Группы подстановок с конечными параметрами рассеивания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Тарасов, Юрий Сергеевич

• Тарасов, Юрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Тарасов, Юрий Сергеевич

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 Нормальные замыкания инволюций в группе Ыт(М)

1.1. Определения. Используемые результаты

1.2. Основная теорема. Предварительные леммы

1.3. Завершение доказательства теоремы

2 Вложения элементов в группе 0{вр(М)

2.1. Основные понятия. Группа Я

2.2. Связь между 0{вр(М) и В1вр^)

2.3. Факторизации

3 Порождающие групп 0{вр(М)

3.1. Подстановки с параметром рассеивания 1

3.2. Разложение цикла

3.3. Доказательство теоремы 3.2

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы подстановок с конечными параметрами рассеивания»

ВВЕДЕНИЕ

По теореме Кэли любая группа изоморфна некоторой группе подстановок. Одним из направлений исследования бесконечных групп подстановок является наложение на подстановки "условий конечности". Наиболее известное из этих условий - финитарность подстановок.

Пусть S(М) - группа всех подстановок непустого множества М. Подстановка д € Б(М) называется финитарной, если её носитель {А|А € М, А9 = А} конечен. Множество Пи(М) всех финитарных подстановок множества М образует нормальную в Б(М) локально конечную подгруппу. Любая подгруппа из Пи(М) называется группой финитарных подстановок. Эти группы изучались многими авторами. Приведём несколько результатов.

И. Д. Адо [1] показала, что группа финитарных подстановок с условием минимальности для подгрупп конечна. В частности, Пи(М) не содержит квазициклических подгрупп Ср~ для любого простого р. Д. А. Супру-ненко [7,8] открыл ряд специфических свойств локально нильпотентных групп финитарных подстановок и поставил вопрос о строении локально конечных групп, изоморфно вложимых в группы Пи(М). Из работ П. Ноймана [16], Д. Уигольда [17] и Ф. Холла [15] следует, что счетная финитарно аппроксимируемая группа X имеет точное финитарное подстановочное представление тогда и только тогда, когда X - локально нормальная группа.

В работе В. В. Беляева [2] доказано, что простая локально конечная группа имеет точное финитарное подстановочное представление тогда и только тогда, когда любая её финитно аппроксимируемая подгруппа

локально нормальна. Аналогичный результат для полупростых локально конечных групп получен В.В. Беляевым и Д.А. Шведом [3].

В дальнейшем предполагаем, что М либо множество целых чисел 2, либо множество натуральных чисел N. В работе Н.М. Сучкова [10] подстановка д € Б(М) названа ограниченной, если

и)(д) = тах |а — а91 < то.

а€М

Множество Ыт(М) всех таких подстановок образует группу, которая является естественным расширением группы Пи(М). В работе [9] впервые был построен пример смешанной группы С = АВ, где А, В - периодические (и даже локально конечные) подгруппы, а в [10,11] установлено, что С = (Ь\Н € Ыт(2), < то), любая счетная свободная группа и 2-группа Алёшина изоморфно вложимы в С. При этом Ыт(2) = С X (б), где б -сдвиг, а3 = а + 1 для любого а € 2.

Факторизация всей смешанной группы Ыт(N) двумя локально конечными подгруппами доказана в [12]. Там же установлено, что группа Ыт(М) порождается подстановками х € Б(М), для которых параметр ограниченности ,ш(х) = 1. Эти порождающие являются либо инволюциями, в разложении которых на независимые циклы участвуют только транспозиции вида (а а + 1), а € М, либо М = 2 и х € {б,б-1}. В работах [13,14] начато изучение нормального строения группы Ыт(N). Получено описание локально конечного радикала этой группы.

В работе [18] для любой подстановки д € Б(М) определен её параметр рассеивания А(д) следующим образом. Для каждого а € М обозначим

Ма(д) = {в|в € М,в ^ а < в9}, Ьа(д) = {в|в € М,в9 ^ а< в}.

Полагаем теперь

г(д) = тах 1Ма(д)1, з(д) = тах 1Ьа(д)1, А(д) = max(t(g), в(д))/.

а€М а€М

Множество Disp(M) = {g|g £ S(M), A(g) < то} образует группу. Из легко проверяемого неравенства A(g) ^ w(g) следует, что Lim(M) - подгруппа группы Disp(M). При этом подстановки группы Disp(M) уже не связаны с расстоянием между точками и их образами, а связаны лишь с естественным упорядочением множества M. Если, например, x = (34)(58)...(2n + 12n+1)..., то A(x) = 1, w(x) = то, а значит, x £ Disp(M), x £ Lim(M). Поэтому группа Disp(M) существенно шире группы Lim(M).

В этой же работе подстановка g £ S(Z) названа равномерной, если |Ma(g)| = |La(g)| < то при любом а £ Z. Множество R всех таких подстановок образует группу.

Настоящая диссертация посвящена изучению групп Lim(N) и Disp(M). Получены следующие основные результаты:

1. Изучены нормальные замыкания в группе Lim(N) подстановок g с параметром ограниченности w(g) = 1.

2. Доказано, что в группах Disp(N) и Disp(Z) П R любое конечное множество элементов содержится в подгруппе вида Q = AB, где A, B -локально финитно аппроксимируемые подгруппы из Q.

3. Найдена связь между группами Disp(Z) и Disp(N).

4. Доказано, что группы Disp(M) порождаются подстановками g множества M с параметром рассеивания A(g) = 1. Дано описание этих порождающих.

Теперь подробно о содержании диссертации. Она состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация формул, определений, лемм, предложений, теорем сквозная в пре-

делах каждой главы и имеет вид п.т, где п - номер текущей главы. Все обозначения либо стандартны [4,5], либо оговариваются.

В §1.1 Главы 1 приводятся определения и известные факты, используемые в дальнейшем. Для понимания точной формулировки основного результата этой главы (теорема 1.1) нам потребуется понятие (вполне) рассеянного подмножества множества N, введеного в работе [13]. Пусть

Ь = {Дх, Д2, ..., Ди, ... }-

бесконечное подмножество множества N, где дх < д2 < ... < ди < ...; т -фиксированное натуральное число. По определению элементы щ, ^ множества Ь эквивалентны, если либо г = ], либо г < ] (^ < г) и выполняются все неравенства дк+1 — дк ^ т; г ^ к ^ ] — 1 ^ к ^ г — 1). Это отношение эквивалентности индуцирует разбиение Ь на классы эквивалентности. Пусть Вт(Ь) - множество всех этих классов.

Определение 1.3. Множество Ь называется т - рассеянным, если все классы множества Вт(Ь) конечны и вполне т - рассеянным, если

тах |А| < то.

АеБт(Ь)

Множество Ь называется (вполне) рассеянным, если оно (вполне) т - рассеянное при любом натуральном т.

Пусть для элементов множества Ь выполняются неравенства ди + 1 < ди+1 (п = 1, 2,...). Рассмотрим инволюцию

а = (дх Дх + 1)...(Ди Ди + 1)...

группы Ьгт(N). Очевидно, /ш(а) = 1. В [13] доказано, что нормальное замыкание инволюции а в группе Ьгт(N) тогда и только тогда локально конечно, когда Ь - вполне рассеянное множество.

Теорема 1.1. Нормальное замыкание Т инволюции а в группе Ьгт(N) тогда и только тогда является собственной подгруппой группы

Lim(N), когда L - рассеянное множество. Если L - рассеянное, но не вполне рассеянное множество, то T - смешанная группа.

Данная теорема доказывает одну из гипотез о нормальных замыканиях элементов группы Lim(N) [13]. Доказательство теоремы 1.1. начато §1.2 и закончено в §1.3.

Результаты главы 1 получены автором лично и опубликованы в работе [21].

В главе 2 начато изучение групп Disp(M). В §2.1, 2.2 доказано, что множество R всех равномерных подстановок множества Z образуют группу и устанавливают связь между группами G = Disp(N) и H = Disp(Z). Предполагая, что подстановки группы G действуют тождественно на множестве Z\N, мы получим естественное вложение G < H. Через t обозначена подстановка группы S(Z), для которой at = —а (а £ Z).

Теорема 2.1. H П R = Fin(Z) • (G х Gt).

Теорема 2.2. H = (H П R) X <d>.

Группа X называется локально финитно аппроксимируемой, если каждая её конечно порожденная подгруппа изоморфно вложима в декартово произведение конечных групп. Основным результатом §2.3 является

Теорема 2.3. В группах G и H П R любое конечное подмножество содержится в группе вида Q = AB, где A, B - локально финитно аппроксимируемые подгруппы из Q.

Доказательство этой теоремы конструктивное и даёт ясное представление элементов конечно порожденных подгрупп из G и H П R.

Теорема 2.2 и теорема 2.3 для групп H П R доказаны автором лично; теорема 2.1 доказана в нераздельном соавторстве с А.А. Маньковым, а теорема 2.3 для группы G - в нераздельном соавторстве с Н.М. Сучковым. Результаты главы 2 опубликованы в работах [18, 19].

В §3.1 Главы 3 изучены подстановки д множества М с параметром рассеивания А(д) = 1. Основным результатом этой главы является

Теорема 3.1. Группа Вгвр(М) порождается подстановками д множества М, для которых параметр рассеивания А(д) = 1.

Для случая М = N получено некоторое усиление этой теоремы.

Теорема 3.2. Группа В1вр(^) порождается подстановками множества N, которые имеют параметры рассевания 1 и разлагаются в произведение конечных независимых циклов.

Следствием этой теоремы и теорем 2.1, 2.2 является

Теорема 3.3. Группа Вг1вр(2) порождается подстановками д,дг (д € О, А(д) = 1) и сдвигом б.

Теоремы 3.1-3.3 доказаны автором лично. Леммы 3.1-3.5 из §3.1 доказаны в нераздельном соавторстве с Н.М. Сучковым. Результаты главы 3 опубликованы в работе [20].

Результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер.

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [18]-[25] и включают статьи [18]-[21] в изданиях из перечня ВАК. Они докладывались на Красноярском алгебраическом семинаре при СФУ и на международных конференциях "Алгебра и геометрия"(Екатеринбург, 2011), "Алгебра и линейная оптимизация"(Екатеринбург, 2012), "XI Школа-конференция по теории групп, посвященная 70-летию А.Ю. Оль-шанскому"(Красноярск, 2016).

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Н.М. Сучкову за постановку задач и внимание к работе.

Глава 1

Нормальные замыкания инволюций в группе Ьгт^)

Главным результатом этой главы является теорема 1.1, которая доказывает гипотезу из работ [13] о нормальных замыканиях инволюций а с параметром и>(а) = 1 в группе Ьгт(^). Теорема 1.1 сформулирована в начале §1.2 после необходимых определений. Там же начато её доказательство, которое завершается в §1.3

1.1. Определения. Используемые результаты

Пусть дано непустое множество О, элементы которого будем называть точками. Отображение д : О ^ О называется подстанновкой множества О если О9 = О и а9 = в9 для различных точек а, в £ О. Обозначим через Б(О) совокупность всех подстановок множества О. В качестве умножения на S(О) берется последовательное выполнение отображений, т.е. если д,к £ S(О), а £ О, то а9Н = (а9Относительно этой операции S(О)-группа. Любая подгруппа О этой группы называется группой подстановок множества О. Подстановка

к = (ах а2 ...ато)

из О, для которой а*1 = а2, ..., а"т_ 1 = ат , а"т = Н1 и вп = в для каждой точки в из разности О \ {а1, ...,ат} называется конечным циклом длины т. Цикл длины 2 называется транспозицией. Бесконечным циклом

д = (... а—п ... а—1 ао а1... а,п ...)

называется такая подстановка из Б (О), для которой а9д = а^+1 для любого целого ], а на множестве О \ {а^ € 2} подстановка д действует тождественно.

Если t € Б (О), то О можно разбить на такие попарно непересекающиеся подмножества О к (к € К), что на каждом из них t индуцирует цикл tk. Подстановка t записывается в виде произведения в любом порядке этих циклов tk (разложение подстановки t на независимые циклы). Если |К | < то, то это обычное произведение циклов. Подстановка t € Б (О) тогда и только тогда имеет конечный порядок, когда в её разложении на независимые циклы отсутствуют бесконечные циклы, а длины конечных циклов ограничены. В этом случае есть наименьшее общее кратное длин её циклов.

Предложение 1.1. ([5], стр 35). Пусть

д = ... (...У1У2....) ...—

разложение подстановки д € Б (О) на независимые циклы. Тогда

Н—1дН = ... (...у^ ...)...

для любой подстановки Н € Б (О).

Если |О| = п, то Б (О) называется симметрической группой степени п и обозначается Бп. Множество Ап всех четных подстановок из Бп, т.е. подстановок, представимых произведением четного числа транспозиций, является подгруппой индекса 2 группы Бп и называется знакопеременной группой степени п. Следующее утверждение доказано Э. Галуа.

Предложение 1.2.([5], стр. 115). An - простая неабелева группа при n ^ 5.

Определение 1.1. Пусть |П| = то. Подстановка g £ S(П) называется финитарной, если множество {а|а £ П,а9 = а} конечно.

Очевидно, множество Fin(n) всех финитарных подстановок множества П образует локально конечную нормальную в группе S(П) подгруппу. Путь П = N - множество всех натуральных чисел, Tn = {g|g £ S(N),а9 = а при а > n}. Ясно, что Tn изоморфна группе Sn и Fin(N) есть объединение возрастающей цепочки подгрупп

Ti <T2 < ...Tn < ....

Из предложения 1.2 следует

Предложение 1.3. Группа Fin(N) содержит единственную собственную неединичную нормальную подгруппу, состоящую из всех четных подстановок.

Предложение 1.4. ([13], лемма 7). Пусть {а1? ..., ак} - подмножество множестсва N и + 1 < а^+1, 1 ^ i ^ k — 1. Если

b = (а1 а1 + 1)(а2 а2 + 1)... (ак ак + 1) —

разложение инволютивной подстановки b £ Fin(N) на независимые транспозиции,

u = (а1а2 ... ак—1ак ак + 1 ак—1 + 1... а2 + 1 а1 + 1) —

цикл, то подстановка bbu имеет порядок k.

Определение 1.2. Подстановка g £ S(N) называется ограниченной,

если

w(g) = max |а — а91 < то.

a£N

Если g, h - ограниченные подстановки, то таковыми являются подстановки g-1 и gh, так как w(g—1) = w(g), w(gh) ^ w(g) + w(h). Поэтому

множество

Ь%т(Ы) = {ж|ж € Б(Ы), 'ш(х) < то}

образуют группу, которая является естественным расширением группы Пт(Ы). Заметим, что группа Ыт(Ы) является смешанной. Действительно, пусть

г = (... 2к ...42 1 3 ... 2к — 1...) —

бесконечный цикл. Так как гш(х) = 2, то гш € Ьгт(Ы). Пусть

Ь = {¡1,12, ..., ¡п, ...} —

бесконечное подмножество множества N, где ¡1 < ¡2 < ... < ¡п < ...; т - фиксированное натуральное число. По определению элементы щ и эквивалентны, если либо г = ], либо г < ] (^ < г) и выполняются все неравенства 1к+1 — 1к ^ т; % ^ к ^ ] — 1 (^ ^ к ^ % — 1). Нетрудно понять, что данное отношение действительно является отношением эквивалентности, а значит, оно индуцирует разбиение множества Ь на классы эквивалентности. Это разбиение называется т - разбиением. Пусть Вт(Ь) - множество всех классов эквивалентности элементов множества Ь.

Определение 1.3. Множество Ь называется т - рассеянным, если все классы множества Вт(Ь) конечны и вполне т - рассеянным если

ст = тах |А| < то. ЛеБт(Ь)

Множество Ь называется (вполне) рассеянным, если оно (вполне) т - рассеянное при любом натуральном т.

Примером вполне рассеяннного множества служит любое множество Ь, для элементов которого выполняется неравенства

¡2 — ¡1 < ¡3 — ¡2 < ... < 1п — 1п—1 < 1п+1 — 1п < ....

Пусть к £ N и

Ьк = {2к, 2к + 1, ..., 2к + к}.

Нетрудно понять, что

Ь = у Ьк

кем

является рассеянным, но не вполне рассеянным множеством.

Если т - фиксированное натуральное число, то множество Ь = {кт|к £ N} не является рассеянным, так как Вт(Ь) = {Ь}.

1.2. Основная теорема. Предварительные леммы

Пусть Ь = {дх, д2, ..., ди, ...} - подмножество множества N, для элементов которого выполняется неравенства дп + 1 < ди+х (п = 1, 2,...). Рассмотрим инволюцию

а = (дх дх + 1)(д2 Д2 + 1)...(Дп Дп + 1)...

Группы Ыт^). Очевидно, ,ш(а) = 1. В [12] установлено, что такие инволюции порождают группу Ьгт(N). В работе [13] начато изучение нормального строения группы Ьгт(N). В частности, доказано, что нормальное замыкание инволюции а в группе Ьгт(N) тогда и только тогда локально конечно, когда Ь - вполне рассеяное множество. Там же приведены гипотезы о нормальных замыканиях элементов группы Ьгт(N).

Основной результат настоящей главы доказывает одну из этих гипотез, а именно, установлена следующая

Теорема 1.1. Нормальное замыкание Т инволюции а в группе Ьгт(N) тогда и только тогда является собственной подгруппой группы Ьгт(N), когда Ь - рассеянное множество. Если Ь - рассеянное, но не вполне рассеянное множество, то Т - смешанная группа.

Приступим к доказательству данной теоремы. Начнем с определения. Пусть - целые числа и 7 ^ е. Множество

Щ = {в|в £ ^ в < е}

будем называть отрезком целых чисел; 7 - левый конец отрезка, е - правый. В частности, Щ = {7}.

Для каждых т £ N, а £ Ь положим

утт = иа+т п N,Em = у у?.

а£Ь

Лемма 1.1. Если множество Ь рассеянное, то множество Ет является 1-рассеянным при любом натуральном т.

Доказательство. Если лемма неверна, то найдутся такие натуральные числа т и 7, что 1-разбиение множества Ет содержит бесконечный класс Ц = {в|в £ N, в ^ 7}. Пусть Д, > 7, тогда объединение ут и У^ включает в себя отрезок целых чисел с концами Д,, Д,+х. Следовательно, 2т - разбиение множества Ь содержит бесконечный класс эквивалентности с представителем Д,. Получили противоречие с рассеянностью множества Ь. Лемма доказана.

Обозначим для краткости О = Ьгт(N) и для каждого рассеянного множества Ь определим подгруппу Q = Q(Ь). В силу леммы 1.1 каждое множество Ет разбивается на отрезки

Wm1, Wm2, ..., Wmn, ...

натуральных чисел и при этом если втп - правый конец отрезка Wmn, а атп+х - левый конец отрезка Wmn+l, то атп+х > втп + 1(п = 1, 2,...); каждый отрезок Wmn содержится в некотором отрезке Wm+1Полагаем

Qm = {х|х £ О; wmn = ^^тп(п = 1, 2,...); вх = в (в £ N \ Ет)}.

Очевидно, Qm является подгруппой группы С и Qm ^ Qm+1, т = 1, 2,.... Пусть, наконец,

Q = Q(L) = У Qm

тем

Лемма 1.2. Q - собственная нормальная в группе С подгруппа. Доказательство. Пусть 1 = К € Q; д € С и гш(д) = к. Из определения группы Q следует, что найдется такое натуральное т, что элемент К содержится в подгруппе Qm. Мы утверждаем, что К9 € Qt, где Ь = т+к+1. Действительно, рассмотрим разложение подстановки К на независимые циклы. Поскольку К оставляет на месте отрезки Wmn (п = 1, 2,...) и действует тождественно на числах не содержащихся в этих отрезках, то все эти циклы конечны. Если х = (у1 ...7в) один из этих циклов (й > 1), то у1, ..., уа содержатся в некотором отрезке Wmn, который совпадает с объединением нескольких отрезков

V m V m V m

Л Ид , Л Ид+1, ..., лИв .

Фиксируем любое число множества ..., 7в}. Тогда € Vj'm для некоторого индекса ], д ^ ] ^ е; а поскольку у* = 79 и ^ — у91 ^ /ш(д) = к, то 79 € V* . Далее, отрезок Wmn есть часть отрезка

Vt I \Уг I 1...1 IVt .

В свою очередь, этот отрезок содержится в некотором отрезке Wtd, б € N. Следовательно, все элементы цикла х9 = (у9 ...79) принадлежит Wtd, откуда в силу определения группы Qt выводим, что х9 € Qt и К9 € Qt. Таким образом, Q - нормальная подгруппа группы С.

Остается показать, что Q - собственная подгруппа группы С. В самом деле, по ходу доказательства мы убедились, что любая подстановка подгруппы Q разлагается на конечные независимые циклы. Поэтому бесконечный цикл

у = (... 2п ... 4213 ... 2п — 1...)

не содержится в Q, но так как и! (у) = 2, то у £ О. Итак^ = О. Лемма доказана.

Лемма 1.3. Если г - инволюция, а / - тройной цикл знакопеременной группы А4, то ггУгУ2 = 1.

Доказательство. Мы имеем А4 = ((г) х (и)) X (/), где |и| = 2. При этом / транзитивно переставляет инволюции г, и, ги, произведение которых равно 1. Поэтому лемма верна.

Лемма 1.4. Пусть у = (ех е2)(е3 е4)(е5 е6) - разложение подстановки у на независимые транспозиции, / = (е3 е4 е5). Тогда ууУуУ2 = (ех е2).

Доказательство. Элементы г = (е3 е4)(е5 е6), / порождают группу, изоморфную знакопеременной группе А4, все элементы которой перестановочны с транспозицией (ех е2). Поэтому с учетом леммы 1.3 мы имеем

у = (ех е2)г, уУ = (ех е2)гУ, уУ = (ех е2)гУ

ууУу/2 = (ех е2)3ггУгУ = (ех е2).

Лемма доказана.

Лемма 1.5. Пусть

С = (вхвх + 1)(в2в2 + 1)...(впвп + 1)... -

разложение подстановки с группы О на независимые транспозиции. Если выполняются все неравенства

6 ^ вп+х - вп < т (п = 1, 2,...),

где т - некоторое фиксированное натуральное число, то нормальное замыкание В (с) = (с9 ^ £ О) инволюции с в группе О содержит группу Пп(N) всех финитарных подстановок множества N.

Доказательство. Поскольку группа Пп^) совпадает с нормальным замыканием любой своей транспозиции, то для доказательства леммы

достаточно показать, что В (с) содержит транспозицию (в1 в1 + 1) из разложения подстановки с. В самом деле, так как вп+1 — вп ^ 6 при всех натуральных п, то транспозиции из разложения подстановки

I =(в1 в1 +2)(в1 + 1 в1 +3)(@2 в2 + 2)(в2 + 1 в2 + 3)...(вп вп + 2)(вп + 1 вп + 3)...

независимы и при этом и)(1) = 2, в частности, I € С. Поэтому группа В (с) содержит инволюцию се. С помощью предложения 1.1 получаем

С1 = се = (в1 + 2 в1 + 3)(в2 + 2 в2 + 3)...(вп + 2 вп + 3).... Пусть теперь

8 =(в1+2 в2)(в1+3 в2 + 1)(в2+2 вз)(в2 +3 вз + 1)...(вп + 2 вп+1)(вп+3 вп+1 + 1).

По условию леммы в^ — вп ^ т (п = 1, 2,...), следовательно, /ш(:8) < т. Таким образом, с\ € В (с) и мы имеем

с1 = (в2 в2 + 1)(вз вз + 1)...(вп+1 вп+1 + 1)... . Итак, сс\ = (в1 в1 + 1) содержится в В (с). Лемма доказана.

1.3. Завершение доказательства теоремы

Предположим, что Ь - рассеянное множество. Тогда из построения в предыдущем параграфе группы

Q = Q(L) = у Qn

п

и леммы 1.2 следует, что инволюция а принадлежит подгруппе Q1, которая содержится в собственной нормальной в С подгруппе Q.

Обратно, пусть а содержится в собственной номальной в С = Ьгт(Ы) подгруппе. Очевидно, что это равносильно тому, что подгруппа

В (а) = (а9 ^ £ О) является собственной в группе О. Допустим, что множество Ь не является рассеянным. Это означает, что найдется такое натуральное число т0, что множество Вт0(Ь) содержит бесконечный класс А. Тогда если Д7 - наименьшее число множества А, то из определения следует, что Д,+х — Д, ^ т0 при всех г ^ 7. Отсюда выводим, что Вт(Ь) состоит из единственного класса {Ь}, если т > тах(т0, Д7). Фиксируем некоторое такое тх. Итак,

Дп+х — Дп < тх (п = 1, 2,...).

Покажем теперь, что В (а) = О. Тогда мы получим противоречие с нашим предположением В (а) = О и первая часть теоремы будет доказана. Заметим вначале, что в группе В (а) найдется такая подстановка

С = (вх вх + 1)(в2 в2 + 1)...(вп вп + 1)... , что для некоторого натурального т выполняются все неравенства

6 ^ вп+х — вп ^ т (п = 1, 2,...). (1.1)

Действительно, разобъем транспозиции из разложения а на тройки:

а = (Дх Дх + 1)(Д2 Д2 + 1)(Дз Дз + 1)...(Дзк+х Дзк+х + 1)(Дзк+2 Дзк+2 + 1) (Дзк+з Дзк+з + 1)... и положим

г = (Д2 Д2 + 1 Дз)...(Дзк+2 Д3к+2 + 1 Дзк+з)... .

Так как Дп+х — Дп ^ тх, то /ш(г) ^ тх, а значит, г £ О. Следовательно, если с = ааг а^, то с £ В (а) и согласно лемме 1.4

с = (Дх Дх + 1)...(Дзк+х Дзк+х + 1)....

При этом из неравенств 2 ^ Дп+х — Дп ^ тх легко вытекает, что 6 < Дзк+4 — Дзк+х < 3тх = т. Полагая вх = Дх, в2 = Д4, ..., вп = Дзп—2, ..., мы получим, что подстановка с искомая.

Заметим, что из включения с € В (а) немедленно следует, что В (с) ^ В (а), а потому для доказательства первой части теоремы нам достаточно установить равенство В (с) = С. Во введении отмечалось, что группа С порождается инволюциями, в разложении которых на независимые транспозиции участвуют только транспозиции вида (а а + 1). Так как Пп(Ы) < В (с) по лемме 1.5, то для доказательства равенства В (с) = С достаточно показать, чтот если

х = (у1Ъ + 1)...(7п 1п + 1)...,

где уп+1 > уп + 1 (п = 1, 2,...), то х € В (с). Поскольку В (с) содержит любую финитарную подствновку хп = (у1 + 1)...(уп уп + 1), то без ограничения общности можно предполагать, что > вь

Обозначим ЬХ = {уп\п € N} и рассмотрим случай, когда для элементов этого множества выполняются неравенства

Уп+1 — Уп > 5т (п = 1, 2,...). (1.2)

Разобъем множество N \ {1, 2,..., в\} на отрезки целых чисел

А _ ттРз Л — ТТв2п+1 д _ ттР2п+3

Д = ив1 + 1, ..., Дп = и в2 п+1, Дп+1 = ив2п+1 + 1, ....

В силу неравенств (1.1)

\ Дп\ = в2п+1 — в2п—1 = (в2п+1 — в2п) + (в2п — в2п—1) ^ 2т .

Из неравенств (1.2) и > в1 отсюда вытекает, что

Ьх ^ 0 Дп;

пересечение Ап П Ьх при любом п либо пусто, либо содержит не более одного элемента; у^, ^^ не содержаться в соседних отрезках для каждых г = з. Таким образом, найдется такая последовательность з1,з2, ...,зп,..., что ]п+1 — Зп > 1 (п = 1, 2,...) и

ъ € Дп, ъ € Дп, ..., 1п € Д„, .... 19

Определим подстановку ф £ Бследующим образом. Для п = 1, 2,... полагаем

7^ = в23п, в^ = 1п, (7п + 1)* = в23п + 1, (в23п + 1)* = 1п + 1;

7ф = 7, если 7 £ у ({7п,7п + 1} и ^,вцп + 1}).

пвМ

Так как элементы 7п, в23п принадлежат отрезку Ап и |Дп| ^ 2т, то ,ш(ф) < 2т, т.е. ф £ О. В силу предложения 1.1 мы имеем

Х^ =(в2П в2П + 1)...(в2^п въп + 1)....

Пусть теперь

ах, а2, ..., ап, ...

элементы множества {вь ...,вп,...}\{в2^ч, ...,вя?п,...}, расположенные в порядке возрастания. Из вышеизложенного следует, что если а, = вк, то а,+х - элемент множества {вк+х, вк+2}, а потому а,+х — а, ^ вк+2 — вк ^ 2т. Здесь г - любое натуральное число, к = к (г). Отсюда легко выводим, что подстановка

/ = (ах а2 а2 + 1)...(а2п—х а2п а2п + 1)...

является элементом группы О. Применяя леммы 1.3, 1.4 мы получим равенство ссУ сУ 2 = х^, из которого сразу следует что, х £ В (с).

Докажем, наконец, что это включение выполняется в общем случае (без дополнительного предположения, что для элементов множества Ьх выполняются неравенства (1.2)). Для этого фиксируем любое натуральное в > 5т, а подстановку х представим в виде произведения

Х — Х х Х 2 ... Х $ ,

где

Х, = (7,7, + 1)(7г+8Ъ+в + 1)...(7г+ь Ъ+кв + 1)...,

1 ^ i ^ s. Из определения подстановки x следует, что если LXi = {7i+ks|k = 1, 2,...}, то для соседних элементов этого множества выполняется неравенство

Yi+(k+i)s - Yi+ks > s> 5m,

которое совпадает с неравенством (1.2) для соседних элементов множества Lx. Но тогда по доказанному выше Xi Е B(с), 1 ^ i ^ s, а потому x Е B(с). Первая часть теоремы доказана.

Докажем вторую часть. Пусть L - рассеянное, но не вполне рассеянное множество. Нам надо показать, что нормальное замыкание B(а) инволюции а в группе G содержит элемент бесконечного порядка. Действительно, в силу определения для некоторого натурального числа r найдутся такие попарно непересекающиеся подмножества

Ln = {Дап, Дап+1, ... Дви},

n = 1, 2,... множества L, что |Ln| > n и — д ^ r (an ^ i ^ вп — 1). Определим подстановку u множества N её разложением на независимые циклы un(n = 1, 2,...). Полагаем

un = (Дап Дап+1 ... Двп Двп + 1 Двп + 1 Двп-1 + 1 ...Дап+1 + 1 М«п + 1) .

Тогда w(u) ^ r, т.е. u Е G. Согласно предложению 1.4 элемент aau Е B(а) разлагается на независимые циклы, длины которых неограничены, а потому |ааи| = то. Теорема доказана.

Глава 2

Вложения элементов в группе В%8р(М)

В §2.1 настоящей главы дается определение равномерной подстановки множества М. Любая подстановка множества N равномерна. Множество Я всех равномерных подстановок множества 2 является группой. Это доказано в лемме 2.2 .

Связь между группами Огйр^) и Огйр^) установлена в теоремах 2.1, 2.2 из §2.2.

В §2.3 формулируется и доказывается теорема 2.3 о вложении конечных подмножеств групп Огйр^) и Я П Огйр^) в подгруппы специального вида.

2.1. Основные понятия. Группа Я

Пусть N, 2 - множества всех натуральных и целых чисел соответственно. Если М - любое из этих множеств, то через Б(М) обозначена группа всех подстановок множества М.

Для любой подстановки д € Б(М) определим её параметр рассеивания Х(д) следующим образом. Для каждого а € М полагаем

Ма(д) = {в\в € М,в ^ а < в9}, Ьа(д) = {в\в € М,в9 ^ а < в}.

Пусть теперь

t(g) = max\Ма{д)\, s(g) = max\La(g)|, X(g) = max{t{g),s{g)).

aeM aeM

Нетрудно понять, что множество

Disp(M) = {g\g е S(М),X(g) < ж}

образует группу и X(g) ^ w(g) (см. определение 1.2). Отсюда немед-лено следует, что Lim(M) < Disp(M). Заметим, что при этом группа Disp(M) существенно больше группы Lim(M). Например если а\, въ а2, в2, ..., ап, вп,... - строго возрастающая последовательность чисел из M и

Hm (вп - ®п) = ж,

то для подстановки

x = (а1в\)(а2в2)...(апвп)...

выполняются равенства w(x) = ж, X(x) = 1, т.е. x ф Lim(M), x е Disp(M).

Определение 2.1. Подстановка g множества M называется равномерной, если

\Ma(g)\ = \La(g)\ < ж

при любом а е M.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тарасов, Юрий Сергеевич, 2018 год

Список литературы

[1] Адо И.Д. О подгруппах счетной симметрической группы // Доклады АН СССР. - 1945. - Т. 50. - С. 15-17.

[2] Беляев В.В. Локальные характеризации бесконечных знакопеременных групп и групп лиевского типа // Алгебра и логика. - 1992. - Т. 31, №4. - С. 369 - 390.

[3] Беляев В.В., Швед Д.А. Полупростые группы, имеющие точное финитарное подстановочное представление // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2014. - Т. 20, №2. - С. 55-62.

[4] Горенстейн Д. Конечные простые группы. - М.: Мир, 1985.

[5] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.

[6] Созутов А.И., Сучков Н.М., Сучкова Н.Г., Бесконечные группы с инволюциями. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2011.

[7] Супруненко Д.А. О локально нильпотентных подгруппах бесконечной симметрической группы // Докл. АН СССР. - 1996. - Т. 167, №2. - С. 302 - 304.

[8] Супруненко Д.А. Группы матриц. - М.: Наука, 1972.

[9] Сучков Н.М. Пример смешанной группы, факторизуемой двумя периодическими подгруппами // Алгебра и логика. 1984. Т. 23, № 5. -С. 573-577.

[10] Сучков Н.М. О подгруппах произведения локально конечных групп // Алгебра и логика. 1985. Т. 24, № 4. - С. 408-413.

[11] Сучков Н.М. О группе ограниченных перестановок // Сборник научных трудов "Конструкции в алгебре и логике". - Тверь. - 1990. - С. 84-89.

[12] Сучков Н.М., Сучкова Н.Г. О группах ограниченных подстановок // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. - 2010. - Т. 3, №2. - С. 262-266.

[13] Сучков Н.М., Сучкова Н.Г. О нормальных подгруппах групп ограниченных подстановок // Сиб. электрон. матем. изв., - 2015. - Т. 12. - С. 344-353.

[14] Сучков Н.М., Сучкова Н.Г. О локально конечном радикале группы ограниченных подстановок // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2016. - Т. 22, №3. - С. 259-264.

[15] Hall P. Periodic FC - groups // J. London Math. Soc. - 1959. - Vol. 34. -P. 289-304.

[16] Neumann P. The structure of finitary permutation groups // Arch. Math. - 1976. - Vol. 27, № 3. - P. 3-17.

[17] Wiegold J. Groups of finitary permutations // Arch. Math. - 1974. - Vol. 25. - P. 466-469.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[18] Сучков Н.М., Маньков А.А., Тарасов Ю.С. Группы подстановок с конечными параметрами рассеивания // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. - 2012. - Т. 5, № 1. - С. 116-121.

[19] Сучков Н.М., Тарасов Ю.С. О равномерных подстановках с конечными параметрами рассеивания // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2013. - Т. 19, №3. - С. 284-289.

[20] Сучков Н.М., Тарасов Ю.С. О порождающих групп подстановок с конечными параметрами рассеивания // Сибирские электронные математические известия. - 2014, - Т. 11. - С. 345-353.

[21] Tarasov Yuri S On Normal Closures of Involutions in the Group of Limited Permutations // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2016. - Vol. 9, №3. -P. 393-400.

[22] Сучков Н.М., Тарасов Ю.С. О группе подстановок целых чисел с конечными параметрами рассеивания // Тез. докл. международ. конф. "Алгебра и геометрия". Екатеринбург. - 2011. - С. 160.

[23] Сучков Н.М., Тарасов Ю.С. Группы подстановок с конечными параметрами рассеивания // Тез. докл. международ. конф. "Алгебра и линейная оптимизация". Екатеринбург. - 2012. - С. 158.

[24] Тарасов Ю.С. О группах подстановок с конечными параметрами рассеивания // Тез. докл. международ. конференции "Алгебра и логика: теория и приложения, посвященной памяти В.П. Шункова". Красноярск. - 2013.- С.130.

[25] Тарасов Ю.С. О Нормальном замыкании инволюций в группе ограниченных подстановок // Тез. докл. международ. конф. по теории групп, посвященной 70-летию А.Ю. Ольшанского. Красноярск. - 2016. - С. 59-60.