Гибридные равновесия в играх при неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Золотарев, Виктор Валерьевич

• Золотарев, Виктор Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Золотарев, Виктор Валерьевич

Введение.

Глава 1. Гибридные равновесия в бескоалиционных «статических» играх

§1. Вспомогательные сведения.

§2. Формализация гарантированных равновесий

§ 3. Игры с «разделенными» функциями выигрыша

§ 4. Гибридные равновесия в квазисмешанных расширениях

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гибридные равновесия в играх при неопределенности»

Человеческая деятельность тесно связана с обменом различного рода информацией. Информационные процессы играют важную роль в общении и взаимоотношениях людей, их производственной, научной и общественной деятельности. На протяжении всей деятельности человека сопровождают конфликты. Причем конфликт суть не только столкновение противоположных взглядов, мнений, интересов, стремлений, сил, но и один из способов взаимодействия различных систем. Попадая в конфликтную ситуацию представляется вполне естественным стремление принимать оптимальные решения, которые отвечают поставленным целям в наивысшей степени. В настоящее время постановка вопроса о выборе оптимальных решений встречается в подавляющем большинстве различных теоретических и прикладных наук: в экономике, экологии, медицине, технике, праве, военном деле и т.д. По мере развития и математизации указанных наук соответствующие процессы принятия решений формализуются и приобретают характер математических моделей.

Теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности составляет содержание современной теории игр. Участники конкретной игры называются игроками, действия игроков — стратегиями. В зависимости от возможности совместного выбора стратегий, взаимоотношений между игроками и взаимной информированности, игры классифицируются [92] следующим образом: бескоалиционные игры, в которых игроки выбирают свои стратегии, в основном, независимо друг от друга и преследуют только свои цели; кооперативные игрьшротивоположны бескоалиционным и предусматривают возможность совместного выбора всеми игроками своих стратегий; коалиционные игры возникают, например, тогда, когда игроки распределены на попарно непересекающиеся группы (коалиции), внутри которых — кооперативный вариант, а между ними — бескоалиционный; иерархические игры появляются в случае, когда один или несколько игроков имеют возможность ограничить множество исходов для других.

Становление классической теории игр связано с публикацией в 1944 году известной монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна [52]. Дальнейшее развитие теории игр — в многочисленных исследованиях большого числа ученых, простое перечисление имен которых заняло бы значительный объем диссертации (и поэтому не приводится). Отметим лишь, что публикации этого направления до 1974 года собраны в [72, 73].

Современная действительность характеризуется сложностью, неопределенностью, многокритериальностью, несовпадением интересов участвующих сторон и требует специального математического аппарата, пригодного для ее исследования. В связи с этим в последнее время наблюдается всплеск интереса к теории игр, что привело к применению основных концепций теории игр в различных областях современной экономики и связанных с ней дисциплин (таких как финансы, маркетинг и т.п.).

С середины 70-х годов, в связи с переводом монографии [1], в России наблюдается появление интереса к дифференциальным играм: сначала — к антагонистическим [54, 56, 65, 71], а затем — к неантагонистическим [2,15, 17, 18, 19, 38, 58, 62, 67, 74, 76, 85, 92]. Особенностью таких задач является необходимость учета динамической устойчивости игровых принципов оптимальности, предложенная профессором Л.А Петросяном [57].

Среди условий, в которых приходится принимать решения, особое место занимает наличие неопределенностей, в качестве которых могут выступать разного рода помехи, возмущения, ошибки измерения, запаздывания в каналах передачи информации и т.д. Учет неопределенностей практически важен, ибо необходимость выбора решений, для которых не удается учесть все предопределяющие их условия и последствия, встречается в подавляющем большинстве реальных задач техники, экономики и социальных наук. При этом отказаться в такой ситуации от принятия решений большей частью бывает просто невозможно. Поэтому возникает необходимость оптимального использования всей имеющейся информации относительно поставленной задачи, чтобы, сопоставив между собой все возможные варианты решений, постараться выбрать и использовать из них наилучший [13, 14].

Появление неопределенных факторов в задачах принятия решений может быть вызвано самыми разнообразными причинами (перечисленными, например, в [14, 24, 29, 39, 95]). В формальном отношении можно выделить [14] два вида неопределенностей:

0 стохастическая неопределенность, когда неизвестный фактор является случайной величиной, о которой известен класс возможных законов распределения; нестохастическая неопределенность, когда для неопределенных факторов заданы лишь области их изменения, а какие-либо статистические характеристики просто отсутствуют.

В теории принятия решений при (нестохастической) неопределенности имеется ряд принципов, на основе которых могут быть построены оптимальные решения в задачах, в которых о неопределенностях известна лишь область возможных значений. К ним относятся [43, 50] принцип гарантированного результата (принцип Вальда), принцип минимаксного сожаления (принцип Сэвиджа), принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица) и др. Однако они были сформулированы только для однокрите-риальных задач. Переход к более сложным, многокритериальным задачам при неопределенности требует модификации указанных принципов, в частности, возникает проблема подходящей формализации гарантированных решений, исследование их свойств. Рассмотрение вопросов теории многокритериальных задач при неопределенности в последние годы активно проводят F. Ferro [81, 82], Т. Tanaka [90, 91], W.L. Chan и W.T. Lau [78], G.Y. Chen [79], M.C. Никольский [53], В.И. Жуковский, B.C. Молоствов, М.Е. Салуквадзе [24, 25, 93, 95] и др. К настоящему времени в теории многокритериальных задач при неопределенности наблюдается переход от накопления отдельных и разрозненных фактов к построению строгой теории. Уже установлены два общих подхода к принятию решений, названные «аналогом седловой точки» и «аналогом максимина», разработан адекватный математический аппарат, особенно касающийся динамического варианта задач [95].

Естественен дальнейший переход от многокритериальных к более сложным — игровым задачам при неопределенности, в частности к бескоалиционному варианту игры при неопределенности.

В настоящей работе исследуются бескоалиционные игры с нестохастической неопределенностью.

В теории бескоалиционных игр также существует несколько принципов оптимальности, на основе которых могут быть построены решения. К таким принципам относятся следующие концепции: равновесие по Нэ-шу [84], по Бержу [4], активное равновесие [21], равновесие угроз и контругроз [86, 94], отрицательное равновесие [88, 89], сильное равновесие [58], максиминные и минимаксные стратегии [92] и другие.

Вопросам построения гарантированных равновесий в случае, когда

• все игроки придерживаются единой концепции оптимальности из теории бескоалиционных игр,

• учитываются неопределенные факторы, посвящена, например, монография В.И. Жуковского [21].

Но «бескоалиционный характер» игры подразумевает также и возможность игроков (при выборе своих стратегий) следовать различным концепциям оптимальности из теории бескоалиционных игр. В этом случае возникают новые «гибридные» равновесия, в которых часть игроков выбирает свои стратегии на основе, например, концепции равновесности по Нэшу, другая — на основе равновесности по Бержу, третья использует активное равновесие, четвертая — равновесие угроз и контругроз и т.д. Первой работой этого направления была публикация К.С. Вайсмана [3], где один из игроков применял концепцию равновесности по Нэшу, а два других — равновесие угроз и контругроз. Развитие этих исследований — в предлагаемой работе.

Итак, особенностью рассматриваемых в диссертации задач является, во-первых, использование разными игроками различных концепций оптимальности из теории бескоалиционных игр, во-вторых, учет в этих задачах неопределенных факторов, о которых известна лишь область возможных значений, а какие-либо статистические характеристики отсутствуют.

При этом рассматриваются как «статический», так и динамический варианты задачи.

Целью работы является формализация и исследование гарантированных гибридных равновесий в бескоалиционных играх при неопределенности. Учет неопределенных факторов проводится с помощью «аналога векторной седловой точки» из теории многокритериальных задач при неопределенности [95]. При формализации решений использованы концепции оптимумов по Слейтеру, Парето, Борвейну, Джоффриону и А-оптимум [26, 64]. Исследования ограничены игрой четырех лиц с целью сокращения записей, но все предлагаемые в работе результаты допускают обобщения на случай любого конечного числа игроков.

Объектом исследования является теория бескоалиционных игр. Предмет исследования — бескоалиционные игры четырех лиц при неопределенности, в которых предполагается, что первые два игрока формируют свои стратегии, следуя концепции равновесности по Нэшу, а оставшиеся игроки — либо на основе активного равновесия, либо используют равновесие угроз и контругроз [21, 86].

Проблема заключается в определении понятий решения указанных бескоалиционных игр при учете неопределенных факторов, исследовании свойств таких решений и способов построения.

В основу исследования положена следующая гипотеза: на основе принципа гарантированного результата можно определить понятия «гибридных» равновесий для бескоалиционной игры при неопределенности, в которой часть игроков выбирает свои стратегии на основе концепции равновесности по Нэшу, а другие участники используют активное равновесие или равновесие угроз и контругроз.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие задачи: для бескоалиционной игры при неопределенности формализовать понятия «гибридных» равновесий, исследовать их свойства и условия существования; для дифференциальной позиционной линейно-квадратичной игры при неопределенности ввести понятия «гибридных» равновесий, выяснить «коэффициентные» условия их существования и построить явный вид; рассмотреть возможные приложения к конкретным экономическим задачам и линейно-квадратичным играм.

Методологическую основу составляют современные методы и подходы теории многокритериальных задач, теории игр, выпуклого анализа и динамического программирования.

Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней предложен новый подход к выбору решений бескоалиционных игр при неопределенности, а именно, формализовано новое решение — гарантированное гибридное равновесие, основанное на понятиях «векторная гарантия» из теории многокритериальных задач при неопределенности и на введенном в диссертации «К-гибридном равновесии».

Практическая значимость работы. Предложенный подход может быть применен к различным прикладным задачам экономики, экологии, механики управляемых систем. В качестве приложения во второй главе, во-первых, исследована одна математическая модель рынка бесконечно делимого товара с четырьмя товаропроизводителями, во-вторых, для «статической» линейно-квадратичной и дифференциальной линейно-квадратичной бескоалиционных игр при неопределенности установлены «коэффициентные» условия существования гибридных равновесий и, при выполнении этих условий, найден явный вид такого решения.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации, которая состоит из двух глав, разбитых на 7 параграфов.

В первой главе диссертации (§§1 — 4) формализуются понятия КЬ-гарантированного гибридного активного равновесия и Негарантированного гибридного равновесия угроз и контругроз, исследуются их свойства в бескоалиционных играх при неопределенности.

Именно, в § 1 рассмотрены вспомогательные сведения и утверждения из теории бескоалиционных игр и теории многокритериальных задач при неопределенности, необходимые для построения гибридных равновесий.

В § 2 определяются понятия КЬ-гарантированного гибридного активного равновесия и КЪ-гарантированного гибридного равновесия угроз и контругроз, исследуются свойства указанных равновесий и установлены условия существования введенных решений.

Далее в § 3 рассматриваются игры, в которых функции выигрыша «разделены» по ситуациям и неопределенностям.

Заключительный § 4 первой главы посвящен существованию гарантированных гибридных равновесий в квазисмешанном расширении бескоалиционной игры.

Содержание второй главы (§§5 — 7) составляют приложения.

В § 5 исследована модель рынка четырех товаропроизводителей с учетом неопределенностей в виде колебания максимально возможной цены товара.

В следующем § 6 рассматривается линейно-квадратичная игра при неопределенности и находится явный вид ситуации и неопределенности, порождающих КЬ-гарантированное гибридное равновесие.

Наконец, в § 7 исследуются КЬ-гарантированные гибридные равновесия в дифференциальной линейно-квадратичной позиционной бескоалиционной игре четырех лиц при неопределенности, рассматриваются их свойства; затем на основе динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова [45], устанавливаются достаточные условия существования и строится их явный вид.

Основные положения, выносимые на защиту:

0> вводится и обосновывается новый класс «гибридных» равновесий для бескоалиционных игр при неопределенности, в которых участники используют разные концепции оптимальности; предлагается алгоритм построения множества «гибридных» равновесий для бескоалиционных игр с «разделенными» функциями выигрыша;

О в качестве приложений исследуются «гибридные» равновесия в одной модели рынка при неопределенности, в бескоалиционной линейно-квадратичной игре при неопределенности и в дифференциальной линейно-квадратичной позиционной бескоалиционной игре при неопределенности.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23, 31 — 36, 96, 97].

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Золотарев, Виктор Валерьевич

Основные результаты

1) Формализованы понятия КЬ-гарантированного гибридного активного равновесия и КЬ-гарантированного гибридного равновесия угроз и контругроз для бескоалиционной игры при неопределенности, выявлены свойства (индивидуальная рациональность, устойчивость ситуации по отношению к отклонению от нее отдельного игрока, обеспечение игрокам векторной гарантии) и установлено существование при обычных в теории игр ограничениях.

2) Предложен алгоритм построения множества КЬ-гарантированных гибридных равновесий угроз и контругроз для бескоалиционных игр при неопределенности с «разделенными» (по ситуациям и неопределенностям) функциями выигрыша игроков.

3) В качестве приложения построено СЛг-гарантированное гибридное активное равновесие в одной модели рынка бесконечно делимого товара при неопределенности.

4) Для линейно-квадратичной игры при неопределенности найден явный вид ситуации и неопределенности, реализующих СО-гарантированное гибридное равновесие угроз и контругроз.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория бескоалиционных игр при неопределенности представляет собой активно развивающийся раздел теории игр. Диапазон приложений бескоалиционных игр весьма велик и постоянно расширяется, особенно в экономике. Настоящая работа посвящена бескоалиционным играм при учете действий неопределенностей, о которых известны лишь границы изменений, а какие-либо статистические характеристики отсутствуют. Особенностью рассматриваемых игр является учет возможности у игроков (при выборе своих стратегий) следовать различным концепциям оптимальности из теории бескоалиционных игр. В диссертации исследованы «гибридные» равновесия, в которых часть игроков выбирает свои стратегии на основе концепции равновесности по Нэшу, а другая использует К-активное равновесие или К-равновесие угроз и контругроз. Разумеется, наряду с вышеуказанными равновесиями можно было бы комбинировать между собой и другие концепции оптимальности (без примененных или вместе с ними). На наш взгляд, бескоалиционные игры при неопределенности, в которых используются «гибридные» равновесия, более адекватно описывают реальные задачи экономики нежели классическая теория.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Золотарев, Виктор Валерьевич, 2002 год

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М: Мир, 1967. 479 с.

2. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. М.: Сов. радио, 1980. 304 с.

3. Вайсман К.С. Индивидуальный подход к принятию решений // Современные проблемы в текстильной и легкой промышленности. М.: РосЗИТЛП, 1998. Т. 2. С. 102.

4. Вайсман К.С. Равновесие по Бержу: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1995. 15 с.

5. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 549 с.

7. Вилкас Э.И., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. М.: Радио и связь, 1981. 328 с.

8. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 318 с.

9. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984. 495 с.

10. Воробьев H.H. Современное состояние теории игр // Успехи ма-тем. наук, 1970. 25, вып.2. С. 81-140.

11. Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. 271 с.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 496 с.

13. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 с.

14. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. 327 с.

15. Горелик В. А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. 145 с.

16. Горелик В.А., Ушаков H.A. Исследование операций. М.: Машиностроение, 1986. 288 с.

17. Дифференциальные игры со многими участниками. Указатель литературы за 1968-83. / Под ред. В.И. Жуковского, Д.Т. Дочева. Болгария, Русе: Центр по Математике, 1985. 114 с.

18. Дифференциальные игры со многими участниками. Указатель литературы за 1984-88. / Под ред. В.И. Жуковского, В.Н. Ушакова. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. 139 с.

19. Дифференциальные игры со многими участниками. Указатель литературы за 1989-94. / Под ред. В.И. Жуковского, В.И. Ухоботова. Челябинский госуниверситет, 1995. 123 с.

20. Житомирский Г.И. Существование равновесия в одной бескоалиционной игре двух лиц // Управление сложными системами. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1999. С. 39-41.

21. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: МНИИПУ, 1997. 461 с.

22. Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 324 с.

23. Жуковский В.И., Золотарев В.В. К теории гибридных равновесий при неопределенности // Вестник ТГУ. Тамбов, 2000. Т. 5, вып. 4. С. 449-450.

24. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: МНИИПУ, 1990. 112 с.

25. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: МНИИПУ, 1988. 132 с.

26. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения. Тбилиси: Мецниереба, 1998. 462 с.

27. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления. Тбилиси: Мецниереба, 1996. 475 с.

28. Жуковский В.И., Тынянский Н.Т. Равновесные управления многокритериальных динамических систем. М.: МГУ, 1984. 224 с.

29. Жуковский В.И., Чикрий A.A. Линейно- квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1994. 320 с.

30. Зенкевич H.A. Игры со многими участниками. Саранск: Изд-во Мордовского ГУ, 1989. 124 с.

31. Золотарев В.В. Комбинированное равновесие в бескоалиционной игре при неопределенности // Воронежская зимняя математическая школа «Современный анализ и его приложения»: Тез. докл. Воронеж, 2000. С. 7981.

32. Золотарев В.В. Неулучшаемое гибридное решение в одной игре при неопределенности // Известия ин-та математики и механики Удмурдского ун-та. Ижевск, 2000. N 2 (19). С. 28-32.

33. Золотарев В.В. Об одной дифференциальной игре четырех лиц при неопределенности // Международная науч. конф. «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения»: Тез. докл. Воронеж, 2000. С. 108-109.

34. Золотарев В.В. Об одном решении бескоалиционной игры при неопределенности // Математика. Компьютер. Образование. VII Международная науч. конф.: Тез. докл. Дубна, 23-30 янв. 2000. С. 134.

35. Золотарев В.В., Житомирский Г.И. Гибридное равновесие в бескоалиционной игре // Управление сложными системами. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1999. С. 42-45.

36. Золотарев В.В., Жуковский В.И. Комбинированное равновесие в бескоалиционной линейно-квадратичной игре // «Понтрягинские чтения X». Тез. докл. Воронеж, ВГУ, 1999. С. 111.

37. Зубов В.И., Петросян JT.A. Математические методы в планировании. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 112 с.

38. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатерибург: Наука, 1993. 185 с.

39. Кондратьев А.И. Теоретико-игровые модели в задачах распознавания. М.: Наука, 1986. 312 с.

40. Красовский H.H. Управление динамической системой. М: Наука, 1985. 520 с.

41. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

42. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574 с.

43. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: ИИЛ, 1961. 642 с.

44. Макконелл K.P., Брю С.Л. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М.: Республика, 1992. 238 с.

45. Малкин Н.Г. Теория устойчивости движения. М: Наука, 1966. 530 с.

46. Матвеев В.А. Многокритериальная позиционная задача для параболической системы: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. Екатеринбург, УрГУ, 1992. 16 с.

47. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

48. Многокритериальные системы при неопределенности и их приложения: Сб. науч. трудов. Челябинск: ЧГУ, 1988. 146 с.

49. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высш. шк., 1986. 287 с.

50. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир, 1990. 206 с.

51. Неантагонистические дифференциальные игры: Сб. трудов (под ред. В.И. Жуковского). М.: ВЗМИ, 1986. 146 с.

52. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708 с.

53. Никольский М.С. О гарантированных оценках в дифференциальных играх с векторным критерием качества // Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1980. N 2. С. 37-43.

54. Никольский М.С. Первый прямой метод JI.C. Понтрягина в дифференциальных играх. М.: Изд-во МГУ, 1984.

55. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и их приложения. М.: ИИ Л, 1960. 134 с.

56. Петросян JI.A. Дифференциальные игры преследования. Л.: ЛГУ, 1977.

57. Петросян Л.А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вестник ЛГУ, 1977. 19. С. 46-52.

58. Петросян JI.A., Данилов H.H. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Томск. Ун- т, 1985. 276 с.

59. Петросян JI.A., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. Л.: ЛГУ, 1987. 253 с.

60. Петросян JI.A., Зенкевич H.A. Оптимальный поиск в условиях конфликта. Л.: ЛГУ, 1982. 112 с.

61. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высш. шк., 1998. 304 с.

62. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1983. N 2. С. 33-50.

63. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л.: ЛГУ, 1982. 252 с.

64. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254 с.

65. Понтрягин Л.С. К теории дифференциальных игр // Успехи математических наук, 1966. Т. 21. Вып. 4. С. 219-274.

66. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1961. 212 с.

67. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев: Наук, думка, 1984. 144 с.

68. Сафронов С.Г. Модель рынка п товаропроизводителей // Сложные динамические системы: Сб. науч. трудов. Псков: Псковский пед. ин-т, 1994. С. 157-162.

69. Сложные управляемые системы: Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1996. 179 с.

70. Сложные управляемые системы: Межвуз. сб. науч. трудов. Псков: Псковский пед. ин-т, 1994. 190 с.

71. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 312 с.

72. Теория игр. Аннотированный указатель отечественной и зарубежной литературы по 1968 г. Д.: Наука, 1976. 289 с.

73. Теория игр. Аннотированный указатель отечественной и зарубежной литературы за 1969-74 г. JL: Наука, 1980. 274 с.

74. Тынянский Н.Т., Жуковский В.И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой (бескоалиционный вариант) // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1977. Т. 15. С. 199-266.

75. Хайлов Е.Н. Параметризация множества управляемости линейной динамической системы // Тр. Матем. ин-та В.А. Стеклова «Оптимальное управление и дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1995. Вып. 211. С. 401-410.

76. Basar Т., Olsder I. Dynamic Noncooperative Game Theory. London, Acad. Press, 1982. 412 p.

77. В lack well O. An analog of the minimax theorem for vector-payoffs // Pasific J. Math. 1956. N 6. P. 1-8.

78. Chan W.L., Lau W.T.Vector saddle-point and distributed parameter differential games // Comput. and Math. Appl. 1989. 18. N 1-3. P. 195-207.

79. Chen G.Y. A generalized section theorem and minimax inequality for a vector-valued mapping // Optimization. 1991. 2. P. 745-754.

80. Coddington E.A., Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, N.Y.,.1955. 428 p.

81. Ferro F. Minimax theorem for vector-valued functions //J. Optimiz. Theory and Appl. 1989. 60. P. 19-31.

82. Ferro F. Minimax theorem for vector-valued functions. Pt. 2 // J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68, N 1. P. 35-48.

83. Friedman A. Differential Games. N.Y., John Wiley, 1971. 216 p.

84. Nash J.F. Non-cooperative game // Annuals of Math., 1951. 54, N 2. P.286-295.

85. Petrosian L.A. Differential Games of Pursuit. London, Singapore: World Scietific Publishing Co. Pt. Ltd. 1993. 328 p.

86. Salukvadze M.E., Topchishvili A.L., Zhukovskiy V.I. Strategies of threats and counter-threats in multicriterial differential games // Preprint. Institute of Control System, Tbilisi. 1996. 21 p.

87. Salukvadze M.E., Zhukovskiy V.I. Optimization of guaranties in multicriteria problems // Dynamic Economic Models and Optimal Control. Noth-Holland-Amsterdam. 1992. P. 69-74.

88. Stefanescu A. Strategii optime pentru jocurile necooperatiste. Stad si cerc. mat. 27, 1975. N 5. P. 571-597.

89. Stefanescu A. Theorema minimax si problema echilibrula. Bucurest, 1984. 246 p.

90. Tanaka T. Generalized quasiconvexities cone saddle point and minimax theorem for vector-valued function //J. Optimiz. Theory and Appl. 1994. 81. N 2. P. 335-377.

91. Tanaka T. Two types of minimax theorem for vector-valued function // J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68. N 2. P. 321-334.

92. Vaisbord E.M., Zhukovskiy V.I. Introduction to Multiplayer Differential Games and their Applications. N.Y. ets: Gordon and Breach Sci Publ., 1988. 623 p.

93. Zhukovskiy V.I., Molostvov V.S., Vaisman K.S. Non-cooperative games under uncertainty // International Year Book «Game Theory and Appl.». 1997. III. P. 189-222.

94. Zhukovskiy V.I., Radjef M.S. Objection and counter-objection in positional differential game under uncertainty // Abstr. the VII Inter. Conf. on Multiple Criteria Decision Making. Gemany, Hagen. 1995. P. 179.

95. Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The Vector-Valued Maximin. N.Y. ets: Academic Press, 1994. 404 p.

96. Zolotaryov V.V. About One Solution for Differential Game under Uncertainty // Международная науч. конф. «Дифференциальные и интегральные уравнения»: Тез. докл. Одесса, 2000. С. 363-364.