Идентификация геометрических моделей трехмерных объектов на основе трансляционных групп Браве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат наук Кирш Дмитрий Викторович

• Кирш Дмитрий Викторович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Кирш Дмитрий Викторович

ВВЕДЕНИЕ

1 ФОРМИРОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

1.1 Геометрические модели трёхмерных объектов

1.1.1 Трансляционные группы Браве

1.1.2 Ячейки Вигнера-Зейтца

1.1.3 Пространство G6

1.1.4 Фундаментальный метрический тензор

1.2 Синтез упорядоченных трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве

1.2.1 Система задания углов

1.2.2 Центрирование ячеек Браве

1.2.3 Модель наблюдения трёхмерных объектов с периодической структурой

1.2.4 Синтезирование объекта с идеальной структуры

1.2.5 Синтезирование трёхмерного объекта с искажённой структурой

1.3 Выводы

2 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТРЁХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ

2.1 Методы сравнения трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве

2.1.1 Компаратор Национального института стандартов и технологий

2.1.2 Идентификация эффективности упаковки

2.1.3 Идентификация конфигураций изоповерхностей

2.2 Метод параметрической идентификации трёхмерных объектов

2.2.1 Алгоритм параметрической идентификации на основе

элементарных ячеек Браве

2

2.2.2 Модификация алгоритма параметрической идентификации с использованием градиентного метода наискорейшего спуска

2.2.3 Алгоритм параметрической идентификации на основе ячеек Вигнера-Зейтца

2.2.4 Алгоритм параметрической идентификации на основе изоповерхностей

2.3 Исследование алгоритмов параметрической идентификации

2.3.1 Исследование зависимости ошибки идентификации объёма ячейки Вигнера-Зейтца от количества вбрасываемых точек

2.3.2 Исследование инвариантности к размеру объекта

2.3.3 Исследование инвариантности к положению объекта в пространстве

2.3.4 Исследование устойчивости к искажению координат узлов

2.3.5 Исследование устойчивости к импульсному шуму

2.3.6 Аналитическое исследование алгоритмов параметрической идентификации

2.4 Выводы

3 СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ТРЁХМЕРНЫХ

ОБЪЕКТОВ

3.1 Метод структурной идентификации на основе применения нейронных сетей

3.1.1 Модели нечётких нейронных сетей

3.1.2 Методика обучения

3.1.3 Исследование точности структурной идентификации

3.2 Метод структурной идентификации на основе алгоритмов параметрической идентификации

3.2.1 Метрика схожести основных параметров ячеек Браве

3.2.2 Метрика схожести объёмов ячеек Вигнера-Зейтца

3.2.3 Метрика схожести расстояний между изоповерхностями

3.2.4 Универсальная метрика схожести на основе критерия вложенности структур

3.3 Исследование возможности структурной идентификации

3.3.1 Исследование зависимости структурной идентификации от изменения параметров объекта

3.3.2 Структурная идентификация на основе алгоритма идентификации основных параметров элементарных ячеек Браве

3.3.3 Структурная идентификация на основе алгоритма идентификации объёмов ячеек Вигнера-Зейтца

3.3.4 Структурная идентификация на основе алгоритма идентификации расстояний между изоповерхностями

3.3.5 Структурная идентификация на основе совместного оценивания введённых метрик схожести

3.3.6 Структурная идентификация на примере базы натурных параметров кристаллических решёток

3.4 Выводы

4 РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ

ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

4.1 Параллельная реализация для вычислительных систем с графическими адаптерами

4.2 Параллельная реализация для многопроцессорных / многоядерных вычислительных систем

4.2.1 Внешний уровень параллельной реализации

4.2.2 Внутренний уровень параллельной реализации алгоритма параметрической идентификации на основе ячеек Браве

4.2.3 Внутренний уровень параллельной реализации алгоритма параметрической идентификации на основе ячеек Вигнера-Зейтца

4.2.4 Внутренний уровень параллельной реализации алгоритма параметрической идентификации на основе расстояний между изоповерхностями

4.3 Реализация программного комплекса

4.3.1 Архитектура программного комплекса

4.3.2 Назначение программного комплекса

4.3.3 Программная реализация основных компонентов

4.3.4 Пользовательский интерфейс

4.4 Исследование ускорения параллельных реализаций

4.4.1 Система с графическим адаптером

4.4.2 Многоядерная персональная ЭВМ

4.4.3 Многопроцессорная/многоядерная кластерная система

4.5 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Таблицы

Приложение Б. Свидетельства о регистрации программы для ЭВМ

ВВЕДЕНИЕ

В эпоху глобальной цифровизации всё большее число объектов реального мира находит своё отражение и новое воплощение в цифровой (виртуальной) среде. Долгое время основным способом создания цифрового «двойника» реального объекта являлась фотография, позволяющая представить любой объект в виде дискретного набора точек, характеризующихся значениями функции яркости. Однако, окружающие нас предметы, как в целом и мир, принадлежат трёхмерному пространству, в отличие от двухмерной фотографии. На преодоление данной проблемы в последнее время было затрачено много усилий. В результате, было разработано большое число методов восстановления трёхмерных сцен по двухмерным изображениям (проекциям). Несмотря на особую ценность универсальных методов, наилучшее качество реконструкции обеспечивают частные методы, использующие априорную информацию как об условиях съёмки (свойства камеры, координаты съёмки и т.д.), так и об особенностях самой ЭБ-сцены (относительное расположение частей сцены, ориентация объектов в пространстве и т.д.) [1-4].

Создание трёхмерного цифрового «двойника» объекта обеспечивает не только соответствие размерностей с его реальным прототипом, но и позволяет перенести в цифровую среду куда больше свойств объекта. Очевидно, что трёхмерное представление несёт намного больше сведений об объекте, чем двумерная проекция, которая по своему построению связана с потерей части информации. Следовательно, и переход от анализа двумерных проекций к анализу трёхмерного объекта влечёт существенный качественный скачок в исследовании свойств объекта.

С другой стороны, полученная трёхмерная структура породила ряд новых задач, значительно более сложных по сравнению с её двухмерными предшественниками и требующих разработки новых методов решения. Даже в случае универсальных методов, применимых к «-мерным пространствам, увеличение размерности

привело к значительному росту вычислительной сложности, что особенно критично для «неоптимальных» алгоритмов, обладающих сложностью О(N2) и

выше.

Одной из основных задач анализа трёхмерной структуры является задача классификация. Классификация трёхмерных объектов может быть решена по следующей схеме: берётся большая база объектов, для каждого объекта оценивается набор признаков, в полученном пространстве признаков проводится разделяющая граница. Классификация осуществляется в выбранном пространстве признаков с использованием проведённой границы [5]. Точность классификации с использованием данного подхода очень сильно зависит от выбора признаков и, в частности, от их соответствия отличительным свойствам заданных классов.

Исходные данные при работе с трёхмерными объектами зависят от используемого способа описания объекта (рисунок Вв.1).

а) б) в)

Рисунок Вв.1 - Способы описания трёхмерного объекта: а) точечный, б) полигональный, в) воксельный

- Облако точек: объект представляется множеством вершин в трёхмерной системе координат. Такое представление создаётся, например, ЭБ-скане-рами, замеряющими большое количество точек на поверхности сканируемого объекта. Облако точек несёт минимум «лишней» информации, что делает его предпочтительным для обработки (фильтрация, классификация). Существует большое число методов для дальнейшего преобразования облака точек в трёхмерные поверхности (триангуляция Делоне, Marching cubes и т.д.) [6].

7

- Набор полигонов: объект представляется в виде полигональной сетки, определяющей форму многогранного объекта. Данный подход широко применяется в трёхмерной компьютерной графике, где гранями являются треугольники [7].

- Набор вокселей: объект представляется множеством трёхмерных примитивов (зачастую, кубы или сферы). Данный подход широко применяется в медицине для трёхмерной реконструкции на основе данных томографии [8].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация геометрических моделей трехмерных объектов на основе трансляционных групп Браве»

Актуальность исследования

Одним из основных подходов к анализу трёхмерных объектов является переход к работе с их моделью, наиболее полно описывающей их ключевые особенности, но при этом формализуемой и значительно снижающей сложность описания. В частности, геометрическая модель - это описание объекта с точки зрение его геометрии (отражающее основные геометрические свойства).

Как следствие, ключевой проблемой анализа трёхмерных объектов становится задача идентификации моделей трёхмерных объектов. На практике данная задача существенно усложняется таким рядом факторов как: сложность задания модели, неоднозначность описания, наличие искажений в структуре трёхмерного объекта и т.д.

В современном мире анализ геометрических моделей трёхмерных объектов играет ключевую роль во многих областях знаний: медицина (компьютерная томография), кристаллография (рентген-дифракционный анализ), компьютерное зрение (поиск дубликатов, анализ SD-сцен по снимкам ДЗЗ), компьютерная графика (воксельное представление, мозаики) и т.д.

Среди существующих методов анализа геометрических моделей трёхмерных объектов можно выделить следующие: классификация моделей систем автоматизированного проектирования (CAD) на основе воксельного разбиения (Hegde V., Zadeh R., Wu J., Zhang C. и др.) [8,9], идентификация трёхмерных объектов с использованием объёмных свёрточных нейронных сетей (Qi C.R., Su H, Niessner M. и др.) [10], оценка жёсткости и прочности материала на основе ана-

лиза множества элементарных ячеек (A. Vigliotti, D. Pasini) [11]. Общим в перечисленных методах является переход от анализа объекта к анализу его минимальной структурной единицы, обладающей теми же свойствами, что и исходный объект.

Одним из примеров геометрических моделей являются трансляционные группы Браве, предложенные французским учёным Огюстом Браве в 1850 году и описывающие упорядоченные объекты с трёхмерной периодической структурой [12]. Типичным представителем трансляционных групп Браве являются кристаллические решётки, которые описывают взаимное расположение атомов в кристалле, периодически повторяющееся в трёх измерениях [13]. Следует отметить, что кристаллическая решётка характеризует именно геометрические свойства атомарной структуры (симметрию), а не просто накладывает сетку на частицы кристалла (в общем случае узлы кристаллической решётки не соответствуют атомам).

Развитие электронной микроскопии привело к тому, что появилась возможность наблюдать атомарную структуру вещества. Следствием данного достижения стал переход на новый уровень изучения состава и строения материала. Разрешающая способность современных электронных микроскопов достигла порядка 0,4-1 Â для просвечивающих электронных микроскопов [14,15], а сопутствующее развитие методов реконструкции по двухмерным снимкам [16,17] позволило с высокой точностью восстанавливать структуру кристаллического вещества. Таким образом, идентификация геометрических моделей трёхмерных объектов имеет важное прикладное значение для рентген-дифракционного анализа.

На данный момент существуют несколько методов идентификации трансляционных групп Браве: компаратор Национального института стандартов и технологий (M. Martin) [18], идентификация эффективности упаковки (W.F. Smith) [19], идентификация конфигураций изоповерхностей (J. Patera, V. Skala) [20]. Данные методы основаны на выделении у исследуемых объектов

ряда индивидуализирующих признаков и последующем их сравнении с помощью введённых метрик схожести.

Вместе с тем, основными проблемами методов идентификации являются: сильная зависимость эффективности их применения от вида симметрии; высокая чувствительность к искажениям трёхмерной структуры; высокая вычислительная сложность, а также отсутствие оптимизации под современные высокопроизводительные вычислительные системы. Таким образом, разработка новых универсальных и помехоустойчивых методов и алгоритмов параметрической и структурной идентификации трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве является актуальной темой для диссертационного исследования.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются геометрические модели трёхмерных объектов, заданные набором координат узлов в трёхмерном пространстве.

Предметом исследования являются методы и алгоритмы идентификации трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве.

Цель и задачи исследования

Целью данной работы является разработка методов и вычислительно эффективных алгоритмов параметрической и структурной идентификации трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве, обеспечивающих высокую достоверность идентификации. Для достижения этой цели были поставлены и решались следующие задачи:

1 Разработка метода синтезирования трёхмерных объектов на основе описания групп Браве, инвариантного к типу трансляционной группы и виду центрирования.

2 Разработка универсальных метода и алгоритмов параметрической идентификации трёхмерных объектов на основе оценивания параметров элементарных ячеек.

3 Разработка методов идентификации структуры геометрических моделей трёхмерных объектов, обеспечивающих высокую точность определения типа трансляционной группы Браве.

4 Разработка высокопроизводительных реализаций алгоритмов параметрической идентификации, эффективно использующих современные многопроцессорные / многоядерные вычислительные системы.

5 Создание информационной технологии, позволяющей осуществлять параметрическую и структурную идентификацию трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве.

Научная новизна результатов исследования

В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1 Предложен метод синтезирования трёхмерных объектов на основе описания групп Браве, позволяющий единообразно синтезировать все типы трансляционных групп Браве и все виды центрирования.

2 Предложены универсальные метод и алгоритмы параметрической идентификации трёхмерных объектов на основе оценивания параметров элементарных ячеек Браве, объёмов ячеек Вигнера-Зейтца, расстояний между изопо-верхностями, устойчивые к искажениям структуры решётки.

3 Предложены методы структурной идентификации на основе нечётких нейронных сетей, а также на основе алгоритмов параметрической идентификации с использованием нормированных метрик схожести сторон и углов элементарных ячеек Браве, компонентов тензорного представления структуры, объёмов ячеек Вигнера-Зейтца, трёх основных расстояний между изоповерхно-стями.

4 Предложена универсальная двухуровневая модель распараллеливания, комбинирующая парадигмы MPI и OpenMP. Разработаны высокоэффективные частные реализации алгоритмов параметрической идентификации для многопроцессорных/многоядерных вычислительных систем.

5 Разработана информационная технология для параметрической и структурной идентификации, обеспечивающая высокую точность определения типа трансляционной группы Браве.

Практическая значимость работы

Разработанные методы и алгоритмы апробированы в процессе решения конкретных задач и дали положительные результаты в ИСОИ РАН - филиале федерального государственного учреждения «Федеральный научно-исследовательский центр «Кристаллография и фотоника» РАН». Научно-методические результаты успешно применяются в учебном процессе на кафедре технической кибернетики Самарского университета при подготовке магистров по направлению «Прикладная математика и информатика». Результаты внедрения работы подтверждены соответствующими актами.

Реализация результатов работы

Диссертационная работа выполнялась в Самарском национальном исследовательском университета имени академика С. П. Королёва и Институте систем обработки изображений РАН - филиале федерального государственного учреждения «Федеральный научно-исследовательский центр «Кристаллография и фотоника» РАН» в соответствие с планами государственных программ: грантов РФФИ № 14-07-97040-р_поволжье_а, № 14-01-00369-А (ответственный исполнитель), № 15-29-03823-офи_м, № 16-41-630761-р_а, № 17-01-00972-А (ответственный исполнитель), № 18-37-00418 (руководитель); программы повышения конкурентоспособности федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)» среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2013-2020 гг.

Методологическая, теоретическая и эмпирическая база исследования

В диссертационной работе используются методы линейной алгебры и аналитической геометрии, математической статистики и теории вероятностей, а также теоретические работы учёных и специалистов в изучаемой области. Результаты исследований подтверждены реализацией основных алгоритмов в виде зарегистрированных комплексов программ и проведением вычислительных экспериментов на модельных и натурных данных.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1 Метод синтезирования трёхмерных объектов на основе описания групп Браве по заданному набору параметров.

2 Метод и алгоритмы параметрической идентификации трёхмерных объектов на основе оценивания параметров элементарных ячеек Браве, объёмов ячеек Вигнера-Зейтца, расстояний между изоповерхностями.

3 Методы идентификации структуры геометрических моделей трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве.

4 Двухуровневая модель распараллеливания и частные параллельные реализации алгоритмов параметрической идентификации трёхмерных объектов.

5 Информационная технология идентификации геометрических моделей трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве для многопроцессорных / многоядерных вычислительных систем.

Перечисленные положения, выносимые на защиту, составляющие содержание диссертационного исследования, разработаны автором лично.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Результаты исследования соответствуют следующим пунктам паспорта научной специальности 05.13.17 - Теоретические основы информатики:

5 Разработка и исследование моделей и алгоритмов анализа данных, обнаружения закономерностей в данных и их извлечениях разработка и исследование методов и алгоритмов анализа текста, устной речи и изображений.

7 Разработка методов распознавания образов, фильтрации, распознавания и синтеза изображений, решающих правил. Моделирование формирования эмпирического знания.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в работе экспериментальных результатов обеспечена на уровне 95 % проведением вычислительных экспериментов и компьютерных расчётов с достаточными объёмами выборки.

Апробация и реализация результатов диссертации

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1 Всероссийская молодежная научно-техническая конференция «Космос - 2012». Самара, 5-7 сентября 2012 г.

2 XI международная научно-техническая конференция «Распознавание - 2013». Курск, 17-20 сентября 2013 г.

3 11th international conference on pattern recognition and image analysis: new information technologies (PRIA-11-2013). Samara, September 2Э-28, 201Э.

4 Международная молодёжная научная конференция «XII Королёвские чтения». Самара, 1-3 октября, 2013 г.

5 Международная научно-техническая конференция «Перспективные информационные технологии» (ПИТ 2014). Самара, 30 июня - 4 июля 2014 г.

6 10-я международная конференция «Интеллектуализация обработки информации», о. Крит, Греция, 4-11 октября 2014 г.

7 International Conference on Analysis of Images, Social Networks and Texts (AIST 2015). Yekaterinburg, Russia, 9-11 April 2015.

8 XX Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении», Иркутск, Россия, 29 июня -7 июля 2015 г.

9 Международная конференция и молодёжная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2015). Самара, 29 июня - 1 июля 2015 г.

10 Международная научная конференция XIII Королёвские чтения. Самара, 6-8 октября 2015 г.

11 24th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision'2016 (WSCG-2016). Pilsen, Czech Republic, May Э0 - June Э, 2016.

12 Международная конференция и молодёжная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2016). Самара, 17 - 19 мая 2016 г.

13 XI международная конференция «Параллельные вычислительные технологии» (ПаВТ-2017). Казань, 3 - 7 апреля 2017 г.

14 Международная конференция и молодёжная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2017). Самара, 25 - 27 апреля 2017 г.

15 Международная молодёжная научная конференция «XIV Королёвские чтения». Самара, 3-5 октября, 2017 г.

16 3rd International Conference on Frontiers of Signal Processing, ICFSP 2017. Paris, France, September 6-8, 2017.

17 26th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision'2018 (WSCG-2018). Pilsen, Czech Republic, May 28 - June 1, 2018.

Публикации

Автором лично и в соавторстве опубликовано 24 научные работы. Из них 10 статей в изданиях, индексируемых в базах Web of Science / Scopus, 1 - в журналах, рекомендуемых ВАК, 3 свидетельства о регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Текст диссертации изложен на 158 странице машинописного текста, содержит 66 рисунков, 24 таблицы. Список литературы составляет 91 наименование.

1 ФОРМИРОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

1.1 Геометрические модели трёхмерных объектов

1.1.1 Трансляционные группы Браве

Наиболее распространённым способом описания трёхмерных объектов с

периодической структурой является способ, предложенный французским физиком Огюстом Браве. Браве впервые высказал гипотезу о том, что упорядоченные пространственные структуры могут быть получены в результате повторения одной точки путём параллельных переносов (трансляций). Таким минимальным строительным блоком для всего объекта является элементарная ячейка Браве [12,13].

Для описания элементарной ячейки Браве используют её геометрическое представление в виде тройки некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве {а, а2, аъ}, которые называются основными трансляционными векторами

(рисунок 1.1) [21]. Основной трансляционный вектор есть минимальный в данном направлении вектор перехода из выбранной точки в ближайшую эквивалентную.

/

Рисунок 1.1 - Представление пространственной структуры с помощью

элементарных ячеек Браве

Таким образом, весь трёхмерный объект можно описать в виде множества

узлов:

X = | Х | Х = ахпа + а2пп + аъп1Ъ |, (1.1)

где щ Щ - основные трансляционные векторы,

пп, /г2, па е z - порядок трансляции по соответствующему направлению. Следует отметить, что количество узлов по направлению на 1 превышает максимальный порядок трансляции по данному направлению. Например, 0 трансляция - 1 узел, 1 трансляция - 2 узла и т.д.

Другим способом описания элементарной ячейки Браве является задание шести параметров , /2, /3 , вычисляемых по основным трансляцион-

ным векторам (рисунок 1.2):

1 = ЩЛ = |а|Л = |а| - длины сторон ячейки,

ал =ах а2,а2= а2 а3,а3= ах а3 - углы между сторонами ячейки.

Рисунок 1.2 - Параметры элементарной ячейки Браве

Всё многообразие упорядоченных трёхмерных структур Браве разделил на 14 типов в соответствии с типами элементарных ячеек и симметрией (рисунок 1.3) [22].

и

'и

Примитивная

4

Гранецентрированная Объёмноцентрированная

Кубические

Примитивная Базоцентрированная

Моноклинные

I,

12

т

Л

Примитивная

Базоцентрированная Объёмноцентрированная Гранецентрированная

Ромбические

Ж

I I

ю

Примитивная Объёмноцентрированная Примитивная Примитивная Базоцентрированная

Тетрагональные Тригональная Трикпинная Гексагональная

Рисунок 1.3 - Типы трансляционных групп Браве

Из указанных 14 типов Браве выделил 7 трансляционных групп: триклин-ная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, кубическая, тригональная и гексагональная. Каждая трансляционная группа соответствует определённому виду элементарных ячеек и задаётся соотношениями между шестью параметрами ячейки Ц, /2, /3 ,«2 ,«3| (таблица 1.1) [21].

Таблица 1.1 - Параметры ячеек трансляционных групп Браве

Название Обозначение Длины сторон Величины углов

Триклинная аР ¡2 ¡3 «Фа2Ф «3

Моноклинная тР 1\ ¡2 ¡3 «—« — 90° Ф «3

Ромбическая оР 1\ ¡2 ¡3 «—«—«— 90°

Тетрагональная гР ¡1 — 12 Ф 4 «—«—«— 90°

Кубическая сР ¡1 — 12 — 13 «—«—«— 90°

Тригональная кЯ 11 — ¡2 — ¡3 Ф 90°

Гексагональная ИР ¡1 — ¡2 Ф ¡3 « —120°;« — «3 — 90°

1.1.2 Ячейки Вигнера-Зейтца

Альтернативный способ описания трёхмерных объектов с периодической

структурой был предложен американскими физиками Юджином Вигнером и Фредериком Зейтцем [23]. Данный способ заключается в разбиении всего объекта на множество ячеек Вигнера-Зейтца. Согласно определению, ячейка Вигнера-Зейтца - это область пространства, с центром в некоторой точке трёхмерного объекта, которая лежит ближе к центральной точке, чем к какой-либо другой точке объекта.

Для построения ячейки Вигнера-Зейтца выбирается произвольный узел объекта, и строятся отрезки, соединяющие выбранный узел со всеми ближайшими соседними узлами [24]. Через середины полученных отрезков проводятся перпендикулярные отрезкам плоскости. Область, содержащая один выбранный узел и ограниченная построенными плоскостями, будет являться ячейкой Вигнера-Зейтца (рисунок 1.4). Таким образом, ячейка Вигнера-Зейтца характеризуется набором векторов-нормалей, проведённых к ограничивающим плоскостям.

Узлы Ограничивающие

объекта плоскости

Рисунок 1.4 - Пример построения двухмерной ячейки Вигнера-Зейтца

По построению ячейку Вигнера-Зейтца можно определить набором векторов-нормалей, проведённых к ограничивающим плоскостям. Однако такой подход не только излишне усложняет описание ячейки и всего объекта в целом, но и делает задачу определения схожести двух ячеек Вигнера-Зейтца весьма нетривиальной. Помимо векторов-нормалей важной характеристикой ячейки Вигнера-

Зейтца является её объём, значительно проще поддающийся анализу и при этом численно равный объёму примитивной ячейки Браве:

ур = а •( щ х щ).

Ячейка Вигнера-Зейтца обладает следующими особенностями [25]:

1 Полностью повторяет симметрию объекта.

2 Ограниченная ею область содержит все точки, лежащие ближе к центральному узлу ячейки, чем к какому-либо другому узлу объекта (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 - Вид трёхмерной ячейки Вигнера-Зейтца

На рисунке 1.6 изображены семь ячеек Вигнера-Зейтца, соответствующие 7 трансляционным группам Браве. Ячейки Вигнера-Зейтца ромбической, тетрагональной и кубической группы представляют собой четырёхугольные призмы; гексагональной группы - правильные шестиугольные призмы, триклинной, моноклинной и тригональной группы - многогранники сложной формы.

I V

Триклинная

Моноклинная

Ромбическая

Тетрагональная

Кубическая

Тригональная

Гексагональная

Рисунок 1.6 - Вид ячеек Вигнера-Зейтца семи трансляционных групп Браве

1.1.3 Пространство G6

Ещё один способ описания трёхмерных объектов с периодической структурой был предложен Ларри Эндрюсом и Гербертом Бернштейном - пространство G6 [26]. В пространстве G6 элементарная ячейка описывается вектором, содержащим шесть элементов £ = {^, , , , , ^ }, которые вычисляются следующим образом:

Метод описания Браве, несмотря на кажущуюся простоту, на самом деле представляет трёхмерную элементарную ячейку в шестимерном пространстве (длины трёх сторон и величины трёх углов), что существенно затрудняет сравнение ячеек.

£4 = 2 • 12 • 13 • С0$ («1 ); &5 = 2 • 11 • 1з • С08 («2 ); £б = 2 • 11 • 12 • С08(«3 )•

Описание в пространстве G6 сделало возможным определение количественной меры схожести двух объектов. Также появилась возможность определить, насколько структура модели выбранного объекта далека от какой-либо трансляционной группы Браве.

Следует также отметить, что данный подход обладает особым свойством -все трансляционные группы Браве представляют собой линейные подпространства. Например, все ячейки кубической группы располагаются на одной линии в пространстве G6.

1.1.4 Фундаментальный метрический тензор

Для описания метрических свойств пространства, заданного базисом из

тройки векторов {щ, а2, аъ}, можно использовать фундаментальный метрический тензор I [27]:

7 =| а >< а |, где < а | - вектор-строка (щ, а2, аъ); | а > - аналогичный вектор-столбец.

Соответственно, фундаментальный метрический тензор имеет следующий

вид:

аъ

^^ ^^ ^2 аъ

^^ а ^2 а а3

а компоненты фундаментального метрического тензора находятся из соотношения:

гк кг г к

Тогда параметры элементарной ячейки Браве {^, /2, /3,«,«2,«3}, заданной тройкой векторов {а, Щ, аъ}, выражаются через компоненты фундаментального метрического тензора следующим образом:

I = |а| = Jt ;

i l м \ o'

a¡ = a ак = arccos

ljk

VV tjj^ltkk)

Исходя из особенностей трансляционных групп Браве (таблица 1.1), можно вывести общий вид фундаментального метрического тензора для каждой группы:

1 Триклинная

2

t =

/2

¡х12 cos^ 1Х1Ъ cosa

t =/,

lxl2 cos^j /2 /2/3cosa ¡¡з cos a ¡2h cos a

Моноклинная

1

0

0

( ¡2/ ¡1 í

(¡3/ ¡1 )

cosa

3

0

Ромбическая 1 0

0 (/,//,)

0

t = ¡,20 (и / ¡ )2 0

0 0 (¡3/ ¡1 )2

4 Тетрагональная

T = l

1 0 0 1

0 0

0 0 (¡3/ ¡1 )2 Кубическая

t = /2

1 0 0 o 1 o 0 0 1

(¡3/ ¡1)

cosa

0

(¡3/ ¡1 )2

3

5

6 Тригональная 1

/ = l:

cosa cosa

cosa,

1

cosa

cosa cosa

7

Гексагональная

t=l¡

1

-1/2 0

1/2 1

0

0 0

(/3/ / )2

В случае центрированных структур необходимы дополнительные трансляционные векторы, как и в случае со способом описания Браве в трёхмерном пространстве.

Следует отметить, что представленный способ описания является матричной формой записи способа описания в пространстве G6 с той лишь разницей, что скалярные произведения двух различных векторов не удваиваются. Следующее выражение показывает связь между тензорным представлением и представлением в пространстве G6:

t =

1 1

& 2 g 6 2 g

1 1

2gó £2 2 g 4

1 1

2 g5 2 g 4 g3

1.2 Синтез упорядоченных трёхмерных объектов на основе трансляционных групп Браве

Детальное исследование методов структурной и параметрической идентификации упорядоченных трёхмерных объектов требует наличия большого количества заранее синтезированных объектов, заданных параметрами элементарных ячеек Браве (/, /2, /3 ,а ,а} и представленных в виде множества координат узлов в трёхмерном пространстве:

X = 1х.

{х = (хя

X

г 2

Хг3

х е

1 •

Для решения данной задачи был разработан метод, позволяющий синтезировать любые трёхмерные периодические объекты по заданным параметрам [28*].

В связи с тем, что узел объекта фактически является точкой, не имеющей размера, возникает вопрос о её визуальном представлении. Условимся представлять упорядоченный трёхмерных объект в виде объёмного графа, в котором на месте узлов будут располагаться сферы заданного радиуса.

1.2.1 Система задания углов

Для синтезирования трёхмерных объектов необходимо, в первую очередь,

вычислить тройку основных трансляционных векторов. Пусть известны следующие шесть параметров элементарной ячейки Браве: {¡х

' ¡2' ¡3' «1' «2' «3

} Запишем

выражения для вычисления координат основных трансляционных векторов:

Г1 Л

а =

¡1 0

V 0 у

а2 =

аз =

¡2 • СОБ («) ¡2 • Бт(«) 0

ч У

¡3 • СОБ («)

(1.2)

¡3 •

¡•

СОБ(«)- СОБ («) СОБ («)

БШ

(«1)

лУб1П2 («) - СОБ2 (а2) - СОБ2 (аъ) + 2 СОБ («) СОБ (а2) СОБ (аъ)

V 81П («1)

Классический способ задания углов элементарной ячейки как углов между

основными трансляционными векторами был предложен Огюстом Браве, исходя

из соображений геометрической классификации объектов (рисунок 1.2). Однако,

он не учитывал возможность решения обратной задачи - синтезирования объекта

25

по модели заданного типа. В связи с этим, возникает критический недостаток: классический способ задания углов нарушает требование непрерывности выбора углов внутри всей области определения (0,ж/ 2], которое является ключевым для

синтезирования большого множества трёхмерных объектов, равномерно покрывающих всё пространство параметров элементарных ячеек Браве. Это выражается в том, что далеко не каждая тройка углов является непротиворечивой (геометрически невозможно определить тройку векторов, образующих заданные углы). Рассмотрим вырожденный случай, представляющий собой двухмерную элементарную ячейку (рисунок 1.7) для следующих углов: Ж Ж Ж

1 2 4 3 4

X

Рисунок 1.7 - Пример двухмерной элементарной ячейки, образованной тройкой основных трансляционных векторов

Любое изменение угла а2 или а3 в меньшую сторону при сохранении остальных углов приведёт к противоречию: например, для углов « — ж/2, а28, аъ = ж/8 не существует образующей их тройки основных трансляционных векторов.

Рассмотрим альтернативную систему задания углов {а*,а*,а*| (рисунок 1.8) [28*,29*]. Отличие предлагаемого варианта от классического заключается в ином подходе к заданию углов элементарной ячейки: положение трансляционного вектора аъ определяется не относительно векторов ах и а2, а относительно плоскости, образуемой этими векторами (нормаль - [а, а2 ]).

Рисунок 1.8 - Задаваемые параметры элементарной ячейки Покажем связь между углами классической системы {а ,а2 ,а3| и предла-

Í * * * ^ тт

гаемой в настоящей работе <а1,а2,а3>. Для начала запишем координаты трёх

основных трансляционных векторов, определяющих стороны элементарной ячейки в трёхмерном пространстве, в альтернативной системе углов:

• cos(а* )• cos(а*

/3 • cos (а* )• sin (а*) . (1.3)

/3 •sin(а2*) у

Найдём углы между парами векторов (1.3), для упрощения положим, что все векторы имеют единичную длину:

а = а*;

í i \

a =

о

V 0 У

; a =

' /2 • cos КГ

/2 sin ( а*) ; a =

0

а2 = arccos

(1.4)

а3 = arccos

(* * \ / * \ а* -а* )• cos (а2)

cos (а* )• cos (а*

( * * * ^ —

где {а* ,а2,а3 } - предлагаемая система углов, используемая в данной работе для

синтезирования трёхмерных объектов (рисунок 1.8);

{а,а2,а3} - классическая система углов (рисунок 1.2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кирш Дмитрий Викторович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Фурсов, В.А. Информационная технология реконструкции цифровой модели местности по стереоизображениям [Текст] / В.А. Фурсов, Е.В. Гошин // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 2. - С. 335-342.

2 Котов, А.П. Технология оперативной реконструкции трёхмерных сцен по разноракурсным изображениям [Текст] / А.П. Котов, В.А. Фурсов, Е.В. Гошин // Компьютерная оптика. - 2015. - Т. 39, № 4. - С. 600-605. - DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-4-600-605.

3 Кудинов, И.А. Реализация алгоритма определения пространственных координат и угловой ориентации объекта по реперным точкам, использующего информацию от одной камеры [Текст] / И.А. Кудинов, О.В. Павлов, И.С. Холопов // Компьютерная оптика. - 2015. - Т. 39, № 3. - С. 413-419. - DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-3-413-419.

4 Бессмельцев, В.П. Быстрый алгоритм совмещения изображений для контроля качества лазерной микрообработки [Текст] / В.П. Бессмельцев, Е.Д. Бу-лушев // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 2. - С. 343-350.

5 Ankerst, M. Nearest Neighbor Classification in 3D Protein Databases [Text] / M. Ankerst, G. Kastenmuller, H.-P. Kriegel, T. Seidl // ISMB-99 Proceedings. - 1999. - P. [1-10].

6 Козлов, А. В. Алгоритмы и программное обеспечение для построения трехмерных моделей параметрических данных микросейсмического мониторинга [Текст] / А. В. Козлов, М. В. Козлов, Ф. Д. Шмаков // Информатика и математическая геофизика. - 2015. - № 10. - С. 126-132.

7 Тозик, В.Т. Метод геометрического упрощения 3d полигональных объектов [Текст] / В. Т. Тозик, А. В. Меженин // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. - 2010. - № 3(67). - С. 81-85.

8 Hegde, V. FusionNet: 3D Object Classification Using Multiple Data Representations [Text] / V. Hegde, R. Zadeh // arXiv:1607.05695. - 2016. - P. [1-9].

9 Wu, J. Learning a Probabilistic Latent Space of Object Shapes via 3D Generative-Adversarial Modeling / J. Wu, C. Zhang, T. Xue, W. T. Freeman, J. B. Tenenbaum // 30th Conference on Neural Information Processing Systems (NIPS 2016). - 2016. - P. 1-9.

10 Qi, C.R. Volumetric and Multi-View CNNs for Object Classification on 3D Data / C.R. Qi, H. Su, M. Niessner, A. Dai, M. Yan, L. J. Guibas // arXiv:1604.03265. - 2016. - P. 5648-5656.

11 Vigliotti, A. Stiffness and strength of tridimensional periodic lattices / A. Vigliotti, D. Pasini // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2012. - Vol. 229-232. - P. 27-43.

12 Браве, О. Избранные научные труды. Кристаллографические этюды [Текст] / О. Браве. - СПб.: Наука, 1973. - 419 с.

13 Брандон, Д. Микроструктура материалов. Методы исследования и контроля [Текст] / Д. Брандон, У. Каплан. - М.: Техносфера, 2004. - 384 с.

14 Reimer, L. Transmission electron microscopy [Text] / L. Reimer, H. Kohl.

- 5th ed. - Münster: Springer Science+Business Media, 2008. - 587 p.

15 Erni, R. Atomic-resolution imaging with a sub-50-pm electron probe [Text] / R. Erni, M. D. Rossell, C. Kisielowski, U. Dahmen // Physical review letters.

- 2009. - Vol. 102, № 9. - P. [1-4].

16 Rad, L. B. Computational scanning electron microscopy [Text] / L. B. Rad, H. Feng, J. Ye, R. F. W. Pease // Proceedings of the 2013 international conference on frontiers of characterization and metrology for nanoelectronics, Gaithersburg. - 2007. - P. 512-517.

17 Frank, J. Electron tomography [Text] / J. Frank. - 2nd ed. - Albany: Springer Science+Business Media, 2006. - 455 p.

18 Martin, M. Solid State Physics Notes [Electronic resource] // StuDocu. 2018. URL: https://www.studocu.com/en-gb/uZ4187046 (дата обращения: 04.04.2019).

19 Smith, W. F. Foundations of Materials Science and Engineering [Text] / W. F. Smith. - N. Y.: McGraw-Hill, 2004. - 864 p.

20 Patera, J. Centered cubic lattice method comparison [Text] / J. Patera, V. Skala // Proceedings of algoritmy. - 2005. - P. 309-319.

21 Шаскольская, М. П. Кристаллография [Текст] : учеб. пособие для вузов / М. П. Шаскольская. - 2-е изд. - М.: Высшая школа, 1984. - 376 с.

22 Hammond, C. The basics of crystallography and diffraction [Text] / C. Hammond. - 3rd ed. - N. Y.: Oxford University Press Inc., 2009. - 432 p.

23 Wigner, E. On the Constitution of Metallic Sodium [Text] / E. Wigner, F. Seitz // Physical Review. - 1993. - Vol. 43. - P. 804.

24 Tilley, R. J. D. Crystals and crystal structure [Text] / R. J. D. Tilley. -Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2006. - 255 p.

25 Займан, Дж. Принципы теории твердого тела [Текст] / Дж. Займан. -2-е изд. - М.: Высшая школа, 1974. - 478 с.

26 Andrews, L. C. Lattices and reduced cells as points in 6-space and selection of Bravais lattice type by projections [Text] / L. C. Andrews, H. J. Bernstein // Foundations of crystallography. - 1988. - Vol. 44, № 6. - P. 1009-1018.

27 Хунджуа, А. Г. Матричный метод описания кристаллических структур и его применение к анализу и моделированию картин дифракции электронов и рентгеновских лучей [Текст] : учеб. пособие / А. Г. Хунджуа. - М.: Физический факультет МГУ, 2010. - 32 с.

28* Кирш, Д. В. Информационная система моделирования кристаллических решёток в трёхмерном пространстве [Текст] / Д. В. Кирш // Перспективные информационные технологии (ПИТ 2014): труды Международной научно-технической конференции. Самара, 30 июня - 4 июля 2014 г. - Самара: Издательство Самарского государственного аэрокосмического университета, 2014. - С. 448452.

29* Кирш, Д. В. Моделирование и идентификация центрированных кристаллических решёток в трёхмерном пространстве [Текст] / Д. В. Кирш, А. В. Куприянов // Материалы Международной конференции и молодёжной школы «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2015). Самара, 29 июня - 1 июля 2015 г. - Самара: Изд-во СамНЦ РАН, 2015. - С. 443-447.

30 Graef, M. D. Structure of Materials: An introduction to Crystallography, Diffraction and Symmetry [Text] / M. D. Graef, M. E. McHenry. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - 844 p.

31* Kirsh, D. V. Modeling and Identification of Centered Crystal Lattices in Three-Dimensional Space [Text] / D. V. Kirsh, A. V. Kupriyanov // CEUR Workshop Proceedings. - 2015. - Vol. 1490 - P. 162-170.

32 Белов, Н. П. Основы кристаллографии и кристаллофизики [Текст]. Ч. 1. Введение в теорию симметрии кристаллов / Н. П. Белов. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. - 43 с.

33 Liseikin, V. D. Grid generation methods [Text] / V. D. Liseikin. - N. Y.: Springer Science+Business Media, 2010. - 390 p.

34 Weisstein, E. W. Rotation Matrix [Electronic resource] // Wolfram math-world - A Wolfram web resource. 2014. URL: http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html (дата обращения: 04.04.2019).

35 Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - 9-е изд. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.

36 Kessler, E. G. Precision comparison of the lattice parameters of silicon monocrystals [Text] / E. G. Kessler, A. Henins, R. D. Deslattes, L. Nielsen, M. Arif // Journal of research of the national institute of standards and technology. - 1994. -Vol. 99, № 1. - P. 1-18.

37 Newman, T. S. A survey of the marching cubes algorithm [Text] / T. S. Newman, H. Yi. // Computers & graphics. - 2006. - Vol. 30, № 5. - P. 854-879.

38* Куприянов, А. В. Оценка меры схожести кристаллических решёток по координатам их узлов в трёхмерном пространстве [Текст] / А. В. Куприянов, Д. В. Кирш // Компьютерная оптика. - 2012. - Т. 36, № 4. - С. 590-595.

39* Кирш, Д. В. Идентификация кристаллических решёток на основе оценивания параметров элементарных ячеек [Текст] / Д. В. Кирш // Вестник СГАУ. - 2014. - Т. 45, № 3. - С. 130-137.

40* Kirsh, D. V. Crystal lattice identification by coordinates of their nodes in three dimensional space [Text] / D. V. Kirsh, A. V. Kupriyanov // Pattern recognition and image analysis. - 2015. - Vol. 25, № 3. - P. 456-460.

41* Shirokanev, A. S. Development of the crystal lattice parameter identification method based on the gradient steepest descent method [Text] / A. S. Shirokanev, D. V. Kirsh, A. V. Kupriyanov // Computer Science Research Notes. - 2016. -V. 2603. - P. 65-68.

42* Kirsh, D. V. Crystal lattice identification by coordinates of their nodes in three dimensional space [Text] / D. V. Kirsh, A. V. Kupriyanov // Proceedings of the 11th international conference on pattern recognition and image analysis: new information technologies (PRIA-11-2013). Samara, September 23-28, 2013. - Samara: IPSI RAS, 2013. - P. 607-610.

43* Кирш, Д. В. Разработка и исследование методов идентификации кристаллических решёток по координатам их узлов в трёхмерном пространстве [Текст] / Д. В. Кирш // Сборник трудов международной молодёжной научной конференции «XII Королёвские чтения». Самара, 1-3 октября, 2013. - Самара: Издательство Самарского государственного аэрокосмического университета, 2013. - С. 196.

44* Kupriyanov, A. V. Estimation of the Crystal Lattice Similarity Measure by Three-Dimensional Coordinates of Lattice Nodes [Text] /A. V. Kupriyanov, D. V. Kirsh // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2015. -Vol. 24, № 2. - P. 145-151.

45* Кирш, Д. В. Идентификация кристаллических решёток на основе сравнения объёмов ячеек Вигнера-Зейтца [Текст] / Д. В. Кирш // Сборник материалов XI международной научно-технической конференции «Распознавание -2013». Курск, 17-20 сентября 2013 г. - Курск: Издательство Юго-Западного государственного университета, 2013. - С. 143-145.

46 Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы [Текст] / С. М. Ермаков. - 2-е изд. - М.: Наука, 1975. - 472 с.

47* Свидетельство № 2013611051 «Программный комплекс для сравнения моделей кристаллических решёток в трёхмерном пространстве "3D Crystal Lattice Comparer"» // Правообладатель: ИСОИ РАН; Авторы: Куприянов А.В., Кирш Д.В.

48* Свидетельство № 2016611145 «Модуль восстановления трехмерной кристаллической решётки по изображениям проекций "3D Crystall Lattice Reconstruction"» // Правообладатель: СГАУ; Авторы: Широканев А.С., Куприянов А.В., Кирш Д.В.

49* Свидетельство № 2019611676 «Модуль структурной идентификации трёхмерных кристаллических решёток для многопроцессорных вычислительных систем "3D Crystall Structure Identifier (HPC)"» // Правообладатель: Самарский университет; Авторы: Кирш Д.В.

50 Вайнштейн, Б. К. Современная кристаллография [Текст]. В 4 т. Т. 1. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии / Б. К. Вайнштейн. - М.: Наука, 1979. - 384 с.

51 Кузьмичева, Г. М. Основные разделы кристаллографии [Текст] / Г. М. Кузьмичева. - М.: МИТХТ, 2002. - 80 с.

52* Кирш, Д. В. Алгоритм реконструкции трёхмерной структуры кристалла по двумерным проекциям [Текст] / Д. В. Кирш, А. С. Широканев, А. В. Куприянов // Компьютерная оптика. - 2019. - Т. 43, № 2. - С. 324-331. -DOI: 10.18287/2412-6179-2019-43-2-324-331.

53 Круглов, В .В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика [Текст] / В. В. Круглов, В. В. Борисов. - 2-е изд., стереотип. - М.: Горячая линия-Телеком, 2002. - 382 с.

54 Лёзина, И. В. Исследование идентифицирующих свойств нечёткого многослойного персептрона [Текст] / И. В. Лёзина, А. Е. Краснов // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т. 16, № 4(2). -С. 340-343.

55 Лёзин, И. А. Автоматизированная система классификации конструк-торско-технологических элементов деталей с использованием баз знаний [Текст] / И. А. Лёзин, Д. Е. Маркелов // Главный механик. - 2014. - № 5. - С. 38-41.

56 Солдатова, О. П. Многофункциональный имитатор нейронных сетей [Текст] / О. П. Солдатова // Программные продукты и системы. - 2012. - № 3. -С. 27-31.

57 Солдатова, О. П. Решение задачи классификации при принятии управленческих решений в условиях нечёткости исходных данных с использованием гибридного нейронечёткого классификатора [Текст] / О. П. Солдатова, А. Н. Даниленко // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т. 16, № 4(2). - С. 350-358.

58 Солдатова, О. П. Классификация потока системных ошибок с помощью гибридной модификации нейронной сети Ванга-Менделя [Текст] / О. П. Солдатова, Е. М. Пудикова // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т. 16, № 4(2). - С. 359-366.

59 Vineetha, S. MicroRNA-mRNA interaction network using TSK-type recurrent neural fuzzy network [Text] / S. Vineetha, C. C. S. Bhat, S. M. Idicula // Gene.

- 2013.- Vol. 515, Issue 2. - P. 385-390.

60 Кипер, А.В. Разработка нечеткого классификатора на базе нечеткой системы Сугено для определения ранга пожара на территории морского порта / А. В. Кипер, Т. С. Станкевич [Текст] // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Морская техника и технология. - 2012. -№. 2. - С. 18-25.

61 Катасёв, А. С. Математическое обеспечение и программный комплекс формирования нечётко-продукционных баз знаний для экспертных диагностических систем [Текст] / А. С. Катасёв // Фундаментальные исследования.

- 2013. - № 10(9). - С. 1922-1927.

62 Осовский, С. Нейронные сети для обработки информации [Текст] / С. Осовский; пер. с польского И. Д. Рудинского. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

63 Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечёткие системы [Текст] / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л.Рутковский, пер. с польского И. Д. Рудинского. -М.: «Горячая линия - Телеком», 2006. - 452 с.

64 Новак, В. Математические принципы нечёткой логики [Текст] /

B. Новак, И. Перфильева, И. Мочкорж; пер. с англ. - М: Физматлит, 2006. - 352 с.

65 Солдатова, О. П. Решение задачи классификации с использованием нечётких нейронных продукционных сетей на основе модели вывода Мамдани-Заде [Текст] / О. П. Солдатова, И. А. Лёзин // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2014. - № 2(35). - C. 136-148.

66* Солдатова, О. П. Применение нечётких нейронных сетей для определения типа кристаллических решёток, наблюдаемых на наномасштабных изображениях [Текст] / О. П. Солдатова, И. А. Лёзин, И. В. Лёзина, А. В. Куприянов, Д. В. Кирш // Компьютерная оптика. - 2015. - Т. 39, № 5. - С. 787-795. DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-5-787-795.

67* Kirsh, D. V. 3D crystal structure identification using fuzzy neural networks [Text] / D. V. Kirsh, O. P. Soldatova, A. V. Kupriyanov, I. A. Lyozin, I. V. Lyozina // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2017. - Vol. 26, Iss. 4. - P. 249-256.

68* Kirsh, D. V. Identification of Three-Dimensional Crystal Lattices by Estimation of Their Unit Cell Parameters [Text] / D. V. Kirsh, A. V. Kupriyanov // CEUR Workshop Proceedings. - 2015. - Vol. 1452. - P. 40-45.

69* Кирш, Д. В. Применение фундаментального метрического тензора в задаче структурной идентификации трёхмерных кристаллических решёток [Текст] / Д. В. Кирш, А. В. Куприянов // Сборник статей по результатам XX Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении». Часть 1. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2015. -

C. 50-57.

70 Abeyaratne, R. Continuum Mechanics. Volume II of Lecture Notes on The Mechanics of Elastic Solids [Text] / R. Abeyaratne. - Cambridge, MA and Singapore, 2015. - 408 p.

71* Широканев, А. С. Анализ идентификации трёхмерных моделей кристаллических решёток при помощи мер схожести множеств [Текст] / А. С. Ши-роканев, Д. В. Кирш, А. В. Куприянов // XIII Королёвские чтения: Международная научная конференция, Самара 6-8 октября 2015 года: Тезисы докладов. - Самара: Издательство Самарского государственного аэрокосмического университета, 2015. - С. 141-142.

72 Куприянов, А. В. О наблюдаемости кристаллических решёток по изображениям их проекций [Текст] / А. В. Куприянов, В. А. Сойфер // Компьютерная оптика. - 2012. - Т. 36, № 2. - С. 249-256.

73 Куприянов, А. В. Анализ текстур и определение типа кристаллической решётки на наномасштабных изображениях [Текст] / А. В. Куприянов // Компьютерная оптика. - 2011. - Т. 35, № 2. - С. 151-157.

74 Куприянов, А. В. Математическое моделирование, методы и программные средства текстурного анализа изображений кристаллических структур [Текст] : дис. ... доктор техн. наук: 05.13.18 / Куприянов Александр Викторович. - Самара, 2013. - 208 с.

75 Crystal Studio Professional [Electronic resource] // Crystal studio. 2018. URL: http://www.crystal0studio.com/ (дата обращения: 04.04.2019).

76 Колганов, А. Технология CUDA для высокопроизводительных вычислений на кластерах с графическими процессорами [Электронный ресурс] / А. Колганов // Летняя суперкомпьютерная академия. 2017. URL: http://acad-emy2017.hpc-russia.ru/ (дата обращения: 04.04.2019).

77* Shirokanev, A. Development of a vector algorithm of three-dimensional crystal lattice parametric identification based on estimation of the spacing between adjacent lattice planes [Text] / A. Shirokanev, D. Kirsh, A. Kupriyanov // Procedia Engineering. - 2017. - Vol. 201. - P. 690-697.

78* Кирш, Д. В. Двухуровневая модель распараллеливания для задачи параметрической идентификации кристаллических решёток [Текст] / Д. В. Кирш, А. С. Широканев, А. В. Куприянов // Параллельные вычислительные технологии - XI международная конференция (ПаВТ'2017). Казань, 3 - 7 апреля 2017 г. Короткие статьи и описания плакатов. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2017. - С. 356-365.

79* Kirsh, D. V. Parallel implementations of parametric identification algorithms for three-dimensional crystal lattices [Text] / D. V. Kirsh, A. V. Kupriyanov // CEUR Workshop Proceedings. - 2016. - Vol. 1638 - P. 451-459.

80 Воеводин, В. В. Параллельные вычисления [Текст] / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

81* Кирш, Д. В. Разработка параллельных реализаций алгоритмов параметрической идентификации трёхмерных кристаллических решёток [Текст] / Д. В. Кирш, А. В. Куприянов // Сборник материалов Международной конференции и молодёжной школы «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2016). Самара, 17 - 19 мая 2016 г. - Самара: Изд-во СамНЦ РАН, 2016. -С. 940-946.

82 Павловская, Т. А. С/С++. Программирование на языке высокого уровня [Текст] / Т. А. Павловская. - СПб.: Лидер, 2010. - 461 с.

83 Barney, B. Message Passing Interface (MPI) [Electronic resource] // Lawrence Livermore National Laboratory - High performance computing. 2014. URL: https://computing.llnl.gov/tutorials/mpi/ (дата обращения: 04.04.2019).

84 Гэтлин, К. С. OpenMP и C++ [Электронный ресурс] / К. С. Гэтлин, П. Айсенси // Microsoft developer network. 2005. URL: http://msdn.microsoft.com/ru-ru/library/dd335940.aspx (дата обращения: 04.04.2019).

85 CUDA Toolkit Documentation [Electronic resource] // Nvidia developer zone. 2018. URL: https://docs.nvidia.com/cuda/archive/9.2/ (дата обращения: 04.04.2019).

86 Хогенсон, Г. C++/CLI: язык Visual C++ для среды .NET [Текст] / Г. Хогенсон. - М.: Вильямс, 2007. - 464 с.

87 Richter, J. CLR via C#, third edition [Text] / J. Richter. - Redmond: Microsoft press, 2010. - 873 p.

88 Mutel, A. SharpDX [Electronic resource]. 2013. URL: http://sharpdx.org/ (дата обращения: 04.04.2019).

89 Nathan, A. WPF 4 unleashed [Text] / A. Nathan. - Indianapolis: Sams Publishing, 2010. - 848 p.

90 Pathak, N. Pro WCF 4: Practical Microsoft SOA Implementation [Text] / N. Pathak. - N. Y.: Apress, 2011. - 472 p.

91 Гергель, В. П. Теория и практика параллельных вычислений [Текст]: учеб. пособие / В. П. Гергель. - М.: Интернет-университет информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 423 с.

Приложение А. Таблицы

Таблица А.1 - Зависимость средней ошибки идентификации параметров Браве от величины искажения объекта

йв avgdS avgdA avgdT

5 0,102 0,261 0,243

10 0,060 0,177 0,175

15 0,045 0,150 0,149

20 0,037 0,129 0,130

25 0,031 0,110 0,113

30 0,027 0,092 0,096

35 0,023 0,076 0,081

40 0,021 0,063 0,068

45 0,019 0,052 0,059

50 0,017 0,044 0,051

55 0,016 0,038 0,045

60 0,015 0,034 0,041

65 0,014 0,030 0,038

70 0,013 0,027 0,035

75 0,013 0,025 0,033

80 0,012 0,023 0,031

85 0,012 0,022 0,030

90 0,011 0,021 0,029

95 0,011 0,021 0,028

100 0,011 0,020 0,027

Таблица А.2 - Зависимость средней ошибки идентификации объёма ячейки Вигнера-Зейтца и расстояний между изоповерхностями от величины искажения объекта

йв avgdV avgdAR avgdAH avgdMH

5 0,0143 0,0597 0,0646 0,0515

10 0,0099 0,0304 0,0306 0,0303

15 0,0088 0,0211 0,0209 0,0226

20 0,0082 0,0160 0,0157 0,0182

25 0,0080 0,0127 0,0124 0,0152

30 0,0079 0,0105 0,0102 0,0126

35 0,0080 0,0088 0,0085 0,0101

40 0,0078 0,0075 0,0073 0,0080

45 0,0079 0,0064 0,0063 0,0063

50 0,0077 0,0056 0,0055 0,0048

55 0,0077 0,0049 0,0049 0,0036

60 0,0078 0,0044 0,0044 0,0027

65 0,0078 0,0040 0,0040 0,0020

70 0,0077 0,0036 0,0037 0,0016

75 0,0077 0,0033 0,0034 0,0012

80 0,0076 0,0031 0,0031 0,0010

85 0,0076 0,0028 0,0029 0,0009

90 0,0076 0,0027 0,0027 0,0008

95 0,0077 0,0025 0,0026 0,0007

100 0,0076 0,0024 0,0025 0,0006

Приложение Б. Свидетельства о регистрации программы для ЭВМ