Идентификация характеристик стохастических систем на основе методов регуляризации и сингулярного анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Куликов Владимир Борисович

• Куликов Владимир Борисович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Куликов Владимир Борисович

Введение

Глава 1 Идентификация законов распределения экспериментальных данных для случайных величин и процессов

1.1 Актуальность идентификации полимодальных законов распределения

1.2 Методы восстановления законов распределения случайных величин

1.3 Современные методы исследования сингулярных разложений на основе регуляризации

1.4 Прикладные задачи идентификации полимодальных распределений в мембранных технологиях и биомедицине

Выводы по главе

Глава 2 Метод идентификации полимодальных законов распределения

на основе ЕС-алгоритмов регуляризации

Введение

2.1 Постановка задачи идентификации

2.2 Базовый метод идентификации законов распределения

2.3 Развитие ЕС-алгоритма регуляризации для идентификации полимодальных законов распределения

2.4 Многопараметрический алгоритм ЕС-регуляризации

2.5 Идентификация полимодальных плотностей распределения для базисных функций на основе полиномов Лежандра

2.6 Степенной функциональный базис, ЕС-регуляризация и результаты тестирования

Выводы по главе

Глава 3 Алгоритмы регуляризации и стохастического анализа 8УБ-разложения

Введение

3.1 Особенности БУО-разложения при решении систем линейных уравнений

3.2 Алгоритмы регуляризации БУО-разложения

3.3 Стохастический анализ БУО-разложения в методе возмущения

Выводы по главе

Глава 4 Применение стохастического и сингулярного анализа для исследования структур со случайными свойствами

Введение

4.1 Стохастический анализ фрактальных реализаций ЭГЭГ-сигнала. Модификация SSA- метода

4.2 Стохастический анализ топологических характеристик мембранных структур

4.3 Результаты вычислительных экспериментов при решении интегральных уравнений Фредгольма I рода

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение 1 Программа регуляризация матричного сингулярного разложения по методу ЕС-алгоритма для решения плохо обусловленных и вырожденных систем линейных алгебраических уравнений на языке МЛТЬЛБ

Приложение 2 Программа решения плохо обусловленных и вырожденных систем линейных алгебраических уравнений на основе ЕС-алгоритма регуляризации на языке МЛТЬЛБ

Приложение 3 Свидетельства о государственной регистрации программ

для ЭВМ

Приложение 4 Акт внедрения результатов диссертационной работы

Приложение 5 Акт внедрения результатов диссертационной работы в учебный процесс

Приложение 6 Акт внедрения результатов диссертационной работы

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация характеристик стохастических систем на основе методов регуляризации и сингулярного анализа»

Актуальность темы исследования

В диссертационной работе выполнены исследования в перспективной сфере прикладной математической статистики и информационных технологий по восстановлению сложных, негауссовых законов распределения по экспериментальным данным для стохастических структур и систем.

Проблема достоверного анализа и интерпретации стохастических данных актуальна в таких сферах исследования естествознания как квантовая механика, медицина, геохимия, мембранные технологии и наноструктуры.

В этих областях существует множество сложных по своей природе структур и процессов, при исследовании которых применяются различные методы идентификации законов распределения характеристик стохастической или фрактальной природы.

Особенностью таких объектов является наличие полимодальных, негауссовых распределений. Например, в иммунологии идентифицируются распределения с числом мод 2-3; в методах получения высокочистых веществ известны примесные распределения с 3-5 модами; в моделях, описываемых на основе решений уравнения Шрёдингера для квантовых систем их может быть значительное число (до нескольких десятков мод).

В математике описание случайных величин стохастического мира основывается на классических результатах теории вероятности и математической статистики. Известно, что главной характеристикой случайной величины (СВ) является закон распределения. Для непрерывных СВ его представляет плотность распределения (ПР) вероятности значений.

На практике проблема нахождения ПР достаточна сложна, т.к. нужно корректно связать экспериментальные данные и кривую распределения посредством интегрального выражения. Поэтому в приложениях прибегают к упрощенным методам параметрического оценивания ПР, методу построения гистограмм, выдвижению и проверки гипотез относительно распределения СВ.

Проблема восстановления ПР часто осложняется наличием выборок малого объема. Однако эти подходы лишь некое приближение к выявлению ПР.

Для идентификации законов распределения с указанной спецификой, наиболее перспективными являются методы, основанные на решении обратных задач математической физики, развиваемые в диссертационной работе.

Обратные задачи математической физики являются некорректно поставленными и требуют для своего решения методов регуляризации.

В диссертации идентификация плотностей распределения полимодальных, негауссовых характеристик решается как некорректно поставленная задача нахождения приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода с использованием регуляризирующих алгоритмов и программ.

В исследовании предложен новый алгоритм регуляризации таких задач. Алгоритм представляет собой модификацию базового метода идентификации полимодальных плотностей, основанного на минимизации функционала среднего риска.

Предложенный алгоритм регуляризации связан с методом сингулярного разложения матриц, который сводит задачу минимизации функционалов к решению эквивалентных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом псевдообращения. В рамках этой концепции предложен новый подход для эффективного решения задачи.

Этот подход представляет собой регуляризацию собственно SVD-разложения матричных операторов, широко применяемого для нахождения нормальных псевдорешений систем уравнений полного и неполного ранга в задачах линейной алгебры, а также при численном интегрировании дифференциальных уравнений математической физики и краевых задач конечно-разностными методами.

Предложенные новые решения позволяют получать устойчивые процедуры идентификации распределений плотностей случайных величин.

Второе направление исследований в рамках идентификации полимодальных стохастических характеристик, связано с оценкой устойчивости и

чувствительности получаемых решений к вариациям правых частей и матриц систем уравнений (к детерминированным и случайным возмущениям).

В диссертации показано, что в условиях возмущения исходных данных, сингулярные числа могут получать полимодальную трансформацию.

Таким образом, сам применяемый алгоритм сингулярного разложения предлагается считать объектом, требующим стохастического анализа и интерпретации.

Учет этого обстоятельства определяет методологическую значимость предложенного стохастического подхода и позволяет не только учесть погрешность данного вычислительного метода, но и дает возможность выявить принципиальные свойства негативной трансформации решений плохо обусловленных или вырожденных СЛАУ.

В рамках предложенного автором подхода проведена идентификация плотностей распределения сингулярных чисел (вычисляемых БУО-алгоритмом) для ряда тестовых задач.

Цели и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка методов, алгоритмов и программ для корректной идентификации полимодальных плотностей распределения характеристик негауссовских случайных структур и процессов на основе методов регуляризации и сингулярного анализа.

В соответствии с поставленной целью решены следующие задачи:

1. Для идентификации плотностей распределения полимодальных характеристик, применен алгоритм ЕС-регуляризации, основанный на решении полной проблемы собственных значений.

2. Алгоритм ЕС-регуляризации развит в варианте векторной регуляризации.

3. Выполнена регуляризация SVD-разложения со скалярным параметром регуляризации и ее последующая верификация.

4. Предложен алгоритм идентификации полимодальных распределений с функциональным базисом в виде ортогональных сферических полиномов Лежандра. Выполнен сравнительный анализ устойчивости и точности

идентификации трех базисов: тригонометрического, на основе многочленов Лежандра и простого степенного базиса.

5. Предложена идентификация плотностей распределения сингулярных значений в методе возмущения для плохо обусловленных матриц.

6. Разработана модификация SSA-метода (Singular Spectrum Analysis) для исследования траекторных матриц случайных процессов.

7. Идентифицированы стохастические характеристики реализаций глубинных профилей мембранных нано-структур и ЭГЭГ-сигнала (электрогастроэнтерографический сигнал).

Объект исследования

Объектом исследования являются стохастические системы в различных областях техники и медицины, характеризующиеся случайными величинами и процессами с полимодальными законами распределения вероятностей.

Методы исследования

При решении поставленных задач использовались методы приближенного решения интегрального уравнений Фредгольма I рода, методы регуляризации плохо обусловленных систем линейных алгебраических и интегральных уравнений, сингулярное разложение матриц, методы вычислительной линейной алгебры, математической статистики, теории вероятностей.

Научная новизна

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие научные результаты:

1. На основе алгоритма ЕС-регуляризации разработан алгоритм регуляризации с векторным параметром, отличающийся от известных повышенной надежностью для систем высокого порядка и позволяющий решать задачи полимодальной идентификации с высоким разрешением мод.

2. Предложен алгоритм регуляризация SVD-разложения матриц с быстрым убыванием значений сингулярного спектра, отличающийся повышенной устойчивостью и обеспечивающий решение алгебраических систем высокого

порядка и интегральных уравнений Фредгольма I рода в задачах идентификации законов распределения.

3. Разработан алгоритм идентификации распределений с функциональным базисом в виде ортогональных сферических полиномов Лежандра, отличающийся от известных (тригонометрический базис) повышенной точностью восстановления уплощенных кривых распределения (равномерных, типа Шапо, трапецеидальных).

4. Выполнена идентификация плотностей распределения сингулярных значений матричных операторов в рамках метода возмущения, отличающаяся возможностью корректного оценивания устойчивости и множественности центров группирования решений линейных систем.

5. Предложена модификация SSA-метода (Singular Spectrum Analysis) для исследования траекторных матриц случайных процессов, отличающаяся от известных возможностью идентификации стохастических распределений векторов вложения ганкелевых матриц, что позволяет выделять опорные компоненты, сокращать порядок траекторной матрицы и сжимать (по времени) исследуемый процесс без потерь значимой информации.

6. Выявленная автором статистическая закономерность - реализации ЭГЭГ-сигнала и их первые приращения идентифицируются полимодальными законами распределения с существенно выраженными модами.

Положения выносимые на защиту

1. Методы идентификации на основе алгоритма ЕС-регуляризации позволяют идентифицировать плотности распределения при числах

4 17

обусловленности задачи идентификации порядка 10 ^10 .

2. Регуляризация SVD-разложения, обеспечивающая устойчивость данного алгоритма к погрешностям для плохо обусловленных систем уравнений высокого порядка и интегральных уравнений Фредгольма I рода.

3. Алгоритм идентификации распределений с функциональным базисом в виде ортогональных сферических полиномов Лежандра, отличающийся повышенной точностью восстановления уплощенных кривых распределения.

4. Модификация SSA-метода (Singular Spectrum Analysis) для исследования траекторных матриц, позволяющая сжимать по времени случайные процессы без потери значимой информации.

5. Выявленная автором стохастическая особенность характеристик систем с фрактальными свойствами (в отличие от систем с броуновским движением) -наличие полимодальных распределений с существенно выраженными модами.

Личный вклад автора

Результаты, представленные в диссертационной работе, получены лично автором, а именно: выбор направления исследований, разработка новых методов и алгоритмов регуляризации и сингулярного анализа; исследование стохастических свойств фрактального процесса; реализация алгоритмов идентификации и регуляризации на основе системы программирования MATLAB в прикладных исследованиях биомедицины и мембранных технологий; верификация ЕС-алгоритма регуляризации при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Практическая ценность и реализация результатов

Предложен и разработан новый подход к идентификации полимодальных законов распределения характеристик случайных структур и систем методами регуляризации при условии плохой обусловленности метода идентификации, основанного на тригонометрическом функциональном базисе. Предложенные модификации метода ЕС-регуляризации и алгоритм регуляризация SVD-разложения обеспечивают устойчивое решение алгебраических систем высокого

4 17

порядка и интегральных уравнения I рода при числах обусловленности 10 ^ 10 в задачах идентификации плотностей распределения.

Выполнена идентификация плотностей распределения сингулярных значений в методе возмущения для плохо обусловленных матриц общего вида, позволяющая оценивать устойчивость решений СЛАУ для метода сингулярного разложения. Модификация SSA-метода (Singular Spectrum Analysis), позволяет выделять опорные компоненты, сокращать порядок траекторной матрицы и сжимать (по времени) исследуемый процесс без потерь значимой информации.

Разработанный подход более чем в 2 раза сокращает время диагностики для фрактальных биоэлектрических сигналов, принятия правильного решения и последующей терапии.

Предложенные методы идентификации восстанавливают законы распределения характеристик наноразмерных мембранных структур и могут использоваться для быстрого и эффективного подбора реакционных условий получения полимерообразующих систем и мониторинга их технологических параметров в технологиях синтеза. Разработанное программное обеспечение зарегистрировано в Федеральной службе по интеллектуальной собственности (свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019616490 от 23.05.2019 г. , № 2019616543 от 24.05.2019 г.).

Результаты диссертационных исследований и программное обеспечение нашли применение в медицинских приложениях: исследование биомедицинских данных в гастроэнтерологии и клинической гинекологии с внедрением в медицинскую практику по направлению «Акушерство и гинекология», используются в учебном процессе в НГТУ им. Р.Е. Алексеева, в научных исследованиях и при решении задач стохастического анализа в различных приложениях.

Диссертационная работа выполнена в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований по научному проекту № 19-07-00926_а.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Содержание диссертации соответствует п. 4 области исследований «Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации»; п. 6. «Методы идентификации систем управления на основе ретроспективной, текущей и экспертной информации»; п. 7. «Методы и алгоритмы структурно -параметрического синтеза и идентификации сложных систем»; п. 13. «Методы получения, анализа и обработки экспертной информации» паспорта специальности научных работников 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и промышленности) по техническим наукам».

Обоснованность и достоверность научных положений

Подтверждена применением строгого математического аппарата обратных задач, методов регуляризации, сингулярного матричного разложения, решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода; совпадением результатов идентификации и статистического моделирования с известными теоретическими результатами математической статистики и теории вероятностей.

Обоснованность и достоверность научных положений подтверждена также апробацией разработанных методик и алгоритмов в прикладных задачах, выступлениями на научных конференциях и публикациями.

.Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях:

1. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-26, ММТТ-27, ММТТ-28, ММТТ-29, ММТТ-30, ММТТ-32, ММТТ-34 Нижний Новгород, Ярославль, Тамбов, Санкт-Петербург; 2. МНТК «Информационные системы и технологии» ИСТ-2013, ИСТ-2014, ИСТ-2015, ИСТ-2016, ИСТ-2017, ИСТ-2019, ИСТ-2021 - Н. Новгород; 3. Международном семинаре «6th Semimr оп Industrid Control Systems: Analysis, Modeling а^ СотрШ:айоп» Moscow, Russia, 2016; 4. XI и XII международных симпозиумах «Интеллектуальные системы» INTELS'2014 и INTELS'2016. - Москва, 2014, 2016 г.; 5. VIII международной конференции по математическому моделированию (МКММ-2017), 2017 г., Якутск, Россия; 6. Международной конференции «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики», приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова, 2016 г., Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова; 7. Международной конференции «Third IAA inference оп DYNAMICS AND CONTROL OF SPACE SYSTEMS 2017 (DyCtoSS)», Moscow, Russia 8. Международном симпозиуме «III-й Международный иммунологический форум», 2013, Нижний Новгород; 9. XIII всероссийском совещании по проблемам управления (ВСПУ-2019), 17-20 июня 2019 г., Москва, Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН; 10. Международной научной

мультиконференции: CyberPhy-2019 - Cyber-physical systems design and modelling, 03-07 июня 2019 г., CaHKT-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Спб; CyberPhy-2020, CyberPhy-2021 - Cанкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Спб.

Публикации

По результатам диссертационных исследований опубликовано 42 печатные работы. В том числе 8 статей в научных журналах и изданиях, рекомендуемых ВАК РФ, 9 статей в рецензируемых международных журналах с индексом Web of Science и Scopus, 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ, 23 публикации в сборниках научных трудов международных и российских конференций, а также в рецензируемых журналах РИНЦ.

Структура и объем диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 106 наименований и 6 приложений. Общий объем диссертационной работы составляет 139 страниц, включая 1 таблицу и 44 рисунка.

Краткое содержание работы

В первой главе рассматривается современное состояние стохастического анализа и идентификации законов распределения случайных величин и процессов. Отмечается сложность корректной идентификации полимодальных негауссовских законов распределения.

На примере ряда научных публикаций, изучающих случайные структуры в природе, физике микро- и макромира, биологии делается вывод: сложным структурам и процессам соответствует полимодальная характеристика распределений, обобщающая стохастические модели.

Формулируются общие цели исследований, направленные на развитие методологической, математической и алгоритмической базы стохастического анализа случайных структур и процессов.

Во второй главе предложен метод идентификации плотности распределения вероятностей характеристик случайных величин методом

приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода с различными базисными функциями (тригонометрические функции, нормированные полиномы Лежандра, степенной базис). Проводится сравнительный анализ идентифицированных плотностей на тестовых задачах.

Предложен и излагается модифицированный алгоритм ЕС-регуляризации, основанный на векторной регуляризации.

В третьей главе рассматривается метод регуляризации SVD-разложения на основе алгоритма ЕС-регуляризации с глобальным параметром регуляризации. Показывается, что новый метод обладает повышенной устойчивостью к возмущению правых частей и матриц при решении плохо обусловленных СЛАУ для идентификации плотностей распределения. Сравниваются по потенциальным возможностям разработанные новые алгоритмы с классическими методами регуляризации А.Н. Тихонова.

В четвертой главе изложены результатов исследований в медицинских приложениях и в топологическом анализе гибридных полимерных мембран, базирующихся на теоретических результатах и алгоритмах, описанных во второй и третьей главах. Показано, что в отличие от традиционных статистических подходов предложенные идентификации законов распределения, интерпретации экспериментальных данных позволяют получать новые знания об исследуемых структурах и процессах. Проведена расширенная верификация ЕС-алгоритма регуляризации при решении интегральных уравнениях Фредгольма первого рода.

Прикладной значение диссертационного исследования имеют разработанные алгоритмы и программы в среде MATLAB.

Результаты исследований можно использовать для экстренной диагностики и терапии, при создании перспективных экспертных систем персональной медицины и разработке технологий новых материалов.

В заключении приводится перечень основных результатов диссертационных исследований.

Глава 1 Идентификация законов распределения экспериментальных данных

для случайных величин и процессов

В главе дается обоснование актуальности темы диссертационного исследования, анализируется современное состояние в данной области, выполнен обзор некоторых значимых методов стохастического анализа обработки информационных данных, полученных в эксперименте.

Отмечается, что большинство известных классических методов приспособлено для идентификации распределений с одной модой.

Однако сложные объекты со случайными свойствами, включая хаотические и фрактальные, характеризуются не одной, а несколькими модами и для идентификации законов распределения с полимодальной спецификой наиболее перспективными являются методы, основанные на решении обратных задач математической физики.

Делается вывод о необходимости развития методологической, математической и алгоритмической базы стохастического анализа случайных структур и систем, а также объектов вычислительной математики, обеспечивающих изучение указанных объектов на основе методов регуляризации.

1.1 Актуальность корректной идентификации полимодальных законов

распределения

Стохастические явления и порождающие их структуры представляют собой класс явлений и объектов, для изучения которых применяются математические методы вероятностного и статистического плана, формулируются и доказываются предельные теоремы, разрабатываются алгоритмы решения стохастических дифференциальных уравнений типа Фоккера-Планка, дробных дифференциальных уравнений диффузии, используются методы вычислительного эксперимента. Зачастую, стохастические процессы выступают как составная или проявленная часть явлений хаотического характера.

В технике, биологии, медицине, химии, эконофизике описание случайных величин стохастического мира основывается на классических результатах теории вероятности и математической статистики. Такие понятия как функция и плотность распределения, числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, моменты) помогают анализировать как случайные величины, так и случайные процессы.

Вместе с тем, выявление законов распределения и оценка их параметров представляет до сих пор сложную задачу. Особенно это касается негауссовских стохастических систем с несколькими модами в распределениях. В диссертационной работе предлагается один из путей решения указанной проблемы с выходом на практические приложения результатов исследований в различных сферах.

Известно, что главной характеристикой непрерывной случайной величины (СВ) является плотность распределения (ПР) вероятности ее значений. Однако на практике проблема нахождения ПР достаточна сложна, т.к. нужно корректно связать экспериментальные данные и кривую распределения посредством интегрального выражения (глава 2). Поэтому в приложениях прибегают к упрощенным методам параметрического оценивания ПР, методу построения гистограмм, выдвижению и проверки гипотез относительно распределения СВ. Проблема восстановления ПР осложняется в случае выборок малого объема.

В этом плане можно отметить фундаментальную коллективную монографию [1].

В работе [2] рассматриваются вопросы применения непараметрических критериев согласия (Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Купера, Андерсона-Дарлинга и др.) при проверке простых и сложных гипотез.

Отмечается, что классические критерии, статистики которых обладают замечательным свойством «свободы от распределения» теряют свои свойства при проверке сложных гипотез, если по анализируемой выборке оцениваются параметры закона распределения.

При этом распределения статистик непараметрических критериев согласия становятся иными, а некорректность применения критериев связана с тем, что не учитывается фактор зависимости распределения статистик от метода оценивания, числа параметров и предполагаемого закона распределения. Это приводит к проблеме необоснованного принятия или отклонения проверяемых гипотез.

Для обеспечения корректности непараметрических критериев предлагаются методы компьютерного моделирования распределения статистик в интерактивном режиме, адаптируется метод максимального правдоподобия и ряд других подходов. Для решения указанных проблем разработан комплекс программного обеспечения.

Однако и эти методы не обладают устойчивостью в условиях выборок малого объема, не связаны непосредственно с функционалами энтропии Фишера, Шеннона или Реньи, сложно адаптируемы к описанию случайных структур, имеющих полимодальные законы распределения и своих характеристик, и соответствующих статистик для проверки сложных гипотез.

Рассмотрим особенности, возникающие в методе построения гистограмм при группировании экспериментальных данных. Для предварительной оценки формы распределения, для использования критериев согласия, для вычисления оценок энтропийного коэффициента исследователь должен представить выборку в виде гистограммы - совокупности т столбцов определенной протяженности й соответствующих им интервалов. Таким образом, сразу встает задача выбора оптимального числа интервалов.

В монографии [3] приведен достаточно полный обзор рекомендаций относительно выбора числа т интервалов группирования. Этих рекомендаций много и они существенно различаются между собой. Авторы книги дают ссылку на авторитетных специалистов М. Кендалла и А. Стюарта, подчеркивающих необходимость делать интервалы одинаковыми [4].

Приводится также формула оптимального числа интервалов Старджеса т = 3.3 ^ L+1, где L - объем выборки и другие варианты определения т через L в случае интервалов равной вероятности [5].

Совершенно новый подход к рассматриваемому вопросу открыл метод, изложенный в работе [6]. Было показано, что выбор т зависит от закона распределения и дается соотношением для целого ряда одномодальных распределений: 4, Ь

т = — , где в- значение контрэксцесса распределения.

По результатам обзора в монографии [3] формулируется следующий вывод:

- задача выбора числа интервалов при их статистической обработке есть задача оптимальной фильтрации случайных отклонений гистограммы от плавной кривой плотности распределения, соответствующей генеральной совокупности;

- максимально возможное сглаживание случайных флуктуаций данных («шума») должно сочетаться с минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения - «сигнала» и, следовательно, необходим алгоритм построения гистограммы с минимальной потерей информации о деталях распределения случайной величины;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куликов Владимир Борисович, 2022 год

/ \

б

а

в

где

Рис. 4.15 (а) точное решение; (б) точная правая часть; (в) решение ИУ SVD-алгоритмом; (г) решение скалярным ЕС-алгоритмом; (д) решение векторным ЕС-алгоритмом; (е) вектор параметров регуляризации ЕС-алгоритма.

В этом случае эффективнее сработал векторный вариант ЕС-алгоритма. Расчет занимает несколько секунд.

III Вариант интегрального уравнения ( тестовый пример ВЦ МГУ).

1 1

Az = \ 2 2чz(s)ds = u(t), (t <=[-1,1])

+ 115 О

z(s) = 1.0, 5 е [-1.0,1.0].

Кол-во узлов сетки по в и 1 - по 71. Число обусловленности матрицы аппроксимирующей системы уравнений со^(А) = 1.1е+035, ранг = 11. Матрица системы очень плохо обусловлена. Найденное оптимальное значение параметра регуляризации равно 1.2е-006. Время расчета - до 1,5 с.

Решение ИУ приведено на рис. 4.16. Как и ранее, выявляются неустойчивые свойства БУО-разложения. Оба варианта предложенной ЕС-регуляризации обеспечивают устойчивые решения с локальной погрешностью на краях. При решении ИУ методом А.Н. Тихонова по принципу невязки возникают проблемы сходимости в методе Ньютона. Не удается корректно решить нелинейное

уравнение относительно параметра регуляризации при значительном числе узлов сетки.

а б в

Рис. 4.16 (а) точное решение; (б) решение ИУ SVD-алгоритмом; (в) решение скалярным ЕС-алгоритмом при возмущении правой части.

IV Вариант интегрального уравнения [96]

г 1

М = I---= и(г), г е [-1,1] х^) = 1 - s2.

01 +100(/ -

Количество узлов сетки - по 71. Число обусловленности матрицы со^^) = 3^+019, ранг = 37.

В этом примере имеется несимметричная функции правой части (рис. 4.17). В результате ЕС-решения получаются с незначительными выбросами на левом краю. Проблему выбросов можно решить симметризацией (расширением) области определения функции z(s). Правая ветвь графика (е) - решения (относительно точки z(0)) может быть принята за решение исходной задачи. Свойство гладкости в этом случае сохраняется при очень значительных возмущениях правой части ИУ. Таким образом, не только несимметрия ядра или функции z(s), но и диапазон изменения переменных s и t существенно влияет на качество решения.

где

Рис. 4.17 (а) точное решение; (б) точная правая часть; (в) решение ИУ БУБ-алгоритмом; (г) решение скалярным ЕС-алгоритмом; (д) решение скалярным ЕС-алгоритмом при возмущении правой части; (е) решение скалярным ЕС-алгоритмом для -1< б < 1. Время вычисления - 3 с.

У Вариант интегрального уравнения [47]

16 ч2, 2

Az = | е г)z(s)ds = и(г), г е [-16, 16]

-16

Точное решение z(s) = е 5 <л = 4.0; <у2 = 3.0.

Количество узлов сетки по в и 1 равно соответственно 51 и 91. Число обусловленности 7.9е+018. Ранг матрицы - 39.

б

а

в

г д е

Рис. 4.18. (а) точное решение; (б) точная правая часть; (в) решение ИУ SVD-алгоритмом; (г) решение скалярным ЕС-алгоритмом; (д) решение векторным ЕС-алгоритмом; (е) вектор параметров регуляризации ЕС-алгоритма.

В силу полной симметрии задачи, регуляризированные ЕС-решения стабильно устойчивы при значительных уровнях погрешности как правой части, так и ядра ИУ (рис. 4.18).

Для решения уравнения в [47] использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова. Из-за значительной плохой обусловленности аппроксимирующей системы уравнений, авторам монографии [47] пришлось дополнительно использовать информацию об ограниченности второй производной решения. При этом потребовалось сформировать и решить составную систему уравнений с заданием величины множителя Лагранжа эвристическим путем.

Метод ЕС-регуляризации в этом примере обеспечил решение ИУ непосредственно и с высокой точностью за конечное число итераций.

При задании более мелкой сетки (101 х 181 узлов) число обусловленности возрастает на 4 порядка. Тем не менее, качество ЕС-решения остается на прежнем уровне, время вычислений возрастает на 10 с.

Отметим, что к рассмотренному ИУ (Вариант V) приходим в задаче измерения параметров (определение распределения плотности, восстановление формы профиля) ускоряемого пучка заряженных частиц в ускорителе с помощью второго пучка, распределение плотности частиц в котором известно (данные Иститута ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН). Ядро интегрального оператора Фредгольма первого рода описывает известное распределение, а решение ИУ определяет искомую плотность ускоряемого пучка.

Таким образом, с помощью алгоритма ЕС- регуляризации можно найти устойчивое решение ИУ и восстановить неизвестную стохастическую характеристику (плотность распределения) в сложном и дорогостоящем эксперименте.

Прикладные исследования, рассмотренные в 4 главе, выполнены при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований по научному проекту № 19-07-00926_а - «Исследование фундаментальных аспектов стохастического и сингулярного анализа структур со случайными свойствами в

медицине и мембранных технологиях методами решения обратных некорректно поставленных задач».

Выводы по главе 4

Разработанные методы идентификации позволяют эффективно проводить исследования стохастических систем в технике и медицине. Идентифицированные полимодальные характеристики содержат информацию о динамике состояния органов и систем организма.

Сочетание SSA-алгоритмов, метода возмущения и независимых компонент (ICA) позволит выявлять латентные факторы в процессе исследования проблем функционирования ЖКТ. Полученные данные можно использовать для экстренной диагностики и терапии, при создании перспективных экспертных систем персональной медицины [97, 98].

Методы идентификации восстанавливают законы распределения характеристик мембран в режиме реального времени и могут использоваться для:

а) оценки распределения размеров пор органо-неорганических полимерных мембран в зависимости от технологических факторов их получения, размеров, выбора типа нанопористого покрытия;

б) оценки плотностей распределения глубинных профилей пор в различных сечениях мембран (при аналогичных технологических условиях);

в) осуществления эффективного подбора реакционных условий получения полимерообразующих систем и мониторинга технологических параметров на основе высокоточных и надежных методов для создания эффективных технологий синтеза.

Проведена расширенная верификация ЕС-алгоритма регуляризации. Метод проверен на интегральных уравнениях Фредгольма первого рода [99]. Отмечены сложности, обусловленные некорректностью и неустойчивостью примеров, показаны возможности ЕС-регуляризации для аппроксимирующих систем с

17

числами обусловленности до 10 . ЕС-алгоритм может быть эффективен для получения начальных приближений операторных уравнений с решениями, содержащими негладкие и разрывные компоненты [95, 100-106].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы:

1. Показана актуальность исследований для стохастических явлений и структур с полимодальными, негауссовыми законами распределения.

2. Разработан алгоритм регуляризации для идентификации плотностей распределения полимодальных характеристик на основе модификации алгоритма ЕС-регуляризации.

3. Предложен алгоритм идентификации полимодальных распределений с функциональным базисом в виде ортогональных сферических полиномов Лежандра. Выполнен сравнительный анализ устойчивости и точности идентификации трех базисов: тригонометрического, на основе многочленов Лежандра и простого степенного базиса.

4. Модифицированный алгоритм протестирован при решении плохо обусловленных систем повышенной размерности.

5. Предложена регуляризация SVD-разложения с глобальным параметром регуляризации и реализована его верификация.

6. Выполнена идентификация плотностей распределения сингулярных значений в методе возмущения для плохо обусловленных матриц общего вида.

7. Обобщен SSA-метод (Singular Spectrum Analysis) для исследования траекторных матриц случайных процессов.

8. Метод ЕС-регуляризации и его модификация доказали высокую эффективность при решении сложных интегральных уравнений Фредгольма первого рода в прикладных технических задачах.

9. Результаты исследований в технических и медицинских приложениях подтверждают работоспособность предложенных алгоритмов и методов.

Результаты диссертационных исследований и программное обеспечение используются в учебном процессе в НГТУ им. Р.Е. Алексеева, в научных исследованиях и при решении задач стохастического анализа в различных медицинских и технических приложениях - (Приложения 3-6).

Список литературы

1. Лемешко, Б. Ю. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход. [Монография] / Б.Ю. Лемешко, С.Б. Лемешко, С.Н. Постовалов, Е.В. Чимитова. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. - 888 с.

2. Лемешко, Б. Ю. Непараметрические критерии согласия: Руководство по применению. / Б. Ю. Лемешко. - М.: ИНФРА-М, 2016. - 163 с.

3. Новицкий, П.В. Оценка погрешностей результатов измерений / П.В. Новицкий, И.А. Зограф. - Л.: Энергоатомиздат, 1991. - 304 с.

4. Кендалл, М. Статистические выводы в связи / M. Кендалл, A. Стюарт. - М.: Наука, 1973. - 542 с.

5. Плохинский, А.Д. Алгоритмы биометрии / А.Д. Плохинский. - М.: Изд-во МГУ, 1967. - 82 с.

6. Алексеева, И.У. Теоретическое и экспериментальное исследование законов распределения погрешностей, их классификация и методы оценки их параметров [Текст]: автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук (05.11.05) / Алексеева Ирина Учуровна; - Л., 1975. - 20 с.

7. Суханова, В.В. О полимодальном распределении Курильского эпипелагического нектона по массе тела особей / В.В. Суханова, О.А. Иванова // Известия Тихоокеанского научно-исследовательского рыбохозяйственного центра. - 2001. - Т. 128. - С. 390-408.

8. Пирожков, В.Г. Применение уравнения Фоккера-Планка при изучении финансовых рынков / В.Г. Пирожков, О.О. Рошка, Т.С. Алероев // Вестник МГСУ. - 2017. - Т. 12. - Вып. 7 (106). - С. 809-821.

9. Коваленко, Ю. А. Алгоритм определения параметров бимодальных нормальных распределений / Ю.А. Коваленко, Д.С. Королев // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2010. - № 12.

10. Печеровый, А.В. К вопросу определения площадей неразделенных пиков в автоматизированных системах обработки хроматограмм [Электронный ресурс] / А.В. Печеровый // Электронный журнал «Исследовано в России»

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/033.pdf.

11. Borovkov, M. The computational approaches to calculate normal distributions on the rotation group / М. Borovkov, Т. Savelova // Journal of Applied Crystallography. -2007. - Vol. 40. - p. 449.

12. Савелова, Т.И. Обзор методов восстановления функции распределения ориентаций по полюсным фигурам / Т.И. Савелова, Т.М. Иванова // Заводская лаборатория. - 2008. - Т.78. - № 7. - С. 25.

13. Леонов, А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в MATLAB / А.С. Леонов. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. - 336 с.

14. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

15. Бочаров, Г.А. Математические технологии анализа пролиферации Т-лимфоцитов по данным проточной цитофлуориметрии / Г.А. Бочаров, Т.Б. Лузянина, Розе Дирк // Российский иммунологический журнал. - 2009. - Т. 3(12). - № 1. - С. 13-22.

16. Алексеев, В.Г. Непараметрическое оценивание плотности вероятности и ее производных. £2-подход / В.Г. Алексеев // Автометрия. - 2007. - № 6. - С. 39-47.

17. Cline, D. B. H. Admissible kernel estimators of a multivariate density / D. B. H. Cline // Ann.Statist. - 1988. - Vol. 16. - N. 4. - p. 1421-1427.

18. Muller, H. G. Smooth optimum kernel estimators of densities, regression curves and modes / H. G. Muller // Ann.Statist. - 1984. - Vol. 12. - N. 2. - p. 766-774.

19. Поршнев, С.В. Использование аппроксимации Розенблатта-Парзена для восстановления непрерывной случайной величины с ограниченным одномодальным законом распределения / С.В. Поршев, А.С. Копосов // Научный журнал КубГАУ. - 2013. - № 92(08). - С. 1-14.

20. Поршнев, С.В. Теория и алгоритмы аппроксимации эмпирических зависимостей и распределений / С.В. Поршнев, Е. В. Овечкина, В.Е. Каплан // -Екатеринбург: УрО РАН, 2006. - 166 с.

21. Rozenblatt, M. Remarks on some nonparametric estimates of density function / M. Rozenblatt // Ann. Math. Statist. - 1956. - Vol. 27. - p. 832-835.

22. Parzen, Emanuel. On estimation of probability density function and mode / Emanuel Parzen // Ann. Math. Statist. -1962. - Vol. 33. - N. 3. - p. 1065-1076.

23. Гладков, Л. А. Генетические алгоритмы / Л. А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик; ред. В.М. Курейчик. - 2-е изд., исправл. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 368 с.

24. Golub, G. H. Singular value decomposition and least squares solution / G. H. Golub, C. Reinsch // Numerische Mathematik. - Vol. 14. - p. 403-420.

25. Воскобойников, Ю.Е. Современные проблемы прикладной математики. Часть 1. Лекционный курс: учебное пособие / Ю.Е. Воскобойников, А.А. Мицель. -Томск, 2015. - 136 с.

26. Антипов, О.И. Фрактальный анализ электрогастроэнтерографического сигнала / О.И. Антипов, М.Ю. Нагорная // Биомедицинская радиоэлектроника. - 2010. - № 10. - С. 40-44.

27. Calvo, J.I. Bulk and surface characterization of composite UF membranes Atomic force microscopy, gas adsorption-desorption and liquid displacement techniques / J.I. Calvo, P. Pradanos, A. Hernandez, W.R. Bowen, N. Hilal, R.W. Lovitt, P.M. Williams // Journal of Membrane Science. - 1997. - Vol. 128. - p. 7-21.

28. Петерс, Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э. Петерс; пер. с анг. - М.: Мир, 2000. -333 с.

29. Вапник, В.Н. Непараметрические методы восстановления плотности вероятности / В.Н. Вапник, А.Р. Стефанюк // Автоматика и телемеханика. - 1978. - № 8. - С. 38-52.

30. Тихонов, А.Н. Решение некорректно поставленных задач и метод регуляризации / А.Н. Тихонов // Докл. АН СССР. - 1963. - № 3. - С. 501-504.

31. Жуковский, Е.Л. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений / Е.Л. Жуковский // ЖВМиМФ. - 1972. - Т. 12. - № 1. - С. 185-191.

32. Муравьев, М.В. Об оптимальных и предельных свойствах байесовского решения системы линейных алгебраических уравнений / М.В. Муравьев // ЖВМиМФ. - 1973. - Т.13. - № 4. - С. 819-828.

33. Лавреньев, М.М. Линейные операторы и некорректные задачи / М.М. Лавреньев, Л.Я. Савельев. - М.: Наука, 1991. - 331 с.

34. Федотов, A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных / А.М. Федотов. - Новосибирск: Наука, 1990. - 279 с.

35. Тихонов, А.Н. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов и др. - М.: Наука, 1988. - 198 с.

36. Морозов, В.А. Методы решения некорректно поставленных задач / В.А. Морозов, А.И. Гребенников. - М.: Изд-во МГУ, 1992. - 319 с.

37. Вапник, В.Н. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / В.Н. Вапник. - М.: Наука, 1984. - 816 с.

38. Hoerl, А.Е. Ridge regression: biased estimation for non-orthogonal problems / А.Е. Hoerl, R.W. Kennard // Technometrics. - 1970. - Vol. 12. - p. 55-67.

39. Gebali, F. Solving Systems of Linear Equations / F. Gebali // Algorithms and Parallel Computing. - John Wiley & Sons, Inc. - 2011. - p. 305-321.

40. Hansen, P. C. Rank-deficient and discrete ill-posed problems. Numerical Aspects of Linear Inversion / P. C. Hansen. - SIAM. Philadelphia. - 1998. - 247 p.

41. Hoang, N. S. Solving ill-conditioned linear algebraic systems by the dynamical systems method (DSM) / N. S. Hoang, A. G. Ramm // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2008. - Vol. 16. - N. 5. - p. 617-630.

42. Дедус, Ф.Ф. Классические ортогональные базисы в задачах аналитического описания и обработки информационных сигналов: учебное пособие / Ф.Ф. Дедус, Л.И. Куликова, А.Н. Панкратов, Р.К. Тетуев. - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 141 с.

43. Андрушевский, Н.М. Анализ устойчивости решений систем линейных алгебраических уравнений: учебное пособие / Н.М. Андрушевский. - М.: МАКС Пресс, 2008. - 71 с.

44. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, M. Малькольм, K. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.

45. Шевцов, Г.С. Численные методы линейной алгебры: учебное пособие / Г.С. Шевцов, О.Г. Крюкова, Б.И. Мызникова. - М.: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2008. - 480 с.

46. Годунов, С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры / С.К. Годунов. - Новосибирск: Научная книга (ИДМИ), 2002. - 216 с.

47. Бибердорф, Э.А. Гарантированная точность современных алгоритмов линейной алгебры / Э.А. Бибердорф, Н.И. Попова. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - 320 с.

48. Куляс, М.О. Аппаратно-программный комплекс для записи и обработки электрогастроэнтерографических сигналов / М.О. Куляс, М.Ю. Нагорная // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2011. - № 1. - С. 9399.

49. Гончар, В.Ю. Устойчивые распределения Леви для флуктуаций плотности потенциала в граничной плазме торсатрона / В.Ю. Гончар, А.В. Чечкин, Э.Л. Сороковой и др. // Физика плазмы. - 2003. - Т. 29. - № 5. - С. 413-423.

50. Zaslavsky G.M., Edelman M., Weitzner H. et al. Large-scale behavior of the tokamak density fluctuations // Phys. Plasmas. - 2000. -Vol. 7. -N. 9. - p. 3691-3698.

51. Kulikov, V. The Identification of the Distribution Density in the Realization of Stochastic Processes by the Regularization Method / V. Kulikov // Appl. Mathem. Sciences. - 2015. - Vol. 9. - № 137. - p. 6827-6834.

52. Куликов, В.Б Применение метода регуляризации для обратных задач идентификации плотностей распределения реализаций стохастических биоэлектрических сигналов / В.Б. Куликов, В.П. Хранилов // Информационно-измерительные и управляющие системы. - М.: Изд-во «Радиотехника». - 2015. -Т. 13 - № 11. - С. 59-64.

53. Куликов, В.Б. Стохастический анализ локальных реализаций квазифрактальных случайных процессов / В.Б. Куликов // Системы управления и информационные технологии. - 2015. - № 4(62). - С. 8-11.

54. Куликов, В.Б. Восстановление полимодальных плотностей вероятности по экспериментальным данным в структурах со стохастическими свойствами / В.Б.

Куликов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2014.

- № 1(1). - С. 248-256.

55. Kulikov, Vladimir. Applied problems of the identification and regression analysis in stochastic structures with multimodal properties / Vladimir Kulikov, Alexander Kulikov // ITM Web of Conferences. - 2016. - Vol. 6.

56. Kulikov, V.B. The Analysis of Stochastic Properties of the SVD Decomposition at Approximation of the Experimental Data / V.B. Kulikov, A.B. Kulikov, V.P. Khranilov // Procedia Computer Science. - 2017. - Volume 103. - Pages 114-119. XII International Symposium Intellegent Systems 2016 (INTELS 2016), 5-7 October 2016. Moscow, Russia. Published by Elsevier.

57. Vladimir Kulikov. Inverse Problems in the Method for Stochastic Perturbation of Singular Matrix Decompositions for Spacecraft Trajectory Optimization Algorithms / Vladimir Kulikov and Valery Khranilov // Advances in the astronautical sciences. -2017. - Vol. 161. - p. 825-832. - Proceedings of the 3rd International Academy of Astronautics Conference on Dynamics and Control of Space Systems (DyCoSS) held May 30 - June 1 2017. RUDN University. Moscow, Russia. Published for the American Astronautical Society by Univelt, Incorporated, San Diego, California.

58. Куликов, В.Б. Анализ методов идентификации законов распределения случайных величин и процессов. Новые методы идентификации на основе алгоритмов регуляризации / В.Б. Куликов // Cloud of Science. - 2019. - T. 6. - № 4.

- С. 565-589.

59. Куликов, В.Б. Стохастические свойства SVD-разложения. Идентификация плотностей распределения сингулярных значений матричных операторов при решении СЛАУ / В.Б. Куликов // Cloud of Science. - 2020. - T. 7. - № 1. - С. 49-60.

60. Kulikov, V. Regularization Methods for the Stable Identification of Probabilistic Characteristics of Stochastic Structures / V. Kulikov, A. Kulikov. In: Kravets A., Bolshakov A., Shcherbakov M. (eds) Cyber-Physical Systems: Advances in Design & Modelling. Studies in Systems, Decision and Control. - 2020. - Vol. 259. p. 179191. Springer, Cham.

61. Климонтович, Ю.Л. Нелинейное броуновское движение / Ю.Л. Климонтович // УФН. - 1994. - Т. 164. - № 8. - С. 811-844.

62. Батанов, Г.М. Исследования флуктуаций в высокотемпературной плазме современных стеллараторов методом микроволнового рассеяния / Г.М. Батанов, Л.В. Колик, А.Е. Петров и др. // Физика плазмы. - 2003. - Т. 29. - № 5. - С. 395412.

63. Golyandina, N. Analysis of Time Series Structure: SSA and Related Techniques / N. Golyandina, V. Nekrutkin and A. Zhigljavsky. - London: Chapman & Hall/CRC, 2001. - 305 p.

64. Голяндина, Н.Э. Метод «Гусеница»-SSA: прогноз временных рядов: учебное пособие / Н.Э. Голяндина. - СПб: Изд-во СПбГУ, 2004. - 52 с.

65. Голяндина, Н. Варианты метода "Гусеница"-SSA для анализа многомерных временных рядов / Н. Голяндина, В. Некруткин, Д. Степанов // Труды II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'03. - Москва. - 2003. - С. 2139-2168.

66. Голяндина, Н.Э. Метод «Гусеница»-SSA: анализ временных рядов: учебное пособие / Н.Э. Голяндина. - СПб: Изд-во СПбГУ, 2004. - 76 с.

67. Vorotyntsev, V.M. High purification of gases by diffusion through polymer membranes / V.M. Vorotyntsev // Petroleum Chemistry. - 2015. - Vol. 55. - № 4. - p. 259-275.

68. Ямпольский, Ю.П. Гибридные газоразделительные полимерные мембраны с добавками наночастиц / Ю.П. Ямпольский, Л.Э. Странникова, Н.А. Белов // Мембраны и мембранные технологии. - 2014. - Т. 4. - № 4. - С. 231-246.

69. Noble, R.D. Perspectives on mixed matrix membranes / R.D. Noble // Journal of Membrane Science. - 2011. - Vol. 378. - № (1-2). - p. 393-397.

70. Kickelbick, G. Concepts for the incorporation of inorganic building blocks into organic polymers on a nanoscale / G. Kickelbick // Progress in Polymer Science. -2003. - Vol. 28. - № 1. - p. 83-114.

71. Davletbaeva, I.M. Synthesis and properties of novel polyurethanes based on amino ethers of boric acid for gas separation membranes / I.M. Davletbaeva, O. Yu. Emelina, I. V. Vorotyntsev et. al. // RCS Advances. - 2015. - Vol. 5. - p. 65674-65683.

72. Сазанова, Т.С. Изучение гибридных полимерных мембран с помощью атомно-силовой микроскопии: топографический анализ поверхности и оценка распределения размеров пор / Т.С. Сазанова, И.В. Воротынцев, В.Б. Куликов, И.М. Давлетбаева, И.И. Зарипов // Мембраны и мембранные технологии. - 2016. -Т. 6 - № 2. - С. 166-175.

73. Sazanova, T.S. An Atomic Force Microscopy Study of Hybrid Polymeric Membranes: Surface Topographical Analysisand Estimation of Pore Size Distribution / T.S. Sazanova, I.V. Vorotyntsev, V.B. Kulikov, I.M. Davletbaeva, I.I. Zaripov // Petroleum Chemistry. - 2016. - Vol. 56. - N. 5. - p. 427-435. Pleiades Publishing, Ltd.

74. Ханукаева, А.Ю. Исследование ультрафильтрационных мембран c помощью АСМ: особенности распределения размеров пор / А.Ю. Ханукаева, А.Н. Филиппов, А.В. Бильдюкевич // Мембраны и мембранные технологии. - 2014. - Т. 4. - № 1. - С. 37-46.

75. Ханукаева, А.Ю. Статистическая обработка распределения по размерам пор ультрафильтрационной мембраны, полученного методом атомно-силовой микроскопии / А.Ю. Ханукаева, А.Н. Филиппов // Мембраны и мембранные технологии. - 2013. - Т. 3. - № 3. - С. 210-220.

76. Иванов, В. К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала // Доклады Академии наук СССР. - 1962. - Т. 142. -№ 5. - С. 998-1000.

77. Иванов, В. К. О линейных некорректных задачах // Доклады Академии наук СССР. - 1962. - Т. 145. - № 2. - С. 270-272.

78. Иванов, В. К. О линейных некорректных задачах // Математический сборник. - 1963. - Т. 161. - № 2. - С. 211-223.

79. Иванов, В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математичекой физики. - 1966. - Т. 6. -№ 6. - С. 1089-1094.

80. Иванов, В. К. Об интегральных уравнениях Фредгольма 1 рода // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3. - № 3. - С. 410-421.

81. Танана, В. П. О решении операторных уравнений первого рода с многозначными операторами и их приложение // Известия вузов. Математика. -1977. - Т. 7. - С. 87-93.

82. Тихонов, А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады Академии наук СССР. - 1943. - Т. 39. - № 5. - С. 195-198.

83. Тихонов, А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады Академии наук СССР. - 1963. - Т. 153. - № 1. - С. 49-52.

84. Тихонов, А.Н. Применение методов регуляризации в нелинейных задачах / А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1965. - Т. 5. - № 3. - С. 463-473.

85. Тихонов, А. Н. Приближенное решение операторных уравнений / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - Москва : Наука, 1986.

85. Тихонов, А. Н. Нелинейные некорректные задачи / А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола. - М. : Курс, 2017. - 400 с.

86. Бакушинский, А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. - Москва : Наука, 1989.

87. Пруткин, И.Л. Восстановление геометрии трехмерных объектов произвольной формы по измерениям потенциальных геофизических полей: Дисс. д-ра физ.-мат. наук / Пруткин Илья Леонидович. - ИГФ УрО РАН, 1998.

88. Васин, В.В. Решение трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии для трехслойной среды / В.В. Васин, Г.Я. Пересторонина, И.Л. Пруткин, Л.Ю. Тимерханова // Математическое моделирование. - 2003. - Т. 15. -№ 2. - С. 69-76.

89. Тихонов, А.Н. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении / А.Н. Тихонов, В.Д. Кальнер, В.Б. Гласко - М.: Машиностроение, 1990. - 264 с.

90. Страхов, В. Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1967. - № 4. - С. 36-54.

91. Страхов, В. Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1969. - № 8. - С. 64- 97.

92. Акимова, Е. Н. Параллельные алгоритмы решения структурной обратной задачи магнитометрии на многопроцессорных вычислительных системах / Е.Н. Акимова, В.Е. Мисилов, А.Ф. Скурыдина // Вестник УГАТУ. - 2014. -Т. 18. - № 4. - С. 19-29.

93. Васин, В. В. Итерационные алгоритмы ньютоновского типа и их приложения к обратной задаче гравиметрии / В. В. Васин, Е.Н. Акимова, А. Ф. Миниахметова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. - 2013. - Т. 6, № 3. -С. 26-37.

94. Акимова, Е. Н. Градиентные методы решения структурных обратных задач гравиметрии и магнитометрии на суперкомпьютере «Уран» / Е. Н. Акимова, В. Е. Мисилов, А. Ф. Скурыдина, А. И. Третьяков // Вычислительные методы и программирование. - 2015. - Т. 16. - № 1. - С. 155-164.

95. Короткий, М.А. Метод регуляризации Тихонова с негладкими стабилизаторами [Текст]: автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Короткий Михаил Александрович; УрГУ им. А.М. Горького. -Екатеринбург, 2009. - 23 с.

96. Огородников, И.Н. Введение в обратные задачи физической диагностики. Модельные расчеты в Матлаб: учебное пособие / И.Н. Огородников. -Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2017. - 1 28 с.

97. Kulikov, V. The Stochastic and Singular Analysis of Fractal Signals in Cyber-Physical Systems of Biomedicine / V. Kulikov, A. Kulikov, A. Ignatyev. In: Kravets A., Bolshakov A., Shcherbakov M. (eds) Society 5.0: Cyberspace for Advanced Human-Centered Society. Studies in Systems, Decision and Control. - 2021. - vol. 333. - pp. 239-252. Springer, Cham.

98. Kulikov, V.B. Stochastic and singular analysis of fractal signals for space biomedicine systems // Aerospace and Environmental Medicine. 2021. vol. 55 № 1/1 (special issue). pp. 69-70.

99. Kulikov, V. Verification of the RRA-Algorithm Regularization for the Analysis of Stochastic Structures in Bioinformatic Intelligent Systems / V. Kulikov, A. Kulikov, V. Khranilov // Procedia Computer Science, Volume 186, (2021), Pages 130-137, XIV International Symposium «Intellegent Systems», © 2021 The Authors. Published by Elsevier B.V.

100. Vasin, V.V. Analysis of a regularization algorithm for a linear operator equation containing a discontinuous component of the solution / V.V. Vasin, V.V. Belyaev // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN. - 2019. - Vol. 25(3). - p. 34-44.

101. Танана, В. П. Методы решения операторных уравнений. - М. : Наука, 1987.

102. Танана, В. П. Об аппроксимации регуляризованного решения нелинейного уравнения // Сибирский математический журнал. - 1997. - Т. 2. - С. 416-423.

103. Танана, В. П. О сходимости регуляризованных решений нелинейных операторных уравнений // Сибирский журнал индустриальной математики. -2003. - Т. 6. - № 3. - С. 119-133.

104. Танана, В. П. О приближенном решении нелинейных операторных уравнений // Известия Челябинского научного центра. - 2003. - Т. 21. - № 4. - С. 6-8.

105. Васин, В. В. Регуляризованные модифицированные процессы градиентного типа для нелинейных обратных задач / В.В. Васин, А.Ф. Скурыдина // Тезисы докладов международного научного семинара по обратным и некорректно поставленным задачам. - 2015.

106. Васин, В.В. Двухэтапный метод регуляризации для нелинейных некорректных задач / В.В. Васин, А.Ф. Скурыдина // Труды ИММ УрО РАН. -2017. - Т. 23. - № 1. - С. 57-74.

Приложение 1

Программа регуляризация матричного сингулярного разложения по методу ЕС-алгоритма для решения плохо обусловленных и вырожденных систем линейных алгебраических уравнений на языке MATLAB

function [AR, SAR, U, V, JR, ANS, ALA, AA, IER, CMA, EMA] = SIGMA_L (L, Y, A, K, ALI, P, AL2)

% РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ МАТРИЧНОГО СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ ЕС-АЛГОРИТМА

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: % A - ИСХОДНАЯ МАТРИЦА;

% L - ЧИСЛО УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ (СТРОК МАТРИЦЫ A);

% K - ЧИСЛО НЕИЗВЕСТНЫХ В СИСТЕМЕ (СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A);

% Y - ВЕКТОР ПРАВОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ;

% AL1 - НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ;

% AL2 - КОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ;

% P - МНОЖИТЕЛЬ ДЛЯ ПОДБОРА ВЕЛИЧИНЫ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ;

% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ:

% AR - РЕГУЛЯРИЗИРОВАННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ИСХОДНОЙ МАТРИЦЫ A; % SAR - РЕГУЛЯРИЗИРОВАННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ МАТРИЦЫ S (A = USV');

% U - ЛЕВАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА В СИНГУЛЯРНОМ РАЗЛОЖЕНИИ МАТРИЦЫ A; % V - ПРАВАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА В СИНГУЛЯРНОМ РАЗЛОЖЕНИИ МАТРИЦЫ A; % JR - СЧЕТЧИК ЧИСЛА РЕГУЛЯРИЗИРОВАННЫХ МАЛЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ;

% ANS - ВЕКТОР НАЙДЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ;

% ALA - НАЙДЕННОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ; % AA - НЕВЯЗКА ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ; % IER - ИНДИКАТОР ОШИБКИ (IER = 0 - ОШИБОК НЕТ)

% CMA - НАИМЕНЬШЕЕ ДОСТИГНУТОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ; % EMA - ЗНАЧЕНИЕ "ШАГА" Е-СЕТИ, ПРИ КОТОРОМ КРИТЕРИЙ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ "МИНИМУМ".

% C 1 ПРОВЕРКА ДОПУСТИМОСТИ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

%

IER = 0; if (P >= 1.) IER = 1

elseif (AL2 >= ALI) IER = 2

elseif (AL2) <= 0. 'IER = 3 КОНЕЦ ВЫЧИСЛЕНИЙ';

IER = 3

end

IER

% C 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ATA

M = 0; % Пункт 1

IER = 11;

IER;

Y;

% C 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ВЕКТОРОВ % C МАТРИЦЫ ATA ФУНКЦИЯМИ MATLAB

N = K; MV = 0;

% ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ:

AA = A'*A;

[R, D] = eig (AA);

KI = length(D);

d = diag(D);

for I = 1:KI

dD(I) = d(KI-I+1);

end

AV = dD;

% ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ: KI = length(R); ASA_R = R(:, KI); for I = 2:KI

B = [ASA_R; R(:, KI-I +1)];

ASA_R = B;

end

B';

RVEK = ASA_R'

AV; RVEK;

% C 4 СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, НАЧАЛО ЦИКЛА % C ПО ВЕЛИЧИНЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

IA = 1;

ALPHA = AL1;

'МЕТКА 340'; ALPHA;

while ( ALPHA >= AL2 ) 'НАЧАЛО ЦИКЛА ПО ALPHA';

CL = ALPHA

[U, SG, V] = svd (A);

% JA - СЧЕТЧИК ЧИСЛА КОНСТАНТ C JA = 0; for I = 1:K if SG(I, I) <= CL SG(I, I) = CL; JA = JA + 1; end end JA;

AP = U*SG*V';

M = 0; % Пункт 2 (МОДЕРНИЗАЦИЯ) for I1 = 1:K for J1 = 1:I1

M = M + 1; ATA(M) = 0.0; for I = 1:L

ATA(M) = ATA(M) + AP(I,I1)*AP(I,J1); end

ASA(M) = ATA(M); end end

for J = 1:K Y1(J) = 0.0; for I = 1:L

Y1(J) = Y1(J) + Y(I)*AP(I,J); end end

% C 5 ВЫЧИСЛЕНИЕ НОРМЫ РЕШЕНИЯ ПРИ ALPHA = 0. % C ПРОВОДИТСЯ ОДИН РАЗ.

if (IER == 11) CE = 0.0; M = 0;

for J = 1:K % ЦИКЛ DO 85 if AV(J) <= 0.

break end D1 = 0.0; for I = 1:K M = M + 1;

D1 = D1 + Y1(I)*RVEK(M); end D1 = D1/AV(J); CE = CE + D1*D1; end % ЦИКЛ DO 85 IER = 0; CE = sqrt(CE); end IER; CE;

' НОРМА РЕШЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНА ПРИ ALPHA = 0.';

% C 6 РЕШЕНИЕ «РЕГУЛЯРИЗИРОВАННОЙ» НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ SVD-АЛГОРИТМОМ

% C ВЫЧИСЛЕНИЕ НОРМЫ РЕШЕНИЯ.

ALPHA;

AtA = AP'*AP;

AREG = AtA;

cond_AtA = cond (AtA); r_AtA = rank (AtA); det_AtA = det (AtA);

YR = Y1';

YS = pinv (AREG)*YR;

Y1 = YS';

C = 0.0;

for I = 1:K

C = C + Y1(I)*Y1(I);

end

C = sqrt(C);

% C 7 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕВЯЗКИ НА РЕГУЛЯРИЗИРОВАННОМ НОРМАЛЬНОМ РЕШЕНИИ D1 = 0.0; for I = 1:L B1 = Y(I); for J = 1:K

B1 = B1 - AP(I,J)*Y1(J); end

D1 = B1*B1 + D1;

end

D1;

% C 8 ВЫЧИСЛЕНИЕ УЗЛА Е-СЕТИ, БЛИЖАЙШЕГО К НАЙДЕННОМУ РЕШЕНИЮ M = 0; for J = 1:K T(J) = 0.0; for I = 1:K M = M + 1;

T(J) = T(J) + Y1(I)*RVEK(M); end end IHI = 0;

EPS = CE*AV(1); IE = 1;

'МЕТКА 350';

while ( IHI == 0 ) 'НАЧАЛО ЦИКЛА ПО EPS'; % Пункт 4 ESE = EPS/C;

for I = 2:K

if AV(I)< ESE % МЕТКА 275 31.01.2018 ILE = 1; break end end

% ILE = 0 if ILE == 1

H = I-1; 'МЕТКА 285'; else IHI = 1; H = K; end

if (AV(I) <= 0.) IHI = 1; end

'МЕТКА 295';

CR = log(L/H); % МЕТКА 295 CR = ALOG(L/H) - НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ

EPSE = C*AV(I);

CR = ( H*(CR + 1.) + 3. )/L;

I;

IHI; H;

% IF(CR) 230, 225, 225 % 225 IF( CR-1.0 ) 220, 230, 230

if CR < 0. 'ПЕРЕХОД НА МЕТКУ 230'; % ПЕРЕХОД НА МЕТКУ 230 break

elseif (CR - 1.) >= 0. % МЕТКА 225 ПЕРЕХОД НА МЕТКУ 230 - elseif

break end

for I = 1:K % МЕТКА 220 ЦИКЛ DO 120 if (AV(I) <= 0.) | (AV(I) < EPSE)

X(I) = 0.; % ~ МЕТКА 250 else

J = floor (T(I)*AV(I)/EPS + 0.5); % МЕТКА 245 - ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА X(I) = J*EPS/AV(I); end

end % КОНЕЦ ЦИКЛА DO 120

for I = 1:K Z(I) = 0.; end I1 = 0; for J = 1:K for I = 1:K I1 = I1 + 1;

Z(I) = Z(I) + X(J)*RVEK(I1); end end

% C 9 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО РИСКА НА УЗЛЕ СЕТИ AN = 0.; for I = 1:L B = 0.;

for J = 1:K

B = B + A(I,J)*( Z(J)-Y1(J) ); end

AN = AN + B*B; end

AN = AN/L; D = 0.; for I = 1:L B = Y(I); for J = 1:K B = B - A(I,J)*Z(J); end

D = D + B*B; end

% C 10 ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТЕРИЯ ПО ФОРМУЛЕ (14.15) CR = D/( 1.0 - sqrt(CR) )/L; CR = CR + AN;

% C 11 ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ ПРИ УМЕНЬШЕНИИ КРИТЕРИЯ, % C УМЕНЬШЕНИЕ ШАГА Е-СЕТИ, ПРОДОЛЖЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ % C ФИКСИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ CR;

if (IE-1) == 0 'МЕТКА 260'; IE = 0; CME = CR; EME = EPS; end

% elseif (CME-CR) > 0. 'МЕТКА 270'

'МЕТКА 270';

if (CME-CR) > 0.

'МЕТКА 280';

CME = CR;

EME = EPS;

CME;

EME;

end

'МЕТКА 290';

EPS = EPS/2.0; % ВЕЛИЧИНА EPS УМЕНЬШАЕТСЯ ВДВОЕ EPS;

if (IHI ~= 0) 'IHI = 0 - ВОЗВРАТ НА МЕТКУ 350; ИНАЧЕ - ПЕРЕХОД НА МЕТКУ 230';

break end

end, 'КОНЕЦ ЦИКЛА while ПО EPS (>> МЕТКА 350)';

'МЕТКА 230'; % Пункт 6 if (IE-1)== 0

'МЕТКА 74 - END REGILL';

IER = 4;

break

end

'МЕТКА 4'; if (IA-1)==0 'МЕТКА 300'; IA = 0;

'ПЕРВИЧНАЯ ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ'; CME;

CMA = CME; AA = D1; EMA = EME; ALA = ALPHA; ANS = Y1; 'МЕТКА 210'; end

'МЕТКА 310'; if (CMA-CME) > 0. 'МЕТКА 320'; 'ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ'; CME;

CMA = CME; AA = D1; EMA = EME; ALA = ALPHA;

ANS = Y1;

%

AR = AP; SAR = SG;

JR = JA;

%

end % КОНЕЦ if ПО МЕТКЕ 310

% C 13 ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ПАРАМЕТРА

% C РЕГУЛЯРИЗАЦИИ, ПРОДОЛЖЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ

%pause

'МЕТКА 330';

ALPHA = P*ALPHA;

if (ALPHA-AL2) <= 0.

break end

end % 'КОНЕЦ ЦИКЛА while ПО ALPHA - ВОЗВРАТ НА МЕТКУ 340'

'ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ:'

ALA;

AA;

IER;

CMA;

EMA;

ANS;

% END PROGRAM

Приложение 2

Программа решения плохо обусловленных и вырожденных систем линейных алгебраических уравнений на основе ЕС-алгоритма регуляризации на языке МЛТЬЛБ

function [ANS, ALA, AA, IER, CMA, EMA] = REGILL_F (L, Y, A, K, ALI, P, AL2)

% ЕС-АЛГОРИТМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ). МОДИФИКАЦИЯ КЛАССИЧЕСКОГО МЕТОДА.

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ: % A - ИСХОДНАЯ МАТРИЦА;

% L - ЧИСЛО УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ (СТРОК МАТРИЦЫ A);

% K - ЧИСЛО НЕИЗВЕСТНЫХ В СИСТЕМЕ (СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A);

% Y - ВЕКТОР ПРАВОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ;

% AL1 - НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ;

% AL2 - КОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ;

% P - МНОЖИТЕЛЬ ДЛЯ ПОДБОРА ВЕЛИЧИНЫ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ;

% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ:

% ANS - ВЕКТОР НАЙДЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ;

% ALA - НАЙДЕННОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ; % AA - НЕВЯЗКА ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ; % IER - ИНДИКАТОР ОШИБКИ (IER = 0 - ОШИБОК НЕТ)

% CMA - НАИМЕНЬШЕЕ ДОСТИГНУТОЕ ЗНАЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ; % EMA - ЗНАЧЕНИЕ "ШАГА" Е-СЕТИ, ПРИ КОТОРОМ КРИТЕРИЙ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ "МИНИМУМ".

% C 1 ПРОВЕРКА ДОПУСТИМОСТИ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

%

IER = 0; if (P >= 1.) IER = 1

elseif (AL2 >= ALI) IER = 2

elseif (AL2) <= 0. 'IER = 3 КОНЕЦ ВЫЧИСЛЕНИЙ';

IER = 3

end

IER

% C 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ATA M = 0; % Пункт 1 IER = 11; for I1 = 1:K AV(I1) = -1.0; for J1 = 1:I1 M = M + 1; ATA(M) = 0.0; for I = 1:L

ATA(M) = ATA(M) + A(I,I1)*A(I,J1); end

ASA(M) = ATA(M);

end end IER; Y;

N = K; MV = 0;

% ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ:

AA = A'*A;

[R, D] = eig (AA);

KI = length (D);

d = diag (D);

for I = 1:KI

dD(I) = d(KI-I+1);

end

AV = dD

% ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ: KI = length(R); ASA_R = R(:, KI); for I = 2:KI

B = [ASA_R; R(:, KI-I +1)];

ASA_R = B;

end

B';

RVEK = ASA_R'

AV;

RVEK;

% C 4 СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, НАЧАЛО ЦИКЛА % C ПО ВЕЛИЧИНЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ IA = 1;

ALPHA = AL1; 'МЕТКА 340'; ALPHA;

while ( ALPHA >= AL2 ) 'НАЧАЛО ЦИКЛА ПО ALPHA';

M = 0; % Пункт 2 for I = 1:K for J = 1:I M = M + 1; ASA(M) = ATA(M); end

ASA(M) = ASA(M) + ALPHA; end

for J = 1:K Y1(J) = 0.0; for I = 1:L

Y1(J) = Y1(J) + Y(I)*A(I,J); end end

% C 5 ВЫЧИСЛЕНИЕ НОРМЫ РЕШЕНИЯ ПРИ ALPHA = 0. % C ПРОВОДИТСЯ ОДИН РАЗ.