Геометрия гладких гиперповерхностей в проективном пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат физико-математических наук Америк, Екатерина

• Америк, Екатерина
• кандидат физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Америк, Екатерина

1 Введение

2 Предварительные сведения

2.1 Теорема Барта-Ларсена.

2.2 Оценки типа Кастельнуово.

2.3 Структуры Ходжа.

3 Подмногообразия коразмерности два

3.1 Подмногообразия малой степени.

3.2 Многообразия, содержащиеся в квадрике

3.3 Очень общие гиперповерхности большой размерности.

3.4 Кривые на очень общей трёхмерной гиперповерхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия гладких гиперповерхностей в проективном пространстве»

Одним из классических фундаментальных результатов комплексной алгебраической геометрии является теорема Лефшеца о гиперплоском сечении: Теорема 1.1 (Лефшец) Пусть X - гладкое проективное многообразие размерности nuY- гладкое гиперплоское сечение X. Тогда естественное отображение fr.H'iX,Z)^H\Y,Z) является изоморфизмом при i < п — 2 и инъективно при г = п — 1.Следующий факт получается как простое следствие этой теоремы: Если X - гладкая гиперповерхность в P",n > 4, т.о любое подмногообразие X коразмерности один - полное пересечение.В самом деле, по теореме Лефшеца Из точной последовательности ограничения '•. " ' ' о->'Орп(-х)->с)рп-^Ох-^0 ••: • получим Н^{Х, Ох) = О, так что Ргс{Х) = Ргс(Р"). Поэтому каждый эффективный дивизор на X принадлежит линейной системе |Сх(^) | для некоторого п > 0.Более того, Лефшец доказал следующую теорему , формулировка которой принадлежит Нётеру: 4 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ Теорема 1.2 (Нётер, Лефшец) Если X - очень общая гиперповерхность в Р^ степени больше трёх, то отображение ограничения Ргс(Р^) —¥ Pic{X) является изоморфизмом.Как и выше, из этой теоремы следует, что любая кривая на такой поверхности - полное пересечение.Здесь и ниже слова "очень общая" означают " находящаяся вне счётного o6i>-' единения собственных замкнутых подмножеств в пространстве параметров", в то время как слово " общая" будет означать " находящаяся вне собственного- замкнутого подмножества в пространстве параметров".Замечание: У теоремы Нётера-Лефшеца много обобщений, например, на двумерные полные пересечения в Р". Другое важное обобщение - это следующая ([SGA]) Теорема 1.2' ( Делинь ) Если Х- очень общая гиперповерхность в р2"+^, неявляющаяся ни квадрикой, ни двумерной кубикой, то подпространство алгебраических циклов в её средних когомологиях порождено классом линейного сеченглл.Пример: Легко проверить, что образ вложения Сегре Р^ хР^ лежит на гладкой квадрике в Р^.На самом деле, вполне разумно ожидать, что наше неравенство должно быть слабее, чем к < ^п — \.В этой работе изучаются гладкие подмногообразия коразмерности 2 гладких гиперповерхностей в Р " , для больших п. Как показывает наш пример, если .мы .чотим показать, что наши подмногообразия- полные пересечения, необходимо взять гг > 8. Тогда по теореме Барта-Ларсена группа Пикара порождается классом гиперплоского сечения, что мы будем везде использовать.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Америк, Екатерина, 1997 год

1. A. Е. Amerik: On codimension-two subvarieties of hypersurfaces, to appear at J:

3. B. Ф. A. Богомолов: Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразиях, Известия Академии Наук СССР, серия математическая, 42 (1978), 1227-1287.

4. BPV. W. Earth, C.Peters, А. Van de Ven: "Compact complex surfaces", Springer1. Verlag, 1984

5. C. H. Clemens: Homological equivalence modulo algebraic equivalence is not finitelygenerated, Publ. Math. IHES 58 (1983), 231-250. ;'

6. CG. H. Clemens, Ph. Griffiths: The intermediate jacobian of the cubic threefold, Ann.1. Math. 95 (1972), 281-356.

7. CCG. L.Chiantini, C.Ciliberto, and V. di Gennaro: The genus of projective cuirVes,

9. CIME. M.Green et al: "Algebraic cycles and Hodge theory", Lecture notes in Math1594, Springer-Verlag, 1994

10. CGGH. J.Carlson, M.Green, Ph. Griffiths, J.Harris: Infinitesimal variations of Hodgestructures, Compositio Math., 50 (1983).

11. Dl. P.Deligne: La conjecture de Weil pour les surfaces КЗ, Inv. Math. 15 (1972),206-226

12. D2. P.Deligne: La conjecture de Weil И, Publ. Math. IHES, 52 (1980), 137-252.

13. Dem. J.-P. Demailly: L^-vanishing theorems for positive line bundles and adjunctiontheory, Cetraro Lectures, 1994, MSRI e-prints archive, preprint alg-geom/9410022,

14. Don. R. Donagi: Generic Torelli for projective hypersurfaces. Сотр. Math. 50 (1983),325-353. 52 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

15. E. L.Ein: Subvarieties of generic complete intersections, Invent.Math. 94, 163-169(1988).

16. E2. L. Ein: An analogue of Max Noether's theorem, Duke Math. J. 52 (1985), 689-706.

17. EL. L.Ein, R. Lazarsfcld: Syzygies and Koszul cohomologies of smooth projectivevarieties, Inv. Math. I l l (1993), 53-67

18. F. W.Fulton: Intersection theory. Springer-Verlag, 1984

19. FL. W.Fulton, R.Lazarsfeld: Connectivity and its applications in algebraic geometry,in Algebraic geometry, Proceedings, University of Illinois at Chicago Circle, 1980, 1.cture Notes in Math. 862.

20. GH. Ph. Griffiths, J. Harris: Principles of algebraic geometry, Wiley, 1978.

21. H. J. Harris: Curves in projective space, Montreal University Press, 1982.

22. Ha. R. Hartshorne: Varieties of small codimension in projective space, Bull, of the1. AMS 80, 1017-1032 (1974).

23. Ha2. R.Hartshorne: "Algebraic Geometry", Springer-Verlag, 1977.

24. B. A. Исковских: Трехмерные многообразия Фано. . I, II, Известия Академии Наук СССР, серия математическая, 41 (1977), 516-562, и 42 (1978), 506-549,

25. Katz. S. Katz: On the finiteness of rational curves on quintic threefolds. Сотр. Math.60 (1986), 151-162.

26. K. S.Kobayashi: Differential geometry of complex vector bundles, Princeton Univer-sity Press, 1987.

27. M.E.Larsen: On the topology of complex projective manifolds. Invent. Math., 19,251-260(1973). 1.. M.Liibke, A.Teleman: The Kobayashi-Hitchin correspondence. World Scientific, 1. Singapore, 1995.

28. Mois. B. Г. Мойшезон: Алгебраические классы гомологии на алгебраических..многообразиях. Известия Академии наук СССР, сер. мат. 31 (1967), 225-268. • •

29. OSS. Ch. Okonek, M. Schneider, H. Spindler: Vector bundles on complex projectivespaces, Birkhauser, 1980.

30. P. Ю. Г. Прохоров: Об экзотических многообразиях Фано, Вестник Москов.

31. Унив. серия I Мат. Мех., 1990, 34-37 Moscow Univ. Math. Bull. 45 (1990), no.3,36-38.

32. Pi. J. Piontkowski: "Abwickelbare Varietaten", thesis, Diisseldorf, 1995.

33. S. С Schuhmann: Mapping 3-folds onto 3-quadrics, Math. Ann. 306 (1996), 571-581.

34. SGA. P. Deligne, N. Katz: SGA 7.II "Groupes de Monodromie en Geometric Algebrique", Lecture Notes in Math. 340, Springer-Verlag, 1973.

35. S-D. H.P.F.Swinnerton-Dyer: An enumeration of all varieties of degree 4, Amer. Journal of Math., 95, 402-418 (1973). • ••

36. T. B. Tennison: On the quartic threefold, Proc. London Math. Soc.,29 (1974), 714-734

37. VI. C. Voisin:Sur une conjecture de Griffiths et Harris, in Algebraic Curves and Projective Geometry, Proceedings, Trento, 1988, Lecture Notes in Math., 1389.

38. V2. C.Voisin: On a conjecture of Clemens on rational curves on hypersurfaces, J. Diff.1. Geom. 44 (1996), 200-214.

39. Z. Ф.Л. Зак: Проекции алгебраических многообразий, Projections of algebraicvarieties, Мат. Сборник 116 (158) (1981), 593-602.

40. Zar. Ю. Г. Зархин: Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраическихмногообразий, Известия Академии Наук СССР, серия мат., 48 (1984), 264-304.