Информационные модели двухуровневых иерархических систем, функционирующих в условиях неопределённости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Родюков, Александр Витальевич

• Родюков, Александр Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Родюков, Александр Витальевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЗНАЧНОЙ РЕАКЦИЕЙ НИЖНЕГО УРОВНЯ.

1.1. Построение модели двухуровневой иерархической системы.

1.2. Метод штрафных функций и необходимые условия оптимальности.

1.2.1. Метод штрафных функций.

1.2.2. Сведение к задаче на максимум и необходимые условия оптимальности.

1.2.3. Пример.

1.3. Равновесие в иерархической системе.

1.3.1. Определение равновесия на основе функций выигрыша.

1.3.2. Необходимые условия оптимальности на основе принципа Лагранжа.

1.3.3. Пример.

1.3.4. Необходимые условия оптимальности в квадратичном случае.

1.3.5. Пример.

1.3.6. Свойства равновесия.

1.3.7. Равновесие с суммарным риском.

1.3.8. Пример.

ГЛАВА 2. СХЕМА ИНФОРМАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УРОВНЕЙ ИЕРАРХИИ ПРИ БЛАГОЖЕЛАТЕЛЬНОМ И НЕБЛАГОЖЕЛАТЕЛЬНОМ ОТНОШЕНИИ НИЖНЕГО УРОВНЯ.

2.1. Учёт Центром благожелательности нижнего уровня.

2.1.1. Описание модели.

2.1.2. Переход от задачи со связанными переменными к задаче с распадающимся переменными.

2.1.3. Скорость сходимости метода штрафов.

2.1.4. Сведение к задаче на максимум и необходимые условия оптимальности.

2.1.5. Пример.

2.2. Гарантированная оценка стратегий подсистемы Центром.

2.2.1. Описание модели.

2.2.2. Переход от задачи со связанными переменными к задаче с распадающимся переменными.

2.2.3. Скорость сходимости метода штрафов.

2.2.4. Сведение к задаче на максимум и-необходимые условия оптимальности.

2.2.5. Пример.

2.3 Сравнительный анализ.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С ДВУМЯ ЭЛЕМЕНТАМИ НИЖНЕГО УРОВНЯ.

3.1. Описание модели.

3.2. Бескоалиционный вариант (равновесие по Нэшу на нижнем уровне)

3.2.1. Построение вспомогательного критерия эффективности.

3.2.2. Переход от задачи со связанными переменными к задаче с распадающимся переменными.

3.2.3. Скорость сходимости метода штрафов.

3.2.4. Сведение к задаче на максимум и необходимые условия оптимальности.

3.2.5. Пример.

3.3. Кооперативный вариант (равновесие по Слейтеру на нижнем. уровне).

3.3.1. Описание модели.

3.3.2. Переход от задачи со связанными переменными к задаче с распадающимися переменными.

3.3.3. Оценка скорости сходимости.

3.3.4. Сведение к задаче на максимум и необходимые условия оптимальности.

3.3.5. Пример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Информационные модели двухуровневых иерархических систем, функционирующих в условиях неопределённости»

Актуальность. Информатизация современного общества -объективный, постоянно расширяющийся и углубляющийся процесс, причём практически не имеющий временных границ. Поэтому одной из важнейших задач является создание и исследование информационных моделей, информационных структур и характеризующих их процессов.

Построение информационной модели какой-либо системы (процесса) основано на сборе информации и установлении информационных взаимосвязей между её структурными элементами. Многие реальные модели разрабатываются как оптимизационные с целью экономии ресурсов, обеспечения эффективного функционирования системы. Значит определение оптимальных решений, установление их свойств и условий оптимальности являются главными этапами процесса исследования информационных моделей. Результаты такого исследования определяют важнейшее свойство модели - её предсказательную способность.

Наиболее сложными и в меньшей степени изученными являются информационные модели организационных систем, непосредственными участниками которых являются люди, объединенные общей целью, которая достигается на основе обговоренных правил обмена информацией. С 60-х годов прошлого века такие модели начали изучаться в формальном виде [7, 110]. Этому способствовали развивающиеся быстрым темпом социально-экономические организации, а также новый научно обоснованный метод исследования сложных систем - системный анализ.

Построением теоретических основ информационных моделей организационных систем на основе различных подходов занимались Бурков В. Н. [9], ГермейерЮ. Б. [20], Горелик В. А. [26], Евтушенко Ю. Г. [43], ЕрешкоФ. И. [13] Журавлев Ю. И. [51], Краснощекое П. С. [54], Кононенко А. Ф.[38], Матросов В. Л. [59], Моисеев Н. Н. [53], Мохонько Е. 3. [64], Петров А. А. [51], Рудаков К. В. [89], Новиков Д. А. [69], Федоров В. В. [98] и многие другие. Последние работы в этой области [8,10,16] посвящены исследованиям в рамках информационной теории активных систем (которая является разделом математической теории управления организационными системами).

Построение моделей с передачей информации представляет собой сложный процесс, который характеризуется количеством участников, их взаимоотношениями, определением порядка принятия решений и целями на каждом этапе. Необходимость точной фиксации соответствующих предположений об информации в каждый момент принятия решения позволяет создать правильное представление о процедурах и способах принятия решений. Очевидно, что само понятие оптимального решения может преобразовываться с изменением уровня информированности, так как поведение лица, принимающего решение (ЛПР), является функцией от той информации, которой он располагает на данный момент времени.

Исследование информационных систем укладывается в рамках общей теории принятия решений, являющейся составной частью научной дисциплины "Теоретические основы информатики" (ТОЙ), в которой изучаются процессы создания, накопления и обработки информации, методы преобразования информации в данные и знания.

Важной особенностью функционирования сложных систем является наличие различного рода возмущений или неконтролируемых факторов, и тогда говорят, что ЛПР действует в условиях неопределённости. Возникновение неопределённости в процессе принятия решения можно объяснить тем, что при построении математической модели учесть всё множество ограничений, в рамках которых протекает процесс, зачастую просто не представляется возможным, а также при передаче информации может происходить частичная её потеря или искажение, из-за чего при обмене ею вероятны конфликтные ситуации.

В процессе принятия решения возникающий конфликт не подразумевает непременное столкновение противоположных интересов, но в первую очередь является способом взаимодействия сложных систем, побуждает их к обмену информацией. Это становится причиной появления в формальной постановке задачи принятия решения многих целей, многих критериев оптимальности.

Многокритериальный подход к принятию решений развивается достаточно активно уже на протяжении почти 40 лет. Развитие теории многокритериальной оптимизации достаточно полно отражено в [47,48,71,76]. Основные методы теории многокритериальных задач нашли широкое применение в игровом подходе, так как он даёт возможность достаточно близко к реальности описывать сложные управляемые системы и принимать в них оптимальные решения. Теоретико-информационное моделирование выступает как метод исследования сложных социально-экономических систем.

Основы теоретико-игровых подходов при моделировании организационных систем в статических и динамических вариантах заложены в хорошо известных книгах АйзексаР. [1], БержаК. [5], БлэкуэллаД. и ГиршикаМ. [6], Воробьёва Н. Н. [15], КарлинаС. [52], Красовского Н. Н. [55], ЛьюсаР. Д. и Райфы X. [58], Неймана Дж. и Моргенштерна О. [65], Оуэна Г. [73]. Дальнейшие исследования в этой области отражены в работах [11, 22, 39, 75, 101-104,108-114].

Появление основ теории принятия решений при неопределённости следует отнести к началу второй половины XX века. В это время почти одновременно были предложены принципы максиминной полезности Вальда [114], минимаксного сожаления Сэвиджа [112] (идея которого использована в работе), пессимизма-оптимизма Гурвица [107], недостаточного основания Лапласа [106]. Каждому из принципов отвечает критерий оптимальности, использование которого приводит ЛПР к однозначному ответу.

Исходя из информированности ЛПР, в системном анализе [61] выделяют две группы неконтролируемых факторов: случайные и неопределённые. Неопределённые факторы характеризуются лишь областью возможных значений и являются наиболее часто встречающимися на практике. Поэтому их учету посвящено большое количество работ, например, [27,45,53,57,90,94]. Однако еще некоторые типы моделей принятия решений в организационных системах остались не исследованы, например, с критериями в виде функций риска.

Для информационной теории в условиях неопределённости популярны два общих подхода к принятию решений, названные соответственно "аналогом седловой точки" и "аналогом векторного максимина" [45,46,49] и основанные на использовании понятия векторной гарантии. В рамках этих подходов для формулировки определений гарантирующих решений широко используются принципы оптимальности Слейтера, Парето, Джоффриона, Нэша и др.

Как известно, что многие организационные системы имеют иерархическую структуру, когда имеется руководящий Центр (на верхнем уровне иерархии) и исполняющая его решения подсистема (на нижнем уровне). Иерархические отношения возникают, когда один или несколько ЛПР ограничивают множество решений (стратегий) остальных [17,20,26,40,64,72]. В соответствующей модели должны быть описаны принципы принятия решений Центром и подсистемой и процесс обмена информацией между ними.

Возникновение иерархической структуры обусловлено, как правило, трудностями для единого управляющего Центра своевременно собрать и обработать информацию об управляемых процессах. Это приводит к потере полноты и актуальности информации, что негативно сказывается на качестве решений. Поэтому Центр предоставляет определённые права принятия решений подсистемам, которые на своём уровне используют достоверную информацию. Информация в организационных системах является весьма приближенной. В такой ситуации большая точность при оптимизации бессмысленна и создает только ложное представление о степени достоверности результатов.

В настоящее время наибольший интерес представляют исследования иерархических систем в условиях неопределённости (или риска), которые, помимо неоднозначности выбора решений, включают неоднозначность внешней среды ("природы"). Дополнительные особенности вносит и независимая активность подсистем нижнего уровня. Дополнительный учёт неопределённых факторов даёт новые возможности для анализа моделей управляемых процессов и решения проблем обработки и передачи информации. Такие модели являются одними из основных видов информационных моделей, рассматриваемых в ТОЙ.

В рамках информационной теории иерархических систем и теории активных систем был развит и стал общепринятым теоретико-игровой подход к анализу и синтезу иерархических систем управления. В [26] был подведен некоторый итог развития информационной теории иерархических систем на основе гарантированного подхода к оценке стратегий в условиях неопределённости, связанной с самостоятельными действиями подсистем в условиях децентрализованной схемы принятия решений. А в [91] отмечено, что общие подходы к их решению можно условно разбить на два направления: 1) разработка необходимых и достаточных условий (на основе функции Лагранжа); 2) применение метода штрафов.

Аппарат информационной теории иерархических систем оказался эффективным, например, при исследовании экономических проблем и при управлении сложно структурированными системами. В частности, процесс компьютеризации общества привел к необходимости управления сложными компьютерными системами, когда отдельные её компоненты наделены правами принятия (локальных) решений, а вся система в целом подчиняется управляющему Центру (серверу). Выраженный экономический оттенок иерархических структур заставляет ЛПР сравнивать свои планируемые и реальные доходы. Поэтому исследование указанных систем началось на основе принципа минимаксного сожаления [106,111]. Наконец, отметим, что принятие решений может происходить либо централизованно (окончательное решение принимает верхний уровень) [16,30,56,60], либо децентрализованно (окончательное решение принимает нижний уровень) [90,93,105]. В диссертации рассмотрен централизованный способ управления иерархической системой. При этом одним из важнейших предположений является способность верхнего уровня уметь вычислять, при имеющейся у него информации, реакцию нижнего уровня на своё решение.

В информационной модели иерархической системы задача Центра состоит в том, чтобы в процессе функционирования системы добиться максимального гарантированного значения своего критерия эффективности. Данная цель при фиксированном способе передачи информации с заданными интересами нижнего уровня приводит к задаче определения максимина на связанных множествах [21, 23,37, 41, 42, 97].

Пару стратегий "Центр-Подсистема", как решение указанной только что задачи Центра, можно определить с двух позиций: в виде пошагового описания взаимодействия и в виде равновесия. В рамках указанных выше подходов различные равновесия в иерархических системах (моделях) при неопределённости исследовались, например, в работах Баратовой Е. Д. и Тараканова А. Ф. [2,92-96], Горелика В. А. [25-27], Кукушкина Н. С. [56], Чумакова В. В. [99]. В работах Новикова Д. А. [67,69] и Чхартишвили А. Г. [100,101] рассматривалась концепция построения информационного равновесия в рефлексивных моделях принятия решений в. случае взаимной информированности о значении неопределённости и о представлениях других участников.

Качество решения ЛПР можно оценивать не значением его функции выигрыша (полезности), а критерием оптимальности в виде функции риска. Первоначально термин "риск" применялся в экономике и характеризовал возможные потери в результате принятия решения из-за недостаточной информированности ЛПР. Постепенно стало ясно, что и в других областях приходится принимать решения, связанные с риском, он оказывается неизбежным, уклониться от рисковых решений просто невозможно [3,44,49].

Общее однозначное определение понятия риска дать сложно, и скорее всего невозможно из-за широкого спектра использования данного термина. Например, по определению Жуковского В. И. [50], риск - это возможность отклонения каких-либо величин от желаемых значений, возможность ненаступления каких-либо ожидаемых событий.

Современный взгляд на понятие "риск" основан на предположении, что он вызывается тем или иным действием ЛПР, а также наличием неопределённости, которая дополнительно может появляться из-за неполной информированности относительно параметров внешней среды и о принципах поведения других объектов модели. Оценка величины риска (значение функции риска) характеризует возможные потери ЛПР (не обязательно финансовые). Риск может оцениваться критерием минимаксного сожаления, который впервые предложил Сэвидж в 1951 г. [112] в виде принципа минимаксного сожаления для принятия решений в однокритериальных статических задачах и развит в [49] для статических и динамических многокритериальных задач и бескоалиционных игр при неопределённости. За меру риска берётся разница между максимально возможным значением показателя эффективности функционирования процесса и его реализовавшимся значением.

В [50] были изучены некоторые математические свойства функции риска и построен ряд гарантирующих равновесий для бескоалиционных моделей с квадратичными функциями выигрыша участников. Иерархические модели принятия решения с передачей информации в условиях неопределённости с риском не рассматривались.

Резюмируя вышесказанное, можно утверждать, что направления, связанные с исследованием иерархических моделей с передачей информации, являются перспективными как в плане развития собственно информационной теории сложных систем, так и в плане приложений к практике. Поэтому актуальная научная задача заключается в построении информационных моделей иерархических систем с передачей информации в условиях неполной информации о внешней среде, формализации соответствующих решений на основе понятия риска, изучении их свойств и получении условий оптимальности.

В диссертации решения формализуются с двух позиций: 1) описание информационного взаимодействия (указанием правил обмена информацией и порядка ходов), 2) реализация равновесия в системе (на основе соответствующего определения). Указанные позиции определили и способы получения условий оптимальности - на основе принципа Лагранжа и аппарата штрафных функций. Заметим, что метод штрафов, как способ снятия разнообразных ограничений и связей, позволяет решать проблемы, связанные и с наличием в задачах неопределённых параметров (см., например, [23,31,92,93,97]), и этот факт, как будет показано в работе, играет существенную роль. Последние результаты, связанные с применением метода штрафов в организационных системах, получены в работах [2,21,36].

Объектом исследования являются организационные системы, функционирующие в условиях неопределённости.

Предмет исследования - информационные модели двухуровневых иерархических систем с передачей информации при неопределённости с использованием функций риска, процессы принятия решений в таких системах, их свойства и условия оптимальности.

Научную новизну диссертации составляют результаты исследования моделей двухуровневых иерархических систем с передачей информации при неопределённости с учётом индивидуальных рисков и суммарного риска участников иерархической системы на основе теоретико-информационного подхода. Эти результаты относятся к области исследования специальности 05.13.17 - теоретические основы информатики: исследование информационных структур, разработка и анализ моделей информационных процессов и структур.

В основу исследования положена следующая гипотеза: с учётом способов взаимодействия и передачи информации между уровнями иерархии внутренние свойства системы), зафиксированных в математической модели иерархической системы, могут быть определены содержательные понятия решений с использованием функций риска, получены условия оптимальности и алгоритмы решения.

Целью диссертации является построение математических информационных моделей двухуровневых иерархических систем, функционирующих в условиях неопределённости, формализация процессов принятия решений в них с использованием функций риска, установление свойств этих решений, получение условий оптимальности и демонстрация их работоспособности на модельных примерах.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1) определить решения с риском (в форме равновесия и в форме описания информационного взаимодействия);

2) установить свойства указанных решений;

3) установить свойства индивидуальной и суммарной функций риска;

4) построить необходимые условия оптимальности решений, найти коэффициентные критерии в линейно-квадратичном случае;

5) построить алгоритмы, позволяющие численно решать задачи оптимизации в иерархических моделях.

Методологическую основу настоящего исследования составляют:

• выпуклый анализ [78];

• теория матриц [4,18];

• теория оптимизации [12,62,77,92];

• системный анализ [61,74];

• теория риска [49,50];

• информационная теория иерархических систем [19,20,26,40,80]. Практическая значимость исследования заключается в прикладной актуальности исследования информационных моделей иерархических систем. Используемый теоретико-информационный подход позволяет с достаточной степенью адекватности строить модели иерархических систем при неопределённых факторах, отвечающих реальным представлениям. Предложенные пути к выработке оптимальных решений на основе понятия равновесия и схем информационного взаимодействия учитывают различные ситуации, которые могут встречаться на практике, а использование критерия оптимальности в виде функции риска соответствует тому, что решения приходится принимать в условиях неопределённости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Анализ моделей информационного взаимодействия уровней иерархии в условиях неопределённости на основе принципов благожелательности и максимального гарантированного результата с использованием функций риска.

2. Анализ моделей взаимодействия Центра с подсистемами в условиях неопределенности при бескоалиционном и кооперативном вариантах взаимоотношений подсистем с использованием функций риска.

3. Обоснование метода штрафных функций для исследования информационных моделей иерархических систем с передачей информации в условиях неопредёленности (теоремы сходимости и оценка скорости сходимости).

4. Теоремы о необходимых условиях оптимальности решения Центра в условиях неопредёленности на основе принципов благожелательности и максимального гарантированного результата.

5. Свойства равновесия между уровнями иерархии в условиях неопределённости и необходимые условия оптимальности равновесия на основе принципа Лагранжа.

Апробация. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Семинарах по теории управления организационными системами, Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва, 20072009.

2. Семинаре отдела информационно-вычислительных систем в секторе математического моделирования конфликтных ситуаций, Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, Москва, 2009.

3. Международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленский государственный университет, Смоленск, 1921 мая 2008, 2009 гг.

4. XXXVIII региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" Институт математики и механики, Екатеринбург, 29 января-02 февраля 2007.

5. Воронежских весенних математических школах «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения XVIII, XIX». Воронежский I государственный университет, Воронеж, 3-9 мая 2008, 209.

6. V Московской международной конференции по исследованию операций, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Моисеева, Москва, Вычислительный центр РАН, 10-14 апреля 2007.

7. Международных научно-практической конференциях «Управление большими системами-2007, 2009», Институт проблем управления РАН, Москва, 14-15 ноября 2007, 17-19 ноября 2009.

8. IX Международной научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании», Борисоглебский государственный педагогический институт, Борисоглебск, 5 ноября 2008 г.

9. Научно-практических семинарах кафедры прикладной математики и информатики Борисоглебского государственного педагогического института, Борисоглебск, 2004-2009.

Структура работы

Диссертация содержит введение, три главы, заключение и список литературы в алфавитном порядке.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Родюков, Александр Витальевич

Заключение

В работе построен ряд математических информационных моделей двухуровневых иерархических систем, функционирующих в условиях неопределённости, с централизованным принципом управления.

При этом получены следующие основные результаты и выводы.

1. Разработаны модели информационного взаимодействия уровней иерархии в условиях неопределённости на основе принципов благожелательности и гарантированного результата с использованием функций риска.

2. Формализованы задачи взаимодействия уровней иерархии в условиях неопределённости при бескоалиционном и кооперативном варианте взаимоотношений подсистем, сводящиеся к максиминам со связанными переменными.

3. Проведено обоснование используемой формы метода штрафных функций для исследования информационных моделей иерархических систем с передачей информации в условиях неопределённости (теоремы сходимости и оценки скорости сходимости).

4. Сформулированы и доказаны теоремы о необходимых условиях оптимальности управления Центра на основе принципов благожелательности и гарантированного результата (аппарат - метод штрафных функций).

5. В случае однозначной реакции подсистемы на управление Центра сформулировано определение равновесия между уровнями иерархии в условиях неопределённости и исследованы его свойства (компактность множества равновесий, взаимозаменяемость ситуаций равновесия, неулучшаемость, связь с седловой точкой, внутренняя устойчивость, получены оценки значений функции полезности и их связь с максиминами).

6. Получены необходимые условия оптимальности равновесия в иерархических системах на основе принципа Лагранжа.

7. Приведены модельные примеры, показывающие работоспособность предлагаемых методов и алгоритмов.

Изложение всех результатов построено таким образом, чтобы была возможность использовать их и основные приёмы доказательства для анализа более сложных по структуре информационных моделей, например, при других вариантах информированности Центра, а также для случая нескольких подсистем и Центров при наличии вертикальных и горизонтальных связей.

Практическая значимость работы заключается в прикладной актуальности исследования информационных моделей иерархических систем. Использованный при этом теоретико-информационный подход позволил с достаточной степенью адекватности построить модели систем при неопределённых факторах, отвечающих реальным представлениям. Предложенные подходы к выработке оптимальных решений на основе понятия равновесия и схем информационного взаимодействия учитывают различные ситуации, которые могут встречаться на практике. Использование критерия оптимальности в виде функции риска соответствует тому, что решения приходится принимать в условиях неопределённости.

Вычислительные эксперименты показали, что предложенные в работе алгоритмы позволяют находить решение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Родюков, Александр Витальевич, 2009 год

1. Айзеке, Р. Дифференциальные игры Текст./ Р. Айзеке М.: Мир, 1967 — 479 с.

2. Баратова, Е.Д., Метод штрафов и необходимые условия оптимальности в дифференциальной иерархической игре при неопределенности Текст./ Е.Д. Баратова, А.Ф. Тараканов // Известия АН. Теория и системы управления-2003.- №4- С.342-348/.

3. Бардин, А.Е. Векторный риск в многокритериальных задачах Текст./ А.Е. Бардин, М.Е. Салуквадзе Тбилиси: Институт систем управления АН Грузии.- 1992.-28 с.

4. Беллман, Р. Введение в теорию матриц Текст./ Р. Беллман М.: Наука, 1969.-367 с.

5. Берж, К. Общая теория игр нескольких лиц Текст./ К. Берж- М.: Физматгиз, 1961.- 126'с.

6. Блекуэлл, Д. Теория игр и статистических решений Текст./ Д.Блекуэлл, М. Гиршик.-М.: ИЛ, 1958.-264 с.

7. Бурков, В.Н. Основы математической теории активных систем Текст./ В.Н. Бурков-М.: Наука, 1977.-255 с.

8. Бурков, В. Н. Как управлять организациями Текст./ В.Н. Бурков, Д.А. Новиков М.: Синтег, 2004 - 400 с.

9. Бурков, В.Н. Механизмы функционирования организационных систем Текст./В.Н. Бурков, В.В. Кондратьев-М.: Наука, 1981.-384 с.

10. Ю.Бурков, В.Н. Механизмы управления эколого-экономическими системами Текст./ В.Н. Бурков, Д.А. Новиков, A.B. Щепкин.- М.: Физматлит, 2008245 с.

11. П.Вайсборд, Э.М. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения Текст./ Э.М. Вайсборд, В.И. Жуковский.- М.: Советское радио, 1980.-304 с.

12. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации Текст./ Ф.П. Васильев,- М.: издательство «Фактор-Пресс», 2004 824 с.

13. Ватель И.А. Математика конфликта и сотрудничества Текст./ И.А. Ватель. Ф.И. Ерешко М.: Знание, 1973 64 с.

14. Вилкас, Э.И. Аксиоматическое определение ситуации равновесия и значения бескоалиционной игры Текст. / Э.Й Вилкас // Теория вероятностей и её применение, 1968. Т. 13, №3.- С. 586-591.

15. Воробьев, H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры Текст./ H.H. Воробьев,-М.: Наука, 1984.-496 с.

16. Воронин, A.A. Математические модели организаций Текст./ A.A. Воронин, М.В. Губко, С.П. Мишин, Д.А. Новиков.-М.: ЛЕНАНД, 2008.- 359с.

17. Воронин, A.A. Оптимальные иерархические структуры Текст./ A.A. Воронин, С.П. Мишин.- М.: ИПУ РАН, 2003.-214 с.

18. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц Текст./ Ф.Р. Гантмахер,- М.: Гос. издат. технико-теорет. лит-ры, 1953.-492 с.

19. Гермейер, Ю.Б. Введение в теорию исследования операций Текст./ Ю.Б. Гермейер- М.: Наука, 1971.-383 с.

20. Гермейер, Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами Текст./ Ю.Б. Гермейер-М.: Физматлит, 1976-328 с.

21. Гермейер, Ю.Б. К задаче отыскания максимина с ограничениями Текст./ Ю.Б. Гермейер // Журн. вычисл. матем. и матем. физ- 1970 Т. 10, №1-С.39-54.

22. Гермейер, Ю.Б. К теории игр трех лиц Текст./ Ю.Б. Гермейер // Журн. вычисл. матем. и матем. физ 1973 -Т. 13, №6. С. 1459-1468.

23. Гермейер, Ю.Б. Приближенное сведение с помощью метода штрафных функций задачи определения максимина к задаче определения максимума Текст./ Ю.Б. Гермейер // Журн. вычисл. матем. и матем. физ 1969 - Т.9, №3.- С.730-731.

24. Горелик, В.А. Анализ модели иерархической системы с горизонтальными связями на нижнем уровне Текст./ В.А.Горелик, A.B. Родюков,

25. А.Ф. Тараканов // Труды междунар. научно-практич. конфер. «Управление большими системами 2009».- М.: ИПУ РАН,- 2009. - С. 76-79.

26. Горелик, В.А. Иерархическая игра в условиях неопределенности с использованием функций риска игроков и гарантированной оценки стратегий Текст./ В.А. Горелик, A.B. Родюков, А.Ф. Тараканов // Известия РАН. Теория и системы управления 2009, №6- С. 94-101.

27. Горелик, В.А. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления Текст. / В.А. Горелик, М.А. Горелов, А.Ф. Кононенко М.: Радио и связь, 1991.-288 с.

28. Горелик, В.А. Гарантирующее абсолютное активное равновесие в статической коалиционной игре при неопределённости Текст./ В.А. Горелик, А.Ф. Тараканов // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов М.: ВЦ РАН, 2004 - С.78-93.

29. Горелик, В.А. Гарантирующее равновесие в иерархической игре двух лиц при неопределенности с риском Текст./ В.А. Горелик, A.B. Родюков,

30. A.Ф. Тараканов // Системы компьютерной математики и их приложения. Материалы международной конференции. Выпуск 9 Смоленск: СмолГУ, 2008 - С.149-151.

31. Горелик, В.А. Основы исследования операций Текст./ В.А. Горелик, Т.П. Фомина // Учебное пособие.- М.: МПГУ, ЛГПУ, 2004.- 248 с.

32. Горелик, В.А. Иерархические оптимизационно-координирующие системы Текст./ В.А. Горелик // Кибернетика.- 1978, №1.- С. 87-94.

33. Горелик, В.А. Максиминные задачи на связанных множествах в банаховых пространствах Текст./ В.А. Горелик // Кибернетика 1983, № 1- С.64-67.

34. Горелик, В.А. Моделирование принятия решений в иерархических системах в условиях неопределённости с учётом риска Текст./

35. B.А. Горелик, A.B. Родюков // Системы компьютерной математики и их приложения. Материалы международной конференции. Выпуск Ю.Смоленск: СмолГУ, 2009-С. 169-173.

36. Горелик, В.А. О решении иерархической игры при неопределенности с функциями риска игроков Текст./ В.А. Горелик, A.B.Родюков, А.Ф. Тараканов // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов-М.: ВЦ РАН, 2006 С. 15-33.

37. Горелик, В.А. Об одном подходе к решению минимаксных задач оптимального управления Текст./ В.А. Горелик, В.В. Федоров // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.- 1976, №1.-С.45-54.

38. Горелик, В.А. Приближенное нахождение максимина с ограничениями, связывающими переменные Текст. / В.А. Горелик // / Журн. вычисл. матем. и матем. физ.- 1972.- Т.5, № 2.- С.510-517.

39. Горелик, В.А. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах Текст./ В.А. Горелик, А.Ф. Кононенко М.: Наука, 1982.- 144 с.

40. Губко, М.В. Теория игр в управлении организационными системами Текст./ М.В. Губко, Д.А. Новиков.- М.: ИПУ РАН, 2005.-138 с.

41. Губко, М.В. Математические модели оптимизации иерархических структур Текст./ М.В. Губко.- М.: ЛЕНАНД, 2006.- 264 с.

42. Демьянов, В.Ф. А.М.Рубинов. Приближенные методы решения экстремальных задач Текст./ В.Ф.Демьянов, Рубинов A.M.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1968 180 с.

43. Демьянов, В.Ф. Введение в минимакс Текст./ В.Ф.Демьянов, В.Н.

44. Малоземов -М.: Наука, 1972 368 с.

45. Евтушенко, Ю. Г. Некоторые численные методы решения игр с непротивоположными интересами Текст./ Ю.Г.Евтушенко // Исследование операций, Вып. 4.- М.: Изд-во ВЦ АН СССР, С.219-235.

46. Жуковская, Л.В. Математические основы риска в игровых системах Текст./ Л.В. Жуковская.- М.: РосЗИТЛП, 2002.- 104 с.

47. Жуковский, В.И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения Текст./ В.И. Жуковский М.: Эдиториал УРСС, 2001 - 336 с.

48. Жуковский, В.И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры Текст./ В.И. Жуковский, A.A. Чикрий.-Киев: Наукова думка, 1994.- 320 с.

49. Жуковский, В.И. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления Текст./ В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе- Тбилиси: МЕЦНИЕРЕБА, 1996.-480 с.

50. Жуковский, В.И. Равновесные управления многокритериальных динамических систем Текст./ В.И. Жуковский, Н.Т. Тынянский М.: Изд-во МГУ, 1984.-204 с.

51. Жуковский, В.И. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности Текст./ В.И. Жуковский, Л.В. Жуковская М.: Эдиториал УРСС, 2004.- 272 с.

52. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике Текст./ С. Карлин.-М.: Мир, 1964 838 с.

53. Кононенко, А.Ф. Принятие решений в условиях неопределенности Текст./ А.Ф. Кононенко, А.Д. Халезов, В.В.Чумаков.- М.: ВЦ АН СССР, 1991.198 с.

54. Краснощеков, П.С. Принципы построения моделей Текст./ П.С.Краснощеков, A.A.Петров-М.: ФАЗИС, 2000.-424 с.

55. Красовский, H.H. Позиционные дифференциальные игры Текст./ H.H. Красовский, А.И. Субботин-М.: Наука, 1974.-456 с.

56. Кукушкин, Н.С. Бескоалиционные игры трех лиц с фиксированной иерархической структурой Текст./ Н.С. Кукушкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1979.- Т.19, №4.- С. 896-911.

57. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности Текст./ А.Б. Куржанский М.: Наука, 1977 - 642 с.

58. Льюс, Р.Д. Игры и решения Текст./ Р.Д. Льюс, X. Райфа,- М.: ИЛ, 1961642 с.

59. Матросов, В.Л. Теоретические основы информатики. Текст./ Горелик В.А., Жданов С.А., Муравьева О.В., Угольникова Б.З. Учебное пособие- М.: МПГУ, 2005.-296 с.

60. Меньшиков, И.С. Игра трех лиц с фиксированной последовательностью ходов Текст./ И.С. Меньшиков // Журн. вычисл. матем. и матем. физики-1975,-Т.15, №5.-С.1148-1156.

61. Моисеев, H.H. Математические задачи системного анализа Текст. / H.H. Моисеев-М.: Наука, 1981.-488 с.

62. Моисеев, H.H., Методы оптимизации Текст./ H.H. Моисеев, Ю.П. Иванилов, Е.М. Столярова.-М.: Наука, 1978.-472 с.

63. Мохонько, Е.З. О дифференциальной игре с неточным знанием терминального выигрыша, I Текст./ Е.З. Мохонько // Сообщения по прикладной математике М.: ВЦ РАН, 1994 - 64 с.

64. Мохонько, Е.З. Управление информационными потоками в неантагонистических динамических играх Текст./ Е.З. Мохонько М.:ВЦ РАН, 1992.- 115 с.

65. Нейман, Дж. Теория игр и экономическое поведение Текст./ Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн.-М.: Наука, 1973.-230 с.

66. Никайдо, X. Заметка о бескоалиционных выпуклых играх // Бесконечныеантагонистические игры Текст./ X. Никайдо, К. Исода. Под. ред. H.H. Воробьева-М.: Физматгиз, 1963- С.449-458.

67. Новиков, Д.А. Информационное равновесие: точечные структуры информированности Текст./ Д.А. Новиков, А.Г. Чхартишвили // Автоматика и телемеханика 2003, №10 - С.111-122.

68. Новиков, Д.А. Сетевые структуры и организационные системы Текст./ Д.А. Новиков,-М.: ИПУ РАН, 2003.- 102 с.

69. Новиков, Д.А. Стабильность информационного равновесия в рефлексивных играх Текст./ Д.А. Новиков, А.Г. Чхартишвили // Автоматика и телемеханика- 2005jä№2 С.1-9.

70. Новиков, Д.А., Теория управления организационными системами Текст./ Д.А. Новиков-М:. Физмалит, 2005 583 с.

71. Новикова, Н.М. Многокритериальные задачи принятия решения в условиях неопределенности Текст./ Н.М. Новикова, И.И. Поспелова М.: ВЦ РАН, 2000,- 64 с.

72. Новикова, Н.С. Игры двух и трех лиц со связанными ограничениями при фиксированном порядке ходов Текст./ Н.С. Новикова // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1976.-Т. 16, №2.-С. 326-329.

73. Оуэн, Г. Теория игр Текст./ Г. Оуэн М.: Мир, 1971 - 708 с.

74. Перегудов, Ф.И. Введение в системный анализ Текст./ Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тарасенко.-М.: Высшая школа, 1989.-367 с.

75. Петросян, JI.A. Теория игр Текст./ JI.A. Петросян, H.A. Зенкевич, Е.А. Семина М.: Высшая школа, 1998 - 304 с.

76. Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач Текст./ В.В. Подиновский, В.Д. Ногин М.: Наука, 1982 - 254 с.

77. Понтрягин, Л.С. Избранные научные труды. Том 2 Текст./ Л.С. Понтрягин.- М.: Наука, 1988 576 с.

78. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи Текст./ Б.Н. Пшеничный-М.: Наука. Глав, редакция физ.-матем. лит., 1980.-320 с.

79. Родюков, А.В. О равновесиях и их свойствах в двухуровневых иерархических системах при неопределенности Текст./ А.В. Родюков, А.Ф. Тараканов // Системы управления и информационные технологии.-2008, №2(32).-С. 16-20.

80. Родюков, А.В. Математическая модель коалиционно-иерархической игры в условиях неопределённости с риском Текст./ А.В. Родюков, А.Ф. Тараканов // Теория активных систем / Труды международной научно-практической конференции.-М.: ИПУ РАН, 2007 С.81-84.

81. Родюков, А.В. О решении иерархической игры при неопределенности с суммарным риском игроков Текст./ А.В. Родюков, А.Ф. Тараканов // Известия АН. Теория и системы управления.-2007, № 5- С. 11-17.

82. Родюков, A.B. Иерархическая игра при неопределенности с функциями риска Текст./ A.B. Родюков, А.Ф. Тараканов // Современные наукоемкие технологии,- 2007, № 5- С. 11-16.

83. Рудаков, К.В. Теория универсальных и локальных ограничений для алгоритмов распознавания / Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.- Москва, ВЦ РАН, 1992- 274 с.

84. Современное состояние теории исследования операций Текст./ Под ред. H.H. Моисеева-М.: Наука, 1979.-464 с.

85. Сухарев, А.Г. Курс методов оптимизации Текст./ А.Г. Сухарев, A.B. Тимохов, В.В. Федоров.-М.: Наука, 1986,- 328 с.

86. Тараканов, А.Ф. Децентрализованное управление иерархической системой в условиях неопределённости Текст./ А.Ф. Тараканов // Системы управления и информационные технологии: Сб. тр. Вып.9- Воронеж: Центральночернозёмное изд-во, 2002 С.93-98.

87. Тараканов, А.Ф. Дифференциальная игра двух коалиций в условиях неопределённости Текст./ А.Ф. Тараканов // Известия АН. Теория и системы управления.-2003, № 3. С.211-219.

88. Тараканов, А.Ф. Решение Нэша-Слейтера иерархической игры в условиях неопределённости Текст./ А.Ф. Тараканов // Известия АН. Теория и системы управления. 2000, № 4, С.70-77.

89. Тараканов, А.Ф. Решение Штакельберга-Слейтера статической иерархической игры в .условиях неопределённости Текст./ А.Ф. Тараканов, А.Н.Говоров // Успехи современного естествознания 2003, №10.-'С.116-127.

90. Федоров, В.В. О методе штрафных функций в задаче определения максимина Текст./ В.В. Федоров // Журн. вычисл. матем. и матем. физ-1972.- Т. 12, №2.- С.321-333.

91. Федоров, В.В. Численные методы максимина Текст./ В.В. Федоров.- М.: Наука, 1979.-280 с.

92. Чумаков, В.В. Определение и свойства оптимальных управлений согласованной иерархической системы при наличии неконтролируемых воздействий Текст./ В.В. Чумаков // Журн. вычисл. математ. и мат. физики.-1990.- Т.30, №10.- С.1443-1453.

93. Чхартишвили, А.Г. Информационное равновесие / Управление большими системами. Сб. тр. молодых ученых. Выпуск 3. Общая редакция -Д.А. Новиков. М.: ИЛУ РАН, 2003.- С. 94 109.

94. Чхартишвили, А.Г. Теоретико-игровые модели информационного управления Текст./ А.Г. Чхартишвили М.: ПМСОФТ, 2004- 227 с.

95. Arrow K.J. Alternative approaches to the theory of choice in risk-taking situations // Econometrica.- 1951- V.19 P. 404-437.

96. Aumann, R.J., Peleg, B. Von Neumann-Morgenstern solutions to cooperative games without side payments // Bull. Amer. Math. Soc. 1960. 66. P. 173-179.

97. Basar, T., Olsder, G.J. Dynamic Noncooperative Game Theory London: Academic Press, 1995.- 274 p.

98. Chen, C.J., Crus, J.B. Stackelberg solution for two-person games with biased information patterns // IEEE Trans. Automat. Contr- 1972 V. 17, No 6- P.791-798.

99. Ferro, F. Minimax theorem for vector-valued functions // J. Optimiz. Theory and Appl.- 1989 V.60- P. 19-31.

100. Hurwicz, L. Optimality criteria for decision making under ignorance // Cowles Commission Discussion Paper, Statistics. 1951. V.2.-P.370-375.

101. Jentzch, G. Some thoughts on the theory of cooperative games / Advances in game theory // Ann. Math. Studies.- 1964,- V.52.- P.407-442.

102. Mehlmann, A. Applied Differential Games.- New York: Plenum Press, 1991.-243 p.

103. Myerson, R. B. Game theory: analysis of conflict London: Harvard Univ. Press, 1991.-568 p.

104. Petit, M.L. Control Theory and Dynamic Games in Economic Policy Analysis Cambridge: Cambridge University Press, 1990. - 160 p.

105. Savage L.Y. The theory of statistical decision // J. American Statistics Association. 1951. N 46. P.55-67.

106. Simaan, M., Crus, J.B. On the Stackelberg's strategy in nonzero-sum games //J. Optimiz. Theory. Appl.- 1973.-V.ll, No.5.-P. 533-555.

107. Wald, A. Statistical Decision Functions-N.Y.: Wiley, 1950 320 p.