Геометрия тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Али Абдул Маджид Шихаб

• Али Абдул Маджид Шихаб
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Али Абдул Маджид Шихаб

Введение

Глава 1. Приближенно келеровы сірукгурьі

1.1. Поч і и эрмитовы с грукі уры

1.2. Сірукіурньїе уравнения почіи эрмиювой с і рук і уры

1.3. Приближенно келеровы многообразия

Глава 2. Тензор конгармоничеекой кривизны приближенно 30 келеровых многообразий

Глава 3. К-постоянство типа /У/С-многообразия

Глава 4. Приближенно келеровы многообразия постоянной 53 голоморфной конгармоничеекой кривизны

Глава 5 Ковариашный дифференциал тензора коні армонической 64 кривизны приближенно келерова многообразия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых многообразий»

Понятие /('-пространства, т.е. почти эрмитова многообразия, фундаментальная форма которого является формой Киллинга, является одним из наиболее интересных обобщений понятия келерова многообразия. Оно сравнительно недавно вошло в сферу геометрических исследований и довольно быстро привлекло внимание ряда ведущих геометров, чем объясняется неустоявшаяся терминология: наряду с термином и К-пространство'", используемым в работах С.Татибаны, И.Ватанабэ, К.Такамацу, И.Саго и др., используются синонимы: "почти (nearly) келерово многообразие" (А.Грей, Дж.Вольф и др.), а также "почти татибаново пространство" (К.Яно, С.Ямагуши, М.Мацумото и др.). Следует отметить также, что термины "nearly Kahler manifold1" и "almost Kühler manifold'' несмотря на идентичность русского перевода, обозначают различные геометрические объекты [1].

Интерес к понятию K-пространства пробудился после того, как в 1955 году А.Фрелихер доказал в [2] существование канонической почти эрмитовой структуры на шестимерной сфере S6, вложенной в алгебру октав О в качестве вполне омбилического подмногообразия многообразия /?8=О, а Т.Фуками и С.Исихара в [3] доказали, что фундаментальная форма этой структуры является формой Киллинга (т.е. ее ковариантный дифференциал является дифференциальной формой), что, очевидно, равносильно приближенной келеровости этой структуры. В 1959 году вышла работа С.Татибаны [4], в которой /^-пространство выоунас) уже как самостоятельный геоморический обьекк Среди более поздних работ, посвященных исследованию 1\-пространств следует выделить работы А.Грея, в особенности, [5], [6] и [7] паписапную совмесшо с Дж Вольфом, в коюрых получено большое число относящихся к зтой области результатов и поставлен ряд задач

Одним из факюров, обуславливающих ишерес к К-прострапсI вам, являося их близос1ь к келеровым многообразиям, богатство геометрических свойств которых хорошо известно. Возникает еегесI венный вопрос, какие из эжх свойс1в допускаюI эксфаполяцию на облаем^ /С-прос фане I в, причем отет на эю1 вопрос фебуег более глубокого понимания природы этих свойств. Один из способов подхода к эюму вопросу сосюя1 в нахождении определенных юждес[в, коюрым у цовле 1 воряс I операюр кривизны А^-просфансша и коюрые аналогичны соответствует тождествам, известным для келеровых многообразий. Это позволяет перенести доказательства ряда СВОЙС1В келеровых МН01 ообразий на случай Допрос фане I в с некоюрыми изменениями. Такой способ со всеми его достоинствами и недостатками был широко использован А.Греем в [5] и рядом других авюров.

Другой Iип сюящих в 31 ой области задач состойI в исследовании свойств априорно определенных видов К-пространств (например, конформно-плоских ЛГ-прос транс I в, /\-npocipaHci в постоянной голоморфной секционной кривизны и т н ) и, как завершающая фаза такого исследования, классификации /\-просгранств этих видов. Задачи 1акот 1ина рассма I риваются, например, в [5], [6], [8], и др.

В настоящее время исследования приближенно келеровых многообразий связаны с именами А.Грея [5], [9], В.Ф.Кириченко [10], [11], [12], Ватанабе и Такамацу [13], [14], Ванхекке [15], и многих других.

Конформная геометрия является одним из наиболее важных разделов дифференциальной геометрии, берущим начало от работ Л.Эйлера и интенсивно изучаемым и в настоящее время с самых различных точек зрения. В настоящее время этот раздел геометрии находит важные приложения в теории калибровочных полей в связи с известными результатом Пенроуза—Атьи—Хитчина—Сингера, утверждающим, что твисторное пространство над 4-мерным римановым многообразием М несет каноническую комплексную структуру тогда и •только тогда, когда М конформно полуплоско [16]. Рядом авторов была получена классификация 4-мерных конформно-полуплоских римановых многообразий при дополнительных предположениях их келеровости и некоторых других. С другой стороны, геометрия келеровых многообразий является комплексным аналогом римановой геометрии: многие важнейшие понятия римановой геометрии, такие как секционная кривизна, пространственные формы, аксиомы подмногообразий и многие другие имеют своего комплексного "двойника", имеющего весьма нетривиальный смысл в геометрии келеровых и, более общего, почти эрмитовых многообразий.

К числу таких понятий относятся тензоры: Вейля конформной кривизны, Вейля проективной кривизны, конциркулярной кривизны и конгармонической кривизны. Изучение конформно-инвариантных свойств римановых многообразий, в том числе и наделенных дополнительной структурой, является одной из наиболее актуальных задач современной дифференциальной геометрии. В частности, сюда относится изучение конформно-инвариантных свойств почти эрмитовых многообразий. Значительный интерес представляет специальный тип конформных преобразований - конгармонические преобразования, т.е. конформные преобразования, сохраняющие свойство гармоничности гладких функций. Эго1 тип преобразований был введен в рассмотрение Ищи |17| в 1957 I оду и в настоящее время изучается с различных точек зрения. Известно, что такие преобразования имеют тензорный инвариант - гак называемый тензор кош армонической кривизны. Этот 1ензор является алгебраическим тензором кривизны, т.е. он обладает классическими свойствами симметрии тензора римановой кривизны.

Геометрию этого тензора в случае когда риманова структура дополнена до почти контакшой метрической структуры, в частности, до сасакиевой и К-контактной структур изучали ряд авторов [18], [19], и др. Изучению геометрии 1ензора конгармонической кривизны почти эрмитовых структур уделялось очень мало внимания.

Пополнение римановой структуры до почти эрмитовой структуры позволяет выдели 1Ь еще несколько конгармонических инвариантов -элементов спектра тензора конгармонической кривизны, а также дополнительные свойства симметрии тензора конгармонической кривизны.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геометрии тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых многообразий.

Основные задачи диссертационного исследования:

1. Выделить конгармонические инварианты - элементы спектра тензора конгармонической кривизны почти эрмитовой структуры, а также дополнительные свойства симметрии тезора конгармонической кривизны. В частности выделить аналоги классов Грея.

2. Изучить конгармонически плоские приближенно келеровы многообразия.

3. Исследовать приближенно келеровы многообразия конгармонически постоянного типа.

4. Исследовать приближенно келеровы многообразия точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны.

5. Исследовать конгармонически реккурентные приближенно келеровы многообразия.

Методы исследования. Результаты диссертационного исследования получены систематическим использованием тензорного исчисления в сочетании с методом присоединенных С-структур.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения почти эрмитовых структур. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Результат исследования докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры геометрии МПГУ; на международной конференции "Геомефия в Астрахани -2010".

Все результаты, полученные в работе являются новыми.

Публикации Основное содержание диссершции 01 ражено в публикациях авюра [52] - [591.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, пяти 1лав и списка ли 1ера1уры из [51] наименования. Общий обьем рукописи [76] - сфаниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Али Абдул Маджид Шихаб, 2011 год

1. Gray, A. Vector cross products on manifolds / A. Gray // Trans. Amer. Math. Soc.- 1969,-V.141.-P. 465-504.

2. Frolicher, A. Sur differentialgeometrie der compexen structuren. / A. Frolicher // Math. Ann. 1955. - V. 1 29. P. 50-95.

3. Fukamy, T. Almost Hermitian structure on / T. Fukamy, S. Ishihara // Toho-ku Math. J. 1955. - V. 7. - P. 151-156.

4. Tachibana, S. On almost ana/ythic vectors in certain almost Hermitian manifolds. / S. Tachibana //Tohoku Math. J. 1959. - V.l 1. - P. 351-363.

5. Gray A. Nearly Kahler manifolds. / A. Gray // J. Diff. Geom. 1970. - V. 4, №3.-P. 283-309.

6. Gray, A. Six dimensional almost complex manifolds defined by means of threefold vector cross products. / A. Gray // Tohoku Math. J. 1969. - V. 2. - P. 614620.

7. Wolf, J. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms. / J. Wolf, A. Gray//J. Diff. Geom. 1968,-V. 2. P. 77-159.

8. Kojo, H. On a K-space with certain conditions. / H. Kojo // Hokkaido Math. J. -1972. V. 1, №2. - P. 228-231.

9. Gray, A. The structures of nearly Kahler manifolds. / A. Gray // Ann. Math. -1976. V. 223. - P. 233-248.

10. Kirichenko, V.F. Generalized quasi-Kaehterian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. II. / V.F. Kirichenko //Geometriae Dedicate. 1994. - V.52. - P. 53-85.

11. Takamatsu, К. Classification of a conformally flat K-space. / K. Takamatsu, Y. Watanabe// Tohoku Math. J. 1972. - V. 24, №3. - P. 435-440.

12. Watanabe, Y. On a K-space of constant hotomorphic sectional curvature. / Y. Watanabe, K. Takamatsu // Kodai Math. Semin. Repts. 1973. - V. 25, № 3. - P. 297-306.

13. Vanhecke, L. Some theorems for quasi- and nearly Kdhler manifolds. / L. Vanhecke//Bull. Unione mat. ital. 1975.-V. 12, №3,-P. 174-188.

14. Кириченко, В.Ф. Некоторые типы К-простраиств. / В.Ф. Кириченко // Успехи мат. наук. 1975. -Т.30, №3. С. 163-164.

15. Ishii, Y. On conharmonic transformations. / Y. Ishii 11 Tensor. — 1957. V. 7(2).-P. 73-80.

16. Khan, Q. On conharmonically and special weakly Ricci symmetric Scisakian manifolds. / Q. Khan // Novisad J. Math. 2004. - V. 34, № 1. - P. 71 -77.

17. Dwivedi, M.K. On conharmonic curvature tensor in K-contact and Sasakictn manifolds. / M.K. Dwivedi, J.-S. Kim. // http://math.Lism.my/bulletin/pdr/acceptedpapers/2009-04-002 R2.pdf/

18. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на .многообразиях. / В.Ф. Кириченко. М., МПГУ. - 2003. - 495 с.

19. Кириченко, В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий. / В.Ф. Кириченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии ВИНИ ТИ АН СССР. 1986. - Т. 18. - С. 25-71.

20. Кириченко, В.Ф. Новые результаты теории К-пространств. / В.Ф. Кириченко // Дисс. . к.ф.-м.н. М.: МТУ. - 1975.

21. Кириченко, В.Ф. ¡{-пространства максимального ранга. / В.Ф. Кириченко // Мат. заметки. 1977. - Т. 22. - С. 465-476.

22. Кириченко, В.Ф. ¡{-пространства постоянного типа. / В.Ф. Кириченко // Сиб. матем. ж. 1976. - Т. 17, №3 - С. 282-289.

23. Кириченко, В.Ф. О геометрии подл4ногообразий Лагранжа. / В.Ф. Кириченко // Мат. заметки. 2001. - Т. 69, № 1. - С. 36-5 1.

24. Кириченко, В.Ф. Некоторые свойства тензоров на ¡{-пространствах. /B.Ф. Кириченко // Вестник Московского университета. 1975. - №6. - С. 7885.

25. Кириченко, В.Ф. Устойчивость почти эрмитовых структур, индуцированных 3-векторнымы произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли. I В.Ф. Кириченко // Украинский геометрический сборник. 1982.C. 60-69.

26. Лихнерович, А. Теория связностей в целом и группы голономий. / А. Лих-нерович. М.: ИЛ. - 1960.

27. Gray, A. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. / A. Gray, L.M. Hervella // Ann. Math. Pure and Appl. 1980. - V.123, №3. - C. 35-58.

28. Gray, A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. / A. Gray // Tohoku Math. J. 1976. - V. 28, №4. - p. 601 -612.

29. Barros, M. Decomposition of quasi-Kdhler manifolds which satisfy the first curvature condition. / M. Barros, A. Ramirez // Demonstr. Math. 1978. - V. 11, №3. - P. 685-694.

30. Sawaki, S. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. / S. Sawaki, K.J. Sekigawa // Dili Geom. 1974. - V. 9. - P. 123-134.

31. Rizza, G.-B. Varietd parcikdhleriane. / G.-B. Rizza // Ann. Mat. pure et appl. 98, №4 (1974) 47-61.

32. Vanhecke, L. Almost Hermitian manifolds with J-invariant Riemann curvature tensor. / L. Vanhecke // Rend, semin. mat. Univ. e polich. Torino. - 1975-76. -V. 34.-P. 487-498.

33. Vanhecke, L. Some almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. / L. Vanhecke // J. Diff. Geom. 1977. - 12, №4. - P. 461471.

34. Naveira, A. Quasi-Kdhler manifolds. / A. Naveira, L.M. Hervella // Proc. Amer. Math. Soc. Univ. 1975. - V. 49, №2. - P. 327-333.

35. Gray, A. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. / A. Gray, L. Vanhecke // Cas. pestov. Mat. 1979. - V.104, №2. - P. 170-179.

36. Watson, В. К ¡-curvatures and almost Hermitian submersions. / B. Watson, L. Vanhecke // Rend, semin. mat. Univ. e polich. Torino. - 1977-78. -V. 36. - P. 205-224.

37. Кириченко, В.Ф. Некоторые результаты теории К-пространств. / В.Ф. Кириченко // 6-я Всес. Геометр, конференция по совр. пробл. геометрии. Тезисы докл. Вильнюс. - 1975. - С. 112-115.

38. Кириченко, В.Ф. К-алгебры и ¡{-пространства постоянного типа с индефинитной .метрикой. / В.Ф. Кириченко // Матем. Заметки. 1981. - Т. 29, №2.-С. 265-278.

39. Vanhecke, L. Constant type for almost Heimitian manifolds. / L. Vanhecke, F. Bouten // Bull. Math. Soc. Sci. math. RSR. 1976 (1977). - V.20, №3-4. - P. 252258.

40. Kobayashi, S. On compact Kcthler manifolds with positive Ricci tensor. / S. Kobayashi//Ann. Math. 1961.-V. 74. - P. 570-574.

41. Liberman, P. Sur les connexions hermitiennes. / P. Liberman // C. r. Acad. Sci. Paris. 1954,-V. 239, № 23. - P. 1579-1581.

42. Gray, A. Classification cles varietes approximativement kdhleriennes de courbure sectionelle holomorphe constante. / A. Gray // C. r. Acad. Sci. Paris. 1974. - У.219, № 22. - P. 797-800.

43. Hawley, N.S. Constant holomorphic curvature. / N.S. Hawley // Canad. J. Math. 1953,- V.5, №1.- P. 53-56.

44. Igusa, J. On the structure of a certain class of Kdhler varietes. / J. Tgusa // Amer. J. Math. 1954. - V.7, № 3. - P. 669-678.

45. Кириченко, В.Ф. К-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны. / В.Ф. Кириченко // Математические заметки. 1976. - Т. 19, №5. -С. 805-814.

46. Gray, A. Nearly Kahler manifolds. / A. Gray // J. Diff. Geom. 1965. -V. 12. -P. 273-277.

47. Naveira A.M. Shur's theorem for nearly Kahler manifolds. / A.M. Naveira, L.M. Hervella // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. - V.49, №2. - P. 421-425.

48. Sato, 1. On special K-space on constant holomoi-phic sectional curvature. / I. Sato//Tensor. 1972,-V.24. P. 355-362.

49. Sawaki, S. Notes on K-spaces of constant holomorphic sectional curvature. / S. Sawaki, Y. Watanabe, S. Sato // Kodai Math. Semin. Repts. 1975. - V. 26, № 4. - P. 438-445.Публикации автора но теме исследования:

50. Кириченко, В.Ф. Геометрия тензора конгармонической кривизны почти эрмитовых многообразий. / В.Ф. Кириченко, А.Р. Рустанов, A.A. Шихаб // Математические заметки. Москва, 201 1. - 90, №1. - С. 87-103.

51. Шихаб, A.A. Приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной конгармонической кривизны. / A.A. Шихаб // Преподаватель XXI век.-201 1, №1. С. 199-206.

52. Шихаб, A.A. K-постоянство типа NK многообразия. 1 A.A. Шихаб // Преподаватель XXI век. 201 1, №3. - С. 204-208.

53. Кириченко, В.Ф. О Геометрии тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых многообразий. / В.Ф. Кириченко, A.A. Шихаб // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, №2. - С. 43-54.

54. Шихаб, A.A. Приближенно келеровы многообразия голоморфной конгармонической кривизны. / A.A. Шихаб // Математика, информатика, физика и их преподавание. М.: МПГУ. - 2009. - С. 137-140.

55. Шихаб, A.A. K-постоянство типа NK многообразия. / A.A. Шихаб // Наука в вузах: Математика, информатика, физика, образование. М.: МПГУ. -2010. -С. 195-196.

56. Shihab, A.A. On the geometry ofconharmonic curvatuar tensor of nearly kahler manifold. / A.A. Shihab // Journal of Basrah Researches. 201 1. - V. 37, № 4.- P. 39-48.