Индексы влияния, зависящие от предпочтений участников - аксиоматическое построение и методы вычисления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шварц, Дмитрий Александрович

• Шварц, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шварц, Дмитрий Александрович

Оглавление

Введение

1. Индексы влияния: основные понятия и обзор литературы

1. Простые игры и голосования с квотой

1.1. Простые игры

1.2. Голосования с квотой

2. Индексы влияния

2.1. Предыстория: решение кооперативной игры и вектор Шепли

2.2. Индексы влияния: общие соображения

2.3. Классические индексы влияния

2.3.1. Индекс Шепли—Шубика

2.3.2. Индексы влияния Банцафа и Пенроуза

2.3.3. Вероятностная интерпретация и сравнение индексов Банцафа (Пенроуза) и Шепли—Шубика

2.4. Другие индексы влияния

2.4.1. Индекс Джонстона

2.4.2. Индекс Холера—Пакела

2.4.3. Индекс Дигена — Пакела

2.4.4. Индекс Коулмена

2.5. Свойства влияния: аксиомы и парадоксы

3. Игры и индексы влияния, зависящие от предпочтений участников 54 3.1. Общая конструкция: симметричные и несимметричные игры

3.2. Индексы влияния

60

Аксиоматическое описание индексов влияния

1. Избранные аксиоматики для классических индексов влияния

1.1. Аксиоматика Дуби для индекса Шепли—Шубика и аксиоматика Дуби—Шепли для общего индекса Банцафа

1.2. Аксиоматики Ларуелль—Валенсиано

2. Аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников

2.1. Теорема классификации

2.2. Аксиоматики для а-индекса

2.2.1. Следствие из теоремы классификации

2.2.2. Аналог аксиоматики Ларуелль—Валенсиано

2.3. Применение к индексам Банцафа и Шепли—Шубика

3. Аксиоматики для индексов влияния в случае голосования с квотой

3.1. Аксиоматики для индексов Банцафа и Шепли—Шубика

3.2. Аксиоматика для а-индекса в случае голосований с квотой

4. Проективные аксиоматики для индексов влияния

4.1. Проективные индексы влияния: определения

4.2. Аксиомы

4.3. Основная теорема

4.4. Аксиоматики для нормированного а-индекса и нормированного индекса Банцафа

4.4.1. Следствие: аксиоматика для нормированного индекса Банцафа

5. Обзор и сравнение аксиом

5.1. Сравнение аксиом Дуби—Шепли, Ларуелль-Валенсиано и следствий из аксиоматик для а-индекса

5.2. Аксиоматики для нормированных индексов влияния

3. Оценки и алгоритмы для расчета индексов влияния

1. Теорема о среднем для индексов влияния

115

116 117

2. Алгоритмы вычисления индексов влияния

2.1. "Прямое" вычисление. Оценка сложности

2.2. Метод производящих функций

2.3. Приближенные методы вычисления индексов влияния

3. Алгоритмы расчета индексов влияния, зависящих от предпочтений участников с помощью производящих функций

3.1. Аналог индекса Банцафа

3.2. Аналог индекса Шепли—Шубика

3.3. Основная теорема

4. Примеры и применение

4.1. О правиле принятия решения в Совете министров Европейского Союза

4.2. Комплекс программ для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников

4.2.1. Основная программа

4.2.2. Вспомогательные программы

Заключение

Литература

Приложения

Приложение 1: программа, вычисляющая индексы влияния, зависящие

от предпочтений участников

Приложение 2: программа, вычисляющая индекс влияния Банцафа

индексов влияния объем памяти

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Индексы влияния, зависящие от предпочтений участников - аксиоматическое построение и методы вычисления»

Введение

Коллективное принятие решений является одним из основных способов управления сложными социальными и экономическими системами.

Если речь идет о принятии каких-то решений, например, в парламентах, законодательных собраниях и т.п., обычно считается, что влияние партии прямо зависит от числа мест, которыми она располагает в парламенте. Однако, известно много примеров, которые противоречат этому, казалось бы естественному, мнению. Аналогичная ситуация имеет место в акционерных обществах — влияние акционера не всегда зависит от доли акций, которыми он владеет.

Использование в указанной задаче кооперативной теории игр привело к созданию такой концепции решения игры, как вектор Шепли и, как его развитие, многочисленным индексам влияния.

Индекс влияния (в соответствии со своим названием) — это способ оценить влияние участника (или партии) в выборном органе, т.е. приписать каждой партии неотрицательное число, пропорциональное ее влиянию на принятие решений. Среди индексов влияния наиболее известен индекс Банцафа.

Актуальность темы

Развитие теории индексов влияния включает два направления:

— аксиоматическое, позволяющее понять различие между индексами влия-

ния и определить границы применимости индексов,

— вычислительное, в котором строятся алгоритмы, вычисляющие индексы влияния при большом количестве игроков.

Первое систематическое изложение теории игр (и, в частности, кооперативной теории игр) было дано Д. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г. [77].

Формальная постановка задачи оценки влияния была предложена JI. Пенро-узом в 1946 г. [83], но впервые вопрос об измерении влияния был поставлен в 1787 г. при разработке конституции США представителем штата Мэриленд JI. Мартином [85].

Фундаментальные работы в этой области были выполнены JL Шепли, М. Шубиком, Дж. Банцафом и др. [44, 45, 48, 50, 59, 65, 88].

В настоящее время множество работ, как в России, так и за рубежом посвящено изучению теории индексов влияния и прикладным вопросам распределения влияния в выборных и управляющих органах и международных организациях. Среди них можно назвать Европейский Союз, Международный валютный фонд, Всемирный банк, советы директоров банков и др.

Но классические индексы влияния учитывают только коалиционные возможности участников и не учитывают взаимоотношения между ними. В реальности некоторые коалиции образуются часто, некоторые реже, некоторые, возможно, не образуются вообще.

Недавно Ф.Т. Алескеровым в [1, 28] были введены в рассмотрение индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по вступлению в коалиции.

Поэтому развитие теории индексов влияния, учитывающих предпочтения участников по созданию коалиций, представляется актуальным.

Цель работы

Разработка аксиоматик, методов и алгоритмов оценки влияния участников в задаче принятия коллективных решений, учитывающих ограничения на формирование коалиций.

Основные задачи

1) Написание аналитического обзора индексов влияния, как классических, так и зависящих от предпочтений участников, описание аксиом и парадоксов, связанных с индексами влияния.

2) Построение аксиоматик для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, и, как следствие, новых аксиоматик для классических индексов влияния, как в классическом случае (простые игры), так и для голосований с квотой.

3) Обоснование и развитие подхода к индексам влияния, как к элементам проективного пространства.

4) Построение эффективных алгоритмов для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

5) Реализация полученных алгоритмов в виде программного комплекса, позволяющего вычислять индексы влияния, зависящие от предпочтений участников для голосований с квотой при большом числе игроков и большой квоте.

6) Проверка "гипотезы о среднем", предполагающей, что "в среднем по квоте" влияние участника голосования пропорционально числу его голосов и доказательство аналога этого утверждения для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

Методы исследования

Используются модели простых игр, комбинаторного анализа, теории множеств.

При построении модели индексов влияния, как элементов проективного пространства, используются элементы проективной геометрии.

При построении алгоритма для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, используется техника производящих функций, позволяющая существенно сократить перебор.

Научная новизна работы

1) Впервые развит подход к индексам влияния, как к элементам проективного пространства.

2) Впервые построены аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников

— в случае простых игр.

— в случае голосования с квотой.

— при рассмотрении индексов влияния, как элементов проективного пространства.

3) Впервые предложен алгоритм вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, использующий производящие функции и написаны программы, реализующие этот алгоритм.

4) Впервые осуществлена проверка "гипотезы о среднем", предполагающей, что "в среднем по квоте" влияние участника голосования пропорционально числу его голосов и доказан аналог этого утверждения для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

Применение

Модели индексов влияния, учитывающих предпочтения участников, включены в курсы лекций "Дискретные математические модели" и "Модели согласования интересов", которые читаются на факультетах экономики и бизнес-информатики НИУ ВШЭ.

Личный вклад

Впервые построены аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников

— в случае простых игр.

— в случае голосования с квотой.

Построена модель, описывающая индексы влияния, как элементы проективного пространства и построены аксиоматики для таких индексов влияния, как зависящих от предпочтений участников, так и аналогов классических. Как следствие, получены аксиоматики для индекса Банцафа и индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, не использующих обычной и не очень естественной аксиомы общей суммы.

Построено представление индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, с помощью производящих функций и предложены алгоритмы их вычисления.

Доказана "Теорема о среднем по квоте" для индексов влияния, удовлетворяющих аксиоме аддитивности. Показано, что для неаддитивных индексов влияния (на примере индекса Банцафа) теорема не верна.

Создан программный комплекс, позволяющий вычислять индексы влияния, зависящие от предпочтений участников для голосований с квотой при большом

числе игроков и большой квоте.

Автор принимал участие в:

— расчете индексов влияния в Международном валютном фонде и Государственной Думе РФ (в случае, когда игроками считались регионы).

Апробация работы

Результаты работы докладывались на

— общемосковском семинаре "Экспертные оценки и анализ данных" в ИПУ РАН в 2009 и 2010 гг.;

— конференции "Экономическое развитие в современном мире: Россия и Азия в условиях глобальной экономической нестабильности (УРГУ, Екатеринбург, 2009);

— научном семинаре Международной лаборатории анализа и выбора решений (НИУ ВШЭ, 2009);

— Международной конференции "Social Choice and Welfare" (ГУ ВШЭ, Москва, 2010);

— VI-й Московской международной конференции по исследованию операций (ВМК МГУ, 2010);

— XIII и XIV Апрельской международной научной конференции по проблемам развития экономики и общества (Москва, НИУ ВШЭ, 2012, 2013) [22].

— научном семинаре лаборатории теории игр и принятия решений Санкт-петербургского экономико-математического института РАН (научный руководитель д.ф.-м.н. Е.Б. Яновская);

— Школе-конференции "Байкальские чтения" (ИМЭИ ИГУ, Иркутск, 2013).

Публикации

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1) Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. 1-е издание. М.: Издательство ГУ ВШЭ, 2006. 298 с.

2) Шварц Д.А. О вычислении индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и Телемеханика. 2009. № 3. С. 152—159.

3) Шварц Д.А. Аксиоматика для индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и Телемеханика. 2010. № 1. С. 144—158.

4) Шварц Д.А. Индексы влияния, как элементы проективного пространства // Доклады Академии Наук. 2011. № 441(4). С. 456—459.

5) Шварц Д.А. Аксиоматики для индексов влияния в задаче голосования с квотой // Проблемы управления. 2012. № 1. С. 33—41.

6) Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. 2-е издание. М.: Физматлит, 2012. 342 с.

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы — 161 страница.

Содержание по главам

В главе 1 вводятся основные определения и производится обзор литературы по индексам влияния и их применению к оценке распределения влияния в выборных органах.

В разделе 1.1 определяются кооперативные игры с побочными платежами и, как частный случай этой модели, простые игры и голосования с квотой.

Приводятся примеры и критерии, показывающие, при каких условиях простая игра записывается, как голосование с квотой.

Раздел 1.2 посвящен индексам влияния. В параграфе 1.2.1 описываются и сравниваются решения кооперативной игры (ядро и вектор Шепли), развитием последнего из которых стали индексы влияния. Приводится аксиоматика для вектора Шепли. В параграфе 1.2.2 обсуждается концепция влияния, дается общее определение индекса влияния. В параграфе 1.2.3 описываются индексы влияния Шепли—Шубика, Банцафа и Пенроуза. Производится сравнение этих индексов, исходя из вероятностной интерпретации и типа принимаемого решения (концепции 1-рО"\¥вГ и Р-рОЛ¥ег).

В параграфе 1.2.4 приводятся описания и примеры вычислений других известных индексов влияния (индексы Джонстона, Холера—Пакела, Дигена— Пакела и Коулмена). Приводится общая схема "устройства" индексов влияния, под которую из перечисленных индексов не попадает только индекс Коулмена.

В параграфе 1.2.5 обсуждаются свойства влияния. Показывается, что "непропорциональность влияния числу голосов" есть неотъемлемое свойство концепции влияния. Вводится несколько ключевых аксиом, которым удовлетворяет большинство индексов влияния, и на их основе обсуждается несколько известных парадоксов влияния, часть из которых наблюдается для всех индексов влияния, удовлетворяющих рассмотренным выше аксиомам, часть — только для индекса Банцафа.

В разделе 1.3 описывается модель индексов влияния, зависящих от предпочтений участников. Начинается он с обзора точек зрения о необходимости таких индексов, кратко описываются предшествующие модели индексов влияния, учитывающих предпочтения. В параграфе 1.3.1 дается определение простой игры с предпочтениями, приводятся примеры построения функций интен-

сивности предпочтений. В следующем параграфе (1.3.2) определяются индексы влияния, зависящие от предпочтений участников, приводятся примеры их вычисления и показывается, что все известные индексы влияния можно описать в рамках этой модели.

Глава 2 посвящена аксиоматическому подходу к индексам влияния.

В разделе 2.1 приведены две самые известные системы аксиом для индексов Банцафа и Шепли—Шубика (аксиоматики Дуби—Шепли и Ларуелль—Валенсиано). На основе входящих в них аксиом строятся почти все аксиоматики главы 2.

Раздел 2.2 посвящен аксиоматикам для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников. В параграфе 2.2.1 формулируются аксиомы и доказывается "теорема классификации", показывающая общий вид индексов влияния, удовлетворяющих этим аксиомам. В параграфе 2.2.2 приводятся две аксиоматики, одна из соответствующих теорем о представлении напрямую следует из теоремы классификации, вторая — аналог (как по формулировкам, так и по доказательству) соответствующей теоремы, использующей аксиоматику Ларуелль—Валенсиано. В конце параграфа показано, что и теорема о представлении, использующая вторую аксиоматику также выводится из теоремы классификации.

Наконец, в параграфе 2.2.3 результаты предыдущего раздела используются для получения новых аксиоматических предпочтений для индексов Банцафа и Шепли—Шубика.

В разделе 2.3 результаты параграфа 2.2 применяются для построения аксиоматик и доказательства соответствующих теорем для индексов влияния в модели голосования с квотой.

Раздел 2.4 посвящен "проективному" подходу к индексам влияния. В параграфе 2.4.1 обосновывается, почему индексы влияния естественно рассматри-

вать как элементы проективного пространства, даются необходимые определения и обозначения. В параграфе 2.4.2 формулируются аксиомы, а в параграфе 2.4.3 доказывается, что они однозначно определяют введенный выше индекс влияния.

В параграфе 2.4.4 приводятся аксиоматики-следствия для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, и индекса Банцафа.

В главе 3 развивается вычислительный подход к индексам влияния.

В разделе 3.1 значения индексов влияния (в модели голосований с квотой) усредняются по квоте. Доказывается, что для индексов влияния, удовлетворяющих некоторым аксиомам (в этот класс попадают индексы Пенроуза и Шепли—Шубика) влияние "в среднем" пропорционально числу голосов. Также здесь записывается аналогичное условие для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

Раздел 3.2 содержит обзор известных методов вычисления индексов влияния, начиная от вычисления по определению (параграф 3.2.1) и заканчивая методом производящих функций (параграф 3.2.2). Приводятся примеры вычислений. В параграфе 3.2.3 описываются методы приближенного вычисления индексов влияния: метод Монте-Карло, метод Оуэна и комбинированный метод Лича, сочетающий в себе "прямой" метод вычисления и метод Оуэна.

В разделе 3.3. приводятся алгоритмы для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников. Используется адаптированный под данную модель метод производящих функций. В зависимости от вида функции интенсивности предпочтений, вычисления могут быть аналогичны вычислениям индекса Банцафа (параграф 3.3.1) или индекса Шепли—Шубика (параграф 3.3.2). Основная теорема (параграф 3.3.3) позволяет записать формулы, на которых основаны эти алгоритмы, с помощью введенных в том же параграфе

псевдочисел.

Параграф 3.4.1 посвящен особенностям современного правила принятия решения в Совете Министров Европейского Союза. Показано, что одно из трех необходимых условий принятия решения следует из остальных двух, а второе не следует из первого только в нескольких случаях. Доказывается, что это правило принятия решения можно записать, как голосование с квотой, т.е. не только отказаться от третьего условия, но и отказаться от второго путем небольшой модификации первого.

В параграфе 3.4.2 описывается структура комплекса программ, вычисляющего индексы влияния, зависящие от предпочтений участников для большого числа игроков.

В Заключении сформулированы результаты работы.

Приложение содержит тексты программ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шварц, Дмитрий Александрович

Заключение

В работе приведен обзор литературы по индексам влияния и их применению к оценке распределения влияния в выборных органах.

Построены аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников в случае простых игр. в случае голосования с квотой.

Предложен подход к индексам влияния, как к элементам проективного пространства и (для игр с симметричными предпочтениями, при условии однозначности голосования) построена аксиоматика для таких индексов.

Похоже, что от условия однозначности голосования можно отказаться, но доказательство существенно усложняется и как обойти имеющиеся проблемы, автору пока неизвестно.

Вторая проблема — можно ли распространить результат на множество игр с несимметричными предпочтениями. Все попытки автора пока приводили к чудовищному усложнению формулировок.

Построен алгоритм (и создан программный комплекс) вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, использующий производящие функции.

Для аддитивных индексов, удовлетворяющих аксиомам болвана, анонимности и первой части аксиомы Бутв! (т.е. в том числе для индексов Пенроуза и

Шепли—Шубика) доказана "теорема о среднем", утверждающая, что "в среднем по квоте" влияние участника голосования пропорционально числу его голосов. Доказан аналог этого утверждения для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

Интересно было бы получить какой-то аналог теоремы о среднем для неаддитивных индексов влияния (или хотя бы для индекса Банцафа). Кроме того, на качественном уровне ясно, что в большинстве случаев в реальных голосованиях, т.е. когда квота находится между половиной и 2/3 от общего числа голосов, для больших партий доля влияния больше доли их голосов. Интересен будет качественный аналог этого утверждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шварц, Дмитрий Александрович, 2013 год

Литература

[1] Алескеров Ф.Т. Индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по созданию коалиций // ДАН. 2007. Т. 414. № 5. С. 594—597.

[2] Алескеров Ф.Т., Белоусова В.Ю., Ивашковская И.В., Погорельский К.Б., Степанова А.Н. Анализ эффективности издержек и распределения влияния между акционерами банка, Часть 1 // Управление в кредитной организации, 2010. № 2. С. 49—64.

[3] Алескеров Ф.Т., Белоусова В.Ю., Ивашковская И.В., Погорельский К.Б., Степанова А.Н. Анализ эффективности издержек и распределения влияния между акционерами банка, Часть 2 / Управление в кредитной организации, 2010. № 3. С. 30—38.

[4] Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Сатаров Г.А., Соколова A.B., Яку-ба В.И. Оценка влияния групп и фракций в российском парламенте (1994— 2003 гг.). WP7/2003/01. М.: ГУ ВШЭ, 2003.

[5] Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Сатаров Г.А., Соколова A.B., Яку-ба В.И. Влияние и структурная устойчивость в российском парламенте (1905—1917 и 1993—2005 гг.), М., Физматлит, 2007. 310 с.

[6] Алескеров Ф.Т., Калягин В.А., Погорельский К.Б. Анализ распределения влияния в Международном Валютном Фонде // Автоматика и телемеханика. 2008. № 11. С. 140—148.

[7] Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. 2-е издание. М.: Физматлит, 2012. 342 с.

[8] Бацын М.В., Калягин В.А. Об аксиоматическом определении общих индексов влияния в задаче голосования с квотой. WP7/2009/04. М.: Изд. дом ГУ-ВШЭ, 2009.

[9] Васин A.A., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс-пресс, 2005. 278 с.

[10] Данилов В.И. Лекции по теории игр. М.: Российская экономическая школа, 2002. 140 с.

[11] Клима Р.Э., Ходж Дж.К. Математика выборов. М.: МЦНМО, 2007. 224 с.

[12] Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М.: Издательство московского университета, 1984. 104 с.

[13] Ландо С.К. Введение в дискретную математику. М.: Издательство МЦНМО, 2012. 266с.

[14] Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

[15] Печерский С.Л., Яновская Е.Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы. Изд-во ЕУСПб, 2004. 459 с.

[16] Погорельский К.Б. Методы оценки влияния участников в задаче принятия коллективных решений: обзор основных направлений. Проблемы управления. 2011. №5. с. 2—13.

[17] Прасолов В.В., Тихомиров В.М Геометрия. 2—е изд., перераб.и доп. М.: МЦНМО, 2007. 328 с.

[18] Роберте Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. М.: Наука, 1986. 486 с.

[19] Соколова A.B. Количественные методы оценки влияния участников при принятии коллективных решений // Полития. 2008. № 51(4). С. 152—162.

[20] Соколова A.B. Модифицированные индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по коалиционированию // Моделирование в социально-политической сфере. 2009. № 3. С. 41—46.

[21] Шварц Д.А. О вычислении индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и Телемеханика. 2009. № 3. С. 152—159.

[22] Шварц Д.А. Индексы влияния, как элементы проективного пространства // Труды VI-й Московской международной конференции по исследованию операций. 2010. С. 435—436.

[23] Шварц Д.А. Аксиоматика для индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и Телемеханика, Москва. 2010. № 1. С. 144—158.

[24] Шварц Д.А. Индексы влияния, как элементы проективного пространства // Доклады Академии Наук, 2011. № 441 (4). С. 456—459.

[25] Шварц Д.А. Аксиоматики для индексов влияния в задаче голосования с квотой // Проблемы управления, 2012. № 1. С. 33—41.

[26] Якуба В.И. Анализ распределения участников при различных правилах принятия решений в Совете Министров расширенного Европейского союза. WP7/2003/03. М.: ГУ ВШЭ, 2003.

[27] Якуба В.И. Модели и методы анализа распределения влияния в выборных органах с ограничениями на формирование коалиций. Автореферат дисс. канд. техн. наук. М.: ИПУ РАН, 2005.

[28] Aleskerov F. Power indices taking into account agents' preferences. Mathematics and Democracy. Berlin, Springer, 2006. P. 1—18.

[29] Aleskerov F.T., Belianin A.V., Pogorelskiy K.B. Power and preferences: an experimental approach. WP7/2010/01. M. ГУ ВШЭ,, 2010.

[30] Aleskerov F.Т., Kalyagin V.A., Pogorelskiy К. Actual voting power of the IMF members based on their political-economic intergration // Mathematical and Computer Modelling. 2008. № 48. P. 1554—1559.

[31] Aleskerov F.T., Kalyagin V.A., Pogorelskiy K. Distribution of power within the IMF: when does preference mean voice? Social Science Research Network, 2010. P. 1—15.

[32] Banzhaf J. F. Weighted Voting Doesn't Work: A Mathematical Analysis // Rutgers Law Review. 1965. № 19. P. 317—343.

[33] Barr J., Passarelli F., Who has the power in the EU? Working Papers Rutgers University, Newark, № 2004-005, Department of Economics, Rutgers University, Newark, 2004.

[34] Bilbao J.M., Fernandez J. R., Jimenes A., Lopez J.J. Generating functions for computing power indices efficiently // Top. 2000. № 8(2). P. 191—213.

[35] Bilbao J.M., Fernandez J. R., Jimenes A., Lopez J.J. Voting power in the European Union enlargement // European Journal of Operational Research. 2002. № 143. P. 181—196.

[36] Braham M., Holler M. The impossibility of a preference-based power index // Journal of Theoretical Politics. 2005. № 17(1). P. 137—157.

[37] Braham M., Holler M. Power and preferences again: a reply to Napel and Wid-gren // Journal of Theoretical Politics. 2005. № 17(3). P. 389—395.

[38] Brams S.J. Game Theory and Politics. New York: Free Press, 1975. 312 p.

[39] Brams S.J., Affuso P.J. Power and size: a new paradox // Theory and Decision. 1976. № 7. P. 29—56.

[40] Brams S.J., Affuso P.J. New Paradoxes of Voting Power on the EC Council of Ministers // Electoral Studies. 1985. № 4. P. 135—139.

[41] Brams S.J., Affuso P.J. Addendum to: New Paradoxes of Voting Power on the EC Council of Ministers // Electoral Studies. 1985. № 4. P. 135—139.

[42] Carreras F. Restriction of Simple Games // Mathematical Social Sciences. 1991. V. 21. № 3. P. 245—260.

[43] Coleman J.S. Control of collectivities and the power of a collectivity to act. 1971. In B. Lieberman (ed.) Social choice, Gordon and Breach. London.

[44] Coleman J.S. Loss of Power // American Sociological Review. 1973. № 38. P. 1—17.

[45] Deegan J., Packel E.W. A New Index of Power for Simple n-Person Games // International Journal of Game Theory. 1978. № 7(2). P. 113—123.

[46] Deegan J., Packel E.W. An Axiomatic Family of Power Indices for Simple n-Person Games // Public Choice. 1980. № 35. Pp. 229—239.

[47] Deegan J., Packel E.W. To the (Minimal Winning) Victors Go the (Equally Divided) Spoils: A New Power Index for Simple n-Person Games // In:

S.J. Brams, W.F. Lucas and P.D. Straffin (eds), Political and Related Models. Berlin, Springer, 1983, p. 239—255.

[48] Dubey P. On the Uniqueness of the Shapley Value // International Journal of Game Theory, 1975. № 4. P. 131—139.

[49] Dubey P., Neyman A., Weber R.J. Value theory without efficiency // Mathematics of Operations Research. 1981. № 6. P. 122—128.

[50] Dubey P., Shapley L.S. Mathemaical Properties of the Banzhaf Power Index // Math. Oper. Res., 1979. № 4. P. 99—131.

[51] Edgeworth F.I. Mathematical psychics; an essay on the application of mathematics to the moral sciences. London. 1881. 162 p (в издании 2011 г.)

[52] Feltkamp V. Alternative axiomatic characterizations of the Shapley and Banzhaf values // International Journal of Game Theory. 1995. № 24. P. 179— 186.

[53] Felsenthal. D.S., Machover M. Postulates and paradoxes of relative voting power — A critical reappraisal // Theory and Decision. 1995. № 38. P. 195—229.

[54] Felsenthal. D.S., Machover M. The Measurement of Voting Power: Theory and Practice, Problems and Paradoxes. Cheltenham: Edward Elgar, 1998. 322 p.

[55] Felsenthal. D.S., Machover M. Voting power measurement: a story of misrein-vention. 2005 // Social Choice and Welfare. V 25. P. 485—506.

[56] Friedman J., McGrath L., Parker C. Achievable hierarchies in voting games // Theory and Decision. 2006. № 61. P. 305—318.

[57] Gillies D.B. Solutions to General Non-zero-sum Games // Annals of Mathematical Studies. 1959. № 40. P. 47—85.

[58] Haller H. Collusion properties of values // International Journal of Game Theory. 1994. № 23. P. 261—281.

[59] Holler M.J., Packel E.W. Power. Luck and the Right Index // Journal of Economics. 1983. №43, P. 21—29.

[60] Johnston R.J. On the Measurement of Power: Some Reactions to Laver // Environment and Planning. 1978. № 10. P. 907—914.

[61] Katsev I,, Yanovskaya E. The Prenucleolus for Games with Restricted Cooperation// Mathematical Social Sciences. 2013. № 66. P. 56—65.

[62] Kilgour D.M. A formal analysis of the amending formula of Canada's Constitution Act // Canadian Journal of political science. 1983. № 16. P. 771—777.

[63] Kunh H.W. Report on an Informal Conference on the Theory of n-Person Games Held in the Princeton University. 1951.

[64] Lambert J.P. Voting games, power indices and presidential elections // UMAP Journal. 1988. № 9. P. 216—277.

[65] Laruelle A., Valenciano F. Shapley—Shubik and Banzhat Indices Revisited // Mathematics of operation research. 2000. № 26. № 1. P. 89—104.

[66] Laruelle A., Valenciano F. A critical reappraisal of some voting power paradoxes // Public Choice. 2005. № 125. P. 17—41.

[67] Laruelle A., Valenciano F. Assessing success and decisiveness in voting situations // Social Choice and Welfare. 2005. № 24. P. 171—197.

[68] Leech D. Computation of power indices. // Warwick economic research papers. 2002. № 644. 59 p.

[69] Leech D. Computing Power Indices for Large Voting Games // Management Science. 2003. № 49(6). P. 831—837.

[70] Lehrer E. An Axiomatizaton of the Banzhaf Value // Inttrnational Journal of Game Theory. 1988. № 17(2). P. 88—99.

[71] Lindner I., Machover M. L.S. Penrose's limit theorem: Proof of some special cases // Mathematical Social Sciences. 2004. № 47. P. 37—49.

[72] Mann I., Shapley L. S. Values of Large Games IV: Evaluating the Electoral College by Montecarlo Techniques // Rand Corporation memo RM-2651, 1960, The Rand Corporation, Santa Monica, CA.

[73] Mann I., Shapley L. S. Values of Large Games VI: Evaluating the Electoral College Exactly // Rand Corporation memo RM-3158, 1962, The Rand Corporation, Santa Monica, CA.

[74] Matsui Y., Matsui N. NP-completeness for calculating power indices of weighted majority games // Theoretical Computer Science. 2001. № 263. P. 305—310.

[75] Myerson R.B. Graphs and Cooperation in Games // Mathematics of Operations Research. 1977. V. 2. № 3. P. 225—229. Published by:

[76] Napel S., Widgren M. The Possibility of Preference Based Power Index // Journal of Theoretical Politics. 2005. № 17. P. 377—387.

[77] Von Neuman J., Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. Prineston university press, 1944. 650 p.

[78] Nowak A.S. An Axiomatizaton of the Banzhaf Value without the Additivity axiom // International Journal of Game Theory. 1997. № 26(1). P. 137—141.

[79] Owen G. Multilinear extensions of games. Management Science. 1972. № 18 (5, Part 2). P. 64—79.

[80] Owen G. Multilinear extensions and the Banzhaf value // Naval Reearch Logistic Quart. 1975. № 22. P. 741—750.

[81] Owen G. Game theory, 2nd ed. Academic Press, New York, 1982.

[82] Owen G., Shapley L.S. Optimal location of candidates in ideological space // International Journal of Game Theory. 1989, № 1. P. 125—142.

[83] Penrose L.S. Elementary statistics of majority voting // Journal of the Royal Statictics Society. 1946. № 109. P. 53—57.

[84] Rae D.W. Decision rules and individual values in constitutional choice // The American Political Science Review. 1969. № 63. P. 40—56.

[85] Riker W.H. The first power index // Social Choice and Welfare. 1986. № 3(4). P. 293—295.

[86] Shapley L.S. A Value for n-person Games. In: Annals of Mathematical Studies. № 28. P. 307—317. Princeton University Press, 1953.

[87] Shapley L.S. Political Science: Voting and Barganing games. In "Notes of Lectures in Mathematics in the Behavioral Sciences". Williamstorm, MA. Mathematical Association of America. 1973. P. 37—92.

[88] Shapley L.S., Shubik M. A method for Evaluating the Distribution of Power in a Committee System // American Political Science Review. 1954. № 48(3). P. 787—792.

[89] Steunenberg B., Schmidtchen D., Coboldt C., Strategic Power in the European Union // Journal of Theoretical Politics. 1999. № 11. P. 339—366.

[90] Straffin P. Homogeneity, independence, and power indices // Public Choice. 1977. № 30. P. 107—118.

[91] Taylor A.D., Zwicker W.S. A characterization of weighted voting // Proceedings of the American Mathematical Society. 1992. № 115. P. 1089—1094.

[92] Taylor A.D., Zwicker W.S. Simple Games. Princeton University Press, 1999.

[93] Weber R.J. Probabilistic values for games // A. E. Roth, Ed. The Shapley Value: Essays in Honor of Lloyd S. Shapley. 1988. Cambridge University Press, p. 101—119.

[94] Widgren M. A note on Matthias Sutter // Journal of Theoretical Politics. 2000. № 12(4). P. 451—454.

[95] Yakuba V. Evaluation of Banzhaf index with restrictions on coalitions formation // Mathematical and Computer Modelling. 2008. № 48(9—10). P. 1602—1610.

[96] Yakuba V. Power Distribution in the European Council of Ministers in EU25 // Труды 4-й Московской международной конференции по исследованию операций, (ORM2004). М:. ВМК МГУ. 2004. С. 238—239.

[97] Young Н. Р. Monotonie solutions of cooperative games // International Journal of Game Theory. 1985. № 14. P. 65—72.