Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Монахова, Оксана Александровна

• Монахова, Оксана Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Монахова, Оксана Александровна

Введение.

Глава 1. Продолжение тензорных полей с гладкого многообразия в расслоение дважды ковариантных тензоров

§ 1. Расслоение дважды ковариантных тензоров.

§ 2. Функции на расслоении дважды ковариантных тензоров, порожденные тензорными полями.

§3. Вертикальный лифт тензорных полей типа (0,2).

§4. Полный лифт векторных полей.

§5. Естественное продолжение диффеоморфизма базы в расслоение

Т!(МЯ).

§5. Специальные вертикальные лифты тензорных полей типа (1,1).

§6. Специальные лифты тензорных полей типа (3,1).

§7. Горизонтальный лифт векторных полей.

§8. Связь между полным и горизонтальным лифтом векторного поля.

§9. Адаптированные реперы и кореперы на расслоении Г2° (М„ ).

§10. Специальный вертикальный лифт тензорных полей типа (2,2).

§11. Специальный горизонтальный лифт тензорных полей типа (3,0).

§12. Вертикальный лифт линейных форм.

Глава 2. Продолжение линейной связности с гладкого многообразия на расслоение дважды ковариантных тензоров

§ 1. Горизонтальный лифт линейной связности на расслоение дважды ковариантных тензоров.

§ 2. Операция ковариантного дифференцирования на расслоении Г2°(Мп).

§3. Проектируемые поля и связности на Г2° (Мп )

§4. Некоторые свойства горизонтального лифта связности.

Глава 3. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта

§ 1. Разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования расслоения (Г2°(МП), Vй).

§ 2. Второе разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования расслоения (Т,2°(М„), Vй).

§ 3. Инфинитезимальное аффинное преобразование пространства

Г2°(М„), Vй) над максимально подвижным не проективно плоским пространством (MM,V).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта»

Теория расслоенных пространств - одна из наиболее быстро развивающихся областей в современной математике, которая в настоящее время активно исследуется. Теория расслоений возникла на стыке геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений, теории групп и других разделов математики и механики. Методы расслоенных пространств использует гамильтонова механика и физика, [1].

Первые результаты по теории касательных расслоений принадлежат японским математикам: Сасаки, [23], Яно, Ишихара, [26]. Наряду с касательными расслоениями с конца 60-х годов прошлого века началось изучение двойственных им кокасательных расслоений, к числу первых можно отнести работы Яно, Мока [27], [22]. В указанных работах авторы рассматривали теорию продолжения тензорных полей и аффинных связностей из дифференцируемого многообразия в его касательное и кокасательное расслоение. В известной работе Яно и Ишихара [25] подведены итоги развития геометрии касательных и кокасательных расслоений до 1973 года.

Общая теория тензорных расслоений была рассмотрена Б.Л. Лаптевым. В работе [8] он, обобщая понятие пространств Финслера, Бервальда, Картана, вводит понятие пространства тензорных опорных элементов, аксиоматически строит аффинную связность в таких пространствах путем обобщения понятия ковариантного дифференцирования. Исходя из ряда требований, определяющих строение ковариантного дифференциала относительного тензора, им было показано, что указанная связность определяется заданием некоторых пфаффовых форм [8]. Такую связность называют внутренней (инфинитезимальной) связностью расслоенного пространства.

Существенные результаты по теории внутренних связностей векторных расслоений получил Тонг, итоги его исследований подведены в работе [24]. Им построена операция внутреннего ковариантного дифференцирования на модуле сечений векторного расслоения. Операция ковариантного дифференцирования в свою очередь может быть положена в основу определения внутренней связности.

Обобщения понятия внутренней связности начались с работ Вонга и Молино. Общую конструкцию обобщенной связности в векторных расслоениях предложил Спесивых В.Л., задавая ее с помощью аффинора [10].

Вопросами построения и изучения внешней связности на векторных расслоениях занимался Б.Н. Шапуков [12]. Им показано, что если на векторном расслоении задана внешняя связность, то при некоторых условиях в расслоении определяется, некоторая внутренняя связность, в общем случае нелинейная.

При изучении векторных расслоений особое внимание Б.Н. Шапуковым уделено тензорным расслоениям, поскольку здесь появляются специфические структуры [13], [14]. Обзор результатов по дифференциальной геометрии тензорных расслоений изложен Б.Н. Шапуковым в работе [15].

Одним из способов получения внешней связности на расслоении является поднятие базовых связностей в расслоенное пространство. Общая теория лифтов тензорных полей и аффинных связностей с дифференцируемого многообразия в его касательное расслоение была разработана К. Яно, А. Леджером, Ш. Кобаяси, Ш. Ишихарой.

Неоднократно, с различных точек зрения рассматривался полный лифт линейной связности на касательных расслоениях различного порядка, [4]. На расслоении линейных реперов он был построен в работе Мока [21], на тензорных расслоениях полный лифт построен Б.Н. Шапуковым в работе [16]. Проблему построения полного лифта в аффинорное расслоение рассматривал П.Л. Беляев в [2].

Горизонтальный лифт линейной связности, заданной на базе, в касательное и кокасательное расслоение построен в работе [25] К. Яно и Ш. Ишихара, в тензорном расслоении произвольного типа (p,q) горизонтальная связность изучена Б.Н. Шапуковым в работе [19].

В работе [20] изучаются обобщения расслоения аффиноров -тензорные расслоения типа (1,<7), определяется диагональный лифт римановой метрики с базы в это расслоение.

Вопрос об инфинитезимальных преобразованиях расслоений над дифференцируемым многообразием с заданной связностью имеет большое значение. Он достаточно подробно изучен для касательных расслоений, [25]. И.П. Егоров изучал преобразования в пространствах аффинной связности, а также в различных обобщениях пространств аффинной связности, [6].

Целью представленной работы является изучение инфинитезимальных аффинных преобразований расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта.

Методы исследования. Исследования проводятся в основном локально, с использованием аппарата тензорного анализа. Функции, тензорные поля предполагаются гладкими класса С°°.

Научная новизна. В работе построен горизонтальный лифт линейной связности, заданной на гладком многообразии, с помощью другой линейной связности, заданной на базе, в расслоение дважды ковариантных тензоров.

Получено разложение произвольных инфинитезимальных аффинных преобразований расслоения (7,20(МИ), Vй). Найдены необходимые и достаточные условия существования этого преобразования. Выяснена структура тензорных полей, входящих в разложение этого преобразования.

Теоретическое значение. Работа носит теоретический характер, является продолжением изучения тензорных расслоений типа (0,2) и инфинитезимальных аффинных преобразований этих расслоений. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории тензорных расслоений.

Диссертация изложена на 107 страницах и состоит из введения, трех глав, содержащих 20 параграфов и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Монахова, Оксана Александровна, 2004 год

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1974. - 322 с.

2. Беляев П.Л. Аффинорные расслоения: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.04: защищена 22.12.93 / П.Л. Беляев; Казан, гос. ун-т. Казань, 1993.-107 с.

3. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра / Н. Бурбаки; перевод с фр. Д.А. Райкова. М.: Физ-мат. издат., 1962. - 516 с.

4. Евтугаик JI.E. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. - Т. 9. - С. 5-247.

5. Егоров И.П. Геометрия / И.П. Егоров. М., 1979. 256 с.

6. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности. Ученые записки / И.П. Егоров. Казань: Изд. КГУ, 1965. - 206 с.

7. Норден А.П. Пространства аффинной связности / А.П. Норден. М., 1976.-423 с.

8. Спесивых В.Л. Обобщение понятия связности в векторном расслоении / В.Л. Спесивых // Известия вузов. Мат. 1979. -№ 6. - С. 74-77.

9. Султанов А.Я. Некоторые лифты в расслоении линейных реперов/ А.Я. Султанов // Движения в обобщенных пространствах. Пенза, 1991. -С. 150-157.

10. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях / Б.Н. Шапуков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ. -М., 1983.-Т 15.-С. 61-93.

11. Шапуков Б.Н. Структура тензорных расслоений, I / Б.Н. Шапуков // Известия вузов. Мат. 1979. - № 5. - С. 63-73.

12. Шапуков Б.Н. Структура тензорных расслоений, II / Б.Н. Шапуков // Известия вузов. Мат. 1981. - № 9. С. 56 - 63.

13. Шапуков Б.Н. Тензорные расслоения / Б.Н. Шапуков // Памяти Лобачевского посвящается. Казань: Изд-во КГУ, 1992. - Вып. I. - С. 104-125.

14. Шапуков Б.Н. Лифт связности на тензорных расслоениях / Б.Н. Шапуков // Известия вузов. Мат. 1986. - № 12. - С. 70-72.

15. Шапуков Б.Н. О структуре тензорного пространства / Б.Н. Шапуков // Труды геометрического семинара. Изд-во КГУ, 1978. - Вып. 10. - С. 97-106.

16. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях / Б.Н. Шапуков // Проблемы геометрии. М., 1983. - Т. 15. - С. 61-93.

17. Шапуков Б.Н. Структуры на расслоенных многообразиях и вопросы редукции: дисс. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.04 / Б.Н. Шапуков. -Казань, 1990.-283 с.

18. Cengiz N. Diagonal lift in the tensor bundle and its applications / N. Cengiz, A.A. Salimov// Appl. Math. Computation. 142 (2003). - P. 309-319.

19. MokK. Complete lifts of tensor fields and connections to the frame bundle / K. Mok. // Proc. London Math. Soc. 1979. - V. 38. - № 1. - P. 72 - 88.

20. MokK. Metrics and connections on the cotangent bundle / K. Mok. // Kodai Math. Sem. Rep., 1977. V. 28. - P. 226-238.

21. Sasaki Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds / Sasaki Sh. // Tohoku Math. J. 1958. - № 3. - P. 338-354.

22. Tong V.D. Sur la geometrie differentielle des fibres vectoriels / V.D. Tong // Kodai Math. Semin. Repts, 1975. - № 4. - C. 349 - 408 (РЖМат, 1976, 5A657).

23. Yano K. Tangent and cotangent bundles. / K. Yano, S. Ishihara // Differential geometry. New York, 1973. - 423 p.

24. Yano K. Fibred spaces and projectable tensor fields / K. Yano, S. Ishihara I I Perspectives geometry and relativity. Bloomington - London: Indiana Univ. Press, 1966. (РЖМат, 1968, 5A617).

25. Yano K. Horizontal lift from a manifold to its cotangent bundle / K. Yano, E.M. Patterson // Jour. Math. Soc. Japan, 1967. - V. 19. - P. 91-113.