Имитационное моделирование дифракции света на мультифрактальных объектах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Музыченко, Яна Борисовна

• Музыченко, Яна Борисовна
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Музыченко, Яна Борисовна

Введение.

Глава 1. Аналитический обзор методов генерации фрактальных структур и математических моделей дифракции света на фракталах.

1.1 Элементы теории фракталов применительно к задачам дифракции.

1.2 Теоретические и прикладные вопросы дифракции света на фрактальных. структурах

Выводы по первой главе.

Глава 2. Разработка имитационных моделей дифракции света на МФС.

2.1 Основные этапы и особенности имитационного моделирования дифракции света на МФС.'.

2.2 Разработка интерактивных имитационных моделей дифракции Френеля и Фраунгофера от апертур различной формы.

2.3 Разработка оригинальных проблемно-ориентированных программных модулей дифракции на МФС, интегрируемых в Уи1лда1ЬаЬ.

Выводы по второй главе.

Глава 3. Реализация эффективных алгоритмов генерации фрактальных объектов и расчета фрактальной размерности.

3.1 Разработка и тестирование алгоритмов генерации фрактальных объектов.

3.2 Расчет фрактальной размерности регулярных фракталов по картине дифракции в дальней зоне.

3.3 Дифракционные картины от рандомизированных фракталов и расчет их фрактальной размерности.

Выводы по третьей главе.

Глава 4. Результаты имитационного моделирования дифракции на МФС и их верификация по данным натурных экспериментов и аналитических приближений.

4.1 Экспериментальное исследование дифракционных полей от фрактальных объектов.

4.2Результаты имитационного моделирования дифракции света от фрактальных и мультифрактальных зонных пластинок.

4.3 Использование фрактальных масок для визуализации фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

Выводы по четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Имитационное моделирование дифракции света на мультифрактальных объектах»

В связи с усложнением функциональных характеристик современных оптических систем и появлением дифракционных оптических элементов (ДОЭ) с фрактальной структурой возникает необходимость развития систем имитационного моделирования дифракционных задач на новом классе объектов. Имитационное моделирование, являясь дополнительным инструментарием исследования задач дифракционной оптики, позволяет снять ограничения, возникающие при проведении натурного эксперимента (например, приборные ограничения регистрации высоких пространственных частот дифракционного спектра), сохраняя возможность учета стохастических факторов и неидеальностей изучаемых структур.

Исследование взаимодействия электромагнитного излучения видимого диапазона с объектами, обладающими фрактальной структурой, имеет важное практическое значение с двух точек зрения. Во-первых, исследование дифракционных полей от фрактальных объектов позволяет выявлять структурные особенности и характерные свойства этих объектов. Во-вторых, дифракция на фрактальных объектах может привести к созданию новых типов волновых фронтов, которые могут стать основой разработки новых оптических элементов. Таким образом, интеграция теории фракталов в оптическую науку позволяет расширить класс существующих ДОЭ, качество которых во многом зависит от результатов предварительного моделирования, как одного из этапов их разработки.

Первые работы по математическому описанию и моделированию дифракции на фрактальных объектах появились в 1990-х гг. Было продемонстрировано, что дифракталы обладают свойствами, которые существенно отличаются от свойств волн, рассеянных на простых геометрических объектах, и их математическое описание имеет ряд особенностей, существенных для традиционного моделирования подобных 4 задач. Большинство работ связано с дифракцией Фраунгофера, и основное внимание в них уделено метрологическому аспекту данной темы, т.е. оцениванию характеристик фрактального объекта при помощи дифракционных распределений. В последние годы появились работы по моделированию дифракции Френеля от фрактальных структур, что привело к разработке фрактальных зонных пластинок (ФЗП), обладающих свойствами мультифокальности.

Целью работы является разработка имитационных моделей дифракции на фрактальных и мультифрактальных структурах (МФС); проверка адекватности разработанных моделей на основе результатов их применения к фрактальным тест-объектам и данных аналитических приближений и натурного эксперимента. Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Модификация существующих математических моделей дифракции применительно к МФС, учитывая корреляционную взаимосвязь между амплитудно-фазовыми и пространственными характеристиками.

2. Разработка и программная реализация алгоритмов генерации регулярных и рандомизированных конструктивных МФС.

3. Разработка эффективных алгоритмов расчета фрактальной размерности регулярных и рандомизированных фракталов на основе разработанных моделей.

4. Разработка информационного, математического и программного инструментария имитационного моделирования.

5. Проверка адекватности имитационных моделей путем сопоставления результатов моделирования с результатами натурного эксперимента и аналитических приближений.

Научная новизна работы диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложены имитационные модели, применимые для оптимизации коэффициента и типа корреляционной связи пространственных и 5 амплитудно-фазовых характеристик МФС; на их основе предложены ДОЭ с улучшенными характеристиками.

2. Численно исследованы свойства дифракционных полей от фазовых МФС, Фурье-образ которых характеризуется преобладанием высоких пространственных частот.

3. Обоснована потенциальная эффективность исследуемых МФС для целей выявления фазовых неоднородностей оптических элементов методами просвечивания через фрактальную маску.

На защиту выносятся:

1. Метод имитационного моделирования, позволяющий исследовать широкий класс дифракционных эффектов на мультифрактальных объектах, включая модель генерации мультифрактального объекта с заданными свойствами.

2. Метод расчета фрактальной размерности подобия регулярных конструктивных фракталов оптическими методами.

3. Количественные оценки эффективности функциональных характеристик ДОЭ с МФС по критериям мультифокальности и мощности высоких пространственных частот.

Структура диссертационной работы отражает весь круг задач, решенных в ходе данного исследования:

Первая глава содержит аналитический обзор существующих методов генерации фрактальных объектов и математических моделей дифракции оптического излучения на фрактальных структурах. Представлен математический аппарат теории фракталов, дана классификация фракталов, введены понятия самоподобия и фрактальной размерности подобия. Рассмотрены основные существующие алгоритмы генерации конструктивных фрактальных объектов: L-системы, системы итерируемых функций (СИФ), методы переписывания строк (String Rewriting System), матрицы Адамара, произведения Кронекера.

В результате аналитического обзора существующих математических моделей и результатов экспериментальных исследований дифракции Френеля и Фраунгофера от объектов, обладающих свойствами самоподобия, представленного в первой главе, выявлено, что модели дифракции построены только для ограниченного числа простых в генерации фрактальных объектов. Рассмотрены особенности дифракционных полей от фрактальных объектов, которые были обнаружены в проведенных ранее исследованиях. Рассмотрены существующие методы оценки фрактальной размерности по дифракционной картине Фраунгофера.

Вторая глава посвящена разработке имитационных моделей дифракции света. На основе теории моделирования систем определены этапы разработки моделей, требования, предъявляемые к современным системам моделирования и особенности имитационного моделирования. Рассмотрены возможности модернизации одной из современных систем оптического моделирования - программного обеспечения У]гШа1ЬаЬ компании 1^ЬИгап8, объединяющего концепции проектирования оптических систем и теории электромагнитного поля. В главе приведено описание разработанных оригинальных проблемно-ориентированных программных модулей дифракции оптического излучения на МФС, интегрируемых в данную программу.

Третья глава посвящена разработанному комплексу проблемно-ориентированных программных модулей, предназначенному для построения моделей контурных, поверхностных фракталов и МФС, задания корреляционной связи между пространственными и амплитудно-фазовыми характеристиками МФС. Также, в этой главе описаны разработка математических моделей дифракции на фрактальных структурах и проверка адекватности разработанных имитационных моделей дифракции на основе их применения к фрактальным тест-объектам.

Четвертая глава посвящена описанию проверки адекватности имитационных моделей по результатам данных аналитических приближений и натурного эксперимента, а также апробации разработанных моделей на МФС. Приведены количественные оценки эффективности использования ДОЭ с МФС, приведено обоснование применимости МФС для обнаружения фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

В заключении сформулированы основные результаты проведенных исследований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Музыченко, Яна Борисовна

Выводы по четвертой главе

1. Проведена проверка адекватности разработанных моделей на основе верификации данных натурного эксперимента и результатов аналитических приближений.

2. Проведено комплексное исследование дифракционных световых полей от фрактальных и мультифрактальных объектов.

3. Моделирование дифракции Френеля от ФЗП позволило выявить, что использование ФЗП позволяет минимизировать хроматические аберрации при их освещении белым светом.

4. Значение коэффициента корреляции амплитудно-фазовых и пространственных характеристик ФЗП влияет на положение главного фокуса.

5. Показано, что дифракционный спектр фрактала обладает большей мощностью высоких пространственных частот по сравнению с двумерным периодическим объектом; в свою очередь, спектр МФС обладает большей мощностью высоких пространственных частот по сравнению с фрактальным объектом.

6. Предложено использовать фрактальные и мультифрактальные объекты для визуализации фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

Заключение

В данной диссертационной работе были разработаны имитационные модели дифракции света на фрактальных и мультифрактальных объектах, а также выполнена проверка адекватности разработанных моделей на основе результатов их применения к фрактальным тест-объектам и данных аналитических приближений и натурного эксперимента. Комплексное исследование дифракционных световых полей от МФС с помощью разработанных имитационных моделей позволили выявить новые свойства и особенности ДОЭ, обладающих фрактальной и мультифрактальной структурой.

В ходе работы получены следующие результаты:

1. Разработан метод имитационного моделирования, позволяющий исследовать широкий класс дифракционных эффектов на мультифрактальных объектах.

2. Впервые разработаны модели и исследованы свойства амплитудно-фазовых мультифрактальных структур и на их основе предложены ДОЭ с улучшенными характеристиками (мультифрактальные дифракционные решетки и мультифрактальные зонные пластинки);

3. Разработан комплекс проблемно-ориентированных модулей, позволяющий генерировать конструктивные мультифракталы с различными параметрами, производить расчет фрактальной размерности изображений оптическим и сеточным методами;

4. Разработанный алгоритм расчета фрактальной размерности регулярных фракталов не требует априорного знания фактора структуры дифракционной картины.

5. Проведено комплексное исследование дифракционных световых полей от фрактальных и мультифрактальных объектов.

6. Показано, что ФЗП обладают свойством мультифокальности, а их использование позволяет уменьшить хроматические аберрации, возникающие при их освещении белым светом. Продемонстрировано, что на положение главного фокуса мультфрактальной зонной пластинки влияет амплитудно-фазовый коэффициент корреляции МФС.

7. Приведены количественные оценки эффективности функциональных характеристик ДОЭ с МФС по критериям мультифокальности и мощности высоких пространственных частот. Предложено использовать мультифрактальные объекты для визуализации фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

Полученные в ходе работы результаты дают основание определить дальнейшее направление исследований по данной тематике:

1. Экспериментальное подтверждение полученных результатов моделирования.

2. Поиск эффективных значений коэффициентов корреляции амплитудно-фазовых и пространственных характеристик МФС с целью создания ДОЭ нового типа.

Полученные в ходе работы результаты опубликованы в шести работах, четыре из которых входят в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Музыченко, Яна Борисовна, 2010 год

1. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. 206 с.

2. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: Логос, 2002. 664 с.

3. Cohen N. Fractal Antennas // Communications Quarterly. 1995. P. 7-22.

4. Мандельброт Б. Фракталы в физике. М.:Мир, 1988. 672 с.

5. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 254 с.

6. Berry M.V. Diffractals //J. Phys. A: Math. Gen. 1979. №12. P. 781-797.

7. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: «Институт компьютерных исследований», 2002. 500 с.

8. Lauwerier Н. Fractals, images of chaos. London: Penguin Books, 1991. 209 p.

9. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 160 с.

10. Жиков В.В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. 1996. №12. С.109-117.

11. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 128 с.

12. Statistical physics and physiology: monofractal and multifractal approaches / H.E. Stanley et al. // Physica A. 1999. V. 270. P. 309.

13. Harte D. Multifractals: theory and application. Chapman, 2001. 248 p.

14. Яблоков М.Ю. Определение фрактальной размерности на основе анализа изображений//Журнал физической химии. 1999. №2. Т. 73. С. 214-218.

15. Rozenberg G., Salomaa A. Lindenmayer Systems: Impacts on Theoretical Computer Science, 2002. 514 p.

16. Barnsley M.F. Fractal Image Compression //Notices of the AMS. 1996. P. 657-662.

17. П.Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979. 512 с.

18. Lacunarity definition for ramified data sets based on optimal cover / C.R. Tolle et al. //PhysicaD. 2003. V. 179. Issues 3-4. P. 129-152.

19. Monsoriu J., Saavedra G., Furlan W. D. Fractal zone plates with variable lacunarity// Optics express. 2004. V. 12. № 18. P. 4227-4234.

20. Allain C., Cloitre M. Optical diffraction on fractals // Phys. Rev. 1983. V. 33 №5. P. 3566-3569.

21. Uozumi J., Kimura H., Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals // Journal of modern optics. 1990. V.37. № 6. P.1011-1031.

22. Шафаревич И.Р., Ремизов A.O. Линейная алгебра и геометрия. М.: Физматлит, 2009. 512с.

23. Weisstein E.W. String Rewriting System. URL: http://mathworld.wolfram.com/StringRewritingSystem.html (дата обращения 10.06.2010)

24. Melnikov G.S. Gnoseology of fractality fractal optics // Proc. SPIE. 1997. V. 3010. P. 58-68.

25. Нелепец A.B., Тарлыков В.А. Иследование дифракционного поля, формируемого фрактальными дифракционными структурами // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2007. №37. С.284-292.

26. Нелепец А.В., Тарлыков В.А. Формирование дифракционного поля в ближней зоне над поверхностью фрактального элемента // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2007. №43. С.242-247.

27. Пат. 2200968 РФ. Оптический фрактально-матричный фильтр и применение оптического фрактально-матричного фильтра для защиты глаз/И.Н. Серов; опубл. 2003.03.20

28. Jaggard A. D., Jaggard D. L. Scattering from Fractal Superlattices with Variable Lacunarity //J. Opt. Soc. Am. A15. 1998. P. 1626-1635.

29. Berry M.V. Difractals // J. Phys. A. 1979. V.12, № 6. P. 781 797.

30. Sakurada Y., Uozumi J., Asakura T. Scaling properties of Fresnel diffractionfield by regular fractals // Pure Applied Optics 3. 1994. P.371-380.128

31. Schmidt P. W., Dacai X. Calculation of the small-angle x-ray and neutron scattering from nonrandom fractals // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 560-566.

32. Uozumi J., Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals: the dimensionality//Journal of Modern Optics. 1999. V. 38. N. 7. P. 1335-1347.

33. Uozumi J., Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals // Journal of Modern Optics. 1995. V. 37. N. 6. P. 1011-1031.

34. Diffraction by an optical fractal grating / B. Hou et al. // Appl. Phys. Lett. 2004. V. 85. P. 6125-6127.

35. Koch fractals in physical optics and their Fraunhofer diffraction patterns / P. Horvath et al. // 2010. Optik. V. 121. P. 206-213.

36. Боголюбов A.H., Петухов A.A., Шапкина H.E. Оптическая дифракция на фрактальных дифракционных решетках // Вестник Московского университета. 2008. №2. С.11-14.

37. Alieva Т., Calvo M.L. Paraxial diffraction on structures generated by multiplicative iterative procedure // Journal of optics A. 2003. P.323-326.

38. Fresnel diffraction by deterministic fractal gratings: an experimental study/D. Rodriges Merlo et al. // Оптика и спектроскопия. 2003. T.95. С. 131-133.

39. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.

40. Cantor-like fractal photonic crystal waveguides / Monsoriu J.A. et al. // Optics Communications. 2005. №252. P. 46-51.

41. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997. 320 с.

42. Торшина И.П. Компьютерное моделирование оптико-электронных систем первичной обработки информации. М.: Логос, 2009. 248 с.

43. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие / под ред. П. В. Трусова. М.: Логос, 2004. 439 с.

44. Строгалев В. П., Толкачева И. О. Имитационное моделирование : учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. 276 с.

45. Дьяконов В.П. VisSim+Mathcad+Matlab. Визуальное математическое моделирование. М.: СОЛОН-Пресс, 2010. 384 с.

46. Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 2001i. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 832 с.

47. Матвеев А.Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. 351 с.

48. Технология Java. URL: http://iava.com/ru/about/ дата обращения: 10.06.2010.

49. Колмогоров K.A., Музыченко Я.Б., Стафеев С.К.Разработка программных учебно-методических комплексов (УМК) на примере образовательного курса «Волновая и квантовая оптика» // Компьютерные инструменты в образовании. 2004. №2. С. 34-38.

50. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: «Мир», 1970. 364 с.

51. Wyrowski F., Schimmel H.Electromagnetic optical engineering an introduction // Photonik. № 6.2006. P.50-55.

52. Optical modeling beyond ray tracing. URL: www,lighttrans.com дата обращения 1.9.2010.

53. Wyrowski F. Bryngdahl O. Digital holography as part of diffractive optics// Report on Progress in Physics. 1991. V. 54. Iss. 12. P. 1481-1571.

54. Музыченко Я.Б. Моделирование оптических явлений при помощи программного обеспечения VirtualLab // Компьютерные инструменты в образовании. 2010. №3. С. 45-52.

55. Сойфер В.А. Введение в дифракционную микрооптику. Самара. 1996. 94 с.

56. Расчет фрактальной размерности регулярных фракталов по картине дифракции в дальней зоне / Зинчик А.А., Музыченко Я.Б., Смирнов А.В., Стафеев С.К. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2009. №2. С. 17-24.

57. Wang S., Zhang X. Terahertz tomographic imaging with a Fresnel lens // Opt.

58. Photon. News. 2002. № 13. P. 53-55.130

59. Wang S., Yucon W., Jacobsen C. Achromatic Fresnel optics for wideband extreme-ultraviolet and X-ray imaging // Nature. 2003. № 424. P. 50-53.

60. Quantum fractal superlattices / J. A. Monsoriu et al. // Am. J. Phys. 749. 2006. P. 831-836.

61. Saavedra G., Furlan W.D., Monsoriu J.A. Fractal zone plates // Opt. Lett. 28, 2003. P. 971-973.

62. Fractal generalized zone plates/ O. Mendoza-Yero et al. // J. Opt. Soc. Am. A. 2009. Vol. 26. No. 5. P. 1161-1166.

63. Diffraction by Cantor fractal zone plates / J. A. Rodrigo et al. //Journal of Modern Optics. 2005.Vol. 52. N. 18. P. 2771 2783.

64. Музыченко Я.Б, Зинчик А.А., Стафеев C.K. Фокусирующие свойства фрактальных зонных пластинок // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2010. №6. С. 22-27.

65. Multifractal zone plates / F. Giménez // JOSA A. 2010. V. 27. Iss. 8. P. 17641769.

66. Monsoriu J. A., Saavedra G., Furlan W. D. Fractal zone plates with variable lacunarity // Opt. Express. 2004. V.12. №18. P. 4227-4234.

67. Huang J. G., Christian J. M., McDonald G. S. Fresnel diffraction and fractal patterns from polygonal apertures// J. Opt. Soc. Am. A. 2006. V. 23. №.11. P. 2768-2774.

68. Gueriny C.-A., Holschneiderz M. Scattering on fractal measures// J. Phys. A: Math. Gen. 1996. V. 29. P. 7651-7667.

69. Uno K., Uozumi J., Asakura T., Stastical propereties of the Fraunhofer diffraction field produced by random fractals// Applied Optics. 1993. Vol. 32. № 15. P. 2722-2729.

70. Muzy J.F., Pouligny B. Optical-diffraction measurement of fractal dimensions and f(a) spectrum. Phys. Rew. A. 1992. V. 45. №.12.

71. Осин А. В., Смольский C.M., Шелухин О.И. Самоподобие и фракталы.

72. Телекоммуникационные приложения. М.: Физматлит, 2008. 368 с.131

73. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. М.: ЛКИ, 2010. 282 с.

74. Fractal photon sieve / F. Giménez et al.// Optics Express. 2006. V.14 P. 11958-11963.

75. Angelsky O., Kovalchuk A., Maksimyak P. On the feasibility of diagnostics of one-dimensional amplitude fractals // Journal of optics A: Pure and Applied Optics. V. 3.2001. P.34-38.

76. Васильев JI.A. Теневые методы. М.: Наука, 1968. 400 с.

77. Саламандра Г.Д. Фотографические методы исследования быстропротекающих процессов. М.: Наука, 1974. 141 с.

78. Кирилловский В.К., Ле Зуй Туан. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для аппаратуры контроля качества изображения оптических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т.50. №7. С. 52-56.

79. Кирилловский В.К. Оптические измерения. Часть 4. СПб.: изд. СПбГУ ИТМО, 2005. 88 с.

80. Ляликов A.M. Серенко М.Ю. Применение голографической интерферометрии при визуализации прозрачных неоднородностей методом расфокусированной решетки // Оптика и спектроскопия. 2004. Т. 76. С. 810-813.

81. Ляликов A.M. Серенко М.Ю. Визуализация сложных фазовых объектов системой расфокусированных решеток // Оптика и спектроскопия. 1995. Т.78. С. 144-147.

82. Ляликов A.M. Серенко М.Ю. Повышение чувствительности измерений голографическими методами за счет нелинейной регистрации расфокусированных решеток//Оптика и спектроскопия. 1995. С. 687-690.

83. Ляликов A.M. Буть А. И. Визуализация оптических неоднородностей при оптической обработке искаженного изображения периодической структуры с использованием пространственной фильтрации // Квантовая электроника. 1996. Т. 23. № 4. С. 365-376.

84. Кравченко В.Ф., Рвачев В. Л., Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит. 2006. 416 с.

85. Сойфер В.А. Компьютерная обработка изображений Ч. 2//Соровский образовательный журнал, № 3. 1996. С. 110-121.

86. Кольер А.К., Беркхард К., Лин Л. Оптическая голография //М.:, Мир, 1973. 450 с.

87. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. 192 с.

88. Суетин П.К. Методы фильтрации финитных дискретных сигналов. М.: Физматлит. 2008. 144 с.

89. Бекетова А.К., Белозеров А.Ф., Березкин А.Н. и др. Голографическая интерференция фазовых объектов. Л:, Наука, 1979. 232 с.

90. Антипов О.И., Неганов В.А., Потапов А.А. Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах. М.: Радиотехника. 2009. 240 с.

91. Ильяшенко Ю.С. Аттракторы и их фрактальная размерность. МЦНМО: 2005. 16 с.

92. High efficiency multilevel phase-type fractal zone plates / D. Wu et al. // OPTICS LETTERS. 2008. V. 33. №. 24. P.2913-2915.

93. Optical filters with fractal transmission spectra based on diffractive optics / Mendoza-Yero et al. // Optics Letters. 2009. V. 34. P. 560-562.

94. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные законы. М.: 2001. 528 с.

95. Wada N., Uozumi J., Asakura T. Effects of random noise on bispectra of fractal objects //Pure Appl. Opt., 1995. № 4. P. 857-861.

96. Sequence of focused optical vortices generated by a spiral fractal zone plate / S. H. Tao et al.// Applied Physics Letters. V. 89. Issue 3. 2006. P.105-108.

97. Funamizu H., Uozumi J. Generation of fractal speckles by means of a spatial light modulator//Optics Express. 2007. V.15. No. 12. P. 7415-7422.

98. Ledesma S.A., Iemmi C.C., Brudny V.L. Scaling properties of the scattered field produced by fractal gratings // Optics Communications. 1997. P.292-298.

99. Alieva Т., Agullo-Lopez F. Optical wave propagation in fractal fields // Optics Communications. 1996. V. 125. P.267-274

100. Berger D., Chamaly S., Perreau M. Optical diffraction of fractal figures: random Serpinski carpets // J. Phys. I france. 1991. V. 1. P.1433-1450.

101. Кроневер P.M: Фракталы и хаос динамических систем. М.: Постмаркет, 2000. 464 с.

102. Furlan et al. White-light imaging with fractal zone plates// Optics Letters, 2007. V. 32. Issue 15. P.2109-2111

103. Ваврив Д.М., Рябов В.Б. Фрактальная, размерность: проблемы вычисления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. Т.29. С.987-999.

104. Ducourtieux S. Percolation and Fractal Composites: Optical Studies// Journal of Nonlinear Optical Physics and Materials. 2000. V. 9. P. 105-116.

105. Стюард И.Г. Введение в Фурье оптику. М: Мир, 1985. 182 с.

106. Lehman М. Fractal diffraction gratings built through rectangular domains. // Optics Communications. 2001.V.195. P.ll-26.

107. Davis J., Sigarlaki S., Craven J., Calvo M.L. Fourier series analysis of fractal lenses: theory and experiments with a liquid-crystal display// Appl. Opt. 45,2006. P.l 187-1192.

108. Anselmo D., Dantas A. L. A multifractal analysis of optical phononexcitations in quasicrystals// Physica A. 2006. V. 362. Issue 2. P. 289-294.134

109. Zunino L. et al. Performance of encryption schemes in chaotic optical communication: A multifractal approach // Optics Communications. 2009. V.282. P. 4587-4594.

110. Trabocchi O., Granieri S., Furlan W., Optical propagation of fractal fields. Experimental analysis in a single display// Journal of Modern Optics. 2001. V. 48. P.1247-1253

111. Alieva T. Optical wave propagation of fractal fields// Optics Communications. 1996. V. 125.1. 4-6. P. 267-274

112. Dmitriev S. V., Kivshar Y. S., Shigenari T. Fractal structures and multiparticle effects in soliton scattering//Phys. Rev. E, 2001. V. 64.1. 5.

113. Anselmo D.et al. Localization and fractal spectra of optical phonon modes in quasiperiodic structures//Physica A. 2005. V. 349. Issue 1-2. P. 259-270.

114. Perminov S. V., Rautian S. G., Safonov V. P. On the theory of optical properties of fractal clusters// Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2004. V. 98.1. 4. P. 691-704.

115. Huang, J. G.; Christian, J. M.; McDonald, G. S. Fresnel diffraction and fractal patterns from polygonal apertures // Journal of the Optical Society of America A. 2006. V. 23. P. 2768-2774.

116. Chabassier G. et al. Optical wave diffraction on fractal objects// Pure and Applied Optics. 1992. V. 1. Issue 1. P. 41-54.

117. Giménez F. Fractal photon sieve// Optics Express. 2006. V. P. 11958-11963.

118. Sánchez N.et al. Fractal Dimension of Interstellar Clouds: Opacity and Noise Effects// The Astrophysical Journal. 2007. V. 656. Issue 1. P. 222-226

119. Wave propagation through Cantor-set media: Chaos, scaling, and fractal structures / Esaki Kenta et al.// Physical Review E. 2005. V. 79. P 226-255.

120. Зосимов B.B., Лямшев JI.M. Фракталы в волновых процессах // УФН,1995, №4, стр. 361-401.