Гиперболические модели процессов переноса и гемодинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Кривовичев Герасим Владимирович

• Кривовичев Герасим Владимирович
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Кривовичев Герасим Владимирович

Введение

Глава 1. Гиперболические модели линейной диффузии

1.1 Линейные кинетические уравнения

1.1.1 Метод Чепмена — Энскога

1.1.2 ЬБЕ-уравнения для моделирования диффузии

1.1.3 Исследование устойчивости

1.1.4 Анализ дисперсионных свойств решений

1.2 Анализ устойчивости решений ЬБЕ-уравнений

1.2.1 Одномерный случай

1.2.2 Двумерный случай

1.3 Результаты и выводы

Глава 2. Анализ моделей учета действия объемных сил в методе решеточных уравнений Больцмана

2.1 Модели учета действия объемных сил в уравнениях ЬБЕ-типа

2.1.1 Кинетические уравнения и ЬБЕ-уравнения

2.1.2 Модели учета действия объемных сил

2.2 Анализ устойчивости

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Результаты расчетов

2.3 Результаты и выводы

Глава 3. Характеристические конечно-разностные схемы для решения задач конвекции-диффузии

3.1 Конечно-разностные схемы

3.2 Анализ устойчивости

3.3 Применение к решению тестовых задач

3.4 Результаты и выводы

Глава 4. Параметрические схемы для линейного уравнения переноса

4.1 Нелинейные схемы для расчета массопереноса

4.1.1 Анализ устойчивости

4.1.2 Анализ влияния параметров

4.1.3 Практический анализ порядка сходимости

4.2 Трехслойные параметрические схемы

4.2.1 Анализ устойчивости

4.2.2 Анализ влияния параметров и оптимизация схем

4.2.3 Применение к решению тестовых задач

4.3 Двухслойные параметрические схемы

4.3.1 Анализ устойчивости

4.3.2 Анализ влияния параметров и оптимизация схем

4.3.3 Применение к решению тестовых задач

4.4 Результаты и выводы

Глава 5. Оптимизация методов Рунге — Кутты повышенного порядка точности для решения задач для гиперболических уравнений

5.1 Метод ТБЯК

5.1.1 Расчетные формулы

5.1.2 Нахождение оптимальных параметров

5.1.3 Численные примеры

5.2 Метод ЕЯК

5.2.1 Расчетные формулы

5.2.2 Анализ устойчивости

5.2.3 Разностные схемы для уравнения переноса

5.3 Результаты и выводы

Глава 6. Одномерные модели гемодинамики

6.1 Осредненные уравнения гемодинамики

6.2 Метод возмущений в задачах для уравнений одномерной гемодинамики

6.2.1 Задачи для системы уравнений невязкой гемодинамики

6.2.2 Задачи для уравнений гемодинамики с учетом вязкости

6.3 Стационарные решения уравнений гемодинамики

6.4 Моделирование кровотока в сосудистых системах

6.4.1 Постановка задачи

6.4.2 Разностная схема и аппроксимация граничных условий

6.4.3 Программное обеспечение

6.4.4 Результаты расчетов

6.5 Результаты и выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиперболические модели процессов переноса и гемодинамики»

Введение

Актуальность темы исследования. Математические модели, представляющие собой гиперболические системы уравнений в частных производных или скалярные уравнения гиперболического типа, в настоящее время широко используются для описания разных волновых процессов в механике и физике. Такие уравнения возникают в газовой динамике, электродинамике, магнитной гидродинамике, механике твердого деформируемого тела, теории мелкой воды, биомеханике и в других областях [26, 30].

К настоящему времени накоплена большая база знаний относительно аналитических и численных методов решения задач для гиперболических систем и уравнений, в связи с чем эту область можно считать одной из наиболее развитых областей математической физики и вычислительной математики. Между тем, в последние десятилетия появляются как новые области приложения известных гиперболических моделей, так и возникает необходимость в разработке и исследовании новых гиперболических моделей различных процессов. Так, в области вычислительной гидродинамики с 1990-х гг. активно развивается подход к численному моделированию течений жидкостей и газов, основанный на использовании вычислительных схем, построенных посредством дискретизации гиперболических систем кинетических уравнений с дискретными скоростями.

Как известно, большая часть вычислительных алгоритмов, разработанных для расчетов течений жидкостей и газов, применяется для системы уравнений механики сплошной среды (например, см. [12]). В качестве неизвестных в таких уравнениях выступают макроскопические характеристики сред, такие как плотность, скорость, давление, температура и др. Например, в случае течений вязкой несжимаемой жидкости рассматривается система уравнений Навье — Стокса, относящаяся к неполностью параболическим системам [151].

В качестве альтернативных подходов для численного моделирования течений в ряде работ были предложены схемы, основанные на дискретизации кинетических уравнений относительно функций распределения частиц. В макроскопическом пределе из таких уравнений методом Чепмена — Энскога могут быть получены уравнения механики сплошных сред [17]. Сами макроскопические переменные при таких подходах либо находятся посредством применения схем, основанных на осреднении схем для кинетических уравнений, либо вычисляются по квадратурным формулам через значения функций распределения как их моменты. В качестве примеров таких подходов можно назвать кинетически-согласованные разностные схемы Б.Н. Четверушкина и соавторов [1, 2, 37, 38, 111, 112], квазигазодинамическую систему Т.Г. Елизаровой [15], метод kinetic flux vector splitting [3, 91, 241] и активно развиваемый в

последние десятилетия метод решеточных уравнений Больцмана (lattice Boltzmann method, далее LBM) [323].

Применению LBM к решению различных прикладных задач, его теоретическому исследованию и программной реализации посвящено большое число работ. Широкое использование LBM во многом связано с его универсальностью и широкими возможностями для распараллеливания его алгоритмов на современных многопроцессорных системах. Расчеты по этому методу начали производить с конца 1980-х гг., а сам метод возник как модификация метода решеточных газов (lattice gas automata), позволяющая устранить стохастический шум, возникающий при расчете макровеличин. Основная вычислительная схема (т. н. решеточные уравнения Больцмана, lattice Boltzmann equations, далее LBE-уравнения) представляет собой систему разностных уравнений, которая позволяет вычислять значения функций распределения частиц, движущихся с заданными скоростями между узлами пространственной сетки (т.н. решетки, lattice). В 1997 г. T. Abe [41] и X. He совместно с T.C. Luo [155] было показано, что LBM является дискретным аналогом кинетического уравнения Больцмана в приближении Бхатнагара — Гросса — Крука (БГК).

К настоящему времени предложено большое число математических моделей, предназначенных для использования в рамках расчетов по LBM. Эти модели представляют собой гиперболические системы уравнений в частных производных первого порядка с алгебраическими нелинейностями:

df- f-f{eq) _

+ V,-Vft + (a-Vv/)i = -Jt д , i = l,n, (1)

где fi = f (t, x, V¿) есть функции распределения частиц со скоростями V¿, f = f(t, x, V) — одночастичная функция распределения, t — время, x — вектор пространственных переменных, V — вектор скорости, V¿ = Ve¿, V = l/ót, I — средняя длина свободного пробега, ót — среднее время свободного пробега, e¿ — заданные безразмерные векторы, a — ускорение, обусловленное наличием действия объемных сил, — равновесные функции распределения, А — время релаксации.

Корректность такой модели и возможность ее применения для решения прикладных задач следуют из того, что методом Чепмена — Энскога из нее может быть получена система уравнений, описывающая процессы в приближении сплошной среды. Используемую модель можно признать достаточно универсальной для моделирования гидродинамических процессов в следующем смысле: на основе такой модели различные физические задачи могут описываться близкими по структуре математическими моделями, реализуемым по сходным алгоритмам. Например, учет действия объемных сил со стороны различных физических полей, температурных эффектов и рассмотрение многофазных задач могут быть осуществлены

посредством добавления дополнительных слагаемых, или новых уравнений такого же типа и структуры, а в вычислительном плане просто введением дополнительных шагов в алгоритм. Эта черта особенно удобна при разработке пакетов для решения задач численного моделирования с использованием объектно-ориентированного подхода и последующим добавлением новых модулей.

В качестве вычислительных достоинств ЬБМ можно указать следующие:

1. Все производные входят в уравнения линейно, нелинейности носят алгебраический характер. Благодаря этому можно строить явные и неявные разностные схемы, с относительно простыми алгоритмами расчета.

2. Для метода характерна локальность — расчет значений функций распределения, соответствующих частицам с конкретными скоростями на одном шаге по времени в каждом узле сетки может производиться независимо. Это преимущество дает высокий параллелизм алгоритмов метода и особенно эффективно проявляется при реализации на многопроцессорных системах. В ряде работ показано, что при параллельных реализациях метода можно добиться большего ускорения по сравнению с алгоритмами, основанными на решении уравнений гидродинамики, причем даже с их параллельными вариантами [35, 82, 321, 349]. В последние годы появилось много работ, посвященных параллельной реализации алгоритмов на основе ЬБМ на графических процессорах, технологии использования которых активно развиваются в последнее десятилетие вследствие относительной дешевизны видеокарт по сравнению с другими платформами для высокопроизводительных вычислений [363, 365, 382].

Несмотря на популярность и широкое применение ЬБМ, в этой области исследований до сих пор остаются актуальными и нерешенными некоторые задачи. Например, даже с учетом достаточно глубокой разработки вычислительных схем метода ЬБМ для моделирования такого процесса переноса вещества, как диффузия (например, см. [233, 325, 354]), математическую модель в виде системы уравнений типа (1), на основе дискретизации которой строились бы эт,и схемы, нельзя считать разработанной и исследованной к настоящему времени. По сути, возникает редко встречающаяся ситуация: на практике широко применяются дискретные аналоги некоторой гиперболической системы, но не выписана сама система и не исследованы свойства ее решений.

Следует отметить, что разработка явных разностных схем для моделирования диффузии на основе гиперболических систем связана с тем, что в этом случае условие устойчивости влечет ограничение на шаг по времени вида: ДЪ ~ к, где к — шаг сетки по пространству, тогда как для параболического уравнения, описывающего диффузионный процесс, ограничение имеет вид: ДЪ ~ к2, что ввиду малого значения к требует большего числа шагов по времени.

Применяемая для численных расчетов система LBE-уравнений математически представляет собой систему разностных уравнений, которая аппроксимирует систему кинетических уравнений с дискретными скоростями. Такая система может быть построена посредством интегрирования кинетических уравнений вдоль характеристик [155]. В итоге получается явная разностная схема:

fi(t + St, x + VjSt) = fi(t, x) - -(fl(t, x) - ftq\f it, x)) + A¿(f it, x)), (2)

T

где г = X/St есть безразмерное время релаксации, а член A¿(f) учитывает влияние действия объемных сил. Задача учета действия таких сил в рамках метода LBM является актуальной в связи с моделированием многофазных течений, процессов с фазовыми переходами, маг-нитогидродинамических течений и др [71, 231, 268]. Подобные модели были предложены в большом числе работ и их теоретическому сравнению посвящены статьи [169, 326, 390, 391]. При этом для практических расчетов было бы интересно проведение их сравнения в рамках анализа устойчивости решений соответствующих им LBE-уравнений, чего не было проведено в упомянутых работах. Результаты подобного сравнения могут оказаться полезными с точки зрения применения той или иной модели при решении конкретных прикладных задач.

Схема (2) является условно устойчивой. Число Куранта 7 для этой схемы фиксировано (равно единице):

„St I St

1 = V— =--= 1,

7 I St I ,

что задает жесткую связь значений шагов по времени и пространственным переменным. Это может ограничивать пределы применимости LBM, поскольку при необходимости измельчения сетки по пространству это приводит к измельчению сетки по времени и наоборот. А необходимость в изменении сеток становится актуальной при использовании адаптивных сеток и переменного шага по времени. В связи с этим разрабатыватся схемы, позволяющие избежать этого недостатка. Примерами таких подходов являются конечно-разностные [315, 351], конечно-элементные [248] и конечно-объемные [85] схемы. Такие схемы позволяют производить независимое варьирование шагов по времени и пространству. При этом система (2) аппроксимирует основную систему (1) только с первым порядком по всем переменным, хотя при определенной замене зависимых переменных порядок может быть увеличен на единицу, но не более. Поэтому актуальной для метода LBM является и проблема построена схем, аппроксимирующих (1) с более высокими порядками.

По всей видимости, впервые конечно-разностные схемы для (1) были предложены в 1995 г. в работе M.B. Reider и J.D. Sterling [288], в которой была построена схема четвертого порядка, аппроксимирующая (1) с использованием центральной производной по пространству и метода Рунге — Кутты по времени. В 1997 г. N. Cao с соавторами в [77] предложили

схему, аппроксимирующую со вторым порядком на основе такого же подхода. В [252] были предложены схемы второго порядка для случая криволинейных координат, в которых производная по времени аппроксимировалась с помощью неявного метода Эйлера. Для аппроксимации производных по пространственным переменным использовались центральные и направленные разности второго порядка. Позднее в [148] была предложена явная схема для случая криволинейных координат, при этом производные по пространству аппроксимировались с помощью гибридного приближения второго порядка, сочетающего центральные и направленные разности. Схема с центральными разностями использовалась и в работах [170, 182, 236, 267, 308], схема с направленными разностями второго порядка — в [236, 267, 308, 367, 366]. В работах [116, 117, 149, 187, 188, 265, 378] для решения системы (1) было предложено использовать схему Лакса — Вендроффа.

Заметим, что во всех перечисленных выше работах для построения конечно-разностных схем использовался традиционный подход, в рамках которого производные, входящие в слагаемые конвективных членов "У • V/¿, аппроксимировались раздельно. В 2003 г. в работе V. Бойопеа [315] были предложены схемы, в которых скалярное произведение "У и V¡г аппроксимируется одной конечной разностью, зависящей от вида "У. Например, если в рамках традиционного подхода в двумерном случае аппроксимировать "У • V /\ со вторым порядком с помощью центральной разностной производной, то получим приближение вида:

„ Т7.и лг ,х + h, у) - №,х - h, у) ^,х,у + К) - №,х,у - К)

У г • V , х) ~ УгХ-—--г УЩ-2К-,

где К есть шаг сетки по х и у. В рамках же рассмотренного в [315] подхода получим:

У • Vмг, х) « 2Кг (^ (х + К- х - К"

В [315] были построены подобные схемы разных типов — с аналогами центральных разностей, а также направленных разностей первого и второго порядков, Лакса, Лакса — Вендроффа и Бима — Уорминга. Основным результатом этой работы было получение выражений для аппроксимационной вязкости представленных схем с использованием метода Чепмена — Энскога. В работе [93] такие схемы были названы "характеристическими"(charasteristic-Ьаэеё) и применены к для расчетов двухфазных систем. В [62] характеристическая схема с направленными разностями первого порядка применяется для моделирования систем с фазовыми переходами типа "жидкость — пар". В [146] были построены характеристические схемы для системы линейных уравнений переноса, которая рассматривается на одном из этапов метода расщепления по физическим процессам и получены выражения для их ап-проксимационной вязкости. Основным преимуществом характеристических схем является их локальность, связанная с использованием меньшего числа узлов, чем для схем, построенных с использованием традиционного подхода, что важно для распараллеливания вычислений.

В связи с тем, что явные схемы относительно просты для реализации и алгоритмы на их основе эффективно подвергаются распараллеливанию, именно схемы такого типа рассматриваются в большинстве работ. Однако, как правило, такие схемы либо являются условно устойчивыми, либо неустойчивыми. Заметим, что исследованию устойчивости конечно-разностных схем для (1) посвящено относительно мало работ. В [297] проводится исследование устойчивости явных схем, построенных на основе явного метода Эйлера при приближениях пространственных производных центральными разностями и направленными разностями первого порядка, а также полунеявной схемы второго порядка, аппрокими-рующей с использованием направленных разностей. Исследование устойчивости проводится методом фон Неймана, при этом анализируется и выражение для схемной вязкости. Полунеявные схемы, зависящие от параметров, исследуются в [108], в которой с использованием метода фон Неймана выписываются условия устойчивости в виде неравенств на значения параметров.

К сожалению, в известных работах не исследовались схемы такого типа для решения задач конвекции-диффузии. В связи с этим, следует отметить, что задачи разработки и анализа характеристических конечно-разностных схем для проведения расчетов различных процессов переноса в рамках метода LBM нельзя считать достаточно решенными к настоящему времени, в связи с чем они являются актуальными в этой области исследований.

В рамках разработки численных методов решения гиперболических систем как во многих учебных пособиях [13, 16], так и в научных монографиях [12, 334] производится построение разностных схем для линейного уравнения переноса относительно скалярной функции c{t, х):

^ + U-Vc = 0, (3)

где U задает поле скоростей. В рамках рассмотрения такого простого уравнения можно прогнозировать различные свойства разностных схем, такие как устойчивость, наличие численной дисперсии и диссипации. При этом, уравнение (3) вовсе не является искусственным объектом. Его можно рассматривать как модель транспорта пассивного скаляра (passive scalar transport), в рамках которой рассматривается перенос некоторой скалярной величины в потоке жидкости с полем скоростей U. Совместное моделирование движения жидкости и траспорта пассивной скалярной величины реализуется посредством вычислительной процедуры, в рамках которой сперва вычисляется поле скоростей, а затем оно уже подставляется в уравнение (3). Модели, основанные на такой идее, называют моделями пассивного скаляра, они широко используются в задачах расчета турбулентных течений [275], динамики атмосферы [257], магнитной гидродинамики [97] и микротечений [273].

Другое применение уравнение вида (3) находит в методе расщепления по физическим

процессам для решения уравнения Больцмана. Этот метод основан на том, что при выводе уравнения учитываются два физических процесса — взаимодействие (соударение) частиц и свободный разлет в результате этого взаимодействия. В рамках метода расщепления эти процессы на одном шаге вычислительного алгоритма предлагается рассматривать раздельно. Итак, пусть имеем интервал сетки по времени (, tj+l], при этом, вообще говоря tj+1 — tj ^ St [15]. При применении к (1) расчет производится в два этапа:

Этап I. Бесстолкновительный разлет (перенос, адвекция). На данном этапе рассчитывается только динамика системы без учета взаимодействия (соударения) частиц друг с другом. Этот процесс описывается задачей для системы линейных уравнений переноса:

^ + V¡г = 0, г = т;м, ге (tj,],

которая решается с начальным условием (tj, х) = (tj, х), где значения (tj, х) считаются известными.

Этап II. Взаимодействие. Решается система уравнений, описывающая только процесс взаимодействия:

% = — ^ (£ — , * = ье &,ь+1],

для которой в качестве начального условия рассматривается решение, полученное на предыдущем этапе: %(tj, х) = tj+1, х).

Оба этих этапа на одном шаге по времени могут рассматриваться циклически, при этом на каждой итерации должны заново вычисляться макроскопические характеристики [15]. Метод расщепления широко применяется как при применении статистических методов (основанных на методе Бёрда [15]), так и при непосредсвенном решении кинетических уравнений детерминистскими методами. В литературе предложено несколько вариантов метода расщепления [50, 98], содержащих указанные выше две стадии и больше. Вообще говоря, в представленном виде метод расщепления представляет собой известный метод решения гиперболической системы уравнений с источником [334]. Трехстадийный консервативный вариант метода расщепления со специальной коррекцией функции распределения был предложен В.В. Аристовым и Ф.Г. Черемисиным [50, 51]. Специальные варианты, также связанные с коррекцией функции распределения, были предложены в [9, 99]. С.В. Богомоловым и позднее Т. Ohwada в [66, 270] было показано, что представленный вариант метода расщепления дает только первый порядок по времени. Порядок может быть повышен до второго за счет симметризации процесса решения на одном шаге посредством введения трех стадий: стадии переноса с полуцелым шагом, стадии взаимодействия с целым шагом и опять стадии переноса с полуцелым шагом (т.н. расщепление по Стрэнгу) [48, 49, 98, 193].

Для системы LBE-уравнений (2) применение метода расщепления по физическим процессам дает на каждом шаге вычислительный процесс из двух стадий:

Этап I. Взаимодействие (collision step). При известных значениях fi(t, x) вычисляем:

Mt, x) = Mt, x) - -(¡^ x) - ftq\f (t, x))).

T

Этап II. Перенос (streaming step). По известным в узле x значениям fi вычисляются значения в близлежащих узлах в момент времени t + 5t:

fi(t + St, x + ViSt) = fi(t, x).

В случае наличия внешних сил и других физических процессов в схему добавляются дополнительные этапы [28]. Подробному обоснованию LBM на основе метода расщепления посвящены работы [96, 294].

Основным преимуществом метода расщепления по физическим процессам является то, что для разных его этапов можно использовать разные разностные схемы, чем можно влиять на устойчивость метода и на порядок точности по пространственным переменным за счет использования специальных разностных схем для (3). Особенно перспективных представляется использование характеристических конечно-разностных схем, обладающих свойством локальности. При этом для улучшения точности по пространственным переменным можно использовать несимметричные схемы высокого порядка и гибридные варианты разностных схем. При этом оказывать влияние на свойства схем можно за счет включения параметров и выбора их оптимальных вариантов [11, 70]. Таким образом, еще одной перспективной задачей в области гиперболических моделей является задача разработки и анализа параметрических разностных схем для уравнения (3).

Один из известных подходов к улучшению точности схем для решения гиперболических систем и нелинейных волновых уравнений основан на использовании для аппроксимации по времени методов Рунге — Кутты специального типа, имеющих оптимальные в смысле минимальной численной дисперсии и диссипации свойства (см. [59, 65, 75, 166, 251, 342]). В последние десятилетия были предложены методы Рунге — Кутты повышенного порядка точности, использующие производные правых частей систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [80, 341, 344, 373]). При этом так и не было проведено оптимизации таких методов. В связи с этим, еще одной из актуальных задач является анализ и оптимизация методов Рунге — Кутты повышенного порядка точности и построение вычислительных схем на их основе.

Интересным приложением гиперболических систем в биомеханике являются задачи гемодинамики о моделировании течения крови в больших сосудистых системах, описываемых сетеподобными структурами. Отметим, что уравнения, описывающие динамику крови,

представляют собой систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости. Задачи для подобных систем на графах рассмотрены, к примеру, в [52, 56, 57]. Однако, в связи с тем, что при рассмотрении больших сосудистых систем такие модели являются достаточно затратными для проведения численных расчетов, на практике чаще всего используются одномерные модели, полученными осреднением уравнений гидродинамики по поперечному сечению сосуда. Процедура осреднения приводит к гиперболической системе, которая интенсивно исследуется в последние десятилетия [76, 103, 128, 283, 284]. Для решения задач для такой системы разработаны эффективные вычислительные процедуры [67, 283].

Одномерные модели интенсивно используются в медицинской практике как средство для прогнозирования последствий сердечно-сосудистых заболеваний и наличия патологий [242]. Необходимо отметить, что кровь в рамках таких моделей рассматривается либо как идеальная [177, 336], либо как вязкая ньютоновская жидкость [76, 128, 284]. Но как известно по результатам экспериментов, кровь проявляет неньютоновские свойства, что связано с наличием у нее клеточной структуры [81, 90, 168, 330]. К сожалению, такие одномерные модели были предложены в малом числе работ [138, 279, 314]. Таким образом, задачи построения, анализа и сравнения неньютоновских одномерных моделей гемодинамики являются актуальными. Для сравнения моделей можно рассматривать их применение как к задачам моделирования кровотока в конкретных сосудистых системах, так и на решении модельных (хотя и нелинейных) задач, для которых можно получить аналитические решения. Такие решения также можно использовать как средства для тестирования комплексов программ, реализующих алгоритмы численных методов. При этом получение аналитических решений представляет определенный интерес, так как уравнения одномерной гемодинамики, несмотря на их простоту, остаются нелинейными. С этой точки зрения получение интегралов для уравнений неньютоновской гемодинамики в стационарном случае и аналитических решений задач для нестационарной системы представляется актуальным.

Таким образом, в связи с актуальностью применения гиперболических моделей в современном естествознании, цель работы состоит в разработке и анализе гиперболических моделей процессов переноса и течения крови, а также развитие численных методов решения задач для гиперболических систем и уравнений гиперболического типа. Для достижения поставленной цели следует получить решение следующих задач:

1) Разработать и исследовать гиперболические модели для описания диффузии в рамках метода ЬБЫ. Провести исследование и сравнительный анализ разностных схем на основе ЬБЕ-уравнений.

2) Провести сравнительный анализ моделей учета действия объемных

сил в ЬБЕ-уравнениях с целью формулировки рекомендаций для использования в практических расчетах.

3) Разработать и провести анализ характеристических конечно-разностных схем для численного моделирования процессов конвекции-диффузии.

4) Разработать и провести исследование параметрических разностных схем для решения линейного уравнения переноса.

5) Провести оптимизацию и исследование разностных схем, основанных на использовании явных методов Рунге — Кутты повышенного порядка точности, ориентированных на решение задач для линейных и нелинейных волновых уравнений.

6) Разработать одномерные модели гемодинамики для моделирования кровотока в больших сосудистых системах, учитывающие реологические свойства крови и провести вычислительные эксперименты по их сравнению.

7) Получить аналитические решения модельных задач для стационарных и нестационарных уравнений одномерной гемодинамики.

8) Разработать программное обеспечение для численного моделирования течения крови в больших сосудистых системах.

Соответствие диссертации специальности 1.2.2. Поставленные задачи диссертационного исследования отвечают следующим направлениям исследований, обозначенным в паспорте специальности 1.2.2 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: пункту Качественные или аналитические методы исследования математических моделей отвечает задача 7); пункту Эффективные вычислительные методы и алгоритмы с применением современных компьютерных технологий отвечают задачи 1)-5); пунктам Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента и Проблемно-ориентированные коды и вычислительные эксперименты. Сравнение результатов вычислительных экспериментов либо с результатами натурных экспериментов, либо с результатами анализа математических моделей отвечают задачи 6) и 8).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кривовичев Герасим Владимирович, 2022 год

Список литературы

[1] Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках // Математическое моделирование. - 1997. -Т. 9, № 7. - С. 44-53.

[2] Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованный алгоритм для расчета газодинамических течений на треугольных сетках // Математическое моделирование. - 1998. - Т. 10, № 4. - С. 51-60.

[3] Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Разностные схемы на основе кинетического расщепления вектора нотока // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12, № 4. - С. 73-82.

[4] Артюшков Л. С. Динамика неньютоновских жидкостей. - СПб.: Изд. центр Мор. техн. ун-та, 1997. - 459 с.

[5] Бикулов Д. А., Сенин Д. С., Демин Д. С., Дмитриев А. В., Грачев Н. Е. Реализация метода решеточных уравнений Больцмана для расчетов на GPU-кластере // Вычислительные методы и программирование. — 2012. — Т. 13, № 1. — C. 13-19.

[6] Бикулов Д. А., Сенин Д. С. Реализация метода решеточных уравнений Больцмана без хранимых значений функций распределения для GPU // Вычислительные методы и программирование. — 2013. — Т. 14, № 3. — C. 370-374.

[7] Бикулов Д. А. Эффективная реализация метода решеточных уравнений Больцмана для гибридных суперкомпьютерных систем // Вычислительные методы и программирование. — 2015. — Т. 16, № 2. — C. 205-214.

[8] Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. - М.: Наука, Главная редакция физ-мат. литературы, 1977. - 224 с.

[9] Богомолов С. В. Повышение точности метода расшепления для уравнения Больцмана // Математическое моделирование. - 1999. - Т.11, № 10. - С. 100-105.

[10] Гаврилюк С. Л., Макаренко Н. И., Сухинин С. В. Волны в сплошных средах. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 2011. — 114 с.

[11] Головизнин В.М., Самарский А.А. Некоторые свойства разностной схемы "кабаре"// Математическое моделирование. - 1998. - Т.10, № 1. - С. 101--116

[12] Головизнин В.М., Зайцев М.А., Карабасов С.А., Короткин И.А. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов.

— М.: Издательство МГУ, 2013. — 472 с.

[13] Головизнин В.М., Соловьев А.В. Дисперсионные и диссипативные характеристики разностных схем для уравнений в частных производных гиперболического типа. — М.: Издательство МГУ, 2018. — 197 с.

[14] Грачев Н. Е., Дмитриев А. В.,СенинД. С. Моделирование динамики газа при помощи решеточного метода Больцмана // Вычислительные методы и программирование. — 2011. — Т. 12, № 2. — C. 227-231.

[15] Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений.

- М.: Научный мир, 2007. - 352 с.

[16] Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

[17] Коган М. Н. Динамика разреженного газа. - М.: Наука, 1967. - 440 с.

[18] Кривовичев Г. В. Об устойчивости решеточной кинетической схемы Больцмана для расчета плоских течений // Вычислительные методы и программирование. - 2011. -Т. 12, вып. 1. - С. 194—204.

[19] Кривовичев Г. В. Анализ устойчивости решеточных схем Больцмана для решения уравнения диффузии // Вычислительные методы и программирование. - 2013. - Т. 14, вып. 1. - С. 175--182.

[20] Кривовичев Г. В., Михеев С. А. Исследование устойчивости трехслойных конечно-разностных решеточных схем Больцмана // Вычислительные методы и программирование. - 2014. - Т. 15, вып. 2. - С. 211-221.

[21] Кривовичев Г.В., Михеев С. А. Исследование устойчивости конечно-разностных решеточных схем Больцмана с направленными разностями повышенного порядка аппроксимации // Вычислительные методы и программирование. - 2015. - Т. 16, вып. 2. - С. 196-204.

[22] Кривовичев Г. В., Марнопольская Е. С. Исследование свойств разностной схемы для реализации этапа адвекции метода решеточных уравнений Больцмана // Вычислительные методы и программирование. - 2016. - Т. 17, вып. 3. - С. 212-223.

[23] Кривовичев Г. В., Марнопольская Е. С. Анализ и оптимизация явных разностных схем высоких порядков для реализации этапа адвекции метода решеточных уравнений

Больцмана // Вычислительные методы и программирование. - 2017. - Т. 18, вып. 3.

- С. 227—246.

[24] Кривовичев Г. В. Кинетические уравнения для моделирования диффузионных процессов методом решеточных уравнений Больцмана // Компьютерные исследования и моделирование. - 2017. - Т. 9, № 6. - C. 917--934.

[25] Кривовичев Г. В., Егоров Н. В. Анализ стационарных решений уравнений одномерной гемодинамики // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2022. - № 1. - С. 65—87.

[26] Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. — 656 с.

[27] Куперштох А. Л. Трехмерное моделирование двухфазных систем типа жидкость-пар методом решеточных уравнений Больцмана на GPU // Вычислительные методы и программирование. - 2012. - Т. 13, № 1. - С. 130-138.

[28] Куперштох А. Л. Трехмерное моделирование методом LBE на гибридных GPU-кластерах распада бинарной смеси жидкого диэлектрика с растворенным газом на систему парогазовых каналов // Вычислительные методы и программирование. - 2012.

- Т. 13, № 3. - С. 384-390.

[29] Леонов Г. А., Шумафов М. М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. — 421 с.

[30] Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 313 с.

[31] Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 480 с.

[32] Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. — М: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009. — 784 с.

[33] Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. — М: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009. — 248 с.

[34] Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Либроком, 2009. — 424 с.

[35] Сидоренко Б. В. Математическое моделирование гидродинамических процессов на основе решеточных уравнений Больцмана: диссертация на соискание уч. степени к.

физ.-мат. наук по специальности «05.13.18: Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». - Таганрог, 2012. - 147 с.

[36] Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. — Долгопрудный, Изд. дом Интеллект, 2008. — 503 с.

[37] Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике: новая модель вязкого газа, алгоритмы, параллельная реализация, приложения. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 232 с.

[38] Abalakin I.V., Zhokhova A.V. Kinetically adjusted schemes with correction on triangular grids // Differential Equations. - 1998. - Vol. 34, no. 7. - P. 903-909.

[39] Abbasian M., Shams M., Valizadeh Z., Moshfegh A., Javadzadegan A., Cheng S. Effects of different non-Newtonian models on unsteady blood flow hemodynamics in patient-specific arterial models with in-vivo validation // Computer Methods and Programs in Biomedicine. - 2020. - Vol. 186. - P. 105185.

[40] Abdulle A., Medovikov A. A. Second order Chebyshev methods based on orthogonal polynomials // Numerische Mathematik. - 2001. - Vol. 90. - P. 1-18.

[41] Abe T. Derivation of the lattice Boltzmann method by means of the discrete ordinate method for the Boltzmann equation // Journal of Computational Physics. - 1997. - Vol. 131, no. 1. - P. 241-246.

[42] Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Method for solving the sine-Gordon equation // Physical Review Letters. - 1973. - Vol. 30, no. 25. - P. 1262-1264.

[43] Akbar N.S., Nadeem S. Carreau fluid model for blood flow through a tapered artery with a stenosis // Ain Shams Engineering Journal. - 2014. - Vol. 5. - P. 1307-1316.

[44] Ali N., Zaman A., Sajid M., Nieto J.J., Torres A. Unsteady non-Newtonian blood flow through a tapered overlapping stenosed catheterized vessel // Mathematical Biosciences. -2015. - Vol. 269. - P. 94-103.

[45] Allampalli V., Hixon R., Nallasamy M., Sawyer S. D. High-accuracy large-step explicit Runge - Kutta (HALE-RK) schemes for computational aeroacoustics // Journal of Computational Physics. - 2009. - Vol. 228. - P. 3837-3850.

[46] Ameenuddin M., Anand M., Massoudi M. Effects of shear-dependent viscosity and hematocrit on blood flow // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - Vol. 356. -P. 299-311.

[47] Ancona T. G. Fully-Lagrangian and lattice-Boltzmann methods for solving systems of conservation equations // Journal of Computational Physics. — 1994. — Vol. 115. — P. 107-120.

[48] Anikin Yu. A., Dodulad O. I., Kloss Yu. Yu., Martynov D. V., Shuvalov P. V., Tcheremissine F. G. Development of applied software for analysis of gas flows in vacuum devices // Vacuum. - 2012. - Vol. 86. - P. 1770-1777.

[49] Anikin Yu. A., Dodulad O. I., Kloss Yu. Yu., Tcheremissine F. G. Method of calculating the collision integral and solution of the Boltzmann kinetic equation for simple gases, gas mixtures and gases with rotational degrees of freedom // International Journal of Computer Mathematics. - 2015. - Vol. 92, no. 9. - P. 1775-1789.

[50] Aristov V.V., Cheremisin F.G. The conservative splitting method for solving Boltzmann's equation // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1980. - Vol. 20, no. 1. - P. 208-225.

[51] Aristov V.V., Zabelok S.A. A deterministic method for solving the Boltzmann equation with parallel computations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. -2002. - Vol. 42, no. 3. - C. 406-418.

[52] Artemov M.A., Baranovskii E.S., Zhabko A.P., Provotorov V.V. On a 3D model of non-isothermal flows in a pipeline network // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. -Vol. 1203. - P. 012094.

[53] Ashmetkov I.V., Mukhin S.I., Sosnin N.V., Favorskii A.P., Khrulenko A.B. Analysis and comparison of some analytic and numerical solutions of hemodynamic problems // Differential Equations. - 2000. - Vol. 36. - P. 1021-1026.

[54] Audebert C., Bucur C., Bekheit M., Vibert E., Vignon-Clementel I., Gerbeau J. Kinetic scheme for arterial and venous blood flow, and application to partial hepatectomy modeling // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2017. - Vol. 314. - P. 102125.

[55] Aursjo O., Jettestuen E., Vinningland J.L., Hiorth A. On the inclusion of mass source terms in a single-relaxation-time lattice Boltzmann method // Physics of Fluids. - 2018. - Vol. 30. - Art. no. 057104.

[56] Baranovskii E.S. A novel 3D model for non-Newtonian fluid flows in a pipe network // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2021. - Vol. 44. - P. 3827-3839.

[57] Baranovskii E.S., Provotorov V.V., Artemov M.A., Zhabko A.P. Non-Isothermal creeping flows in a pipeline network: existence results // Symmetry. - 2021. - Vol. 13. - P. 1300.

[58] Barkley D., Kness M., Tuckerman L. Spiral-wave dynamics in a simple model of excitable media: The transition from simple to compound rotation // Physical Review A. - 1990. -Vol. 42, no. 4. - P.2489-2493.

[59] Berland J., Bogey C., Bailly C. Low-dissipation and low-dispersion fourth-order Runge -Kutta algorithm // Computers and Fluids. - 2006. - Vol. 35. - P. 1459-1463.

[60] Bertaglia G., Caleffi V., Valiani A. Modeling blood flow in viscoelastic vessels: the 1D augmented fluid-structure interaction system // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2020. - Vol. 360. - Art. no. 112772.

[61] Bhatnagar P. L., Gross E. P., Krook M. A model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems // Physical Review. — 1954. — Vol. 94, no. 3. — P. 511-525.

[62] Biciusca T., Horga A., Sofonea V. Simulation of liquid-vapour phase separation on GPUs using Lattice Boltzmann models with off-lattice velocity sets // Comptes Rendus Mecanique. - 2015. - Vol. 343, no. 10-11. - P. 580-588.

[63] Bilgi C., Atalik K. Effects of blood viscoelasticity on pulsatile hemodynamics in arterial aneurysms // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2000. - Vol. 279. - Art. no. 104263.

[64] Blaak R., Sloot P. M. A. Lattice dependence for reaction-diffusion in lattice Boltzmann modelling // Computer Physics Communications. —2000. —Vol. 129. — P. 256-266.

[65] Bogey C., Bailly C. A family of low dispersive and low dissipative explicit schemes for flow and noise computations // Journal of Computational Physics. - 2004. - Vol. 194. - P. 194-214.

[66] Bogomolov S.V. Convergence of the total-approximation method for the Boltzmann equation // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1988. - Vol. 28, no. 1. - P. 79-84.

[67] Boileau E., Nithiarasu P., Blanco P.J., Muller L.O., Fossan F.E., Hellevik L.R., Donders W.P., Huberts W., Willemet M., Alastruey J. A benchmark study of numerical schemes for one-dimensional arterial blood flow modeling // International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering. - 2015. - Vol. 31. - P. 1-33.

[68] Bourchtein A., Bourchtein L. Explicit finite difference schemes with extended stability for advection equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2012. - Vol. 236, no. 15. - P. 3591-3604.

[69] Boyd J., Buick J.M., Green S. Analysis of the Casson and Carreau-Yasuda non-Newtonian blood models in steady and oscillatory flows using the lattice Boltzmann method // Physics of Fluids. - 2007. - Vol. 19. - Art. no. 093103.

[70] Bratsos A.G., Twizell E.H. A family of parametric finite-difference methods for the solution of the sine-Gordon equation // Applied Mathematics and Computation. - 1998. - Vol. 93, no. 2-3. - P. 117-137.

[71] Breyiannis G., Valougeorgis D. Lattice kinetic simulations in three-dimensional magnetohydrodynamics // Physical Review E. - 2004. - Vol. 69. - P. 065702(R).

[72] Britton J., Xing Y. Well-balanced discontinuous Galerkin methods for the one-dimensional blood flow through arteries model with man-at-eternal-rest and living-man equilibria // Computers and Fluids. - 2020. - Vol. 203. - Art. no. 104493.

[73] Buick J.M., Greated C.A. Gravity in a lattice Boltzmann model // Physical Review E. -2000. - Vol. 61. - P. 5307-5320.

[74] Caballero A.B., Lain S. Numerical simulation of non-Newtonian blood flow dynamics in human thoracic aorta // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 2015. - Vol. 18. - P. 1200-1216.

[75] Calvo M., Franco J. M., Randez L. A new minimum storage Runge - Kutta scheme for computational acoustics // Journal of Computational Physics. - 2004. - Vol. 201. - P. 1-12.

[76] Canic S., Kim E.H. Mathematical analysis of the quasilinear effects in a hyperbolic model blood flow through compliant axi-symmetric vessels // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2003. - Vol. 26. - P. 1161-1186.

[77] Cao N., Chen S., Jin S., Martinez D. Physical symmetry and lattice symmetry in the lattice Boltzmann method // Physical Review E. - Vol. 55, no. 1 - P. 55 R21-R24.

[78] Caro C.G., Pedley T.J., Schroter R.C., Seed W.A. The Mechanics of the Circulation. -Cambridge: Cambridge University Press, 2011. - 525 p.

[79] Chai Z., Shi B. A novel lattice Boltzmann model for the Poisson equation // Applied Mathematical Modelling. —Vol. 32. —P. 2050-2058.

[80] Chan R. P. K., Tsai A. Y. J. On explicit two-derivative Runge - Kutta methods // Numerical Algorithms. - 2010. - Vol. 53. - P. 171-194.

[81] Charm S., Kurland G. Viscometry of human blood for shear rates of 0- 100,000 sec-1 // Nature. - 1965. - Vol. 206. - P. 617-618.

[82] Chen H., Chen S., Matthaeus W. H. Recovery of the Navier — Stokes equations using a lattice-gas Boltzmann method // Physical Review A. - 1992. - Vol. 45. - P. R5339-R5342.

[83] Chen J., Lu X.-Y., Wang W. Non-Newtonian effects of blood flow on hemodynamics in distal vascular graft anastomoses // Journal of Biomechanics. - 2006. - Vol. 39. - P. 19831995.

[84] Chen J., Lu X.-Y. Numerical investigation of the non-Newtonian pulsatile blood flow in a bifurcation model with a non-planar branch // Journal of Biomechanics. - 2006. - Vol. 39. - P. 818-832.

[85] Chen L., Schaefer L. Godunov-type upwind flux schemes of the two dimensional finite volume discrete Boltzmann method // Computers and Mathematics with Applications. -2018. - Vol. 75. - P. 3105-3126.

[86] Chen S., Doolen G.D. Lattice Boltzmann method for fluid flows // Annual Review on Fluid Mechanics. - 1998. - Vol. 30. - P. 329-364.

[87] Chen S., Tolke J., Geller S., Krafczyk M. Lattice Boltzmann model for incompressible axisymmetric flows // Physical Review E. — 2008. — Vol. 78. — P. 046703-1-046703-8.

[88] Cheng Y., Li J. Introducing unsteady non-uniform source terms into the lattice Boltzmann model // International Journal of Numerical Methods in Fluids. - 2008. - Vol. 56. - P. 629-641.

[89] Cheng Y.G., Zhang H. A viscosity counteracting approach in the lattice Boltzmann BGK model for low viscosity: preliminary verification // Computers and Mathematics with Applications. - 2011. - Vol. 61. - P. 3690-3702.

[90] Cho Y.I., Kensey K.R. Effects of the non-Newtonian viscosity of blood on flows in a diseased arterial vessel. Part 1: Steady flows // Biorheology. - 1991. - Vol. 28. - P. 241-262.

[91] Chou S. Y., Baganoff D. Kinetic flux-vector splitting for the Navier — Stokes equations // Journal of Computational Physics. - 1997. - Vol. 130. - P. 217-230.

[92] Colosqui C.E., Falcucci G., Ubertini S., Succi S. Mesoscopic simulation of non-ideal fluids with self-tuning of the equation of state // Soft Matter. - 2012. - Vol. 8. - P. 3798-3809.

[93] Cristea A., Sofonea V. Two component lattice Boltzmann model with flux limiters // Central European Journal of Physics. - 2004. - Vol. 2, no. 2. - P. 382-396.

[94] Delestre O., Lagree P.-Y. A 'well-balanced' finite volume scheme for blood flow simulation // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2013. - Vol. 72. - P. 177-205.

[95] Dellacherie S. Construction and analysis of lattice Boltzmann methods applied to a 1d convection-diffusion equation // Acta Applied Mathematics. — 2014. — Vol. 131, no. 1. — P. 69-140.

[96] Dellar P. An interpretation and derivation of the lattice Boltzmann method using Strang splitting // Computers and Mathematics with Applications. - 2013. - Vol. 65. - P. 129-141.

[97] Dey K., Zikanov O. Turbulence and transport of passive scalar in magnetohydrodynamic channel flows with different orientations of magnetic field // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 2012. - Vol. 36. - P. 101-117.

[98] Dimarco G., Pareschi L. Numerical methods for kinetic equations // Acta Numerica. -2014. - P. 369-520.

[99] Dimarco G., Loubere R. Towards an ultra efficient kinetic scheme. Part I: Basics on the BGK equation // Journal of Computational Physics. - 2013. - Vol. 255. - P. 680-698.

[100] Deyranlou A., Niazmand H., Sadeghi M.-R. Low-density lipoprotein accumulation within a carotid artery with multilayer elastic porous wall: fluid-structure interaction and non-Newtonian considerations // Journal of Biomechanics. - 2015. - Vol. 48. - P. 2948-2959.

[101] Dobroserdova T., Olshanskii M. A finite element solver and energy stable coupling for 3D and 1D fluid models // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2013.

- Vol. 259. - P. 166-176.

[102] Dobroserdova T., Olshanskii M., Simakov S. Multiscale coupling of compliant and rigid walls blood flow models // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2016.

- Vol. 82. - P. 799-817.

[103] Dobroserdova T., Liang F., Panasenko G., Vassilevski Y. Multiscale models of blood flow in the compliant aortic bifurcation // Applied Mathematics Letters. - 2019. - Vol. 93. - P. 98-104.

[104] Dodd R. K., Eilbeck J. C., Gibbon J. D., Morris H. C. Solitons and nonlinear wave equations. - London, Academic Press. - 1982. - 630 p.

[105] Doost S.N., Zhong L., Su B., Morsi Y.S. The numerical analysis of non-Newtonian blood flow in human patient-specific left ventricle // Computer Methods and Programs in Biomedicine. - 2016. - Vol. 127. - P. 232-247.

[106] Duan Y. L., Li R. X. Lattice Boltzmann model for two-dimensional unsteady Burger's equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. —2007. — Vol. 206. — P. 432—439.

[107] Du Fort E. C., Frankel S. P. Stability conditions in the numerical treatment of parabolic differential equations // Mathematical Tables and Other Aids to Computation. — 1953. — Vol. 7. — P. 135-152.

[108] El-Amin M. F., Sun S., Salama A. On the stability of the finite difference based lattice Boltzmann method // Procedia Computer Science. - 2013. - Vol. 18. - P. 2101-2108.

[109] Elhanafy A., Guaily A., Elsaid A. Numerical simulation of blood flow in abdominal aortic aneurysms: effects of blood shear-thinning and viscoelastic properties // Mathematics and Computers in Simulation. - 2019. - Vol. 160. - P. 55-71.

[110] Elhanafy A., Guaily A. A. Numerical investigation of hematocrit variation effect on blood flow in an arterial segment with variable stenosis degree // Journal of Molecular Liquids. - 2020. - Vol. 313. - Art. no. 113550.

[111] Elizarova T.G., Chetverushkin B.N. Kinetic algorithms for calculating gas dynamic flows // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1985. - Vol. 25, no. 10. - P. 164-169.

[112] Elizarova T.G., Chetverushkin B.N. Kinetically coordinated difference schemes for modelling flows of a viscous heat-conducting gas // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1988. - Vol. 28, no. 6. - P. 64-75.

[113] Erdogan U. Improved upwind discretization of the advection equation // Numerical Methods for Partial Differential Equations. - 2014. - Vol. 30, no. 3. - P. 773-787.

[114] Erturk E. Discussions on driven cavity flow // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2009. - Vol. 60. - P. 275-294.

[115] Evstigneev N.M., Magnitskii N.A. Nonlinear dynamics in the initial-boundary value problem on the fluid flow from a ledge for the hydrodynamic approximation to the Boltzmann equations // Differential Equations. — 2010. — Vol. 46, no. 12. — P. 17941798.

[116] Fakhari A., Lee T. Finite-difference lattice Boltzmann method with a block-structured adaptive-mesh-refinement technique // Physical Review E. - 2014. - Vol. 89. - P. 0333101-033310-12.

[117] Fakhari A., Lee T. Numerics of the lattice Boltzmann method on nonuniform grids: Standard LBM and finite-difference LBM // Computers and Fluids. - 2015. - Vol. 107, no. 1. - P. 205-213.

[118] Falcucci G., Ubertini S., Succi S. Lattice Boltzmann simulations of phase-separating flows at large density ratios: the case of doubly-attractive pseudopotentials // Soft Matter. -2010. - Vol. 6. - P. 4357-4365.

[119] Fang Y., You X., Ming Q. Trigonometrically fitted two-derivative Runge-Kutta methods for solving oscillatory differential equations // Numerical Algorithms. - 2014. - Vol. 65. -P. 651-667.

[120] Fang Y., You X., Ming Q. Exponentially fitted two-derivative Runge - Kutta methods for the Schrodinger equation // International Journal of Modern Physics C. - 2013. - Vol. 24.

- Art. no. 1350073.

[121] Fang Y., You X. New optimized two-derivative Runge - Kutta type methods for solving the radial Schrodinger equation // Journal of Mathematical Chemistry. - 2014. - Vol. 52.

- P. 240-254.

[122] Farlow S. Partial differential equations for scientists and engineers. - New York: John Wiley and Sons, 1982. - 415 p.

[123] Favorskii A.P., Tygliyan M.A., Tyurina N.N., Galanina A.M., Isakov V.A. Computational modeling of the propagation of hemodynamic impulses // Mathematical Models and Computers in Simulation. - 2010. - Vol. 2. P. 470-481.

[124] Fedorenko R. The application of difference schemes of high accuracy to the numerical solution of hyperbolic equations // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1963. - Vol. 2, no. 6. - P. 1355-1365.

[125] Feng H., Zhang X., Peng Y. A lattice Boltzmann model for elliptic equations with variable coefficients // Applied Mathematics and Computation. —2012. — Vol. 219. — P. 2798—2807.

[126] Fonseca F. The solution of the Helmholtz equation using lattice Boltzmann technique // Nonlinear Analysis and Differential Equations. —2016. —Vol. 4, no. 8. —P. 375-382.

[127] Formaggia L., Gerbeau J., Nobile F., Quarteroni A. On the coupling of 3D and 1D Navier

- Stokes equations for flow problems in compliant vessels // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2001. - Vol. 191. - P. 561-582.

[128] Formaggia L., Lamponi D., Quarteroni A. One-dimensional models for blood flow in arteries // Journal of Engineering Mathematics. - 2003. - Vol. 47. - P. 251-276.

[129] Formaggia L., Moura A., Nobile F. On the stability of the coupling of 3D and 1D fluid-structure interaction models for blood flow simulations // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 2007. - Vol.41, no. 4. - P. 743-769.

[130] Franco J. M. Runge - Kutta - Nystrom methods adapted to the numerical integration of perturbed oscillators // Computer Physics Communications. - 2002. - Vol. 147. - P. 770-787.

[131] Frolkovic P., Mikula K. Semi-implicit second order schemes for numerical solution of level set advection equation on Cartesian grids // Applied Mathematics and Computation. -2018. - Vol. 329. - P. 129-142.

[132] de Frutos J., Sanz-Serna J. M. An easily implementable fourth-order method for the time integration of wave problems // Journal of Computational Physics. - 1992. - Vol. 103. -P. 160-168.

[133] Garbow B.S. EISPACK — a package of matrix eigensystem routines // Computer Physics Communications. - 1974. - Vol. 7. - P. 179-184.

[134] Geback T., Heintz A. A lattice Boltzmann method for the advection-diffusion equation with Neumann boundary conditions // Communications in Computational Physics. - 2014. -Vol. 15. - P. 487-505.

[135] Gekeler E., Widmann R. On the order conditions of Runge - Kutta methods with higher derivatives // Numerische Mathematik. - 1986. - Vol. 50. - P. 183-203.

[136] Ghia U., Ghia K. N., Shin C. T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier

— Stokes equations and multigrid method // Journal of Computational Physics. - 1982. -Vol. 48. - P. 387-411.

[137] Ghigo A.R., Delestre O., Fullana J.-M., Lagree P.-Y. Low-Shapiro hydrostatic reconstruction technique for blood flow simulation in large arteries with varying geometrical and mechanical properties // Journal of Computational Physics. - 2017. - Vol. 331. -P. 108-136.

[138] Ghigo A.R., Lagree P.-Y., Fullana J.-M. A time-dependent non-Newtonian extension of a 1D blood flow model // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2018. - Vol. 253. -P. 36-49.

[139] Ghitti B., Berthon C., Le M. H., Toro E. F. A fully well-balanced scheme for the 1D blood flow equations with friction source term // Journal of Computational Physics. - 2020. -Vol. 421. - Art. no. 109750.

[140] Gijsen F.J.H., Allanic E., van de Vosse F.N., Janssen J.D. The influence of non-Newtonian property of blood on the flow in large arteries: unsteady flow in a 900 curved tube // Journal of Biomechanics. - 1999. - Vol. 32. - P. 705-713.

[141] Gijsen F.J.H., van de Vosse F.N., Janssen J.D. The influence of non-Newtonian property of blood on the flow in large arteries: steady flow in a carotid bifurcation model // Journal of Biomechanics. - 1999. - Vol. 32. - 601-608.

[142] Goeken D., Johnson O. Runge - Kutta with higher order derivative approximations // Applied Numerical Mathematics. - 2000. - Vol. 34. - P. 207-218.

[143] Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases // Communications in Pure and Applied Mathematics. - 1949. - Vol. 2. - P. 331-407.

[144] Gudino E., Oishi C.O., Sequeira A. Influence of non-Newtonian blood flow models on drug deposition in the arterial wall // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2019. -Vol. 274. - Art. no. 104206.

[145] Guo Z.L., Shi B., Wang N. Fully Lagrangian and lattice Boltzmann methods for the advection-diffusion equation // Journal of Scientific Computing. — 1999. — Vol.14, no. 3. — P. 291-300.

[146] Guo Z., Zheng C., Zhao T. A lattice BGK scheme with general propagation // Journal of Scientific Computing. - 2001. - Vol. 16, no. 4. - P. 569-585.

[147] Guo Z., Zheng C., Shi B. Discrete lattice effects on the forcing term in the lattice Boltzmann method // Physical Review E. - 2002. - Vol. 65. - Art. no. 046308.

[148] Guo Z., Zhao T. S. Explicit finite-difference lattice Boltzmann method for curvilinear coordinates // Physical Review E. - 2003. - Vol. 67. - P. 066709-1-066709-12.

[149] Guo Z., Zhao, T. S. Finite-difference-based lattice Boltzmann scheme for dense binary mixtures // Physical Review E. - 2005. - Vol. 71. - P. 026701-1-026701-12.

[150] Guo X., Shi B., Chai Z. General propagation lattice Boltzmann model for nonlinear advection-diffusion equations // Physical Review E. - 2018. - Vol. 97. - Art. no. 043310.

[151] Gustafsson B., Sundstrom A. Incompletely parabolic problems in fluid dynamics // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1978. - Vol. 35, No. 2. - P. 343-357.

[152] Guzel G., Koc I. Time-accurate flow simulations using a finite-volume based lattice Boltzmann flow solver with dual time stepping scheme // International Journal of Computational Methods. - 2016. - Vol. 13, no. 6. - Art. no. 1650035.

[153] Hairer E., Norsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff problems. - Berlin, Springer. - 1993. - 528 p.

[154] Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. — Berling: Springer, 1996. — 611 p.

[155] He X., Luo L. S. Theory of the lattice Boltzmann method: From the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation // Physical Review E. —1997. —Vol. 56, no. 6. —P. 6811-6817.

[156] He X., Shan X., Doolen G.D. Discrete Boltzmann equation model for nonideal gases // Physical Review E. - 1998. - Vol. 57. - P. R13-R16.

[157] He X., Chen S., Doolen G.D. A novel thermal model for the lattice Boltzmann method in incompressible limit // Journal of Computational Physics. — 1998. — Vol. 146. — P. 282-300.

[158] Hedstrom G.W. Nonreflecting boundary conditions for nonlinear hyperbolic systems // Journal of Computational Physics. - 1979. - Vol. 30. - P. 222-237.

[159] Hejranfar K., Ezzatneshan E. Simulation of two-phase liquid-vapor flows using a high-order compact finite-difference lattice Boltzmann method // Physical Review E. - 2015. - Vol. 92. - Art. no. 053305.

[160] Hernandez-Duenas G., Ramirez-Santiago G. A well-balanced positivity preserving central-upwind scheme for one-dimensional blood flow models // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2021. - Vol. 93. - P. 369-395.

[161] Hirabayashi M., Chan Y., Ohashi H. The lattice BGK model for the Poisson equation // JSME International Journal Ser. B. — 2001. — Vol. 44, no. 1. — P. 45-52.

[162] Hou B., Ge Y. High-order compact LOD methods for solving high-dimensional advection equations // Computational and Applied Mathematics. - 2021. - Vol. 40, no. 3. - Art. no. 102.

[163] van der Houwen P. J., Sommeijer B. P. Explicit Runge - Kutta (Nystrom) methods with reduced phase errors for computing of oscillating solutions // SIAM Journal of Numerical Analysis. - 1987. - Vol. 24. - P. 595-617.

[164] van der Houwen P. J. The development of Runge-Kutta methods for partial differential equations // Applied Numerical Mathematics. - 1996. - Vol. 20, no. 3. - P. 261-272.

[165] Hu A., Li L., Uddin R. Force method in a pseudo-potential lattice Boltzmann model // Journal of Computational Physics. - 2015. - Vol. 294. - P. 78-89.

[166] Hu F. Q., Hussaini M. Y., Manthey J. L. Low-dissipation and low-dispersion Runge - Kutta schemes for computational acoustics // Journal of Computational Physics. - 1996. - Vol. 124. - P. 177-191.

[167] Hu W.-Q., Jia S.-L. General propagation lattice Boltzmann model for variable-coefficient non-isospectral KdV equation // Applied Mathematics Letters. - 2019. - Vol. 91. - P. 61-67.

[168] Huang C., Siskovic N., Robertson R., Fabisiak W., Smitherberg E., Copley A. Quantitative characterization of thixotropy of whole human blood // Biorheology. - 1975. - Vol. 12. -P. 279-282.

[169] Huang H., Krafczyk M., Lu X. Forcing term in single-phase and Shan-Chen-type multiphase lattice Boltzmann models // Physical Review E. - 2011. - Vol. 84. - Art. no. 04610.

[170] Huang J.J., Huang H., Shu C., Chew Y. T., Wang S. L. Hybrid multiple-relaxation-time lattice-Boltzmann finite-difference method for axisymmetric multiphase flows // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2013. - Vol. 46. - Art. no. 055501.

[171] Huber C., Parmigiani A., Chopard B., Manga M., Bachmann O. Lattice Boltzmann model for melting with natural convection // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2008. — Vol. 29. — P. 1469-1480.

[172] Huber C., Cassata W. S., Renne P. R. A lattice Boltzmann model for noble gas diffusion in solids: The importance of domain shape and diffusive anisotropy and implications for thermochronometry // Geochimica et Cosmochimica Acta. — 2011. — Vol. 75. — P. 21702186.

[173] Huilgol R., G. Kefayati G. A particle distribution function approach to the equations of continuum mechanics in Cartesian, cylindrical and spherical coordinates: Newtonian and non-Newtonian fluids // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2018. - Vol. 251. -P. 119-131.

[174] Hussain A., Sarwar L., Akbar S., Nadeem S. Mathematical model for blood flow through the stenosed channel // Physica Scripta. - 2020. - Vol. 95. - Art. no. 025206.

[175] Iasiello M., Vafai K., Andreozzi A., Bianco N. Analysis of non-Newtonian effects on low-density lipoprotein accumulation in an artery // Journal of Biomechanics. - 2016. - Vol. 49. - P. 1437-1446.

[176] Iasiello M., Vafai K., Andreozzi A., Bianco N. Analysis of non-Newtonian effects within an aorta-iliac bifurcation region // Journal of Biomechanics. - 2017. - Vol. 64. - P. 153-163.

[177] Ilyin O.O. Nonlinear pressure-velocity waveforms in large arteries, shock waves and wave separation // Wave Motion. - 2019. - Vol. 84. - P. 56-67.

[178] Irgens F. Rheology and Non-Newtonian Fluids. - Berlin: Springer, 2014. - 190 p.

[179] Jeong W.W., Rhee K. Effects of surface geometry and non-newtonian viscosity on the flow field in arterial stenoses // Journal of Mechanical Science and Technology. - 2009. - Vol. 23. - P. 2424-2433.

[180] Johnston B.M., Johnston P.R., Corney S., Kilpatrick D. Non-Newtonian blood flow in human right coronary arteries: steady state simulations // Journal of Biomechanics. -2004. - Vol. 37. - P. 709-720.

[181] Junk M., Yang Z. L2 convergence of the lattice Boltzmann method for one-dimensional convection-diffusion-reaction equations // Communications in Computational Physics. — 2015. — Vol. 17, no. 5. — P. 1225-1245.

[182] Kandhai D., Soll W., Chen S., Hoekstra A., Sloot P. Finite-difference lattice-BGK methods on nested grids // Computer Physics Communications. - Vol. 129. - P. 100-109.

[183] Karimi S., Dabagh M., Vasava P., Dadvar M., Dabir B., Jalali P. Effect of rheological models on the hemodynamics within human aorta: CFD study on CT image-based geometry // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2014. - Vol. 207. - P. 42-52.

[184] Karimipour A., Toghraie D., Abdulkareem L.A., Alizadeh A., Zarringhalam M., Karimipour A. Roll of stenosis severity, artery radius and blood fluid behavior on the flow velocity in the arteries: Application in biomedical engineering // Medical Hypotheses. - 2020. - Vol. 144. - Art. no. 109864.

[185] Kataoka T., Tsutahara M. Lattice Boltzmann method for the compressible Euler equations // Physical Review E. - 2004. - Vol. 69. - Art. no. 056702.

[186] Kataoka T., Hanada T. New lattice Boltzmann model for the compressible Navier — Stokes equations // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2019. - Vol. 91. -P. 183-197.

[187] Kefayati G. H. R. FDLBM simulation of magnetic field effect on mixed convection in a two sided lid-driven cavity filled with non-Newtonian nanofluid // Powder Technology. - 2015. - Vol. 280. - P. 135-153.

[188] Kefayati G. H. R. Simulation of double diffusive MHD (magnetohydrodynamic) natural convection and entropy generation in an open cavity filled with power-law fluids in the presence of Soret and Dufour effects (Part I: Study of fluid flow, heat and mass transfer) // Energy. - 2016. - Vol. 107. - P. 889-916.

[189] Kefayati G., Huilgol R. Lattice Boltzmann method for the simulation of the steady flow of a Bingham fluid in a pipe of square cross-section // European Journal of Mechanics B/Fluids. - 2017. - Vol. 65. - P. 412-422.

[190] Kefayati G., Tang H. Double-diffusive natural convection and entropy generation of Carreau fluid in a heated enclosure with an inner circular cold cylinder (Part I: Heat and mass transfer) // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2018. - Vol. 120. - P. 731-750.

[191] Kefayati G., Tang H. MHD mixed convection of viscoplastic fluids in different aspect ratios of a lid-driven cavity using LBM // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2018. - Vol. 124. - P. 344-367.

[192] Kim S., Cho Y.I., Jeon A.H., Hogenauer B., Kensey K.R. A new method for blood viscosity measurement // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2000. - Vol. 94. - P. 47-56.

[193] Kloss Yu. Yu., Shuvalov P. V., Tcheremissine F. G. Solving Boltzmann equation on GPU // Procedia Computer Science. - 2012. - Vol. 1. - P. 1083-1091.

[194] Krivovichev G. V. On the finite-element-based lattice Boltzmann scheme // Applied Mathematical Sciences. - 2014. - Vol. 8, no. 33. - P. 1605-1620.

[195] Krivovichev G.V. Stability analysis of finite-difference scheme for the system of kinetic equations // International Conference on Stability and Control Processes, in Memory of V.I. Zubov (SCP) — Proceedings. - 2015. - P. 399-401.

[196] Krivovichev G. V., Marnopolskaya E. S. On the splitting method for the numerical solution of Boltzmann and lattice Boltzmann equations for gas flows in microsystems // 2016 14th International Baltic Conference on Atomic Layer Deposition, BALD 2016 — Proceedings.

- 2017. - Article number 7886538, P. 60-62.

[197] Krivovichev G. V., Marnopolskaya E. S. Optimization of dispersive and dissipative characteristics of finite-difference schemes for advection equation // 2017 Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (Dedicated to the Memory of V.F. Demyanov), CNSA 2017 — Proceedings. - 2017. - Art. no. 7973976.

[198] Krivovichev G. V. On the stability of lattice Boltzmann equations for one-dimensional diffusion equation // International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing. - 2017. - Vol. 8, № 1. - P. 1750013-1-1750013-13.

[199] Krivovichev G. V. Linear Bhatnagar-Gross-Krook equations for simulation of linear diffusion equation by lattice Boltzmann method // Applied Mathematics and Computation.

- 2018. - Vol. 325. - P. 102--119.

[200] Krivovichev G. V., Mikheev S. A. On the Stability of Multi-Step Finite-Difference-Based Lattice Boltzmann Schemes // International Journal of Computational Methods. - 2019.

- Vol. 16, № 1. - P. 1850087-1—1850087-19.

[201] Krivovichev G. V. Stability analysis of body force action models used in the singlerelaxation-time single-phase lattice Boltzmann method // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - Vol. 348. - P. 25-41.

[202] Krivovichev G.V. Analysis of the parametric models of passive scalar transport used in the lattice Boltzmann method // Computers and Mathematics with Applications. - 2020. -Vol. 79, № 5. - P. 1503-1524.

[203] Krivovichev G.V., Marnopolskaya E.S. The approach to optimization of finite-difference schemes for the advective stage of finite-difference-based lattice Boltzmann method // International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing. - 2020. - Vol. 11, № 1. - Art. no. 2050002.

[204] Krivovichev G.V. Optimized low-dispersion and low-dissipation two-derivative Runge-Kutta method for wave equations // Journal of Applied Mathematics and Computing. - 2020. - Vol. 63, № 1-2. - P. 787-811.

[205] Krivovichev G.V. Parametric schemes for the simulation of the advection process in finite-difference-based single-relaxation-time lattice Boltzmann methods // Journal of Computational Science. - 2020. - Vol. 44. - P. 101151.

[206] Krivovichev G.V. The initial-boundary problem for the system of 1D equations of non-Newtonian hemodynamics // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1697. -P. 012075.

[207] Krivovichev G.V. Characteristic-based finite-difference schemes for the simulation of convection-diffusion equation by the finite-difference-based lattice Boltzmann methods // International Journal of Computer Mathematics. - 2021. - Vol. 98, № 10. - P. 1991-2007.

[208] Krivovichev G.V. Comparison of non-Newtonian Models of one-dimensional hemodynamics // Mathematics. - 2021. - Vol. 9, № 19. - Art. no. 2459.

[209] Krivovichev G.V., Egorov N.V. Simulation of pulse wave propagation using one-dimensional models of hemodynamics // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - Vol. 2103. -Art. no. 012081.

[210] Krivovichev G.V. Comparison of inviscid and viscid one-dimensional models of blood flow in arteries // Applied Mathematics and Computation. - 2022. - Vol. 418. - Art. no. 126856.

[211] Krivovichev G.V. Steady-state solutions of one-dimensional equations of non-Newtonian hemodynamics // International Journal of Biomathematics. - 2022. - Art. no. S1793524522500334.

[212] Krivovichev G.V. Computational analysis of one-dimensional models for simulation of blood flow in vascular networks // Journal of Computational Science. - 2022. - Vol. 62. - Art. no. 101705.

[213] Kumar A. Isotropic finite-differences // Journal of Computational Physics. - 2004. - Vol. 201, no. 1. - P. 109-118.

[214] Kung V.E., Osmanlic F., Markl M., Korner C. Comparison of passive scalar transport models coupled with the lattice Boltzmann method // Computers and Mathematics with Applications. - 2018. - Vol. 79, no. 1. - P. 55-65.

[215] Kupershtokh A.L. New method of incorporating a body force term into the lattice Boltzmann equation // Proceedings of the Fifth International EHD Workshop, Poitiers, France, Aug.30-31,2004. - 2004. - P. 241-246.

[216] Kupershtokh A.L., Medvedev D.A. Lattice Boltzmann equation method in electrohydrodynamic problems // Journal of Electrostatics. - 2006. - Vol. 64. - P. 581-585.

[217] Kupershtokh A.L. Medvedev D.A., Karpov D.I. On equations of state in a lattice Boltzmann method // Computers and Mathematics with Applications. - 2009. - Vol. 58. - P. 965-974.

[218] Kupershtokh A.L. Criterion of numerical instability of liquid state in LBE simulations // Computers and Mathematics with Applications. - 2010. - Vol. 59. - P. 2236-2245.

[219] Kupershtokh A. L. A lattice Boltzmann equation method for real fluids with the equation of state known in tabular form only in regions of liquid and vapor phases // Computers and Mathematics with Applications. — 2011. — Vol. 61. — P. 3537-3548.

[220] Ladd A.J.C., Verberg R. Lattice Boltzmann simulations of particle-fluid suspensions // Journal of Statistical Physics. - 2001. - Vol. 104. P. 1191-1251.

[221] Lai A., Ma C. An implicit scheme of lattice Boltzmann method for Sine — Gordon equation // Chinese Physics Letters. — 2008. — Vol. 25, no. 6. — P. 2118-2120.

[222] Lai H., Ma C. Numerical study of the nonlinear combined Sine — Cosine — Gordon equation with the lattice Boltzmann method // Journal of Scientific Computing. — 2012. — Vol. 53. — P. 569-585.

[223] Lan Z., Hu W., Guo G. General propagation lattice Boltzmann model for a variable-coefficient compound KdV-Burgers equation // Applied Mathematical Modeling. - 2019.

- Vol. 73. - P. 695-714.

[224] Lee T., Lin C.-L. An Eulerian description of the streaming process in the lattice Boltzmann equation // Journal of Computational Physics. - 2003. - Vol. 185, no. 2. - P. 445-471.

[225] Leuprecht A., Perktold K. Computer simulation of non-Newtonian effects on blood flow in large arteries // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 2001.

- Vol. 4. - P. 149-163.

[226] LeVeque R.J. Finite-difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. -Philadelphia: SIAM, 1998. - 339 p.

[227] Levesley J., Gorban A.N., Packwood D. A numerical analyst's view of the lattice Boltzmann method // Springer Proceedings in Physics. - 2009. - Vol. 3. - P. 127-150.

[228] Li J. Multi-step hybrid methods adapted to the numerical integration of oscillatory second-order systems // Journal of Applied Mathematics and Computing. - 2019. - Vol. 61. - P. 155-184.

[229] Li G., Delestre O., Yuan L. Well-balanced discontinuous Galerkin method and finite volume WENO scheme based on hydrostatic reconstruction for blood flow model in arteries // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2018. - Vol. 86. - P. 491-508.

[230] Li Q., Chai Z., Shi B. An efficient lattice Boltzmann model for steady convection-diffusion equation // Journal of Scientific Computing. — 2014. — Vol. 61. — P. 355-390.

[231] Li Q., Luo K.H., Kang Q.J., He Y.L., Chen Q., Liu Q. Lattice Boltzmann methods for multiphase flow and phase-change heat transfer // Progress in Energy and Combustion Science. - 2016. - Vol. 52. - P. 62-105.

[232] Li Y. , Umemura A. Two-dimensional numerical investigation on the dynamics of ligament formation by Faraday instability // Internationsl Journal of Multiphase Flow. - 2014. -Vol. 60. - P. 64-75.

[233] Lin Y., Hong N., Shi B., Chai Z. Multiple-relaxation-time lattice Boltzmann modelbased four-level finite-difference scheme for one-dimensional diffusion equations // Physical Review E. - 2021. - Vol. 104. - P. 015312.

[234] Liu F., Kang N., Li Y. Numerical investigation on the mechanism of ligament formation aroused by Rayleigh-Taylor instability // Computers and Fluids. - 2017. - Vol. 154. - P. 236-244.

[235] Liu F., Shi W. Numerical solutions of two-dimensional Burger's equations by lattice Boltzmann method // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2011. — Vol. 16, № 1. — P. 150—157.

[236] Liu H., Valocchi A. J., Zhang Y., Kang Q. Phase-field-based lattice Boltzmann finite-difference model for simulating thermocapillary flows // Physical Review E. - 2013. - Vol. 87. - Art. no. 013010.

[237] Liu X.-D. Weighted essentially non-oscillatory schemes // Journal of Computational Physics. - 1994. - Vol. 115. - P. 200-212.

[238] Liu Y., Yan G. A lattice Boltzmann model for Maxwell's equations // Applied Mathematical Modelling. —2014. —Vol. 38, no. 5-6. —P. 1710-1728.

[239] Lopes D., Puga H., Teixeira J.C., Teixeira S.F. Fluid-structure interaction study of carotid blood flow: comparison between viscosity models // European Journal of Mechanics, B/Fluids. - 2020. - Vol. 86. - P. 226-234.

[240] Luo L. S. Unified theory of lattice Boltzmann models for nonideal gases // Physical Review Letters. - 1998. - Vol. 81. - P. 1618-1621.

[241] Mandal J. C., Deshpande S. M. Kinetic flux vector splitting for Euler equations // Computers and Fluids. - 1994. - Vol. 23, no. 2. - P. 447-478.

[242] Marchandise E., Willemet M., Lacroix V. A numerical hemodynamic tool for predictive vascular surgery // Medical Engineering and Physics. - 2009. - Vol. 31. - P. 131-144.

[243] Marcinkowska-Gapinska A., Gapinski J., Elikowski W., Jaroszyk F., Kubisz L. Comparison of three rheological models of shear flow behavior studied on blood samples from post-infarction patients // Medical and Biological Engineering and Computing. - 2007. - Vol. 45. - P. 837-844.

[244] Marnopolskaya E. S., Krivovichev G. V. Analysis of parametric finite-difference schemes for the system of linear advection equations // Journal of Physics: Conference Series. - 2017. - Ser. 929. - Art. no. 012033.

[245] Martin-Vaquero J., Janssen B. Second-order stabilized explicit Runge - Kutta methods for stiff problems // Computer Physics Communications. - 2009. - Vol. 180. - P. 1802-1810.

[246] Martin-Vaquero J., Kleefeld B. Extrapolated stabilized explicit Runge - Kutta methods // Journal of Computational Physics. - 2016. - Vol. 326. - P. 141-155.

[247] Martin-Vaquero J., Kleefeld A. ESERK5: a fifth-order extrapolated stabilized explicit Runge - Kutta method // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2019. -Vol. 356. - P. 22-36.

[248] Matin R., Misztal M.K., Hernandez-Garcia A., Mathiesen J. Evaluation of the finite element lattice Boltzmann method for binary fluid flows // Computers and Mathematics with Applications. - 2017. - Vol. 74. - P. 281-291.

[249] Mattys K.S., Alastruey J., Peiro J., Khir A.W., Segers P., Verdonc P.R., Parker K.H., Sherwin S.J. Pulse wave propagation in a model human arterial network: Assessment of 1-D numerical simulations against in vitro measurements // Journal of Biomechanics. -2007. - Vol. 40. - P. 3476-3486.

[250] McNamara G., Garcia A., Alder B. Stabilization of thermal lattice Boltzmann models // Journal of Statistical Physics. - 1995. - Vol. 81, no. 1/2. - P. 395-408.

[251] Mead J.L., Renaut, R.A. Optimal Runge-Kutta methods for first order pseudospectral operators // Journal of Computational Physics. - 1999. - Vol. 152. - P. 404--419.

[252] Mei E., Shyy W. On the finite difference-based lattice Boltzmann method in curvilinear coordinates // Journal of Computational Physics. - 1998. - Vol. 123. - P. 426-448.

[253] Mikheev S. A., Krivovichev G. V. Stability analysis of the lattice Boltzmann schemes with body force action // Journal of Physics: Conference Series. - 2018. - Vol. 1038, no. 1. - P. 012040.

[254] Mishra S. C., Mondal B., Kush T., Krishna R. S. R. Solving transient heat conduction problems on uniform and non-uniform lattices using the lattice Boltzmann method // International Communications in Heat and Mass Transfer. — 2009. — Vol. 36. — P. 322328.

[255] Mohamad A. A., Kuzmin A. A critical evaluation of force term in lattice Boltzmann method, natural convection problem // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2010. -Vol. 53. - P. 990-996.

[256] Molla M.M., Paul M.C. LES of non-Newtonian physiological blood flow in a model of arterial stenosis // Medical Engineering and Physics. - 2012. - Vol. 34. - P. 1079-1087.

[257] de Montera I., Verrier S., Mallet C., Barthes L. A passive scalar-like model for rain applicable up to storm scale // Atmospheric Research. - 2010. - Vol. 98. - P. 140-147.

[258] Moradicheghamahi J., Sadeghiseraji J., Jahangiri M. Numerical solution of the pulsatile, non-Newtonian and turbulent blood flow in a patient specific elastic carotid artery // International Journal of Mechanical Sciences. - 2019. - Vol. 150. - P. 393-403.

[259] Morbiducci U., Gallo D., Massai D., Ponzini R., Deriu M.A., Antiga L., Redaelli A., Montevecchi F.M. On the importance of blood rheology for bulk flow in hemodynamic models of the carotid bifurcation // Journal of Biomechanics. - 2011. - Vol. 44. - P. 24272438.

[260] Myers T.G. Application of non-Newtonian models to thin film flow // Physical Review E. - 2015. - Vol. 72. - Art. no. 066302.

[261] Mukhin S.I., Sosnin N.V., Favorskii A.P. The effect of viscous friction on pulse waves // Differential Equations. - 2006. - Vol. 42. - P. 1041-1056.

[262] Mukhin S. I., Menyailova M.A., Sosnin N. V., Favorskii A.P. Analytic study of stationary hemodynamic flows in an elastic vessel with friction // Differential Equations, 2007. -Vol. 43. - P. 1011-1015.

[263] Najafi-Yazdi A., Mongeau L. A low-dispersion and low-dissipation implicit Runge - Kutta scheme // Journal of Computational Physics. - 2013. - Vol. 233. - P. 315-323.

[264] Nandakumar N., Sahn K.C., Anand M. Pulsatile flow of a shear-thinning model for blood through a two-dimensional stenosed vessel // European Journal of Mechanics, B/Fluids. -2015. - Vol. 49. - P. 29-35.

[265] Nejat A., Abdollahi V. A critical study of the compressible lattice Boltzmann methods for Riemann problem // Journal of Scientific Computing. - 2013. - Vol. 54. - P. 1-20.

[266] Niegemann J., Diehl R., Busch K. Efficient low-storage Runge - Kutta schemes with optimized stability regions // Journal of Computational Physics. - 2012. - Vol. 231. -P. 363-372.

[267] Niu X. D., Shu C., Chew Y. T., Wang T. G. Investigation of stability and hydrodynamics of different lattice Boltzmann models // Journal of Statistical Physics. - 2004. - Vol. 117, no. 3-4. - P. 665-680.

[268] Nourgaliev R.R., Dinh T.C., Theofanous T.G., Joseph D. The lattice Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications // International Journal of Multiphase Flow. — 2003. — Vol. 29. - P. 117-169.

[269] O'Callaghan S., Walsh M., McGloughlin T. Numerical modelling of Newtonian and non-Newtonian representation of blood in a distal end-to-side vascular bypass graft anastomosis // Medical Engineering and Physics. - 2006. - Vol. 28. - P. 70-74.

[270] Ohwada T. Higher order approximation methods for the Boltzmann equation // Journal of Computational Physics. - 1998. - Vol. 139. - P. 1-14.

[271] Onishi J., Chen Y., Ohashi H. A lattice Boltzmann model for polymeric liquids // Progress in Computational Fluid Dynamics. - 2005. - Vol. 5. - P. 75-84.

[272] Osmanlic F., Korner C. Lattice Boltzmann method for Oldroyd-B fluids // Computers and Fluids. - 2016. - Vol. 124. - P. 190-196.

[273] Pacheco R., Phacheco-Vega A., Chen K.P. Mixing-dynamics of a passive scalar in a three-dimensional microchannel // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2011. -Vol. 54. - P. 959-966.

[274] Patil D. V., Premnath K. N., Banerjee S. Multigrid lattice Boltzmann method for accelerated solution of elliptic equations // Journal of Computational Physics. — 2014. — Vol. 265. — P. 172-194.

[275] Panagiotou F., Kassinos S.C. A structure-based model for the transport of passive scalars in homogeneous turbulent flows // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 2016.

- Vol. 57. - P. 109-129.

[276] Pedley T. The Fluid Mechanics of Large Blood Vessels. - Cambridge: Cambridge University Press, 1980. - 447 p.

[277] Peng Y., Zhang J., Meng J. Second-order force scheme for lattice Boltzmann model of shallow water flows // Journal of Hydraulic Research. - 2017. - Vol. 55. - P. 592-597.

[278] Peng Y., Wang B., Mao Y. Study on force schemes in pseudopotential lattice Boltzmann model for two-phase flows // Mathematical Problems in Engineering. - 2018. - Vol. 2018.

- Art. no. 6496379.

[279] Perdikaris P., Grinberg L., Karniadakis G.E. An effective fractal-tree closure model for simulating blood flow in large arterial networks // Annual Review of Biomedical Engineering. - 2015. - Vol. 43. - P. 1432-1442.

[280] Polyanin A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. - London: Chapman and Hall/CRC, 2002. - 667 p.

[281] Ponce-Dawson S., Chen S., Doolen G.P. Lattice Boltzmann computation for reaction-diffusion equations // Journal of Chemical Physics. — 2993. — Vol. 98, no. 2. — P. 15141523.

[282] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. - New York, Cambridge University Press. - 2007. - 1262 p.

[283] Puelz C., Canic S., Riviere B., Rusin C.G. Comparison of reduced models for blood flow using Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods // Applied Numerical Mathematics.

- 2017. - Vol. 115. - P. 114-141.

[284] Quarteroni A., Manzoni A., Vergara C. The cardiovascular system: mathematical modelling, numerical algorithms and clinical applications // Acta Numerica. - 2017. - Vol. 26. - P. 365-590.

[285] Rabby M.G., Razzak A., Molla M.M. Pulsatile non-Newtonian blood flow through a model of arterial stenosis // Procedia Engineering. - 2013. - Vol. 56. - P. 225-231.

[286] Razavi A., Shirani E., Sadeghi M.R. Numerical simulation of blood pulsatile flow in a stenosed carotid artery using different rheological models // Journal of Biomechanics. -2011. - Vol. 44. - P. 2021-2030.

[287] Razavi M.S., Shirani E. Development of a general methods for designing microvascular using distribution of wall shear stress // Journal of Biomechanics. - 2013. - Vol. 46. - P. 2303-2309.

[288] Reider M. B., Sterling J. D. Accuracy of discrete-velocity BGK models for the simulation of the incompressible Navier-Stokes equations // Computers and Fluids. - 1995. - Vol. 24, no. 4). - P. 459-467.

[289] Rheinlander M. Stability and multiscale analysis of an advective lattice Boltzmann scheme // Progress in Computational Fluid Dynamics. — 2008. — Vol. 8, no. 1-4. — P. 56-68.

[290] Richtmyer R.D., Morton K.W. Difference Methods for Initial-Value Problems. - New York: Interscience Publisher John Wiley and Sons, 1967. - 420 p.

[291] Saleem N., Munawar S. A mathematical analysis of mhd blood flow of Eyring-Powell fluid through a constricted artery // International Journal of Biomathematics. - 2016. - Vol. 9.

- Art. no. 1650027.

[292] Sankar D.S., Hemalatha K. Non-linear mathematical models for blood flow through tapered tubes // Applied Mathematics and Computation. - 2007. - Vol. 188. - P. 567-582.

[293] Sanz-Serna J. M., Christie I. Petrov - Galerkin methods for nonlinear dispersive waves // Journal of Computational Physics. - 1981. - Vol. 39. - P. 94-102.

[294] Schiller U. D. A unified operator splitting approach for multi-scale fluid-particle coupling in the lattice Boltzmann method // Computer Physics Communications. - 2014. - Vol. 185.

- P. 2586-2597.

[295] Seal D. C. , Guclu Y., Christlieb A. J. High-order multiderivative time integrators for hyperbolic conservation laws // Journal of Scientific Computing. - 2014. - Vol. 60. - P. 101-140.

[296] Servan-Camas B., Tsai F. T.-C. Lattice Boltzmann method with two relaxation times for advection-diffusion equation: Third order analysis and stability analysis // Advanced Water Resources. - 2008. - Vol. 31. - P. 1113-1126.

[297] Seta T., Takakashi R. Numerical stability analysis of FDLBM // Journal of Statistical Physics. - 2002. - Vol. 7, no. 1-2. - P. 557-572.

[298] Shan X., Chen H. Lattice Boltzmann model for simulating flows with multiple phases and components // Physical Review E. - 1993. - Vol. 47. - P. 1815-1820.

[299] Shan X., Chen H. Simulation of nonideal gases and liquid-gas phase transitions by the lattice Boltzmann method // Physical Review E. - 1994. - Vol. 49. - P. 2941-2948.

[300] Shan X., Yuan X.F., Chen H. Kinetic theory representation of hydrodynamics: a way beyond the Navier-Stokes equation // Journal of Fluid Mechanics. - 2006. - Vol. 550. - P. 413-441.

[301] Sharifzadeh B., Kalbasi R., Jahangiri M., Toghraie D., Karimipour A. Computer modeling of pulsatile blood flow in elastic artery using a software program for application in biomedical engineering // Computer Methods and Programs in Biomedicine. - 2020. -Vol. 192. - Art. no. 105442.

[302] Sheng W., Zheng Q., Zheng Y. The Riemann problem for a blood flow model in arteries // Communications in Computational Physics. - 2020. - Vol. 27. - P. 227-250.

[303] Sherwin S., Formaggia L., Peiro J., Franke V. Computational modelling of 1D blood flow with variable mechanical properties and its application to the simulation of wave propagation in the human arterial system // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2003. - Vol. 43. - P. 673-700.

[304] Siauw W.L., Ng E.Y.K., Mazumbar J. Unsteady stenosis flow prediction: a comparative study of non-Newtonian models with operator splitting scheme // Medical Engineering and Physics. - 2000. - Vol. 22. - P. 265-277.

[305] Shi B., Deng B., Du R., Chen X. A new scheme for source term in LBGK model for convection diffusion equation // Computers and Mathematics with Applications. — 2008. — Vol. 55. — P. 1568-1575.

[306] Shi B., Guo Z. Lattice Boltzmann model for nonlinear convection-diffusion equations // Physical Review E. - 2009. - Vol. 79. - Art. no. 016701.

[307] Shu C.-W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservative laws // Lecture Notes in Mathematics. - 1997. - Vol. 1697. - P. 325-432.

[308] Shi Y., Yap Y. W., Sader J. E. Linearized lattice Boltzmann method for micro- and nanoscale flow and heat transfer // Physical Review E. - 2015. - Vol. 92. - Art. no. 013307.

[309] Shu C., Niu X.D., Chew Y.T., Cai Q.D. A fractional step lattice Boltzmann method for simulating high Reynolds number flows // Mathematics and Computers in Simulation. -2006. - Vol. 2-6. - P. 201-205.

[310] Silva G., Semiao V. A study on the inclusion of body forces in the lattice Boltzmann BGK equation to recover steady-state hydrodynamics // Physica A. - 2011. - Vol. 390. - P. 1085-1095.

[311] Skiadopoulos A., Neofytou P., Housiadas C. Comparison of blood rheological models in patient specifi

c cardiovascular system simulations // Journal of Hydrodynamics. - 2017. - Vol. 29. - P. 293-304.

[312] van der Sman R., G. M., Ernst M. H. Diffusion lattice Boltzmann scheme on a orthorhombic lattice // Journal of Statistical Physics. —1999. — Vol. 94, no. 1-2. — P. 203-217.

[313] van der Sman R.G.M., Ernst M. Convection-diffusion lattice Boltzmann scheme for irregular lattices // Journal of Computational Physics. — 2000. — Vol. 160, no. 2. — P. 766-782.

[314] Sochi T. The flow of power law fluids in elastic vessels and porous media // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 2016. - Vol. 19. - P. 324-329.

[315] Sofonea V., Sekerka R. F. Viscosity of finite difference lattice Boltzmann models // Journal of Computational Physics. — 2003. — Vol. 184. — P. 422-434.

[316] Sommeijer B. P., Verwer J. G.On stabilized integration for time-dependent PDEs // Journal of Computational Physics. - 2007. - Vol. 224. - P. 3-16.

[317] Soulis J.V., Giannoglou G.D., Chatzizisis Y.S., Seralidou K.V., Parcharidis G.E., Louridas G.E. Non-Newtonian models for molecular viscosity and wall shear stress in a 3D reconstructed human left coronary artery // Medical Engineering and Physics. - 2009. - Vol. 30. - P. 9-19.

[318] Spiller C., Toro E.F., Vazquez-Cendon M.E., Contarino C. On the exact solution of the Riemann problem for blood flow in human veins, including collapse // Applied Mathematics and Computation. - 2017. - Vol. 303. - P. 178-189.

[319] Stanescu D., Habashi W. G. 2N-storage low dissipation and dispersion Runge - Kutta schemes for computational acoustics // Journal of Computational Physics. - 1998. - Vol. 143. - P. 674-681.

[320] Sterling J.D., Chen S. Stability analysis of lattice Boltzmann methods // Journal of Computational Physics. - 1996. - Vol. 123. - P. 196-206.

[321] Succi S., Benzi R., Vergassola M. Lattice Boltzmann scheme for two dimensional magnetohydrodynamics // Physical Review A. - 1991. - Vol. 43. - P. 4521-4524.

[322] Succi S., Chen H., Teixeira C., Bella G., De Maio A., Molvig K. An integer lattice realization of a Lax scheme for transport processes in multiple component fluid flows // Journal of Computational Physics. - 1999. - Vol. 152. - P. 493-516.

[323] Succi S. The Lattice Boltzmann Equation: for Complex States of Flowing Matter. -Cambridge:Cambridge University Press, 2018. - 757 p.

[324] Suga S. An accurate multi-level finite difference scheme for 1D diffusion equations derived from the lattice Boltzmann method // Journal of Statistical Physics. — 2010. — Vol. 140. — P. 494-503.

[325] Suga S. Accurate numerical schemes based on the lattice Boltzmann methods for multidimensional diffusion equations // International Journal of Modern Physics C. - 2014. -Vol. 25, no. 4. - P. 1350104.

[326] Suzuki K., Inamuro T., Yoshino M. Asymptotic equivalence of forcing terms in the lattice Boltzmann method within second-order accuracy // Physical Review E. - 2020. - Vol. 102. - P. 013308.

[327] Tabakova S., Nikolova E., Radev S. Carreau model for oscillatory blood flow in a tube // AIP Conference Proceedings. - 2014. - Vol. 1629. - Art. no. 336.

[328] Tabakova S., Kutev N., Radev S. Application of the Carreau viscosity model to the oscillatory flow in blood vessels // AIP Conference Proceedings. - 2015. - Vol. 1690. -Art. no. 040019.

[329] Taylor P. J. The stability of Du Fort — Frankel method for the diffusion equation with boundary conditions involving space derivatives // The Computer Journal. — 1970. — Vol. 13, no. 1. — P. 92-97.

[330] Thurston G. Viscoelasticity of human blood // Biophysical Journal. - 1972. - Vol. 12. - P. 1205-1217.

[331] Tinoco-Guerrero G., Dominguez-Mota F., Gaona-Arias A., Ruiz-Zavala M., Tinoco-Ruiz J. A stability analysis for a generalized finite-difference scheme applied to the pure advection equation // Mathematics and Computers in Simulation. - 2018. - Vol. 147. - P. 293-300.

[332] Tikhonov A.N., Samarskii A.A. - Equations of Mathematical Physics. - New York: Dover Publications, Inc. - 756 p.

[333] Tkachenko P.S., Krivovichev G.V. Analytical solutions of the problems for equations of one-dimensional hemodynamics // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1400. - P. 044031.

[334] Toro E. F. Riemann solvers and numerical methods fro fluid dynamics. A practical introduction. - New York - Berlin: Springer, 1999. - 620 p.

[335] Toro E.F., Siviglia A. Flow in collapsible tubes with discontinuous mechanical properties: Mathematical model and exact solutions // Communications in Computational Physics. -2013. - Vol. 13. - P. 361-385.

[336] Toro E.F. Brain venous haemodynamics, neurological diseases and mathematical modelling. A review // Applied Mathematics and Computation. - 2015. - Vol. 272. - P. 542-579.

[337] Toro E.F. Lectures on hyperbolic equations and their numerical approximation // Lecture Notes in Mathematics. - 2018. - Vol. 2212. - P. 91-169.

[338] Toro E.F., Muller L.O., Siviglia A. Bounds for wave speeds in the Riemann problem: Direct theoretical estimates // Computers and Fluids. - 2020. - Vol. 209. - Art. no. 104640.

[339] Torrilhon M., Jeltsch R. Essentially optimal explicit Runge - Kutta methods with application to hyperbolic-parabolic equations // Numerische Mathematik. - 2007. - Vol. 106. - P. 303-334.

[340] Toulorge T., Desmet W. CFL conditions for Runge - Kutta discontinuous Galerkin methods on triangular grids // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230. - P. 4657-4678.

[341] Tsai A.Y.J., Chan R.P.K., Wang S. Two-derivative Runge-Kutta methods for PDEs using a novel discretization approach // Numerical Algorithms. - 2014. - Vol. 65, no. 3. - P. 697--703.

[342] Tselios K., Simos T. E. Optimized Runge - Kutta methods with minimal dispersion and dissipation for problems arising from computational acoustics // Physics Letters A. - 2007. - Vol. 363. - P. 38-47.

[343] Tu C., Deville M. Pulsatile flow of non-Newtonian fluids through arterial stenoses // Journal of Biomechanics. - 1996. - Vol. 29. - P. 899-908.

[344] Turaci M.O., Ozis T. Derivation of three-derivative Runge-Kutta methods // Numerical Algorithms. - 2017. - Vol. 74, no. 1. - P. 247--265.

[345] Ubertini S., Bella G., Succi S. Lattice Boltzmann method on unstructured grids: Further developments // Physical Review E. - 2003. - Vol. 68, no. 1. - Art. no. 016701.

[346] Ubertini S., Succi S. Recent advances of lattice Boltzmann techniques on unstructured grids // Progress in Computational Fluid Dynamics. - 2004. - Vol. 5, no. 1-2. - P. 85-96.

[347] Vabishchevich P. Two-level schemes for the advection equation // Journal of Computational Physics - 2018. - Vol. 363. - P. 158-177.

[348] Vabishchevich P. Three-level schemes for the advection equation // Differential Equations. - 2019. - Vol. 55, no. 7. - P. 905-914.

[349] Velivelli A. C., Bryden K. M. Paralell perfomance and accuracy of lattice Boltzmann and traditional finite difference methods for solving the unsteady two-dimensional Burgers equation // Physica A. - 2006. - Vol. 362. - P. 139-145.

[350] Verigina M.A., Krivovichev G.V. The one-dimensional model of non-Newtonian hemodynamics // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1400. - P. 044022.

[351] Vienne L., Leveque E. Recursive finite-difference Lattice Boltzmann schemes // Computers and Mathematics with Applications. - 2021. - Vol. 96. - P. 95-108.

[352] Vimmir J., Jonasova A. Non-Newtonian effects of blood flow in complete coronary and femoral bypasses // Mathematics and Computers in Simulation. - 2010. - Vol. 80. - P. 1324-1336.

[353] van de Vyver H. Stability and phase-lag analysis of explicit Runge - Kutta methods with variable coefficients for oscillatory problems // Computer Physics Communications. - 2005. -Vol. 173. - P. 115-130.

[354] Wagner A. J., Strang K. Fluctuating lattice Boltzmann method for the diffusion equation // Physical Review E. —2016. — Vol. 94. — P. 033302-1-033302-15.

[355] Wang J., Wang M., Li Z. Lattice Poisson - Boltzmann simulations of electro-osmotic flows in microchannels // Journal of Colloid and Interface Science. — 2006. — Vol. 296. — P. 729-736.

[356] Wang J., Wang M., Chen S. Roughness and cavitations effects on electro-osmotic flows in rough microchannels using the lattice Poisson - Boltzmann methods // Journal of Computational Physics. — 2007. — Vol. 226. — P. 836-851.

[357] Wang J., Wang M., Li Z. Lattice evolution solution for the nonlinear Poisson — Boltzmann equation in confined domains // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation". — 2008. — Vol. 13. — P. 575-583.

[358] Wang Z., Shi B., Xiang X., Lu J. Lattice Boltzmann method for n-dimensional nonlinear hyperbolic conservation laws with the source term // Chaos. — 2011. — Vol. 21. — P. 013120-1-013120-8.

[359] Wang H., Yan G., Yan B. Lattice Boltzmann model based on the rebuilding - divergency method for the Laplace and the Poisson equations // Journal of Scientific Computing. — 2011. — Vol. 46. — P. 470-484.

[360] Wang X., Fullana J.-M., Lagree P.Y. Verification and comparison of four numerical schemes for a 1D viscoelastic blood flow model // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 2015. - Vol. 18. - P. 1704-1725.

[361] Wang Z., Li G., Delestre O. Well-balanced finite difference weighted essentially non-oscillatory schemes for the blood flow model // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2016. - Vol. 82. - P. 607-622.

[362] Wang H., Shi B., Liang H., Chai Z. Finite-difference lattice Boltzmann model for nonlinear convection-diffusion equations // Applied Mathematics and Computation. - 2017. - Vol. 309. - P. 334-349.

[363] Wang Y., Ma Y., Xie M. GPU accelerated lattice Boltzmann method in neutron kinetics problems // Annals of Nuclear Energy. - 2019. - Vol. 129. - P. 350-365.

[364] Wardle K. E.,Lee T. Finite element lattice Boltzmann simulations of free surface flow in a concentric cylinder // Computers and Mathematics with Applications. - 2013. - Vol. 65. -P. 230-238.

[365] Watanabe S., Aoki T. Large-scale flow simulations using lattice Boltzmann method with AMR following free-surface on multiple GPU // Computer Physics Communications. -2021. - Vol. 264. P. 107871.

[366] Watari M., Tsutahara M. Supersonic flow simulations by a three-dimensional multispeed thermal model of the finite difference lattice Boltzmann method // Physica A. - 2006. -Vol. 364. - P. 129-144.

[367] Watari M. Finite difference lattice Boltzmann method with arbitrary specific heat ratio applicable to supersonic flow simulations // Physica A. - 2007. - Vol. 382. - P. 502-522.

[368] Williamson J. H. Low-storage Runge - Kutta schemes // Journal of Computational Physics. - 1980. - Vol. 35. - P. 48-56.

[369] Witham G.B. Linear and nonlinear waves. — New York: John Wiley and Sons, 1974. — 634 p.

[370] Wolf-Gladrow D. A. A lattice Boltzmann equation for diffusion // Journal of Statistical Physics. — 1995. — Vol. 79, no. 5-6. — P. 1023-1032.

[371] Wolf-Gladrow D. A. Lattice-gas cellular automata and lattice Boltzmann models — an introduction. — Berlin: Springer-Verlag, 2005. — 324 p.

[372] Wu K., Yang Z., Tang H. A third-order accurate direct Euler GRP scheme for the Euler equations in gas dynamics // Journal of Computational Physics. - 2014. - Vol. 264. - P. 177-208.

[373] Wu X., Xia J. Extended Runge—Kutta-like formulae // Applied Numerical Mathematics. - 2006. - Vol. 56. - P. 1584-1605.

[374] Wu Y., Gui N., Yang X., Tu J., Jiang S. Fourth-order analysis of force terms in multiphase pseudopotential lattice Boltzmann model // Computers and Mathematics with Applications. - 2018. - Vol. 76. - P. 1699-1712.

[375] van Wyk S., Wittberg L.P., Bulusu K.V., Fuchs L., Plesniak M.W., Non-Newtonian perspectives on pulsatile blood-analog flows in a 1800 curved artery model // Physics of Fluids. - 2015. - Vol. 27. - Art. no. 071901.

[376] Xia M. Pore-scale simulation of miscible displacement in porous media using the lattice Boltzmann method // Computers and Geosciences. — 2016. — Vol. 88. — P. 30-40.