Гидродинамическое моделирование кварк-адронного фазового перехода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Мердеев, Андрей Викторович

• Мердеев, Андрей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мердеев, Андрей Викторович

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 Формулировка гидродинамической модели столкновений релятивистских ядер

1.1 Введение

1.2 Уравнения идеальной гидродинамики

1.3 Уравнение состояния ядерного вещества с учётом кварк-адронного фазового перехода

1.3.1 Адронная фаза

1.3.2 Кварк-глюонная фаза в модели кваркового мешка

1.3.3 Смешанная фаза

1.3.4 Введение среднего поля

1.3.5 Влияние фазового перехода на характеристики уравнения состояния

1.3.6 Процедура двумерной линейной интерполяции

1.4 Численная схема SHASTA

1.5 Вычисление наблюдаемых величин

2 Динамика ядерного вещества в столкновениях ядер при энергиях ускорителей NICA и FAIR

2.1 Введение

2.2 Формулировка модели

2.2.1 Начальные условия

2.2.2 Численная схема и законы сохранения

2.3 Эволюция гидродинамических величин в центральных столкновениях

2.3.1 Сравнение результатов для уравнений состояния УС-

ФП и УС-АГ

2.3.2 Упрощённая картина эволюции вещества в центральных столкновениях ядер

2.3.3 Сравнение предсказаний одно- и трёхжидкостной гидродинамики

2.3.4 Пространственно-временная картина центральных Au+Au столкновений

2.4 Динамика нецентральных столкновений

2.4.1 Плотность энергии и коллективные скорости для столкновений Au+Au при энергии 10 ГэВ/нуклон

2.4.2 Импульсная анизотропия при различных энергиях пучка

3 Расчёт наблюдаемых величин в столкновениях ядер при энергиях ускорителей NICA и FAIR

3.1 Адронные спектры

3.2 Коллективные потоки

3.3 Выводы

4 Гидродинамическая модель столкновений ядер при энергиях ускорителя RHIC

4.1 Введение

4.2 Формулировка модели

4.3 Начальные условия

4.4 Уравнение состояния

4.5 Законы сохранения

4.6 Расчёт импульсных распределений вторичных частиц

4.7 Учёт распадов резонансов

4.8 Динамика ядерного вещества в столкновениях ультрарелятивистских ядер

4.9 Быстротные спектры вторичных частиц: сравнение с данными коллаборации BRAHMS

4.10 Результаты расчёта для начальных условий Ландау и Бьёркена

4.11 Замечания по поводу использованных приближений

4.12 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БЛАГОДАРНОСТИ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидродинамическое моделирование кварк-адронного фазового перехода»

ВВЕДЕНИЕ

Свойства сильно-взаимодействующей материи важны для нашего понимания природных явлений. По современным представлениям такая материя состоит главным образом из партонов: кварков, антикварков и глю-онов. Эти партоны являются основными составляющими нуклонов, пионов и других адронов. Фундаментальная теория, которая описывает сильные взаимодействия — квантовая хромодинамика. Взаимодействие кварков характеризуется «ассимптотической свободой» и конфайнментом. При относительно небольших плотностях энергии, если попытаться разнести цветовые заряды, то взаимодействие станет настолько сильным, что более выгодно будет родить новую пару кварк-антикварк, чем разделить кварки друг от друга. Однако, если достаточно сильно сжать или нагреть адрон-ную материю, ожидается фазовый переход в новое состояние вещества, в котором партоны становятся квазисвободными. Считается, что обратный переход (адронизация) из кварк-глюонной плазмы (КГП) в адронный газ (АГ) должен был произойти на ранней стадии эволюции вселенной, спустя несколько микросекунд после Большого Взрыва.

На рис. 1 качественно изображены современные представления о фазовой диаграмме сильно-взаимодействующего вещества. Обычная ядерная материя, из которой состоят все ядра, характеризуется точкой, расположенной при нулевой температуре, около нормальной ядерной плотности. Ранняя вселенная, вероятно, эволюционировала вдоль температурной оси при очень малых барионных плотностях, охлаждаясь и расширяясь к её сегодняшнему состоянию. Переходя к большим плотностям при малых температурах, можно достичь состояния вещества, которое, возможно, существует в нейтронных звёздах, а именно, так называемого состояния цветовой сверхпроводимости. При промежуточных температурах и достаточно больших барионных плотностях ожидается фазовый переход первого рода из АГ в состояние КГП [1-3]. Область такого перехода заканчивается критической точкой с фазовым переходом второго рода. При малых плотностях ожидается переход типа кроссовер. К сожалению, детальная структура фазовой диаграммы сильно-взаимодействующей материи до сих пор надёжно

не установлена.

200

m г.-—t

v;

>

Ш

ш i—

Z3 100 m

QJ СI

о

Quarks and Gluons

C'itical point?

в!

'щШ

Neutron stars -//"

C.'0:fir buOC-conductorr

!е)

Net Baryon Density

1

Рис. 1: Схематическая фазовая диаграмма сильно-взаимодействующего вещества на плоскости температура-барионная плотность (в единицах равновесной ядерной плотности) [4].

Для экспериментального изучения фазовой диаграммы сильно-взаимодействующего вещества в настоящее время используются столкновения ядер высоких энергий, при которых образуется сильно сжатое и нагретое ядерное вещество. Ожидается, что такое вещество должно перейти в состояние КГП. Она существует в течение сравнительно небольшого периода времени, порядка нескольких фм/с 10~23 сек.), а затем распадается на адроны с рождением новых частиц, которые измеряются в детекторах.

Именно обнаружение КГП и изучение её свойств является одной из основных целей современной ядерной физики высоких энергий. В более широком смысле, главной целью таких исследований является изучение уравнения состояния (УС) горячего и плотного ядерного вещества, под которым обычно понимается связь давления, плотностей энергии и бари-онного заряда.

Сейчас эксперименты по столкновениям релятивистских ядер проводятся в нескольких ускорительных комплексах Европы и США. Ускоритель

SIS (тяжёлоионный синхротрон) при GSI (Дармштадт), работает при энергиях пучка JSiab < 2 ГэВ/нуклон [5-7]. В настоящее время здесь строится ускоритель антипротонов и ядер (FAIR), который, как ожидается, будет работать При ЭНерГИЯХ -E^lab ^ 10 — 30 ГэВ/нуклон [8]. Эксперименты при близких энергиях планируются также на будущем ускорителе NICA в ОИЯИ. Ожидается, что эксперименты на этих ускорителях дадут ценную информацию о свойствах вещества при относительно больших значениях барионной плотности.

Достаточно большой объём данных был получен в экспериментах на ускорителе AGS (Брукхейвенская национальная лаборатория, США) при энергиях Е\аъ — 2 — И ГэВ/нуклон [9-11]. В этой же лаборатории сейчас проводятся экспериментальные исследования на ускорителе встречных пучков RHIC (релятивистский тяжёлоионный ускоритель) при л/sññ — 60 — 200 ГэВ. На основе анализа этих экспериментов был сделан вывод об обнаружении нового состояния вещества — сильно-связанной, «почти идеальной» КГП [12].

Основным аргументом в пользу такого утверждения является наблюдение эффекта подавления выхода адронов с большими поперечными импульсами по сравнению с протон-протонными столкновениями. В пользу этого также свидетельствуют наблюдения достаточно больших значений эллиптических потоков, близких к гидродинамическим предсказаниям [13-16]. С начала 2010 года на ускорителе RHIC проводятся эксперименты при более низких энергиях ^snn < 40 ГэВ.

Ускоритель SPS (супер протонный синхротрон), расположенный в ЦЕРНе, функционировал в диапазоне энергий Е\&ъ = 20 — 200 ГэВ/нуклон (л/sññ — 6 —20 ГэВ) [17-19]. Эта область энергии представляет большой интерес, т.к. при таких энергиях ожидаются проявления кварк-адронного фазового перехода. Некоторые наблюдаемые величины, зависящие от энергии пучка, такие как отношение выходов частиц [20,21], эллиптический поток [22-24], параметры НВТ [25,26], ведут себя немонотонно при энергиях Еыъ ^ 30 — 40 ГэВ/нуклон. Причина такого поведения до сих пор не ясна.

С 2010 г. в ЦЕРНе работает новый ускоритель — LHC (Большой Адрон-

ный Коллайдер). На нём проводятся эксперименты по столкновению протонов с энергией л/ё^г ~ 14ТэВ и тяжёлых ионов при л/вшу ~ бТэВ [27].

Теоретическому описанию взаимодействий ядер высокой энергии посвящено уже довольно большое число работ. К сожалению, в обозримом будущем первопринципные расчёты таких сложных непертурбативных процессов, как столкновения релятивистских ядер, на основе квантовой хромоди-намики вряд ли возможны. Поэтому существующие подходы для изучения этих процессов имеют в значительной степени феноменологический, модельный характер. Надежда состоит в том, чтобы моделируя динамику тяжёлоионных столкновений попытаться получить информацию о горячей и плотной стадии эволюции системы на основе сравнения с наблюдаемыми распределениями конечных частиц. Ценность гидродинамической модели состоит прежде всего в том, что она позволяет учесть эффекты фазового перехода через УС. На наш взгляд, наиболее многообещающие наблюдаемые величины, с точки зрения изучения УС, следующие:

• Относительные выходы адронов различного сорта (несут информацию о свойствах вещества на стадии химического замораживания [28]).

• Изучение зависимости среднего поперечного импульса частиц от энергии пучка (было предложено для наблюдения фазового перехода много лет назад Ван Ховом [29], см. также [30,31]).

• Поперечные коллективные потоки [32-34] (чувствительны к градиентам давления на ранних стадиях столкновения).

• Корреляции пар частиц, с малыми относительными импульсами (несут информацию о времени жизни и характерных размерах образующегося файрбола).

Целью данной диссертации является разработка реалистических моделей гидродинамического типа для моделирования столкновений релятивистских ядер и применение этих моделей для исследования свойств сильно-взаимодействующего вещества при высоких плотностях энергии и барионного заряда.

Личное участие автора в получении научных результатов состоит в разработке, дальнейшем усовершенствовании и применении реалистических моделей гидродинамического типа к описанию столкновений ядер высокой энергии. Автором выполнен основной объём необходимых для исследования компьютерных моделирований, включая освоение и адаптацию комплекса программ трёхмерной релятивистской гидродинамики и визуализацию полученных данных.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Разработана трёхмерная гидродинамическая модель для описания столкновений ядер при энергиях 10-40 ГэВ/нуклон. Эта модель использована для анализа существующих экспериментальных данных и получения предсказаний для будущих ускорителей FAIR и NICA.

2. Детально исследована пространственно-временная эволюция ядерного вещества в процессе столкновения ядер и её чувствительность к кварк-адронному фазовому переходу.

3. Проведено гидродинамическое моделирование столкновений ядер при энергиях sJsNjsr > 100 ГэВ и проанализирована чувствительность быст-ротных распределений частиц к уравнению состояния, начальным условиям и температуре замораживания. Исследована роль распадов ре-зонансов в формировании спектров пионов, каонов и антипротонов. На основе сравнения с наблюдаемыми быстротными распределениями адронов получена оценка плотности энергии начального файрбола в диапазоне 5-10 ГэВ/фм3.

Научная новизна работы

1. Построена новая версия (3+1)-мерной гидродинамической модели, специально предназначенная для описания столкновений ядер в области энергий ускорителей NICA и FAIR.

2. Гидродинамическое моделирование таких столкновений проведено с использованием реалистичного УС, включающего эффекты конечного размера адронов и кварк-адронный фазовый переход.

3. Показано, что коллективные потоки и спектры адронов наиболее чувствительны к наличию кварк-адронного фазового перехода в области энергий столкновения порядка 10 ГэВ/нукон.

4. Сделан вывод о том, что кварк-адронный фазовый переход приводит к немонотонной энергетической зависимости эллиптического потока частиц в столкновениях релятивистских ядер, с максимумом в районе Е\о,ъ = 10 ГэВ/нуклон.

5. Продемонстрировано, что параметры максимального сжатия в центральных столкновениях ядер хорошо согласуются с расчётами в модели одномерных ударных волн.

6. На основе сравнения с мультижидкостным расчётом показано, что эффекты взаимной прозрачности в центральных столкновениях тяжёлых ядер относительно невелики вплоть до энергий порядка 30 ГэВ/нуклон.

7. В рамках (1+1)-мерной гидродинамической модели впервые (на момент выхода работ [35,36]) рассчитаны быстротные спектры пионов, каонов и антипротонов в столкновениях Au+Au при энергии y^sÑÑ = 200 ГэВ. Исследована чувствительность спектров частиц к критической температуре кварк-адронного фазового перехода.

8. Показано, что для удовлетворительного описания спектров адронов при энергиях RHIC следует использовать начальные условия, которые являются промежуточными между условиями Ландау и Бьёркена.

Практическая ценность работы

1. Разработанные автором гидродинамические модели позволяют проводить реалистические расчёты наблюдаемых характеристик в столкновениях релятивистских ядер в широком диапазоне энергий столкновения.

2. Полученные оценки максимальных значений плотностей энергии и ба-рионного заряда сильно-взаимодействующего вещества могут быть использованы для планирования будущих экспериментов по ядро-ядерным столкновениям.

3. Сделан вывод о том, что область энергий NICA и FAIR является оптимальной с точки зрения поиска проявлений кварк-адронного фазового перехода.

4. Проведён анализ возможных наблюдаемых следствий упомянутого фазового перехода, что представляет интерес для планирования экспериментов на ускорителях NICA, FAIR, RHIC, LHC.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах НИЦ «Курчатовский институт», ИЯИ РАН, ИТЭФ, университета Франкфурта на Майне, на международном совещании «Критическая точка и наступление деконфайнмента» (Аптон, США, 2009 г.), на международных конференциях «Физика на ускорителе NICA» (Дубна, Россия, 2009 г.), «Горячая и плотная ядерная материя» (Дубна, Россия, 2010 г.).

Публикации

Вошедшие в диссертацию результаты опубликованы в работах [35-37].

Содержание работы

Диссертация состоит из четырёх глав, введения и заключения.

В первой главе сформулирована трёхмерная гидродинамическая модель для столкновений ядер при энергиях Е^ = 1 — 160 ГэВ/нуклон, описана процедура расчёта УС с учётом кварк-адронного фазового перехода, дано описание алгоритма SHASTA, использованного для численного решения уравнений гидродинамики.

Во второй главе описаны результаты расчёта динамики ядерного вещества в рамках трёхмерной гидродинамической модели. Сравниваются предсказания одно- и трёхжидкостной гидродинамики. Рассчитан параметр импульсной анизотропии вещества при различных энергиях пучка.

В третьей главе рассчитаны спектры и параметры коллективных потов частиц в столкновениях Au+Au при энергиях Е^ъ = 10 — 40 ГэВ/нуклон. Приводится сравнение результатов расчёта с экспериментальными данными.

В четвёртой главе построена одномерная гидродинамическая модель для столкновений ядер при энергиях ^/s^n > 100 ГэВ. Предсказываемые моделью быстротные распределения пионов, каонов и антипротонов сравниваются с данными коллаборации BRAHMS. Рассмотрена возможность описания наблюдаемых распределений в моделях Ландау и Бьёркена.

В Заключении намечены перспективы дальнейшего развития гидродинамических моделей ядерных взаимодействий и применения методов и результатов, представленных в данной диссертации.

1 Формулировка гидродинамической модели столкновений релятивистских ядер

1.1 Введение

Одной из основных мотиваций при изучении высокоэнергетических тяжёлоионных столкновений является возможность рождения новой фазы сильно-взаимодействующей материи —КГП. К настоящему времени разработано уже достаточно большое число теоретических моделей для описания горячей и плотной материи на промежуточной стадии ядро-ядерной реакции.

Большой объём экспериментальных данных для ядерных столкновений при энергиях AGS, SPS и RHIC был успешно описан в рамках гидродинамических моделей. Первая модель такого вида была предложена Ландау более чем 50 лет назад [38]. В данной работе мы рассматриваем наиболее простую версию модели — идеальную гидродинамику, без учёта эффектов, связанных с вязкостью, теплопроводностью и химической неравновесностью.

Релятивистская гидродинамика — ценный инструмент для моделирования столкновений ядер высокой энергии. Особенно полезна чувствительность этой модели к УС сильно-взаимодействующего вещества и, в частности, к его фазовой диаграмме. В действительности, получение этого УС — главная цель экспериментов с тяжёлыми ионами. Теоретические исследования УС до сих пор не привели к надёжным результатам. Решёточные расчёты на основе квантовой хромодинамики [39, 40] дают достоверные результаты только для малых барионных химических потенциалов. В этом случае при температурах Т ~ 170 МэВ ожидается кварк-адронный фазовый переход кроссоверного типа. Некоторые сигналы КГП с низкой вязкостью были уже обнаружены [41] в экспериментах на RHIC при энергиях пучка ^JsNN = 60 — 200 ГэВ. С другой стороны, феноменологические модели предсказывают сильный фазовый переход первого рода в сжатом барионно-обогащённом веществе [42-44]. Предположительно, такое вещество рождается при сравнительно низких (AGS, SPS) энергиях. Более

детальные данные предполагается получить в низко энергетических экспериментах на RHIC [45], а также в будущих исследованиях на ускорителях NICA [46] и FAIR [8].

Можно грубо разделить существующие версии гидродинамических моделей на два класса. Первый класс включает модели, которые применяют гидродинамическое моделирование с самого начала, т.е. с этапа сближения холодных ядер. Привлекательная черта такого подхода — в нём не требуется дополнительных параметров для описания начальной стадии реакции. В моделях второго класса рассматривается возбуждённое и сжатое начальное состояние — локально равновесный «файрбол». Предполагается, что такой файрбол формируется на более ранней неравновесной стадии столкновения. Недостаток такого подхода — большая свобода в выборе геометрических и термодинамических параметров начального состояния. По этой причине предсказательная сила моделей второго класса невысока, особенно при изучении чувствительности результатов к УС.

К настоящему времени построено уже достаточно большое число гидродинамических моделей второго класса, начиная с простых (1+1)- [35,4752], а также более сложных (2+1)- [53-58] и (3+1)-мерных моделей [5965]. Недавние расчёты с включением диссипативных членов [66-69] показывают, что данные при энергиях RHIC и LHC могут быть воспроизведены с использованием довольно малых коэффициентов вязкости.

Исторически, ранние трёхмерные модели релятивистских ядерных столкновений [70-75] использовали холодные Лоренц-сжатые ядра в начальном состоянии. Считается, что такие модели достаточно хороши при энергиях пучка до 10 ГэВ/нуклон. Из-за роста эффектов прозрачности, с увеличением энергии пучка эти модели становятся всё менее и менее применимыми. Для учёта этих эффектов были разработаны обобщённые мульти-жидкостные модели [76-82]. Наиболее важные ингредиенты таких моделей, силы взаимного трения, до сих пор мало изучены и обычно параметризуются феноменологически.

Очевидно, что гидродинамический подход на может быть применим для описания поздних стадий тяжёлоионных столкновений, когда взаимные столкновения частиц становятся слишком редкими для поддержания ло-

кального термодинамического равновесия. Стандартный способ [38] преодоления этой трудности — введение так называемого критерия «замораживания» для сшивки гидродинамического описания с режимом бесстолк-новительного разлёта частиц. Обычно постулируется, что стадия разлёта начинается на некоторой пространственно-временной гиперповерхности [83]. К сожалению, такое приближение достаточно грубое [84] и, в принципе, может приводить к противоречию с экспериментальными данными (см. [85]). Более реалистическая процедура была предложена [54, 56,57,86-88] в «гидро-каскадной» модели. В этой схеме гидродинамика используется для генерации координат и импульсов адронов на промежуточных стадиях реакции. Затем эти характеристики используются в качестве начальных условий для транспортного моделирования более поздних стадий реакции.

1.2 Уравнения идеальной гидродинамики

Ниже мы будем изучать эволюцию высоковозбужденного вещества, рождающегося в ультрарелятивистских тяжёлоионных столкновениях. В предположении о локальном равновесии эта эволюция может быть описана уравнениями идеальной релятивистской гидродинамики [89]. Эти уравнения представляют локальные законы сохранения 4-импульса и барионного заряда:

дуТ^у = 0, (1)

<У\^ = 0. (2)

В пренебрежении процессами диссипации, барионный 4-ток Л^ и тензор энергии-импульса Т^ могут быть записаны следующим образом {К — с — 1):

А^ = гаЛ (3)

Т^ = (е + - Рд(4)

где е,п и Р —плотность энергии, барионная плотность и давление жидкости в локальной системе покоя, = 7(1, V)'1 — коллективная 4-скорость,

7 = (l—v2)~1/2, д^ = сНа§(+, -, —, —) — метрический тензор. Здесь и ниже V обозначает 3-скорость жидкости.

В дальнейшем мы будем использовать уравнения (1)-(2), переписанные в евклидовых координатах г):

где Е = Т00, Мг = Т0г и N = № — плотность энергии, плотность потока 3-импульса и барионная плотность в лабораторной системе отсчета.

Соотношения между гидродинамическими переменными в лабораторной системе отсчета и в локальной системе покоя вещества могут быть записаны следующим образом:

Для решения уравнений (5)—(10) необходимо знать УС жидкости Р = Р(п,е) и начальные условия.

1.3 Уравнение состояния ядерного вещества с учётом кварк-адронного фазового перехода

1.3.1 Адронная фаза

В наших расчетах будет использовано УС сильно-взаимодействующего вещества с кварк-адронным фазовым переходом первого рода. В рамках модели исключённого объёма оно было получено в работе [90].

Опишем процедуру расчёта этого УС. Рассмотрим локально-равновесную систему адронов в объеме V и пренебрежём изоспиновыми, кулоновскими и поверхностными эффектами. Анализ показывает [90], что при достаточно высоких плотностях или температурах необходимо учитывать конечные размеры адронов. В приближении исключенного объема, адронная система описывается, как идеальный газ, но в объеме, уменьшенном на объем

дьЕ + У(уЕ) = -Х7(УР) дгМ + У(г;М) = -УР, дьЫ + У(г;Л/") = 0,

(5)

(6) (7)

Е = 1\е + у\Р), .М = 72(г + Р) V, N = 7 п.

(8) (9) (10)

составляющих систему частей:

= (11)

г

(г)

Здесь Уе —это исключенный объем и Л^ — число адронов типа г, суммирование идет по всем типам адронов г. Ниже предполагается, что все адроны имеют одинаковый радиус г^. Тогда можно оценить исключенный объем на одну частицу, как полусферу радиуса 2 г и [91]:

(12)

Это приближение неплохо работает при плотностях много меньших плотности плотной упаковки. Величина уе рассматривается как параметр модели. Сравнение с данными по выходу адронов в столкновениях релятивистских ядер [92], даёт оценку разумного интервала радиусов адронов в диапазоне г^ ~ (0,3 — 0,6) фм. Это соответствует значениям исключенного объема уе ~ (0,5 — 3, 6) фм3.

Замена V —> V' в статистической сумме идеального газа адронов приводит к следующему уравнению для давления адронного вещества [93]:

р = ]Грг(й,т), (13)

г

где Т) — парциальное давление идеального газа адронов г-го типа

при температуре Т и химическом потенциале /Г^. Соотношение между ¡1^ и реальным химическим потенциалом имеет вид

Дг = /¿г - УеР. (14)

При заданной температуре и наборе химических потенциалов уравнения (13)—(14) представляют собой интегральное уравнение для Р. В пределе уе —>• 0, получается уравнение Дальтона для смеси идеальных газов адронов различного сорта.

Условие химического равновесия по отношению к сильным взаимодействиям приводит к соотношению

щ = Вф + (15)

где Д = 0, ±1 и5г = 0, ±1,±2... — барионные и странные квантовые числа г-ых адронов, ¿¿и /¿я — барионный и странный химические потенциалы.

Согласно (13)—(15), давление химически равновесной системы является функцией трех независимых переменных /^/¿^Т:

Р = Р(/л,/^,Т). (16)

Эта функция удовлетворяет термодинамическому соотношению [91]:

с1Р = ввТ + п&уь + 715^5, (17)

где я — плотность энтропии, п и п^ — соответственно, барионная и странная плотности. В дальнейшем рассматривается адронная материя с нулевой полной странностью. Такое вещество может образовываться, к примеру, при столкновении нестранных ядер снаряда и мишени. Поскольку в сильных взаимодействиях странность сохраняется, полученная система должна удовлетворять условию странной нейтральности

= 0. (18)

В барионно-асимметричной материи (д ^ 0) это условие может быть выполнено только при ненулевом странном химическом потенциале

Из уравнений (13)—(15) и (17) можно получить явные выражения для термодинамических величин й.п, П£ [92]:

дР

дТ

= (19)

fiP

п = — = г^В&(Зм,Т), (20)

г

дР

ns = — = Г У~] Si?ii (ßi, Т), (21)

dßs ^

где Si = дР{/дТ и щ = dPt/dJii — соответственно, энтропия и плотность идеального газа г-ых адронов. Фактор г в п.ч. (19)—(21) имеет вид:

г = {I + у^ПгУ1 ■ (22)

г

Плотность числа частиц г-oro сорта удовлетворяет условию

= ^ = (23)

Ofli Ve

Используя ( 13)—( 15), ( 19)—(22) и уравнение Гиббса-Дюгема

е = —Р + Ts + ¡in + fisns,

получаем выражение для плотности энергии

£

(25)

где = — Р{ + Т^ + /¿¿п^ — плотность энергии идеального газа г-ых адро-нов. Ниже учитываются вклады стабильных адронов, а также мезонных и барионных резонансов (в приближении нулевых ширин). Введённые выше термодинамические функции релятивистского идеального газа частиц г задаются следующими соотношениями [90]:

/

/еА

Pi

\ Щ

оо

/

9г

2тг2

dE-

2

щ

ггц

ехр

Е - \±г Т

± 1

Е<

\

(.Е2

2

V

Е

(26)

/

где Шг — масса 2-ых адронов и дг- — спин-изоспиновый фактор вырождения. Нижний знак в п.ч. (26) соответствует мезонам (Д = 0), тогда как верхний — барионам (Д- = 1) и антибарионам (Д = —1).

В настоящей работе учитывается вклад адронов с массами до 2 ГэВ. Значения тг и д^ берутся из работы [94].

1.3.2 Кварк-глюонная фаза в модели кваркового мешка.

Для расчета термодинамических свойств КГП используется модель кваркового мешка с пертурбативными поправками, линейными по константе сильного взаимодействия as. Глюоны (г = д) и легкие кварки (г — q,q) рассматриваются как безмассовые точечные частицы, тогда как для странных кварков (г — s, s) вводится ненулевая масса ms. Непертурбативые эффекты вводятся с помощью мешковой постоянной В. В химически равновесной КГП химический потенциал i-x партонов по-прежнему даётся уравнением (15), где /л и fis теперь барионный и странный потенциалы кварк-глюонной системы. В итоге, получаются соотношения fig = 0,

V>q = ~fj>q = м/3, fis = -fis = м/3 - Vs-

Следуя [95], пертурбативные поправки учитываются с помощью дополнительных постоянных факторов 1 — £ и 1 — 0, 8£ в давлении кварков и глюонов, соответственно. Здесь £ ~ as — параметр модели, который фиксируется сравнением с решеточными расчетами. В таком подходе получается следующее выражение для давления КГП:

ОС

= + }. (28)

к J \.е т \ е ? +1 )

ms

Здесь Ng = 16(1— 0,8£) — эффективное число глюонов, Nf = 2 (1 — £) — эффективное число легких кварков, PSg определяет вклад странных кварков и антикварков. Соответствующие выражения для плотностей барионного заряда п, странности ns, энергии е и энтропии s можно получить из уравнения (27), используя термодинамический соотношения (17), (24). Легко видеть, что плотность странности КГП = щ — ns = дР/дц$, зануляется при fj,s = us- м/3 = 0.

В расчётах УС с кварк-адронным фазовым переходом нами использованы значения ms = 150 МэВ, В = 344 МэВ/фм3, £ = 0.2 [90].

1.3.3 Смешанная фаза

Мы используем феноменологический подход, в котором адронная и кварк-глюонная фазы описываются разными моделями. Считается, что в фиксированной точке {ц,цз,Т) возможны три типа равновесных состояний: адронная фаза (АФ), кварк-глюонная фаза (КГФ) и смешанная фаза (СФ). Вне области СФ устойчивой является фаза с большим давлением [91]. Условие равновесия между доменами разных фаз в СФ можно записать следующим образом (условие Гиббса):

PH(ti,fis1T) = PQ{^fis1T). (29)

Здесь и далее термодинамические функции адронной и кварк-глюонной фаз помечаются индексами Я и Q, соответственно. Выражения для давлений Рн и Pq представлены в разд. 1.3.1 и 1.3.2, соответственно.

В СФ с и ^ 0 условие нулевой суммарной странности приводит к пространственному разделению странности и антистранности [96]. При ненулевых /ли Т уравнения пзн — п5<2 = 0 выполняются одновременно с уравнением (29) только в одной точке пространства (/л,/^,Г). В общем случае, странности сосуществующих доменов отличны от нуля и компенсируют друг друга лишь в среднем по объему системы.

Пусть Л — объемная доля адронных доменов в СФ. Тогда условие нулевой суммарной странности можно записать как

ПБ = Ап^я + (1 - А)п5д = 0. (30)

Это условие выполняется, если те^я и имеют разные знаки. При фиксированных /л, А температура фазового перехода Тс определяется из решения уравнений (29)-(30). На плоскости ц — Т область фазового перехода представляет собой не линию, а полосу [97,98] Т = Тс(/л, Л), где Тс — функция, убывающая с Л . Линии Т = Тс([л, 1) и Т = Тс(/л, 0) соответствуют адронной и кварк-глюонной границам СФ.

Плотность энергии и энтропии, а также барионная плотность, вычисляются из первого равенства в (30), с заменой п^ на е, в и п, соответственно. При заданных /л.Т, мы используем значения /¿5, А, полученные из решения уравнений (29), (30).

Области СФ в различных термодинамических переменных показаны ниже на рис. 2-3, 9-10, 12-13.

1.3.4 Введение среднего поля

Полученное в предыдущих разделах УС учитывает отталкивающее взаимодействие адронов на коротких расстояниях, однако, полностью игнорирует притяжение барионов на средних дистанциях. По этой причине УС не описывает свойства насыщения изоспин-симметричной материи при низких температурах. Как известно, при температурах Т < 10 МэВ и химических потенциалах ¡л ~ = шдг — Ев, где Ев — 16 МэВ — энергия связи холодного ядерного вещества, притягательное взаимодействие нук-

лонов приводит к жидко-газовому фазовому переходу1. В ядерных реакциях с промежуточными энергиями этот фазовый переход проявляется в процессах мультифрагментации [99].

Для учета эффектов среднего поля, мы вводим барионный эффективный потенциал II = и(п), который зависит только от барионной плотности п и не зависит от импульсов и сортов взаимодействующих барионов. Тогда энергию отдельного бариона можно получить добавлением II(п) к кинетической энергии. В таком подходе статистическую сумму адронной системы можно найти аналитически [93]. Конечные размеры адронов по-прежнему учитываются введением исключённого объема. В результате для термодинамических функций адронной фазы получаются следующие формулы [90]:

М = Рк + и{п), (31)

Р = Рк + Р1{п), (32)

£ = £К+£${п). (33)

«Полевые» вклады (помечены буквой /) в плотности энергии и давлении находятся по формулам:

п

£f{n) = nU{n) - Pf(n) = J cfaii/(ni). (34)

0

Кинетические члены (помечены индексом К) в (31)—(33) являются функциями ЦК-, /ass Т. Они даются формулами разд. 1.3.1 с заменой ¡i — Р —> Рк, £ £к- В частности, выражения для Р% и £к получаются из ( 13)—( 15) и (25)-(26), соответственно. Плотности s,n, и ns определяются формулами ( 19)—(21), где теперь

Дг = BiflK + Si/is - vPK. (35)

В духе скирмовского подхода [100] потенциал среднего поля параметризуется в виде:

/ \ 7

п „ ( п 4

U{n) = -a — + /? — , (36)

По \По/

'В наших расчётах мы не будем рассматривать эффекты связанные с таким фазовым переходом в относительно холодном адронном веществе. Ниже, говоря о фазовом переходе, мы имеем в виду кварк-адронный фазовый переход.

где щ = 0,15 фм3 — плотность равновесной ядерной материи, а а,/3,7 — независящие от плотности параметры. В дальнейшем для 7 используется традиционное значение 7/6. Оставшиеся параметры находятся из условий Р = 0, е/п = до = 923 МэВ при п = щ, Т = 0. При этом для ve = 1 фм3 получаются значения [90] а ~ 0,334 ГэВ, ß ~ 0,277 ГэВ.

1.3.5 Влияние фазового перехода на характеристики уравнения состояния

Для изучения чувствительности к УС, нами также проведены расчёты с УС идеального адронного газа (УС-АГ). В этом случае мы пренебрегаем поправками на исключённый объём, полагая, что ve = О2. Расчёт УС с кварк-адронным фазовым переходом (УС-ФП) проведён нами в предположении ve — 1 фм3.

Графическое представление зависимости Р(п, е) для обоих УС дано на рис. 2-3. Как видно из рис. 2 значения давления, предсказываемые этими двумя УС значительно различаются при достаточно больших г и п3.

Важную информацию о динамике вещества в тяжёлоионных столкновениях содержит рис. 3, на котором показаны адиабатические траектории, т.е. линии постоянной энтропии на барион, а — s/n, где s — плотность энтропии. Как известно [89], эта величина сохраняется вдоль траекторий движения элементов жидкости в идеальной гидродинамике (в отсутствие ударных волн). Расчёты показывают [90], что в центральных столкновениях ядер большие значения а достигаются для больших энергий столкновений £qab. Наклоны адиабат на рис. 3 дают квадрат скорости звука [89]

Как видно из рис. 3, скорость звука с8 достигает минимальных значений в области СФ. Такое поведение заметно влияет на динамику формирования коллективных потоков вещества. Действительно, мгновенное ускорение элемента жидкости пропорционально градиенту давления \7Р = с2Уг.

2Как показано в [90], реалистичная фазовая диаграмма сильно-взаимодействующего вещества может быть получена лишь при учёте поправок на конечный размер адронов, т.е. при уе ф 0.

З3аметим, что скачки на кривых давления на рис. 2 соответствуют состояниям с нулевой температурой, образующим границу физических состояний вещества.

(37)

Рис. 2: Давление как функция плотности энергии при различных барионных плотностях а в единицах нормальной ядерной плотности. Сплошные и пунктирные линии отвечают УС-ФП и УС-АГ, соответственно. Область СФ отмечена затенением.

При заданном значении W можно ожидать меньшие ускорения вещества для более «мягкого» УС, которому соответствуют меньшие значения скорости звука. Согласно рис. 3, УС-ФП мягче, чем УС-АГ только в «правых» частях области СФ. В других областях плоскости г — Р значения ся для УС-ФП такого же порядка или даже большие, чем для УС-АГ. Такая ситуация реализуется для относительно небольших значений удельной энтропии (см. кривую В/В = 5 на рис. 3). Подобная аномалия УС ожидается в области энергий ускорителей NICA-FAIR, где наши расчёты предсказывают немонотонное поведение коллективных потоков и спектров частиц как функций энергии пучка (см, главы 2-3),

В расчётах столкновений ядер при энергиях RHIC, описанных ниже в главе 4, мы пренебрегаем эффектами, связанными с ненулевой барион-ной плотностью. В таком приближении давление можно считать функцией лишь плотности энергии, Р = Р(е). В этих расчетах используется феноменологическая параметризация P(ej, предложенная ранее в работе [56,57].

г (ЗеУЛтп3)

Рис. 3: Адиабатические траектории в плоскости е- Р. Тонкие и толстые линии соответствуют УС-ФП и УС-АГ, соответственно. Затенением показана область СФ.

1.3.6 Процедура двумерной линейной интерполяции

Для уменьшения времени вычислений мы использовали предварительно рассчитанные таблицы значений термодинамических величин с фиксированными шагами по п,е. В частности, были рассчитаны таблицы Р(п;.с/). где = Ае (г - 1),?: - I. ... IИ Щ = Д>1 Ь - 1)-.7 - Здесь

Ае — 0.025 ГэВ/фм3, Дп = 0. 025 фм 3, гпшх и зтт отвечают значениям етах = 60 ГэВ/фм3, птпх = 3 фм 3. Этих значений достаточно для расчётов столкновений ядер при энергиях Е%ь — (1 — 160) ГэВ/нуклон.

Значения давления для произвольных плотностей энергии г <: етах и барионного заряда п Щ птах находились на основе двумерной линейной интерполяции по формуле [101]:

Р(п, е) = (1 - - у )Рл + .т(1 - у)Рв + (1 - х)уРс + хуРо, (38)

где М ^ У - Ра = рв = Р&ьШЪ Рс " Р(пие2),

РГ) = Р{п2,£2)- Здесь значения £{ и £2 отвечают ближайшим к г узлам сетки е./ (б] < е < £2), а величины тг® и п2 обозначают значения узлов сетки п,,

ближайшие к п. Аналогичным образом находятся значения барионного и странного химических потенциалов /i, /is, а также температуры Т. Эти величины используются при расчёте спектров вторичных частиц по формуле Купера-Фрая (см. разд. 1.5).

1.4 Численная схема SHASTA

Уравнения (5)-(7) решались численно, используя метод коррекции потоков, реализованный в схеме SHASTA (Sharp and Smooth Transport Algorithm). Метод коррекции потоков сравнительно простой, явный, и позволяет получить с хорошей точностью профили гидродинамических величин даже для течений с ударными волнами. На протяжении многих лет он успешно применяется для гидродинамических расчётов столкновений ядер.

Алгоритм SHASTA, разработанный в работах [102, 103], используется для численного решения одномерных уравнений вида

dtU + dg{vU + f) = 0. (39)

Здесь dt и dz — частные производные по времени t и пространственной координате z, U обозначает обобщённую плотность, v — скорость потока, / — обобщённое давление. В одномерном случае система уравнений (5)-(7) может быть записана в виде (39), где v = vz, U, / — трёхмерные векторы: U = (N, Е, Mz), f = (0, Pvz, Р).

Основная идея метода коррекции потоков — обеспечить стабильность разностной схемы введением промежуточного «диффузионного» шага по времени. Последующий антидиффузионный шаг частично компенсирует эту диффузию, подавляя нефизические осцилляции и оставляя достаточно резким профиль решения даже в случае разрывов или больших градиентов.

На первом этапе алгоритма SHASTA вычисляется «перенесённая» плотность U:

и г = ^г+2Лг+1 - \qt''+ № + Q7)U? + ^Д/. (40)

Здесь и ниже At и Аг — шаг по времени и размер ячейки пространственной сетки, а также введены обозначения Zf = zq + iAz, Ф^2 = Ф(£ + Zi),

Фг±1 = zi±i). Для г = 1, 2,... и произвольной функции Ф(£, z). В п.ч. (40)

+ _ O-5-gf г l+£i+1-£i'

введены вспомогательные величины Ai = U-1 — Qt ~ 0,5 £

Q-Г = 0.5+ег =

Чг l+ei-Ej-! ' Ьг Ui Az'

В работе [102] дифференциал обобщённого давления А/ выбирался равным:

а/ = -Qtu:^ - /Г1) - <эг(/Г+| - Ch (4i)

Следуя [103] для этой величины нами используется более простое выражение

= (42)

Для определения плотности U^1 на следующем временном шаге, вычисляются величины

Аг = иг-иг„ъ (43)

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Мердеев, Андрей Викторович

4.12 Выводы

В данной главе модель Бьёркена обобщена для случая неоднородных профилей начальной плотности энергии. Уравнения (1+1)-мерной гидродинамики в переменных т — г/ решаются численно от начального момента времени tq = 1 фм/с вплоть до стадии замораживания.

Получены следующие результаты:

• Исследована чувствительность спектров вторичных адронов к начальным условиям, температуре замораживания и уравнению состояния. При выборе параметров начального состояния использованы экспериментальные ограничения на полную энергию рожденных частиц.

• Продемонстрирована важная роль распадов резонансов в формировании спектров конечных адронов.

• В приближении изотермического замораживания рассчитаны быстро-тные распределения пионов, каонов и антипротонов в центральных столкновениях Au+Au при энергии y/sNN = 200 ГэВ. Эти распределения сравниваются с данными коллаборации BRAHMS. Наилучшее согласие с экспериментальными данными получается для профилей начальной плотности энергии, близких к гауссовским.

• Показано, что максимальная плотность энергии в начальном состоянии чувствительна к параметрам возможного кварк-глюонного перехода ядерного вещества. Для УС с критическими температурами Тс ~ 165 и 190 МэВ, данные BRAHMS хорошо воспроизводятся при выборе £q ~ 10 и 5 ГэВ/фм3, соответственно.

• Неудовлетворительный результат модели — очень большие времена замораживания пионов, порядка 50 фм/с —связан с пренебрежением поперечным расширением файрбола.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведённые теоретические исследования столкновений ядер высокой энергии демонстрирует высокую эффективность гидродинамического подхода для описания экспериментальных данных в широкой области энергий от AGS и SPS до RHIC и LHC. Несомненным преимуществом такого подхода является его приспособленность для описания состояний сильно-взаимодействующего вещества при больших плотностях и температурах.

В диссертации продемонстрирована чувствительность наблюдаемых величин (спектров вторичных частиц, параметров коллективных потоков) к уравнению состояния вещества и, в частности, к параметрам кварк-адронного фазового перехода.

Наиболее важными, по мнению автора, задачами, требующими своего решения в будущем, являются:

1. Построение реалистичной процедуры замораживания частиц на поздних стадиях столкновения ядер, на основе гидро-кинетического подхода.

2. Включение диссипативных эффектов, связанных с вязкостью и теплопроводностью.

3. Обобщение модели, развитой в главе 4 на область более высоких энергий LHC.

4. Учёт неравновесных эффектов при адронизации КГП.

БЛАГОДАРНОСТИ

Я хотел бы выразить глубокую благодарность моим научным руководителям JI.M. Сатарову и И.Н. Мишустину без участия которых эта работа была бы невозможна.

Автор благодарен научной группе Франкфуртского университета под руководством проф. Д. Ришке за предоставления программы для численного решения уравнений трёхмерной гидродинамики.

Большую пользу при выполнении вошедших в диссертацию работ принесли обсуждения с А.Б. Ларионовым, Ю.Б. Ивановым, C.B. Толоконни-ковым и Д.Ю. Пересунько.

Я также признателен H.H. Федотову и Н.Г. Ивановой за полезные обсуждения.

Я хочу поблагодарить Д. Блашке и В.Д. Тонеева за прекрасную организацию международных школ в Дубне, в которых мне довелось участвовать.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мердеев, Андрей Викторович, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Collins J.С., Perry M.J., Superdenee matter: neutrons or asymptotically free quarks?// Phys. Rev. Lett., 1975, v. 34, p. 1353-1356.

[2] Шуряк Э.В., Кварк-глюонная плазма и рождение лептонов, фотонов и пионов в адронных соударениях.//

ЯФ, 1978, т. 28, вып. 3(9), с. 796-808.

[3] Friman В. et al., The СВМ physics book: compressed baryonic matter in laboratory experiment.// Lect. Notes Phys., 2011, v. 814, p. 1980.

[4] GSI Helmholtzzentrum fur Schwerionenforschung.//

URL: http://www.gsi.de/forschung/fair_experiments/CBM/ Phasendiagram.jpg (дата обращения: 29.10.2011).

[5] Senger P. et al. (KaoS Collab.), The KAON spectrometer at SIS.// Nucl. Instrum. Meth. A, 1993, v. 327, p. 393-411.

[6] Andronic A. et al. (FOPI Collab.), Excitation function of elliptic flow in Au + Au collisions and the nuclear matter equation of state.// Phys. Lett. B, 2005, v. 612, p. 173-180.

[7] Agakichiev G. et al. (HADES Collab.), Dielectron production in C-12+C-12 collisions at 2-AGeV with HADES.//

Phys. Rev. Lett., 2007, v. 98, p. 052302.

[8] [FAIR] An International Accelerator Facility for Beams of Ions and Antiprotons, Conceptual Design Report.//

URL: http://www.gsi.de/GSI-Future/cdr/ (дата обращения: 29.10.2011).

[9] Pinkenburg С. et al. (E895 Collab.), Elliptic flow: Transition from out-of-plane to in-plane emission in Au + Au collisions.//

Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 1295-1298.

[10] Ahle L. et al. (E866 Collab. and E917 Collab.s), An Excitation function of K- and K+ production in Au + Au reactions at the AGS.// Phys. Lett. B, 2000, v. 490, p. 53-60.

[11] Elliott J.B. et al. (EOS Collab.), Constructing the phase diagram of finite neutral nuclear matter.// Phys. Rev. C, 2003, v. 67, p. 024609.

[12] Gyulassy M., McLerran L., New forms of QCD matter discovered at RHIC.// Nucl. Phys. A, 2005, v. 750, p. 30-63.

[13] Adams J. et al. (STAR Collab.), Experimental and theoretical challenges in the search for the quark gluon plasma: The STAR Collaboration's critical assessment of the evidence from RHIC collisions.//

Nucl. Phys. A, 2005, v. 757, p. 102-183.

[14] Back B.B. et al. (PHOBOS Collab.), The PHOBOS perspective on discoveries at RHIC.// Nucl. Phys. A, 2005, v. 757, p. 28-101.

[15] Arsene J. et al. (BRAHMS Collab.), Quark-gluon plasma and color glass condensate at RHIC? The perspective from the BRAHMS.// Nucl. Phys. A, 2005, v. 757, p. 1-27.

[16] Adcox K. et al. (PHENIX Collab.), Formation of dense partonic matter in relativistic nucleus-nucleus at RHIC: Experimental evaluation by the PHENIX Collaboration.//

Nucl. Phys. A, 2005, v. 757, p. 184-283.

[17] Adamova D. et al. (CERES Collab.), Universal pion freezeout in heavy ion collisions.// Phys. Rev. Lett., 2003, v. 90, p. 022301.

[18] Alt C. et al. (NA49 Collab.), Energy and centrality dependence of anti-p and p production and the anti-Lambda/anti-p ratio in Pb+Pb collisions between 20/A-GeV and 158/A-Gev.//

Phys. Rev. C, 2006, v. 73, p. 044910.

[19] Arnaldi R. et al. (NA60 Collab.), First measurement of the rho spectral function in high-energy nuclear collisions.//

Phys. Rev. Lett., 2006, v. 96, p. 162302.

[20] Afanasiev S. V. et al. (NA49 Collab.), Energy dependence of pion and kaon production in central Pb + Pb collisions.//

Phys. Rev. C, 2002, v. 66, p. 054902.

[21] Alt C. et al. (NA49 Collab.), Pion and kaon production in central Pb + Pb collisions at 20-A and 30-A-GeV: Evidence for the onset of deconfinement.// Phys. Rev. C, 2008, v. 77, p. 024903.

[22] Kolb P.F., Huovinen P., Heinz U.W. and Heiselberg H., Elliptic flow at SPS and RHIC: From kinetic transport to hydrodynamics.// Phys. Lett. B, 2001, v. 500, p. 232-240.

[23] Bleicher M. and Stoecker H., Anisotropic flow in ultrarelativistic heavy ion collisions.// Phys. Lett. B, 2002, v. 526, p. 309-314.

[24] Petersen H., Li Q., Zhu X. and Bleicher M., Directed and elliptic flow in heavy ion collisions at GSI-FAIR and CERN-SPS.//

Phys. Rev. C, 2006, v. 74, p. 064908.

[25] Rischke D.H. and Gyulassy M., The Time delay signature of quark-gluon plasma formation in relativistic nuclear collisions.//

Nucl. Phys. A, 1996, v. 608, p. 479-512.

[26] Li Q., Bleicher M. and Stocker H., The Effect of pre-formed hadron potentials on the dynamics of heavy ion collisions and the HBT puzzle.// Phys. Lett. B, 2008, v. 659, p. 525-530.

[27] Schukraft J., First Results from the ALICE experiment at the LHC.// Nucl. Phys. A, 2011, v. 862-863, p. 78-84.

[28] Andronic A., Braun-Munzinger P., Stachel J., Hadron production in central nucleus-nucleus collisions at chemical freeze-out.//

Nucl. Phys. A, 2006, v. 772, p. 167-199.

[29] Van Hove L., Multiplicity dependence of p(T) spectrum as a possible signal for a phase transition in hadronic collisions.//

Phys. Lett. B, 1982, v. 118, p. 138.

[30] Gorenstein M.I. , Gazdzicki M. and Bugaev K.A., Transverse activity of kaons and the deconfinement phase transition in nucleus-nucleus collisions.// Phys. Lett. B, 2003, v. 567, p. 175-178.

[31] Gazdzicki M., Gorenstein M.I., Grassi F., Наша Y., Kodama T. and Socolowski O.J.(NA49 Collab.), Incident energy dependence of the effective temperature in heavy ion collisions.//

Braz. J. Phys., 2004, v. 34, p. 322-325.

[32] Stocker H., Greiner W., High energy heavy ion collisions — probing the equation of state of highly excited hadronic matter.//

Phys. Rep., 1986, v. 137, p. 277-392.

[33] Ollitrault J.-Y., Anisotropy as a signature of transverse collective flow.// Phys. Rev. D, 1992, v. 46, p. 229-245.

[34] Voloshin S.A., Poskanzer A.M. and Snellings R., Collective phenomena in non-central nuclear collisions.// Preprint nucl-th/0809.2949v2.

[35] Satarov L.M., Mishustin I.N., Merdeev A.V., Stocker H., Longitudinal fluid dynamics for ultrarelativistic heavy-ion collisions.//

Phys. Rev. C, 2007, v. 75, p. 024903.

[36] Satarov L.M., Mishustin I.N., Merdeev A.V., Stocker H., 1+1 dimensional hydrodynamics for high-energy heavy-ion collisions.//

ЯФ, 2007, т. 70, вып. 10, с. 1822-1845.

[37] Merdeev A.V., Satarov L.M., and Mishustin I.N., Hydrodynamic modeling of the deconfinement phase transition in heavy-ion collisions in the NICA-FAIR energy domain.// Phys. Rev. C, 2011, v. 84, p. 014907.

[38] Ландау Л.Д., О множественном образовании частиц при столкновениях быстрых частиц.//

Известия АН СССР, сер. физическая, 1953, т. 17, с. 51-64.

[39] Bazavov A. et al., Equation of state and QCD transition at finite temperature.// Phys. Rev. D, 2009, v. 80, p. 014504.

[40] Aoki Y. et al., The QCD transition temperature: results with physical masses in the continuum limit II.// JHEP, 2009, v. 06, p. 088; Borsanyi S. et al., Is there still any T_c mystery in lattice QCD?

Results with physical masses in the continuum limit III.// JHEP, 2010, v. 09, p. 073.

[41] Adams J. et al. (STAR Collab.), Experimental and theoretical challenges in the search for the quark-gluon plasma: The STAR Collab.'s critical assesment of the evidence from RHIC collisions.//

Nucl. Phys. A, 2005, v. 757, p. 192-183.

[42] Alford M.G., Rajagopal K„ and Wilzcek F., QCD at finite baryon density: Nucleon droplets and color superconductivity.//

Phys. Lett. B, 1998, v. 422, p. 247-256.

[43] Scavenius O., Mocsy A., Mishustin I.N., and Rischke D.H., Chiral phase transition within effective models with constituent quarks.// Phys. Rev. C, 2001, v. 64, p. 045202.

[44] Stephanov M.A., QCD phase diagram and the critical point.// Prog. Theor. Phys. Suppl., 2004, v. 153, p. 139-156 [Int. J. Mod. Phys. A, 2005, v. 20, p. 4387].

[45] Ritter H.G., Prospects for an energy scan program at RHIC.// PoS CPOD2006, 2006, p. 015;

G. Odyniec, RHIC beam energy scan program-experimental approach to the QCD phase diagram.//

J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., 2010, v. 37, p. 094028.

[46] NICA white paper,//

URL: http://theor.jinr.ru/twiki-cgi/view/NICA/NICAWhitePaper (дата обращения: 29.10.2011).

[47] Bjorken J.D., Highly relativistic nucleus-nucleus collisions: the central rapidity region.// Phys. Rev. D, 1983, v. 27, p. 140-151.

[48] Мишустин И.Н., Сатаров JI.M., Соударения ядер высокой энергии в гидродинамической модели с учетом эффектов замораживания.// Препринт ИАЭ-3571/2, М„ 1982, 44с.;

ЯФ, 1983, т. 37, вып. 4, с. 894-906.

[49] Blaizot J.P., Ollitrault J.Y., The structure of hydrodynamic flows in expanding quark-gluon plasmas.//

Phys. Rev. D, 1987, v. 36, p. 916-927.

[50] Eskola K.J., Kajantie K., and Ruuskanen P.V., Hydrodynamics of nuclear collisions with initial conditions from perturbative QCD.//

Eur. Phys. J. C, 1998, v. 1, p. 627-632.

[51] Mohanty B., Alam J., Velocity of sound in relativistic heavy ion collisions.// Phys. Rev. C, 2003, v. 68, p. 064903.

[52] Skokov V.V. and Toneev V.D., Hydrodynamics of expanding fireball.// 5IO, 2007, t. 70, c. 114-122.

[53] Kolb P.F., Sollfrank J., Heinz U., Anisotropic flow from AGS to LHC energies.// Phys. Lett. B, 1999, v. 459, p. 667-673.

[54] Bass S.A., Dumitru A., Dynamics of hot bulk QCD matter: from the quark-gluon plasma to hadronic freeze-out.//

Phys. Rev. C, 2000, v. 61, p. 064909.

[55] Peressounko D.Yu., Pokrovsky Yu.E., Photon emission in Pb + Pb collisions at SPS and LHC.// Nucl. Phys. A, 2000, v. 669, p. 196-218.

[56] Teaney D., Lauret J., Shuryak E.V., Flow at the SPS and RHIC as a quark-gluon plasma signature.//

Phys. Rev. Lett. 2001, v. 86, p. 4783-4786.

[57] Teaney D., Lauret J., Shuryak E.V., A hydrodynamic description of heavy ion collisions at the SPS and RHIC.// Preprint nucl-th/0110037.

[58] d'Enterria D.G., Peressounko D., Probing the QCD equation of state with thermal photons in nucleus-nucleus collisions at RHIC.//

Eur. Phys. J. C, 2006, v. 46, p. 451-464.

[59] J. Sollfrank et al., Hydrodynamical description of 200-A/GeV/c S + Au collisions: Hadron and electromagnetic spectra.//

Phys. Rev. C, 1997, v. 55, p. 392-410.

[60] Nonaka C., Honda E., and Muroya S., (3+l)-dimensional relativistic hydrodynamical expansion of hot and dense matter in ultrarelativistic nuclear collision.// Eur. J. Phys. C, 2000, v. 17, p. 663-673.

[61] Aguiar C.E., Hama Y., Kodama T., Osada T., Event-by-event fluctuations in hydrodynamical description of heavy ion collisions.//

Nucl. Phys. A, 2005, v. 698, p. 639-642.

[62] Hirano T. and Tsuda K., Collective flow and two pion correlations from a relativistic hydrodynamic model with early chemical freezeout.// Phys. Rev. C, 2002, v. 66, p. 054905.

[63] Bauchle B. et al., Fluid dynamics as diagnostic tool for heavy ion collisions.// J. Phys. G, 2007, v. 34, p. 1077-1082.

[64] Bozek P. and Wyskiel I., Rapid hydrodynamic expansion in relativistic heavy-ion collisions.// Phys. Rev. C, 2009, v. 79, p. 044916.

[65] Schenke B., Jeon S. and Gale C., (3+l)D hydrodynamic simulation of relativistic heavy-ion collisions.// Phys. Rev. C, 2010, v. 82, p. 014903.

[66] Song H. and Heinz U., Causal viscous hydrodynamics in 2+1 dimensions for relativistic heavy-ion collisions.//

Phys. Rev. C, 2008, v. 77, p. 064901.

[67] Luzum M. and Romatschke P., Conformal Relativistic Viscous Hydrodynan Applications to RHIC results at s(NN)**(l/2) = 200-GeV.//

Phys. Rev. C, 2008, v. 78, p. 034915.

[68] Luzum M. and Romatschke P., Viscous Hydrodynamic Predictions for Nuclear Collisions at the LHC.//

Phys. Rev. Lett., 2009, v. 103, p. 262302.

[69] Schenke B., Jeon S., Gale C., Anisotropic flow in sqrt(s)=2.76 TeV Pb+Pb collisions at the LHC.//

Phys. Lett. B, 2011, v. 702, p. 59-63.

[70] Amsden A.A., Bertsch G.F., Harlow F.H., Nix J.R., Relativistic hydrodynamics theory of heavy-ion collisions.//

Phys. Rev. Lett., 1975, v. 35, p. 905-908.

[71] Stocker H., Maruhn J.A., Greiner W., Three-dimensional calculations on the formation of density isomers in high energy heavy ion collisions.// Z. Phys. A, 1979, v. 290, p. 297-300.

[72] Рошаль А.С., Русских B.H., Гидродинамическое моделирование релятивистских столкновений тяжелых ионов.//

ЯФ, 1981, т. 33, вып. 6, с. 1520-1528.

[73] Bravina L., Csernai L.P., Levai P., and Strottman D., Collective global dynamics in Au + Au collisions at the BNL AGS.//

Phys. Rev. C, 1994, v. 50, p. 2161-2166.

[74] Rischke D.H., Pursun Y„ Maruhn J.A., Stocker H„ Greiner W., The phase transition to the quark-gluon plasma and its effects on hydro-dynamic flow.// Heavy Ion Phys., 1995, v. 1, p. 309-332.

[75] Paech K., Reiter M., Dumitru A., Stocker H., Greiner W., On the observation of phase transitions in collisions of elementary matter.// Nucl. Phys. A, 2001, v. 681, p. 41-48.

[76] Amsden A.A., Goldhaber A.S., Harlow F.H., Nix J.R., Relativistic two-fluid model of nucleus-nucleus collisions.//

Phys. Rev. C, 1978, v. 17, p. 2080-2096.

[77] Clare R.B., Strottman D., Relativistic hydrodynamics and heavy ion reactions.// Phys. Rep., 1986, v. 141, No. 4, p. 178-280.

[78] Мишустин И.Н., Русских B.H., Сатаров JI.M., Двухжидкостная гидродинамическая модель для столкновений релятивистских ядер.// ЯФ, 1988, т. 48, вып. 3(9), с. 711-722.

[79] Katscher U., Rischke D.H., Maruhn J.A., Greiner W., Mishustin I.N., Satarov L.M., The three-dimensional (2-f-l)—fluid model for relativistic nuclear collisions.// Z. Phys. A, 1993, v. 346, p. 209-216.

[80] Brachmann J., Dumitru A., Stocker H., Greiner W., The directed flow maximum near cs = 0.// Eur. Phys. J. A, 2000, v. 8, p. 549-552.

[81] Brachmann J. et al., Antiflow of nucleons at the softest point of the EoS.// Phys. Rev. C, 2000, v. 61, p. 024909.

[82] Ivanov Yu.B., Russkikh V.N., Toneev V.D., Relativistic heavy-ion collisions within 3—fluid hydrodynamics: hadronic scenario.//

Phys. Rev. C, 2006, v. 73, p. 044904.

[83] Cooper F., Frye G., Single-particle distribution in the hydrodynamic and statistical thermodynamic models of multiparticle production.// Phys. Rev. D, 1974, v. 10, p. 186-189.

[84] Bugaev K., Shock-like freezeout in relativistic hydrodynamics.// Nucl. Phys. A, 1996, v. 606, p. 559-567.

[85] Hung C.M., Shuryak E., Equation of state, radial flow, and freeze-out in high energy heavy ion collisions.//

Phys. Rev. C, 1998, v. 57, p. 1891-1906.

[86] Nonaka C. and Bass S.A., Space-time evolution of bulk QCD matter.// Phys. Rev. C, 2007, v. 75, p. 014902.

[87] Hirano Т., Heinz U.W., Kharzeev D., Lacey R., and Nara Y., Mass ordering of differential elliptic flow and its violation for phi mesons.// Phys. Rev. C, 2008, v. 77, p. 044909.

[88] Petersen H., Steinheimer J., Bereau G., Bleicher M., and Stocker H., A fully integrated transport approach to heavy ion reactions with an intermediate hydrodynamic stage.//

Phys. Rev. C, 2008, v. 78, p. 044901.

[89] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

[90] Satarov L.M., Dmitriev M.N., and Mishustin I.N., Equation of state of hadron resonance gas and phase diagram of strongly interacting matter.// ЯФ, 2009, т. 72, вып. 8, с. 1-26.

[91] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Статистическая физика. Часть 1. Издание 5-е. М.: Физматлит, 2005.

[92] Yen G.D., Gorenstein M.I., Greiner W., Yang S.N., Excluded volume hadron gas model for particle number ratios in A+A collisions.// Phys. Rev. C, 1997, v. 56, p. 2210-2218.

[93] Rischke D.H., Gorenstein M.I., Stocker H., and Greiner W., Excluded volume effect for the nuclear matter equation of state.//

Z. Phys. C, 1991, v. 51, p. 485-490.

[94] K. Nakamura et al. (Particle Data Group), Review of particle physics.// J. Phys. G, 2010, v. 37, p. 075021.

[95] Ivanov Yu.B., Khvorostukhin A.S., Kolomeitsev E.E., Skokov V.V., Toneev V.D., and Voskresensky D.N., Lattice QCD constraints on hybrid and quark stars.// Phys. Rev. C, 2005, v. 72, p. 025804.

[96] Greiner C., Koch P. and Stocker H., Separation of strangeness from antistrangeness in the phase transition from quark to hadron matter: possible formation of strange quark matter in heavy ion collisions.// Phys. Rev. Lett., 1987, v. 58, p. 1825-1828.

[97] Toneev V.D., Nikonov E.G., Friman В., Norenberg W., and Redlich K., Strangeness production in nuclear matter and expansion dynamics.// Eur. Phys. J., 2003, v. 32, p. 399-415.

[98] Gorenstein M.I., Gazdzicki M. and Greiner W., Critical line of the deconfinement phase transitions.// Phys. Rev. C, 2005, v. 72, p. 024909.

[99] Trautmann W., Multifragmentation and the liquid-gas phase transition: An Experimental overview.// Nucl. Phys. A, 2004, v. 752, p. 407-416.

[100] Skyrme T.H.R.,

CVII. The nuclear surface.// Phil. Mag., 1956, v. 1, p. 1043-1054; The effective nuclear potential.// Nucl. Phys., 1959, v. 9, p. 615-634.

[101] Абрамовиц M., Стиган И., Справочник по специальным функциям.// М.: Наука, 1979.

[102] Boris J.P., Book D.L., Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works.//

J. Сотр. Phys., 1973, v. 11, p. 38-69.

[103] Rischke D.H., Bernard S., and Maruhn J.A., Relativistic hydrodynamics for heavy ion collisions. 1. General aspects and expansion into vacuum.// Nucl. Phys. A, 1995, v. 595, p. 346-382.

[104] Самарский А.А., Теория разностных схем. M.: Наука, 1977.

[105] Kolb P.F., Sollfrank J., Heinz U., Anisotropic transverse flow and the quark-hadron phase transition.// Phys. Rev. C, 2000, v. 62, p. 054909.

[106] Ivanov Yu.B., Mishustin I.N., Russkikh V.N., and Satarov L.M., Elliptic flow and dissipation at AGS - SPS energies.//

Phys. Rev. C, 2009, v. 80, p. 064904.

[107] Petersen H. and Bleicher M., Eccentricity fluctuations in an integrated hybrid approach: Influence on elliptic flow.//

Phys. Rev. C, 2010, v. 81, p. 044906.

[108] Зельдович Ю.Б., Райзер Ю.П., Физика ударный волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.// М.: Наука, 1966.

[109] Galitsky V.M. and Mishustin I.N., The influence of a phase transition on the shock wave dynamics in nuclear matter.//

Phys. Lett. B, 1978, v. 72, p. 285-288.

[110] Csernai L.P., Introduction to relativistic heavy ion collisions.// Wiley & Sons, 1994.

[111] Мишустин И.Н., Русских B.H., Сатаров JI.M., Гидродинамическая модель столкновений релятивистских ядер.//

ЯФ, 1991, т. 54, вып. 2(8), с. 429-524.

[112] Yu.B. Ivanov, private communication.

[113] Ahle L. et al. (E802 Collab.), Particle production at high baryon density in central Au+Au reactions at 11.6-A-GeV/c.//

Phys. Rev. C, 1998, v. 57, p. 466-470.

[114] Back B.B. et al. (E917 Collab.), Baryon rapidity loss in relativistic Au+Au collisions.// Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, p. 1970-1973.

[115] Barrette J. et al. (E877 Collab.), Proton and pion production in Au+Au collisions at 10.8A-GeV/c.// Phys. Rev. C, 2000, v. 62, p. 024901.

[116] Klay J.L. et al. (E895 Collab.), Charged pion production in 2 to 8 agev central au+au collisions.// Phys. Rev. C, 2003, v. 68, p. 054905.

[117] Brachmann J., Dumitru A., Maruhn J.A., Stocker H., Greiner W., Rischke D.H., Nonequilibrium fluid dynamics in the early stage of ultrarelativistic heavy ion collisions.//

Nucl. Phys. A, 1997, v. 619, p. 391-412.

[118] Ivanov Yu.B., Baryon stopping in heavy-ion collisions at Elab =2-160 GeV/nucleon.// Phys. Lett. B, 2010, v. 690, p. 358-362.

[119] Stocker H., Collective flow signals the quark-gluon plasma.// Nucl. Phys. A, 2005, v. 750, p. 121-147; preprint nucl-th/0406018.

[120] Barrette J. et al. (E877 Collab.), Proton and pion production relative to the reaction plane in Au+Au collisions at AGS energies.//

Phys. Rev. C, 1997, v. 56, p. 3254-3264.

[121] Filimonov K. et al. (E877 Collab.), Recent results from E877 for Au + Au collisions at AGS energy.//

Nucl. Phys. A, 1999, v. 661, p. 198-240.

[122] Alt C. et al. Directed and elliptic flow of charged pions and protons in Pb+Pb collisions at 40A and 158A GeV.//

Phys. Rev. C, 2003, v. 68, p. 034903.

[123] Csernai L.P. and Rohrich D., Third flow component as QGP signal.// Phys. Lett. B, 1999, v. 458, p. 454.

[124] Arsene I.C. et al., Dynamical phase trajectories for relativistic nuclear collisions.// Phys. Rev. C, 2007, v. 75, p. 034902.

[125] Hirano T., Tsuda K., Collective flow and two-pion correlations from a relativistic hydrodynamic model with early chemical freeze-out.// Phys. Rev. C, 2002, v. 66, p. 054905.

[126] Kolb P.F., Heinz U.W., Huovinen P., Eskola K.J., Tuominen K., Centra-lity dependence of multiplicity, transverse energy, and elliptic flow from hydrodynamics.// Nucl. Phys. A, 2001, v. 696, p. 197-215.

[127] Nonaka C., Bass S.A., 3-D hydro + cascade model at RHIC.// Nucl. Phys. A, 2006, v. 774, p. 873-876.

[128] Nonaka C., Bass S.A., Space-time evolution of bulk QCD matter.// Phys. Rev. C, 2007, v. 75, p. 014902.

[129] Wang X.-N., Gyulassy M., Gluon shadowing and jet quenching in A+A collisions at y/s = 200 AGeV.//

Phys. Rev. Lett., 1992, v. 68, 1480-1483.

[130] Casalderrey-Solana J., Shuryak E.V., Teaney D., Conical flow induced by quenched QCD jets.//

J. Phys. Conf. Ser., 2005, v. 27, p. 22-31; preprint hep-ph/0411315.

[131] Satarov L.M., Stoecker H., and Mishustin I.N., Mach shocks induced by partonic jets in expanding quark-gluon plasma.//

Phys. Lett. B, 2005, v. 627, p. 64-70.

[132] Baumgardt H.G., Schott J.U., Sakamoto Y., Schopper E., Stöcker H., Hofmann J., Scheid W., Greiner W., Shock waves and Mach cones in fast nucleus-nucleus collisions.// Z. Phys. A, 1975, v. 273, p. 359-371.

[133] Hoffman J., Stöcker H., Heinz U., Scheid W., Greiner W., Possibility of detecting density isomers in high density Mach shock waves.// Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36, p. 88-91.

[134] Lyakhov K.A., Mishustin I.N., Baryon deceleration by strong chromofields in ultrarelativistic nuclear collisions.//

Phys. Rev. C, 2007, v. 76, p. 011603.

[135] Bearden I.G. et al. (BRAHMS Collab.), Nuclear stopping in Au+Au collisions at ^n = 200GeV.// Phys. Rev. Lett., 2004, v. 93, p. 102301.

[136] Bearden I.G. et al. (BRAHMS Collab.), Charged meson rapidity distributions in central Au+Au collisions at ^/sjTn = 200 GeV.//

Phys. Rev. Lett., 2004, v. 94, p. 162301.

[137] M. Le Bellac, Thermal Field Theory.// Cambridge Press, Cambrige, 1996.

[138] Chojnacki M., Florkowski W., Csorgo T., Formation of Hubble-like flow in little bangs.// Phys. Rev. C, 2005, v. 71, p. 044902.

[139] Karsch F., Laermann E., Peikert A., Quark mass and flavor dependence of the QCD phase transition.//

Nucl. Phys. B, 2001, v. 605, p. 579-599.

[140] Cheng M. et al., The transition temperature in QCD.// Phys. Rev. D, 2006, v. 74, p. 054507.

[141] Sollfrank J., Koch P., Heinz U.W., The influence of resonance decays on the pt spectra from heavy-ion collisions.//

Phys. Lett. B, 1999, v. 252, p. 256-264.

[142] Bebie P., Gerber P., Goity J.L., Leutwyler H., The role of the entropy in an expanding hadronic gas.// Nucl. Phys. B, 1992, v. 378, p. 95-130.

[143] Cleymans J., Redlich K., Unified description of freeze-out parameters in relativistic heavy ion collisions.//

Phys. Rev. Lett., 1998, v. 81, p. 5284-5286.

[144] Hung C.M., Shuryak E.V., Hydrodynamics near the QCD phase transition: looking for the longest-lived fireball.//

Phys. Rev. Lett., 1995, v. 75, p. 4003-4006.

[145] Adler С. et al. (STAR Collab.), Pion interferometry of = 130 GeV Au+Au collisions at RHIC.// Phys. Rev. Lett., 2001, v. 87, p. 082301.

[146] Chojnacki M., Florkowski W., Temperature dependence of sound velocity and hydrodynamics of ultra-relativistic heavy-ion collisions.// Preprint nucl-th/0702030.

[147] Mishustin I.N., Nonequilibrium phase transition in rapidly expanding matter.// Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 4779-4782.

[148] Andronic A., Braun-Munzinger P., Ultrarelativistic nucleus-nucleus collisions and the quark gluon plasma.//

Lect. Notes Phys., 2004, v. 652, p. 35-68; preprint hep-ph/0402291.

[149] Шуряк Э.В., О множественном рождении при соударениях частиц высокой энергии.// ЯФ, 1972, т. 16, вып. 2, с. 395-405.

[150] Bleicher М., Evidence for the onset of deconfinement from longitudinal momentum distributions? Observation of the softest point of the equation of state.// Preprint hep-ph/0509314.

[151] Petersen H., Bleicher M., Longitudinal flow and onset of deconfinement.// Preprint hep-ph/0611001.

[152] Teaney D.A., Viscosity and thermalization.//

J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., 2004, v. 30, p. S1247-S1250.

[153] Baier R., Romatschke P., Causal viscous hydrodynamics for central heavy-ion collisions.// Preprint nucl-th/0610108.

[154] McLerran L., Venugopalan R., Computing quark and gluon distribution functions for very large nuclei.//

Phys. Rev. D, 1994, v. 49, p. 2233-2241.

[155] I.N. Mishustin, J.I. Kapusta, Collective deceleration of ultrarelativistic nuclei and creation of quark-gluon plasma.//

Phys. Rev. Lett., 2002, v. 88, p. 112501.

[156] Bravina L.V., Mishustin I.N., Bondorf J.P., Fassler A., Zabrodin E.E., Microscopic study of freeze-out in relativistic heavy-ion collisions at 160A GeV/c energy.// Phys. Rev. C, 1999, v. 60, p. 044905.

[157] Hirano T., Heinz U.W., Kharzeev D., Lacey R., Nara Y., Hadronic dissipative effects on elliptic flow in ultrarelativistic heavy-ion collisions.// Phys. Lett. B, 2006, v. 636, p. 299-304.