных особенностей в эффективном поле и вычисления влияния на него инфракрасных эффектов. Диссертация посвящена решению этой проблемы, но также затрагивает и первый из сформулированных вопросов.

В главах 3-5 излагаются основные результаты диссертации.

Глава 3 посвящена постановке задачи, а также построению формализма для ее решения.

В § 3.1 формулируется математическая задача о вычислении эффективного тока и электромагнитного поля электрона в тепловой бане. Устанавливается связь этих величин с матрицей плотности электрона.

§ 3.2 посвящен особенностям формализма Швингера-Келдыша на конечном интервале времени в случае квантовой электродинамики. Исследуется вопрос фиксации калибровочной свободы теории. Указываются принципиальные трудности, препятствующие проведению этой процедуры кова-риантным образом. А именно, после перехода от калибровки Кулона к калибровке Лоренца методом Фаддеева-Попова в эффективном лагранжиане возникает нековариантный член.

Правила теории возмущений приведены в § 3.3. Обсуждаются их отличия от соответствующих правил в 5-матричном формализме. Доказывается эквивалентность калибровок, рассмотренных в предыдущем параграфе.

Глава 4 посвящена вычислению вклада инфракрасных сингулярностей в эффективное поле и интерпретации полученного результата в физических терминах. В § 4.1 инфракрасные поправки в эффективный ток вычислены прямым суммированием диаграмм как при конечной температуре, так и в вакуумном случае. Выделена ведущая асимптотика при больших временах и показано, что она определяется эффектами, связанными с тепловой баней фотонов. Дана интерпретация полученного результата в терминах электронной матрицы плотности.

В § 4.2 предложен непертурбативный метод вычисления асимптотики эффективного поля при больших временах, позволяющий получить приближенное уравнение для матрицы плотности электрона. Показано, как с его помощью можно произвести расчет ведущего инфракрасного вклада в эффективное поле.

Физический смысл полученных результатов раскрыт в § 4.3. Дается их качественный анализ, демонстрирующий связь инфракрасных сингулярностей с флуктуациями электромагнитного поля. Производится вычисление инфракрасной асимптотики квантовой энтропии электрона при больших временах. Исследуется роль рассматриваемых эффектов в термализации электрона в тепловой бане фотонов. Показывается, что в этом процессе могут быть выделены две составляющие: инфракрасная термализация и

обычная релаксация по импульсам электрона.

§ 4.4 посвящен возможным наблюдаемым эффектам, связанным с инфракрасными сингулярностями. Рассматривается практически наиболее важный случай электрона в равновесном излучении. Влияние тепловых фотонов низкой энергии на эволюцию локализованного электрона демонстрируется на примере гауссового волнового пакета. Также рассматривается двухщелевой эксперимент в тепловой бане. Прямым вычислением показывается, что инфракрасные особенности приводят к размазыванию интерференционной картины электронов, и получаются формулы, описывающие этот эффект. Производятся оценки, доказывающие возможность его экспериментальной регистрации.

В § 4.5 получаются и анализируются тождества, накладываемые на значение эффективного поля калибровочной инвариантностью теории. Аргументируется, что более целесообразно в данном случае рассматривать закон сохранения тока, нежели тождества Уорда, запись которых в импульсном представлении затруднена в задачах на конечном временном отрезке. На основе закона сохранения тока выведена формула, дополняющая результаты §§ 4.1 и 4.2.

Для составления целостной картины влияния тепловой бани фотонов на движение электрона в главе 5 произведен анализ релаксации распределения электрона по импульсам в рамках формализма эффективного поля. Показано, что метод, развитый в § 4.2, позволяет получить уравнение Больцмана, описывающее рассматриваемый процесс.

В приложении А на простом примере, раскрывающем роль нековариант-ного слагаемого в калибровке Лоренца, продемонстрировано использование построенной в главе 3 техники.

Приложение В дополняет § 4.3.3. Рассматривается частный случай, позволяющий вычислить значение энтропии электрона, применимое в более широком интервале времени, нежели асимптотика, полученная в § 4.3.3.

В приложении С результат, полученный в § 4.5 исходя из калибровочной симметрии теории, проверяется явным вычислением.

Приложение Э посвящено исследованию инфракрасных особенностей в рамках формализма эффективного поля на бесконечном интервале времени. Показывается, что используя А-регуляризацию, введенную в § 1.1, можно произвести качественную оценку инфракрасной термализации, согласующуюся с результатами § 4.1.

В приложении Е, дополняющем § 4.5, тождества Уорда получены в формализме Швингера-Келдыша на конечном временном интервале.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Никитин, Владимир Валерьевич

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

• Впервые самосогласованным образом получено конечное значение эффективного поля электрона с учетом взаимодействия с низкоэнергетическими фотонами. Показано, что для этого необходимо рассматривать задачу на конечном интервале времени. Вычислено влияние инфракрасных сингулярностей на эффективное электромагнитное иоле и электромагнитный ток электрона в двух случаях: в вакууме и в тепловой бане фотонов.

Доказана факторизация инфракрасных вкладов в эффективное поле.

Доказана калибровочная независимость результата.

• Раскрыт физический смысл инфракрасных особенностей в среднем поле.

Показано, что взаимодействие с мягкими фотонами приводит к декогеренции электронного состояния. Математически это выражается в диагонализации матрицы плотности электрона, которая имеет место как при конечной температуре, так и в вакууме. При наличии равновесного излучения недиагональные компоненты матрицы плотности уменьшаются со временем по экспоненциальному закону, а в вакуумном случае — лишь по степенному.

Доказана необратимость влияния инфракрасных эффектов на эволюцию электрона и вычислен их вклад в квантовую энтропию.

• Показано, что термализация разреженного электронного газа в равновесном излучении может быть представлена в виде двух независимых процессов: обычной релаксации распределения по импульсам, обусловленной электрон-фотонным рассеянием, и инфракрасной термализа-ции, связанной с низкочастотными флуктуациями электромагнитного поля. С математической точки зрения второй процесс описывается диагонализацией электронной матрицы плотности, первый — кинетическим уравнением для ее диагональных компонент.

Описаны возможные физические эффекты, связанные с инфракрасными особенностями в эффективном поле. Показано, что, несмотря на малость этих эффектов, они могут быть зарегистрированы с помощью современных измерительных приборов уже при температурах Т ~ 100 К. Получено явное выражение, описывающее интерференцию электронов в двухщелевом эксперименте с учетом инфракрасных сингулярностей.

Исследованы особенности техники Швингера-Келдыша на конечном интервале времени, возникающие при ее применении в квантовой электродинамике. Показана невозможность произвести фиксацию калибровки, не нарушив явную Лоренц-инвариантность модели.

Предложен непертурбативный метод вычисления асимптотики эффективного поля на больших временах. С его помощью вычислен ведущий инфракрасный вклад в эффективное поле электрона при конечной температуре. Также продемонстрировано, каким образом разработанный метод может быть использован для исследования релаксации по импульсам и получения уравнения Больцмана без предположения о квазиклассичности электрона.

Благодарности

Я считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю Пронину П.И. и доценту Казакову К.А. (кафедра теоретической физики физического факультета МГУ) за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы. Я глубоко признателен Егорову Ф.А. (ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН) и Баурову А.Ю. (МГУ) за дискуссии по теме проведенных исследований и о возможной экспериментальной проверки полученных результатов. Также хочу выразить благодарность Ахмедову Э.Т. (ИТЭФ), Юшкову Егору (МГУ), Никитину Н.В. (МГУ), Боосу Э.Э.(НИИЯФ МГУ) и другим сотрудникам ОЭФВЭ НИИЯФ МГУ, Славнову A.A., Грацу Ю.В., Борисову A.B., Жуковскому В.Ч., Соловьеву A.B., Степанянцу К.В., Пименову А.Б. участникам внутреннего семинара кафедры теоретической физики МГУ и всем сотрудникам кафедры за проявленный интерес к работе и ценные комментарии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитин, Владимир Валерьевич, 2013 год

Литература

[1] Mott N. F. On the influence of radiative forces on the scattering of electrons // Proc. Camb. Phil. Soc. - 1931. - 27. - Pp. 255-267.

[2] Sommerfeld A. Diffraction and Retardation of Electrons // Ann. Phys. -1931. - 11. - Pp. 257-330.

[3] Bethe H., Heitler W. On the Stopping of Fast Particles and on the Creation of Positive Electrons // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1934. - 146. -Pp. 83-112.

[4] Bloch F., Nordsieck A. Note on the Radiation Field of the Electron // Phys. Rev. - 1937. - 37. - Pp. 54-59.

[5] Yennie D. R., Frautschi S. C., Suura H. The Infrared Divergence Phenomena and High-Energy Processes // Ann. Phys. - 1961. - 13. -Pp. 379-452.

[6] Grammer G., Yennie D. R. Improved Treatment for the Infrared-Divergence Problem in Quantum Electrodynamics // Phys. Rev. D. -1973. - 8. - Pp. 4332-4344.

[7] Weinberg S. Infrared Photons and Gravitons // Phys. Rev. - 1965. - 140.

- Pp. B516-B524.

[8] Lee T. D.. Nauenberg M. Degenerate Systems and Mass Singularities // Phys. Rev. - 1964. - 133. - Pp. B1549-B1562.

[9] Kmoshita T. Mass singularities of Feynman amplitudes //J. Math. Phys.

- 1962. - 3. - Pp. 650-677.

[10] Sterman G., Weinberg S. Jets from Quantum Chromodynamics // Phys. Rev. Lett. - 1977. - 39. - Pp. 1436-1439.

11] Nakanishi N. General Theory of Infrared Divergence // Prog. Theor. Phys. - 1958. - 19. - Pp. 159-168.

12] Bohr N., R.osenfeld L. Zur Frage der Messbarkeit der elektromagnetischen Feldgrossen // Mat.-Fys. Medd. Dan. Vidensk. Selsk. - 1933. - 12. - Pp. 1-65.

13] Bohr N., R.osenfeld L. Field and Charge Measurements in Quantum Electrodynamics // Phys. Rev. - 1950. - 78. - Pp. 794-798.

14] Nambu Y. Force Potentials in Quantum Field Theory // Prog. Theor. Phys. - 1950. - 5. - Pp. 614-633.

15] Iwasaki Y. Quantum Theory of Gravitation vs. Classical Theory // Prog. Theor. Phys. - 1971. - 46. - Pp. 1587-1609.

16] Hilda K., Kikugawa M. Quantum Theory of Gravity and the Perihelion Motion of the Mercury // Prog. Theor. Phys. - 1971. - 46. - Pp. 16101622.

17] Hiida K., Okamura H. Gauge Transformation and Gravitational Potentials // Prog. Theor. Phys. - 1972. - 47. - Pp. 1743-1757.

18] Yokoya K., Shirnizu A., Kato H., Hiida K. Method for deriving the potential from the S matrix // Phys. Rev. D. - 1977. - 16. - Pp. 26552659.

19] Serber R.. Linear Modifications in the Maxwell Field Equations // Phys. Rev. - 1935. - 48. - Pp. 49-54.

20] Uehling A. E. Polarization Effects in the Positron Theory // Phys. R.ev. - 1935. - 48. - Pp. 55-63.

21] Bialymcki-Birula /.. Bialynicka-Birula Z. Quantum Electrodynamics. -Oxford: Pergamon, 1975.

22] Kaminski J. Z. Finite Temperature And Density Corrections To Quantum Electrodynamics //J. Phys. A: Math. Gen. - 1983. - 16 - Pp. 2587-2598.

23] Dalvit D. A. R.., Mazzitelli F. D. Geodesies, gravitons, and the gauge-fixing problem 11 Phys. Rev. D. - 1997. - 56. - Pp. 7779-7787.

[24] Dalvit D. A. B.., Mazzitelli F. D. Quantum corrected geodesies // Phys. Rev. D. - 1999. - 60. - Pp. 084018-084025.

[25] Dalvit D. A. R.., Mazzitelli F. D.; Molina-Paris C. One-loop graviton corrections to Maxwell's equations // Phys. R.ev. D. - 2001. - 63. - Pp. 084023-084034.

[26] Kazakov К. A. Classical Scale of Quantum Gravity // Int. J. Mod. Phys. D. - 2003. - 12. - Pp. 1715-1720.

[27] Kazakov К. A. Gauge dependence of the post-Newtonian radiative corrections and effective gravitational field of black holes // Phys. R.ev. D. - 2002. - 66. - Pp. 044003-044007.

[28] Фрадкин E. С. Метод функций Грина в теории квантованных полей и в квантовой статистике // Труды ФИАН. - 1965. - 29. - С. 7-138.

[29] Fukuda R.., Kugo Т. Gauge invariance in the effective action and potential // Phys. R.ev. D. - 1976. - 13. - Pp. 3469-3484.

[30] Каллош Р.Э., Тютин И. В. Теорема эквивалентности и калибровочная инвариантность в перенормируемых теориях // ЯФ - 1973. - 17. - С. 190-209.

[31] Воронов Б.Л., Лавров П.М., Тютин И.В. Канонические преобразования и зависимость от калибровки в калибровочных теориях общего вида // ЯФ - 1982. - 36. - С. 498-508.

[32] Vilkovisky G. A. The unique effective action in quantum field theory // Nucl. Phys. B. - 1984. - 234 - Pp. 125-137.

[33] Vilkovisky G. A. Effective action in quantum gravity // Class. Quantum Grav. - 1992. - 9. - P. 895.

[34] Kunstatter G., Leivo H. P. Gauge-dependence of self-consistent dimensional reduction // Nucl. Phys. B. - 1987. - 279. - Pp. 641-658.

[35] DeWitt B. S. Quantum Field Theory and Quantum Statistics. - Bristol: Hilger, 1987.

[36] Odintsov S. D. Does the Vilkovisky-De Witt effective action in quantum gravity depend on the configuration space metric?// Phys. Lett. B. -1991. - 262. - Pp. 394-397.

[37] Kantowski R... Marzban C. One-loop Vilkovisky-Dewitt counterterms for two-dimensional gravity plus scalar field theory // Phys. Rev. D. - 1992. - 46. - Pp. 5449-5457.

[38] Kazakov К. A., Pronin P. I. Gauge dependence of effective gravitational field // Phys. Rev. D. - 2000. - 62. - Pp. 044043-044057.

[39] Gribouk T. S.. Kazakov К. A., Pronin P. I. Gauge dependence of effective gravitational field. 2. Point - like measuring device // Phys. Rev. D. -2004. - 69. - Pp. 024005-024017.

[40] Грибук Т. С.. Казаков К. А., Пронин П. И. Калибровочная зависимость эффективного гравитационного поля // ТМФ. - 2004. - 141. -С. 375-391.

[41] Dolan L., Jackiw Р., Gauge-invariant signal for gauge-symmetry breaking // Phys. Rev. D. - 1974. - 9. - Pp. 2904-2912.

[42] Aitchison I. J. P., Fraser С. M. Gauge invariance and the effective potential // Ann. Phys. - 1984. - 156. - Pp. 1-40.

[43] Johnston D. Nielsen identities in the't Hooft gauge // Nucl. Phys. B. -1985. - 253. - Pp. 687-700.

[44] Johnston D. Nielsen identities for gauge-fixing vectors and composite effective potentials // Nucl. Phys. B. - 1987. - 283. - Pp. 317-330.

[45] Do Nascimento J. P.. S., Bazeia D. Gauge invariance of the effective potential // Phys. Rev. D. - 1987. - 35. - Pp. 2490-2494.

[46] De Lima A. F., Bazeia D. Gauge invariance and Nielsen identities // Z. Phys. C. - 1990. - 45. - Pp. 471-475.

[47] Ramaswamy S. Gauge invariance and the effective potential: The Abelian Higgs model // Nucl. Phys. B. - 1995. - 453. - Pp. 240-258.

[48] Nielsen N. K. On the gauge dependence of spontaneous symmetry breaking in gauge theories // Nucl. Phys. B. - 1975. - 101. - Pp. 173-188.

[49] Das A., Finite Temperature Field Theory. - Singapore: World Scientific, 1997. - Ch. 7.

[50] Metaxas D., Weinberg E. J. Gauge independence of the bubble nucleation rate in theories with radiative symmetry breaking // Phys. Rev. D. - 1996.

- 53. - Pp. 836-843.

[51] Oswaldo M. Del Cima, Daniel H.T. Franco, Olivier Piguet Gauge Independence of the Effective Potential Revisited // Nucl. Phys. B. -1999. - 551. - Pp. 813-825. - hep-th/9902084.

[52] Schwmger J. Brownian motion of a quantum oscillator //J. Math. Phys.

- 1961. - 2. - Pp. 407-432.

[53] Келдыш Л. В. Диаграммная техника для неравновесных процессов // ЖЭТФ. - 1964. - 20. - С. 1018.

[54] Niemi A. J., Semenoff G. W. Finite Temperature Quantum Field Theory in Minkowski Space // Ann. Phys. - 1984. - 152. - Pp. 105-129.

[55] Niem,i A. J., Sem.enojj G. W. Thermodynamic Calculations in Relativistic Finite Temperature Quantum Field Theories // Nucl. Phys. B. - 1984. -230. - Pp. 181-221.

[56] Bohrlich F., Jauch J. M. The Infra-Red Divergence // Helv. Phys. Acta.

- 1954. - 27. - P. 613.

[57] Горшков В. Г. К релятивистской теории возмущений кулоновского поля. Журнал экспериментальной и теоретической физики // ЖЭТФ.

- 1961. - 40. - С. 1481-1490.

[58] Aubert J. J., Becker U., Biggs P. J. et al. Experimental Observation of a Heavy Particle J // Phys. Rev. Lett. - 1974. - 33. - Pp. 1404-1406.

[59] Arnison G., Astbury A., Aubert B. et al. Experimental observation of lepton pairs of invariant mass around 95 GeV/c2 at the CERN SPS collider // Phys. Lett. B. - 1983. - 126. - Pp. 398-410.

[60] Arnison G., Astbury A., Aubert B. et al. Further evidence for charged intermediate vector bosons at the SPS collider // Phys. Lett. B. - 1983.

- 129. - Pp. 273-282.

[61] Kmoshita Т.. Sirhn A. Radiative Corrections to Fermi Interactions // Phys. Rev. - 1959. - 113. - Pp. 1652-1660.

[62] Грибов В.Н. Тормозное излучение адронов при высоких энергиях // ЯФ - 1967. - 5. - С. 399-404.

[63] Murota Т. On Radiative Corrections due to Soft Photons // Prog. Theor. Phys. - 1960. - 24. - Pp. 1109-1117.

[64] Magnus W. On the exponential solution of differential equations for a linear operator // Comm. Pure Appl. Math. - 1954. - 7. - Pp. 649-673.

[65] Dollard J. D. Asymptotic Convergence and the Coulomb Interaction // J. Math. Phys. - 1964. - 5. - P. 729-738.

[66] Chung V. Infrared Divergence in Quantum Electrodynamics // Phys. Rev.

- 1965. - 140. - Pp. B1110-B1122.

[67] Storrow B. Photons in S-matrix theory // Nuovo Cimento A. - 1968. -54. - Pp. 15-41.

[68] Kibble T. W. B. Coherent Soft-Photon States and Infrared Divergences.

I. Classical Currents 11 J. Math. Phys. - 1968. - 9. - Pp. 315-324.

[69] Kibble T. W. B. Coherent Soft-Photon States and Infrared Divergences.

II. Mass-Shell Singularities of Green's Functions // Phys. Rev. - 1968. -

173. - Pp. 1527-1535.

[70] Kibble T. W. B. Coherent Soft-Photon States and Infrared Divergences.

III. Asymptotic States and Reduction Formulas // Phys. Rev. - 1968. -

174. - Pp. 1882-1901.

[71] Kibble T. W. B. Coherent Soft-Photon States and Infrared Divergences.

IV. The Scattering Operator // Phys. Rev. - 1968. - 175. - Pp. 1624-1640.

[72] Кулиш П. П., Фадеев Л. Д. Асимптотические условия и инфракрасные расходимости в квантовой электродинамике // ТМФ. - 1970. - 4.

- С. 153-170.

[73] Zwanziger D. R.eduction Formulas for Charged Particles and Coherent States in Quantum Electrodynamics // Phys. Rev. D. - 1973. - 7. - Pp. 1082-1099.

[74] Zwanziger D. Scattering theory for quantum electrodynamics. I. Infrared renormalization and asymptotic fields // Phys. R.ev. D. - 1975. - 11. -Pp. 3481-3503.

[75] Zwanziger D. Scattering theory for quantum electrodynamics. II. Reduction and cross-section formulas // Phys. Rev. D. - 1975. - 11. -Pp. 3504-3530.

[76] Papanicolaou N. Infrared problems in quantum electrodynamics // Phys. Rep. - 1976. - 24. - Pp. 229-313.

[77] Прохоров Л. В. Инфракрасные и коллинеарные расходимости в калибровочных теориях // УФН. - 1999. - 169. - С. 1999-1221.

[78] Соловьев Л. Д. Аксиоматический метод в квантовой электродинамике // ТМФ. - 1974. - 18. - С. 3-13.

[79] Пронъко Г. П. Низкоэнергетические теоремы в S-матричной электродинамике // ТМФ. - 1974. - 18. - С. 203-211.

[80] Бажанов В. В., Пронъко Г. П., Соловьев Л. Д. Фотоны малой частоты в процессах со спиновыми частицами // ТМФ. - 1979. - 39. - С. 3-15.

[81] Landau L., Peierls В.. Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips fiir die relativistische Quantentheorie // Zs. Phys. - 1931. - Bd. 69, H. 1. -s. 56-70; перевод: Ландау Л., Пайерлс Р. Распространение принципа неопределенности на релятивистскую квантовую теорию // Ландау Л. Д. Собрание трудов, в 2 т. / под ред. Е. М. Лифшица. ; Т. 1. -Москва: Наука, 1969. - С. 56-70.

[82] DeWitt В. S. The quantization of geometry // Gravitation: an introduction to current research / Ed. by L. Witten. - New-York: Wiley, 1962. - Pp. 266.

[83] Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - (Теоретическая физика : в 10 т. / Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. ; Т. 10).

[84] Bogoliubov N. N. Problems of a dynamical theory in statistical physics // Gravitation: an introduction to current research / Ed. by I.J. de Boer, G.E. Uhlenbeck. - Amsterdam: North-Holland, 1962. - Vol. 1.

[85] Landsman N. P.. van Weert Ch. G. Real- and imaginary-time field theory at finite temperature and density // Phys. Rep. - 1987. - 145. - Pp. 141-249.

[86] Block F. Zur Theorie des Austauschproblems und der Remanenzerscheinung der Ferromagnetika // Z. Phys. - 1932. -74. - Pp. 295-335.

[87] Matsubara T. A New Approach to Quantum-Statistical Mechanics // Prog. Theor. Phys. - 1955. - 14. - Pp. 351-378.

[88] Kubo R. Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems // J. Phys. Soc. Jpn. - 1957. - 12. - Pp. 570-586.

[89] Thouless D. J. Use of Field Theory Techniques in Quantum Statistical Mechanics // Phys. Rev. - 1957. - 107. - Pp. 1162-1163.

[90] Montroll E. W., Ward J. C. Quantum Statistics of Interacting Particles; General Theory and Some Remarks on Properties of an Electron Gas // Phys. Fluids. - 1958. - 1. - Pp. 55-72.

[91] Абрикосов А. А., Горькое Л. П.. Дзялошинский И. Е. О применении методов квантовой теории поля к задачам квантовой статистики при конечных температурах // ЖЭТФ. - 1959. - 36(3). - С. 900908; перевод: Abrikosov A.A., Gor'kov L.P., Dzyaloshinskii I.E. On the application of quantum-field-theory methods to problems of quantum statistics at finite temperatures // Sov. Phys. JETP. - 1959. - 9. - Pp. 636-641.

[92] Фрадкин E.C. Метод функций Грина в квантовой статистике // ЖЭТФ. - 1959. - 36. - С. 1286.

[93] Martin Р. С., Schwmger J. Theory of Many-Particle Systems. I // Phys. Rev. - 1959. - 115. - Pp. 1342-1373.

[94] Бонч-Бруевич В.Л., Тябликов С.В. Метод функций Грина в статистической механике. - Москва: Физматлит, 1961. - 312 с.

[95] Kadanoff L. P., Baym G. Quantum Statistical Mechanics. - London: Benjamin/Cummings, 1962.

[96] Абрикосов А.А., Горькое Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. - Москва: Физматгиз. 1962.

[97] В аут G., Sessler А. М. Perturbation-Theory Rules for Computing the Self-Energy Operator in Quantum Statistical Mechanics // Phys. Rev. -1963. - 131. - P. 2345-2349.

[98] Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц. - Москва: Наука. - 1963.

[99] Martin Р. С. Sum Rules, Kramers-Kronig Relations, and Transport Coefficients in Charged Systems // Phys. Rev. - 1967. - 161. - Pp. 143155.

[100] Лифшиц E. M., Питаевский Л. П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. - Москва: Наука. Гл. ред. физ,-мат. лит., 1978. - (Теоретическая физика : в 10 т. / Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. ; Т. 9).

[101] Kubo P., Toda М., Hashitsume Н. Statistical Physics II: Nonequilibrium Statistical Mechanics. - Berlin: Springer, 1985.

[102] Dolan L., Jachw P. Symmetry behavior at finite temperature // Phys. Rev. D. - 1974. - 9. - Pp. 3320-3341.

[103] Leplae L.. Um,ezawa H., Manemia F. Derivation and application of the boson method in superconductivity // Phys. Rep. - 1974. - 10. - Pp. 151-272.

[104] Matsumoto H., Umezawa H., Whitehead J. P. Vacuum Diagrams in Perturbative Thermo Field Dynamics // Progr. Theor. Phys. - 1986. -76. - Pp. 260-282.

[105] Тютин И. В. Зависимость нелинейных квантовых теорий поля от выбора параметризации // ЯФ - 1982. - 35. - С. 222.

[106] Kluberg-Stern Н., Zuber J. В. Ward Identities and Some Clues to the Renormalization of Gauge Invariant Operators // Phys. Rev. D. - 1975. - 12. - Pp. 467-481.

[107] Kluberg-Stern H., Zuber J. B. Renormalization of Nonabelian Gauge Theories in a Background Field Gauge. 1. Green Functions // Phys. Rev. D. - 1975. - 12. - Pp. 482-488.

108] Kluberg-Stern H., Zuber J. B. Renormalization of Nonabelian Gauge Theories in a Background Field Gauge. 2. Gauge Invariant Operators // Phys. Rev. D. - 1975. - 12. - Pp. 3159-3180.

109] Тютин И.В. Еще раз о теореме эквивалентности // ЯФ - 2002. - 65 - С. 201-209.

110] Euler Н.. Heisenberg W. Consequences of Dirac's theory of positrons // Z. Phys. - 1936. - 98. - Pp. 714-732.

111] Schwmger J. On Gauge Invariance and Vacuum Polarization // Phys. Rev. - 1951. - 82. - Pp. 664-679.

112] Try on E. P. Quantum Electrodynamics in a Photon Sea // Phys. Rev. Lett. - 1975. - 32. - Pp. 1139-1142.

113] Weldon H. A. Bloch-Nordsieck cancellation of infrared divergences at finite temperature // Phys. R.ev. D. - 1991. - 44. - Pp. 3955-3963.

114] Weldon H. A. Suppression of bremsstrahlung at nonzero temperature // Phys. Rev. D. - 1994 - 49. - Pp. 1579-1584.

115] Weldon H. A. Cancellation of infrared divergences in thermal QED // Nucl. Phys. A. - 1994. - 566. - Pp. 581c-584c.

116] Indumathi D. Cancellation of infrared divergences at finite temperature // Ann. Phys. - 1998. - 263. - Pp. 310-339. - hep-ph/9607206.

117] Muller A. Finite Temperature QED: Non-Cancellation of Infrared Divergencies and Thermal Corrections to the Electron Magnetic Moment // hep-th/9912240.

118] Manjavidze J. ¿"-matrix description of the finite-temperature noneqilibrium media // hep-ph/9510251.

119] Faddeev L. D., Popov V. N. Feynman diagrams for the Yang-Mills field // Phys. Lett. B. - 1967. - 25. - Pp. 29-30.

120] Фаддеев Л. Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов // ТМФ. - 1969. - 1. - С. 3-18.

121] Славное А. А.. Фадеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. - Москва: Наука, 1988.

[122] Гитман Д. М., Тютин И. В. Каноническое квантование полей со связями. - Москва: Наука, 1986.

[123] Вайнберг С. Квантовая теория поля, в 3 т. Т. 1. Основы / Стивен Вайнберг ; пер. в англ. А. В. Беркова; под ред. Б. J1. Воронова. -Москва: ФАЗИС, 2002. - Перевод изд.: Quantum Theory of Fields. Vol. 1. Foundations / Steven Weinberg - second edition. - Cambridge University Press, 1996.

[124] Welton T. A. Some Observable Effects of the Quantum-Mechanical Fluctuations of the Electromagnetic Field // Phys. Rev. - 1948. - 74.

- Pp. 1157-1167.

[125] Von Neumann J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. -Princeton University Press, 1996.

[126] Davisson C., Germer L. H. Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel // Phys. Rev. - 1927. - 30. - Pp. 705-740.

[127] Ward J. C. An Identity in Quantum Electrodynamics // Phys. R.ev. -1950. - 78. - P. 182-182.

[128] Takahashi Y. On the generalized Ward identity // Nuovo Cim. - 1957. -6. - Pp. 371-375.

[129] Kazakov K. A., Nikitin V. V. On the infrared singularity of the effective electromagnetic field of free electrons //J. Phys. A: Math. Theor. - 2011.

- 44. - Pp. 315402-315430.

[130] Kazakov K. A., Nikitin V. V. An Interpretation of the infrared singularity of the effective electromagnetic field // Europhys. Lett. - 2010. - 92. - P. 61001. - 6 pp.

[131] Kazakov K. A.. Nikitin V. V. Large-time evolution of electron in photon bath // Ann. Phys. - 2012. - 327. - Pp. 2914-2945.

[132] Казаков К. А., Никитин В. В. Декогеренция электрона при взаимодействии с квантовыми флуктуациями электромагнитного поля // Ломоносовские чтения - 2013. Секция физики. Сборник тезисов докладов. — Москва, Физический факультет МГУ, 2013. - С. 141-144.