Иерархические игровые модели в долгосрочном страховании жизни тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Семенов, Алексей Юрьевич

• Семенов, Алексей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенов, Алексей Юрьевич

Введение

1 Определение оптимальной системы штрафов при расторжении договора

1.1 Основные характеристики рассматриваемой модели.

1.2 Определение оптимальной системы штрафов без учета возможности незаключения договора и без учета смертности.

1.3 Определение оптимальной системы штрафов с учетом возможности незаключения договора и с учетом смертности

2 Построение оптимального комиссионного вознаграждения в страховании жизни

2.1 Основные характеристики рассматриваемой модели.

2.2 Построение оптимальной комиссии при фиксированных параметрах договора смешанного страхования жизни.

2.3 Построение оптимальной комиссии при возможности изменения параметров пенсионного договора страхования

3 Исследование влияния льготы по налогообложению

3.1 Основные характеристики рассматриваемой модели.

3.2 Определение оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Иерархические игровые модели в долгосрочном страховании жизни»

Традиционно при решении задач в области страхования используются методы актуарной математики, базирующиеся на математической статистике. Модели и методы теории игр, которые применяются при исследовании различных проблем экономического регулирования, не получили широкого распространения при решении страховых задач. В работах ряда исследователей рассматривается применение теоретико-игровых моделей для определения размера премий. При этом в современной литературе мало внимания уделяется использованию теории игр для определения характеристик страхового договора, отличных от премии.

В работе Ворча (см. [7]) теория игр была использована для определения распределения риска неразорения страховой компании между группами застрахованных лиц с разными вероятностями возникновения страхового случая. Риск неразорения страховой компании учитывается в страховых премиях и влияет на их размер. Определение оптимального размера данной надбавки к премии для разных групп застрахованных лиц было сведено к поиску ситуации равновесия для игры многих лиц.

В работах Лемера (см. [16], [26], [27]) теория игр применяется при рассмотрении системы бонус-малус1 в автомобильном страховании. Выстраивается оптимальное изменение страховой премии (система бонус-малус) в зависимости от истории наступления страховых случаев. Решение задачи сводится к повторяющейся игре с полной информацией.

Одной из актуальных проблем для страховых компаний является возможность определять не только размер премии, но и другие характеристики, влияющие на договор страхования. Традиционно ряд параметров договора страхования жизни, такие как порядок определения выкупной суммы (штраф за досрочное расторжение) и размер комиссионного вознаграждения, определяются исходя из общепринятых на страховом рынке значений.

В данной диссертационной работе рассмотрен страховой рынок и его функционирование. В страховании часто возникают вопросы управления в иерархических игровых системах, т.к. в этой области деятельности один субъект нередко диктует линию поведения другому субъекту - управляет им в условиях полного или частичного несовпадения интересов.

1 Система скидок и надбавок к страховой премии в зависимости от истории страховых случаев. Бонус -система скидок к базовой страховой премии, если в отношении объекта страхования не наблюдалась реализация страхового риска. Малус - система надбавок к базовой страховой премии, если в отношении объекта страхования обнаружилась реализация страхового риска. В основном применяется в автомобильном страховании. Наличие этой системы стимулирует страхователя к более безопасному поведению на дорогах.

Целыо работы является построение и исследование теоретико-игровых моделей взаимодействий, возникающих при заключении и в процессе действия договоров долгосрочного страхования жизни, определение оптимального поведения субъектов, участвующих в данных взаимодействиях.

При этом особое внимание уделено следующим классическим типам договоров долгосрочного страхования жизни:

• Договор долгосрочного смешанного страхования жизни2

• Договор пенсионного страхования3

При рассмотрении договоров долгосрочного страхования жизни можно выделить следующие субъекты, участвующие во взаимодействии: страховая компания4 (страховщик), страхователь5, агент6, государство, банк.

При заключении и в процессе действия договора долгосрочного страхования жизни между страховщиком, страхователем, агентом, государством и банком возникают взаимоотношения, указанные на рис. 1 и описанные ниже.

Страхователь принимает решение о заключении и расторжении договора со страховщиком, а также периодически выплачивает ему премии по договору страхования. Страховщик делает выплаты страхователю при наступлении страхового случая и при расторжении страхователем договора страхования.

Страховщик платит государству налог на прибыль. Страхователь выплачивает государству налог на доходы физических лиц, а также единый социальный налог. При этом государство может предоставлять страхователю льготы по данным видам налогов.

2Смешанное страхование жизни - вид личного страхования, при котором страховая сумма выплачивается по окончании срока действия договора страхования, но может быть выплачена и ранее в случае смерти застрахованного лица. Таким образом, данный договор страхования одновременно покрывает два риска: смерть и дожитие до оговоренного в договорю срока.

3Пенсионное страхование - вид личного страхования, при котором страховая сумма выплачивается регулярно в течение установленного договором периода по достижении застрахованным лицом определенного в договоре возраста.

4Юридическое лицо, имеющие лицензии на осуществление страхования соответствующего вида.

53десь: под страхователем (лицом, производящим выплаты по договору страхования) подразумевается в том числе и застрахованное лицо (лицо, чьи имущественные интересы являются объектом страхования) и выгодоприобретатель (лицо, являющиеся получателем страховой выплаты).

6Страховой агент, агентская сеть или страховой брокер (организация, осуществляющая поиск клиентов за комиссию).

Рис. 1: Взаимоотношения, возникающие между субъектами при заключении и в процессе действия договора долгосрочного страхования о/сизни

Агент информирует страхователя о договоре страхования и заключает с ним данный договор, при этом страховщик выплачивает агенту комиссию за заключение договора страхования.

Страхователь может вкладывает деньги в банк, рассматривая это как альтернативу накопительной составляющей в договорах долгосрочного страхования жизни.

В работе подробно рассмотрены следующие аспекты взаимодействия субъектов:

1. Взаимодействие страховщик-страхователь-банк, возникающее при заключении и в ходе действия договора смешанного страхования жизни. Данное взаимодействие рассмотрено на примере определения оптимальной системы штрафов за расторжение договора смешанного страхования жизни.

2. Взаимодействие агент-страховщик-страхователь, возникающее при заключении договора долгосрочного страхования жизни. Данное взаимодействие рассмотрено на примере построения оптимального комиссионного вознаграждения для договоров долгосрочного страхования жизни.

3. Взаимодействие государство-страховщик-страхователь-банк, возникающее при заключении и в ходе действия договора пенсионного страхования. Данное взаимодействие рассмотрено на примере определения оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога.

В первой главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия трех субъектов: страховой компании, страхователя и банка. Страхователь и страховщик являются активными субъектами, которые могут изменять стратегии своего поведения, - игроками.

Страховая компания управляет поведением страхователя - принятием решения о годе расторжении договора страхования, посредством установления размеров штрафов за досрочное расторжение договора страхования.

Взаимодействие рассматривается на примере договора долгосрочного смешанного страхования жизни.

Если договор страхования долгосрочный, то в него обычно заложена возможность расторгнуть его в любой момент, т.к. страхователь не может связывать себя обязательствами на до-стачно большой промежуток времени (например: ежегодная уплата премии по договору страхования), поэтому, возможно, он предпочтет заключить краткосрочный договор страхования, даже более дорогостоящий. Рассматриваемый в работе договор смешанного страхования жизни страхователь может расторгнуть в любой момент.

Страхователи расторгают договоры страхования в зависимости от различных обстоятельств. В работе рассматривается только экономическая причина расторжения договора: неудовлетворенность страхователя текущей доходностью по полису и возможность получения дохода за счет расторжения договора и более выгодного инвестирования выкупной суммы (части накопленных средств страхователя, возвращенных ему страховой компанией при расторжении договора) в банке, при этом страхователь заключает договор страхования жизни на случай смерти для покрытия риска смерти на оставшийся период.

Штраф за досрочное расторжение договора определяется, как часть накопленных средств страхователя, которая удерживается страховой компанией (страховщиком). Штраф за расторжение договора страхования может различаться в зависимости от года расторжения договора. Оптимальная система штрафов позволяет страховой компании управлять поведением страхователя и стимулировать продолжение/расторжение договора страхования.

Стратегией страхователя является год расторжения договора.

Стратегией страховщика является штраф за расторжение договора в зависимости от года расторжения.

Банк является альтернативой страховщику: размещение денег в банке может заставить страхователя отказаться от заключения договора смешанного страхования жизни - договора с накопительной составляющей. Заметим, что банк в отличие от страховщика не гарантирует фиксированной ставки доходности на длительный срок: банковский процент может изменяться банком из года в год в зависимости от рыночных условий.

В рамках данной задачи происходит поиск такой системы штрафов, которая управляет поведением страхователя для максимизации прибыли страховщика.

В работе показано, что страховщику выгодно удерживать страхователя до окончания срока действия договора, выплачивая ему для этого дополнительную сумму при дожитии до окончания срока действия договора. При этом данную сумму7 страховщик должен указывать до заключения договора со страхователем, и именно эта сумма побуждает страхователя заключить договор смешанного страхования жизни, а в последствии и не расторгать его.

Во второй главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия трех субъектов: страховой компании, ее агентов (агентской сети, страхового брокера) и страхователей. Активными субъектами являются агент и страховщик.

Размер комиссионных выплат всегда являлся предметом спора между агентом и страховой компанией. Страховщику не всегда выгодно повышать комиссионные выплаты агенту, т.к. это уменьшает его прибыль с одного полиса. Агент же старается получить максимальную комиссию за заключение договора страхования, т.к. она является основным источником его дохода.

Размер комиссионных выплат агентам при заключении договоров страхования может оказывать значительное влияние на количество застрахованных данной компанией лиц, и, как следствие, на доход и обороты страховой компании.

Благодаря оптимальному выбору размера комиссионных выплат агентам можно в несколько раз увеличить прибыль от данного вида страхования, а также увеличить долю присутствия компании на рынке.

В ряде страховых компаний существует прогрессивная шкала ставок комиссионных, зависящая от таких факторов, как объем принесенной в компанию страховой премии, отсутствие убытков по договорам, заключенным агентом, и т.д. Часто размер комиссионных зависит и от вида страхования, по которому заключен договор.

Страховая компания может напрямую привлекать часть страхователей, заинтересованных в договоре страхования. Оставшуюся часть страхователей, заинтересованных в договоре страхования, страховщик может привлечь через агентов (агенты могут быть представлены как подразделением страховой компании, так и отдельной компанией, специализирующейся на заключении договоров страхования).

7Эта сумма известна в страховой теории под названием терминальный бонус.

Процесс работы с клиентом (страхователем) является затратным для агентов, в первую очередь с точки зрения времени. Считается, что число лиц, застрахованных агентами, зависит как от комиссии за заключение договора, выплачиваемой агентам страховщиком, так и от затрат самих агентов на предложение лицам договора страхования.

В работе рассматриваются игровые постановки задачи на примере договоров смешанного страхования жизни и пенсионного страхования. При этом считается, что размер комиссионных не зависит от индивидуальных показателей работы агента, а является общим в заданных условиях для всех агентов.

Поведение страхователей (среднее количество страхователей, заключивших договора страхования) считается фиксированным и зависит от "привлекательности"договора страхования. При этом "привлекательность"договора страхования зависит от "прибыли", которую страхователь может получить от договора страхования, с точки зрения страхователя. В данной работе эта "прибыль"считается равной полученным от страховщика выплатам по страховым случаям за вычетом премий, выплаченных страховщику, и отражает упрощенное представление страхователя - физического лица, о договоре страхования.

Стратегией страховщика является размер комиссии агентам за привлечение одного страхователя.

Стратегией агентов является эффективность работы по продаже договоров страхования, выражаемая как число лиц, которым агенты предложили договор страхования.

В данной задаче определяется оптимальный размер комиссионных выплат агентам, при котором прибыль страховой компании максимальна.

В работе получено решение данной задачи и показано, что оно не сильно отличается от реальных комиссий, указываемых страховыми компаниями. Также было доказано, что при фиксированных параметрах договора всегда существует аналитическое решение задачи максимизации размера прибыли страховой компании, и для получения максимальной прибыли (за вычетом затрат) агентам выгодно заключать договора страхования с большим периодом уплаты взносов страхователем. Был разработан численный метод решения задачи поиска оптимального комиссионного вознаграждения в случае, когда первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, равны комиссии. Показано, что данный метод определения комиссии агентам может применяться не только для договоров страхования жизни.

В третьей главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия четырех субъектов: страховщика, страхователя (налогоплательщика и его работодателя), государства и банка. В данной задаче игроками являются страхователь и государство.

Государство управляет поведением страхователя - принятием решения о заключении договора страхования, посредством введения налоговой льготы на премии, выплачиваемые страхователем в страховую компанию.

Модель исследуется на примере договора пенсионного страхования.

Дополнительное пенсионное страхование является сложной финансовой и социальной услугой, заключающейся в обеспечении материального благополучия страхователя в будущем. Государству выгодно стимулировать заключение договоров пенсионного страхования со страховыми компаниями, поскольку страховая компания может обеспечить более высокий доход по сравнению с Пенсионным Фондом Российской Федерации.

В работе рассматривается возможность снижения налоговой базы ЕСН (см. [31]) в рамках налога на финансирование страховой и накопительной части трудовой пенсии (см. [35]) для стимулирования заключения договоров пенсионного страхования со страховыми компаниями. При этом снижение налоговой базы ЕСН возможно на сумму пенсионных взносов (выплат) по договору пенсионного страхования, заключенному со страховой компанией. Снижение выплат на финансирование страховой и накопительной части трудовой пенсии уменьшает итоговую страховую и накопительную части трудовой пенсии.

Рекомендации по заключению договоров пенсионного страхования жизни, а так же само заключение договоров производят работодатели. Данные рекомендации работодателя должны быть направлены на достижение двух целей: максимизация совокупного дохода налогоплательщика и удовлетворенность налогоплательщика своей итоговой пенсией. Пенсия налогоплательщика должна обеспечить ему "достойную старость"8, т.е. пенсия не должна быть намного меньше заработной платы. При этом считается, что получение налоговой льготы по выплатам по договору пенсионного страхования оформляется работодателем на этапе уплаты налогов,

8Согласно [38] отношение государства в развитых странах к пенсионному обеспечению можно разбить на три уровня:

1. Защита от бедности - гарантия некоторого прожиточного минимума.

2. Достойная старость - стимулирование работающих для формирования дополнительной пенсии. Стандартными стимулами являются налоговые льготы, предоставляемые участникам пенсионных систем.

3. Частная инициатива - человек за счет своих собственных средств осуществляет свое пенсионное обеспечение. таким образом можно автоматически увеличивать сумму выплат налогоплательщиком страховщику на полученные им налоговые льготы.

Несмотря на то, что Пенсионный Фонд Российской Федерации является отдельным юридическим лицом (см. [37]), в данной работе он рассматривается как часть государства, т.к. за управление им отвечает правление Фонда, назначаемое Президентом и Правительством Российской Федерации (подробнее, см. [37]), а базовая часть пенсии формируется за счет средств федерального бюджета (см. [35]).

В математической модели принимается во внимание, что при определении налоговой базы для налога на доходы физических лиц не учитываются суммы пенсионных (страховых) взносов по договорам пенсионного страхования, заключенным с российскими страховыми организациями (см. [30], статья 213).

Стратегией государства является решение по введению налоговой льготы по ЕСН для премий, уплаченных в страховые компании.

Стратегией страхователя является размер выплат в страховую компанию и банк.

Поведение страховщика (договор пенсионного страхования) и банка (банковский "пенсион-ный"договор) фиксированы. При этом банковский "пенсионный"договор является альтернативой договору пенсионного страхования страховщика: налогоплательщик (по рекомендации работодателя) выберет более доходный договор, или выберет оба договора и разделит между ними выплаты.

В рамках данной задачи найдено оптимальное поведение государства, максимизирующее его прибыль.

В работе построен алгоритм поиска оптимальной стратегии государства - определения выгодно или нет государству вводить налоговую льготу по ЕСН. Также найден диапазон значений банковской ставки, при котором ввод льготы по ЕСН выгоден государству. Показано, что для обеспечения достойной старости налогоплательщику с большими доходами необходимо откладывать больший процент от ежегодной заработной платы на пенсию.

Методы исследования, используемые в работе, базируются на теории игр, математическом аппарате исследования операций, теории оптимизации и теории вероятностей.

Особое внимание в работе уделено аналитическому решению рассматриваемых задач.

Научная новизна работы состоит в определении характеристик страхового договора, отличных от размера премий, посредством рассмотрения иерархических игровых систем. В работе впервые применен теоретико-множественный подход для определения возможности снижения налоговой базы единого социального налога (ЕСН) на сумму пенсионных взносов по договору добровольного пенсионного страхования.

Полученные в работе результаты представляют ценность для страховых компаний, работающих с долгосрочными договорами жизни, и могут быть использованы ими для определения размера штрафов за досрочное расторжение договора страхования и размера комиссионного вознаграждения агентам за заключение договора страхования.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Семенов, Алексей Юрьевич

Заключение

В работе был исследован ряд игровых моделей взаимодействия лиц с противоположными интересами, возникающие в при заключении и в процессе действия договоров долгосрочного страхования жизни. Были найдены оптимальные стратегии поведения каждой из сторон, участвующих в конфликтной ситуации или ситуации управления.

В первой главе было построено оптимальное поведение страховщика, позволяющие управлять поведением страхователя (принятием решения о годе расторжении договора страхования) посредством установления размеров штрафов за досрочное расторжение договора страхования. Было показано, что страховщику выгодно удерживать страхователя до окончания срока действия договора, выплачивая ему для этого дополнительную сумму при дожитии до окончания срока действия договора. Данное решение согласуется с реальным поведением игроков на рынке, а указанная дополнительная сумма известна как терминальный бонус.

Во второй главе была построена оптимальная стратегия страховщика, устраивающая агента - размер комиссионного вознаграждения за заключение договора долгосрочного страхования жизни. Было показано, что агентам выгодно заключать договора страхования с большим периодом уплаты взносов. Полученные во второй части второй главы размеры ставок комиссионных выплат приблизительно совпадают с реальным ставками, установившимися на страховым рынке.

В третьей главе был построен алгоритм поиска оптимальной стратегии государства - определения выгодно или нет государству вводить налоговую льготу по ЕСН. Было найден диапазон банковской ставки при котором государству выгодно ввести льготу по ЕСН. Подходы и методы, описанные в третьей главе работы могут применяться в более сложных постановках задачи о необходимости введения налоговых льгот для стимулирования заключения налогоплательщиком договоров добровольного страхования жизни.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенов, Алексей Юрьевич, 2004 год

1. Allen F., Moris S. Finance Applications of Game Theory. Financial Institutions Center, 1998.

2. Aumann R.J., Hart S. Handbook Of Game Theory with Economic Application. North-Holland, Amsterdam: Elsvier Sciemce Publishers B.V., Volume I, 1992.

3. Aumann R.J., Hart S. Handbook Of Game Theory with Economic Application. North-Holland, Amsterdam: Elsvier Sciemce Publishers B.V., Volume II, 1994.

4. Aumann R., Shapley L. Long Term Competition: A Game Theoretic Analysis. Hebrew University, 1992.

5. Bilodeau С. The Ownership of the Pension Plan Surplus Using Cooperative Game Theory. // Actuarial Research Clearing House. Volume 1 - 1998 - p. 173-187

6. Borch K. Application of Game Theory to Some Problems in Automobile Insurance. // ASTIN Bulletin. 1962 - Volume 2 - p.208-221

7. Borch K. Mathematical Models in Insurance. // ASTIN Bulletin. 1974 - Volume 7, Number 3 - p.192-202

8. Bowers N.L., Gerber H.U., Nickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Acturial Mathematics. -Schaumburg, Illinois, USA: The Society of Actuaries, 1997.

9. Brockett P.L., Xiaohua X. Operation Research in Insurance: a Review. // Transaction Of Society of Actuaries. 1995 - Volume 47 - p.7-87

10. Dhaene J. Distribution in Life Insurance. // ASTIN Bulletin. Volume 20, Number 1 - 1990 -p.81-92

11. Gerber H. On Additive Premium Calculation Principles. // ASTIN Bulletin. Volume 7, Number 3 - 1974 - p.215-222

12. Gerber H. U., Pafumi G. Utility Functions: Prom Risk Theory to Finance. // North American Actuarial Journal. 1998 - Volume 2, Number 3 - p.74-100

13. Kirstein R. Risk-Neutrality and Strategic Insurance. I j The Geneva Papers on Risk and Insurance, Issues and Practic. 1999 - Volume 25, Number 2 - p.262-272

14. Lemaire J. A Game Theoretic Look at Life Insurance Underwriting. // ASTIN Bulletin. -Volume 11 1980 - p.1-16

15. Lemaire J. Cooperative Game Theory and its Insurance Applications. // ASTIN Bulletin. -Volume 21, Number 1 1990 - p.17-40

16. McGill D.M. Life Insurance. Homewood, Illinois, USA: Richard D. Irwin Inc., 1959.

17. Perryman F.S. International Actuarial Notation. // Casualty Actuarial Society : Arlington, Virginia. 1949 - Volume XXXVI - p. 123-131

18. Ramlau-Hansen H. Distribution of Surplus in Life Insurance. // ASTIN Bulletin. Volume 21, Number 1 - 1991 - p.57-71

19. Viaene S., Veugelers R., Dedene G. Two-person Insurance Bargaining under Risk Aversion. -Leuven, Belgium: Department of Applied Economic Sciences, 1999.

20. Waldmann K. On the Exact Calculation of the Aggregate Claims Distribution in the Individual Life Model. // ASTIN Bulletin. Volume 24, Number 1 - 1994 - p.89-96

21. Белянкин Г.А., Семенов А.Ю. Выбор оптимальной структуры комиссионного вознаграждения на рынке страхования жизни. // Рукопись деп. в ВИНИТИ 12.10.2004, №1586-В2004

22. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

23. Государственный комитет по статистике Российской Федерации Таблицы смертности за 1995 год

24. Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели. М.: "Янус-К", 1998.

25. Лемер Ж. Системы бонус-малос в автомобильном страховании. М.: "Янус-К", 1998.

26. Морозов В.В. Основы теории игр: Учебное пособие. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2002.

27. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.

28. Налоговый кодекс Российской Федерации, часть 2, глава 23, Налог на доходы физических лиц

29. Налоговый кодекс Российской Федерации, часть 2, глава 24, Единый социальный налог

30. Налоговый кодекс Российской Федерации, часть 2, глава 25, Налог на прибыль организаций

31. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.

32. Семенов А.Ю. Построение системы оптимальных штрафов за досрочное расторжение договора смешанного страхования жизни. // Рукопись деп. в ВИНИТИ 12.10.2004, JM587-B2004

33. Федеральный закон. Об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации

34. Федеральный закон. О трудовых пенсиях в Российской Федерации

35. Федеральный закон. Об управлении средствами государственного пенсионного обеспечения (страхования) в Российской Федерации

36. Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном пенсионном фонде и медицинском страховании. М.: Дело, 2002.

37. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. М.: Дело, 2002.