Градуированные пары редуктивных комплексных супералгебр Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сударкин, Андрей Вадимович

• Сударкин, Андрей Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сударкин, Андрей Вадимович

Введение

Гл. 1. Определение и простейшие свойства градуированных пар

§1. Предварительные сведения

§2. Градуированные пары редуктивных супералгебр Ли

§3. Градуированные пары редуктивных алгебр Ли

Гл. 2. Классификация Д-градуировок первого типа простых супералгебр Ли серии А

§1. Предварительные сведения. Случай, когда алгебра Ли gg имеет непростой коммутант

§2. Случай, когда алгебра Ли gg имеет простой коммутант

Гл. 3. Классификация А-градуировок второго типа простых супералгебр Ли серии А

§1. Предварительные сведения и леммы

§2. Случай, когда ^-градуировка коммутанта алгебры Ли gg есть сумма нетривиальной и тривиальной Жг-градуировок

§3. Случай, когда ^-градуировка коммутанта алгебры Ли gg есть сумма двух нетривиальных ^-градуировок

§4. Случай, когда алгебра Ли gg имеет простой коммутант

Гл. 4. Градуированные пары и параболические подалгебры

§1. Параболические подалгебры редуктивных супералгебр Ли, их связь с градуированными парами

§2. Параболические подалгебры супералгебр Ли slm|„, определяемые их Д-градуировками

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Градуированные пары редуктивных комплексных супералгебр Ли»

Понятие алгебры Ли, градуированной некоторой неразложимой системой корней, было введено в работе [3]. В работе Нерви [8] была дана классификация всех градуировок простых комплексных алгебр Ли системами корней их простых подалгебр, основанная на связи, существующей между такими градуировками и параболическими подалгебрами объемлющей алгебры Ли. В этой работе отмечена также связь, существующая между градуировками системами корней и парами Хау (или дуальными парами) редуктивных подалгебр простой алгебры Ли, классификация которых была дана в [9].

В ряде работ, появившихся в последнее время (см., например, [2,1]), понятие алгебры Ли, градуированной системой корней, было обобщено на случай супералгебр Ли. В них получено описание произвольных, не обязательно конечномерных, комплексных супералгебр Ли, градуированных системами корней их классических простых подалгебр. В то же время естественным обобщением результата работы [8] была бы классификация классических простых супералгебр Ли, градуированных системами корней их классических простых подалгебр. Этому вопросу и посвящена настоящая диссертационная работа.

Основными научными результатами диссертации являются следующие результаты:

1. Изучены общие свойства градуировок редуктивной комплексной супералгебры Ли системами корней ее редуктивных подалгебр. Установлены связи этих градуировок с 22-градуировками четной части супералгебры Ли, позволяющие свести задачу их классификации к аналогичной задаче для полупростых алгебр Ли.

2. Дана классификация градуировок простых супералгебр Ли серии А системами корней их классических простых подалгебр.

3. Установлена связь изучаемых градуировок редуктивной комплексной супералгебры Ли с параболическими подалгебрами этой супералгебры. Описаны параболические подалгебры простых супералгебр Ли sl(m,ri), связанные с их градуировками системами корней классических простых подалгебр.

Развитые в работе методы могут быть использованы для классификации градуировок и других классических простых комплексных супералгебр Ли, а также применены к задаче классификации пар Хау их редуктивных подалгебр (примеры таких пар известны в настоящее время лишь для ортосимплектических супералгебр Ли, см. [5]).

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Первая глава работы начинается с основных определений. В §1 определяются рсдуктивные комплексные супералгебры Ли (это понятие, введенное в [6], естественно обобщает классическое понятие редуктивной комплексной алгебры Ли; простая конечномерная комплексная супералгебра Ли редуктивна тогда и только тогда, когда она является классической в смысле В.Г. Каца [7]). Рассматриваются корневое разложение и система корней редуктивной супералгебры Ли относительно подалгебры Картана ее четной части. В §2 вводится основное для дальнейшего понятие комплексной супералгебры Ли д, градуированной систео . мой корней ее редуктивной подалгебры g (в этом случае говорят также, что пара (д, д) является градуированной) и устанавливаются некоторые простейшие свойства, связанные с этим понятием. В случае, когда g также редуктивна и в четных частях обеих супералгебр Ли выбраны о подалгебры Картана D I), определено естественное отображение ограо * о ничения тг : f)* —> f) . Пусть А и А — соответствующие системы коро ней. Если пара является градуированной, то 7г(Д U {0}) = A U {0}, а в случае, когда g проста, верно и обратное. С каждой градуированной парой редуктивных супералгебр Ли связывается йг-градуировка 06 = и © 0 редуктивной алгебры Ли gg, где и — редуктивная подалгебра максимального ранга, соответствующая подсистеме четных корней в А, переходящих в четные корни подалгебры или в 0, а 0 — подпространство, соответствующее четным корням из А, переходящим в нечетные корни подалгебры, не являющиеся четными. При этом коммутант алгео бры Ли gg составляет градуированную пару с некоторым полупростым идеалом в и. Тем самым градуированные пары редуктивных супералгебр Ли разбиваются на два типа, отвечающие случаям, когда u = gg и когда и ф gg. Эта конструкция позволяет в какой-то мере свести классификацию градуированных пар к хорошо известной классификации ^-градуировок редуктивных алгебр Ли и к классификации градуированных пар полупростых алгебр Ли. В §3 объясняется, каким образом последняя классификация сводится к классификации градуированных пар простых алгебр Ли, и излагаются используемые в дальнейшем результаты работы [8]. Для полноты изложения здесь дается также короткое доказательство результата этой работы, относящегося к Д-градуировкам алгебры Ли st(n), не использующее техники, развитой в

Главы 2 и 3 содержат формулировки и доказательства основных результатов работы, т.е. классификации (с точностью до изоморфизма) градуированных пар (д, д), где g — простая супералгебра Ли серии А, ад — ее классическая простая подалгебра. При этом используется метод, описанный в главе 1. В главе 2 классифицируются градуированные пары первого типа, а в главе 3 — градуированные пары второго типа, причем отдельно разбираются различные возможные варианты Ж2-градуировок.

Глава 4 посвящена связи градуированных пар редуктивных супералгебр Ли с параболическими подалгебрами этих супералгебр. Следуя [6], мы называем подалгебру редуктивной супералгебры Ли параболической, если она является неотрицательной частью некоторой Z-градуировки этой супералгебры Ли. Если (д, д) — градуированная пара

О о и р С 0 — параболическая подалгебра, определяемая внутренним градуирующим дифференцированием, то естественным образом определяо о ется такая параболическая подалгебра р С fl, что р Пд = р. В терминах корней простых супералгебр Ли si {т., п) дается описание их параболических подалгебр, которые получаются таким способом из борелевских подалгебр классических простых подалгебр, составляющих с ними градуированные пары.

Нумерация параграфов, формул, теорем, предложений и лемм производится в пределах каждой главы. При ссылках на другую главу ее номер ставится впереди номера параграфа, формулы и т.д.

Гл.1. Определение и простейшие свойства градуированных пар

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сударкин, Андрей Вадимович, 2008 год

1. Benkart G., Elduque A. Lie superalgebras graded by root systems C(n), D(m, n), £>(2,1, a), F(4) and G(3) // Canad. Math. Bull. 2002. V. 45. P. 509-524.

2. Benkart G., Zelmanov E. Lie algebras graded by finite root systems and intersection matrix algebras // Invent. Math. 1996. V. 126. P. 1-45.

3. Berman S., Moody R.V. Lie algebras graded by finite root systems // Invent. Math. 1992. V. 108. P. 323-347.

4. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. М.: Факториал, 2005.

5. Huckleberry A., Piittmann A., Zirnbauer M.R. Haar expectations of ratios of random characteristic polynomials. Preprint SFB/TR-12. Koln e.a., 2007.

6. Иванова Н.И., Онищик А.Л. Параболические подалгебры и градуировки редуктивных супералгебр Ли // Соврем, математика. Фунд. направления. 2006. Т. 20. С. 5-68.

7. Кас V.G. Lie superalgebras // Adv. Math. 1977. V. 26. P. 8-96.

8. Nervi J. Algebres de Lie simples graduees par un systeme de racines et sous-algebres C-admissibles // J. Algebra. 2000. V. 223. P. 307-343.

9. Rubenthaler H. Les paires duales dans les algebres de Lie reductives // Asterisque. 1994. T. 219. P. 1-121.

10. Scheunert M. The Theory of Lie Superalgebras. Lect. Notes Math. 716. Berlin e.a.: Springer-Verlag, 1979.

11. Сударкин A.B. О супералгебрах Ли, градуированных системами корней // Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 2003. С. 228-237.

12. Сударкин А.В. Градуировки супералгебр Ли серии А(т,,п) системами корней их классических простых подалгебр // Математика в Ярославском университете. Ярославль: ЯрГУ, 2006. С. 429-445.

13. Сударкин А.В. Классификация градуировок простых супералгебр Ли серии А системами корней их классических простых подалгебр // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63. С. 165-166.

14. Випберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. Изд. 2-е. М.: УРСС, 1995.