Информационно-измерительная система для экспериментальных исследований в микробиологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.16, кандидат технических наук Прохорова, Татьяна Николаевна

• Прохорова, Татьяна Николаевна
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Прохорова, Татьяна Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ В МИКРОБИОЛОГИИ.

1.1. Задачи, решаемые в микробиологических ИИС.

1.2. Анализ дескриптивного метода распознавания в микробиологии.

1.3. Исследование возможностей использования двумерных ортогональных преобразований для обработки изображений.

1.4. Моделирование процессов в ИИС.

1.5. Выводы.

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, ФИЛЬТРАЦИЯ И РАСПОЗНАВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ИИС С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ ЭРМИТА.

2.1. Функции Эрмита двух переменных.

2.2. Использование дискретного спектра Эрмита для представления и обработки изображений.

2.3. Выводы.

3. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ПРИЗНАКИ ДЛЯ СОЗДАНИЯ РАСПОЗНАЮЩЕЙ ЭКСПЕРТНОЙ СИСТЕМЫ.

3.1. Разработка дескриптивных признаков для распознавания микробиологических признаков.

3.2. Методы использования введенных признаков в рамках дескриптивного подхода к распознаванию.

3.3. Выводы.

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ СЕТЕЙ ПЕТРИ ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПАРАЛЛЕЛЬНО ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ ИИС.

4Л. Сети Петри с самосинхронизацией.

4.2. Адаптивные сети Петри.

4.3. Выводы.

5. РЕАЛИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИИС ДЛЯ

МОЛОЧНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ.

5.1. Использование информационно-измерительной системы в производстве кисломолочных продуктов.

5.2. Метод представления данных в банке ИИС.

5.3. Построение схемы использования ИИС в технологическом процессе на основе модифицированных сетей Петри.

5.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Информационно-измерительная система для экспериментальных исследований в микробиологии»

Актуальность темы. Современные информационноизмерительные системы (ИИС) широко используются для автоматического анализа микробиологических изображений. Проблема идентификации и классификации микрообъектов актуальна для медицинских исследований (выделение болезнетворных бактерий), в пищевой промышленности (селекция и идентификация молочнокислых бактерий), в теоретических микробиологических исследованиях, в микробиологической промышленности [30, 32, 33, 34, 50].

Анализ микрообъектов - трудоемкая, многофакторная задача, требующая учета большого числа параметров и запоминания больших объемов информации, поэтому недостаточно эффективно решается оператором [28,45,46]. Использование информационно-измерительных систем позволяет сделать такой анализ более эффективным и обладает следующими преимуществами:

1. Объективизация получаемых данных как следствие количественного анализа, основанного на большой статистике.

2. Расширение круга решаемых задач.

3. Значительное повышение скорости и точности исследований.

4. Освобождение человека от утомительных и повторяющихся операций.

Указанные обстоятельства определили выбор объекта исследования, который может быть охарактеризован как ИИС, предназначенная для измерения параметров, идентификации, распознавания и систематизации микробиологических изображений.

Задачи извлечения полезной информации из изображения, такие как измерение параметров объектов, подсчет их количества в поле зрения, выделение характерных признаков объектов с целью отнесения их к определенному классу, является далеко не тривиальной задачей [1,2,4,15,27,30,36,40,51,58,67,68,72,87,88,95]. Микробиологические изображения обладают рядом особенностей, которые делают использование известных методов обработки и распознавания изображений недостаточно эффективными. В частности, традиционно используемые для представления двумерных сигналов спектры образуют в рассматриваемом случае медленно сходящиеся ряды. Кроме того, сложная ИИС, в которой обрабатываются большие объемы информации, должна быть реализована как многопроцессорная система или сеть ЭВМ с параллельным вычислением алгоритмов.

Указанные обстоятельства определили выбор предмета исследования диссертации, который может быть охарактеризован как разработка специального математического, алгоритмического и программного обеспечения, выполняющего обработку графической информации в информационно-измерительной системе на основе дискретного двумерного преобразования Эрмита и инвариантных преобразований изображений, а также методы анализа и синтеза алгоритмов и сетей ЭВМ с помощью модифицированных сетей Петри.

Целью диссертационной работы является создание математических моделей и вычислительных средств, используемых при создании ИИС.

В соответствии с поставленной целью автором решены следующие задачи:

1) исследовано дискретное двумерное преобразование Эрмита, теоретически обоснован метод его использования для обработки изображений;

2) предложены распознающие процедуры, способные обеспечить высокую точность измерения и анализа микробиологических микрообъектов;

2) предложена математическая модель ИИС с использованием модифицированных сетей Петри, представимых четырехдольными мультиграфами и позволяющих создавать наиболее оптимальные схемы построения и функционирования ИИС.

4) экспериментально подтверждена эффективность предложенных алгоритмов измерения и распознавания, а также предложенных модифицированных сетей Петри при построении ИИС.

Методы исследования. Для достижения поставленной цели используются методы теории ортогональных преобразований, линейной алгебры, теории сетей Петри, теории дискретизации, математического анализа, теории вероятностей.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Предложен метод обработки изображений на основе ортогонального базиса функций Эрмита двух переменных. Проведено теоретическое исследование, позволяющее обосновать использование спектра Эрмита для обработки изображений. Предложено и теоретически обосновано дискретное преобразование Эрмита.

2. Предложены формальные признаки для анализа микрообъектов и алгоритмы их реализации.

3. Разработаны модификации сетей Петри, представляемые с помощью четырехдольных ориентированных мультиграфов, позволяющие оптимальным образом моделировать параллельные процессы в ИИС.

4. Проведено исследование алгоритмизируемое™ признаков, используемых в микробиологических исследованиях.

Практическая ценность работы заключается в применении теоретических положений и выводов диссертации для решения практических задач по функционированию и построению ИИС для экспериментальных исследований в микробиологии:

1. Разработаны формальные алгоритмы представления, обработки и анализа изображений с помощью двумерного дискретного спектра Эрмита.

2. Разработаны алгоритмы измерения параметров и выделения признаков изображений, инвариантных к стандартным преобразованиям и деформации.

3. Разработаны методы синтеза оптимальной структурной схемы параллельно функционирующей информационно-измерительной системы и параллельного выполнения алгоритмов на основе модифицированных (адаптивных) сетей Петри. Предложенные модификации сетей Петри позволяют в несколько раз сократить объем моделирующих программ.

Реализация результатов диссертационной работы. Прикладные результаты диссертационной работы были внедрены в рамках госбюджетной научно-технической программы 478 "Механика, машиноведение и процессоуправление", проект "Математические модели измерительных приборов и информационно-измерительных систем автоматизированного производства"; в технологическом процессе на ООО "Серпуховский молочный завод".

Теоретические результаты работы внедрены в учебном курсе "Вычислительные машины, системы, сети и телекоммуникации" на кафедре ИТ-4 "Персональные компьютеры и сети" Московской государственной академии приборостроения и информатики.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах. 1. Научно-технической конференция "Новые информационные технологии" (г. Москва, МГАПИ, 1998 г.). 2. II международная научно-техническая конференция "Моделирование и исследование сложных систем", (г. Москва, МГАПИ, 1998 г.). 3. LUI научная сессия, посвященная Дню радио, Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова (г. Москва, 1998 г.). 4. VIII международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации" (г. Москва, МАИ, 1999 г.).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 8 печатных работ.

Характеристика работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов и заключения, изложенных на 125 страницах машинописного текста, содержит 35 рисунков, таблицу, список использованной литературы из 113 наименований и приложения.

Заключение диссертации по теме «Информационно-измерительные и управляющие системы (по отраслям)», Прохорова, Татьяна Николаевна

5.4. Выводы

1. Рассмотрены возможности использования предложенной ИИС при производстве молочнокислых продуктов.

2. Предложен метод сжатия изображений в банке данных ИИС.

3. На основе адаптивных сетей Петри построена схема технологического процесса при производстве молочнокислых продуктов.

Заключение

1. Исследованы особенности функционирования и построения ИИС для экспериментальных исследований в микробиологии. Проанализированы характерные черты дескриптивного метода, традиционно используемого для анализа микробиологических изображений.

2. В результате сравнительного исследования существующих ортогональных функций предложено использовать ортогональный базис функций Эрмита двух переменных для анализа изображений, что позволяет снять ряд ограничений, возникающих при использовании базиса периодических функций и получить для рассматриваемого класса изображений быстросходящиеся ряды.

3. Исследовано предложенное ортогональное множество функций: доказаны теоремы и свойства, позволяющие обосновать использование спектра Эрмита при обработке изображений и их анализе.

4. Предложен дискретный спектр Эрмита, предназначенный для создания модели изображения. Разработаны алгоритмы его реализации на ЭВМ.

5. Исследованы возможности моделирования параллельных алгоритмов и сетей ЭВМ: предложены модификации сетей Петри, представимые ориентированными многодольными мультиграфами. Проанализированы новые возможности, предоставляемые предложенными модификациями сетей Петри.

6. Проведено исследование алгоритмизируемое™ признаков, традиционно используемых в микробиологии при распознавании микроорганизмов. Предложены распознающие процедуры, основанные на использовании спиральной и радиально-круговой развертке, позволяющие идентифицировать как родственные объекты, отличающиеся масштабом, углом поворота, а также деформированные объекты.

109

7. Предложен способ организации банка данных ИИС, изложен метод хранения данных, основанный на использовании контурных признаков.

8. Разработана схема использования ИИС в технологическом процессе, построенная на основе модифицированных сетей Петри.

9. Прикладные результаты диссертации были внедрены в рамках госбюджетной научно-технической программы 478 "Механика, машиноведение и процессоуправление", проект "Математические модели измерительных приборов и информационно-измерительных систем автоматизированного производства"; в технологическом процессе на ООО "Серпуховский молочный завод".

Теоретические результаты работы внедрены в учебном курсе "Вычислительные машины, системы, сети и телекоммуникации" на кафедре ИТ-4 "Персональные компьютеры и сети" Московской государственной академии приборостроения и информатики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Прохорова, Татьяна Николаевна, 2000 год

1. Адаптивные методы обработки изображений: сб. науч. трудов. // Под ред. Сифорова М. В., Ярославского А. Г., М.: Наука, 1986. - 242 с.

2. Александров В. В. Горский М. Д. Представление и обработка изображений. Рекурсивный подход. Л.: Наука, 1985. - 189 с.

3. Алексии Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов.-М.: ИЛ, 1963.-250 с.

4. Анисимов Б. В. Курганов В.Д. Злобин В.К. Распознавание и цифровая обработка изображений.—М.: Высшая школа, 1983.-295 с.

5. Ахмед Н. Pao К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. -М.: Связь, 1980. 248 с.

6. Бабич В. М. Григорьева Н. С. Ортогональные разложения и метод Фурье. // Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1983. 139 с.

7. Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966.-296 с.

8. Белоусова Н. Н. Микробиология заквасок для молочных продуктов. М.: Энергия, 1962. - 154 с.

9. Бетина В. Путешествие в страну микробов. М.: Мир, 1976.272 с.

10. Билич Г. П., Габрилович И. М. Морфология и физиология микроорганизмов. Грозный: Книга, 1991. - 112 с.

11. П.Битюков С.И., Смирнова В.В., Прохорова Т. Н., Таперечкина В.А. Элементы теории массового обслуживания. М., Издательство МГАПИ, 1998. -48 с.

12. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов.-М.: Мир 1989.-448 с.

13. Блохина И. Н. Ладыгина Г. Н. Методы идентификации бактерий. ~ Горький, 1986. 76с.

14. Блохина И. Н. и др. Систематика бактерий. — Н. Новгород: Издательство Нижегородского университета, 1992- 171 с.

15. Быков Р. Е. Гуревич С. Б. Анализ и обработка цветных и объемных изображений. М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.

16. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений: преобразования и медианные фильтры//Под. ред. Т. Хуанга.-М.: Радио и связь, 1984.-221 с.

17. Булычев Ю. Г. Лапсарь А. П. Вычислительные аспекты задачи нелинейной фильтрации. // Автоматика и вычислительная техника. -1998. 2, стр. 32 - 42.

18. Вероятностные методы в вычислительной технике.//под ред. А.Н. Лебедева и Е. А. Чернявского. М.: Высшая школа, 1986. - 312 с.

19. Воеводин В. В. Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.-320 с.

20. Геронимус Я. Л Теория ортогональных многочленов. М.: Гос-техиздат, 1950 - 250 с.

21. Голд Б. Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Советское радио, 1973. - 367 с.

22. Гольберг Л. М. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990.-325 с.

23. Громов Б. В. Строение бактерий. Л.: Изд- во ЛГУ, 1985. - 192с.

24. Дагман Э. Е. Кухарев Г. А. Быстрые дискретные ортогональные преобразования. Новосибирск: Наука, 1983. - 232 с.

25. Даджион Д. Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов: пер. с англ.— М.: Мир, 1988.—488 с.

26. Джеффрис Г. Свирлс Б. Методы математической физики, вып. 3. М.: Мир, —1970. - 343 с.

27. Дуда Р. Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. — М.: Мир, 1976.-212 с.

28. Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания и классификации / в кн. Проблемы кибернетики, 1978, вып. 33, стр.586.

29. Заварзин Г. А. Фенотипическая систематика бактерий. М.: Наука, 1974.- 150 с.

30. Залманзон Л. А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях.-М.: Наука, 1989. — 496 с.

31. Иваницкий Г. Р. и др. Автоматический анализ микрообъектов. -М.: Энергия, 1967. 208 с.

32. Иваницкий Г. Р., Гарнштейн В.П. Геометрия живого. -М.:3нание, 1971. -32 с.

33. Иваницкий Г. Р. Математические методы исследования структур. М.: Знание, 1975. 64 с.

34. Иваницкий Г. Р. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978.-310 с.

35. Иваницкий Г. Р., Куниский А. С. Исследование микроструктуры объектов методами когерентной оптики. М.: Энергия, 1981. - 167 с.

36. Игнатьев В.М., Ларкин Е.В. Сети Петри-Маркова. Тула: Изд-во ТулГу, 1997 - 164 с.

37. Катыс Г. П. Методы и вычислительные средства обработки изображений. Кишинев: Штиинца, 1991. - 209 с.

38. КачмажС. Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов.-М.: Физматгиз, 1958. 346 с.

39. Классификация и кластер, пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 390 с.

40. Клиот-Дашинский М. И. Алгебра матриц и векторов. -JL: Изд- во ЛГУ, 1974.- 160 с.

41. Кодирование и обработка изображений //Под. ред. Зяблова В. В., Лебедева Д. С.- М.: В.Ш., 1988. 180 с.

42. Корн Г. Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1977. -832 с.

43. Корриган Дж. Компьютерная графика: секреты и решения.-М.: Энтроп, 1995.-352 с.

44. Котов В. Е. Сети Петри. -М.: Наука, 1984. 160 с.

45. Крайзмер Л. П., Сочивко В. П. Бионика — М.: Энергия, 1968. -112 с.

46. Красильников Н. А. Определитель бактерий и актиномицетов. -М.: изд во АН СССР, 1949. - 500 с.

47. Краткий определитель бактерий Берги. М.: Мир, 1980. - 450 с.

48. Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехгиздат, 1951. - 510 с.

49. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: изд - во физ.- мат. лит -ры, 1959.-432 с.

50. Литвин А. И. Вычисление спектральных коэффициентов Уолша, Фурье и Хартли. // Автометрия, 2, 1997. с. 53 - 60.

51. Математические модели и ЭВМ в микробиологической практике. Малашенко Ю. Р., Мучник Ф. В. Киев: Наукова Думка, 1980.196 с.

52. Методы цифровой обработки изображений. // Сб. науч. трудов. -Новосибирск, 1988. 111 с.

53. Минский М. Вычисления и автоматы. М.: Мир, 1971. - 366 с.

54. Моделирование систем сбора и обработки данных.// Под ред. Золотухина В. Г. М.: Наука, 1983.- 129 с.

55. Мотт Н., Снеддон И. Волновая механика и ее применения.-М.: Наука, 1966. 427 с.

56. Мюррей Д. Д. Ван Рипер В. Форматы графических файлов. -BHV, 1996,- 320 с.

57. Натансон И. П. Конструктивная теория функций.—М.: Гостех-издат, 1949.-426 с.

58. Нуссбаумер Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.

59. Обработка изображений и цифровая фильтрация. // Под ред. Т. Хуанга.-М.: Мир, 1989.-318 с.

60. Оппенгейм А. В. Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. -М.: Связь, 1979.-416 с.

61. Осадчий В. И., Прохорова Т.Н. Алгоритм сжатия видеоинформации с использованием контурных признаков.// Математическое моделирование и управление в сложных системах: сборник научных трудов. М.: МГАПИ, 1998, - с. 108 - 110.

62. Осадчий В. И., Прохорова Т. Н. Сети Петри с самосинхронизацией.// Материалы научно-технической конференции "Новые информационные технологии". М.: МГАПИ, 1998. - с. 43 - 48.

63. Осадчий В. И., Прохорова Т.Н. Экспертная система для распознавания образов.// Доклады II международной научно-технической конференции "Моделирование и исследование сложных систем".-М.: МГАПИ, 1998. с. 242 - 247.

64. Осадчий В. И., Прохорова Т. Н. Адаптивные сети Петри на основе четырехдольных ориентированных мультиграфов.// Математическое моделирование и управление в сложных системах: Сборник научных трудов. -М.: МГАПИ, 1999. -- с. 58 62.

65. Очин Е. Ф. Вычислительные системы обработки изображений. -Л.: Энергоатомиздат, 1989.-338с.

66. Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений. М.: Радио и связь, 1986.-- 400 с.

67. Патрик Э. Основы теории распознавания образов. М.: Мир, 1980.-320 с.

68. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем.-М.: Мир, 1984.-264 с.

69. Применение цифровой обработки сигналов. // Под ред. Э. Оп-пенгейма. -М.: Мир, 1989.—522 с.

70. ПрэттУ. Цифровая обработка изображений: в 2-х кн. -М: Мир, 1982.-769 с.

71. Путятин Е.П. Аверин С. И. Обработка изображений в робототехнике М.: Машиностроение, 1990. - 319 с.

72. Рабинер JI. Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848 с.

73. Рождественский В. С. Атлас бактерий. М.: изд-во АН СССР, 1940. - 467 с.

74. Розенфельд А. Распознавание и обработка изображений с помощью вычислительных машин. -М.: Мир, 1972. 230 с.

75. Романов В. Ю. Популярные форматы файлов для хранения графических изображений на IBM PC. -М.: Унитех, 1992. 156 с.

76. Русын Б.П. Структурно-лингвистические методы распознавания изображений. Киев: Наукова Думка, 1986.- 127 с.

77. Сеге Г. Ортогональные многочлены. -М.: Физматгиз, 1962. -364 с.

78. Сергеев В. В. Применение методологии распознавания образов в задачах цифровой обработки изображений. // Автометрия. 1998. — 2. с. 63-76.

79. Сонин Н. Я. Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах. М.: Гостехиздат, 1954,- 245 с.

80. Сочивко В. П. Электронные опознающие устройства.—М.: Энергия, 1964 56с.

81. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976.-328 с.

82. Таль А. А., Юдицкий С. А. Иерархия и параллелизм в сетях Петри. //Автоматика и телемеханика, 1982, 2, с. 83-88.

83. Ту Дж. Гонсалес У. Принципы распознавания образов. -M.: Мир, 1978.-480 с.

84. Федотов Н. Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. М.: Радио связь, 1990. - 172 с.

85. Фор А. Восприятие и распознавание образов. М.: Машиностроение, 1989. - 272 с.

86. Фу К.С. Структурные методы в распознавании образов. -М.; Мир, 1977.-364 с.

87. Хармут X. Ф. Передача информации ортогональными функциями. М.: Мир, 1975. - 422 с.

88. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987. - 221 с.

89. Херреро Д. Уиллонер Г. Синтез фильтров. М.: Советское радио, 1971.-282 с.

90. ХуангТ.С. и др. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. -М.: Радио и связь, 1984. 245 с.

91. Хуанг Т.С. и др. Обработка изображений и цифровая фильтрация. -М.: Мир, 1989.-318 с.

92. Шлезингер М. И. Синтаксический анализ двумерных изображений в условиях помех.//Кибернетика, 1976, ??4, с. 113-129.

93. Эндрюс Г. Двумерные преобразования. Обработка изображений и цифровая фильтрация. -М.: Мир, 1979. 324 с.

94. Эндрюс Г. Применение вычислительных машин для обработки изображений. -М.: Энергия, 1977. 161 с.

95. Янке Е Эмде Ф. Специальные функции.— М.: Наука, 1968. 450 с.

96. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Советское радио, 1979. - 312 с.

97. Appell Р., Kampe de Feriet J. Fonctions hypergeometriqucs et hyperspheriques, Polynomes d'Hermite, Gauthier-Villars. Paris, 1926.

98. Caccioppoli R. Giorn. 1st. Ital. Attuari 3, p. 364 375.

99. Cameron R. H., Martin W. T. Ann. Of Math. 48. 1947, p. 385389.

100. Dedus F. F., Dedus A.F., Ustinin M. N. "A new data processing technology for pattern recognition and image analysis problems", Pattern Recognition and Image Analysis, Vol.2, No.2, pp. 195-207,1992.

101. Dedus F. F., Dedus A.F., Machortykh S.A., Ustinin M. N. "Analytical description of multidimensional signals for solving problems of pattern recognition and image analysis", Pattern Recognition and Image Analysis, Vol.3, No.24, pp. 459-469,1993.

102. Dedus F. F., Machortykh S.A., Ustinin M. N. "Generalized spectral-analytical method", Image Processing and Computer Optics, SPIE Vol., pp. 109-115.

103. Erdelyi A. Math. Z. 44,- 1938, p. 301-311.

104. Friedrichs K. O. Comm. Pure Appl. Math. 4.-1951, p. 161 224.

105. Grad G. Comm. Pure Appl. 2.- 1949, p. 325 330.

106. Koschmieder L. Jber. Deutsch. Math. Verein 34. 1925, p. 57 - 64.

107. Koschmieder L. Revista Soc. Mat. Espanola (2) 5. 1930, p.274280.

108. Thjssen W. P. Verslagen Amsterdam (2) 35. 1926, p. 1100 - 1111.

109. Thjssen W. P. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. (1) 30. p. 69 - 80.

110. Tortrat A. C. R. Acad. Sci. Paris 226. 1948, p.298 - 300.

111. Tortrat A. C. R. Acad. Sci. Paris 226. 1948a, p.543 - 545.