Гранично-элементное моделирование динамики трехмерных однородных частично насыщенных пороупругих тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Григорьев Михаил Вячеславович

• Григорьев Михаил Вячеславович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Григорьев Михаил Вячеславович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

§ 1.1 Модель Био частично насыщенной пороупругой среды

§ 1.2 Постановка краевой задачи в изображениях по Лапласу

§ 1.3 Метод численного обращения преобразования Лапласа

§ 1.4 Задача о действии продольной силы на одномерный частично

насыщенный пороупругий стержень

ГЛАВА 2. ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНО-

ЭЛЕМЕНТНАЯ МЕТОДИКА

§ 2.1 Метод взвешенных невязок

§ 2.2 Граничные интегральные уравнения

§ 2.3 Регуляризация граничного интегрального уравнения

2.3.1 Выделение особенностей у фундаментальных и сингулярных

решений

2.3.2 Регуляризованное граничное интегральное уравнение

§ 2.4 Дискретное представление гранично-интегрального уравнения

§ 2.5 Программная реализация

§ 2.6 Визуализация гранично-элементного моделирования

2.6.1 Описание формата входных данных

2.6.2 Пользовательский интерфейс

2.6.3 Панели инструментов

2.6.4 Работа мышью

ГЛАВА 3. ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТРЕХМЕРНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ПОРОУПРУГИХ ТЕЛ

§ 3.1 Задача о действии торцевой силы на частично насыщенное

пороупругое призматическое тело

§ 3.2 Задача о действии вертикальной силы на частично насыщенное

пороупругое полупространство

§ 3.3 Задача о действии вертикальной силы на частично насыщенное пороупругое полупространство, ослабленное кубической

полостью

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гранично-элементное моделирование динамики трехмерных однородных частично насыщенных пороупругих тел»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Пористые материалы широко распространены в природе и технике. Применение пористых материалов в технике позволяет снизить массу и материалоемкость конструкции при увеличении их прочности и надежности. Анализ волновых процессов в пористых материалах и средах имеют принципиальное значение для таких областей, например, как акустика, геомеханика, биомеханика, нефтедобыча, геофизика, материаловедение и др. Например, в геомеханике насыщенные жидкостью или газом почвы и горные породы, рассматриваются как пористые среды.

В естественных условиях, как правило, геоматериалы существуют только в частично насыщенном виде. Такая среда имеет следующую структуру: твердый скелет с распределенными порами, заполненными различными вязкими жидкостями. Поровые жидкости, во многом, определяют физические характеристики пористой среды. Например, эффект демпфирования распространения волн в среде вызывается вязкостью поровой жидкости. Движения жидкостей относительно скелета порождает новые волны и существенно меняет волновые картины. Кроме медленной волны сжатия (первая медленная волна) появляется более медленная волна сжатия (вторая медленная волна). Такие волны возникают как результаты взаимодействия скелета: со смачивающей и не смачивающей жидкостями в порах. Медленные пороупругие волны могут быстро затухать, а значит плохо проявляются, но при определенных условиях такие волны существенно изменяет всю волновую картину. Кроме пористости для распространения волн (для скоростей волн и затухания волн) существенным является насыщенность материала. Насыщенность, кроме уже отмеченного влияния на взаимодействие между твердым телом и жидкостями, может влиять на среднюю сжимаемость

пористой среды. В таких случаях концепция поверхностного натяжения и капиллярного давления представляет особый интерес, поскольку эти эффекты могут оказывать большое влияние на динамическую реакцию частично насыщенной пороупругой среды.

Уравнения динамики частично насыщенной пороупругой среды могут быть получены на основе уравнений механики сплошных сред. Аналитически уравнения разрешимы только для специальных случаев. Такие аналитические решения используют для проверки соответствующих численных результатов. Обзор источников показывает, что из численных методов для моделирования процессов в частично насыщенных пористых средах активно применяются метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР) [1]. Универсальность и конкурентоспособность этих методов позволяет их применять для решения соответствующих задач. В трехмерных случаях эти методы требуют дискретизации объема, что значительно повышает временные затраты. Произвольность формы границы является, хоть и разрешимой, но проблемой для МКР. По сравнению с МКЭ и МКР для метода граничных элементов (МГЭ) требуется только информация с границы. Это значительно упрощает построение дискретных аналогов при рассмотрении объектов сложной формы. Кроме того, МГЭ особенно подходит для задач о распространении волн в полубесконечной и бесконечной областях, т.к. естественно учитывает необходимые для таких задач условия излучения.

Из российских исследователей, занимающихся продвижением интегрального метода в механике деформируемого твердого тела отметим С.М. Айзиковича, Б.Д. Анина, В.А. Бабешко, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушкову, И.Г. Горячеву, Л.А. Игумнова, В.В. Калинчука, Н.Ф. Морозова, А.Н. Соловьева и др. Приведенный перечень ученых может быть по праву отнесен к исследователям по анализу пороупругих тел и сред с дополнением таких фамилий, как А.А. Губайдуллин, В.И. Ерофеев, Л.Б. Маслов, В.Н.

Николаевский, Д.В. Тарлаковский, H. Antes, M. Schanz, L. Banjai, B. Albers, M. Nenning, T. Rüberg, P. Urthaler, P. Li и др.

Современное состояние. Первые попытки описания пористой среды можно отнести, например, к концу XVIII века, когда масштабно возникла проблема эксплуатации дамб и плотин. R.Woltman в [2] ввел одно из базовых понятий - отношение объемов фаз, а экспериментальным изучением проблем диффузии начал заниматься A.Fick [3]. Законы диффузии A.Fick развивал J.Stefan [4]. В начале ХХ выделяются, например, работы K.von Terzaghi [5] и P.Fillunger [6].

По объемным соотношениям и свойствам движения жидкостей в порах можно пористые среды условно объединить по таким группам: сухие, малонасыщенные, средние насыщенные, высоконасыщенные, насыщенные. В сухих средах несмачивающая жидкость непрерывна в твердом скелете и нет свободного потока смачивающей жидкости. Степень насыщения этого типа пористых сред равна нулю. В малонасыщенных средах поры заняты, как смачивающими, так и несмачивающими жидкостями, но с незначительным количеством смачивающей жидкости. В средах средней насыщенности, как смачивающие, так и несмачивающие жидкости могут свободно течь в порах. В высоконасыщенных средах не смачивающая жидкость не может свободно течь, но оказывает влияние на поток смачивающей жидкости. В полностью насыщенных средах в порах существует только смачивающая жидкость. Все эти группы пористых сред можно назвать частично насыщенными средами, где сухие и насыщенные среды являются двумя крайними случаями.

Для описания поведения пористых сред единого подхода нет, но можно отметить, например, теорию Био, теорию смесей [1]. Исследования некоторых моделей для ненасыщенной пористой среды можно найти в [7, 8, 9], а для многофазных несмешивающихся жидкостей в [10, 11, 12]. Простейшим случаем моделирования является однофазная смесь. M.A.Biot предложил феноменологическую модель динамической пороупругости. Работы Я.И.

Френкеля [13] и M.A.Biot [14, 15, 16, 17, 18, 19] являются признанными классическими разработками математической теории пороупругости. Я.И. Френкель и M.A. Biot ввели двухфазную модель среды.

Соответствующим моделированием введены в оборот такие параметры материала как, модуль сдвига, коэффициент сжимаемости, пористость, вязкость жидкости, проницаемость, упругие и объемные модули среды, эффективные плотности пористой среды. Процедуры определения этих параметров можно найти в трудах M.A.Biot и D.G.Willis [16], C.H.Yew и P.N.Jogi [20] и др. Например, в [20] вычисляются параметры материала для трех видов песчаника, также определяются скорости волн в образцах горных пород по экспериментально определенным параметрам Био. В работе [21] описаны методы определения и представлены значения модельных параметров для разных видов песчаника, гранита и мрамора.

После работ M.A. Biot система уравнений пороупругости строилась с применением более строгой математической техники в [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28]. Так В.Н. Николаевским [24, 29] изложены основы механики пористых сред, приведены фундаментальные уравнения многофазных сред. В классической теории М.А.Био рассматривал только глобальный флюидный поток. Развитие этой теории было предложено в [30, 31], и уже в [32, 33] исследовалось явление волнового затухания от локального флюидного потока. Анизотропная модель пористой среды исследовалась, например, J.O.Parra в [34, 35].

Подробный обзор математических моделей ненасыщенных пористых сред можно найти в [36].

Современная теория смесей заложена в работах C.A.Truesdell [37, 38, 39]. В [38] им описана замкнутая система однокомпонентных материалов, а в [39] -замкнутая система смесей, состоящей из компонент как открытых систем. Развитие теория смесей получила в [40, 41, 42]. Модели пористой среды, на основе теории смесей, сформулированы, например, R.M.Bowen [43, 44, 45] и исследовались в [46, 47].

Обзор различий между теорией Био и теорией смесей можно найти в [48]. Отмечается, что п некоторые из базовых параметров (например, объемные доли) трудно оценить экспериментально и для этого необходимо разрабатывать дополнительных соотношения, часто осложняет применение моделей теории смесей. Кроме того, установлено, что для случая несжимаемых составляющих теория Био получается из теории смесей через процедуру линеаризации при пренебрежении мнимой части плотности массы [49, 50].

Поток поровых жидкостей для частично насыщенных сред включает поток смачивающей жидкости и поток несмачивающей жидкости, где оба потока задаются соответствующим градиентом давления. В случае насыщенного попроупругого материала закон Дарси используется для описания потока поровой жидкости. Для ненасыщенного попроупругого материала закон Дарси используется как для смачивающих, так и для несмачивающих жидкостей.

Исследования частично насыщенных сред с позиций теории Био имеет, пусть и не значительный, но свой массив публикаций. В последние несколько лет реакция насыщеного грунта, от действия нагрузки, широко исследовалась аналитическими методами. Например, в [51] с помощью разложений Гельмгольца и преобразований Фурье построены явные общие решения в перемещениях и напряжениях для однородного полупространства в частотной области. В [52] проанализирована динамическая реакция модели горизонтального слоя на возмущение, вызванное ленточным фундаментом. В [53] исследовано движение трехмерного пороупругого полупространства, создаваемого горизонтальной заглубленной нагрузкой. В [54] получены точные аналитические решения от вертикальной точечной нагрузки, действующей на поверхность двухслойной среды. В [55] исследовалось распространение волн сжатия. В [56] получены точные решения во временной области для одномерной переходной характеристики ненасыщенной однослойной пористой среды для трех типов неоднородных граничных условий. В [57] представлено

аналитическое решение о низкочастотном поведении дилатационных волн, распространяющихся в однородной пороупруой среде, содержащей две несмешивающиеся жидкости. Использована модель Benyman-TЫgpen-Chm, в которой не учитываются эффекты капиллярного давления. В [58] исследованы звуковые волны в трехфазных почвах в рамках линейной модели Био и модели простой смеси Вильмански. В работе моделируется пористая среда, состоящая из деформируемого каркаса и двух сжимаемых, химически не реагирующих поровых компонент. Можно отметить решение из работы [59].

В [60] получено полуаналитическое решение динамической задачи одномерной частично насыщенной пороупругой колонны. В работе [60] получено аналитическое решение для одномерной трехфазной пороупругой колонны. Распространение волн исследовано на динамических откликах смещения и поровых давлений. С помощью преобразования Лапласа в [61] изучена динамическая реакция насыщенного столба грунта с бесконечной длиной и несжимаемыми зернами и жидкостью. В [62] построено решение о динамической реакции столба насыщенного грунта бесконечной длины при динамической нагрузке с использованием метода интегрального преобразования и квадратурной свертки. Численно-аналитическое исследование распространения волн в одномерном трехфазном пороупругом стержне проведено в работе [63]. Авторами рассмотрено влияние граничных условий и параметров модели на динамические отклики перемещения и поровых давлений, проведено моделирование эффекта второй медленной волны сжатия на динамических откликах давления воздуха в порах. В [64] получено аналитическое решение распространения волн в двухфазных средах. Доступны и другие одномерные решения, которые можно найти в обзорной статье [65]. Для моделей, отличных от двухфазных, имеется не так много одномерных решений.

Для анализа динамического отклика в поровых средах применяются численные методы. Это вызвано стремлением учесть взаимодействия между

различными фазами среды и ограниченностью аналитическими решениями для простых случаев. Для ненасыщенных сред предложен ряд различных конечно-элементных формулировок [66, 67, 68]. Например, в работе [69] создана конечно-элементная модель анализа волновых полей в ненасыщенном морском дне. МКЭ может успешно применяться для решения задач распространения волн в пороупругих средах, особенно в ограниченных областях. Однако, интерес к распространению волн чаще всего относится к случаям полубесконечных или бесконечных сред. В таких задачах требуется выполнение условий излучения Зоммерфельда. В МКЭ для этого используются две идеи. Одна из них - применение бесконечных элементов [70], а другая -применение неотражающих искусственных границ [71].

Динамические задачи для пористых сред решали в [72, 73]. В [72] представлено решение линейной двумерной динамической задачи распространения сейсмических волн в среде, насыщенной жидкостью, где за основу была взята линеаризованная модель с тремя параметрами, описывающими среду. В [74] приведены решения системы динамических уравнений при действии сосредоточенной силы, используемых для моделирования скоростей смещений пористого каркаса и жидкого заполнителя, а также порового давления и напряжений при разных значениях скоростей распространения продольных и поперечных волн в изотропной однородной среде. Исследованиями распространения волн в двумерной постановке в бесконечном цилиндре из материала Био занимались в [75]. В [76] изучали процесс отражения ударных волн умеренной амплитуды от твердой границы в среде, насыщенной жидкостью и газом. На основе применения математической модели определены значения амплитуд и скоростей отражения волн. В [77] оценивалась роль капиллярных эффектов на динамику поведения трехфазного песка: экспериментальное исследованы факторы, влияющие на модуль сдвига. Было установлено, что капиллярные эффекты оказывают влияние на степень насыщения песка. В [78] исследовали распространение гармонических и

нестационарных волн в многослойных сухих, насыщенных и ненасыщенных изотропных пороупругих средах. В [79] исследовалось влияние водонасыщенности на горизонтальное и вертикальное перемещение на границе между пористым грунтом и горной породой от воздействия набегающей волны сжатия. В [80] сравнивались измеренные и рассчитанные значения скоростей продольных и поперечных волн в частично насыщенном песке В [81] рассмотрена задача дренирования грунта, дан анализ воздействия на столб песка ступенчатой нагрузки. В [82] исследована дисперсия и затухание волн в частично водонасыщенных песчаниках на основе улучшенной модели Био, в которой вводится насыщенность. В [83] моделировалось распространение волны в частично насыщенной пористой среде, где новой особенностью является наличие второй медленной волны из-за капиллярных сил. Численная модель, способная моделировать многофазную структуру грунтов при ударном нагружении, представлена в [84]. С использованием трехфазной модели проведено численное моделирование для исследования распространения взрывной волны в четырех случаях грунтов с различной степенью водонасыщенности от 37.5% и до 100%. На основании экспериментальных и, более подробных, численных результатов можно заключить, что водонасыщенность оказывает значительное влияние на распространение волны, вызванной взрывом. Методы определения эффективных характеристик пористых материалов (низкопористых металлических пен) представлены в [85]. Подход опирается на аналитические решения модельных задач и конечно-элементное моделирование пористых материалов. Работа [86] посвящена анализу изучения новых математических моделей пористых трехфазных полуограниченных неоднородных по глубине оснований. Действие поверхностного осциллятора представляется в виде ряда Фурье и задача решается с установившимся режимом колебаний. Предложен численный алгоритм для изучения зависимости распространения поверхностных волн от механических и геометрических характеристик задачи. В работе [87]

рассматривается контактная задача для мягкой биологической ткани в рамках пороупругой водонасыщенной среды, описываемой моделью Био. В рамках осесимметричной деформации исследуется два типа граничных условий под гладким плоским штампом для порового давления и их влияния на зависимость между глубиной его внедрения и контактной силой. Задачи решаются численно с помощью метода конечных элементов. В работе [88] рассматривается нестационарная осесимметричная задача о распространении возмущений в пористой полуплоскости под действием поверхностной нагрузки. Используется модель Био. Для решения применяются преобразования Ханкеля по радиусу цилиндрической системы координат и Лапласа по времени. Оригиналы находятся аналитически с использованием свойств преобразований. Приведены примеры расчета регулярных частей решения. В работе [89] рассматривается краевая задача динамической теории пороупругости для составного тела. В работе [90] рассматриваются трехмерные постановки краевых динамических задача пористого полупространства. Решения строятся в рамках полной сжимаемой модели Био и дается оценка решениям по дренированным и недренированным моделям материала. В работе [91] представлен метод исследования волновых полей в неоднородном пористоупругом слое из трансверсально-изотропного материала. Характеристики слоя считаются переменными по толщине. К основным уравнениям, записанным в терминах «перемещения-давление», применяется интегральное преобразование Фурье. Решения преобразованной задачи строится при помощи метода пристрелки. Обращение преобразования Фурье осуществлено численно с использованием теории вычетов. В работе [92] рассматривается коэффициентная обратная задача о нахождении пороупругих характеристик неоднородного полого цилиндра. Прямая задача пороупругости для цилиндра решается с помощью метода пристрелки. В качестве дополнительной информации при решении обратной задачи выступает измеренное смещение или поровое давление на внешней границе цилиндра. Для решения обратной задачи на основе метода

линеаризации получены операторные соотношения, устанавливающие взаимосвязь между искомыми и измеряемыми характеристиками. Пороупругие характеристики восстанавливались в два этапа. На первом этапе находилось начальное приближение. На втором этапе поправки к восстанавливаемым характеристикам определялись из решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. В работах [93, 94] рассмотрено поведение плоских линейных монохроматических волн в насыщенных пористых средах. В работах [95, 96, 97, 98, 99] рассматриваются закономерности взаимодействия фаз в среде, рассматриваются изменения продольных и поперечных волн в процессе их распространения. В работах [100, 101, 102, 103] дано математическое описание нестационарных процессов, протекающих в изотропных пористых средах. В работах [104, 105] установлена связь между волновыми полями в среде, определяются и исследуются коэффициенты отражения на свободной границе пористого полупространства.

Некоторые аспекты распространения упругих волн во флюидонасыщенных и анизотропных пористых телах освещены в публикациях [106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115]. С применением различных схем при решении нестационарных задач пороупругости можно познакомиться в [116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134].

МГЭ [135] - универсальный численно-аналитический метод. Схема МГЭ приведена на рис. 1 [136].

МГЭ неявно удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда [137], что делает МГЭ пригодным для задач с неограниченными областями [138].

Рис. 1 Классическая схема решения краевой задачи на основе МГЭ

Для исследования задачи о распространении волны методом граничных элементов требуются соответствующие граничные интегральные уравнения и фундаментальные решения. В работах [139, 140] представлены двух- и трехмерные фундаментальные решения для задач статического и квазистатического деформирования ненасыщенных грунтов. Фундаментальные решения задач из [139, 140], но с учетом температурных эффектов представлены в работах [141, 142, 143]. Решения от действия сосредоточенной силы (функция Грина) были получены в [139] как в частотной, так и во временной областях с использованием метода Купрадзе. В [144] дано описание распространения и затухания волн Рэлея, возникающих от источника нагружения, вдоль свободной поверхности ненасыщенного слоя грунта. В [145]

исследована задача Лэмба для полупространства и получена динамическая реакция ненасыщенных грунтов с использованием метода интегрального преобразования. В [146] с помощью методов интегрального преобразования построена функция Грина в преобразованной области для произвольной внутренней гармонической нагрузки, залегающей в ненасыщенном грунте. Работы по выводу фундаментальных решений для систем уравнений пороупругости имеют известную историю и разнообразие. Здесь следует отметить работы таких авторов как R.Burridge и C.A.Vargas [147], A.N.Norris [148], G.D.Manolis и D.E.Beskos [149], A.Cheng, T.Badmus и D.Beskos [150], M.Schanz и H.Antes [151], M.Schanz [152, 153, 154], M.Schanz и S.Diebels [155], M.Schanz и D.Pryl [156], M.Schanz [157], B.Gatmiri и E.Jabbari [139, 140], A.H.-D. Cheng [158] и др. Отдельно можно выделить ранние формулировки ГИУ для пороупругости J.Dominguez [159, 160]. Подробности по отмеченным работам можно найти в [161, 162, 163, 164, 165].

В [166] приведены граничные интегральные формулировки и фундаментальные решения для динамического анализа ненасыщенных грунтов. В [139, 140] представлены двумерная и трехмерная функции Грина для ненасыщенной деформируемой пористой среды с линейным упругим поведением для симметричной полярной области как в области преобразования Лапласа, так и во временной области. В [167] представлена формулировка граничного элемента во временной области и проанализировано динамическое поведение трехмерных частично насыщенных пористых сред. Динамические формулировки ГИУ и фундаментальные решения для двухмерных задач построены в [168], для трехмерных - в [167, 169]. В работах Игумнова Л.А. и др. [170] приведены уточненные выражения для компонент фундаментальных решений с учетом неточностей, допущенных авторами в [169]. Различные аспекты гранично-элементного моделирования ненасыщенных пористых сред рассмотрены в работах [171, 172].

Сравнение результатов применения ГИУ и МКЭ на конкретном примере можно найти в [173, 174]. Сравнение результатов ГИУ и МКЭ дает схема на рис. 2 [136].

МКЭ МГЭ

формулировка в форме взвешенных невязок

|СуыЩ ЩАО + | (щ - ")СОгАБ +1 (и - ^)юАБ = 0

интегрирование по частям

слабая формулировка

| Сук/"к С А О =

обратная формулировка

1 Сс,ьиАО=1( - ю ) +

О

Щ - иг ¡Сг + tiС

= 1[(щ - Щ)

■Я(^ - )

+ \ I и - ti )Сг + ti С

Щ = -¿У.

аб +

+1 (Щ - иг) СгАБ + |(и - иг) юю

$

• С = 0 на Би

• Щ = иг на $"

1 С, А О = 1 Тс

о

С = 5и.

виртуальная работа

1 Сф1Щк ,А"г, А О = 1

ограничения

щ = иг на Б" и = иг на

1 Сук/Ск/"А□ = 1(("г - С )

весовая функция

щ= ип

*

"л

О

Кй = 2

дискретизация

формула Грина-Бетти-Сомильяны

(#) = 1( - и *Щ)

Ай = Е1

и

Рис. 2 Классическая схема решения краевой задачи на основе МГЭ

(X

О

(7

Настоящая работа является продолжением исследований проводимых Л.А. Игумновым [136, 175, 176] со своими учениками и коллегами [177, 178, 179,

180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188]. В работе представлена шаговая гранично-элементная методика решения трехмерных линейных задач динамики трехфазных пороупругих тел. Шаговый метод численного обращения преобразования Лапласа опирается на квадратурные формулы для интеграла, получаемого из теоремы операционного исчисления об интегрировании оригинала. Методика исследований основана на граничных интегральных уравнениях прямого подхода трехмерной пороупругости в преобразованиях по Лапласу и компьютерном моделировании искомых решений методом граничных элементов в сочетании с методом коллокации, локальной поэлементной аппроксимацией на основе согласованной модели интерполирования.

Цель работы состоит в развитии методических и программных разработок метода гранично-временных интегральных уравнений и в проведении на их основе исследований в линейной постановке динамики трехмерных изотропных трехфазных пороупругих однородных тел.

Научную новизну работы составляют:

а) шаговая гранично-элементная методика и ее программное оснащение для моделирования в линейной постановке динамики трехмерных пороупругих трехфазных однородных тел и сред;

б) применение в расчетах согласованной гранично-элементной методики прямого подхода метода гранично-временных интегральных уравнений, построенной на основе шаговой схемы квадратур сверток;

в) численно-аналитический анализ задачи о действии импульсной силы на одномерный трехфазный пороупругий стержень;

г) гранично-элементный анализ задачи о действии импульсной силы на торец однородного изотропного пороупругого трехфазного призматического тела;

д) гранично-элементный анализ задачи о действии импульсной силы на однородное изотропное пороупругое трехфазное полупространство;

е) гранично-элементный анализ задачи о действии импульсной силы на

однородное изотропное пороупругое трехфазное полупространство, ослабленное кубической полостью.

Достоверность полученных результатов основана на математической

строгости и корректности подхода, в рамках которого:

• начально-краевой задаче методом взвешенных невязок ставится в соответствие прямая формулировка интегрального представления искомого общего решения;

• с помощью свойств обобщенных потенциалов интегрального представления решения строятся сингулярные граничные интегральные уравнения для поиска неизвестных граничных функций;

• используются регуляризованные граничные интегральные уравнения; метод коллокаций построения дискретных аналогов; поэлементная согласованная интерполяция граничных функций; численное интегрирование по Гауссу с заданной точностью на элементах, не содержащих точку коллокации, и с предварительной процедурой раскрытия особенности, на элементах содержащих точку коллокации; процедура блочного Гаусса решения дискретных аналогов как системы линейных алгебраических уравнений и т. п.;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Григорьев Михаил Вячеславович, 2022 год

- Р™

р тт р ат

р яа р та р аа

Г у 1 гр яя У О' й]а' й 1

г й Г-| р т О™ тт От та Рт й Г

[ г _ Г р ая Оа ат Оа аа Ра_

(В* и; )

□

й

1

РМ Р'

С учетом свойства оператора В* получаем выражение интегрального представления решения:

I

и.

мз

рмм рм

-^у-аз рам ра

у

ям

гуЗЯ ; вг уза

-I грмЯ 1 умм ума рм

г раз ам уаа а _ ра

щ

л м Р •

а Р

а г =

(2.5)

Формула представления (2.5) может быть использована для вычисления неизвестных значении смещения ы], давления поровои жидкости р и

давления порового газа ра внутри области, когда известно граничные значения решении задачи.

Изображения по Лапласу граничных значении обобщенный поверхностной силы имеют вид:

у = ,

я

я

Рм3 Ра'3

(рМ +Рм Б и ; )П ; ,

(Р.а +Ра 82и; )П; .

Изображения обобщенных матриц сингулярных решений имеют следующии вид, после деиствия соответствующего граничного оператора на обобщенную матрицу фундаментальных решений [231]:

2 л

ТУ

У

гуМ3 _

раз _

Г

К — О V 3 ,

(Бр+Бар;а) 8а + О (и- + и^ ) к,

с

\

К — О

V 3 у

( 2 ^ К - 2 О , 3 ,

и:;к + аз (БмРММ + БаРМ

)

^+о {им + и;; )\П1,

и* +аз (Б;Рам + БаРа

8а+о {и:+щ )\П1,

вт=—(р; -Рм ви % )п,

Рм3

о;;=^(Р;;-Рт )п , ОТФт -Рт ви; )п;,

йг (Р?а Рави;)П,

Рая

й№а =— ФУ -Ра ^и;5 )П ; ,

йаа (Раа-Р бИ)п ..

Р^ а 3 3

На основе представления из (2.5), путем стремления точки наблюдения на границу, получается граничное интегральное уравнение, которое составляет основу метода граничных элементов.

§ 2.2 Граничные интегральные уравнения

Операторная форма записи интегрального представления решения в изображениях по Лапласу для исходной начально-краевой задачи принимает вид:

й (у) = (Р )(у) - (Кй)(у), у еО,, с й (х) = [й,р т ,ра ] и р (X) = й, - 4т, - 4а ]т. (р )(у) = }ит (у,х)р(х)ёв х,

(Кй)(у) = }Тт (у,х)й(х)ёв X, Г = Ш,,

Г

Г

и т =

и" У рзг ] рза ]

иг гг га

иа аг аа

гр;; У в;-

грг; унт ума

рж 7 О^аг 0-а

т1 =

Для организации процедуры перемещения точки наблюдения у к

границе, исходную границу Г изменяют на Г. Содержание изменения заключается в расширении границы Г круговой областью радиуса гс вокруг точки наблюдения у е Г2, как показано на рис. 2.1.

Рис. 2.1 Расширение границы вокруг точки нагрузки у

Расширенная граница Г задается формулой:

Г = Г-Г +Г ,

'с 'с

где Г = НтГ.

Такое расширение границы позволяет точку загрузки у поместить внутрь объема, ограниченного новой границей. Формула представления (2.5) остается без изменений

%) = (^)(у)-(Кй)(у),(уе^). Применим предельный процесс: г ^ 0. Формула представления превращается в граничное интегральное уравнение, которое выражается как

(Р)(у) - (Кй)(у) = с(у)й (у),

где

Иш \ит(х)£ (х)йГ =

гс л с Г

= Иш [ ит (7, х)£(х)йГ + Иш [ ит (7, х)£(х)йГ =

гс ^0 ¿_ тг ^ 0 Л

Г"ГГС Ггс

= Иш [ ит (7, х)£(х)йГ,

г. ^0 •!_ с Г-Гг

гс

Иш [ Тт (7, х)й(х)йГ =

гс ^0 Л с Г

= Иш I Тт (7, х)й(х)йГ + Иш I Тт (7, х)й(х)йГ =

т„ ^ 0 Л т„ ^ 0 Л

Г-Г„

= (Кй )(7) + [с( 7) -1 ]й( 7)]. Матрица с (7) определяет коэффициенты внеинтегрального члена и может быть интерпретирована как доля й (7), которая лежит внутри области О, и определяется соотношениями:

>( 7 ) =

Иш [ Тт(7, х)й(х)йГ +1,(7 еГ),

гс ^0 Л с Гг

гс

1, (7 е О), 0,(7 йГ,7 й О).

Выражения для граничных интегральных уравнений задаются с помощью следующих матричных формул:

и и

иа

р™ р.а т. ртт рта рак раа

Г £ " 1 V й 1

-Г ¿/г-ф ртя £ й Г

[-Г _ г рая рам> раа Р_

Ч 0 0" " й г '

0 с 0

0 0 с Ра _

<

где сильно сингулярный интеграл (символ ф ) существует в смысле главного

значения Коши в записи Т.; .

у

Гранично-временное граничное интегральное уравнение получаются с помощью формального обратного преобразования Лапласа

г

11

0 Г

I

н

о г

и;(г-т,у,х) р;г(г-т,у,х) р;а(г-г,у,х)

иг (г -г, у, х) рг (г -г, у, х) рга (г -г, у, х) иа (г -г, у, х) раг (г -г, у, х) Раа (г -г, у, х)

т»{г-т,у,х) 0<2^-т,у,х) тг\г-т,у,х) ОГ{г-т,у,х) в™((-т,у,х) ГГ(;-т,у,х) 0Г(1-т,у,х) ОГ{}-т,у,х)

г г (г,х) -дг (г, х) -да (г, х)_

иг (г,х) рг (г, х ) ра (г, х)

йГйг -

й Гйг = (2.6)

с

у ( у ) 0 0

0 с(у) 0 0 0 с( у)

и

(г,у)

рг (г, у) р-(г, у)

В уравнениях 2.6) сильная особенность существует в операторе двойного слоя, и требует соответствующего процесса регуляризации.

§ 2.3 Регуляризация граничного интегрального уравнения

Построенные граничные интегральные уравнения содержат обобщенные потенциалы простого и двойного слоя, которые содержат интегралы со слабой и сильной особенностями. Организация гранично-элементной схемы осуществляется на основе регуляризованного граничного интегрального уравнения, т. к. в этом случае появляется возможность давать численно-аналитические оценки интегралам, образующим граничные интегральные уравнения.

При выполнении диссертационной работы использовался подход Конторовича-Перлина [136] выделения особенности для сингулярных

интегралов, существующих в смысле Коши.

Прежде чем провести планируемую регуляризацию, необходимо выделить особенность в соответствующих ядрах интегралов: необходим анализ фундаментальных и сингулярных решений.

2.3.1 Выделение особенностей у фундаментальных и сингулярных решений

При перемещении точки наблюдения 7 к границе Г необходимо знать

поведение фундаментальных и сингулярных решений, когда г = ^ - х|

стремится к нулю, т.е. когда точка интегрирования их приближается к точке наблюдения 7.

Порядок сингулярности фундаментальных и сингулярных решений может быть определен разложением в ряд по переменной г. Эта переменная г находится в исследуемых трехмерных решениях, решениях в экспоненциальной функции и в качестве степенного многочлена по г . Поэтому, для анализа решений, достаточно использовать разложение

е-V=уИг£=!--Дг+...

и к! '2

с подстановкой его в соответствующие ядра интегралов из обобщенных потенциалов простого и двойного слоя.

Для обобщенного потенциала простого слоя можно, таким образом, выделить следующие особенности:

иг = о( г), иа=о( г),

Р? = 0( г), Р.а = 0( г),

Рга = 0( г ),

Раг = 0( г),

~ в + 3К ( 7в + 3К р

и =- гг +-8

1 8жв(3К + 4вД ,г ° в + 3К у

- + 0( г ) =

= 1+ У—Г Г г г. + (3 - 4у)8, ]- + 0( г) = 8пЕ(1 -у)[ 'г,J v ' 4]г

= и.атг} +0(г) ,

Ргг = (г_+ 0( г ) = Ргг + 0( г ), 4л(3 К 1 а К 1

Раа = —- + 0( г) = Раа + 0( г),

4ЛГ 0а г

где и__ш - матрица Сомильаны; РГ, Р^ - ядра классического потенциала простого слоя; Е - модуль Юнга, у - коэффициент Пуассона.

Для обобщенного потенциала двойного слоя выделяются следующие особенности:

¿га = 0( г ), йаг =0( г),

^ = [31К + (3а + рУ\Рг.2 пг | в(а-р)Рг.2 г/^

1 12яД(К + 4в /3) г 4яР{К + 4в /3) г ( )

2

= г {М1-П + (^)(1-2у) 0 -п} + 0( г),

£а.= [3ГК +(3а + г)]Ра_2 п | в(а-г)^а_2 О^О^Ь 1 12я/(К + 4в /3) г 4лу(К + 4в /3) г ( )

2

= 8Ы1-у) Г {[в(1 - 2У) + Г] Пг +(«-г)(1 - 2у) »,1г:п} + 0( г), X

= 8*?(4 о+за: ^ ^ - 4в+3К )1 г/п - Г3йв+4в+3К )] п,} +°(г)=85(1+У)г И1 - 2у)(г'Гп - П})--у)(ггп + п,)] + °(г),

°Е = 8^(4О + ЗА> {^ -Г(4С + )]- [« + Г(4С + Ж)]и„ } + +0( г ) = & + Л [«(1- 2у)( К К - )- 2Г(1 -у)( г ,г„ + и, )]( г),

С (г,п,- г,п, - ,)-(С+ж) г!^^» ]+0(г )=

У л V I лг< / 2

4^( ^ + 4С /3)г

щ^у, {(1 - 2^)( Г» - г, п, )-[(1 - ^ + 3г, г, ] г» } + 0( г ) =

= Ст ,,+0( г),

ОТ = -у^г + 0( г) = 07 + 0( г):

4яг

Оаа = -¿7+0( г ) = ОЕЕ +0( г),

где Тс^т - упругостатическая матрица сингулярных решений; О^, ОЕ - ядра

классических потенциалов двойного слоя. Матрицы Т совместно с собираем

в матрицу Т0, в которой ОТ, ОЕ записываются на диагональ.

В отличии от упругого и вязкоупругого случаев мы получаем разнообразие в поведении ядер интегралов, образующих обобщенные потенциалы простого и двойного слоя. Это разнообразие порождает существенные изменения в организации ГЭ-схемы. Регулярные, слабые и сильные особенности существуют как обобщенных потенциалах простого слоя, так и в обобщенных потенциалах двойного слоя. Для обобщенных потенциалов простого слоя и™, и Раа дают слабую особенность, а остальные интегралы

являются регулярными. Для обобщенного интеграла двойного слоя ядро Т^

порождает сильную особенность, а остальные ядра порождают слабую особенность.

Регулярные интегралы будут вычисляться с помощью гауссовых квадратур для одномерных интегралов после сведения двойного интеграла к

повторному. Для слабых сингулярных интегралов в случае аналитической оценки не требуется специальной обработки, в то время как для численного интегрирования по слабо сингулярному интегралу используется преобразование Даффи, для которого определитель Якоби обращается в нуль в точке особенности. Для оценки сильных сингулярных интегралов разработан ряд методов. В этой работе метод для оценки сильных сингулярных интегралов используется, такой же подход, что и в [136], который основан на подходе из [232]. Метод заключается в следующем. Пусть особой точке хт соответствует точка 1 в квадрате -1 < 1 (рис. 2.2а). Разобьем этот квадрат на два

треугольника диагональю, проходящей через точки 1 и 3. Отобразим теперь квадрат -1 < V, й < 1 (рис. 2.2б) на каждый из полученных треугольников таким образом, чтобы какие-либо две его соседние вершины, являющиеся прообразом особой точки хт, например, 1 и 2, перешли в точку с координатами ^ =-1 и

= -1. Такое отображение можно осуществить, используя функции формы. Представляя несобственные интегралы по квадрату -1 1 в виде сумм

соответствующих интегралов по двум треугольникам и используя преобразования координат, удается устранить особенность подынтегральных выражений в случае, когда хт е Гк и, следовательно, повысить точность вычисления соответствующих интегралов. Для вычисления интегралов по новым переменным применяется интегрирование по Гауссу. В случае, когда узел коллокации хт совпадает с центральным узлом элемента Гк, процедура устранения особенности выполняется при разбиении квадрата диагоналями на четыре треугольника.

-1

-1

и

а)

б)

Рис. 2.2

2.3.2 Регуляризованное граничное интегральное уравнение

После проведенного анализа ядер интегралов, образующих обобщенные потенциалы простого и двойного слоя, можем применить к записи регуляризованного ГИУ.

Исходное ГИУ, согласно (2.6) имеет вид:

I

и.

и™

рш

рММ

рак

рж

рма аа

Гу " ; Г Щ '

-г й Г- I рм. 2 умм ума рМ й Г

[-г Г ра. уам аа

Ч 0 0" Г и г "

= 0 с 0 Р М

0 0 с [Р а _

где

и

^ум {У™.

рш рм рж рм

ра ра

(2.7)

Т =

гртЯ

-]

лтт

Т

О"" б

дат д

]

та

аз /^-\ат

8 - функция Дирака, х, у е

Я , и, Т - матрицы фундаментальных и сингулярных решений, ^ = о^п. - вектор обобщенных поверхностных усилий,

Р

Я =

Я =

Рт^ Ра**

(рт + щ)щ - поток смачивающего наполнителя в виде жидкости,

(ра + раб2щ)щ - поток не смачивающего наполнителя в виде газа, п -

вектор нормали внешней к границе области.

Регуляризованное ГИУ из (2.7), строится с помощью матрицы Т0. согласно подходу Контаровича-Перлина:

К Т(х, у, з)и(у, з) - Т0 (х, у, ф(х, з) - и(х, у, ^ (у, 3)) йТ = 0

(2.8)

х, у е Т = ао,

где х - точка наблюдения, у - точка интегрирования, и - фундаментальное решение, Т - матрица сингулярных динамических решений, Т0 - матрица сингулярных статических решений.

Т

§ 2.4 Дискретное представление гранично-интегрального уравнения

Осуществление дискретизации уравнения (2.8) заключается в применении конечно-элементной технологии. Во-первых, поверхность тела представляется в виде К обобщенных четырехугольных восьмиузловых граничных элементов.

Пусть общее число граничных геометрических узлов будет Р. Для каждого

граничного элемента применяется отображение с помощью следующего соотношения:

8 _

х.(£,£) = XNn(^2)хЯ, к = 1,К, г = 1,3,

я=1

где N (^ ) - биквадратичные функции формы; - локальные

координаты, хк - геометрические граничные узлы; х(^,^2) - глобальные

координаты вектора.

Обобщенные граничные перемещения vi аппроксимируются

билинейными граничными элементами с применением функций форм К ), а поверхностные обобщенные силы 1 - постоянными граничными элементами:

4 _

и. (£,£) = X К (#1,#2)и Я, к = 1, К, г = 1,3,

Я=1

Л

1 , (£,£ ) = 1 к, к = 1, К, г = 1,3.

Дискретное представление ГИУ (2.7) строится с использованием метода коллокации. В качестве узлов коллокации выбираются узлы аппроксимации исходных граничных функций. Порождаемая система линейных алгебраических уравнений в изображениях по Лапласу с параметром преобразования ^ примет вид:

К 4 К

к ^^ а щ тк а к

УУдтк.ик = УдиУ,г = 1..Р,

/ 1 / 1 яг я / , г ' ?

я

к=1 я=1 к=1

1 1

ДТП. =Ц[ К , Ук (£,£), *) - I * Т0(хг, ук (£,£)) Ук (£,£,

-1 -1

дик = } }и(хг,/(£,£),зук,

-1 -1

где J - якобиан преобразований локальных координат в глобальные, I -единичная матрица.

Построение дискретного представления граничного интегрального уравнения связано с задачей вычисления интегралов численными методами, и, следовательно, с задачей выбора наиболее подходящей квадратурной формулы. При этом возникает необходимость разбиения элемента на более мелкие элементы, а также, как уже отмечалось, необходимость устранения особенностей в подынтегральных функциях [230]. Коэффициенты дискретных представлений граничных интегральных уравнений вычисляются с применением квадратурной формулы Гаусса. Решение построенной таким образом системы линейных алгебраических уравнений является решением исходной краевой задачи и зависит от параметра интегрального преобразования Лапласа.

§ 2.5 Программная реализация

Программный инструментарий гранично-элементного сопровождения компьютерного моделирования динамики тел и сред из частично насыщенных пороупругих материалов создан на основе соответствующего пакета программ [136, 178, 179, 233]. Использован алгоритмический язык Fortran. Структура программного оснащения гранично-элементных расчетов (ГЭ-расчетов) приведена на рис. 2.3.

Структура программного оснащения ГЭ-расчетов, приведенная на рис. 2.3, позволяет выделить три группы модулей: управляющая программа, функциональные и обслуживающие модули.

Управляющая программа постоянно находится в оперативной памяти. Она инициализирует необходимые процессы численного решения начально-краевой задачи. Программа является планом выполнения компьютерного моделиварония.

Рис. 2.3 Структура программного оснащения ГЭ-расчетов

Функциональные модули составляют программное оснащение ключевых этапов ГЭ-схемы. Структурно модули сгруппированы по процессам. Каждый из процессов выполняет структурнозначимый этап численной схемы метода. Структурнозначимые этапы выделяются формированием следующих планов заданий: по данным геометрической модели; свойств материалов; граничные условия; дискретные аналоги (выделение сингулярных, слабосингулярных и регулярных интегралов; организация понижения, раскрытия особенностей и численной оценки значений интегралов; проверка с помощью инвариантов точности интегрирования и т.п.); разрешающая система (алгоритм блочного Гаусса; шаговая схема определения оригинала искомого решения и т.п.) и т.п. Модульный обмен внутри процесса организован с помощью аппарата формальных параметров и обрабатываемых данных во внешней памяти.

Программы обмена, размещения массивов в оперативной памяти и другие подобного назначения программы относятся к обслуживающим модулям. Обмен с внешней памятью обеспечивается прямым доступом. Используются операторы прямого доступа алгоритмического языка Fortran. Область прямого доступа структурирована файлами, содержащими записи произвольной длины. Представлена возможность организации каталога записей.

Пакетный интерфейс программного ГЭ-оснащения управляется решением задачи, заданием входных данных и генератором отчета. Имеется возможность монтирования программного ГЭ-оснащения со средствами препроцессорного преобразования информации под структуру и формат файла входных данных. Такие данные читаются из файла последовательного доступа и помещаются в набор данных прямого доступа. В своей структуре входные данные содержат: данные управляющей программы и процессов.

Дискретная модель [233] границы создается массивом координат узлов, матрицами индексов узлов элементов и отображений основной части границы на симметричные части границы. Краевые условия полностью представляются кодами условий и массивами значений граничных функций в узлах интерполяции. Кроме того, входной поток для формирования задания содержит физические характеристики материалов и упругих связей.

Во время работы программного ГЭ-оснащения расчетов осуществляется сопутствующий контроль промежуточной численной информации. В помощь для подготовки программы ГЭ-оснащения к эксплуатационному режиму расчета имеется пакет богатых диагностических сообщений.

Структура программного ГЭ-оснащения расчетов в виде процессов с опорой на модульную организацию позволяет реализовать отечественную технологию создания суперкомпьютерных двойников.

§ 2.6 Визуализация гранично-элементного моделирования

Для графической визуализации использовалась специальная программа, в основе которой была ранее созданная программа [178]. Программа позволяет формировать полутоновые или многоцветные изображения элементов, сеточной геометрии, физических полей (линий равного уровня) в различные

моменты времени. Исходные данные дает граничная сеточная модель объекта проектирования.

2.6.1 Описание формата входных данных

Геометрическая модель формируется ГЭ-набором. Поверхность кодируется цветом.

Файлы описания сеток являются текстовыми с расширением ёа1 следующего формата:

—Описание входных данных геометрической модели—

Т1 ... Тк

Е1 ... Ек

е; - Е2

тх

ту

т

2

Мх

Му

м

2

Т1ше

количество точек количество элементов

интервал номеров элементов, подлежащих визуализации

множитель координат по х

множитель координат по у

множитель координат по 2

множитель для перемещений по х

множитель для перемещений по у

множитель для перемещений по 2

количество точек по времени

----Описание геометрической модели поверхности---

Описание элементов 1 ^ ^

Ек 1:; 12 13 1;4 Описание точек 1 х у 2

ТК х у 2

номер элемента и последовательность обхода элемента по номерам точек

номер точки и ее координаты в декартовой системе координат

----Описание входных данных для перемещений точек по оси х---

0.0 щ ...

time щ ... ит Time и ... ит

здесь ит перемещения точки T в момент времени time по оси x, аналогичный поток для других осей координат.

2.6.2 Пользовательский интерфейс

Пользовательский интерфейс представляет собой главное меню, две панели инструментов и область просмотра результатов (рис. 2.4). Рассмотрим различные аспекты для работы с программой.

Файл Опции Параметры Помощь

иыи

;;•! а [И „• Частей ячейки: |1 | Линий уровня: | | |Принять| Л'ЛШ © •'

Время: |0.0400 « II ► ► • Скорость: [2Q | мс ["Принять| | 1 | ? Зум. 1.0Х

В -it В5Ч

В -14 11?

В -24 1KB

Н -1 4 к?п

№ -4 П71

Ш 4.873

14.620

24.366

34.113

43.859

Пользовательский интерфейс

Рис. 2.4

Все доступные операции в программе представлены в виде главного меню (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Меню Файл включает следующие команды:

1) Загрузить файл - загрузка из файла данных для построения объекта, при этом появляется стандартный диалог открытия файла.

2) Сохранить файл - сохранение данных об объекте в текущий файл.

3) Сохранить файл как ...- сохранение данных об объекте в файл, при этом появляется стандартный диалог сохранения файла.

4) Выход - завершение работы программы.

Меню Опции содержит следующие команды:

1) Изменить цвет фона - задание произвольного цвета фона области просмотра, при этом появляется стандартный диалог выбора цвета.

2) Отображение объекта - создание полной модели на основе отображения базовой части. Плоскость симметрии задается в диалоге (рис. 2.6).

Рис. 2.6

3) Сохранить изображение - сохранение изображения из области просмотра результатов в Ьтр-файл, при этом появляется стандартный диалог сохранения файла.

Меню Параметры включает в себя следующие команды:

1) Оси координат - если пункт отмечен "V", то в области просмотра результатов отображаются оси координат вхуг с единичной разметкой.

2) Таблица значений - если пункт отмечен "V", то отображается таблица соответствия значений функции различным цветам.

3) Свойства света (активен, если выбран световой режим отображения) -если пункт отмечен "V", то в световом режиме отображения появляется диалог, позволяющий изменить различные световые настройки.

2.6.3 Панели инструментов

Программа содержит две панели инструментов (рис. 2.7, 2.8).

¿Й Частей ячейки: 1 Линий уровня: Принять] А ^ 1 ® Э ©

Рис. 2.7 Первая панель инструментов

Первая панель инструментов (рис. 2.7) создана для удобства пользователя. Она содержит основные необходимые для работы элементы, которые можно разделить по следующим категориям:

1) Вид отображения ячеек объекта: - точками, ^ - пустыми

прямоугольниками,

- линиями

- сплошными прямоугольниками, уровня.

2) Параметры: количество частей в одной ячейке и количество линий уровня (если вид отображения объекта - линии уровня), реализованные в виде Еёй-ов. При нажатии кнопки Принять происходит считывание введенных параметров.

3) Режим отображения: - одноцветный, - многоцветный, И - световой.

4) Невидимые грани: ® - видны, ® -не видны.

5) Установка центра сцены в центр объекта - Используется, когда был изменен центр сцены.

Рис. 2.8 Вторая панель инструментов

Вторая панель инструментов (рис. 2.8) предназначена для работы с динамическими задачами. На этой панели содержатся следующие параметры:

1) Текущий момент времени задачи.

2) Кнопки управления показом динамической задачи: щ - предыдущий кадр, * - обратный ход, 11 - пауза, ► - прямой ход, т - следующий кадр.

3) Скорость показа слайдов - изменяется в Еёй-е, считывается при нажатии кнопки Принять.

2.6.4 Работа мышью

Наличие компьютерной мыши очень важно для работы с программой.

Кроме того, что указателем мыши можно выбирать различные пункты меню,

элементы панелей инструментов, есть еще несколько возможностей:

1) Вращение объекта. Возможность вращения объекта вокруг его центра с помощью нажатия левой кнопки мыши и последующего перемещения мыши. При этом анализируется смещение вдоль экранных осей х и у. По этому смещению определяется угол поворота вдоль осей х и у в трехмерных координатах ху2. Тем самым можно рассмотреть объект со всех сторон.

2) Автоматическое вращение. Возможность вращения объекта вокруг его центра без последовательного перемещения мыши: при нажатой левой кнопке мыши совершить быстрое смещение мыши, а затем отпустить ее левую кнопку. Установится постоянное вращение, а скорость вращения определится по длине произведенного смещения мыши.

3) Центр сцены. Установка нового центра сцены происходит путем нажатия на этой точке правой кнопкой мыши. Вернуть центр сцены в центр объекта можно с помощью кнопки на первой панели инструментов.