Индекс и коциклическая сопряженность полугрупп эндоморфизмов W* -факторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Амосов, Григорий Геннадьевич

• Амосов, Григорий Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Амосов, Григорий Геннадьевич

Содержание

Введение

Глава 1. Индекс Пауэрса-Арвесона и регулярное расширение. Случай произвольного И/*-фактора

1.1 Расширение на В(Н) *-эндоморфизма а И^*-фактора М. С В{%) вполне совместимого с точным нормальным состоянием

1.2 Минимальная дилатация а до нормального *-автоморфизма

1.3 Индекс Пауэрса-Арвесона ^о-полугруппы а, вполне совместимой с точным нормальным состоянием. Система-произведение, ассоциированная с а

Глава 2. Индекс Пауэрса-Арвесона и регулярное расширение квазисвободных полугрупп

2.1 Продолжение на B(7i) квазисвободных эндоморфизмов гиперфинитных факторов. Семейство изометрий выполняющее квазисвободный эндоморфизм

2.2 Индекс Пауэрса - Арвесона квазисвободной Ед-полу-группы на гиперфинитном факторе. Система - произведение, ассоциированная с квазисвободной полугруппой

2.3 Аналог разложения Вольда для *-эндоморфизма, вполне совместимого с точным нормальным состоянием

Глава 3. Внутренние квазисвободные автоморфизмы и ко-циклическая сопряженность на гиперфинитных факторах типа I, II и III

3.1 Критерий внутренности квазисвободного автоморфизма. Коциклическая сопряженность квазисвободных эндоморфизмов и £о-полугрупп на гиперфинитных факторах

3.2 Аппроксимация изометрических операторов в гильбертовом пространстве

3.3 Аппроксимация полугрупп изометрических операторов

в гильбертовом пространстве

3.4 Квазисвободные сдвиги и £о-полугруппы сдвигов на гиперфинитных факторах и их классы коциклической сопряженности

Приложение. Алгебра канонических антикоммутационных соотношений и ее представления. Модулярные объекты и коммутант гиперфинитного фактора

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Индекс и коциклическая сопряженность полугрупп эндоморфизмов W* -факторов»

Введение

В предлагаемой работе исследуются условия и инварианты коцик-лической сопряженности однопараметрических полугрупп униталь-ных нормальных *-эндоморфизмов t at 6 End{M), t £ Т, на И^-факторе М. В качестве Т мы рассматриваем Z+ = N® {0} и R+ = [0, +00) для дискретных и непрерывных полугрупп соответственно. Свойства дискретной полугруппы полностью определяются *-эндоморфизмом ai = а, так что az+ = (an)nez+- Для полугрупп aR+ = (ai)i€R+ всюду дальше предполагается выполненым условие непрерывности функций г)(щ(х)) по t при любых фиксированных г) € A4*, х € М, при выполнении которого o;r+ называется Голоду группой. Основное отличие нашего исследования от ранее проводившихся в том, что рассматриваемые нами факторы неизоморфны алгебре всех ограниченных операторов B{l-L).

Теория ТУ*-алгебр или алгебр фон Ноймана появилась в 30-40-ые годы XX века (см. [1]). Дж. фон Нойман доказал существование С*-алгебр, замкнутых в слабой топологи ( = ty*-алгебр ), неизоморфных алгебре всех ограниченных операторов В(Н) в сепарабельном гильбертовом пространстве %. Им, совместно с Мюрреем, была дана классификация И^*-факторов ( то есть Ж*-алгебр A4, пересечение которых с их коммутантом в ß{%) содержит лишь операторы, кратные единице ) на типы 1,11 и III. К типу I относятся, в точности, И^-факторы, изоморфные В{%). В 70-ые годы возникла модулярная теория, установившая тонкую классификацию И^*-факторов типа III (см. [2-6]). Важнейшим понятием в модулярной теории является коциклическая сопряженность так называемых "модулярных" групп автоморфизмов VP-алгебры. С другой стороны, определение коциклической сопряженности естественным образом возникает при

исследовании возмущений непрерывных однопараметрических групп (см. [16]). В частности, группы автоморфизмов, генераторы которых отличаются на ограниченное дифференцирование алгебры, коцикли-чески сопряжены. Коциклическая сопряженность групп автоморфизмов исследовалась как с помощью структурных свойств алгебры (см. [11-12]), так и свойств самих групп (см. [13-15]). В дальнейшем понятие коциклической сопряженности было перенесено на полугруппы эндоморфизмов в теории индекса (см. ниже).

Важнейшим источником примеров И^*-факторов разных типов является С*-алгебра канонических антикоммутационных соотношений А(1С) над сепарабельным гильбертовым пространством К. Приводимые ниже факты, касающиеся Л(1С), более подробно изложены в приложении. Оператор Л, 0 < Л < /, в пространстве К определяет квазисвободное состояние шц на А (1С). Представление ГНС 7Гд, отвечающие порождает гиперфинитный Ж*-фактор Мя = 7гл(Л(/С));/, при этом состояние иц на А(К) порождает векторное состояние на Мд, которое мы будем также обозначать соц. Исследование факторов Мд и квазисвободных отображений на них инициировано Пауэрсом в [19]. Пауэре рассмотрел случай Я = 1/1, 0 < ^ < 1/2. Им была доказана принадлежность фактора МI к типу Щ и факторов Ми, 0 < и < 1/2, к типу III. Позднее Конн уточнил классификацию Пауэрса, установив принадлежность Ми к типу 1Щ, Л = (см. [6]). Общая классификация факторов А4л, в зависимости от спектральных свойств оператора Я, установлена в [29]. Любой изометрический ( сжимающий ) оператор в /С порождает, с помощью "квазисвободного подъема", эндоморфизм ( вполне положительное отображение ) С*-алгебры А(К,) и И^*-фактора называемое квазисвободным. В [30,23] исследованы дифференциальные уравнения на А(К), решениями которых являются полугруппы квазисвободных отображений. Решения квантовых стохастических дифференциальных уравнений на А(К),

возникших первоначально на С*-алгебре канонических коммутационных соотношений (см. [83,85-87]), удовлетворяют условию для коцикла (см. [84,88]).

В конце 80-ых годов, благодаря работам Пауэрса [34] и Арвесона [41] появилась теория индекса полугрупп *-эндоморфизмов алгебры всех ограниченных операторов В (Tí). Согласно этой теории каждой полугруппе ау, Т = Z+ или R+, удовлетворяющей условию "про-странственности" (см. ниже), приписывалась числовая характеристика, индекс indar 6 Z+. Отметим, что indaz+ = 1 ( indar+ = 0 ) тогда и только тогда, когда az+ ( ü;r+ ) состоит из автоморфизмов. Как было показано, индекс имеет одинаковое значение у коцикличес-ки сопряженных полугрупп. Более того, Арвесон в [41] показал, что при накладовании на класс рассматриваемых Ёо-полугрупп некоторых условий регулярности, при выполнении которых они называются "вполне пространственными", полугруппы из этого класса с одинаковыми индексами коциклически сопряжены. Последовавшие работы развивали теорию как в абстрактном случае (см. [35-38,42-48,6972]), так и для случая квазисвободных эндоморфизмов гиперфинитных факторов (см. [39,64-68]), введенных Пауэрсом в [19]. Используя процедуру минимальной дилатации до *-эндоморфизма, Бхат в [48] развил теорию индекса для динамических полугрупп, состоящих из вполне положительных сжатий В(%). Еще в первой работе [34], Пауэре указал на возможность введения индекса полугрупп эндоморфизмов на 1У*-факторе Л4 отличном от В(Ж). Им был предложен метод введения индекса Е'о-полугруппы на гиперфинитном факторе типа Их.

Пауэре в [34] поставил задачу о построении для любого натурального числа п такой £о-полугруппы а, на И^-факторе М, названной им потоком сдвигов, что r\n€z+atn(M) = Cl, t > 0, и inda = п. Там же приведено решение этой задачи в случаях, когда М является алгеброй всех ограниченных операторов и гиперфинитным фактором

типа Iii. Арвесон в [41] доказал, что потоки сдвигов Пауэрса на В{%) являются вполне пространственными .^-полугруппами. Таким образом, индекс характеризует класс коциклической сопряженности потоков сдвигов Пауэрса на В(Н). Булинский в [51-52] показал, что на любом гиперфинитном факторе типа Шд существуют потоки сдвигов Пауэрса с заданным индексом. В [51-52] была установлена связь потоков сдвигов с K-потоками, определенными в [49]. В этой связи, Булинским было указано, что потоки сдвигов естественнее называть полупотоками.

В [41] было показано, что любой нормальный *-эндоморфизм В (К) "выполняется" некоторым семейством изометрических операторов. Индекс Пауэрса эндоморфизма (и отвечающей ему дискретной полугруппы) есть число изометрических операторов в этом семействе (см. [69,71]). Исследование структуры семейства изометрических операторов, выполняющего квазисвободный эндоморфизм, проводилось Бинненхаем в [33].

Мы рассматриваем полугруппы ат на И^-факторе М, для которых предполагается выполненым условие полной совместимости с точным состоянием ш Е М* (A.B. Булинский).

Определение. Эндоморфизм а называется совместимым с точным состоянием и Е М.*, если выполнено условие

(a) ша = ш (инвариантность и относительно действия а); в случае если дополнительно выполнено условие

(b) Ода = aoR (коммутативность с модулярной группой, отвечающей íü),

а называется вполне совместимым с и.

Полугруппа ат называется (вполне) совместимой с ш, если эндоморфизмы o¿t (вполне) совместимы с ш при любом t Е Т.

Условие (а) гарантирует существование полугруппы изометрических операторов Vt, сплетающей полугруппу ат в смысле c¿t{x)Vt =

Ц.х, х Е М, 4 6 Г. Полугруппы а?, Для которых найдется сплетающая полугруппа изометрий, называются пространственными (Р.Т. Пауэре).

Пусть М - Ж*-фактор типа 1П\, 0 < Л < 1. Фиксируем £ = Предположим, что выполнено одно из следующих эквивалентных

условий (см. [7], С.439): - < = /<*;

— алгебра неподвижных элементов сгш является фактором;

— 8р(Аш) = Г(сга;), где Аш - модулярный оператор;

тогда мы будем говорить, что сгш удовлетворяет условию Е. В случае, когда М имеет тип Щ мы считаем выполненым условие Е для модулярной группы <7Ш, отвечающей следовому состоянию и на

М.

В диссертации изучаются объекты, относительно которых предполагаются выполнеными следующие условия:

В первой главе мы исследуем полугруппы нормальных эндоморфизмов абстрактного И^-фактора М., вполне совместимые с состоянием ш, для которого удовлетворяет условию Е. Во второй главе исследуются квазисвободные полугруппы на факторе Л4д, вполне совместимые с состоянием шд, для которого оШк не удовлетворяет, вообще говоря, Е. В третьей главе мы исследуем модельный случай квазисвободных отображений на гиперфинитных факторах М.у типа П1 и Шд ( 0 < V < 1/2 ), вполне совместимых с состоянием Для модулярной группы , 0 < V < 1/2, условие Е выполняется всегда.

Изложим кратко изучаемые в диссертации вопросы: В главе 1 доказывается выполнимость семейством изометрических операторов нормального *-эндоморфизма а 1¥*-фактора Л4, отличного от В(Т-С). Это позволяет нам установить "регулярное расширение" полугруппы ат на М до полугруппы (5т на В(Н) = М V М!.

Применение указанной процедуры для ^-полугруппы а на М позволяет получить Ео-полугруппу ¡3 на В (71), являющуюся регулярным расширением а. Мы вводим индекс а как индекс Пауэрса-Арвесона /3. Определенный таким образом индекс является инвариантным относительно коциклической сопряженности полугрупп. В главе 2 мы применяем технику, развитую в главе 1, для исследования квазисвободных эндоморфизмов гиперфинитных факторов Л4д. Отметим, что для модулярной группы аШн, Я ф у1, не выполняется, вообще говоря, условие £. В случае квазисвободных £о-полугрупп на А4д ~ В [Ж) доказано, что индекс полностью характеризует класс коциклической сопряженности полупотоков сдвигов Пауэрса. Кроме того, мы исследуем класс всех квазисвободных расширений (а не только "регулярного" , введенного в главе 1) квазисвободного эндоморфизма а гиперфинитного фактора Му, 0 < и < 1/2, на В{%) = У М!у. Далее, мы предлагаем аналог разложения Вольда для нормальных эндоморфизмов. В главе 3 исследуются условия коциклической сопряженности квазисвободных эндоморфизмов и ¿^"Полугрупп в модельной ситуации 1У*-факторов Ми, 0 < V < 1/2. Используя полученные условия, мы вводим определение аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве. Изометрическим операторам (Со-полугруппам изометрических операторов) V и V, аппроксимирующим друг друга в смысле нашего определения, отвечают коциклически сопряженные квазисвободные эндоморфизмы (.Ео-полугруппы) В(и) и В(у), полученные подъемом V и V. Мы решаем задачу об аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве вполне неунитарными изометрическими операторами и полугруппами вполне неунитарных изометрических операторов соот-ветсвенно. Это позволяет нам описать классы коциклической сопряженности сдвигов и полупотоков сдвигов Пауэрса на гиперфинитных

факторах типа Iii и П1д.

Мы обозначаем символами В(%) - алгебру всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве И; М - РК*-фактор действующий в % с циклическим и отделяющим вектором Q,; М! - коммутант М; М V Я - минимальную VP-алгебру, содержащую И^-алгебры М. и 7V; ш, как правило, обозначает вектороное состояние (П,-П); а и ß - нормальные унитальные эндоморфизмы или полугруппы эндоморфизмов Л4; s2, || • Ц2, 5оо и || • || обозначает класс операторов Гильберта-Шмидта, норму Гильберта-Шмидта, класс вполне непрерывных операторов в % ж норму в В(%) соответственно.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Амосов, Григорий Геннадьевич

Заключение

Приведенное в диссертационной работе исследование полугрупп эндоморфизмов И/*-алгебр дало следующие основные результаты:

1. Введено понятие регулярного расширения *-эндоморфизма а }>¥*-алгебры М С В(И), до *-эндоморфизма (3 И^*-алгебры В(%). Доказано существование и единственность регулярного расширения полугрупп ^-эндоморфизмов, вполне совместимых с точным нормальным состоянием.

2. Регулярное расширение исследовано для случая квазисвободных полугрупп на гиперфинитных факторах Л4д С В(И). Показано, что регулярное расширение квазисвободного эндоморфизма является квазисвободным эндоморфизмом. Для модельного случая гиперфинитного фактора Му описан класс квазисвободных эндоморфизмов В(Н), являющихся расширениями (не только регулярными) квазисвободного эндоморфизма а фактора Му.

3. С каждой Ро-полугруппой а на И/*-алгебре М, вполне совместимой с точным нормальным состоянием ассоциирована система-произведение V. Индекс а введен как размерность V. Показано, что введенный индекс равен индексу Пауэрса-Арвесона регулярного расширения а на В(И). Показано, что в случае, когда а является квазисвободной Ео-полугруппой на гиперфинитном факторе М, V является делимой.

4. Предложен аналог разложения Вольда для нормального эндоморфизма алгебры В(Н) и квазисвободного эндоморфизма гиперфинитного фактора типа Щ.

5. Получен критерий внутренности квазисвободного автоморфизма гиперфинитного фактора Му. На основе этого критерия получено необходимое и достаточное условие коциклической сопряженности полугрупп квазисвободных автоморфизмов и достаточное условие коциклической сопряженности квазисвободных Д)-полугрупп на гиперфинитных факторах М.и.

6. На основе полученных нами условий коциклической сопряженности квазисвободных эндоморфизмов и квазисвободных полугрупп введены определения аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве. Квазисвободный подъем ( Со-полугрупп ) изометрических операторов, аппроксимирующих друг друга в смысле нашего определения дает коциклически сопряженные ( ¿^-полугруппы ) эндоморфизмы.

7. Исследованы класс изометрических операторов, аппроксимирующих вполне неунитарный изометрический оператор и класс Со-полугрупп изометрических операторов, аппроксимирующих Со-полугруппу вполне неунитарных изометрических операторов. С помощью проведенного исследования описан класс коциклической сопряженности квазисвободных сдвигов, полупотоков сдвигов и К-потоков на гиперфинитных факторах Л4Р.

Автору приятно выразить глубокую признательность Андрею Вадимовичу Булинскому за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Амосов, Григорий Геннадьевич, 1998 год

Литература

Общие вопросы.

1. Murray F.J., Neumann J. von. On rings of operators //I - Ann. Math. - 1936. - V.37. - P. 116-229, II - Trans. AMS. - 1937. - V.41. - P. 208-248, III - Ann. Math. - 1940. - V.41. - P. 94-161, IV - Ann. Math. - 1943. - V.44. - P. 716-808. (В русск. пер. см. в: Дж. фон Нейман. Избранные труды по функциональному анализу II. М.: Наука, 1987.)

2. Takesaki М. Tomita's theory of modular Hilbert-algebras and its application //Lect. Notes in Math. V.128. Berlin: Springer, 1970.

3. Takesaki M. Conditional expectations in von Neumann algebras //J. Funct. Anal. - 1972. - V.9. - P. 306-321.

4. Takesaki M. Duality for crossed products and the structure of von Neumann algebras of type III //Acta Math. - 1973. - V.131. - P. 249-310.

5. Connes A. Une classification des facteurs de type III //Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1973. - V.6. - P. 133-252.

6. Connes A. Classification of injective factors. Cases Hi, IIqo, IIIA, А ф 1 //Ann. Math. - 1976. - V.104. - P. 73-115.

7. Stratila S. Modular theory in operator algebras. Abacus press, 1981.

8. Наймарк M.A. Нормированные кольца. M.: Наука, 1968.

9. Dixmier J. Algebres de von Neumann. Paris, 1957.

10. Pedersen G.K. C*-algebras and their automorphism group. London, 1979.

11. Feldman J., Moore C. Ergodic eqivalence relations, cohomology and von Neumann algebras //Trans. AMS. - 1977. - V.234. - P. 289-359.

12. Kawahigashi Y. One-parameter automorphism groups of the hyperfinite type Hi factor //J. Operator Theory. - 1991. - V.25. - P. 37-59.

13. Bratteli 0., Herman R.H. Robinson D.W. Perturbations of flows on Banach spaces and operator algebras //Commun. Math. Phys. - 1978.

- V.59. - P. 167-178.

14. Robinson D.W. The approximation of flows //J. Funct. Anal. -1977. - V.24. - P. 280-290.

15. Bratteli 0., Robinson D. Operator algebras and quantum statistical mechanics. Springer-Verlag, I - 1979, II -1981. (часть I имеется в русск. пер.: Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982.)

16. Araki Н. Expansional in Banach algebras //Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1973. - V.6. - P. 67-84.

17. Чеботарев A.M. Необходимые и достаточные условия консервативности динамических полугрупп //Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Новейшие достижения. Т 36. М.: ВИНИТИ, 1990.

18. Чеботарев A.M. О максимальной С*-алгебре нулей вполне положительного отображения и границе динамической полугруппы //Матем. Заметки - 1994. - V.56. - Р. 88-105.

Алгебра КАС и гиперфинитные факторы.

19. Powers R.T. Representations of uniformly hyperfinite algebras and their associated von Neumann rings //Ann. Math. (2ser) - 1967. - V.86.

- P. 138-171.

20. Shale D., Stinespring W.F. Spinor representations of infinite orthogonal groups //J. Math. Mech. - 1965. - V.14. - P. 315-322.

21. Araki H. On quasifree states of CAR and Bogoliubov automorphisms //Publ. RIMS. - 1971. - V.6. - P. 385-442.

22. Araki H. Bogoliubov automorphisms and Fock representations of canonical anticommutation relations //Contemp. Math. - 1985. - V.62. -P. 21-141.

23. Evans D. Completely positive quasifree maps on the CAR algebra //Commun. Math. Phys. - 1979. - V.70. - P. 53-68.

24. Manuceau J. Etude algebrique des etats quasi-libres //Cargese lect. in phys. - 1970. - V.4. - P. 303-322.

25. Rocca F. Complexification des evolutions quasi-libres //Cargese lect. in phys. - 1970. - V.4. - P. 323-333.

26. Sirugue M. Les états quasi-libres de l'algebre de Clifford comme solution des conditions de KMS //Cargese lect. in phys. - 1970. - V.4. -R 335-348.

27. Frigerio A. On a theorem of Accardi and Cecchini //Bull. UMI. -1983. - V. 2B(6). - R 269-281.

28. Powers R.T., St0rmer E. Free states of canonical anticommutation relations //Commun. Math. Phys. - 1970. - V.16. - P. 1-33.

29. Murakami T., Yamagami S. On types of quasifree representations of Clifford algebras //Publ. RIMS. - 1995. - V.31. - P. 33-44.

30. Davies E.B. Irreversible dynamics of infinite fermion systems //Commun. Math. Phys. - 1977. - V.55. - P. 231-258.

31. Davies E.B. Involutive automorphisms of operator algebras //Trans. AMS. - 1971. - V. 158. - P. 115-142.

32. Fannes M., Rocca F. A class of dissipative evolutions with applications in thermodynamics of fermion systems //J. Math. Phys. -1980. - V.21(2). - P. 221-226.

33. Binnenhei C. Implementation of endomorphisms of the CAR algebra, Inst. Theor. Phys. der Freien Univ. Berlin, 1995, 1-31, preprint.

Теория индекса. Непрерывнве полугруппы.

34. Powers R.T. An index theory for semigroups of *-endomorphisms of J3{H) and Hi factor //Canad.J.Math. - 1980. - V.40. - P. 86-114.

35. Powers R.T. A non-spatial continuous semigroup of *-endomorphisms of B(U) //Publ. RIMS. - 1987. - V. 23. - P. 1053-1069.

36. Powers R.T., Robinson D. An index for continuous semigroups of *-endomorphisms of B(U) //J. Funct. Anal. - 1989. - V.84. - P. 85-96.

37. Powers R.T., Price G.L. Continuous spatial semigroups of *-endomorphisms of B(H) //Trans. AMS. - 1990. - V.321. - P. 347-361.

38. Powers R.T. On the structure of continuous spatial semigroups of

*-endomorphisms of В{П) // Inter. J. Math. - 1991. - V.3. - P. 323-360.

39. Jorgensen P.E.T., Price G.L. Index theory and second quantization of boundary value problems //J.Funct.Anal. - 1992. - V.104. - P. 243-290.

40. Powers R.T. Possible classification of continuous spatial semigroups of *-endomorphisms of B(H) //Proceed. Symposia in Pure Math. - 1996.

- V.59. - P. 161-173.

41. Arveson W. Continuous analogues of Fock space //Mem. AMS. -1989. - V.80. - P. 1-66.

42. Arveson W. Continuous analogues of Fock space II //J. Funct. Anal. - 1989. - V.84. - P. 85-96.

43. Arveson W. Continuous analogues of Fock space III //J. Operator Theory. - 1992. - V. 22. - P. 165-205.

44. Arveson W. Continuous analogues of Fock space IV //Acta Math.

- 1990. - V.164. - P. 265-300.

45. Arveson W. An addition formula for the index of semigroups of endomorphisms of B(U) //Рас. J. Math. - 1989. - V. 137. - P. 19-36.

46. Arveson W. The index of a quantum dynamical semigroup //J. Funct. Anal. - 1997. - V. 146. - 557-588.

47. Arveson, W. Pure J5o-semigroups and absorbing states //Commun. Math. Phys. - 1997. - V. 187. - P. 19-43.

48. Bhat B.V.R. An index theory for quantum dynamical semigroups //Trans. AMS. - 1996. - V. 348. - P. 561-583.

К-системы.

49. G.G.Emch. Generalized K-flows //Commun. Math. Phys. - 1976.

- V.49. - P. 191-215.

50. Schroder W. A hierarchy of mixing properties for noncommutative K-systems //Lect. Notes in Math. - 1984. - V. 1055. - P. 340-351.

51. Булинский А.В. Алгебраические К-системы и полупотоки сдвигов Пауэрса //УМН. - 1996. - Т. 51, N 2. - С. 145-146.

52. Булинский А.В. Неизоморфные потоки сдвигов на гиперфинит-

ных факторах //В сб.: Проблемы математики в физических и технических задачах. М.: Изд-во МФТИ, 1994. - С. 211-220.

Отображения, вполне совместимые с точным нормальным состоянием.

53. Kummerer В. Markov Dilations on VF*-algebras //J. Funct. Anal. - 1985. - V.63. - P. 139-177.

54. Accardi L. Cecchini C. Conditional expectations in von Neumann algebras and a theorem of Takesaki //J. Funct. Anal. - 1982. - V.45. - P. 82-83.

55. Булинский А.В. Некоторые асимптотические свойства Нединамических систем //Функ. анал. и при лож. - 1995. - Т.29, в.2. -С. 64-67.

56. Булинский А.В. Об асимптотической автоморфности динамических полугрупп //В сб.: Проблемы математики в задачах физики и техники. М.: Изд-во МФТИ, 1990. - С. 23-32.

57. Булинский А.В. Инвариантные подалгебры, притягивающие орбиты динамических полугрупп //В сб.: Проблемы математики в задачах физики и техники. М.: Изд-во МФТИ, 1992. - С. 22-25.

58. Булинский А.В. Асимптотически эндоморфные Н^-системы //В сб.: Проблемы математики в физико-технических и экономических задачах. М.: Изд-во МФТИ, 1993. - С. 11-18.

Дилатации полугрупп.

59. Bhat B.V.R., Parthasarathy K.R. Markov dilations of nonconservative dynamical semigroups and a quantum boundary theory //Ann. Inst. Henri Poincare. - 1995. - V.31. -P. 601-651.

60. Douglas R.G. On extending commutative semigroups of operators //Bull. London Math. Soc. - 1969. - V.l. - P. 157-159.

61. Arveson W., Kishimoto A. A note on extensions of semigroups of *-endomorphisms //Proc. AMS. - 1992. - V.116. - P. 769-774.

62. Dinh H.T. On discrete semigroups of *-endomorphisms of type I factors // Internat. J. Math. - 1992. - V.3. - P. 609-628.

63. Batty C.J.K., Greenfield D.A. Extensions of isometric dual representations of semigroups //Bull. London Math. Soc. - 1996. - V.28.

- P. 375-384.

Теория индекса. Дискретные полугруппы эндоморфизмов.

64. Price G.L. Shifts on type IIX factors //Canad. J. Math. - 1987. -V.139. - P. 492-511.

65. Choda M. Shifts on the hyperfinite Щ factor //J. Operator Theory.

- 1987. - V.17. - P. 223-235.

66. Powers R.T., Price G.L. Binary shifts on the hyperfinite Hi factor //Contemp. Math. - 1993. - V.145. - P. 453-464.

67. Powers R.T., Price G.L. Cocycle conjugacy classes of shifts on the hyperfinite Hi factor //J. Funct. Anal. - 1994. - V.121. - P. 275-295.

68. Enomoto M., Nagisa M., Watatani Y., Yoshida H. Relative commutant algebras of Powers' binary shifts on the hyperfinite Hi factor //Math. Scand. - 1991. - V.68. - P. 115-130.

69. Laca M. Endomorphisms of B{W) and Cuntz algebras //J. Operator Theory. - 1993. - V.30. - P. 85-108.

70. Laca M. Gauge invariant states of 000 //J. Operator Theory. -1993. - V. 30. - P. 381-396.

71. Bratteli O., Jorgensen P.E.T., Price G.L. Endomorphisms of B(H) //Proceed. Symposia in Pure Math. - 1996. - V.59. - P. 93-138.

72. Bratteli O., Jorgensen P.E.T. Endomorphisms of B(U) II. Finitely correlated states on On //J. Funct. Anal. - 1997. - V.145. - P. 323-373.

73. Price G.L. Cocycle conjugacy classes of shifts on the hyperfinite III factor, II //J. Operator Theory (to appear)

74. Price G.L. Shifts on the hyperfinite Hi factor, II //J. Funct. Anal, (to appear)

75. Cuntz J. Simple C*-algebras generated by isometries //Commun.

Math. Phys. - 1977. - V. 57. - P. 173-185.

Функциональный анализ и теория функций.

76. Ahern P.R., Clark D.N. On functions orthogonal to invariant subspaces //Acta Math. - 1970. - V. 124. - V. 191-204.

77. Ahern P.R., Clark D.N. Radial limits and invariant subspaces //Amer. J. Math. - 1970. - V. 92. - P. 332-342.

78. Никольский H.K. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.

79. С.-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1970.

80. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Мир, 1980.

81. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

82. Sz.-Nagy В. Isometric flows in Hilbert space //Ргос. Cambridge Phil. Soc. - 1964. - V.60. - P. 45-49.

Квантовое стохастическое исчисление.

83. Hudson R.L., Parthasarathy K.R. Quantum Ito formula and stochastic evolutions //Commun. Math. Phys. - 1984. - V.93. - P. 301-323.

84. Applebaum D.B., Hudson R.L. Fermion's Ito's formula and stochastic evolutions //Commun. Math. Phys. - 1984. - V. 96. - P. 473496.

85. Meyer P.-A. Quantum probability for probabilitists //Lect. notes in math. V.1538. Berlin: Springer, 1993.

86. Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика. Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления. Т. 83. М.: ВИНИТИ, 1991.

87. Holevo A.S. Time-ordered exponentials in quantum stochastic calculus //Quantum, prob. and related topics VII. Springer-Verlag, 1992. - P. 175-202.

88. Holevo A.S. Exponential formulae in quantum stochastic calculus

//Proceed, of the Royal Soc. of Edinburgh. - 1996. - V. 126A. - V. 375389.

89. Чеботарев A.M. Квантовое стохастическое уравнение унитарно эквивалентно симметричной краевой задаче для уравнения Шредин-гера //Матем. Заметки. - 1997. - V. 61. - С. 612-622.

Публикации по теме диссертации.

90. Амосов Г.Г., Булинский A.B. Сопряженные полугруппы сдвигов гиперфинитных факторов //Некот. проб л. совр. матем. и их при-лож. к задач, физ. и мех., М.: Изд-во МФТИ, 1995. - С. 12-15.

91. Амосов Г.Г. К теории индекса непрерывных полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве //Некот. пробл. фунд. и прикл. матем., М.: Изд-во МФТИ, 1996. - С. 14-24.

92. Амосов Г.Г. Об аппроксимации непрерывных полугрупп изометрий //Алгебра и анализ. Матер, конф., поев. 100-летию Б.М.Гагаева. (16-22 июня 1997 г., г.Казань). - С. 17-18.

93. Амосов Г.Г. О классе коциклической сопряженности квазисвободных Ео-полугрупп сдвигов //Юбил. науч. конф. МФТИ. 28-29 ноября 1997 г. Тезисы докладов. - С. 56.

94. Амосов Г.Г. О классе коциклической сопряженности квазисвободных K-систем //Некот. пробл. фунд. и прикл. матем., М.: Изд-во МФТИ, 1997. - С. 4-16.

95. Амосов Г.Г., Булинский A.B. Индекс Пауэрса-Арвесона для квазисвободных динамических полугрупп //Матем. Заметки. - 1997. - Т.62, N 6. - С. 933-936.

96. Амосов Г.Г., Булинский A.B. Об индексе Пауэрса-Арвесона для динамических полугрупп на И^*-алгебрах //УМН. - 1998. - Т. 53, N 4. - С. 210.

97. Amosov G. Cocycle conjugacy classes of Powers' semifiow of shifts //Abstracts of Short Commun, and Posters of Internat. Congr. Math. Berlin, August 18-27, 1998. - P. 113-114.