Идентификация числовых характеристик случайных параметров стохастической модели электрогидравлического следящего привода с применением проекционного метода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Аунг Чжо Со

• Аунг Чжо Со
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Аунг Чжо Со

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА АНАЛИЗА И ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1. Методы исследования систем со случайными параметрами

1.2. Применение проекционных методов для исследования систем управления со случайными параметрами

1.2.1. Проекционные методы в теории управления

1.2.2. Приложение к задачам исследования систем со случайными параметрами

1.3. Современные методы и подходы к идентификации стохастических систем

1.4. Идентификация параметров электрогидравлических приводов

1.5. Выводы по первой главе и постановка задачи исследования

ГЛАВА 2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭГСП С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА ПРОЕКЦИОННЫХ

АППРОКСИМАЦИЙ И МЕТОДОВ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ

2.1. Стохастическая модель ЭГСП и формулировка задачи идентификации

2.2. Принцип идентификации с использованием усредненной проекционной модели ЭГСП

2.3. Усредненная проекционная модель ЭГСП

2.3.1. Проекционная аппроксимация непрерывных моделей систем с постоянными случайными параметрами

2.3.2. Проекционная аппроксимация непрерывных моделей систем с переменными случайными параметрами

2.3.3. Аналитическое усреднение проекционной модели ЭГСП

Стр.

2.3.4. Методика проекционной аппроксимации непрерывной математической модели ЭГСП в классе стохастических систем

2.4. Алгоритм идентификации дисперсий и автокорреляционных функций случайных физических параметров стохастической модели ЭГСП

2.5. Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИСПЕРСИЙ И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭГСП В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

3.1. Пример типичного ЭГСП

3.1.1. Устройство и принцип работы

3.1.2. Учет случайности физических параметров в математической модели ЭГСП

3.2. Проекционная аппроксимация стохастической модели ЭГСП

3.3. Идентификация числовых характеристик случайных физических параметров стохастической модели ЭГСП

3.3.1. Примеры идентификации дисперсий постоянных случайных параметров

3.3.2. Примеры идентификации автокорреляционной функции переменного случайного параметра

3.4. Идентификация дисперсий случайных параметров стохастической модели ЭГСП с ПИД-регулятором

3.5. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭГСП

4.1. Алгоритм символьного определения числовых характеристик коэффициентов универсальной модели

Стр.

4.2. Алгоритм символьного определения стохастических моментов гауссовых случайных величин

4.3. Алгоритмы идентификации числовых характеристик случайных параметров

4.4. Алгоритм вычисления функционала при идентификации нескольких одновременно действующих случайных параметров

4.5. Выводы по четвертой главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация числовых характеристик случайных параметров стохастической модели электрогидравлического следящего привода с применением проекционного метода»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Электрогидравлический следящий привод (ЭГСП) относится к широкому классу следящих систем автоматического управления. Высокая удельная мощность и быстродействие делают ЭГСП незаменимым в таких областях как авиация, ракетно-космическая техника, робототехника. В то же время для ЭГСП характерна чувствительность к свойствам рабочей жидкости, температуре окружающей среды, технологическому разбросу параметров и другим факторам, носящим в основном случайный характер и ухудшающим точность его работы. Современные исследования в области совершенствования электрогидравлических следящих приводов с учетом влияния указанных случайных факторов, нашедшие отражение в работах А.В. Месропяна, В.А. Целищева и др., говорят об актуальности данной проблемы.

Влияние случайных факторов учитывается введением случайных параметров в математическую модель ЭГСП, используемую в качестве основы многих расчетных процедур. При этом возникает проблема идентификации числовых характеристик случайных физических параметров ЭГСП с целью построения адекватных моделей, описывающих ЭГСП как стохастическую систему. Наличие таких стохастических моделей дает возможность разработчику действовать целенаправленно при выборе конструктивных решений, направленных на устранение нежелательного влияния случайных факторов конкретной физической природы. Таким образом, проблема идентификации числовых характеристик случайных физических параметров ЭГСП является актуальной.

Стохастическая модель ЭГСП сложна для исследования и применения в инженерных расчетах, так как даже линейная стохастическая система проявляет нелинейные свойства, обусловленные мультипликативным характером параметрических возмущений. Среди имеющихся методов исследования стохастических систем выделяются так называемые проекционные методы, систематическое исследование которых в приложениях к задачам анализа, идентификации и управ-

ления линейными нестационарными системами началось с работ В.В. Солодовникова, В.В. Семенова и получило дальнейшее развитие в работах А.Н. Дмитриева, К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова, С.В. Лапина и др. Преимуществом проекционных методов являются возможность построения эффективных вычислительных алгоритмов, ориентированных на параллельную реализацию, в сочетании с операторной формой представления решений, дающей возможность их качественной оценки.

Объект исследования. В качестве объекта выступает ЭГСП как следящая система автоматического управления со случайными параметрами.

Предметом исследования являются методы, алгоритмы и численные процедуры идентификации числовых характеристик случайных физических параметров ЭГСП, используемые при построении его стохастической модели.

Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка алгоритма идентификации числовых характеристик случайных физических параметров стохастической модели ЭГСП с применением проекционного метода и техники матричных операторов.

Для достижения сформулированной цели ставятся следующие задачи:

1) разработать методику проекционной аппроксимации стохастической модели ЭГСП, которая может быть использована для построения усредненной проекционной модели, устанавливающей аналитическую связь между числовыми характеристиками входа, выхода и случайных физических параметров ЭГСП (под проекционной моделью понимается результат конечномерной аппроксимации исходной непрерывной модели с использованием ортогональных разложений);

2) разработать алгоритм идентификации числовых характеристик случайных физических параметров стохастической модели ЭГСП, основанный на использовании усредненной проекционной модели стохастической системы;

3) в рамках вычислительного эксперимента исследовать влияние фактора случайности параметров ЭГСП на его динамические свойства, выполнить идентификацию числовых характеристик случайных физических параметров стоха-

стической модели ЭГСП с использованием разработанного алгоритма, оценить точность решения задачи идентификации.

Научная новизна работы диссертации состоит в следующем:

1) разработана методика проекционной аппроксимации математической модели ЭГСП в классе стохастических систем с постоянными и переменными случайными параметрами (стохастической модели ЭГСП), которую отличает универсальность, простота и автоматизм перехода к усредненной проекционной модели, обусловленные использованием техники матричных операторов и алгоритмов символьных вычислений;

2) построена усредненная проекционная модель ЭГСП, выражающая в мат-рично-операторной форме аналитическую зависимость проекционных характеристик математического ожидания и корреляционной функции выходного сигнала ЭГСП от числовых характеристик его случайных физических параметров, рассматриваемых как случайные величины (постоянные случайные параметры) или как случайные функции времени (переменные случайные параметры) без привлечения понятия белого шума;

3) предложена векторно-матричная форма функционала, определяющего критерий ошибок идентификации числовых характеристик случайных параметров стохастической модели ЭГСП с учетом специфики систем со случайными параметрами, который вычисляется с использованием усредненной проекционной модели ЭГСП;

4) разработан алгоритм идентификации дисперсий и автокорреляционных функций случайных физических параметров стохастической модели ЭГСП, основанный на минимизации функционала, задающего критерий ошибок идентификации, который вычисляется с использованием усредненной проекционной модели ЭГСП, благодаря чему значительно сокращается время выполнения шагов прямого поиска его минимума и ускоряется работа алгоритма идентификации в целом.

Практическая ценность работы состоит в том, что результаты, полученные в диссертации, включая методики и алгоритмы, могут быть использованы в инженерной практике при разработке высокоточных систем автоматического

управления с электрогидравлическими исполнительными устройствами.

Внедрение результатов работы. Методика проекционной аппроксимации и алгоритм идентификации числовых характеристик случайных параметров стохастических моделей систем управления внедрены в учебный процесс по направлениям подготовки 27.06.01 и 27.04.04 "Управление в технических системах" в Калужском филиале МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Работа является частью исследований, проводившихся в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований и правительства Калужской области (гранты № 14-41-03071, № 14-48-03013, № 16-41-400701). Основные результаты включены в материалы отчетов по упомянутым грантам.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректным использованием методов функционального анализа, линейной алгебры, теории вероятностей, теории матричных операторов и подтверждается сравнением результатов расчетов, полученных с использованием усредненных проекционных моделей, с результатами метода статистических испытаний.

На защиту выносятся:

1) методика проекционной аппроксимации исходной непрерывной математической модели ЭГСП в классе стохастических систем с постоянными и переменными случайными параметрами, которая используется для построения его усредненной проекционной модели, отличающаяся простотой и автоматизмом построения уравнений данной модели, что позволяет использовать системы символьных вычислений, а также применимостью этой методики к любым моделям данного класса систем;

2) усредненная проекционная модель ЭГСП, выражающая в матрично-операторной форме аналитическую зависимость проекционных характеристик математического ожидания и корреляционной функции выходного сигнала ЭГСП от дисперсий и корреляционных функций его случайных физических параметров, которую отличает отсутствие необходимости использования понятия белого шума при описании случайных параметров;

3) алгоритм идентификации дисперсий и автокорреляционных функций

случайных физических параметров стохастической модели ЭГСП, основанный на минимизации функционала, задающего критерий ошибок идентификации, который вычисляется с использованием усредненной проекционной модели ЭГСП, что позволяет ускорить работу данного алгоритма.

Апробация работы проведена на ряде научных конференций, в том числе: на всероссийской научно-технической конференции «Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе» (Калуга, 2012, 2013, 2014 гг.); на региональной научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе» (Калуга, 2013, 2014 гг.); на научных семинарах кафедры систем автоматического управления Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2015, 2017 и 2018 гг., научном семинаре кафедры систем автоматического управления МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2016 г. и научном семинаре Тульского государственного университета (ТулГУ) в 2018 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 14 статьях, из них 4 статьи опубликованы в журналах перечня ВАК.

Личный вклад автора состоит в разработке методики проекционной аппроксимации математической модели ЭГСП, в разработке алгоритма идентификации числовых характеристик случайных физических параметров стохастической модели ЭГСП, в разработке программного обеспечения, реализующего указанный алгоритм, в постановке вычислительных экспериментов и анализе их результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 253 страницах, в том числе основного текста 151 страницы, библиографический список из 169 наименований на 18 страницах и приложение на 84 страницах.

В первой главе представлен аналитический обзор современного состояния проблемы исследования стохастических систем включая методы идентификации. Проведен анализ группы методов исследования систем со случайными парамет-

рами, основанных на проекционной аппроксимации непрерывных математических моделей. Проведен анализ методов идентификации параметров ЭГСП и обоснована актуальность его рассмотрения как системы со случайными параметрами. Сделано заключение о практическом отсутствии методов идентификации числовых характеристик случайных параметров подобных технических систем. Сделан вывод об актуальности развития методов идентификации числовых характеристик случайных параметров стохастической модели ЭГСП и целесообразности построения новых алгоритмов, реализующих эти методы на основе использования проекционных моделей и техники матричных операторов.

Во второй главе предложена общая форма математической модели систем со случайными параметрами в виде дифференциального уравнения со статистически связанными случайными коэффициентами, описывающая большинство реальных систем, подобных ЭГСП, рассмотрена стохастическая модель ЭГСП, приводимая к данной общей форме. Сформулирована задача идентификации числовых характеристик случайных параметров стохастической модели ЭГСП. Разработан алгоритм идентификации числовых характеристик случайных физических параметров стохастической модели ЭГСП, основанный на принципе настраиваемой модели, в качестве которой используется усредненная проекционная модель. Разработана методика проекционной аппроксимации стохастической модели ЭГСП, используемая для построения его усредненной проекционной модели.

В третьей главе представлена стохастическая модель ЭГСП, некоторые физические параметры которой являются случайными. Показан переход от исходной стохастической модели ЭГСП к универсальной модели в виде линейного стохастического дифференциального уравнения п -го порядка с жесткой статистической связью между его случайными коэффициентами. Показано пошаговое применение методики проекционной аппроксимации при построении усредненной проекционной модели ЭГСП. Выполнены вычислительные эксперименты, демонстрирующие возможности разработанного алгоритма идентификации числовых характеристик случайных параметров стохастической модели ЭГСП.

В четвертой главе описано разработанное алгоритмическое и программное

обеспечение, предназначенное для идентификации числовых характеристик случайных параметров стохастической модели ЭГСП, а также универсальные алгоритмы и программы идентификации этих характеристик для рассматриваемого класса стохастических систем. Рассмотрены вопросы автоматизации аналитических преобразований, выполняемых при построении усредненных проекционных моделей систем со случайными параметрами.

В заключении перечислены результаты диссертационной работы и сделаны выводы о возможностях и преимуществах применения проекционных методов и аппарата матричных операторов для решения задач идентификации числовых характеристик случайных параметров стохастической модели ЭГСП.

В приложении приведены полные исходные тексты разработанных программ, которые использовались при выполнении всех расчетов в диссертационной работе, а также исходные тексты заимствованных функций, что позволяет воспроизвести полученные результаты на любом компьютере с установленной системой MATLAB.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА АНАЛИЗА И ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМ

СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1. Методы исследования систем со случайными параметрами

Математическая модель стохастической системы со случайными параметрами в самом общем виде может быть представлена следующей системой дифференциальных уравнений [28]:

(Х-(г ) п г и т

=  + WlJ(г)]фу (X,г)+ £ вщ(и,г)Гц(г), (1.1)

Лг у=1

ц=1

пТ

где = - п-мерный вектор состояния (фазовых ко-

ординат) динамической системы; и = [[/1,[/2,...,£//] - / -мерный вектор случайных параметров системы; Гц (г) - случайный скалярный сигнал на ц -м входе сит

стемы как элемент вектора входа У(?) = (?),...,(?)] ; - пара-

метрические шумы в коэффициентах для I -й компоненты вектора состояния; Ъу (и, г), Оу (и, г) - скалярные функции времени и вектора случайных параметров и; фу (X, г) - нелинейные функции вектора фазовых координат,

^ 1 = 1,2,...,/? - заданный вектор начального состояния; Т - знак транспо-

нирования.

Математическая модель системы со случайными параметрами (1.1) кроме прямых случайных возмущений Гц (г) включает параметрические возмущения,

представляемые случайными функциями W у (г) и случайными величинами, образующими вектор и.

Математическая модель системы со случайными параметрами в форме (1.1) является слишком сложной для исследования. На практике часто используют не-

которые упрощенные варианты данной модели. Например, параметрические Жу (Ь) и аддитивные Уц (Ь) возмущения рассматриваются в виде белых гауссовых

шумов с нулевыми математическими ожиданиями.

Начальные условия X] (¿о ) в общем случае могут быть заданы статистически. Также система (1.1) может быть формально преобразована к системе с нулевыми начальными условиями путем представления случайных начальных условий в виде эквивалентного случайного входного сигнала, который умножается на функцию 5 (Ь - ¿о ). Имеется также возможность преобразовать систему (1.1) к виду, не содержащему параметрических шумов Жу (Ь) путем приближенного представления всех случайных функций Жу (Ь) в виде канонических разложений. При

этом фактор случайности выражается только вектором и увеличенной размерности.

Важным частным случаем модели (1.1) является линейная модель, в которой Фу ( X, Ь ) = Ху (Ь) [28]:

п п ^ т

ж Е ГУ(и, 1) ' "ч()JХу() ' Е "гЦ(и, 1 )УЦ

' - Е I р (и, о + Жу (ь)| Ху (ь ) + х оы (и, Ь)Уц (Ь ) (1.2)

7=1 Ц=1

или в компактной векторной форме:

^ = [г (и, ь ) + (Ь )] X (Ь )+о (и, Ь ) у (Ь ), (1.3)

где ^пхп)(и, Ь), С(пхт)(и, Ь), пхп)(и, Ь) - матрицы коэффициентов и параметрических шумов. При этом система, описываемая данными уравнениями, по отношению к параметрическим шумам является нелинейной, несмотря на внешне линейный вид ее модели.

Математическую модель линейной стохастической системы иногда описывают линейным интегральным оператором, то есть в виде

X (Ь )= | С (Ь, т) у (т) йт, (1.4)

¿о

где У (Ь) - вектор входа размерности т; X(Ь) - вектор выхода размерности п; С (Ь, т) - случайная матрица весовых функций размерности п х т.

В течение последних десятилетий решением проблемы исследования стохастических систем занималось множество ученых и специалистов из прикладных областей. За этот период был разработан широкий спектр методов и подходов. По данной теме имеется обширный список работ и публикаций, перечень которых можно найти, например, в фундаментальной монографии В.С. Пугачева и И.Н. Синицына [115], а также в библиографиях [28, 3].

Методы, позволяющие находить законы распределения плотности вероятности фазовых координат систем управления, реализуют общий подход к исследованию стохастических систем со случайными параметрами, включая решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК). Применение данного подхода к исследованию систем управления со случайными параметрами описано в монографии Л.Г. Евланова и В.М. Константинова [28], где рассматривается метод анализа систем, содержащих в качестве параметров случайные величины, на основе применения марковской теории случайных процессов. Такой подход является универсальным, однако, практически пригоден только для простых задач. Это объясняется тем, что решение уравнения ФПК для систем большой размерности является слишком сложным, поэтому данный подход практически малоэффективен для реальных систем автоматического управления, описываемых моделями высоких порядков.

Метод статистических испытаний [16, 114, 131, 141] представляет собой реализацию общего подхода к приближенному решению задачи статистического анализа, который применим практически к любым классам стохастических систем, включая нелинейные. Однако использование данного метода сопряжено с необходимостью многократного решения уравнений математической модели системы, то есть с большим объемом вычислений и соответственно затратами времени, особенно для математических моделей сложных систем управления. Другим недостатком является практическая невозможность определить в явном виде зависимость числовых характеристик выходных сигналов от числовых характеристик

случайных параметров системы.

Возможность упрощения задачи статистического анализа за счет уменьшения полноты получаемых числовых характеристик послужила предпосылкой появления группы методов корреляционного анализа стохастических систем. К числу таких методов, получивших широкое распространение в практике расчета и проектирования систем управления начиная с 60-70-х годов, относится метод непосредственного усреднения [28, 13], метод чувствительности [118, 109, 28], метод эквивалентных возмущений Б.Г. Доступова [139] и интерполяционный метод В.И. Чернецкого [147].

Использование в качестве числовых характеристик кумулянтов, называемых также семиинвариантами, позволяет решать задачи анализа систем, искажающих законы распределения плотности вероятности входных сигналов, к которым относятся нелинейные и стохастические системы. Количество уравнений для кумулянтов в этом случае, как и для моментов, будет бесконечным. Однако, используя свойство уменьшения значимости кумулянтов по мере роста их порядка, можно ограничиться определенным порядком, положив высшие кумулянты равными нулю. В результате система уравнений относительно кумулянтов оказывается замкнутой и, хотя ее решение дает приближенный результат, всегда можно выбрать степень точности, задав порядок высшего кумулянта. Использование указанного подхода применительно к нелинейным системам описано в [66, 28].

Метод непосредственного усреднения предполагает вывод формул, определяющих условные моменты фазовых координат через значения элементов вектора и в (1.1) с их последующим усреднением для конкретного закона распределения плотности вероятности элементов данного вектора. При этом для линейных систем удается получить решения в явной форме, однако нахождение интеграла уравнений системы в общем случае может оказаться сложной задачей.

Сущность метода чувствительности состоит в представлении искомого показателя качества стохастической системы Q как функции вектора случайных па-г ~|Т

раметров и(/) = (/] Д/2 ...(// в виде конечного отрезка многомерного ряда Тей-

лора по компонентам вектора и относительно точки М[и] = ту, содержащего члены до ц -го порядка включительно [28]:

д \ I I I (

1-Е

к=\К\=М2=\ 1к=1

ициъ...и1к (1.5)

\ 12 " гк

Ю

Достоверность представления (1.5) тем выше, чем меньше величина рассеивания параметров (/] Д/2,-■ -Д// по сравнению с их математическими ожиданиями.

Основная проблема, возникающая при вычислении показателя качества (1.5), заключается в нахождении функций чувствительности

дкд

1к= 1,2,...,/; к = 1,2,...,д.

чи

При этом количество функций чувствительности существенно возрастает с увеличением порядка ц, что ограничивает практическое применение данного метода задачами с ц < 2.

Метод эквивалентных использует идею метода статистических испытаний, но отличается от него тем, что случайные входные сигналы и параметрические возмущения заменяются эквивалентными детерминированными сигналами и возмущениями. Числовые характеристики выходного сигнала модели системы приближенно находятся как реакции на эти эквивалентные детерминированные воздействия. При этом в отличие от метода статистических испытаний требуется решить относительно небольшое число уравнений модели системы.

Интерполяционный метод, использующий подобные идеи и основанный на аппарате интерполирования функций многих переменных, позволяет находить дифференциальные законы распределений выходных сигналов. Таким образом, данный метод подходит для исследования нелинейных систем, обладая по сути той же универсальностью, что и метод статистических испытаний. Данный метод можно также применять при решении задач оптимального управления.

Метод исследования стохастической системы, предложенный Дж. Адомианом [3], основан на понятии стохастической функции Грина. При ис-

пользовании этого метода стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее модель системы, преобразуется к интегральному уравнению Вольтерра со стохастическим ядром, для решения которого используется метод разложения, который по существу является методом решения уравнения Вольтерра, основанным на разложении в ряд Неймана. В монографии [3] описана оригинальная теория стохастических операторов, сводящихся в неслучайном пределе к детерминированным операторам, которая построена на основе комбинации теории вероятности и теории линейных систем.

Исследованию параметрических моделей стохастических систем посвящена монография А.А. Грешилова [20], где описываются конфлюэнтные методы. Анализ стохастических систем проводится при условии, что все исходные данные могут изменяться случайным образом, но с известными или предполагаемыми законами распределения. Методы конфлюэнтного анализа являются обобщением регрессионных методов. В то время как в регрессионных методах (по определению) аргумент должен быть детерминирован (невязка берется по одной величине, случайный характер других величин не учитывается), в конфлюэнтных методах учитывается случайный характер всех исходных величин.

Метод, развитый в работах Е.А. Федосова, Г.Г. Себрякова [143], [99, гл.12], П.С. Матвеева, А.С. Синицына [69, 70, 71], В.Г. Конькова [45], основан на структурном представлении модели стохастической системы. Он относится к группе методов корреляционного анализа. Наглядность, обусловленная использованием традиционных структурных схем для описания математических моделей систем управления со случайными параметрами, способствует применению данного метода в инженерной практике.

Вопросы исследования систем со случайной структурой рассматриваются в работах [41, 42, 130, 120, 121, 142, 155].

В большинстве работ, посвященных методам исследования систем со случайными параметрами, недостаточное внимание уделяется вопросам разработки эффективных алгоритмов анализа стохастических систем. Исследования стохастических систем часто выполняются в предположениях, ограничивающих воз-

можность практического применения полученных результатов, например, сигналы в системе представляются в виде физически нереализуемого белого шума, случайные процессы считаются стационарными и т.п.

1.2. Применение проекционных методов для исследования систем

управления со случайными параметрами

1.2.1. Проекционные методы в теории управления

Современные системы автоматического управления отличаются высокой сложностью. Математическая модель такой системы должна охватывать важнейшие физические явления, связанные с ее функционированием. Для точных и сложных моделей аналитические решения удается получить лишь в исключительных случаях. Применение численных методов позволяет принципиально расширить класс математических задач, допускающих исчерпывающий анализ. Благодаря появлению недорогих высокопроизводительных компьютеров численные методы получили сегодня широкое распространение. Современному исследователю при построении математической модели реальной системы управления не нужно стремиться к упрощениям, которые были необходимы раньше для получения результатов в явном виде. Его внимание, прежде всего, должно быть направлено на то, чтобы правильно учесть все наиболее существенные особенности изучаемого объекта и отразить их в математической модели. Но численные методы имеют известный недостаток: они, в отличие от аналитических методов, не позволяют найти решение в общем виде, а значит не могут непосредственно объяснить причины того или иного поведения системы, поскольку ориентированы на получение результата только в виде конкретных числовых значений для конкретных исходных данных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аунг Чжо Со, 2019 год

% использования

% ----------- конец блока загрузки ----

Y = zeros(L,1); DEL = T/(L-1); for i=1:L

Y(i) = (i-1)*DEL; end

hold on for i=1:N

stairs(Y,X(i,1:L))

end

hold off grid

MINY = min(min(X)); MAXY = max(max(X)); if MINY ~= MAXY

axis([min(Y) max(Y) MINY MAXY]) end

% xlabel('t'), ylabel('Y(t)') % title('Press any key to continue...') pause

% конец программы

П.4. Функции, реализующие методику проекционной аппроксимации математических моделей стохастических систем с постоянными случайными параметрами

П.4.1. Функция statan_s4

Функция statan_s4. Статистический анализ систем с постоянными случайными параметрами, описываемых математической моделью в виде дифференциального уравнения п-го порядка

(п) (п-1) , , (т) 1

апху ' + ап_хху '+... + ахх + а^х = Ьтуу '+... + Ь^у, п>т

с коэффициентами в виде линейно коррелированных нормально распределенных случайных величин.

function [MX, RXX, DXX, perrMX, perrRXX] = statan_s4(fsize, T, npr, n, ...

m, MA, DA, MB, DB, MY, RYY, v, cRxx, err)

Подходит для анализа систем управления с одним случайным параметром. При этом предполагается, что коэффициент корреляции между любой парой коэффициентов

{ai, i=1..n; bj, j=1..m} исходного уравнения равен +1, т.е. случайность указанных коэффициентов обусловлена случайностью одного параметра системы управления.

Предполагается, что все случайные коэффициенты исходного д.у. n-го порядка порождаются одной случайной величиной V, то есть могут быть представлены в виде

ai = sqrt(Dai)*V и bj = sqrt(Dbj)*V+Mbj, где V - центрированная нормально распределенная случайная величина с единичной диспесией; Dai, Dbj - дисперсии случайных коэффициентов ai, bj; sqrt(Dai) и sqrt(Dbj) - их среднее квадратическон отклонение (СКО).

Если не все коэффициенты исходного д.у. случайны, то дисперсии задаются только для случайных коэффициентов. Для неслучайных коэффициентов дисперсии задаются равными нулю.

Анализ выполняется методом усреднения проекционных моделей. Точность вычисления Mx(t) и Rxx(t1,t2) оценивается по разности приближений. При оценке точности вычисления Rxx(t1,t2) члены произведения рядов упорядочиваются в форме Коши.

Функция statan s4 использует функции библиотек SML2, COMMON, SSA2. _

Входные параметры функции statan s4:

Общие параметры:

fsize - число членов разложения по ортогональному базису

функций Уолша (2Ак); Т - верхний предел интервала исследования t=0..T;

прг - номер приближения

(нулевое приближение сответствует детерминированной системе, поэтому для корректного вычисления матрицы RXX при прг=0 должна быть задана ненулевая матрица RYY; если анализируется стохастическая систма (прг>0), то матрица RYY может быть нулевой, что соответствует стохастической системе с неслучайным входным сигналом)

Параметры модели:

п - порядок левой части исходного д.у.

т - порядок правой части исходного д.у.

МА - вектор-строка мат. ожиданий Mai коэф-тов левой части

д.у. размером п+1, БА - вектор-строка дисперсий Dai случ. составляющих а^) сл коэф-тов левой части д.у. размером п+1;

Пояснение: Случайные коэф-ты левой части д.у. задаются в виде:

ai = Mai + ai сл, i=0..n,

где

Mai - мат. ожидание i-го коэф-та,

ai сл - случ. составляющая с нулевым мат. ожиданием (в программе обозначается как "а^', т.е. а0,а1,...). Элементы МА(1) и DA(1) содержат Ма0 и Da0, МА(п+1) и БА(п+1) - Ма(п) и Da(n) соответственно.

МВ - вектор-строка мат. ожиданий М^ коэф-тов правой части

д.у. размером т+1; БВ - вектор-строка дисперсий Dbj случ. составляющих bj сл коэф-тов правой части д.у. размером т+1;

Пояснение: Случайные коэф-ты правой части д.у. задаются в виде:

^ = М^ + ^ сл, j=0..m,

где

М^ - мат. ожидание j-го коэф-та,

^ сл - случ. составляющая с нулевым мат. ожиданием (в программе обозначается как т.е. Ь0,Ь1,...).

Элементы МВ(1) и DB(1) содержат МЬ0 и Db0, МВ(т+1) и БВ(т+1) - МЬт и Dbm соответственно.

Параметры входного сигнала:

МУ - вектор размером fsize, содержащий отсчеты функции математического ожидания входного сигнала стохастической системы Му^), заданные на интервале t=0..T;

RYY - матрица размером fsize х fsize, содержащая отсчеты автокорреляционной функции входного сигнала стохастической системы Ryy(t1,t2), заданные на интервалах ^=0..Т, t2 = 0..T.

% Дополнительные параметры:

%

вывод информации о ходе выполнения функции statan s3 (1 - вкл. / 0 - выкл. /2 - вкл., но при раскрытии моментов в формуле, выражающей Rxx, выводится только процент выполнения)

вычисление автокорреляционной функции выходного сигнала: 1 - вычислять MX, RXX, DXX (полный статанализ)

0 - вычислять только MX

оценка погрешности по следующему приближению:

1 - оценка выполняется

0 - оценка не выполняется (может ускорить вычисления, но без гарантий точности

результатов) (осторожно!)

%

% Выходные параметры функции statan s4:

о

% ------------------------------------

%

% statan s4() возвращает в качестве результата вектор выходных

% параметров [MX, RXX, DXX, perrMX, perrRXX], элементы которого

следующий смысл:

вектор размером fsize, содержащий отсчеты функции математического ожидания выходного сигнала стохастической системы Mx(t), вычисленные на интервале t=0..T;

матрица размером fsize x fsize, содержащая отсчеты автокорреляционной функции выходного сигнала стохастической системы Rxx(t1,t2), вычисленные на интервалах t1=0..T, t2=0..T;

вектор размером fsize, содержащий отсчеты функции дисперсии выходного сигнала стохастической системы Dx(t), вычисленные на интервале t=0..T;

% perrMX - погрешность (относительная ошибка) вычисления мат.

% ожидания MX [проценты]

%

% perrRXX - погрешность (относительная ошибка) вычисления

% автокорреляционной функции RXX [проценты]

%

о

0

setsize(fsize) settime(T)

global SML SIZE % внутренние переменные библиотеки SML

1 = eye(SML SIZE); % единичная матрица Z = zeros(SML SIZE); % нулевая матрица

P = mkint'; % интегратор в базисе функций Уолша

if err

num = npr + 1; % фактически вычисляемое приближение % для оценки точности

else

num = npr; % не вычислять след. приближение для оценки погрешности

end

% Создание переменных, содержащих значения СКО коэффициентов % левой части д.у.

cRxx -

v

MX -

RXX -

DXX -

имеют

for i = 1 : n

eval( ['Sa', num2str(i-1), '=', num2str( sqrt(DA(i)) ), ';'] ); % СКО

end

eval( ['Sa', num2str(n), '=', num2str( sqrt(DA(n+1)) ), ';'] ); % СКО an

% Создание переменных, содержащих значения мат. ожиданий и СКО % коэффициентов правой части д.у. for j = 1 : m+1

eval( ['Mb', num2str(j-1), '=', num2str(MB(j)), ';'] );

eval( ['Sb', num2str(j-1), '=', num2str( sqrt(DB(j)) ), ';'] ); % СКО

end

% Формирование маски случайных

% коэффициентов левой части исходного д.у. (вектор RAM): % RAM(1) соответствует коэф-ту a0, % RAM(2) - коэф-ту a1, ... % RAM(n+1) - коэф-ту an.

% Элемент маски RAM, соответствующий случайному % коэф-ту, имеет значение 1, неслучайному - 0. % Маска RAM позволяет избежать ненужных вычислений, % если не все коэф-ты исходного д.у. являются случайными. RAM = zeros(1, n+1); for i = 1 : n if DA(i)

RAM(i) = 1;

end

end

% добавили для an if DA(n+1)

RAM(n+1) = 1;

end

% RAM % контрольная печать

if v

disp( 'Анализ стохастической системы' ); disp( ['(', num2str(npr), '-е приближение,'] ) ;

disp( ['удерживается ', num2str(fsize), ' чл. разл-я по ОНБ)'] );

end

% Проверка наличия матриц NS6 и NS7 в кэше

% если какой то из указанных матриц нет в кэше, то сформировать % вспомогательную матрицу NS5S, которая используются далее для % формирования NS6 и NS7

sfname1 = ['.\Cache\', sprintf('NS_S6M_s3_%02d%02d%02d_', n, m, num)]; szRAM = size(RAM, 2); strRAM = zeros(1, szRAM); for iRAM = 1:szRAM

strRAM(iRAM) = num2str( RAM(iRAM) );

end

sfname1 = [sfname1, strRAM, '.mat'];

sfname2 = ['.\Cache\', sprintf('NS_S7M_s3_%02d%02d%02d_', n, m, num)]; sfname2 = [sfname2, strRAM, '.mat'];

if (exist(sfname1, 'file') ~= 2) || (exist(sfname2, 'file') ~= 2) if v

disp( 'Формирование вспомогательной матрицы NS5S');

end

% ############## формирование символьной матрицы NS5S ###########

% формирование клеточной вектор-строки S2S, содержащей символьные % представления коэфф-тов левой части дифф. ур-ния; sz3 = sum(RAM); % кол-во элементов в матрице S2S S2S = cell(1, sz3); i1 = 1;

for i = 0 : n-1

if RAM(i+1)

S2S{i1} = sym( ['a', num2str(i)] ); i1 = i1 + 1;

end

end

% добавили случайную составляющую an (случ. отклонение от средн. знач.) if RAM(n+1)

S2S{i1} = sym( ['a', num2str(n)] );

end

% вычисление символьных слагаемых матричной суммы, составляющей

% стох. матричный оператор

NS5S = cell(1, num); % второй элемент

% двухэлементных слагаемых суммы по nu

i2 = 1;

for nu = 0 : num

% возведение многочлена, слагаемые которого являются % элементами клеточной матрицы (вектор-строка) S2S (символьная), % в степень nu; данная матрица содержат sz3 элементов if nu == 0

S4S = { sym('1') }; elseif nu == 1

S4S = S2S; else

S3S = S2S;

sz = sz3;

for j3 = 1 : nu-1

S4S = cell(1, sz*sz3); i1 = 1;

for j1 = 1 : sz3 for j2 = 1 : sz

S4S{i1} = S3S{j2} * S2S{j1}; i1 = i1 + 1;

end

end

S3S = S4S; sz = sz * sz3;

end

end

% результат возведения многочлена в степень - клеточная % матрица S4S (символьная), содержащая sz3Anu элементов;

sz4 = size(S4S, 2); % \-% умножить на сумму по j: / bj*(PA(n-j))' MS4S = cell(1, sz4); % временная матрица for j = 0 : m

for i3 = 1 : sz4

MS4S{i3} = S4S{i3} * sym( ['b', num2str(j)] );

end

if j == 0

S5S = MS4S; % выполняется однократно при % первом входе в цикл по j

else

sz5 = size(S5S, 2);

S5S = { S5S{1:sz5}, MS4S{1:sz4} };

end

end

NS5S{i2}

= S5S; % запомнили

% nu-й член суммы

i2 = i2 + 1;

end

clear MS4S

% результат - матрица NS5S (символьная);

% эта клеточная вектор-строка содержит слагаемые матричной

% суммы по nu, составляющей стох. матричный оператор % ######################################################################

end

if v

disp( '----------------------------------------------------------------')

disp('1. Вычисление осредненной СХ системы и мат. ож. вых. сигнала');

end

% вычисление мат. ожидания стох. матричного оператора

% раскрытие стох. моментов в символьной форме szn5 = num + 1; % кол-во слагаемых в сумме по nu if exist(sfname1, 'file') == 2

load(sfname1); % загрузить NS6 из файла else

% вычислить NS6 заново if v

disp(' 1.1. Начало вычисления матрицы NS6');

end

NS6 = cell(1, szn5); for i2 = 1 : szn5

S5S = NS5S{i2}; % очередное слагаемое по nu sz5 = size(S5S, 2); % кол-во членов в этом слагаемом i1 = 1; % счетчик ненулевых моментов в этом слагаемом iz = 0; % счетчик нулевых моментов в этом слагаемом

% (для печати статистики) NS6{i2} = cell(0, 0); % т.к. кол-во строк в NS6{i2}, а значит

% и ее размер заранее неизвестны

% NS6{i2} - это S6 в предыдущих версиях программы

for i = 1 : sz5

% запоминание выражений для ненулевых моментов result = presmd v(S5S{i}); if result(1) ~="'0'

NS6{i2}{i1,1} = i; NS6{i2}{i1,2} = result; if v

disp(['(nu=', num2str(i2), ') ', ...

' Раскрыт ', num2str(i1),'-й ненулевой момент: ', ... 'i=', num2str(i), ' ', NS6{i2}{i1,2}]);

end

i1 = i1 + 1; else

iz = iz + 1; % подсчет нулевых моментов для печати статистики

end

end

if v >= 1

disp('---------------------------------------------------------');

disp(['(nu=', num2str(i2), ') Раскрыто ', num2str(i1-1), ...

' моментов. Пропущено ', num2str(iz), ' моментов.'] ); disp(' ');

end

end if v

disp(' 1.2.Сохранение матрицы NS6 в файле');

end

if exist('.\Cache','dir') == 0 % каталога ".\Cache" нет

mkdir('.\Cache'); % создать заново

end

save(sfname1, 'NS6'); % сохранить NS6 в файле

end

% вычисление nu-го слагаемого матричного ряда if v

tic % секундомер старт

end

% ###################### расчет числовой матрицы NS5 ######################

% формирование клеточной вектор-строки S2, содержащей числовые % матрицы

о о

% вычисление матрицы AX0 S = Z;

for i = 0 : n-1

S = S + MA(i+1)*(PA(n-i))';

end

AX = S;

AX0 = inv(I*MA(n+1) + AX); % домножили I на мат. ожидание коэф-та an

о о

sz3 = sum(RAM); % кол-во элементов в матрице S2 S2 = cell(1, sz3); i1 = 1;

for i = 0 : n-1 if RAM(i+1)

S2{i1} = (PA(n-i))' * AX0; i1 = i1 + 1;

end

end

% добавили I*AX0 (т.к. (PA(n-n))' = I); т.о., S2S{i1}*S2{i1} дает an*I*AX0 if RAM(n+1)

S2{i1} = I * AX0;

end

% вычисление числовых слагаемых матричной суммы, составляющей % стох. матричный оператор

NS5 = cell(1, num); % первый элемент двухэлементных слагаемых суммы по nu i2 = 1;

for nu = 0 : num

% возведение многочлена, слагаемые которого являются % элементами клеточной матрицы (вектор-строка) S2 (числовая), % в степень nu; данная матрица содержит sz3 элементов if nu == 0

S4 = { I }; elseif nu == 1

S4 = S2; else

S3 = S2;

sz = sz3;

for j3 = 1 : nu-1

S4 = cell(1, sz*sz3); i1 = 1;

for j1 = 1 : sz3 for j2 = 1 : sz

S4{i1} = S3{j2} * S2{j1}; i1 = i1 + 1;

end

end

S3 = S4;

sz = sz * sz3;

end

end

% результат возведения многочленов в степень - клеточная % матрицы S4 (числовая), содержащая по sz3Anu элементов;

% домножить результат на (-1)Anu sz4 = size(S4, 2); for i3 = 1 : sz4

S4{i3} = (-1)Anu * S4{i3};

end

% \-% умножить на сумму по j: / bj*(PA(n-j))' MS4 = cell(1, sz4); % временная матрица for j = 0 : m

for i3 = 1 : sz4

MS4{i3} = S4{i3} * (pA(n-j))';

end

if j == 0

S5 = MS4; % выполняется однократно при первом входе в цикл по j else

sz5 = size(S5, 2);

S5 = { S5{1:sz5}, MS4{1:sz4} };

end

end

NS5{i2} = S5; % запомнили nu-й член суммы

i2 = i2 + 1;

end

clear MS4

% результат - матрица NS5 (числовая);

% эта клеточная вектор-строка содержит слагаемые матричной

% суммы по nu, составляющей стох. матричный оператор % #########################################################################

NSM = cell(1, szn5); for i2 = 1 : szn5

if ~isempty(NS6{i2})

S6 = NS6{i2}; S5 = NS5{i2};

sz6 = size(S6, 1); % кол-во ненулевых членов в этом слагаемом

% (кол-во строк в S6)

S = Z;

for i = 1 : sz6

S = S + eval( S6{i,2} ) * S5{ S6{i,1} };

end

NSM{i2} = S; % nu-е слагаемое else

NSM{i2} = Z; % nu-е слагаемое - нулевая матрица

end

end

% вычисление СХ мат. ож. стох. матр. оператора % (осредненная СХ системы) в заданном приближении npr % sz npr = num; % кол-во членов ряда в приближении npr (num=npr+1) sz npr = npr + 1; % кол-во членов ряда в приближении npr (npr+1) S = Z;

for i2 = 1 : sz npr S = S + NSM{i2};

AS = АХ0 * S; % СХ мат. ожидания стох. матричного оператора в приближении прг

% вычисление мат. ожидания вых. сигнала Мх^)

CMY = fwht(MY); % СХ мат. ож. входного сигнала

СМХ = AS * CMY; % СХ мат. ож. выходного сигнала МХ = iwht(CMX);

if v

et = toc; % секундомер стоп

disp( ['Мат. ож. вычислено за ', num2str(et), ' c'] );

end

if err

% оценка ошибки вычисления Mx(t) по разности приближений npr и npr+1

sz num = num + 1; % кол-во членов ряда в приближении num EcMx = AX0 * NSM{sz_num} * CMY; % СХ ошибки

CMX num = CMX + ECMX; % СХ мат. ожидания в приближении num

if mod(npr, 2) % npr нечетное? % да - оценка возможна

EMX = iwht(ECMX); % ошибка вычисления Mx(t)

mEMX = max(abs(EMX));

perrMX = mEMX * 100 / max(abs(MX));

if v

disp(['Абсолютная ошибка вычисления Mx(t) не хуже ', num2str(mEMX)] ); disp(['Погрешность вычисления Mx(t)не больше ',num2str(perrMX),'%'] ); end else

% нет - оценка ошибки вычисления Mx(t) по разности приближений % npr и npr+1 при четном npr не имеет смысла, т.к. (npr+1)-е (нечетное) % приближение не увеличивает точность (оно в точности равно % приближению npr)

disp( 'Оценка погрешности вычисления Mx(t) для ' ); disp( 'четного приближения невозможна.' );

disp( 'Для оценки погрешности в этом случае можно повторно вызвать' ); disp( 'функцию statan s3, изменив следующие параметры:' ); disp( ' npr -> npr+1 v -> 0 cRxx -> 0' );

perrMX = 0;

end else

perrMX = 0; % оценка не выполнялась

end

if сИхх % вычислить ИХХ; если сИхх=0, то работа функции здесь завершается

if V

disp( '-------------------------------------------------------------');

disp( '2. Вычисление автокорр. ф-ции вых. сигнала ' );

end

% вычисление стох. моментов произведений коэф-тов

% стох. матричного оператора (клеточная вектор-строка NS7)

szn5 2 = 2 * szn5 - 1; % кол-во групп слагаемых в ряде-произведении,

% упорядоченном по Коши

if exist(sfname2, 'file') == 2

load(sfname2); % загрузить NS7 из файла else

% вычислить NS7 заново if v

disp(' 2.1. Начало вычисления матрицы S7');

end

о о

% ---- иниц-я переменных для блока счетчика %% выполнения ----

sz5 = 0;

for i2 = 1 : szn5

sz5 = sz5 + size(NS5S{i2}, 2);

end

sz5 2 = sz5*sz5; % кол-во моментов произведений коэф-тов, % которорые надо раскрыть

pro prn = 1.; % шаг печати процентов выполнения ic = 0; p5 = (sz5 2/100.)*pro prn; % параметры счетчика i = 0; % счетчик вычисленных моментов (для печати %) iz = 0; % счетчик нулевых моментов (для печати статистики) % -------- конец инициализации переменных счетчика %% --------

NS7 = cell(1, szn5 2); % выделить место для NS7 for i3 = 1 : szn5 2

NS7{i3} = cell(0, 0); % инициализировать элементы NS7

end

% NS7{i3} - это S7 в предудущих версиях программы

I1 = ones(1, szn5 2); % массив счетчиков ненулевых моментов в каждом % члене ряда-произведения, упорядоченного по Коши

% начало блока перемножения членов рядов по nu

% (в первом члене-сомножителе sz51 элементов, во втором - sz52) for i1 = 1 : szn5

S5S1 = NS5S{i1}; % первый ряд-сомножитель sz51 = size(S5S1, 2); % кол-во членов в этом ряду for i2 = 1 : szn5

S5S2 = NS5S{i2}; % второй ряд-сомножитель sz52 = size(S5S2, 2); % кол-во членов в этом ряду i3 = i1 + i2 - 1; % индекс члена ряда-произведения

% начало блока перемножения элементов членов рядов по nu % и осреднения результатов for j1 = 1 : sz51 for j2 = 1 : sz52

% запоминание выражений для ненулевых моментов result = presmd_v(S5S1{j1} * S5S2{j2}); if result(1) ~= '0' NS7{i3}{I1(i3),1} NS7{i3}{I1(i3),3} NS7{i3}{I1(i3),5} if v == 1

disp(['i3=', num2str(i3), ...

' Раскрыт ', num2str(I1(i3)),'-й ненулевой момент: ',

'j1=', num2str(j1), ' j2=', num2str(j2), ... ' ', NS7{i3}{I1(i3),5}]);

end

I1(i3) = I1(i3) + 1; % т.к. возможно, напр., что i3=2 % как при i1=1,i2=2 % так и при i1=2,i2=1 ,

% поэтому приходится использовать массив I1, % а не переменную i1, как делалось раньше else

iz = iz + 1;%подсчет нулевых моментов для печати статистики end

% ------ начало блока счетчика %% выполнения ------

i = i + 1; ic = ic + 1; if ic >= p5 if v >= 1

disp(['Обработано ', num2str( fix(i * 100.0/sz5 2) ), ...

= i1; NS7{i3}{I1(i3),2} = i2; = j1; NS7{i3}{I1(i3),4} = j2; = result;

'% из ', num2str(sz5 2), ...

', т.е. ', num2str(i), ' моментов. Выявлено ', ... num2str(iz), ' нулевых моментов']);

end

ic = 0;

end

% ------ конец блока счетчика %% выполнения -------

end end

% конец блока перемножения элементов членов рядов по nu % и осреднения результатов

end

end

% конец блока перемножения членов рядов по nu if v

disp(' 2.2. Сохранение матрицы NS7 в файле');

end

if exist('.\Cache','dir') == 0 % каталога ".\Cache" нет mkdir('.\Cache'); % создать заново

end

save(sfname2, 'NS7'); % сохранить NS7 в файле

end

% СХ второго начального момента входного сигнала CTYY if v

tic % секундомер старт

end

CRYY = fwht2(RYY);

CTYY = CRYY + CMY * CMY';

if err

% вычисление отдельных слагаемых ряда-произведения по nu NSR num = cell(1, szn5 2); % матрица для хранения слагаемых

end

% num-го приближения

NSR npr = cell(1, szn5 2); % матрица для хранения слагаемых % npr-го приближения for i3 = 1 : szn5 2

if ~isempty(NS7{i3})

S7 = NS7{i3}; % отдельный член ряда-произведения

sz7 = size(S7, 1); % кол-во ненулевых слагаемых в этом

% члене (кол-во строк в S7)

S1 = Z; S2 = Z;

for i = 1 : sz7

V = eval( S7{i,5} ) * NS5{ S7{i,1} }{ S7{i,3} } * ...

CTYY * NS5{ S7{i,2} }{ S7{i,4} }'; S1 = S1 + V;

% if ( S7{i,1} | S7{i,2} ) <= sz_npr