Гранично-элементное моделирование динамики однородных трехмерных электроупругих и анизотропных упругих тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Марков, Иван Петрович

• Марков, Иван Петрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Марков, Иван Петрович

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Постановки задач, метод, методика решения и программная реализация

1.1. Математическая модель

1.2. Гранично-элементная методика

1.2.1. Граничное интегральное уравнение

1.2.2. Гранично-элементная дискретизация

1.2.3. Метод квадратур сверток

1.3. Программная реализация

Глава II. Фундаментальные решения и модельные задачи равновесия

2.1. Анизотропные фундаментальные решения

2.1.1. Построение статических фундаментальных решений

2.1.2. Статические функции Грина для трансверсально изотропных сред

2.1.3. Численные примеры построения статических функций Грина

2.1.4. Интерполяционный подход

2.1.5. Динамические функции Грина, численные примеры

2.2. Модельные задачи равновесия

2.2.1. Однородный упругий анизотропный куб под действием нагрузки

на часть торца

2.2.2. Однородный электроупругий куб под действием одноосной нагрузки

2.2.3. Эффективность методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений

Глава III. Гранично-элементное моделирование

3.1. Анизотропные упругие задачи

3.1.1. Статическая задача о действии давления внутри сферической полости

3.1.2. Статическая задача об анизотропном кубе с полостью

3.1.3. Действие стационарной горизонтальной нагрузки на торец

Г-образного однородного упругого анизотропного тела

3.1.4. Одноосное стационарное растяжение упругого анизотропного призматического тела

3.1.5. Действие нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела

3.1.6 Динамический изгиб композитной балки

3.2. Анизотропные электроупругие задачи

3.2.1. Равновесие однородного электроупругого Г-образного тела под действием разности потенциалов, приложенных к торцам

3.2.2. Равновесие призматического электроупругого тела, под действием равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной плотности заряда

3.2.3. Задача о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства

3.2.4. Контактная задача Герца для электроупругого полупространства

3.2.5. Задача об одновременном действии электрического потенциала и нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на однородное Г-образное электроупругое анизотропное тело

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гранично-элементное моделирование динамики однородных трехмерных электроупругих и анизотропных упругих тел»

Введение

Для современной техники теория упругости с сопряженными полями играет важную роль при решении возникающих задач. Многие проблемы инженерной практики сводятся к исследованию элементов конструкций, ответственных узлов и деталей машин и оборудования, а в научном плане - к исследованию деформируемых тел и сред при статических или динамических нагружениях с учетом существенной анизотропии материала и связанности механических и немеханических полей.

В работе формулируются соответствующие трехмерные краевые и начально-краевые задачи, для решения которых развивается подход в рамках линейных постановок. С разнообразием подходов по решению динамических задач теории упругости можно познакомиться в ряде монографий [17, 21, 23, 25, 26, 59, 63, 64, 72, 73, 76, 78, 82, 102, 103, 156]. В работе развивается метод граничных элементов (МГЭ), который является распространенным универсальным численно-аналитическим методом решения широкого круга задач теории упругости с сопряженными полями. В качестве обобщающих работ по упругой статике и динамике можно привести следующие [1, 3, 4, 12-15, 20, 22, 25, 47, 61, 62, 74, 75]. Изучению процессов распространения волновых полей в средах со сложными свойствами и разработке соответствующих методов исследования посвящены следующие работы [8, 16, 22, 47, 68, 71, 96, 105, 111, 120, 123, 141]. В большинстве работ краевые и начально-краевые задачи теории упругости сводятся к интегральным уравнениям, для 'решения которых имеется широкий круг численных методов. С аналитическими методами решения задач динамической теории упругости можно познакомиться в монографиях [4, 18, 24, 44, 75,83, 84].

Для решения динамических задач теории упругости большее значение имеют методы интегральных преобразований. В работе они важны в сочетании с методом граничных интегральных уравнений (ГИУ). Впервые метод интегральных преобразований при решении динамических начально-краевых задач теории упругости применен Лэмбом в 1904г. Развитие метода интегральных преобразований можно проследить но публикациям [5, 27-31, 45, 48, 67, 69, 70, 85-95, 97, 109, 120, 140, 153, 166, 177].

Относительно динамических задач анизотропной теории упругости отметим работы В.А.Свекло [79-81], В.С.Будаева [9, 10], И.Г.Филипова [101], В.А.Сарайкина и Л.И.Слепяна [77], Ю.Э.Ссшщкого [86, 89, 91], А.Ф.Федечева [100] и других. Впервые МГЭ появился в работе II.И. Мусхелишвили в 1937 г., хотя метод потенциала можно отсчитывать, например, с работ И.Ньютона.

Успех применения ГИУ обеспечен результатами, полученными в теории многомерных сингулярных интегральных уравнений в работах: С.Г. Михлина [60], В.Д.

4

Купрадзе, Т.Г. Гегелиа, М.О. Башелейшвили, Т.В. Бурчуладзс [98] и других. Вопросам построения ГИУ статических задач теории упругости и разработке МГЭ посвящены работы А.Я. Александрова [2], IO.JI. Бормота (1977), Ю.В. Верюжского [11], Р.В. Гольдштейна [19], М.И. Лазарева [49], IO.A. Мельникова [58], О.П. Николаева [65], В.З. Партона и П.И. Перлина [66], А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуторянского [99], Г.И. Яха [104], T.A. Cruse [116], J.C. Lâchât и J.O. Watson [50, 129], F. Paris и E. Alarcon (1980), F.J. Rizzo и D.J. Shippy [158] и многих других авторов. В ходе развития метода ГИУ и МГЭ сформировались рекомендации по использованию граничных элементов высокого порядка и для вычисления коэффициентов дискретного аналога ГИУ применять численное интегрирование с помощью формул Гаусса, а сингулярные интегралы сводить, например, к несобственным с помощью метода понижения особенности, и вычислять несобственные интегралы стандартными квадратурными формулами.

Первое решение плоских нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах Т.А. Cruse и F.J. Rizzo в 1968г. В работе G.V. Narayanan и D.E. Beskos [147] было предложено применять совместно с МГЭ для решения нестационарных динамических задач метод Дурбина [119].

Первый МГЭ-подход во временной области, был представлен в работе W.J. Mansur [136, 137]. Обобщение его подхода дано в работе Н. Antes [108]. Применение МГЭ для решения произвольных двумерных нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах J. Niwa [149] и G.D. Manolis [135]. Использование МГЭ для задач с включениями и полостями описано в работе S. Hirose [125].

Распространение традиционного МГЭ-подхода непосредственно во временной области на решение трехмерных нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах Н.М.Хуторянского [99].

Формулировка М. Schanz и Н. Antes [161], базирующаяся на методе, предложенном С. Lubich [133], позволила разрабатывать не традиционным способом применение МГЭ во временной области. Существенным преимуществом этого подхода является возможность использования для анализа волновых процессов, не зная фундаментального решения в явном времени [159, 160].

МГЭ признанно эффективен для анализа изотропных упругих конструкций. Однако при работе с анизотропными материалами возникают известные трудности при выводе и реализации фундаментальных решений. Часто используемым методом получения фундаментальных решений в динамических задачах теории упругости является преобразование Фурье, которое в изотропном случае позволяет получить конечные выражения для фундаментальных решений в частотной области, но в анизотропном

случае оно приводит к решениям, выражающимся через бесконечные интегралы. Работы V.T. Buchwald [113], M.J. Lightiii [132] и M.J.P. Musgrave [146], впоследствии использованные в работе M.J.P. Musgrave [145] для сред с общей степенью анизотропии, а Payton [155] для грансверсально изотропных сред являются основополагающими в этом направлении. Также свой вклад внесли Tsvankin и Chesnokov [171], R. Burridge и ко. [114], M.N. Kazi-Aoual и др. [127] и II. Zhu [180]. Тем не менее, во всех этих работах фундаментальные решения в неявном виде требуют вычисления бесконечных интегралов и не подходят для эффективного применения в МГЭ. Интегральные представления на данный момент имеются для упругих статических анизотропных задач (J.L. Synge (1957)). Вычисление статических фундаментальных решений с помощью интерполяционного подхода было впервые описано в работе R.D. Wilson и Т.A. Cruse [179]. Полиномиальный метод построения анизотропных и электроупругих функций Грина был предложен в работах Е. Pan, Г. Топоп и др. [151, 170]. Попытки разработать эффективные схемы для вычисления фундаментальных решений с использованием альтернативных аналитических форм - с использованием представления через ряды Фурье-были предприняты в работах Y.C. Shiah и др. [162-164]. C.Y. Wang и J.D. Achenbach [173,174] подошли к задаче нахождения динамической функции Грина в анизотропных средах с помощью интегрального преобразования Радона, получив выражение для фундаментальных решений в частотной области через интегралы, определенные на поверхности единичной сферы для трехмерных задач и на единичной окружности для двухмерных задач. Статическое фундаментальное решение и представления C.Y. Wang и J.D. Achenbach дают возможность эффективной численной реализации. В работе М. Kogl, L. Gaul (2003) [121] развит МГЭ для решения нестационарных задач теории упругости со связанными полями на основе приближенного метода с двойными использованием теоремы взаимности.

МГЭ в электроупругости тесно связан с анизотропными материалами. Ознакомиться с методами определения констант электроупругих материалов можно в работе И.А. Паринова и др. [106]. Первое трехмерное фундаментальное решение статического электроупругого оператора произвольной анизотропии было получено W.F.J Deeg (1980). Фундаментальные решения для динамической электроупругости были получены A.N.Norris (1994) [107, 150], а решения во временной области были получены Н.М. Хуторянским и II. Sosa (1995). Для МГЭ ценность представляет подход с представлением матрицы Грина на базе использования интегрального преобразования Радона.

Цель работы состоит в создании гранично-элементного методического и программного обеспечения на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток для решения начально-краевых трехмерных задач динамики электроунругих и анизотропных упругих однородных тел при смешанных краевых условиях, а также в проведении численных исследований динамики упругих анизотропных и электроупругих трехмерных тел.

Методика исследований основана на точных граничных интегральных уравнениях в пространстве изображений по Лапласу для прямого подхода трехмерных линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости; построении динамических фундаментальных анизотропных упругих и электроупругих решений на базе использования интегрального преобразования Радона; на численном моделировании в изображениях по Лапласу методом граничных элементов; на применении метода коллокации и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа.

Научная новизна работы заключается в следующем: гранично-элементное моделирование статических и динамических краевых/начально-краевых задач смешанного типа трехмерных линейных теорий анизотропной упругости и элекгроупругости реализовано на основе матриц Грина в форме Радона и шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа; в использовании комбинированного подхода к вычислению анизотропных функций Грина в точках интегрирования; в оригинальном программном обеспечении, реализующем в рамках ГЭ-подхода согласованную модель аппроксимации на основе четырехугольных элементов; в гранично-элементном решении статических анизотропных упругих и электроупругих задач; гранично-элементном моделировании стационарных задач анизотропной теории упругости; шаговом ГЭ-моделировашш решения задачи о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец трехмерного анизотропного упругого Г-образного однородного тела; решении нестационарной трехмерной электроупругой задачи для Г-образного тела со смешанными краевыми условиями; ГЭ-моделировании динамического прогиба композитной балки.

Достоверность исследований основана на строгом соответствии исходных начально-краевых задач в частных производных линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости системе используемых точных граничных интегральных уравнений в изображениях по Лалпасу; на применении корректно построенных

дискретных аналогов регуляризованных ГИУ; на применении оттестированных подходов к вычислению анизотропных фундаментальных решений; на тщательно проработанных алгоритмах численной реализации гранично-элементного подхода; на анализе сеточной и шаговой сходимостей получаемых ГЭ-решений и их сравнении с аналитическими результатами и с решениями других авторов.

Практическая значимость диссертационного исследования состоит в создании методического и программного обеспечения для численного моделирования статики и динамики однородных трехмерных анизотропных упругих и электроупругих тел с использованием интефалыюго преобразования Лапласа; шаговом гранично-элементном моделировании задачи о действии нестационарной силы на анизотропное упругое или электроупругое трехмерное однородное тело; ГЭ-решении с помощью полученной методики трехмерной краевой электроупругой динамической задачи смешанного типа.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Развитие и создание гранично-элементного методического и программного обеспечения решения краевых/начально-краевых задач статики и динамики трехмерных однородных электроупругих и анизотропных упругих тел на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения преобразования Лапласа.

2. Гранично-элементное моделирование следующих задач равновесия:

- о действии давления внутри сферической полости в анизотропном пространстве;

- смешанная задача об упругом анизотропном кубе с полостью;

- о действии разности потенциалов, приложенных к торцам однородного электроупругого Г-образного тела;

- о действии равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной плотности заряда на призматическое электроуиругое тело;

- о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства;

- контактная задача Герца для электроупругого полупространства;

3. Гранично-элементное моделирование следующих динамических задач:

- о действии стационарной нагрузки на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела;

- о действии одноосной стационарной растягивающей нагрузки на упругое анизотропное призматическое тело;

- о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного анизотропного трехмерного упругого тела;

- о действии нестационарной нормальной силы на упругую композитную балку;

- о действии электрического потенциала и нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на однородное Г-образное электроупругое тело.

Апробации работы

Результаты диссертационной работы докладывались на XII международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону,

2008), XIV Нижегородской сессии молодых ученых - математические науки (II. Новгород,

2009), XV Нижегородской сессии молодых ученых - математические науки (II. Новгород,

2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (И. Новгород, 2011), XVIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2012), XIX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2013), форуме молодых ученых (II. Новгород, 2013), XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2013), VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013), XX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Вятичи, 2014), III Международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014)» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школе (Саров, 2014).

Публикации

Опубликовано 19 работ [32-43, 52-57, 126], из них 13 по теме диссертации. В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций, опубликовано 6 работ в соавторстве [33, 34, 36, 42, 43, 53]. Результаты работ [33, 34, 36, 42, 43, 53] принадлежат И.П. Маркову кроме постановок задач и постпроцессорных представлений результатов исследований.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 180 наименований. Общий объем диссертации составляет 168 страниц машинописного текста, включая 235 рисунков и 69 таблиц.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-3367.2008.8 2008-2009 гг.; № НШ-4807.2010.8. 2010-2011гг.; № НШ-2843.2012.8 2012-201 Згг.; № НШ-593.2014.8 20142015гг.); средствами ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2011 - 2013 годы (ГК №14.740.11.0872 от 29 апреля 2011г., ГК №14.1337.21.1137 от 13 октября 2012г., ГК №14.1337.21.1249 от 14 сентября 2012г., ГК №14.В37.21.0471 от 3 сентября 2012г., ГК №14.В37.21.1495 от 1 октября 2012г., ГК №14.В37.21.1866 от 4 октября 2012г., ГК №14.В37.21.1902 от 4 октября 2012г.); грантами РФФИ (проект № 12-08-00984-а, № 12-08-31572-мол_а, № 12-08-00698-а, № 13-08-00531-а, № 13-08-00658-а, № 14-08-00811-а, 14-08-31410-мол_а (руководитель проекта)).

Введение содержит краткий обзор работ, в основном посвященный применению граничных интегральных уравнений и метода граничных элементов к решению статических и динамических трехмерных краевых/начально-краевых задач линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости; обоснование актуальности темы диссертационного исследования; формулировки целей работы и основных положений, выносимых на защиту. Во введении приведен перечень конференций и публикаций, где были представлены основные результаты диссертационной работы; содержится информация о структуре и объеме работы; приведены сведения об источниках финансирования работ, проводимых по теме диссертационного исследования.

В первом параграфе главы I даны основные соотношения линейной анизотропной теории упругости, представлена математическая постановка начально-краевой задачи. Приведены уравнения движения сплошной электроупругой среды, записан закон Гаусса для случая квази-статического электрического поля. Выписаны физические соотношения, определяющие связанность упругого и электрического полей. Приведены связанные дифференциальные уравнения в частных производных движения линейной электроупругой среды. Описаны сокращенные обозначения, которые позволяют ввести обобщенные тензоры и векторы, объединяющие электрические и упругие переменные. Сформулирована обобщенная начально-краевая

задача, позволяющая рассматривать задачи анизотропной теории упругости и электроупругости с единых позиций.

Во втором параграфе записан вид обобщенной начально-краевой задачи после применения интегрального преобразования Лапласа по временной переменной при отсутствии объемных сил и нулевых начальных условиях. На основе теоремы взаимности Бетти и формулы Сомильяны приведены ГНУ прямого подхода в пространстве изображений по Лапласу. Представлена гранично-элементная дискретизация на основе регуляризованных ГИУ. Приведена гранично-элементная методика решения ГИУ на основе согласованной поэлементной аппроксимации, позволяющая получить решения, параметризованные комплексным параметром преобразования Лапласа. Кратко описан метод квадратур сверток для численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Его частный случай в форме шагового метода используется для получения решения во временной области.

Третий параграф содержит краткое описание программного комплекса гранично-элементного моделирования трехмерных краевых задач анизотропной упругости и электроупругости на базе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток.

В главе II представлены выражения анизотропных динамических фундаментальных решений (функций Грина) для линейных теорий упругости и электроупругости. Описаны различные подходы к вычислению статической части функций Грина. Приведены выражения статических функций Грина для трансверсально изотропных упругих и электроупругих сред. Проведено тестирование численной реализации подходов к построению статических фундаментальных решений. Приведены полутоновые трехмерные визуализации статических функций Грина на единичной сфере для упругих материалов с различной степенью анизотропии и для полностью анизотропного электроупругого материала. Проведен ряд численных экспериментов для верификации численной реализации схемы вычисления динамических анизотропных фундаментальных решений.

В первом параграфе даны выражения динамических анизотропных фундаментальных решений в пространстве изображений по Лапласу в виде суммы сингулярной и регулярной частей для упругих и электроупругих сред, полученные на основе метода с применением интегрального преобразования Радона. Описаны следующие подходы к построению статических анизотропных упругих и электроупругих функций Грина: интегральный, полиномиальный, с применением рядов Фурье и интерполяционный. Приведенные выражения статических функций Грина для

траиснерсально изотропных упругих и электроупругих сред использовались для тестирования численной реализации методов построения статических фундаментальных решений. Представлены трехмерные визуализации в виде поверхностей компонент анизотропной упругой статической матрицы Грина в точках на единичной сфере для четырех различных анизотропных материалов: монокристалла алюминия, ниобата бария-натрия, сапфира и углепластика. Для электроупругой среды визуализации приведены для полностью анизотропного материала. Для установления работоспособности и корректности численной реализации схемы построения динамических анизотропных фундаментальных решений проведен ряд численных экспериментов.

Во втором параграфе для верификации предложенной гранично-элементной методики решения статических задач линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости с интерполяционным способом вычисления функций Грина решены две модельные задачи. Полученные ГЭ-решения приведены в сравнении с аналитическими результатами и результатами других авторов. Проведен тест на вычислительную эффективность описанных методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений при непосредственном применении в разработанном гранично-элементном программном комплексе. Установлено, что интерполяционный подход имеет наибольшую эффективность для практического применения.

Глава III содержит результаты гранично-элементного моделирования трехмерных задач статики и динамики анизотропных и электроупругих однородных тел.

В первом параграфе решены следующие статические упругие задачи: о действии давления внутри сферической полости, расположенной в неограниченной анизотропной упругой среде; смешанная задача о полости внутри анизотропного упругого куба. Рассмотрены две стационарные задачи: о действии нагрузки на торец однородного анизотропного Г-образпого упругого тела; об одноосном растяжении упругого анизотропного призматического тела. Полученные на разных ГЭ-сетках результаты позволяют сделать вывод о наличии сеточной сходимости; ГЭ-решения приведены в сравнении с аналишческими решениями и результатами других авторов. Решена задача анизотропной упругой динамики о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного анизотропного упругого тела. Даны сравнения полученных ГЭ-решений с конечно-элементными (КЭ) и ГЭ-решениями другах авторов, полученных по приближенному методу с двойным использованием теоремы взаимности. Помимо сеточной сходимости исследована сходимость по параметру шагового метода обращения преобразования

Лапласа. Представлены решения задачи о динамическом изгибе композитной балки от действия нестационарной силы. ГЭ-решения сравнивались с данными по динамическому эксперименту и КЭ-решениями, полученными в программных комплексах конечно-элементного моделирования «Динамика-3 »* и ANS YS. Продемонстрировано хорошее соответствие полученных численных решений результатам эксперимента.

Второй параграф посвящен гранично-элементному моделированию задач электроупругости. Решены следующие статические задачи: о действии разности потенциалов, приложенной к Г-образному однородному электроупругому телу; о действии вертикальной силы или заданной поверхностной плотности заряда на торец призматического электроупругого тела; о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства; контактная задача Герца для электроупругого полупространства и контактная задача Герца с дефектом. Проведено сравнение полученных гранично-элементных решений с известными аналитическими решениями и результатами других авторов. Дано решение задачи электроупругой динамики о совместном действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени и электрического потенциала на Г-образное однородное элсктроупругое тело. Исследована сеточная и шаговая сходимость. Приведено сравнение ГЭ-решений с КЭ- и ГЭ-решениями других авторов, полученных по приближенному методу с двойным применением теоремы взаимности.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационном исследовании.

* Сертификат соответствия Госстандарта России № РОСС RU.ME20.H00338

Глава I

Постановки задач, метод, методика решения и программная реализация

1.1. Математическая модель Основными соотношениями линейной анизотропной теории упругости являются уравнение движения сплошной среды (уравнение Коши), выражающее баланс импульса:

и закон сохранения импульса:

Эти уравнения дополняются выражениями для линейного тензора малых деформаций Коши-Грина и обобщенным законом Гука:

где сг - компоненты тензора напряжений, / - компоненты вектора объемной силы, р — плотность материала, и1 - компоненты вектора перемещений, С к, - тензор модулей упругости и е — компоненты линейного тензора деформации.

Компоненты вектора поверхностных усилий определяются как:

Объединяя эти уравнения, можно получить уравнения движения (уравнения Навье) для анизотропного упругого тела Пей3 с границей Г:

сциик. й+1}= ри} > = 1,3

Чтобы полностью поставить начально-краевую задачу, уравнения движения необходимо дополнить начальными и граничными условиями:

: и1 на Г", Г, = 7, на Г', = 0) = 0 в £2, ¿,(7 = 0) = 0 в £1

Рассмотрим однородную линейную электроупругую среду. При допущении, что электрическое поле является квази-статическим, уравнения движения сплошной электроупругой среды и закон Гаусса имеют следующий вид [115, 121, 154, 168]:

А,, = л

где ац - компоненты тензора напряжений, / - компоненты вектора объемной силы, р — плотность материала, ut - компоненты вектора упругих перемещений, Ц - компоненты вектора электрической индукции, р — плотность электрического заряда. В силу того, что пьезоэлектрические материалы являются диэлектриками, они не содержат свободных электрических зарядов: р = 0.

Для линейного электроупругого материала связанность упругого и электрического полей описывается следующими физическими соотношениями:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Марков, Иван Петрович, 2014 год

Список литературы

1. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями . М.: Наука, 1986. 336с.

2. Александров А.Я. Решение основных задач теории упругости путем численной реализации метода интегральных уравнений. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С.3-24.

3. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Паука, 1984. 256с.

4. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 343 с.

5. Баженов В.Г., Игумнов JI.A. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

6. Брагов A.M., Ломунов А.К. Использование метода Кольского для динамических испытаний конструкционных материалов // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз.сб. / Нижегородский ун-т, 1995, N51. С. 127-137.

7. Брагов A.M., Ломунов А.К. Особенности построения диаграмм деформирования методом Кольского // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т, Горький. 1984. Вып.28. С.125-137

8. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344с.

9. Будаев B.C. Об одной краевой задаче динамики упругих анизотропных сред. Динамика сплошной среды. В. 14. Новосибирск. COAII СССР. 1973. С.22-29.

10. Будаев B.C. Упругие волны в кристаллах металлов.// Прикладная механика. 1975.'Г. 11. № 5. С.93-98.

11. Верюжский Ю.В. Метод потенциала в статических задачах строительной механики. М., 1981.

12. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

13. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

14. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246с.

15

16

17

18

19

20

21

22

23.

24

25

26

27

28

Галин JI.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 304с.

Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных трердых волноводов. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. 144с.

Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга H.A., Гузь А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5. Динамика упругих тел. Киев: Наук, думка, 1986. 288 с.

Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений трехмерных задач теории упругости. Препринт № 33 ИПМ АН СССР, М. 1973. 56с.

Гольдштейн Р.В. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде // Механика твердого тела. 1979. № 3. С. 111-126.

Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995. 352с.

Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев: Наукова думка, 1978. 264 с.

Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Паук, думка, 1981. 284 с.

Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 3. Равновесие упругих тел канонической формы. Киев: Наук, думка, 1985. 280 с.

Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницкий В.Б. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными напряжениями. Киев: Вищ.школа, 1995. 304с. Гузь А.П., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наук, думка, 1978. 308 с.

Гузь А.Н., Немиш IO.II. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 2. Статика упругих тел неканонической формы. Киев: Наук, думка, 1984. 280 с.

Зволинский Н.В. Волновые задачи в теории упругости непрерывной среды.// Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 1. С. 109-123.

Зволинский Н.В. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской границе раздела двух упругих сред. I.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1957. №10. С. 1201-1218.

29. Зволинский H.B. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской границе раздела двух упругих сред. II.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. №1. С. 3-9.

30. Зволинский Н.В. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской границе раздела двух упругих сред. III.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. №2. С. 165-174.

31. Зволинский Н.В., Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Динамика деформируемых тел. Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. М.: Наука. 1972. С 291-323.

32. Игумнов Л.А., Марков И.П. Гранично-элементное моделирование динамики трехмерных анизотропных и электроупругих тел // Математика и математическое моделирование: сборник материалов VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школы. Саров, 8-11 апреля 2014. Саров: ООО «Интерконтакт». 2014. С.23.

33. Игумнов Л.А., Марков И.П. Гранично-элементное моделирование трехмерных краевых задач электроупругого равновесия // Проблемы прочное™ и пластичности. Межвуз.сб. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. Вып. 75(3). С. 185-191

34 Игумнов Л.А., Марков И.П. Гранично-элементный расчет электромеханических полей трехмерной пьезоупругой керамики // Вестник Нижегородского университета им. II.И. Лобачевского. I-I. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. Вып. 3(1).

35. Игумнов Л.А., Марков И.П. Применение метода ГИУ для решения краевых динамических упругопластических задач в трехмерной постановке. Электронное методическое пособие. Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011. 21с.

36. Игумнов Л.А., Марков И.П. Применение метода граничных элементов для анализа динамики анизотропных упругих тел // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз.сб. II. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2014. Вып. 76(1). С. 65-69

37. Игумнов Л.А., Марков И.П., Аменицкий A.B., Петров А.Н. Волны от действия ударной силы по телу на полупространстве в пороупругой постановке // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. -М.: ООО мТР-Принт", 2013. Т.1. С.8.

38. Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю. Методы квадратур сверток, Дурбнна и граничного элемента в динамических задачах упругих тел // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XII международной конф., г. Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008г. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». 2008. Т. С. 95-98.

39. Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю. Применение метода граничных элементов для решения трехмерных задач равновесия анизотропной теории упругости с сопряженными полями // Материалы XX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. T.l. М.: ООО "ТР-Принт". 2014. С.89.

40. Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Матрица Грина трехмерной теории термоупругости // Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. М.: ООО "ТР-Принт". 2012. Т.1.С.88.

41. Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Построение матриц Грина и гранично-элементное моделирование трехмерных краевых задач упругого равновесия с сопряженными полями // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. 23 сентября - 26 сентября 2013 г. Санкт-Петербург, Россия. Труды. Том 1. (Тезисы докладов). Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. С.94-96.

49 Игумнов Л.А., Марков И.П., Пазин В.П. Гранично-элементное решение краевых задач трехмерной анизотропной теории упругости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород: Изд-во ИНГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. Вып. 1(3). С. 115-119.

43. Игумнов Л.А., Марков И.П., Пазин В.П., Ипатов A.A. Гранично-элементное построение решений для трехмерной матрицы Грина // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз.сб. - II. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. Вып. 75(2). С.123-129.

44. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М. Изд-во МГУ, 1992. 204с.

45. Кадырбеков T.B. Нелинейные колебания вязкоупругой балки. Сейсмостойкость подземных сооружений и натурное исследование зданий. Ташкент: Фан. 1976. С. 159-167.

46. Кольский Г. Исследования механических свойств материалов при больших скоростях нагружения // Механика. Вып. IV. М.: ИЛ, 1950. С. 108-119.

47. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова думка, 1985. 175с.

48. Костров Б.В. Автомодельные смешанные динамические задачи о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство. // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и маш. 1964. №4. С.54-62.

49. Лазарев М.И. Метод граничных интегральных уравнений. Алгоритмы и их реализация // Информационный материал, НИВЦ АН СССР. Пущино-на-Оке, 1984. 54 с.

50. Лаша Ж.К., Уотсон Дж.О. Усовершенствованная программа для решения трехмерных задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений // Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. М.: Мир, 1978. С. 111-128.

Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1950. 299с.

52. Марков И.П. Интерполяционное построение матриц Грина // Форум молодых ученых: Тезисы докладов. Том 1. Нижний Новгород: Изд-во ИНГУ им. II.И. Лобачевского, 2013. С. 78-79

53. Марков И.П. Применение граничных интегральных уравнений к решению трехмерных краевых задач упругопластики // Вестник ИНГУ. Сер. Механика.

- Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. Вып.4(4) Доклады X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. С. 1611-1612.

54. Марков И.П. Применение граничных интегральных уравнений к решению трехмерных краевых задач упругопластики // Современные методы механики

- X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г.). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. I I. И. Лобачевского, 2011. - С. 104-105

55. Марков И.П., Лаганкин A.C., Ильин A.C., Литвинчук С.Ю. Графическая визуализация результатов гранично-элементного моделирования динамики упругих тел // 14 Нижегородская сессия молодых ученых - математические науки. Н.Новгород: Гладкова О.В., 2009 г. С. 33-34.

56. Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Белов A.A. Гранично-элементные схемы с переменным шагом в трехмерных краевых задачах пороупругой динамики // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. г.Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013 г.: в 2 т. Т. II. Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2013. С. 91-95

57. Марков И.П., Пазин В.П., Литвинчук С.Ю. Перемещения и напряжения в анизотропной и электроупругой среде от действия сосредоточенного источника // 15 Нижегородская сессия молодых ученых - математические науки. Н.Новгород: Гладкова О.В., 2010 г. С. 52.

58. Мельников Ю.А., Красникова Р.Д. Построение функций Грина некоторых граничных задач математической физики. Днепропетровск: ДГУ, 1981. 55 с.

59. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1936. N76. С. 1-19.

60. Михлин С.Г. Метод граничных интегральных уравнений. Серия: Механика // Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1978. Вып. 15. 209 с.

61. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 182с.

62. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

63. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи математической теории упругости. Киев: Наук, думка, 1985. 176 с.

64. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

65. Николаев О.П. Разработка и применение модифицированной методики граничных элементов для трехмерных смешанных задач упругого равновесия: автореф. канд. дисс. / Николаев Олег Петрович. - Горький: ГГУ, 1983.

66. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977.-312 с.

67

68.

69

70

71

72

73

74

75

76.

77,

78

79

80

81

82

Пстрашеиь Г.И. О рациональном методе решения задач динамической теории упругости в случае слоисто - изотропных областей с плоско - параллельными границами раздела. // УЧ. зап. ЛГУ. Сер. мат. 1956. № 208. В. 30. С. 5-59. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука, 1980. 280с.

Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто - изотропных средах, разделённых параллельными плоскостями.// УЧ. зап. ЛГУ. Сер.. мат. 1952. №162. В. 26. 188 с.

Петрашень Г.И., Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лемба в случае полупространства.//УЧ. зап. ЛГУ. Сер. мат. 1950. № 35. В. 21. С.71-118. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. Л.: Наука, 1982. 289с.

Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги. Препринт 97-1. Казань: Изд-во Казапск. матем. об-ва, 1997. 22 с.

Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. 240 с.

Попов Г.51. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания. Киев; Одеса: Вища школа, 1982. 168 с.

Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328с.

Рвачев B.JL, Синек on H.С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. Киев: Наук, думка, 1990. 216 с.

Сарайкин В.А., Слепян Л.И. Плоская задача о динамике трещины в упругом теле. // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 4. С.54-73.

Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1983. 260 с. Свекло В.А. Задача Лемба при смешанных i-раничных условиях. // ДАН СССР. 1954. Т. 95. № 4. С. 737-740.

Свекло В.А. К решению динамических задач плоской теории упругости для анизотропного тела. // ПММ. 1961. Т.25. № 5. С.885-896. Свекло В.А. Смешанная задача для упругой анизотропной полуплоскости. // ПММ. 1962. Т. 26. № 5. С.896-905.

Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1984. 560с.

83. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наукова думка, 1976. 284с.

84. Сеймов В.М., Трофимчук А.II., Савицкий О.А. Колебания и волны в слоистых средах. Киев: Наук.думка, 1990. 224с.

85. Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Известия вузов. Математика. 1996. №8. С.474-477.

86. Сеницкий Ю.Э. Динамическое кручение конечного анизотропного цилиндрического слоя. // Прикладная механика. 1985. Т.21. №6. С.11-17.

87. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов. Изд-во Саратов, ун-та. 1985. 176с.

88. Сеницкий Ю.Э. Метод конечных интегральных преобразований и его перспективы в решении краевых задач прикладной теории упругости. // Труды международной конференции "Численные и аналитические методы расчёта конструкций". Самара. 1998.

89. Сеницкий Ю.Э. О решении динамической задачи для упругой анизотропной прямоугольной области. // Расчёт пространственных строительных конструкций. Межвузовский сб. науч. ст. / Куйбышевский госуниверситет. 1981.С. 3-13.

90. Сеницкий Ю.Э. Обобщенные биортогопальные конечные интегральные преобразования и их приложение к нестационарным задачам механики // ДАН России. 1995. Т.341. №4. С.474-477.

91. Сеницкий Ю.Э. Обратные задачи динамики для неоднородных анизотропных цилиндра, сферы и стержня. Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев. Будцвелышк. 1984. В.45. С.27-32.

92. Сеницкий Ю.Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при действии произвольной радиально-симметричной динамической нагрузки // Прикладная механика. 1978. Т. 14. №5. С.9-15.

93. Сеницкий Ю.Э., Марченко В.А. Динамика двойной упругосиязанной балки // Известия вузов. Строительство. 1996. Т.1. С. 18-24.

94. Сеницкий Ю.Э., Марченко В.А. Напряженно-деформированное состояние неоднородных пологих сферических оболочек при нестационарном локальном неосесимметричном загружении // Труды Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов. 1997. Т.1. С.53-58.

95. Сеницкий Ю.Э., Савельев O.JI. Свободные колебания прямоугольной пластины, несущей сосредоточенную массу // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1982. №3. С.45-52.

96. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 374с.

97. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л. Судостроение. 1980. 344с.

98. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / В.Д. Купрадзе [и др.]; ред. В.Д. Купрадзе. Изд. 2-е. М.: Наука, 1976. 664с.

99. Угодчиков А.Г., Хуторянский II.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во КРУ, 1986. 296с.

100. Федечев А.Ф. Динамическая задача термоупругости для анизотропного сферического слоя. // 1 Сб. Расчет простран. строит, конструкций. Куйбышев 1981. В. 9. С. 21-27.

101. Филиппов И.Г. Приближённый метод решения динамических задач для линейных вязкоупругих сред. // ПММ. 1979. Т.43. Вып.1. С.132-137.

102. Фролов В.II. Специальные классы функций в анизотропной теории упругости. Ташкент: Изд-во "ФАН" УзССР, 1981. 224с.

103. Черных К.Ф., Литвиненкова 3.II. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1988. 256с.

104. Ях Г.И., Адлуцкий В.Я. Об одном алгоритме решения трехмерных задач упругого равновесия методом граничных интегральных уравнений // Актуальные проблемы механики деформируемых сред. - Днепропетровск: ДГУ, 1979.-С. 218-224.

105. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: Nort-Holland Publ. Co. 1973.425р.

106. Akopyan A.V., Soloviev A.N., Parinov I.A., Shevtsov S.N. Definition of Constants for Piezoceramic Materials. New York, Nova Science Publisher, Inc. 2010. 205 p.

107. Andrew N. Norris Dynamic Green's functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic and poroelastic solids // Proc.R.Soc.Lond. A (1994) 447. P.175-188.

108. Antes II., Panagiotopoulos P.D. The boundary integral Approach to static and dynamic contact problems // Int. Series of Numerical Mathematics 108. -Birkhauser, Basel, 1992. - 313 p.

109. Atkinson C. On axially symmetric expanding boundary value problems in classical elasticity//Engng. Sci. 1968. Vol. 6. № 1. P. 27-35.

110. Bacon D. J., Barnett D.M., Scattcrgood R.O. // Progress in Materials Science. Vol. 23. Oxford: Pergamon Press. Chap. 2: Anisotropic continuum theory of lattice defects, 1980. P. 251-262

111. Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic waves and sources. New York: SpringerVerlag, 1981. 1108p.

112. Bragov A.M., Lomunov A.K. Methodological aspects of studying dynamic material properties using the Kolsky method // Int. J. Impact. Engng. 1995. Vol.16, No2. P.321-330.

113. Buchwald V.T. Elasic waves in anisotropic media // Proc. R. Soc. A 1959; 253. P.563-580.

114. Burridge R., Chadwick P., Norris A.N. Fundamental elastodynamics solutions for anisotropic media with ellipsoidal slowness surfaces // Proc R Soc A 1993; 440: 655-681.

115. Cady W.G. Piezoelectricity. New York: Dover Publishers; 1964.

116. Cruse T. A. Numerical solutions in three-dimensional elastostafics // Int. J. Solids and Structures. 1969. № 6. P. 1259-1274.

117. Ding H, Liang J. The fundamental solutions for transversely isotropic piezoelectricity and boundary element method. Comp. Struct 1999; 71:445-455.

j jg Dravinski M., Zheng T. Numerical evaluation of three-dimensional time-harmonic Green's functions for a nonisotropic full-space // Wave Motion 2000; 32:141-151.

119. Durbin F. Numerical inversion of Laplace transforms: an efficient improvement to Dubner and Abate's method // The Computer Journal. 1974. Vol.17, 4. P.371-376.

120. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. New York etc.: McGraw-Hill Book Co. 1957. 380p.

121. Gaul L., Kogl M., Wagner M. Boundary Element Methods for Engineers and Scientists. Berlin Springer, 2003. 488 p.

122. Gel'fand I. M., Graev M. I., Vilenkin N.Y. Generalized Functions // New York, London: Academic Press; 1966.

123. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Oxford: Clarendon press, 1975. 666p.

j24 Ding H., Liang J. The fundamental solutions for transversely isotropic piezoelectricity and boundary element method // Computers and Structures 71 (1999) P.447-455, 1999 Elsevier Science Ltd.

125. I-Iirose S. Boundary integral equation method for transient analysis of 3-D cavities and inclusions // EngAnalBoundEleml991;8: 146-153.

126. Igumnov L.A., Markov I.P., Ipatov A.A., Litvinchuk S. Yu. Using the Boundary-Element Method for Analyzing 3-D Problems of Equilibrium of Anisotropic Elasticity with Conjugated Fields //2014 International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PIIENMA 2014): Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.38-39

127. Kazi-Aoual M.N., Bonnet M., Jouanna P. Response of an infinite elastic transversely isotropic medium to a point force, an analytical solution in Ilankel space // Geophys J 1988; 39: 587-590.

128 Kröner E. Das Fundamentalintegral der anisotropen elastischen Differentialgleichungen//Z. Phys. 1953. 136,402^110.

129. Lachat, J.C. Effective numerical treatment of boundary integral equations: a formulation fot three-dimensional elastostatics / J.C. Lachat, J.O. Watson // Int. J. Numer. Mech. Eng. 1976. № 10. P. 991-1005.

130. Liew K. M., Liang J. Three-dimensional piezoelectric boundary clement analysis of transversely isotropic half-space // Computational Mechanics 32 (2003) 29-39 Springer-Verlag 2003.

131 Lifshitz I.M., Ilozenweig, L.N., On the construction of the Green's tensor for the basic equation of the theory of elasticity of an anisotropic infinite medium // J. Exp. Theor. Phys. JETP 1947. 17, 783-791

132. Lighthill M.J. Studies on magneto-hydrodynamic waves and other anisotropic wave motions. Philos Trans R Soc A 1960;252: 397^130.

j33 Lubich C. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. I. // Numerische Mathematik. 1988. № 52. P. 129-145.

134 Lubich C. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. II. // Numerische Mathematik. 1988. № 52. P. 413-142.

135. Manolis G.D. A comparative study on three boundary element method approaches to problem in elastodynamics // Int. J. Num. Meth. Eng. 1983. Vol. 19, 1. P.73-91.

136. Mansur W.J. A Time-Stepping Technique to Solve Wave Propagation Problems Using the Boundary Element Method // Phd thesis, University of Southampton, 1983.

137. Mansur W.J., Brebbia C.A. Transient Elastodynamics Using a Time-Stepping Technique// In Boundary Elements. Berlin, Springer-Verla, 1983. P.677-698.

138. Marijan Dravinski, Yuqing Niu Three-dimensional time-harmonic Green's functions for a triclinic full-space using a symbolic computation system // Int. J. Numer. Meth. Engng 2002; 53:455^172; 2001 John Wiley & Sons, Ltd.

139 Martin 1. Dunn, Wienecke A. green's functions for transversely isotropic piezoelectric solids // int. J. Solids structures vol. 33, no. 30, pp. 4571-4581, 1996 elsevier science Ltd.

140. Maue A.W. Die Beugung elastischer Wellen an der Halbebene. Z. Angew. II Math, und Mech. 1953. Bd. 33. H 1/2, P. 1-10.

141. Miklowitz J. The theory of elastic waves and waveguides. Amsterdam: North-Holland Publ. Co. 1978. 618p.

142. Milazzo A., Benedetti I., Aliabadi M.H. Hierarchical fast BEM for anisotropic time-harmonic 3-D elastodynamics // Computers and Structures 96-97 (2012) P. 924 2012 Elsevier Ltd

j 43 Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. Martinus Nijhoff Publishers, The Hague. 1982.

144 Mura T., Kinoshita N. Green's function for anisotropic elasticity // Phys. Status Sol. (b) 1971. 47. p. 607-618.

145. Musgrave M.J.P. Crystal acoustics. Holden-Day Inc.; 1970.

146. Musgrave M.J.P. Elastic waves in anisotropic media // In: Sneddon IN, Hill R, Progress in Solids Mechanics, vol. 2, 1961, North-Holland Publishing Company. P.64-85.

147. Narayanan G.V., Beskos D.E. Numerical operational methods for time-dependent linear problems//Int. J. Num. Meth. Eng. 1982. Vol.18 (12). P. 1829-1854.

148. Thurieau N., Njiwa R.K., Taghite M. A simple solution procedure to 3D-piezoelectric problems: Isotropic BEM coupled with a point collocation method // Engineering Analysis with Boundary Elements 36 (2012) 1513-1521 Elsevier Ltd. 2012.

149. Niwa Y., Kobayashi S., Azuma N. An analysis of transient stresses produced around cavities of arbitrary shape during the passage of traveling waves // Memo. Faculty of Eng. Kyoto Univ. 1975. Vol. 37. P.28^16.

150. Norris A.N. Dynamic Green's functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic and poroelastic solids // Proc. R. Soc. Lond. A (1994) 447, 175-188.

151. Pan E., Tonon F. Three-dimensional Green's functions in anisotropic piezoelectric solids // Int J Solids Struct 2000;37:943-958.

15"? Pan Y.-C., Chou T.-W. Point force solution for an infinite transversely isotropic solid // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 43 1976. (4), 608-612.

153. Pao Y.H. Elastic waves in solids. Trans. ASME //J. Appl. Mech. 1983. December. Vol. 50. №4. P. 1152-1162.

154. Parton V.Z., Kudryavtsev B.A. Electrocmagnetoelasticity. Gordon and Breach Science Publishers; 1988.

155. Payton R.G. Elastic wave propagation in transversely isotropic media. Martinus Nijhoff Publishers; 1983.

156. Pleshchinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable in a closed form and their applications // Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific fc Technical. New York, 1991. V. 256. P. 246-256.

157 Pouya A. Green's function solution and displacement potentials for Transformed Transversely Isotropic materials // European Journal of Mechanics A/Solids 26 (2007) 491-502. 2006 Elsevier Masson SAS.

158. Rizzo F.J., Shippy D.J. An advanced boundary integral equation method for three-dimensional thermoelasticity // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1977. - Vol. 11, № 11.-P.1753-1768.

159. Schanz M. A boundary element formulation in time domain for viscoelastic solids // Commun Numer Methods Eng 1999; 15: 799-809.

160. Schanz M. Application of 3D time domain boundary element formulation to wave propgation in poroelastic solids // Eng Anal Bound Elem 2001; 25: 367-76.

161. Schanz M. Wave Propogation in Viscoelastic and Poroelastic Continua // Berlin Springer, 2001. 170 p.

162. Shiah Y.C., Tan C.L., Lee R.F. Internal point solutions for displacements and stresses in 3D anisotropic elastic solids using the boundary element method // CMES: Comput. Model. Eng. Sci. 2010. 69, 167-197

163. Shiah Y.C., Tan C.L., Lee V.G. Evaluation of explicit-form fundamental solutions for displacements and stresses in 3D anisotropic elastic solids // CMES: Comput. Model. Eng. Sci. 2008. 34, 205-226.

164. Shiah Y.C., Tan C.L., Wang C.Y. Efficient computation of the Green's function and its derivatives for three-dimensional anisotropic elasticity in BEM analysis // Eng. Anal. Boundary Elem. 2012. 36, 1746-1755.

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

Shiah Y.C., Tan C.L., Wang C.Y. Efficient computation of the Green's function and its derivatives for three-dimensional anisotropic elasticity in BEM analysis // Engineering Analysis with Boundary Elements 36 (2012) 1746-1755; 2012 Elsevier Ltd.

Skalak R. Longitudinal impact of a semi - infinite circular elastic bar. II J. Appl. Mech. 1967. Vol. 24. № 1. P. 59 - 64.

Tan C.L., Shiah Y.C., Wang C.Y. Boundary element elastic stress analysis of 3D generally anisotropic solids using fundamental solutions based on Fourier series // International Journal of Solids and Structures 50 (2013) P.2701-2711

Tiersten H.F. Linear piezoelectric plate vibrations. New York: Plenum Press; 1969.

Ting T.C.T., Lee V.G. The three-dimensional elastostatic Green's function for general anisotropic linear elastic solid // Q J Mech Appl Math 1997; 50:407-426. Tonon F., Pan E., Amadei B. Green's functions and boundary element method formulation for 3D anisotropic media // Computers and Structures 2001. 79, 469482.

Tsvanskin I.D., Chesnokov Y.M. Wave fields of point sources in arbitrary anisotropic media // Izv Earth Phys 1989;25:528-540.

Van Loan C.F. Introduction to Scientic Computing. Prentice-IIall, Englewood CliJs, NJ, 1997.

Wang C.Y., Achenbach J.D. Elastodynamic fundamental solution for anisotropic Solids // Geophys J Int 1994; 118:384-392.

Wang C.Y., Achenbach J.D. Three-dimensional time-harmonic elastodynamic Green's functions for anisotropic solids // Proceedings of the Royal Society of London A 1995;449:441-458.

Wang C.-Y., Denda M. 3D BEM for general anisotropic elasticity // International Journal of Solids and Structures 44 (2007) P.7073-7091.

Wang C.Y., Zhang Ch. 3-D and 2-D Dynamic Green's functions and time-domain BIEs for piezoelectric solids // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 454-465; 2005 Elsevier Ltd

Willis J.R. Self- similar problems in elastodynamics. II Phil. Trans. Roy. Soc. London, ser. A. 1973. Vol. 274. №1240. P.435-491.

Willis J.R. The elastic interaction energy of dislocation loops in anisotropic media // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1965. 18, 419.

179. Wilson R.D., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional boundary-integral equation stress analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1978. 12, 1383-1397.

180. Zhu H. A method to evaluate three-dimensional time-harmonic elastodynamic Green's functions in transversely isotropic media // J Appl Mech 1992; 59: 587-

590.