Голоморфно 2-геодезические преобразования линейных типов почти эрмитовых многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Демченко, Эльвира Аллахвердиевна

• Демченко, Эльвира Аллахвердиевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Демченко, Эльвира Аллахвердиевна

Введение.

Глава 1. Почти эрмитовы структуры

§1. Почти эрмитовы структуры на многообразиях.

§2. Основные классы почти эрмитовых структур.

Глава 2. Голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти эрмитовых структур

§1. Понятие /7-геодезического преобразования.

§2. Голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти эрмитовых структур.45;,

§3. Полуспециальные голоморфно 2-геодезические преобразования почти эрмитовых структур.50 •

§4. Специальные голоморфно 2-геодезические преобразования почти эрмитовых структур.

§5. Голоморфно-проективные и голоморфно-геодезические преобразования как частный случай специальных голоморфно 2-геодезических преобразований почти эрмитовых структур.

§6. Инвариантные классы Грея-Хервеллы относительно специальных голоморфно 2-геодезических преобразований почти эрмитовой структуры.

Глава 3. Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур

§ 1. Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур.

§2. Эрмитова геометрия голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа.

§3. Конциркулярные преобразования как частный случай голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа почти эрмитовых структур.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Голоморфно 2-геодезические преобразования линейных типов почти эрмитовых многообразий»

Теория геодезических отображений является одним из классических направлений в изучении геометрии. Впервые геодезические отображения поверхностей были изучены итальянцем Э. Бельтрами в 1865 году [31], [32]. Им была сформулирована и решена задача отображения поверхности на плоскость, при котором геодезические кривые переходят в геодезические кривые (в данном случае, прямые на плоскости). Бельтрами доказал, что такими могут быть только поверхности постоянной кривизны.

Геодезические отображения римановых пространств впервые были рассмотрены в работах Т. Леви-Чивита [36], который решил проблему нахождения метрик и-мерных римановых пространств, имеющих общие геодезические. Ь

Впоследствии теорией геодезических отображений римановых проI странств с аффинной связностью занимались Г. Вейль [40], Т. Томас [38] и др. Большой вклад в развитие этой теории был внесен одесскими математиками (Н.С. Синюков [28], С.Г. Лейко [18], Й. Микеш, Ж. Радулович, М.Л. Гаврильченко [27]). В пространствах с аффинорными структурами аналогом геодезических отображений стали голоморфно-проективные отображения пространств, которые исследовались такими геометрами, как Т. Оцуки, Й. Таширо [37], В.Ф. Кириченко [14], [13], А.В. Никифоровой [13], [26] и др.

На основе теории геодезических отображений была построена теория п - р)-проективных пространств. Это пространство характеризуется тем, что в нем каждая геодезическая кривая лежит в /^-мерной плоскости. В.Ф. Каган

4] ввел понятие (п - /^-проективного пространства, обобщив понятие проек-тивно-евклидового пространства (т.е. пространства, допускающего геодезические отображения на евклидово пространство). Каган исчерпывающе изучил случай (п — 2)-проективного пространства.

Близкой к теории (п — р)-проективных пространств является концирку-лярная геометрия, колоссальный вклад в разработку которой внёс К. Яно [41]. Позже теорией конциркулярных отображений занимались В.Ф. Кириченко [7], С.Г. Лейко [19], [20]; Л.И. Власова [7], [3] и др.

В 1963 году Н.С Синюков обобщил все известные сведения о понятии {п - 2)-проективного' пространства. Он поставил задачу изучить такое отображение одного пространства с аффинной связностью на другое пространство, при котором каждая геодезическая кривая первого переходит в почти1 геодезическую кривую [29].

Огромный вклад в теорию ^-геодезических отображений внес С.Г.' Лейко [21], [18], [17], [22]. Им были изучены общие закономерности отображений, придающие образам геодезических кривых порядок уплощения не выше фиксированного значения р. В работах [18] и [17] были определены р-геодезические кривые и /^-геодезические отображения (диффеоморфизмы и погружения) пространств с аффинной связностью без кручения. Доказана теорема существования р-геодезических кривых и получены основные уравнения р-геодезических отображений, выделены р-геодезические отображения линейных и квадратичных типов, найдены классы пространств, допускающих /^-геодезические диффеоморфизмы. Результаты С.Г. Лейко, полученные в работе [17], являются обобщением теории (п -р)-проективных пространств. Почти геодезическая кривая в терминологии Н.С. Синюкова здесь называется 2-геодезической.

Однако до настоящего времени все исследования по данной проблематике носят достаточно общий характер. И дальнейшее развитие теории р-геодезических отображений весьма актуально. С геометрической точки зрения интересно рассмотрение частных случаев /^-геодезических преобразований и получение классификации пространств, допускающих нетривиальные голоморфно /^-геодезические отображения.

В проведенном нами исследовании рассмотрены голоморфно 2-геодезические преобразования первого и второго линейных типов почти эрмитовой структуры.

Цель данного диссертационного исследования состоит в рассмотрении голоморфно 2-геодезических преобразований линейных типов почти эрмитовых структур.

В соответствии с целью выделены следующие основные задачи:

1. Найти, как меняются структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры относительно голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов.

2. Рассмотреть голоморфно 2-геодезические преобразования первого и второго линейных типов, оставляющие неизменными структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры.

3. Найти объекты, инвариантные относительно голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов почти эрмитовых структур.

4. Установить, при каких условиях голоморфно 2-геодезические преобразования первого и второго линейных типов переводят классы Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур в себя.

5. Рассмотреть частные случаи голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов почти эрмитовых структур.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

1. Найдены формулы изменения структурного и виртуального тензоров почти эрмитовой структуры относительно голоморфно 2-геодезических преобразований первого и второго линейных типов.

2. Выделены так называемые специальные голоморфно 2-геодезические преобразования первого линейного типа, и доказано, что они оставляют неизменными структурный и виртуальный тензоры почти эрмитовой структуры.

3. Найдены инвариантные классы Грея-Хервеллы относительно специальных голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа.

4. Получен ряд инвариантов голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа почти эрмитовой структуры.

5. Доказано, что голоморфно-геодезические и голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовой структуры являются частным случаем специальных голоморфно 2-геодезических преобразований. Также доказано, что конциркулярные преобразования являются частным случаем голоморфно 2-геодезических преобразований второго линейного типа.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения голоморфно 2-геодезических преобразований почти эрмитовых многообразий, а также при чтении спецкурсов в высших учебных заведениях.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии МПГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); на Международной конференции «Геометрия в 0дессе-2007» (2007 г., Одесса); на Международной конференции «Геометрия в Астрахани-2007» (2007 г., Астрахань).

Содержание диссертации отражено в 6 публикациях. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов. Список литературы содержит 47 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 94 страницах машинописного текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Демченко, Эльвира Аллахвердиевна, 2008 год

1. Абоуд, Х.М. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий Текст.: дисс. .канд. ф.-м. наук / Абоуд Хабееб Мута-шар. - М., 2002. - 75 с. - Библиогр.: с. 71-75.

2. Банару, М.Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли Текст.: дис. .канд. физ.-мат.наук / Банару Михаил Борисович. -М., 1993. 99 с. - Библиогр.: с. 96-99.

3. Власова, Л.И. Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий Текст.: автореф. дис. .канд. физ.-мат. наук / Л.И. Власова. -М.: МПГУ, 2001.-15 с.

4. Каган, В.Ф. Субпроективные пространства Текст.: учеб для вузов / В.Ф. Каган. М.: ГИФМЛ, 1961.-220 с.

5. Кириченко, В.Ф. Введение в современную геометрию Текст.: учеб. пос. для вузов / В.Ф. Кириченко, О.Е. Арсеньева. Тверь: ТГУ, 1997. - 117 с.

6. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях Текст.: монография. М.: Изд-во МПГУ, 2003. - 495с.

7. Кириченко, В.Ф. Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий Текст. / В.Ф. Кириченко, Л.И. Власова // Матем. сб. — 2002. -Т. 193.-№5.- С. 53-76.

8. Кириченко, В.Ф. К-пространства максимального ранга Текст. / В.Ф. Кириченко // Мат.заметки. 1977. - № 22. - С. 465-476.

9. Кириченко, В.Ф. К-пространства постоянного типа Текст. / В.Ф. Кириченко // Сиб.матем.ж. 1976. - Т. 17. - №3. - С. 282-289.

10. Кириченко, В.Ф. Новые результаты теории К-пространств Текст.: дисс. .канд. ф.-м. наук / Кириченко Вадим Федорович. М., 1975.

11. Кириченко, В.Ф. О голоморфно-проективных преобразованиях почти эрмитовых структур Текст. /В.Ф. Кириченко, А.В. Никифорова // Успехи мат. наук. -2001. Вып. 56. - №6, С.149-150.

12. Кириченко, В.Ф. Обобщенные классы Грея-Хервеллы и голоморфно-проективные преобразования обобщенных почти эрмитовых структур Текст. / В.Ф. Кириченко // ИЗВ РАН. 2005. - Т.69. - №5. - С. 109-134.

13. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т.1 Текст.: Ш. Ко-баяси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. - 344 с.

14. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т.2 Текст.: Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. - 416 с.

15. Лейко, С. Г. Дифференциальная геометрия обобщенно-геодезических отображений многообразий и их касательных расслоений Текст.: Дисс. .докт. ф.-м. наук / Лейко Святослав Григорьевич. Одесса, 1994. — 325 с. -Библиогр.: с. 304-324.

16. Лейко, С.Г. Линейные р-геодезические диффеоморфизмы многообразий с аффинной связностью Текст. / С.Г. Лейко // Изв. высших уч. заведений. -1982. —№5. С.80-83.

17. Лейко, С.Г. р-геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуцированные конциркулярными преобразованиями базисного многообразия Текст. / С.Г. Лейко // Изв. вузов. Мат. — 1998. — №6.- С. 35-45.

18. Лейко, С.Г. р-геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуцированные геодезическими преобразованиями базисного многообразия Текст. / С.Г. Лейко // Изв. вузов. Мат. 1992. — №2. — С. 62-71.

19. Лейко, С.Г. р-геодезические сечения касательного расслоения Текст. / С.Г. Лейко // Изв. вузов. Мат. 1994. - №1. - С. 32-42.

20. Лейко, С.Г. Три-геодезические отображения пространств аффинной связности Текст. / С.Г. Лейко // Укр. геом. сб. 1976. - 19. - С. 90-99.

21. Лихнерович, А. Теория связностей в целом и группы голономии Текст.: учеб. для вузов / А. Лихнерович. М.: Гос. изд. иностр. лит., 1960. — 216 с.

22. Никифорова, А.В. Голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий Текст.: дисс. .канд. ф.-м. наук / Никифорова Анна Валентиновна. М., 2002. - 85 с. - Библиогр.: с. 81-85.

23. Никифорова, А.В. О голоморфно-проективных отображениях почти эрмитовых многообразий Текст. / А.В. Никифорова // Mill У. 2000. -С.186-190.

24. Радулович, Ж. Геодезические отображения и деформации римановых пространств Текст. / Ж. Радулович, Й. Микеш, M.JI. Гаврильченко. -Одесса: Оломоуц, 1997. 127 с.

25. Синюков, Н.С. Геодезические отображения римановых пространств Текст.: учеб. для вузов / Н.С. Синюков М.: Наука, 1979. - 256с.

26. Синюков, Н.С. Почти геодезические отображения аффинносвязных и римановых пространств Текст. / Н.С. Синюков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. ВИНИТИ. - 1982. - Вып. 13. - С. 3-26.

27. Barros, М., Ramirez, A. Decomposition of quasi-Kahler manifolds which satisfy the first curvature condition Текст. / M. Barros, A. Ramirez // Demonst. math.-1978.- 11. №3. - C. 685-694.

28. Beltrami, E. Risoluzione del problema i riportari i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linne geodetiche vengano rappresentate da linne rette Текст. / E. Beltrami // Annali di Matematica. 1865. - 1. - №7.

29. Beltrami, E. Teoria foundamentale degli spazii di curvature constante Текст. / E. Beltrami // Annali di Matematica. 1902. - 2. - №27. - C. 232-255.

30. Gray, A. Nearly Kahler manifolds Текст. / A. Gray // Different.Geom. -1970. 4. -№3. - P. 283-309.

31. Gray, A., Hervella, L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants Текст. / A. Gray, L.M. Hervella // Ann. Math. Pure ed appl. 123. 1980. - C. 35-58.

32. Kirichenko, V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry Текст. / V.F. Kirichenko //1. Geometriae Dedicate. 1994. - C. 51, 75-104.

33. Levi-Civita, T. Sulle transformazioni delle equazioni dinamiche Текст. / Т. Levi-Civita // Annali di Matematica. 1896. - 2. - №24. - C. 255-300.

34. Otsuki Т., Tashiro, Y. On curues in Kahlerian spaces Текст. / Otsuki Т., Ta-shiro Y. // Math. J. Okayma univ. 1954. - 4, №1. - C.57-78.

35. Tomas, T. One the projective and equiprojective geometries of path Текст. / Т. Tomas //Proc. Nat. Acad. Sci., USA. 1925. - 11. - C. 198-203.

36. Vidal, E., Hervella, L.M. New classe of almost Hermitian manifolds Текст. / E. Vidal, L.M. Hervella // Tensor. 1979. - v.33. - №3. - C. 293-299.

37. Weyl, H. Zur infmitesimalgeometrie Einordnung der projection und der Kon-formen Auffassung Текст. / H. Weyl // Gottingen Nachrichten. 1921. - C. 99-119.

38. Yano, K. Concircular geometry Текст. / К. Yano // I-IV. Proc.Imp.Acad. Tokio 1940. - 16. - C.195-200, 354-360, 442-448, 505-511.Список публикаций автора по теме диссертации

39. Сулейманова, Э.А. Голоморфно 2-геодезические преобразования второго линейного типа почти эрмитовых структур Текст. / Э.А. Сулейманова // Вестник Башкирского университета. 2007. - №4. - С. 8-11 (0,3 печ. л.).

40. Сулейманова, Э.А. О свойствах голоморфно 2-геодезических преобразований первого линейного типа почти эрмитовых структур Текст. / Э.А.Сулейманова // Известия вузов. Математика. 2007. - №12. - С. 83-86 (0,3 печ. л.).