Идентификация и классификация автоматных марковских моделей методами многопараметрического анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Нурутдинова, Алсу Рафаиловна

• Нурутдинова, Алсу Рафаиловна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Нурутдинова, Алсу Рафаиловна

Оглавление

Введение

2 Обзор предметной области, проблемы и постановка задач исследования

2.1 Базовые понятия аппарата цепей Маркова

2.2 Модели дискретных вероятностных автоматов

2.3 Методы распознавания и многопараметрической классификации данных

2.4 Анализ существующих подходов распознавания марковских моделей

2.5 Постановка задачи распознавания автоматных марковских моделей

Выводы по первой главе

3 Математическая модель и методы многопараметрической идентификации и классификации автоматных марковских моделей

3. 1 Модель классификации автоматных марковских моделей на основе генерируемых ими последовательностей состояний

3.1.1 Определение объектов и признаков классификации

3.1.2 Методика решения задачи многопараметрической классификации

3.2 Метод идентификации автоматных марковских моделей на основе порождаемых ими последовательностей

3.2.1 Описание признаков идентификации

3.2.2 Исследование информативности признаков идентификации

3.2.3 Идентификация автоматных марковских моделей по расширенному множеству функционалов на основе биграмм

3.3 Метод идентификации автоматных марковских моделей по функционалу, сформированному на базе характеристического признака циклической стохастической матрицы

3.4 Кластеризация методом «k-средних» при использовании заданных критериев качества

3.4.1 Метод выбора типичных представителей кластера и критерии качества кластеризации

3.4.2 Метод кластеризации для заданного множества «идеальных» объектов

3.4.3 Задача определения количества кластеров и кластерного решения, оптимального по предложенным критериям качества

3.4.4 Методика выделения из множества объектов, приближенных к идеальному

4 Модифицированный алгоритм «прямого-обратного хода» для решения задачи идентификации автоматных марковских моделей

4.1 Процедура распознавания марковских моделей на основе модификации алгоритма «прямого-обратного хода»

4.2 Модель идентификации конечных простых однородных цепей маркова на основе модифицированного алгоритма «прямого-обратного хода»

4.3 Алгоритм идентификации автоматных марковских моделей класса циклических по алгоритму «прямого-обратного хода»

4.4 Сравнительный анализ сложности алгоритмов распознавания автоматных марковских моделей

4.5 Анализ вычислительной сложности алгоритмов идентификации автоматных марковских моделей класса циклических

Выводы к главе 3

5 Программные модели анализа цепей Маркова и вычислительные эксперименты по оценке качества алгоритмов классификации и идентификации автоматных марковских моделей

5.1 Общая архитектура программного комплекса

5.2 Экспериментальное исследование метода многопараметрического анализа автоматных марковских моделей

5.3 Экспериментальное исследование метода идентификации автоматных марковских моделей

5.3.1 Идентификация автоматных марковских моделей методом дискриминантного анализа

5.3.2 Факторный анализ признаков идентификации

5.4 Программа распознавания автоматных марковских моделей на основе порождаемых ими последовательностей состояний

5.4.1 Алгоритм идентификации автоматных марковских моделей

5.4.2 Структура подсистемы идентификации автоматных марковских моделей на основе функционалов от биграмм

5.5 Программа идентификации автоматных марковских моделей на основе генерируемых или последовательностей из класса циклических цепей Маркова

5.5.1 Схема работы подсистемы идентификации автоматных марковских моделей класса циклических

5.5.2 Апробация алгоритма идентификации автоматных марковских моделей на базе цикличеких стохастических матриц и анализ результатов идентификации

Выводы к главе 4

Заключение

Список используемых сокращений

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация и классификация автоматных марковских моделей методами многопараметрического анализа»

ВВЕДЕНИЕ

Цепи Маркова (ЦМ) широко используются для моделирования процессов, событий, явлений, имеющих вероятностную (стохастическую) природу, сложных систем, различных объектов из области экономики, социологии, образования и других областей, как в теоретическом, так и в прикладном аспектах [1-3]. Марковские модели позволяют дать описание широкого класса объектов, а также обладают относительной простотой: для ЦМ будущее состояние при известном текущем состоянии не зависит от состояний в прошлом.

Вопросы анализа энтропийных и асимптотических свойств дискретных марковских процессов поднимались в работах отечественных (Альпин Ю.А. [4], Бухараев Р.Г. (1985) [5] , Гиоргадзе А.Х. [6], Глова В.И.[7], Захаров В.М. [8-10], Лоренц А.А. [11], Королюк B.C. (1977) [11], Романовский В.И. (1949) [3], Федотов Н.Г. [12] , Федоткин А.М.[13] и др.) и зарубежных ученых Кемени Дж. и Снелл Дж.(1970) [14] , Ли И., Джадж Д., Зельнер А.(1977) [15] и др.).

Известными направлением математической кибернетики является задача распознавания вероятностных автоматных моделей в заданном семействе по наблюдаемым состояниям моделируемой системы. Актуальность ее связана с тем, что получаемые результаты распознавания необходимы для принятия решений в системах управления. В частности, в теоретических и прикладных исследованиях важную роль играют задачи статистического распознавания, связанные с классификацией и идентификацией реализаций экспериментов на выходе автоматных моделей, разрешимости распознавания определенных классов автоматных моделей, анализом эффективности методик и алгоритмов, оценок их сложности, достаточных для распознавания.

Цепи Маркова и их функции можно рассматривать как случайные процессы на выходе автоматных. Марковские автоматы, модели которых построены на стохастических матрицах переходных вероятностей, позволяют описывать широкий класс объектов [2, 16] и анализировать характер и поведение описываемых технических устройств [5-8].

Известной задачей математической кибернетики является задача распознавания вероятностных автоматных моделей в заданном семействе по наблюдаемым состояниям моделируемой системы. Актуальность этой задачи связана с тем, что проблематика имеет много общего с теорией управляющих систем [17] и получаемые результаты распознавания автоматов часто необходимы для принятия решений в системах управления. Также указанная задача развивается в таких направлениях, как техническая диагностика вычислительных систем, теория экспериментов с автоматами. Основу теории распознавания конечных

автоматов было положено Муром, далее становление теории связано с работами А.Гилла, А.М. Богомолова, С.В. Яблонского, В.Б. Кудрявцева и многих других.

Одно из направлений теории экспериментов - это задача анализа вероятностных автоматов. Теоретический и практический интерес представляют вопросы классификации и идентификации цепей Маркова, которые возникают при решении задач распознавания автоматных марковских моделей (АММ). Например, для решения задачи сокращения объемов исходных данных для моделирования цепей Маркова при реализации семейства генераторов дискретных стохастических процессов, распознавания семейств генераторов, анализа эффективности функционирования марковских моделей сложных систем, передачи и защиты информации и т.п. Для решения данных проблем возникает необходимость в проведении многопараметрической классификации АММ, а также, реализации процедур идентификации цепей Маркова с целью распознавания семейств автоматных марковских моделей.

В работах Барашко А.С., Павлива А.Н. [18-20] решены задачи статистического распознавания детерминированных автоматов по их выходным и по вход-выходным последовательностям при условии, что на их входах действуют генераторы стохастических последовательностей. Однако задача статистического распознавания (идентификации) системы «генератор стохастических последовательностей - детерминированный автомат» к априори заданным подклассам исследована не достаточно.

Существующий метод решения задачи анализа стохастических последовательностей по биграммам, триграммам и т.п. [15, 21, 22] имеет следующий недостаток. Биграммы, триграммы и т.п. вычисляются по последовательностям с некоторой погрешностью по отношению к ЭСМ, на основе которых определены АММ. Это достаточно сильно снижает точность анализа по функционалам, вычисляемых по биграммам, триграммам и т.п., что в свою очередь, ведет к снижению точности анализа на основе заданных функционалов [21].

2 3

Например, для последовательностей небольшой длины, порядка 10 - 10 . Для решения этой проблемы в данной работе предлагается разработка массива интегрированных признаков, которые вычисляются непосредственно по реализации ЦМ и являются значимыми для дискриминации марковских последовательностей, заданных на основе определенных подклассов ЭСМ.

Вероятностные автоматы используются при решении задач классификации и распознавания (идентификации) речи, как письменной, так и устной (Лапытов Р.Х., Нигматуллин Р.Р., Соловьев В.Д., Столов Е.Л., Сулейманов Д.Ш., Д. Н. Бабин, И.Л., Мазуренко и др.) [23-26] , но вопросы применения для данной цели методов многопараметрического анализа

изучены не достаточно. В частности, требуют исследования вопросы анализа состава кластеров при решении задач классификации ЦМ.

Актуальность решения задач классификации марковских моделей в работах Захарова В.М., Нурмеева Н.Н., Салимова Ф.И., Соколова С.Ю., Шалагина С.В. (2001-2003 гг.) обусловлена проблемой представимости генераторов конечных однородных ЦМ на основе ограниченных ресурсов ПЛИС. Ими предложены методы многопараметрической классификации автоматных марковских моделей (АММ) для уменьшения объема данных, необходимого для моделирования цепей Маркова с заданными свойствами.

Таким образом, актуальность темы работы обусловлена потребностью создания математических моделей, повышения эффективности методов распознавания АММ в соответствии с выделением определенных подклассов исследуемых объектов, созданием новых методов, алгоритмов распознавания, повышения точности результатов статистического анализа.

Полученные в работе результаты позволяют с большей вычислительной эффективностью классифицировать и идентифицировать (распознавать) АММ по выходной последовательности, используя интегрированные признаки на основе фрагмента последовательности, но в то же время и с учетом структуры ЭСМ. Оценена степень достоверности в зависимости от длины фрагмента и, в некоторых случаях, от размерности ЭСМ. Исследованы две независимые модели распознавания АММ: первая основана на идентификации эргодических ЦМ и вторая - циклических ЦМ.

Объект исследования: дискретные стохастические процессы, порождаемые на основе автоматных марковских моделей. Предмет исследования: алгоритмы, применяемые для классификации и идентификации автоматных марковских моделей при использовании многопараметрического анализа с применением заданного множества признаков.

Цель работы: идентификация и классификация различных подклассов АММ на основе генерируемых дискретных ЦМ, при использовании разработанных моделей, методик и алгоритмов.

Эффективность распознавания АММ определяется уменьшением длин ЦМ, требуемых для решения задачи идентификации и классификации АММ, определенных на основе заданных подклассов ЭСМ, с заданной доверительной вероятностью и снижением сложности алгоритмов распознавания и снижении погрешности вычисления признаков относительно ЭСМ.

В соответствии с поставленной целью были решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели и методики идентификации циклической ЦМ на основе последовательности ее состояний конечной длины. Исследовано применение модификации алгоритма «прямого-обратного хода» к решению задачи идентификации АММ, заданных на основе циклической ЭСМ.

2. Модификация модели и алгоритма «прямого-обратного хода» для идентификации конечных простых однородных ЦМ, сгенерированных на основе ЭСМ. Решена задача идентификации конечных простых однородных ЦМ, часть элементов которой скрыта от наблюдения.

3. Разработка алгоритмов: а) многопараметрической классификации АММ, задаваемых на основе ЭСМ, принадлежащих к определенным подклассам; б) идентификации априори задаваемых подклассов АММ, определяемых при использовании подклассов ЭСМ, на основе последовательностей состояний ЦМ конечной длины.

4. Описание подхода для анализа состава кластеров, выделяемых путем многопараметрической классификации множества АММ, определяемых различными группами признаков.

5. Создание комплекс программ, реализующих указанные алгоритмы анализа и идентификации автоматных марковских моделей.

Для решения поставленных задач в работе применяются методы и понятия теории вероятностей, теории случайных процессов, алгоритмы и методы обработки данных, теории множеств, математической статистики, теории детерминированных и вероятностных автоматов, дискретной математики.

В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Предложен подход решения задачи идентификации конечных простых однородных ЦМ, сгенерированных на основе ЭСМ определенных подклассов. В том числе - ЭСМ из класса циклических. Предложена модификация модели и алгоритма Л. Рабинера, позволяющая идентифицировать принадлежность ЦМ к заданному подклассу, определяемому структурой ЭСМ. Причем часть элементов ЦМ может быть скрыта от наблюдения.

2. Разработаны алгоритмы: а) идентификации принадлежности АММ к подклассу, задаваемому структурой задающей ее ЭСМ, на основе порождаемых ими ЦМ определенной длины с возможностью вычисления вероятности корректной идентификации; б) многопараметрической классификации множества АММ, определяемых ЭСМ, принадлежащих различным подклассам, на основе генерируемых ими ЦМ заданной дли-

ны; в) анализа состава кластеров, выделяемых в результате кластеризации АММ и/или порождаемых ими цепей Маркова на основе заданного множества признаков.

3. Создан комплекс программ, основу которого составляют связанные по входным данным алгоритмы и программы, служащие для реализации разработанных численных методов идентификации, многопараметрической классификации и анализа АММ.

На защиту выносятся следующие основные положения (результаты):

1. Математическая модель и методики идентификации длины цикла ЦМ с получением доверительной вероятности корректной идентификации.

2. Модификация модели Л. Рабинера для вычисления вероятности идентификации АММ на основе порождаемой ею последовательности состояний ЦМ конечной длины, в том числе последовательности со скрытыми состояниями.

3. Алгоритмы: а) многопараметрической классификации АММ, определенных на основе задающих их ЭСМ, принадлежащих к заданным подклассам, имеющим разную степень различия структур; б) идентификации с заданной доверительной вероятностью АММ, определяемых ЭСМ, принадлежащими к одному из априори заданных подклассов, на основе последовательности состояний ЦМ конечной длины, порождаемой указанной АММ.

4. Численный метод анализа состава кластеров, позволяющий определить их общее количество кластеров во множестве объектов классификации - АММ, на основе предложенных критериев, характеризующих дисперсию элементов внутри каждого из кластеров.

5. Комплекс программ, реализующих предложенные численные методы анализа: классификации и идентификации АММ.

Теоретическая и практическая значимость состоит в разработке новых моделей для идентификации и классификации АММ, а также в развитии численных методов анализа указанных моделей. Результаты, изложенные в диссертации, модель и численные методы, могут быть использованы при решении задач распознавания различных процессов и систем, определяемых и/или описываемых на основе АММ. Полученные результаты позволяют классифицировать и идентифицировать только по выходной последовательности, используя признаки на основе не одного элемента п-граммы п = 2, 3, ..., а последовательности фрагментов ЦМ. При этом множество признаков рассчитывается с учетом особенностей ЭСМ, то есть, исследована сходимость по вероятности элементов признаков, вычисленных на основе ЦМ конечной длины Ы, к соответствующим элементам признаков, вы-

численных на основе ЭСМ. Оценена степень достоверности идентификации в зависимости от длины ЦМ и, в случае циклической ЦМ, от размерности ЭСМ.

Основные результаты работы были доложены и обсуждались на конференциях и семинарах международного уровня: «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2007), «Тупо-левские чтения» (Казань, 2007, 2008, 2009, 2011), «Инфокоммуникационные технологии глобального информационного общества» (Казань, 2009), межд. школа-семинар «Синтез и сложность управляющих систем» им. академика О.Б. Лупанова (Пенза, 2009), «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» (Казань, 2008), «Инфокоммуникационные технологии глобального информационного общества» (Казань, 2009), «Проблемы теоретической кибернетики» (Нижний Новгород, 2011), «Актуальные проблемы и перспективы развития гражданской авиации России» (Иркутск, 2016), «Новые технологии, материалы и оборудование российской авиакосмической отрасли» (Казань, 2016 г.), «Проблемы анализа и моделирования региональных социально-экономических процессов» (Казань, 2017); всероссийского уровня: «Наука технологии Инновации» (Нижний Новгород, 2007), «Информационные технологии в системе социально - экономической безопасности России и её регионов» (Казань, 2009, 2010), «Информационные технологии-2010» (Йошкар-Ола, 2010), «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных схем» (Чебоксары, 2017); регионального уровня: «Наука и профессиональное образование» (Нижнекамск, 2007).

Результаты исследований использовались при разработке программ для ЭВМ «Распознавание подклассов марковских автоматов, определенных на базе циклических стохастических матриц» и «Идентификация марковских автоматов на основе порождаемых ими последовательностей состояний», «Расчет вероятности идентификации цепей Маркова методом Рабинера».

По материалам диссертации опубликовано 27 работ, в том числе 7 статей в ведущих рецензируемых научных изданиях, 4 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ [27-30] и 16 работ в сборниках трудов и материалов конференций и семинаров международного (10), всероссийского (5) и регионального (1) уровней.

Структура и объем диссертации: введение, четыре главы, заключение и список используемых источников, включающий 85 наименований. Объем работы - 140 стр. Работа включает 31 рисунок и 15 таблиц.

Материал диссертации организован следующим образом.

Во введении обоснована актуальность исследований, проводимых в рамках диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определен перечень решаемых задач, определена их научная новизна и практическая значимость, приведено краткое содержание работы.

В первой главе рассмотрены основные понятия и положения теории цепей Маркова и теории автоматов. Кратко изложены теоретические результаты теории анализа марковских автоматов. Проведен анализ существующих методов анализа цепей Маркова. Сделан обзор статистических методов классификации и идентификации. Приведены описания методов многопараметрической классификации данных, применяемых для решения задач статистического анализа АММ. Представлен обзор работ по анализу АММ и ЦМ, который позволил сформулировать актуальность задачи, подходы к разработке методов распознавания и критерии, которые необходимо учитывать для достижения поставленных целей. Дана постановка основных задач диссертации.

Вторая глава посвящена описанию предложенной математической модели и численных методов идентификации и классификации автоматных марковских моделей на основе ЭСМ.

В п. 2.1 предложена модель многопараметрической классификации с использованием частотных признаков для АММ, определенных на основе ЭСМ, принадлежащих к определенным подклассам и задающих указанные АММ. В п. 2.2 предложен численный метод многопараметрической идентификации АММ, которые описаны ЭСМ, принадлежащими к априори заданным подклассам. В п. 2.3 предложена модель идентификации конечных простых однородных ЦМ, сгенерированных на основе ЭСМ класса циклических индекса г (ЦСМГ). Модель основана на вычислении функционалов от элементов циклической ЦМ и позволяет выявить свойство цикличности ЦМ, определив при этом длину цикла г, а также вероятность идентификации циклической ЦМ в зависимости от ее длины N. В п. 2.4 предложен численный метод анализа внутренней структуры кластеров, выделяемых путем многопараметрической классификации множества объектов, определяемых различными группами признаков.

В третьей главе предложены модификации известных модели и алгоритма «прямого-обратного хода» для решения задачи идентификации АММ (Рабинер Л., 1989). В п. 3.1 предложена модификация модели и алгоритма прямого-обратного хода. В п. 3.2 предложен алгоритм идентификации конечных простых однородных ЦМ, сгенерированных на основе ЭСМ, на основе алгоритма «прямого-обратного» хода. В п. 3.3. предложена модификация алгоритма «прямого-обратного хода» для идентификации ЭСМ Р, где Р - циклические стохастические матрицы. Решена задача идентификации конечных простых однородных циклических ЦМ, часть элементов которой скрыта от наблюдения. В п. 3.4 представлены алгоритмы вычисления признаков, служащих для идентификации как конечных простых однородных ЦМ, сгенерированных на основе простых стохастических матриц класса эрго-

дических, так и циклических ЦМ. Приведен сравнительный анализ сложности данных алгоритмов распознавания.

В четвертой главе дано описание разработанного программного комплекса для решения задачи классификации и/или идентификации автоматных марковских моделей, элементы которого предназначены для работы с одной базой данных, содержащей информацию об объектах анализа - об АММ(Р) и порождаемых ими ЦМ. Основу комплекса составляют предложенные алгоритмы и программы, позволяющие реализовать численные методы, предложенные в главе 2 и 3. Определена структура программного комплекса.

В заключении сформулированы основные научные результаты и выводы, полученные в ходе диссертационного исследования.

1 ОБЗОР ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ, ПРОБЛЕМЫ И ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ

Первая глава является обзорной. Целью данной главы является рассмотрение основных понятий и положений теории цепей Маркова и теории автоматов, методов и средств, необходимых в исследованиях диссертационной работы.

В п. 1.1 дано описание математических моделей цепи Маркова, в частности, простых однородных и циклических цепей Маркова. В п. 1.2 введены определения из теории марковских автоматов. В п. 1.3 проведен обзор методов многопараметрической классификации данных, применяемых для решения задачи анализа АММ. В п. 1.4 сделан обзор работ по исследуемой тематике, рассмотрены существующие методы распознавания автоматных марковских моделей. В п. 1.5 дана постановка задач диссертации.

1.1 БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ АППАРАТА ЦЕПЕЙ МАРКОВА

Основные понятия теории цепей Маркова, марковские модели, методы их анализа были введены и изучены еще в 60-70 годах, однако они популярны и в настоящее время. Это обусловлено тем, что с помощью моделей марковских процессов можно дать описание поведения различных сложных объектов и систем. В настоящее время марковские модели широко применяются в самых различных областях, такие как экономика, криптография, социология, физика, теория массового обслуживания и др.

Рассмотрим ключевые понятия теории марковских процессов, используемых в диссертационной работе.

Пусть задана некоторая система £ (явление, устройство, процесс и т.д.), состояние которой меняется с течением времени. То есть, в системе протекает случайный процесс Х(,), аргументом которой является время I [14].

Будем рассматривать случайный процесс с дискретными состояниями, когда состояния системы s0, , s2,....., ,..., ... можно перечислить и время от времени система £ переходит из одного состояния в другое [14].

Марковский случайный процесс обладает следующим свойством: для любого момента времени 10 вероятность любого состояния системы в будущем (при t >0) зависит только от ее состояния в настоящий момент времени и не зависит от того, когда и каким образом система £ пришла в состояние [14]. То есть, для любой последовательности значений случайной величины Х(,) имеет место равенство [14]:

Р(ХМ = зм\Х{ = ^,Х,_х = Х0 = So) = Р(ХМ = зм\Х{ = ^), +1,^ ^ е £

Простой конечной однородной цепью Маркова (ЦМ) называют марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем.

Для описания цепи Маркова используют неотрицательные стохастические матрицы переходных вероятностей pap, состоящей из вероятностей Ptj того, что после i-го шага и

до (г+1)-го система S будет находиться в состоянии Sj, j = 1,2,..n [3, 14]:

ГРи P12 ... Р1Л

P =

Р21 Р22 - P2n

I Pj= 1, i = 1, n, (1.1.1)

V Рп1 Рп2 . . Р пп у

В диссертационной работе будем рассматривать класс однородных цепей Маркова, для которых матрица переходных вероятностей не меняется для любого момента времени. Такая матрица имеет следующие характеристики [14]:

а) Сумма всех вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:

п _

X р = 1, г = 1, п (1.1.2)

1=1

б) Элементы главной диагонали матрицы переходных вероятностей представляют собой вероятности р того, что система не выйдет из состояния S i, а останется в нем.

в) При заданном начальном распределении вероятностей и матрицы перехода вероятностей \\PijW вероятности состояний системы Рг(к) ( г = 1,п; , = 1,п) вычисляются следующим образом:

п ___

рг (к) = Х Р (к -1)* р ,(г = 1, п, 1 = 1, п) (1.1.3)

1=1

Простая конечная однородная цепь Маркова (ЦМ) может быть задана системой вида [3, 14, 31]

(114)

№ Р(„), ж0),

где S = s2,.., sm} - конечное множество ее состояний, рт) - стохастическая матрица (СМ)

размера тхт, ж0 = {ж}, г = 1, т - т-мерный начальный стохастический вектор распределения вероятностей состояний.

Цепь Маркова, заданная согласно (1.1.4), является эргодической, если из каждого состояния можно перейти в любое другое. Стохастическая матрица Р, задающая эргодиче-скую цепь Маркова, называется стохастической эргодической матрицей (ЭСМ) [14].

Свойства стохастических матриц зависят от их структуры, которая определяется взаимным расположением ее положительных элементов. Эти свойства можно отобразить в виде множества признаков, с помощью которых можно анализировать различные классы стохастических матриц. Для различных классов матриц можно выбрать именно такие признаки, которые будут значимыми именно для них. В классе ЭСМ можно выделить различные подклассы матриц (положительные, треугольные, блочно-сообщающиеся и др.), выделяющиеся в зависимости от взаимного расположения положительных элементов.

В настоящей работе определяются модели, заданные на базе эргодических стохастических матриц. В частности, рассматриваются подклассы нерегулярных циклических цепей Маркова, определяемые следующим образом.

Пусть из состояния цепи Маркова е £ можно выйти за конечное число шагов с положительной вероятностью, но нельзя в него вернуться, то есть, если 3 т, j, такие что

(т) л \/ (п) г\ (т) -«ж- о.

р9 > 0, Уп р^ = 0, где Ру - вероятность того, что цепь Маркова перейдет из состояния I в состояние / за т шагов. Такие состояния цепи Маркова называют несущественными [3].

Состояния, не являющиеся несущественными, называются существенными [3]. Для множества существенных состояний: состояние / называется достижимым из состояния \,

если 3 п > 0, что р/") > 0 . При этом состояния \ и / называются сообщающимися, если /

достижимо из I, и \ достижимо из / [3]. Пример:

(И2 0 1/2 0 ^

1/2 0 0 1/2

0 0 1/2 1/2

ч 0 0 1/2 1/2,

Р =

Состояние несущественное, так как из него можно попасть в я3, а из только в и я4. Состояние я2 - несущественное, так как р24 > 0, р42 = 0 через любое число шагов. Состояния я3 и я4- существенные (сообщающиеся), так как р34 = р43 > 0[3].

Существенные состояния разделимы на q непересекающихся неразложимых классов В1,В2,...В, которые в свою очередь состоят из сообщающихся состояний. При этом, пере-

ходы между различными множествами невозможны [32]. То есть, если система S перешла в состояние из класса В., то она никогда не выйдет из этого класса[32].

Множества В1,В2,...В представляют собой неразложимые классы, а цепь Маркова,

состояния которой образуют один неразложимый класс, называется неразложимой ЦМ (неприводимой) [3]. Если цепь Маркова содержит несколько классов, то она называется разложимой.

Неразложимые классы делятся на циклические подклассы. То есть, для множества состояний S неразложимой ЦМ можно определить разбиение S1,S2,...Sr на г непересекающихся циклических подмножеств S1,S2,...Sr, такое, что ЦМ находясь в какой-либо момент времени в состоянии подмножества 8к , в следующий момент перейдет в группу £к+1 . ЦМ движется по циклическим классам в определенном порядке, возвращаясь в класс с начальным состоянием через г шагов [3], при этом щ = Si , г = 1,г, XI ,п, = п . Длина цикла соответствует количеству шагов к, за которое можно вернуться в каждую вершину. Система S разбивается на группы

^ = (А, А2 ,..., Ап1 ),

S 2 = (Ап1 +1, Ап1 + 2,..., Ап1 + п2),

Sг = (Ап1 + ....+пг-1 +1,..., Ап ),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нурутдинова, Алсу Рафаиловна, 2018 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Кемени, Дж. Введение в конечную математику / Дж.Кемени, Дж.Снелл, Дж.Томпсон. -

М.: ИЛ, 1963. - 487 с.

2. Раскин, Л.Г. Анализ стохастических систем и элементы теории оптимального управления

/ Раскин Л.Г. - М.: Советское Радио, 1976. - 344 с.

3. Романовский, В.И. Дискретные цепи Маркова / В.И. Романовский. - М.: Гостехиздат,

1949. - 436 с.

4. Альпин, Ю.А. Теорема Харари о знаковых графах и обратимость цепей Маркова // Зап.

научн. семин. ПОМИ РАН. 2013. Т. 419. - С. 5-15.

5. Бухараев, Р.Г. Основы теории вероятностных автоматов/ Р.Г. Бухараев. - М.: Наука,

1985. - 287 с.

6. Гиоргадзе, А.Х. Пространственно-временная декомпозиция и структурный анализ и син-

тез стохастических систем: дис. д-ра техн. наук / Гиоргадзе Анатолий Христофорович. - Тбилиси, 1981. - 320 с.

7. Глова, В.И. Вычислительные средства для статистического моделирования: автореф. дис.

д-ра техн. наук/ Глова Виктор Иванович. - Казань, 1995. - 33 с.

8. Захаров, В.М. Анализ стохастических матриц методами многомерной клас-сификации /

В.М. Захаров, Н.Н. Нурмеев, Ф.И. Салимов и др. // Дискретная математика и ее приложения: материалы 7-го Междунар. семинара 29 янв. - 2 февр. 2001. - В 3 ч. Ч. II. - М.: МГУ, 2001. - С. 156-159.

9. Захаров, В.М. К задаче дискриминантного анализа автоматных марковских моделей /

В.М. Захаров, Н.Н. Нурмеев, Ф.И. Салимов и др. // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2001. - № 3. - С. 37-39.

10. Захаров, В.М. Классификация стохастических эргодических матриц метода-ми кластерного и дискриминантного анализа / В.М. Захаров, Н.Н. Нурмеев, Ф.И. Салимов и др. // Исследования по информатике. - 2000. - Вып. 2. - С. 91-106.

11. Лоренц, А.А. Надежность и быстродействие вероятностных автоматов/ А.А. Лоренц. -Рига: Зинатне, 1976. - 112 с.

12. Федотов, Н.Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов / Н.Г. Федотов. - М.: Радио и связь, 1990. - 144 с.

13. Федоткин, A.M. Свойства управляемой векторной марковской цепи со счетным числом состояний, удовлетворяющей рекуррентным соотношениям / А.М. Федоткин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. - № 3. -С. 152-161.

14. Кемени, Дж. Конечные цепи Маркова / Дж. Кемени, Дж. Снелл. - М.: Наука, 1970. -272 с.

15. Ли, И. Оценивание параметров марковской модели по агрегированным временным рядам/ И. Ли, Д. Джадж, А. Зельнер. - M.: Статистика, 1977. - 221 с.

16. Бухараев, Р.Г. Вероятностные автоматы/ Р.Г. Бухараев // Казань: Изд-во КГУ. — 1977. — 247 с.

17. Кудрявцев, В.Б. Введение в теорию автоматов/ В.Б. Кудрявцев, С.В. Алёшин, А.С. Подколзин. - Москва, «Наука», 1985 г. - 320 с.

18. Барашко, А.С. Обобщенный подход к статистическому распознаванию автоматов / А.С. Барашко, А.С. Павлив// Кибернетика и системный анализ. - 1988. - № 1. - С. 46-56.

19. Барашко, А. С. О зависимости качества статистического распознавания автоматов от длины анализируемого фрагмента выходной последовательности/А.С. Барашко // АиТ. -1985. - № 6. - С. 136-142.

20. Барашко, A.C., О статистической эквивалентности автоматов по входу и выходу/А.С. Барашко // Автомат. и телемех. -1987. - выпуск 9. - С. 144-150.

21. Ланкастер, Л. Теория матриц: пер. с англ./ Л. Ланкастер. - М.: Наука, 1982. - 272 с.

22. Хинчин, А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей/ А.Я. Хинчин// Успехи математических наук. - 1953. - № 3 (55). - С. 3-20.

23. Бабин, Д.Н., О перспективах создания системы автоматического распознавания слитной устной русской речи / Д.Н. Бабин, И.Л. Мазуренко, А.Б. Холоденко // Интеллектуальные системы.- т.6, вып. 1-4.- Москва, 2003. С. 5-24 .

24. Латыпов Р.Х. Пригодность речевых файлов для систем распознавания речи после процедуры очистки от шума/ Р.Х.Латыпов, Е.Л.Столов// Ученые записки Казанского университета, Серия Физико-математические науки - 2015. - Т.157, Кн. 4. - С.49-55.

25. Соловьев, В.Д. Частотно-основанный подход к языковой динамике // Труды международной конференции «Корпусная лингвистика-2013». - СПб.: С.-Петербургский гос. университет, 2013. - С. 424-431.

26. Хусаинов , А.Ф. Система автоматического распознавания речи на татарском языке / А.Ф. Хусаинов , Д.Ш. Сулейманов // Программные продукты и системы. 2013. - № 4. -С. 301-304.

27. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ 2014662386 РФ. Идентификация марковских автоматов на основе порождаемых ими последовательностей состояний / А.Р. Ну-рутдинова(РФ); заявитель и патентообладатель Нурутдинова А.Р. - № 2014660063; За-явл. 06.10.2014; Зарег. в реестре программ для ЭВМ 18.01.2014; Опубл. 20.12.2014, Бюл. № 12(98).

28. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ 2015615009 РФ. Распознавание подклассов марковских автоматов, определенных на базе циклических стохастических матриц/ А.Р. Нурутдинова (РФ); заявитель и патентообладатель Нурутдинова А.Р. - № 2015611985; Заявл. 17.03.2015; Зарег. в реестре программ для ЭВМ 06.05.2015; Опубл. 20.06.2015, Бюл. № 6(104).

29. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ 2016661744 РФ. Программа генерации цепей Маркова и эргодических стохастических матриц по заданным классам автоматной марковской модели / А.Р. Нурутдинова(РФ), Р.В. Валиев; заявитель и патентооб-

ладатель Нурутдинова А.Р. - № 2014660063; Заявл. 31.08.2016; Зарег. в реестре программ для ЭВМ 20.10.2016; Опубл. 20.12.2016, Бюл. № 10.

30. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ 2017663314 РФ. Программа распознавания цепей Маркова методом прямого-обратного хода/ А.Р. Нурутдинова (РФ), Григорьева Диана Рамилевна; заявитель и патентообладатель ФГАОУ ВО КФУ - № 2017615601; Заявл. 13.06.2017; Зарег. в реестре программ для ЭВМ 28.11.2017; Опубл. 20.12.2017, Бюл. № 12.

31. Поспелов, Д.А. Вероятностные автоматы / Д.А. Поспелов. - М.: Энергия, 1970. - 88 с.

32. Карлин , С. Основы теории случайных процессов / С. Карлин. - М.: Мир, 1971. - 536 с.

33. Шрейдер, Ю.А. Модели обучения и управляющие системы // Буш Р., Мостеллер Ф. Стохастические модели обучаемости / Пер. с англ.; Под ред. Ю.А.Шрейдера. - М.: Гос. изд-во физ. мат. лит., 1962. - С. 465—479.

34. Яблонский , С. В. Основные понятия кибернетики / С. В. Яблонский // Проблемы кибернетики. - М.: Физматгиз, 1959. - Вып. 2 - С. 7—38.

35. Бухараев, Р.Г. Вероятностные автоматы и процессоры/ Р.Г. Бухараев. - М.: Знание, 1986, № 6. - 48 с.

36. Бухараев, Р.Г. Вероятностные автоматы/ Р.Г. Бухараев // Казань: Изд-во КГУ.- 1970.188 с.

37. Захаров, В.М. Полиномиальное представление конечноавтоматных случайных последовательностей над полем Галуа / В.М. Захаров, Ш.Р. Нурутдинов, С.Ю. Соколов и др. // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2003. - № 2. - С. 24-28.

38. Захаров, В.М. Синтез автономных вероятностных автоматов на основе полей Галуа / В.М. Захаров, Ш.Р. Нурутдинов, С.В. Шалагин // Исследования по информатике. -2000. - Вып. 2. - С. 107-116.

39. Rabin, M.O., Probabilistic automata. Information and Control 6(3), 230-245 (1963). (русский перевод: Рабин М.О. Вероятностные автоматы / Кибернетический сборник, - Вып. 9. -М.: Иностранная литература, 1964.- С. 123-141.).

40. Поспелов, Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем / Д.А. Поспелов. - М.: Энергия, 1974. - 368 с.

41. Тихонов, В.И. Марковские процессы/ В.И. Тихонов В.И., М.А. Миронов. - М.: Сов.радио, 1977. - 488 с.

42. Журавлев, Ю.И. Распознавание. Классфикация. Прогноз. /Ю.И. Журавлев . - Вып.2.. -М.: Наука, 1989. - 72 с.

43. Загоруйко, Н.Г. Методы распознавания и их применение. /Н.Г.Загоруйко - М.: Советское радио, 1972. - 208 с.

44. Мандель, И.Д. Кластерный анализ / И.Д. Мандель. - М.: Финансы и статистика, 1988. -

176 с.

45. Колмогоров, А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. //Колмогоров А. Н. - М.: Наука, 1986. - 534 с.

46. Воронцов К. В. Предварительная обработка данных для решения специального класса задач распознавания // ЖВМ и МФ. - 1995. - Т. 35, № 10. - С. 1565-1575.

47. Кудрявцев, В.Б. Анализ поведения автоматов/ В.Б. Кудрявцев, И.С. Грунский, В.А. Козловский //Дискретная математика.Т. 21 - 2009. - № 1- С. 1-33.

48. Dempster, A.P. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm / A.P. Dempster, N.M. Laird, D.B. Rubin // Journal of the Royal Statistics Society. Ser. B. - 1977. -Vol. 39, № 1. - P. 1-38.

49. Friedman, W.F. Military cryptanalis / W.F. Friedman, D. Callimahos // Part I. Vol. Z. Aegean Park Press. Laguna Hills CA, 1985. - P. 342.

50. Zhou, X. EM algorithm with GMM and Naive Bayesian to Implement Missing Values / X. Zhou, J. S. Lim // EM Proceedings of April 17th 2014 Jeju Island, Korea,- Workshop 2014, -(2014) April. -pp.15-19.

51. Marlin, B. M. Missing data problems in machine learning/B. M. Marlin// Department of Computer Science, University of Toronto.- 2008. - PhD Thesis.- 156 p.

52. Гультяева, Т.А. Распознавание лиц с использованием скрытых марковских моделей / Гультяева Т.А. // Наука. Технологии. Инновации. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск. - Новосибирск: НГТУ, 2004, Т.1, С.159-160.

53. Popov, A. Comparison of some methods for training hidden Markov models on sequences with missing observations / Popov A., Gultyaeva A., Uvarov V. A // 11th International Forum on Strategic Technology (IFOST 2016): proceedings. - Novosibirsk.- 1-3 June 2016.-pt. 1.- pp. 431-435.

54. Cooke, М. Robust automatic speech recognition with missing and unreliable acoustic data / M. Cooke, P. Green, L. Josifovski, A. Vizinho // Speech Communication. - 2001. - Vol. 34, N 3. - P.267-285.

55. Афифи, А. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. Пер. с англ. / А. Афифи, С. Эйзен. - М.: Мир, 1982. - 488 с.

56. Боровиков, В.П. Statistica: искусство анализа данных на компьютере/ В.П. Боровиков. -2-е изд. - СПб.: Питер, 2003. - 700 с.

57. Фу , К. Структурные методы в распознавании образов / К. Фу; пер. с англ. Н.В. Завали-шина; под ред. М.А. Айзермана. - М. : Мир, 1977. - 319 с.

58. Ту, Дж. Принципы распознавания образов / Дж.Ту., Р. Гонсалес. - Из-во Мир Москва,

1978. - 407с.

59. Алексеев, А.А. Классификация текстовых документов на основе технологии Data mining/А.А. Алексеев, А. С. Катасёв, А. П. Кирпичников// Вестник технлогического университета. -2015. - №18. - С.116-119.

60. Катасёв, А.С. Нейросетевая технология классификации электронных соосбщений/ А. С. Катасёв, Д. В. Катасёва, А. П. Кирпичников// Вестник технлогического университета. -2015. - №5. - С.180-183.

61. Катасёв, А.С. Распознавание рукописных символов на базе искусственной нейронной сети / А. С. Катасёв, Д. В. Катасёва, А. П. Кирпичников// Вестник технлогического университета. -2015. - №11. - С.173-176.

62. Кирпичников, А.П. Автоматическое распознавание автомобильных номеров / А. П. Кирпичников,С А.Ляшева, А. В. Обухов// Вестник технологического университета. -2015. - №18. - С.218-222.

63. Аникин, И.В. Практическое применение метода концептуальной кластеризации объектов, характеризуемых нечеткими параметрами / И.В. Аникин, А. П. Кирпичников,А О. Назаров // Управление,информатика и вычислительная техника. - 2014. - №11. - С. 203-206.

64. Ким, Дж.-О. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ/ Дж.-О. Ким, Ч.У. Мьюллер, У.Р. Клекка и др.; под ред. И.С. Енюкова. - М.: Финансы и статистика, 1989.

- 215 с.

65. Дюран, Б. Кластерный анализ / Б. Дюран, П. Оделл // М.: «Статистика», 1977. - 128 с.

66. Trion, R.G. Cluster analysis / R.G. Trion // L.: Ann Arbor Edwards Bros. - 1939. - P. 139.

67. Ким, Дж.-О. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ/ Дж.-О. Ким, Ч.У. Мьюллер, У.Р. Клекка и др.; под ред. И.С. Енюкова. - М.: Финансы и статистика, 1989.

- 215 с.

68. Жамбю, М. Иерархический кластер-анализ и соответствия / Жамбю М. // М.: Финансы и статистика. - 1988. - 342 с.

69. Барковский, С.С. Многомерный анализ данных методами прикладной статистики: учебное пособие/C.C. Барковский, В.М. Захаров, А.М. Лукашов, А.Р. Нурутдинова, С.В. Шалагин. - Казань, изд-во КГТУ им. А.Н.Туполева. - 2010 С. 122.

70. Мокшин, В.В. Рекурсивный алгоритм построения регрессионных моделей сложных ве-роятяностных моделей /В.В. Мокшин, И. Р. Сайфутдинов, А. П. Кирпичников// Вестник технологического университета. -2017. - №9. - С.112-116.

71. Лоули, Д. Факторный анализ как статистический метод/ Д.Лоули, А. Максвел. - М.: Мир, 1967. - 144 с.

72. Шалагин, С.В. Классификация стохастических матриц методом дискриминантного анализа / С.В.Шалагин, А.Р.Сабитова // Наука и профессиональное образование: материалы региональной научно-практической конференции. - Нижнекамск: издательство Казан. гос. техн. . ун-та, 2007 . - С. 217 - 220.

73. Алферов, А.П. Основы криптографии: учебное пособие/ А.П. Алферов, А.Ю. Зубов, А.С. Кузьмин и др. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Гелиос АРВ, 2002. - 480 с.

74. Латыпов Р.Х. Классификация речевых файлов по форме сигнала/ Р.Х.Латыпов, Р.Р.Нигматуллин, Е.Л.Столов// Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. - 2014. - Т. 156, Кн. 4. - С.39-46.

75. Geffert V. Classical automata on promise problems/ V.Geffert, A.Yakaryilmaz// Descriptional Complexity of Formal Systems - 16th International Workshop, DCFS 2014. — 2014. — LNCS, V.8614. — P.126-137.

76. Рабинер, Л.Р. Скрытые марковкие модели и их применение в избранных приложениях при распознавании речи: обзор /Л. Р. Рабинер. - ТИИЭР. - 1989. - т. 77. - № 2.

77. Сгуральская, Е.Н. Метод отбора информативных признаков для решения задачи клас-сификации/Е.Н. Сгуральская, В. Р. Крашенинников// Пикладные проблемы информационных технологий. -2015. - №4. - С.324-327.

78. Нурутдинова, А.Р. Многопараметрическая классификация автоматных марковских моделей на основе генерируемых ими последовательностей состояний/ А.Р. Нурутдинова, С.В.Шалагин // Прикладная дискретная математика. - 2010. - № 4. - С. 41-54.

79. Нурутдинова, А.Р. Методика идентификации автоматных марковских моделей на основе порождаемых ими последовательностей/ А.Р.Нурутдинова, С.В.Шалагин// Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. - 2010. - № 1. - С. 94 - 99.

80. Нурутдинова А.Р. Идентификация автоматных марковских моделей на основе функционалов от биграмм/ А.Р.Нурутдинова, С.В.Шалагин// Информационные технологии в системе социально - экономической безопасности России и её регионов: Сборник трудов II всероссийской научной конференции. - Казань: изд-во ТГГПУ, 2009. - С. 242 - 246.

81. Нурутдинова, А.Р. Идентификация автоматных марковских моделей на основе функционалов от биграмм/ А.Р.Нурутдинова, С.В.Шалагин// Информационные технологии в системе социально - экономической безопасности России и её регионов: Сборник трудов II всероссийской научной конференции. - Казань: изд-во ТГГПУ, 2009. - С. 242 - 246.

82. Нурутдинова, А.Р. Распознавание подклассов марковских автоматов на основе последовательности состояний конечной длины / А.Р.Нурутдинова, С.В.Шалагин // Проблемы теоретической кибернетики: материалы XVI Межд. конф. - Нижний Новгород: изд-во Нижегородского госуниверситета, 2011. - С. 344 - 347.

83. Нурутдинова А.Р. Многопараметрический анализ автономных вероятностных автоматов / А.Р.Нурутдинова, Р.Н. Шайхмурзина // XIX Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция: материалы XIX Межд. конф. Том III. - Казань: изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2011. - С. 337 - 338.

84. Сабитова, А.Р. Дискриминантный анализ вероятностных моделей марковского типа / А.Р. Сабитова, С.В. Шалагин // Наука. Технологии. Инновации: тез. докл. Всерос. конф. молодых ученых 6-9 дек. 2007. - В 2 ч. Ч. 1. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. - С. 90-92.

85. Сабитова А.Р. Многопараметрическая классификация генераторов цепей Маркова / А.Р.Сабитова, С.В.Шалагин// Проблемы техники и технологий телекоммуникации,

ПТиТТ-2008: тезисы докладов Девятой Межд. научно-технич. конф. - Казань: изд-во КГТУ им. А.Н.Туполева, 2008. - С. 145 - 147.

86. Сабитова, А.Р. Многопараметрическая классификация марковских последовательностей /А.Р. Сабитова, С.В. Шалагин // XV Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция, Т. III. - Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2007. - C. 78 -79.

87. Шалагин, С.В. Методики кластеризации методом «k-средних» при использовании заданных критериев качества / С.В.Шалагин, А.Р.Нурутдинова // Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе: сб. материалов Всероссийской научно-практич. конф. с межд. Участием в 2 частях. - Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2010. Часть 2. - С. 44 - 48.

88. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель. - 4-е изд., стер. - М.: Наука, 1969. -

576 с.

89. Журавлёв, Ю. И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания или классификации / Ю.И. Журавлев // Проблемы кибернетики. - 1979.- Вып. 33. - С. 5-68.

90. Журавлев, Ю.И. Экстремальные алгоритмы в математических моделях для задач распознавания и классификации/ Ю.И. Журавлев // ДАН СССР. - 1976. - Т. 231, № 3. - С. 532-535.

91. Воронцов, К.В. Качество восстановления зависимостей по эмпирическим данным/К.В. Воронцов // Математические методы распознавания образов - VII: Тез. докл. - Пущи-но, 1995. - С. 24-26.

92. Крашенинников, В.Р. Алгоритм выбора эталонов в заданном конечном множестве эле-ментов/В.Р. Крашенинников, В. В. Кузнецов, Е.А. Распутько// Вестник ульяновского государственного технического университета. -2006. - №3. - С.37-39.

93. Шалагин, С.В. Исследование дискретных случайных процессов, реализуемых автоматными марковскими моделями. / С.В.Шалагин, А.Р.Сабитова // Наука: современное состояние и перспективы развития. Материалы всероссийской научной конференции. -Нижнекамск: издательство Казан. гос. техн. ун-та, 2009 . - С. 180 - 183.

94. Шалагин, С. В. Идентификация источника последовательности на основе скрытых цепей Маркова/ С.В.Шалагин, А.Р.Нурутдинова //Новые технологии, материалы и оборудование российской авиакосмической отрасли: всерос. научно-практическая конф. с межд. участием, 10 - 12 августа 2016 г.: Сб. докладов. Том 2. - Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2016. - Т. 2. - 1036 с. - С.292-297.

95. Шалагин С.В. Метод решения задачи идентификации автоматных марковских моделей/ С.В.Шалагин, А.Р.Нурутдинова// Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных схем: матер. 12-ой Всерос.науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш.ун-та, 2017. - С. 12-14.

96. Шалагин, С.В. Идентификация последовательности измерений экономических параметров на основе скрытой марковской модели/ С.В.Шалагин, А.Р.Нурутдинова// материалы докладов VII Межд. очной научно-практич. конф. (18-19 мая 2017). - Казань: изд-во Казан. ун-та, 2017. - С. 159 - 162.

97. Шалагин, С.В. Сравнительный анализ вычислительной сложности алгоритмов идентификации конечных простых однородных цепей Маркова/ Шалагин С.В., Нурутдинова А.Р. // Вестник Казанского технологического университета. - 2016. - N 13. - С.153-156.

98. Nurutdinova, A.R. Identification of Markovian automata sub-classes / A.R. Nurutdinova , S.V.

Shalagin // International Journal of Pharmacy & Technology. - 2016. - №3. - P. 1532715337.

99. Нурутдинова, А.Р. Модифицированный алгоритм «прямого-обратного хода» решения задачи идентификации автоматных марковских моделей /А.Р. Нурутдинова // Системы управления и информационные технологии. - 2018. - № 2(72). - С. 36-41.

100. Ахо, А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. Пер. с англ. /Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. - М.: Мир, 1979. - 536 с.

101. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ 2015615009 РФ. Распознавание подклассов марковских автоматов, определенных на базе циклических стохастических матриц/ А.Р. Нурутдинова (РФ); заявитель и патентообладатель Нурутдинова А.Р. - № 2015611985; Заявл. 17.03.2015; Зарег. в реестре программ для ЭВМ 18.01.2011; Опубл. 20.06.2015, Бюл. № 6(104).

102. Шалагин С. В. Идентификация источника последовательности на основе скрытых цепей Маркова/ С.В.Шалагин, А.Р.Нурутдинова //Новые технологии, материалы и оборудование российской авиакосмической отрасли: Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием, 10 - 12 августа 2016 г.: Сборник докладов. Том 2. - Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2016. - Т. 2. - 1036 с. -С.292-297.

103. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ 2014662386 РФ. Идентификация марковских автоматов на основе порождаемых ими последовательностей состояний / А.Р. Нурутдинова(РФ); заявитель и патентообладатель Нурутдинова А.Р. - № 2014660063; Заявл. 06.10.2014; Зарег. в реестре программ для ЭВМ 18.01.2011; Опубл. 20.12.2014, Бюл. № 12(98).