Имитационное моделирование динамики популяций, развивающихся в нестационарной среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Логинов, Константин Константинович

• Логинов, Константин Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Логинов, Константин Константинович

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор математических моделей динамики взаимодействующих популяций

1.1 Детерминированные модели

1.2 Вероятностные модели

1.3 Выводы по главе

Глава 2. Стохастические модели динамики изолированных популяций с сезонным размножением особей

2.1 Стохастическая модель динамики популяции с переменной длительностью периодов между сезонами размножения особей

2.1.1 Описание модели

2.1.2 Уравнения для математического ожидания и дисперсии численности популяции

2.1.3 Алгоритм численного моделирования

2.1.4 Вычислительный эксперимент

2.2 Стохастическая модель динамики популяции в условиях переменного количество пищевых ресурсов, приходящихся на одну особь

2.2.1 Описание модели

2.2.2 Алгоритм численного моделирования

2.2.3 Вычислительный эксперимент

2.2.4 Репродуктивный потенциал популяции 2.3 Выводы по главе

46

Глава 3. Стохастическая модель динамики популяции с учетом возрастной структуры особей и ограниченности количества мест репродукции

3.1 Описание модели

3.2 Верхние оценки на математические ожидания численностей различных возрастных групп

3.3 Исследование нелинейной мажорирующей системы для математических ожиданий

3.4 Алгоритм численного моделирования

3.5 Вычислительный эксперимент

3.6 Выводы по главе

Глава 4. Стохастические модели динамики конкурирующих популяций, развивающихся в условиях воздействия на особей вредных и токсичных веществ

4.1 Стохастическая модель динамики взаимодействующих популяций, развивающихся в условиях воздействия токсичных веществ

4.1.1 Описание модели

4.1.2 Алгоритм численного моделирования

4.1.3 Вычислительный эксперимент

4.1.4 Исследование динамики численности популяций на основе прибли-

женных уравнений для математических ожиданий

4.2 Стохастическая модель динамики популяций в условиях потребления особями вредных пищевых ресурсов

4.2.1 Описание модели

4.2.2 Алгоритм численного моделирования

4.2.3 Вычислительный эксперимент

4.3 Реализация параллельных алгоритмов на многопроцессорных и многоядерных ЭВМ

4.4 Выводы по главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Имитационное моделирование динамики популяций, развивающихся в нестационарной среде»

Введение

Одно из современных направлений в исследовании популяционной динамики связано с применением теории случайных процессов, описывающих миграцию, репродукцию, гибель и превращение особей. Наиболее разработанный подход к построению моделей опирается на случайный процесс рождения и гибели, а также ветвящиеся процессы, включая процессы с взаимодействием частиц [82], [83], [3], [4], [53], [79], [11], [19], [23], [26], [27]. Важным аспектом в исследовании динамики популяций является учет нестационарных условий среды обитания особей. На динамику популяций оказывают влияние разнообразные факторы, среди которых можно выделить ресурсы питания, температурный режим, емкость среды, загрязняющие и токсичные вещества и т.д. Перечисленные факторы могут быть подвержены значительным изменениям, что в свою очередь отражается на продолжительности жизни особей, численности их потомства и миграционной активности.

Учет нестационарных условий среды обитания в сочетании с конкуренцией и самолимитированием особей приводит к значительным трудностям при построении и исследовании стохастических моделей популяционной динамики. Разработанные аналитические методы зачастую довольно трудны для применения в конкретных задачах [10], [19], [55]. Поэтому актуальной является разработка имитационных моделей популяционной динамики на основе теоретико-вероятностного описания, численных методов Монте-Карло и про-

грамм для высокопроизводительных ЭВМ. Имитационные модели позволяют изучать динамику популяций в условиях совместного влияния разноообраз-ных факторов на отдельно взятых особей. Результаты имитационного моделирования дают возможность оценивать не только математические ожидания численностей популяций, но и их дисперсии, корреляции и другие числовые характеристики.

Целью настоящей работы является создание семейства стохастических моделей, вычислительных алгоритмов и моделирующих программ, предназначенных для исследования динамики популяций, развивающихся в нестационарных условиях среды обитания особей. Задачи работы таковы:

1. Построение стохастических моделей динамики популяций с учетом влияния условий среды обитания на процессы репродукции и гибели особей (непостоянная продолжительность периодов между сезонным размножением особей, переменное количество пищевых ресурсов, приходящихся на одну особь, ограниченное количество мест репродукции особей, воздействие на особей вредных и токсичных веществ).

2. Исследование построенных моделей на основе изучения вспомогательных систем разностных и дифференциальных уравнений для математических ожиданий численностей популяций.

3. Разработка алгоритмов и моделирующих программ, реализующих построенные модели на многопроцессорных и многоядерных ЭВМ.

4. Проведение вычислительных экспериментов для изучения характерных режимов динамики численности популяций и условий их вырождения.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе представлен обзор детерминированных и стохастических моделей динамики популяций. В основном рассмотрены работы, результаты которых используются для решения поставленных в диссертации задач.

Во второй главе построены две стохастические модели динамики изолированных популяций с сезонным размножением особей. Первая модель учитывает непостоянную длительность периода между сезонами размножения особей. Для этой модели получены уравнения на математическое ожидание и дисперсию численности популяции, аналитически установлены условия вырождения популяции с вероятностью 1 и условия неограниченного роста численности популяции. Разработана моделирующая программа и представлены результаты численных экспериментов. Вторая модель предполагает зависимость численности потомства особей от количества потребленных пищевых ресурсов. Здесь разработан алгоритм моделирования и моделирующая программа. Проведено численное исследование по изучению условий вырождения популяции.

В третьей главе построена и исследована стохастическая модель динамики популяции с учётом конечного времени жизни особей и ограниченности количества мест репродукции. Аналитически установлены достаточные условия вырождения популяции с вероятностью 1 и ограниченности математического ожидания численности популяции. Разработана моделирующая программа. Приведены результаты вычислительного эксперимента по изучению динамики численности популяции в зависимости от значений репродуктивного потенциала особей.

В четвертой главе построены две стохастические модели динамики конкурирующих популяций, развивающихся в условиях воздействия на особей вредных и токсичных веществ. Разработано теоретико-вероятностное опи-

сание динамики популяции на основе неоднородного нелинейного процесса рождения и гибели. Специфика моделей состоит в привлечении линейных дифференциальных уравнений, рассматриваемых на случайных промежутках времени. Разработаны экономичные алгоритмы численного моделирования динамики популяций на основе метода «максимального сечения». Проведено численное исследование динамики двух конкурирующих популяций. Рассмотрены алгоритмы имитационного моделирования на многопроцессорных и многоядерных ЭВМ с помощью билиотек MPI, ОрепМР.

В заключении перечислены конференции и семинары, на которых обсуждались результаты работы. Приведен список используемой литературы, включая работы, опубликованные по теме диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Логинов, Константин Константинович

Основные результаты работы.

1. Построено семейство стохастических моделей динамики популяций, учитывающих влияние нестационарных условиях среды обитания на репродукцию особей и продолжительность их жизни.

2. Разработаны подходы для аналитического исследования поведения математических ожиданий численностей популяций и условий их вырождения на основе нелинейных систем разностных и дифференциальных уравнений.

3. Разработаны алгоритмы численного моделирования и комплекс программ, реализующих построенные модели на ЭВМ, включая программы для многопроцессорных и многоядерных ЭВМ.

4. Аналитически и численно исследовано влияние нестационарных условий среды обитания особей на характерные режимы динамики популяций, включая вырождение популяций и поддержание их численностей на ненулевых уровнях в течение длительного периода времени.

Научная новизна.

1. На основе процессов Гальтона-Ватсона и </?-ветвящихся процессов впервые построены модели динамики популяций с сезонным размножением, учитывающие зависимость числа производимых особями потомков от нестационарных условий среды обитания (длительность до начала очередного сезона размножения особей; объем пищевых ресурсов, приходящихся на одну особь; количество мест, доступных для репродукции особей).

2. Для моделей с сезонным размножением особей, учитывающих количество доступных для особей мест репродукции, впервые установлено, что динамика популяций определяется репродуктивным потенциалом особей А > 0, вычисляемом в рамках линейной мажорирующей системы для математических ожиданий численностей популяций: для А ^ Л* популяции вырождаются с вероятностью 1; при А > Л* вероятность вырождения популяций за достаточно длительный период времени практически равна нулю, где Л* > 1 — некоторое пороговое значение.

3. Для стохастической модели динамики конкурирующих популяций, развивающихся в условиях воздействия на особей токсичных веществ, впервые исследованы режимы динамики популяций в терминах устойчивости положений равновесия вспомогательной системы нелинейных дифференциальных уравнений для условных математических ожиданий численностей популяций и количества токсичного вещества.

4. Для стохастических моделей динамики конкурирующих популяций, подверженных воздействию вредных и токсичных веществ, разработаны эффективные алгоритмы численного моделирования и программы, ориентированные на многопроцессорные и многоядерные ЭВМ.

Теоретическая значимость работы.

На основе процессов Гальтона-Ватсона, (/^-ветвящихся процессов, нелинейного процесса рождения и гибели предложены подходы к построению и исследованию стохастических моделей динамики популяций, развивающихся в нестационарной среде обитания. Построенные модели представляют основу для создания моделей популяционной динамики в нестационарных условиях с учетом индивидуально-ориентированного описания особей.

Практическая значимость работы. Построенные модели и комплекс программ могут быть использованы при разработке технологий мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды, предотвращения и ликвидации ее загрязнения, оценки воздействия природных и антропогенных факторов на динамику различных популяций.

По теме диссертации опубликовано 11 работ: [41], [39], [31], [33], [32], [29], [30], [43], [48], [40], [34].

Результаты диссертации докладывались на 2-ой и 3-ей Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 г., 2009 г.), на 2-ой сессии научной школы-практикума молодых ученых и специалистов «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» в рамках 6-ой Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (г. Санкт-Петербург, 2009 г.), на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009 (г. Новосибирск, 2009 г.), на Международной конференции «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах», секция «Вероятностные модели динамики популяций» (г. Омск, 2009 г.), на Международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры» (г. Омск, 2010 г.), на 3-ей международной конференции «Математическая биология и биоинформатика» (г. Пущино, 2010 г.), на семинаре отдела численных методов Монте-Карло Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (г. Новосибирск, 2010 г.), на научных семинарах лаборатории теоретико-вероятностных методов Омского филиала Учреждения Российской академии наук Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (г. Омск, 2007-2011 гг.).

Заключение

Основной итог диссертации состоит в построении семейства стохастических моделей динамики популяций, развивающихся в нестационарных условиях среды обитания, разработке эффективных алгоритмов и программ для исследования динамики этих популяций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Логинов, Константин Константинович, 2011 год

Литература

1. Аверина Т.А., Михайлов Г.А. Алгоритмы точного и приближенного статистического моделирования пуассоновских ансамблей. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 6. С. 1005 - 1016.

2. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985.

3. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. М.: Иностранная литература, 1958.

4. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских случайных процессов и их приложения. М.: Наука, 1969.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

6. Боровиков В.П. Statistical искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. СпБ.: Питер, 2001.

7. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

8. Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде. I: предельные теоремы // Теория вероятностей и ее применения. 2003. Т. 48, В. 2. С. 274 - 300.

9. Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде. II: конечномерные распределения // Теория вероятностей и ее применения. 2004. Т. 49, В. 2. С. 231 - 268.

10. Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е. Ветвящиеся процессы в случайной среде и бутылочные горлышки в эволюции популяций // Теория вероятностей и ее применения, 2006. Т. 51, № 1. С. 22 - 47.

11. Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы. I. - В кн.: Итоги науки и техники // Теория вероятностей, математическая статистика, теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 1 - 67.

12. Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы. II. - В кн.: Итоги науки и техники // Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ВИНИТИ, 1993. Т. 2.

13. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

14. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.

15. Демидов С.А., Калинкин A.B., Стрыгина Л.А. Ветвящийся процесс со схемой взаимодействия частиц вида «хищник-жертва» // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1999. Т. 6, № 1. С. 137- 138.

16. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. P.A. Полуэк-това. М.: Наука, 1974.

17. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976.

18. Зубков A.M. Аналогии между ветвящимися процессами Гальтона-Ватсона и с^-ветвящимися процессами // Теория вероятностей и ее применения. 1974. Т. 19, №2. С. 319- 339.

19. Калинкин A.B. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи математических наук. 2002. Т. 57, В. 2(344). С. 25 - 84.

20. Калинкин A.B. О вероятности вырождения ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Теория вероятностей и ее применения. 2001. Т. 46, № 2. С. 376 - 381.

21. Калинкин A.B. Точные решения уравнений Колмогорова для критического ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Успехи математических наук. 2001. Т. 56, В. 3. С. 173 - 174.

22. Калинкин A.B., Ланге A.M. Вероятностный аналог модели конкуренции Г.Ф. Гаузе // Стохастические модели в биологии и предельные алгебры = Stochastic models in biology and limit algebras: Международная конференция (2-7 августа 2010 г.): Труды конференции. / Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Омск, Издательство Омского государственного университета, 2010. С. 40 - 43.

23. Калинкин A.B., Ланге A.M., Мастихин A.B., Шапошников A.A. Численные методы Монте-Карло для моделирования схем взаимодействия при дискретных состояниях // Вестник МГТУ. Серия «Естественные науки». 2005. В. 2. С. 53 - 74.

24. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.

25. Клоков С.А. Верхние оценки среднего времени вырождения популяции с постоянной потенциальной емкостью среды // Международная школа-

семинар «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах», секция «Вероятностные модели динамики популяций». Омск, 2009. С. 36 - 37.

26. Клоков С.А., Топчий В.А. О времени вытеснения одним из типов частиц всех остальных в популяции фиксированной численности // Математические труды ИМ СО РАН. 2005. Т. 8, № 2. С. 168 - 183.

27. Клоков С.А., Топчий В.А. Оценки среднего времени фиксации в популяциях постоянного объема // Сибирский математический журнал. 2006. Т. 34, № 6. С. 1275 - 1288.

28. Крестин С. В., Розенберг Г. С. Об одном механизме «цветения воды» в водохранилище равнинного типа // Биофизика. 1996. Т. 41, В. 3. С. 650 -654.

29. Леоненко В.Н., Логинов К.К. Вычислительные аспекты имитационного моделирования распространения туберкулеза // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского Государственного Университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. № 4 (68). С. 99 - 103.

30. Логинов К.К. Вычислительные аспекты имитационного моделирования динамики конкурирующих популяций в условиях воздействия токсичных веществ // Труды международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры». Омск, 2010. С. 54 - 55.

31. Логинов К.К. Математическая модель динамики популяции, развивающейся в нестационарной среде // Вестник Омского Университета. 2009. № 2. С. 50 - 54.

32. Логинов К.К. Статистическое моделирование динамики конкурирующих

популяций в условиях воздействия вредных веществ // Международная школа-семинар «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах», секция «Вероятностные модели динамики популяций». Омск, 2009. С. 43 - 44.

33. Логинов К.К., Перцев Н.В. Имитационное моделирование динамики популяции, развивающейся в нестационарной среде // Материалы 3 международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». Воронеж, 2009. С. 61 -62.

34. Логинов К.К., Перцев Н.В. Применение (^-ветвящихся процессов для исследования динамики популяции в условиях ограниченного количества пищевых ресурсов // Вестник Омского Университета. 2011. № 2. С. 24 -29.

35. Марченко М.А. Комплекс программ MONC для распределенных вычислений методом Монте-Карло // Сибирский журнал вычислительной математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 43 - 55.

36. Нагаев C.B., Вахтель В.И., Недорезов Л.В. Стохастическая модель динамики изолированной популяции // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, ч. 4. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1998. С. 121.

37. Нагаев C.B., Недорезов Л.В., Вахтель В.И. Вероятностная непрерывно-дискретная модель динамики численности изолированной популяции // Сибирский журнал индустриальной математики. 1999. Т. 2, В. 2(4). С. 147- 152.

38. Недорезов Л.В. Лекции по математической экологии. Новосибирск: Сибирский хронограф, 1997.

39. Перцев Н.В., Логинов К.К. Применение ветвящихся случайных процессов для моделирования динамики популяции с сезонным размножением // Материалы 2 международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». Воронеж, 2007. С. 149 - 150.

40. Перцев Н.В., Логинов К.К. Стохастическая модель динамики биологического сообщества в условиях потребления особями вредных пищевых ресурсов // Материалы 3 международной конференции «Математическая биология и биоинформатика». Пущино, 2011. Т. 6, № 1. С. 1-13.

41. Перцев Н.В., Логинов К.К. Стохастическая модель популяционной динамики в условиях ограниченности мест репродукции // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем. 2007. С. 174 - 177.

42. Перцев Н.В., Пичугин Б.Ю. Применение метода Монте-Карло для моделирования динамики сообществ взаимодействующих индивидуумов // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия «Вычислительные и информационно-телекоммуникационные системы». 2006. Т. 2, № 5. С. 70 - 77.

43. Перцев Н.В., Пичугин Б.Ю., Логинов К.К. Статистическое моделирование динамики популяций, развивающихся в условиях воздействия токсичных веществ // Сибирский журнал индустриальной математики. 2011. Т. 14, № 2(46). С. 84 - 94.

44. Перцев Н.В., Царегородцева Г.Е. Математическая модель динамики популяции, развивающейся в условиях воздействия вредных веществ // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. 13, № 1(41). С. 109 — 120.

45. Перцев Н.В., Царегородцева Г.Е. Моделирование динамики популяции в условиях воздействия вредных веществ на процесс репродукции особей // Автоматика и телемеханика. 2011. № 1. С. 141 - 153.

46. Перцев Н.В., Царегородцева Г.Е., Пичугина А.Н. Анализ устойчивости положений равновесия одной модели популяционной динамики // Вестник Омского Университета. 2009. № 2. С. 46 - 50.

47. Пичугин Б.Ю. Стохастическая модель изолированной популяции с сезонным размножением и самолимитированием // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6, № 4(16). С. 75 - 81.

48. Пичугин Б.Ю., Перцев Н.В., Логинов К.К. Стохастическая модель динамики популяций, развивающихся в условиях воздействия токсичных веществ // Доклады 3 международной конференции «Математическая биология и биоинформатика». Пущино, 2010. С. 208 - 209.

49. Пичугина А.Н. Интегродифференциальная модель популяции, подверженной воздействию вредных веществ // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7, № 4(20). С. 130 - 140.

50. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Л.: Гидрометеоиздат, 1980.

51. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971.

52. Севастьянов Б.А., Зубков A.M. Регулируемые ветвящиеся процессы // Теория вероятностей и ее применения. 1974. Т. 19, В. 1. С. 476 - 482.

53. Севастьянов Б.А., Калинкин А.В. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. 1982. Т. 264, № 2. С. 306 - 308.

54. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

55. Топчий В.А. Время вырождения срезаемых на высоком уровне процессов Гальтона-Ватсона // Теория вероятностей и ее применения. 2009. Т. 54, В. 2. С. 336-353.

56. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

57. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие задачи. М.: Мир, 1999.

58. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966.

59. Afanasyev V.I., Geiger J. Kersting G., Vatutin V.A. Criticality for branching processes in random environments // Ann. Probab. 2005. V. 33, N. 2. P. 645 -673.

60. Afanasyev V.I., Geiger J. Kersting G., Vatutin V.A. Functional limit theorems for strongly subcritical branching processes in random environment // Stochastic Process. Appl. 2005. V. 115, N. 10. P. 1658 - 1676.

61. Asmussen S., Hering H. Branching Processes. Stuttgart: Birkhauser, 1983.

62. Athreya K.B., Karlin S. On branching processes with random environments. I. Extinction probabilities // Ann. Math. Statist. 1971. V. 42, N. 5. P. 1499 - 1520.

63. Athreya K.B., Karlin S. On branching processes with random environments. II. Limit theorems // Ann. Math. Statist. 1971. V. 42, N. 6. P. 1843 - 1858.

64. Castillo-Chavez C., Busenberg S. On the solution of the Two-Sex Mixing Problem // Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1991. P. 80 -98.

65. Cushing J.M. Integrodifferential equations and delay models in population dynamics. Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1977.

66. Diekmann O. The dynamics of structured populations: some examples // Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1985. P. 7 - 18.

67. Dubey B., Hussain J. Modelling the interaction of two biological species in a polluted environment // J. Math. Anal. Appl. 2000. V. 246. P. 58 - 79.

68. Dubey B., Hussain J. Nonlinear models for the survival of two competing species dependent on resource in industrial environments // Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2003. V. 4. P. 21 - 44.

69. Dyakonova E.E., Geiger J., Vatutin V.A. On the survival probability and a functional limit theorem for branching processes in random environment // Markov Process. Related Fields. 2004. V. 10, N. 2. P. 289 - 306.

70. Eisen M. Mathematical models in Cell Biology and Cancer Chemoterapy. Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1979.

71. Feng Z., Liu R., DeAngelis D.J. Plant-herbivore interactions mediated by plant toxicity // Theor. Popul. Biol. 2008. V. 73. P. 449 - 459.

72. Freedman H.I., Shukla J.B. Models for the effect of toxicant in single-species and predator-prey systems // J. Math. Biol. 1991. V. 30. P. 15 - 30.

73. Furry W.H. On fluctuation phenomena in the passage of high energy electrons though lead // Phys. Rev. 1937. V. 52. P. 569 - 581.

74. Geiger J., Kersting G. The survival probability of a critical branching process in random environment // Теория вероятностей и ее применения. 2000. Т. 45, В. 3. С. 607-615.

75. Hadeler К.Р., Waldstatter R., Worz-Busekros A. Models for pair formation in bisexual populations // J. Math. Biol. 1988. V. 26, N. 6. P. 635 - 649.

76. Hallam T.G., Clark C.E., Jordan G.S. Effects of toxicants on populations: A qualitative approach. II. First order kinetics // J. Math. Biol. 1983. V. 18. P. 25 - 37.

77. Hallam T.G., Clark C.E., Lassiter R.R. Effects of toxicants on populations: A qualitative approach. I. Equilibrium environment exposure // Ecol. Model. 1983. V. 18. P. 291 -304.

78. Hallam T.G., De Luna J.L. Effects of toxicants on populations: A qualitative approach. III. Environmental and food chain pathways // J. Theoret. Biol. 1984. V. 109. P. 411 -429.

79. Jagers P. Branching processes with biological applications. London: Wiley and Sons, 1975.

80. Jagers P. Coupling and population dependence in branching processes // The Annals of Appl. Prob. 1997. V. 7, N. 2. P. 281 - 298.

81. Jinxiao P., Zhen J., Zhien M. Thresholds of Survival for an n-Dimensional Volterra Mutualistic System in a Polluted Environment // J. of Math. Anal. Appl. 2000. V. 252. P. 519 - 531.

82. Kendall D.G. On the generalized «birth-and-death» process // Ann. Math. Stat. 1948. V. 19. P. 1 - 15.

83. Kendall D.G. Stochastic processes and population growth // J. Royal. Statist. Soc. 1949. V. 11. P. 230-264.

84. Li Z., Chen F. Extinction in periodic competitive stage-structured Lotka-Volterra model with effects of toxic substances // J. of Comput. and Appl. Math. 2009. V. 231. P. 143 - 153.

85. Liu B., Chen L., Zhang Y. The effects of impulsive toxicant input on a population in a polluted environment // J. of Biol. Sys. 2003. V. 11, N. 3. P. 265 - 274.

86. Ma Z., Gui G., Wang W. Persistence and extinction of a population in a polluted environment // Math. Bioscience. 1990. V. 101. P. 75 - 97.

87. Metz J.A.J., Diekmann O. A Gentle Introduction to Structured Population Models: Three Worked Examples // Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1986. P. 3 - 45.

88. Mikhailov G.A., Marchenko M.A. Parallel realization of statistical simulation and random number generators. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17, N. 1. P. 113 - 124.

89. Naresh R., Sundar S., Shukla J. Modelling the effect of an intermediate toxic product formed by uptake of a toxicant on plant biomass // Appl. Math, and Comput. 2006. V. 182. P. 151 - 160.

90. Nisbet R, Garney W. Modelling Fluctuating Populations. New York: Wiley and Sons, 1982.

91. Smith W.L., Wilkinson W.E. On branching process in random environments // Ann. Math. Statist. 1969. V. 40. P. 814 - 827.

92. Vance R.R., Newmann W.I., Sulsky D. The demographic Meanings of the Classical Population Growth Models of Ecology // Theor. Popul. Biol. 1988. V. 33, N. 2. P. 199-225.

93. Vatutin V.A., Dyakonova E.E. Reduced branching processes in random environment // Mathematics and Computer Science. II: Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities. Ed. by Chauvin et al. Basel: Birkhauser. 2002. P. 455 - 467.

94. Vatutin V.A., Dyakonova E.E. Yaglom type limit theorem for branching processes in random environment // Mathematics and Computer Science. Ill: Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities. Ed. by M. Drmota et al. Basel: Birkhauser. 2004. P. 375 - 385.

95. Vatutin V.A., Zubkov A.M. Branching processes. II. // J. Soviet Math. 1993. V. 67, N. 6. P. 3407 - 3485.