Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Загрядский, Олег Александрович

• Загрядский, Олег Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Загрядский, Олег Александрович

Оглавление

Введение

1 Поверхности и метрики Бертрана

1.1 Основные определения и примеры

1.1.1 Базовые определения

1.1.2 Цилиндр, конус, сфера

1.2 Обобщенное семейство уравнений

2 Поверхности Бертрана

2.1 Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения

2.2 Свойства орбит и эффективного потенциала

2.3 Геометрия поверхностей Бертрана

3 Абстрактные многообразия Бертрана и поверхности Бертрана в К3,

3.1 Бертрановские поверхности и натуральные координаты

3.2 Свойства поверхностей и орбит в М3

4 Гамильтонов подход

4.1 Система Бертрана как гамильтонова система

4.2 Бифуркационные диаграммы

4.3 Слои Лиувилля и их перестройки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана»

Введение

Актуальность

Диссертация посвящена исследованию геометрических и механических свойств обобщения задачи Бертрана. Задачи небесной механики, связанные с движением светил по небу и в пространстве, занимали центральное место в науке на протяжении многих веков. Самые простые модели возникли ещё в античности во времена Аристотеля и с течением времени всё более и более усложнялись. Разит не новых методов математики влекло за собой качественные скачки в исследовании задач небесной механики, позволяя лучше понимать суть происходящих процессов, приводящих к наблюдаемым явлениям. Но это понимание всегда приносило ещё больше вопросов, ставило сложные проблемы перед исследователями, для решения которых требовалось привлекать всё более новые математические инструменты. Немало сложностей сюда привносят так называемые обратные задачи механики, которые всегда были труднее прямых. Можно сказать, что в исследовании движения по небу частая их встречаемость естественна.

Одной из таких задач было восстановление закона притяжения между небесными телами по форме траекторий, которые описывают планеты при своём движении. Открытие закона всемирного тяготения в XVIII веке позволило понять почему планеты, астероиды и кометы движутся по коническим сечениям. Но могли быть и другие законы притяжения, приводящие к коническим сечениям. Вопрос нахождения всех таких законов остался открытым, на это указал сам сэр И. Ньютон в своих началах натуральной философии [22]. Таким образом зная, что все планеты движутся по эллипсам, мы не можем с уверенностью утверждать, что сила притяжения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния F ~ р-. Конечно, выйдя за рамки математики, можно экспериментальным путём проверить правильность четвёртого закона Ньютона, но несмотря па это задача о восстановлении закона тяготения по форме траекторий носила принципиальный фундаментальный характер и ждала своего решения.

Первые успехи были сделаны только в 1870х годах. Ж. Бертран сформулировал и решил в 1873 г. следующую задачу (известную также как теорема Бертрана): Найти силу притяжения, которая действует между Солнцем и планетами, зависит только от расстояния до Солнца и заставляет двигаться планеты по замкнутым траекториям, если юлько скорость не очень велика.

В формулировке ничего не оговаривалось о вырожденных случаях (например, когда планета падает па Солнце по прямой), более того решалась плоская задача, а не пространственная. Но если заметить, что сохраняется вектор момента импульса, то легко показать, что движение в центральном поле сил всегда будет плоским.

Другой вариант задачи выглядел так: найти закон сил, действующий на точку и заставляющий ее описывать конические сечения каковы бы не были начальные условия. Естественно, предполагается, что закон не зависит от времени, а зависит только от положения точки в пространстве.

В таком варианте формулировки (Бертран) требование к орбитам более сильные, а именно они должны быть не просто замкнутыми, а являться коническими сечениями; но зато условие, наложенное на закон силы, слабее, т.к. ищется сила, зависящая от положения тел в пространстве, а не строго от расстояния. Сразу решить в такой формулировке не удалось: для решения второй задачи Дарбу и Альфеи [7] усилили требование к закону притяжения - он должен быть как раз центральным. Со временем удалось решить задачу и без дополнительного требования центральности (Депейру) [9].

Математики продолжали искать различные условия, по которым можно восстановить закон взаимодействия. Одно из них, а именно алгебраичность траекторий, нашёл Кёнигс и его формулировка выглядела так [37]: Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия (причем существуют ограниченные неособые некруговые орбиты) найти закон этой силы.

Последний вариант сводится к первому, если заметить, что ограниченная кривая должна быть либо замкнутой, либо иметь точки сгущения. Второе условие невозможно в виду алгебраичности кривой, следовательно кривая будет замкнута, а это уже условие Бертрана.

Ответ ко всем трём вариантам задачи оказался на удивление одинаков: таким условиям удовлетворяют только два закона притяжения - закон тяготения Ньютона Fi ~ р-и закон Гука F-¿{r) ~ г. Важно отметить, что силы искались потенциальные и аналитические. Соответствующие потенциалы выглядят так Vi ~ К V>¿ ~ г2.

Замечание 0.0.1. Как утверждает первый закон Кеплера, в случае закона Ньютона планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. В случае закона Гука аналог первого закона Кеплера выглядит так: планета движется по эллипсу. в центре которого находится Солнце. Ещё одним отличием закона Гука от закона Ныоюна состоит в том, что у него нет неограниченных орбит, таких как парабола или гипербола.

Дальнейшие исследования пошли по пути усложнения структуры пространства. Сперва были рассмотрены пространства постоянной гауссовой кривизны. Пространство положительной постоянной кривизны - сфера, отрицательной - плоскость Лобачевского.

Рассмотрим сферу с координатами (г, <р), где г - широта, ip - долгота, и римано-

аиалитический) потенциал V, т.е. зависящий только от г (и не зависящий о г <р). Под действием такого потенциала по поверхности движется частица. Её движение описывают уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана L = + | sin2 г ф2 — V(r). Задача Бертрана обобщается гак: какие могут бьиь потенциалы V(r) на сфере, под действием которых частица описывала бы замкнутую траекторию. Задача сформулирована не строго. т.к. дополнительно предполагается ещё несколько условий, в т.ч. рассматривается не вся сфера, а только её половина без экватора.

Ответ очень похож на плоский случай. Введём вместо г более удобную координату в — ctg г. Тогда на сфере существуют только два потенциала, приводящих к замкнутым траекториям: аналог закона всемирного тяготения V\ — Ав + В и аналог пружинного взаимодействия Гука V¿ = Ав~2 + В, где А, В некоторые константы с определенными знаками. Как и на плоскости траектории движения будут коническими сечениями (пересечение сферы с конусом второго порядка, у которых совпадают центры), более того в первом случае центром притяжения будет фокус, а во втором центр (подробнее см. [37]).

На сферу также обобщается второй закон Кеплера с некоторой модификацией, а также третий закон Кеплера [15], [37] (см. также утверждения 11—13 в §3.2.).

Замечание 0.0.2. Все эти результаты (задача Бертрана и законы Кеплера) переносятся со сферы S'2 на плоскость Лобачевского L2, при этом все тригонометрические функции нужно заменить на соответствующие гиперболические.

Первое решение было дано Дарбу [8] в 1877 году, оно было небогато подробностями. Далее задача неоднократно переоткрывалась. В 1902, 1903 Либман получил результат для S2 и L2 и исследовал форму траекторий[17, 18). В 1979 г. задача была решена в Sn П. Хиггсом [13]. а в 1980 в SÄ Славяиовским [28]. В 1982 г. получено обобщение на Sn и L" Икедой и Катаямой [14], а в 1992-1994 гг Козловым и Хариным получены обобщения на S2 и L2 с исследованием всех законов Кеплера [37. 38].

Следующим усложнением является переход о г поверхностей постоянной гауссовой кривизны к поверхностям вращения. Рассмотрим поверхность вращения S ~ (a. b) xSl '—t R3 с координатами (u.ip mod 2тг). где и G (а.Ъ) и метрикой вращения

Пусть на этой поверхности задан потенциал У(и), который зависит только от и. Под действием такого потенциала по поверхности происходит движение частицы согласно уравнениям Эйлера-Лагранжа для лагранжиана Ь = \а\у{и)й2 + \а222{и)ф2 — У(и). Задача Бертрана обобщается следующим образом: каким может быть потенциал У(и). чтобы

. На сфере рассматривается только центральный (естественно,

0 sin г I

(0.0.1)

любая ограниченная орбита была замкнута (и существовала хотя бы одна такая некруговая). Потенциалы с таким свойством назовём бертрановскими.

Замечание 0.0.3. В задаче неявным образом предполагается ещё ряд технических условий, в т.ч. положительность функций сгц (и). а22(и), аналитичность (в работах некоторых авторов) всех фигурирующих в условии функций, отсутствие экваторов, т.е. а'02(и) Ф О Vu £ (я-6) (см. подробнее [56]). Отсутствие экваторов является важным условием; в случае же их наличия все данные различными математиками доказательства не работают в окрестностях экваторов. Более того существуют потенциалы, тождественно равные константе, которые задают геодезические на поверхности [5], причём таких поверхностей вращения, называемых поверхностями Таннсри (все геодезические которых замкнуты) существенно больше чем бертрановских. Успешное решение проблемы возможного наличия экваторов, при условии замкнутости всех неособых орбит, с помощью принципа Мопертюи и классификации [5] поверхностей Таннери предложено в статье [39].

Первое решение для поверхностей вращения удалось получить Дарбу в 1877г. [8], правда он не представил полного описания с явным видом метрик всех таких поверхностей. Из его утверждений следует следующее: потенциал У является искомым тогда и только тогда, когда в координатах (У. tp) метрика поверхности S имеет вид

A dV2 dp2

d*z = -^тт^^Т-^ +

цЦАУ2 - DV + C)2 AV2 — BV + С

или

, 2 AdV2 dp2

as = 1

¡12{-У - К)'А(А/{-У — К) - ВУ + С)2 А/(-У -К)-ВУ + С где А. В, С, К действительные константы, //, - рациональная пололсительная. Константы не могут быть произвольными, они должны удовлетворять двум условиям (см. [50]).

В 1992 Перлик обобщил теорему Бертрана для ОТО на поверхность с метрикой пространства-времени [23]. Исследование с учётом ОТО продолжили испанцы в 20082010 гг. [1, 2, 3].

В 2007 Сантопрете [24] получил формулировку теоремы Бертрана для аналитической поверхности вращения 5 в Е3 в ''натуральных" координатах (г. р), т.е. в таких, в которых метрика на 5 имеет вид

1 0

Первая часть его теоремы обобщает результат Бертрана на поверхности постоянной кривизны (без экваторов, вложенные в Мл), вторая часть утверждает, что па всех остальных поверхностях вращения берграповского потенциала может быть не более одного, указано необходимое условие для этого.

2/.л < ' (0-0-2)

Теорема 1. (Сантопрете М.) Пусть дана аналитическая поверхность вращения 8 с координатами (г, р) и метрикой (0.0.2). Тогда

• На Б существует ровно 2 бертрановских потенциала тогда и только тогда, когда /(г1) удовлетворяет /"/ — //2 = — ¡З2, где (5 > 0 - рациональная константа.

• На остальных 5 существует не более одного бергпраиовского потенциала, притом для его существования необходимо, чтобы / для некоторой рациональной /3 > О удовлетворяла £4 - 5(—/"/ + //2)/32 - 5//"/,2+ 4/"2/2 - 3/"772 + 4//4 = 0.

Замечание 0.0.4. В оригинальной статье неявно предполагалось отсутствие у поверхности экваторов, также под бертрановским понимался не замыкающий, а сильно замыкающий потенциал (см. далее), кроме того был установлен явный вид потенциалов в некоторых (бертрановских. см. зам. 1.1.2) координатах. Условие па метрику /З4 — 5(—/"/+ Г2)(32 - о//"/'2- 4/"2/2 - 3/"772 + 4/'4 = о может быхь представлено в другом виде (см. подробнее теорему 9).

Эта теорема показывает, что на поверхностях вращения существуют серьёзные отличия от евклидовой плоскости, сферы и плоскости Лобачевского, т.к. здесь найдутся поверхности только с одним бертрановским потенциалом (аналог потенциала Гуна).

К данной динамической системе движения по двумерной поверхности вращения под действием центрального потенциала применим также гамильтонов подход. Система имеет две степени свободы и два первых независимых коммутирующих интеграла энерг ни и кинетического момента. Похожие системы активно изучаются в последнее время топологическими методами, развитыми в работах [32], [47]-[41[. [20]. Среди подобных динамических систем бертрановская представляет особый интерес, т.к. она не является вполне интегрируемой по Лиувиллю, однако каждый её регулярный слой Лиувилля представляет собой либо тор, либо цилиндр, либо пару цилиндров, ее изо-энергетические поверхности не являются компактными, все её торы Лиувилля резонансны. Полученное в работе [30] обобщение теоремы Лиувилля для систем с одним неполным фазовым потоком позволяет уверенно применять разработанные методы описания вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем к системе Бертрана. Цель диссертации

Диссертационная работа преследует следующие цели:

1. Обобщение теоремы Бертрана на абстактные многообразия вращения с псевдори-маиовой метрикой. Проведение классификации поверхностей Бертрана.

2. Анализ реализуемости псевдоримановых поверхностей Бертрана, обобщение критерия Сантопрете и первого закона Кеплера на них.

3. Описание слоения Лиувилля бертрановских сислем с псевдоримановой метрикой,

построение бифуркационных диаграмм.

Методы исследования

В диссертции используются методы дифференциальной геометрии, топологии и теоретической механики. При исследовании топологии слоения Лиувилля бертрановской системы используются методы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и заключаются в следующем:

1. Найдены все р- замыкающие функции обобщенного семейства дифференциальных уравнений Бертрана.

2. Обобщена теорема Бертрана на абстрактные поверхности вращения без экваторов, с псевдоримановой метрикой. Проведена классификация всех поверхностей Бертрана.

3. Установлен факг реализуемости поверхностей Бертрана с псевдоримановой метрикой в обобщен кршерий Сангопрете и первый закон Кеплера.

4. Для стилем Бертрана с псевдоримановой метрикой построены бифуркационные диаграммы отображения момента, описаны перестройки слоев Лиувилля, связанные как с особыми точками отображения момента, так и с регулярными.

Апробация диссертации

Резулыаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

• международная конференция ''Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г. Крейна." (Воронеж. 25-30 января 2012 г.);

• XX международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов"' (Москва, 8-13 апреля 2013 г.):

• XXI международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных ''Ломоносов'" (Москва, 7-11 апреля 2014 г.).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

• на семинаре "Современные геометрические методы"" под руководством акад. А.Т. Фоменко, проф. А.В.Болсинова, проф. А.С.Мищенко, проф. А.А.Ошемкова. доц. Е.А.Кудрявцевой, доц. П.М.Нпконова. (неоднократно: 2008-2014 гг.):

• на семинаре "Геометрия в целом" под руководством проф. II.X. Сабитова в 2012 г:

• на семинаре «Oberseminar Differentialgeometrie» под руководством проф. Г. Клипера (совместный семинар Рурского университета в Бохуме и Технического университета в Дортмунде, Германия, 2010 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах [56-63], список которых приведен в копне диссертации. Структура и объём

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 107 страницах и содержит 1 таблицу и 27 рисунков. Список литературы содержит 63 наименования.

Во введении подробно излагается история рассматриваемых вопросов; обосновывается актуальность результатов и их научная новизна; описывается структура диссертации и основные результаты.

В первой главе приводятся базовые определения и рассматриваются классические примеры систем Бертрана на плоскости и полусфере; наряду с классическими примерами разбирается пример с произвольным центральным гладким полем на круговом цилиндре, для которого показывается незамыкаемость. Также здесь формулируется опорный для дальнейших глав результат, касающийся свойств периодичности решений обобщенного семейства дифференциальных уравнений Бертрана.

Во второй главе формулируется обобщение классической теоремы Бертрана на поверхности вращения с псевдориманой метрикой, в которой указываются все индефинитные метрики без экваторов, допускающие существование на поверхности центрального замыкающего потенциала, а также приводятся сами потенциалы. Для доказательства обобщения устанавливается ряд взаимосвязей между орбитами на поверхности вращения и аналитическими свойствами эффективного потенциала. Приводится полная классификация поверхностей Бертрана с точностью до изометрни и преобразования подобия. В конце главы устанавливается явный вид зависимости периода Т замкнутых траекторий от первого интеграла энергии для некоторых многообразий Бертрана. Для поверхностей Бертрана постоянной гауссовой кривизны аналогичный результат был получен В.В. Козловым [37].

Третья глава посвящена во многом свойствам поверхностей Бертрана, коюрые можно определенным образом реализовать как поверхности вращения в R3 и М3. Доказано, что все поверхности Бертрана с псевдоримаповой метрикой без экваторов реализуются в R3. Для всех таких поверхностей обобщен известный критерий Сантопрею. Также для некоторых из них сформулирован аналог первого закона Кеплера.

В четвертой главе системы Бертрана рассматриваются как гамилыоновы системы и изучается их слоение Лиувилля первых интегралов энергии и кинетического момента. Для каждой поверхности вращения с псевдоримановой метрикой и замыкающим потенциалом на ней построены бпффуркационные диаграммы. На образе фазового простран-

ства при отображении момента выделены зоны, отвечающие различным видам слоев Лиувилля, которые соответствуют различным типам движений, для каждого слоя устав-новлено, полны ли фазовые потоки sgrad Е, sgrad К; описаны возникающие перестройки слоев Лиувилля при переходе из одной зоны в другую. Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность А.Т. Фоменко и Е.А. Кудрявцевой за постановку задач и постоянную помощь на всех этапах работы. Автор благодарен II.X. Сабитову. А.Д. Малых и A.B. Щепетилову за полезные обсуждения. Автор благодарен A.C. Мищенко. A.A. Ошемкову, Д.А. Федосееву за участие в дискуссиях и полезные советы.

Глава 1

Поверхности и метрики Бертрана

1.1 Основные определения и примеры 1.1.1 Базовые определения

Диссертация посвящена исследованию двух механических систем: движение по поверхности вращения с римановой и псевдоримановой метриками соответственно. Ониптем подробнее вышеупомянутые системы с точки зрения лагранжева формализма.

Будем рассмотривать абстрактные двумерные многообразия вращения Б ~ (a, b) х Б1 с координатами (к, ip mod 2тг) и римановой метрикой:

Функции ац(и), а22(и) гладкие С°(а,Ь) и строго положительные, где а и Ъ пробегают любые значения от —сю до +эс, т.е. удовлетворяют — сю < а < Ь < ос. В случае, если поверхность Б можно вложить в М3 как поверхность вращения с осью вращения, совпадающей с OZ, о22 будет иметь смысл расстояния от точки на поверхности до оси вращения.

Наряду с Б будем также рассматривать многообразия S' ~ (a, b) х S1 с координатами (и,(р mod 2тт) и псевдоримановой метрикой:

где функции ац(и).а22(и) также гладкие Сл{а,Ь) и строго положительные, а и Ь также удовлетворяют — ос < а < Ь < ос.

В дальнейшем некоторые утверждения будут сразу формулироваться как для рима-пова случая так и для псевдориманова, поэтому для единообразия формул будем использовать показатель ¿.

Определение 1.1.1. Константа г равна 1 для поверхности 5 с метрикой (1.1.1), и равна — 1 для поверхности Б' с индефинитной метрикой (1.1.2).

ds2 = а2и(и)(1и2 + a222{u)dp2.

(1.1.1)

ds2 = 0.^(11) da2 — a22(u)dp2.

(1.1.2)

У поверхностей S и S' координатные линии {и = const} являются параллелями, а линии {р = const} меридианами. Границами S (соответственно S') являются две граничные параллели {и = о} и {г/ = Ь}.

Определение 1.1.2. Назовём параллель {и0} х S"1 экватором, если а22(и0) = 0. Назовём граничную параллель {и = Uq} экватором, если а22{и)/ап(и) —> {).а22(и) —> const ф 0 при и и0: абсолютом, если а ¿'¿(и) —> ос при и —» »о: полюсом, если а22(и) —> 0 при и Uq.

Полюс назовём коническим, если а22{и) / а2п(и) —У 1/с при и —> и0, где с > 1 для 1)иманова случая (0 < с < 1 для псевдориманова случая) - вещественная константа; соответственно устранимым, если 0 < г — ¿а'22(и)2 / а2п(и) —у 0 при и —у и0.

Требование к полюсу быть коническим или устранимым автоматически означает, что поверхность в окрестности полюса реализуется как поверхность вращения в М3 (соответственно в Rj)- Рассмотрим, например, круговой конус {(x.y,z) : х2 4- у2 = z2,z > 0} в евклидовом пространстве R3 (метрика инициируется с объемлющего пространства). Тогда граница, соответствующая {z = ос} является абсолютом, а граница {z = 0} является коническим полюсом. Другой пример доставляет проколотая полусфера {(x.y.z) : x2+y2jrz2 = 1. — 1 < г < 0} в М3. Для полусферы граница {z — —1} является устранимым полюсом, а граница z = 0 является экватором.

Пусть на поверхности S (соответственно S') задан также центральный гладкий потенциал, т.е. функция V(u) е Съ(а.Ь). Под действием V по поверхности движется частица. Закон движения определяется уравнениями Эйлера-Лагранжа = для лагранжиана L = ^а2п(и)й2 + ¿\а222(и)ф2 — V(u). Выпишем эти уравнения движения:

а2и а + апа'пй2 - ¿а22а'22ф2 + V' = 0, (1.1.3)

jf(ea222if)= 0. (1.1.4)

Данные уравнения имеют два первых интеграла энергии и кинетического момента.

Е=^а2п(и)й2 + £^а222(и)ф2 + У(и). (1.1.5)

К = ёа22(а)р. (1.1.6)

Последнее легко проверить прямым дифференцированием по времени.

Определение 1.1.3. Назовём траекторией решение f{t) = (u(t).p(t)) уравнений движения (1.1.3), (1.1.4). другими словами, зависимость координат точки от времени. Образ отображения f(t) будем называть орбитой. Аналогично, отображение (u(t). p{t). a^1(u(f))-ii(t). sa'i2(u(t)) - уb(t)) - фазовая траектория, а его образ в кокасательиом расслоении T*S - фазовая орбита.

Величины ри := ОЬ/Ой = а21(и)й.]91г := ОЬ/дф = ёа22(и)ф являются импульсами. Неособую орбиту естественно задавать с помощью зависимое!и координаты и 01 р>, т.е. можно считать орбиту функцией и(р).

Из уравнений траектории можно легко получить уравнение орбиты.

Утверждение 1. Неособые орбиты {и = и((р)} при движении по Б под действием V задаются однопараметрическим (параметр К) семейством уравнений

// , /2 (ап(") _ 2а22(и)\ _ ~а22(и)а'22(и) V'(и) о\2{и)

^ Ч"п(«) Ы*)) " <(») ~ к1 <{иу

Доказательство. Исключим время из уравнения (1.1.3) с помощью (1.1.4) и придем к уравнениям на функцию и = и(р>), задающую орбиты. Согласно (1.1.6) ф — ¿а2Л(ц) • Далее й = и'^ф = . Вторая производная

.. й... (I ... др> с1 ^ у'М . (и'^К 2 и,2Ка'22{и)\ К

(И (1р (И (1р> <1?п{'и) \а22(.и) а22(и) ) а22(и)' Осталось подставить полученные выражения для ф.й, и в уравнение (1.1.3). □

Замечание 1.1.1. Семейство уравнений (1.1.7) хорошо тем, что каждое уравнение имеет своим интегралом энергию движения:

Проверяется непосредственно дифференцированием по углу <р (выражение (1.1.8) также получается из (1.1.5) заменой £ на р>). При работе с орбитами бывает удобнее пользоваться интегралом Е^ := Е/К2. В дальнейшем будет показано, что для замыкающего потенциала па поверхности без экваторов по форме ограниченной орбиты (по функции и(р>)) однозначно восстанавливаются энергия Е и кинетический момент К точки, двигающейся по этой орбите: в противоположность этому, по форме ограниченной 1 еодезической значения Е и К однозначно восстановить нельзя, восстанавливается лишь соотношение т.о. Е^.

Этот эффект можно хорошо проиллюстрировать на плоскости К2. В случае отсутствия потенциала движение происходит по теодезическим, т.е. по прямым, при том но прямой можно дшна1ься с любой скоростью, форма орбиты так и останется прямой. Если же есть центральный замыкающий потенциал, например Земля притягивает 11СЗ по закону всемирною тяготения, тогда появляется разница: при движении с первой космической скоростью форма орбиты будет окружностью, а при движении со второй - параболой.

Замечание 1.1.2. Есть координаты, в которых формулы (1.1.7). (1.1.8) заменю \прощаются. Они определяются из лсловия: коэффициент при и'2 в уравнении (1.1.7) равен 0. т.е. "п— 2<7"(("? = 0. Интегрируя находим, что в этих координатах (в. р) выполняется

0^(0) = Са22(0), где С - константа. Существуют они потому, что их можно предъявить явной формулой. При переходе от (и.р) к (в, р) комнопешы метрики (соответственно псевдоримановой метрики) преобразуются так: <>2-[(а)и''д = а^в), а22(и) = а22(0). Написав соошошенпе а2и(6) = Са22(0) получим а2п(и)и'д = Са22(и). Так в'и = —т=гту-г,

В координатах (0, р) (назовем их бер1рановскими) при С = 1 уравнения (1.1.7) и (1.1.8) выглядят так:

В скобках стоит эффективный потенциал \У = V +

22

Бертрановские координаты определены неоднозначно, можно изменять константу С, более того можно менять константу интегрирования.

Стоит отметить, что несмотря на внешнюю схожесть формул, отвечающих уравнениям движения, уравнениям орбит, первым интегралам, эффективному потенциалу в римановом и псевдоримановом случаях имеется много фундаментальных отличий. Поверхности, допускающие существование замыкающих потенциалов, имеют много отличий, причем в псевдоримановом случае поверхностей будет меньше (см. рис. 2.1, 2.2), также в псевдоримановом случае поверхности Бертрана всегда реализуются в (С'Л1-теорему 8), в отличие от риманова. Серьёзные отличия заключены и в топологии фазового пространства.

Замечание 1.1.3. В утверждении 1, замечаниях 1.1.1 и 1.1.2 и всюду далее в настоящей работе под орбитой {9 = в(р)} понимается "локально заданная" орбита, т.е. заданная в виде "локального графика' {в — в(р) \ р] < р < р2} С 5 = (а,Ь) х 51, где — ос < р^ < р2 < +00 и в(р) — (однозначная) функция на интервале (р1,р2) С К. Отметим, что если либо р\ = —ос. р2 — -Ьоо и функция 0(р) не является 27г-периодичной, либо р2 — > 2тг, то орбита пересекает некоторый меридиан более чем в одной точке, поэтому она не является графиком никакой однозначной функции в(р). В противном случае, т.е. если либо р\ = —ос. р2 — +ос и функция в(р) является 27Г-иериодичной. либо р2 — р\ < 2тг, то орбита является графиком однозначной функции в(р)1 заданной па всей окружносш 51 или на некотором ее интервале.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Загрядский, Олег Александрович, 2015 год

Литература

[1] Ballesteros A., EncisoA., HerranzF.J.. Ragnisco O., Hamiltonian systems admitting а Runge-Lenz vector and an optimal extension of Bert rand's theorem to curved manifolds// Commun. Math. Phys. 290 (2009), 1033-1049.

[2] Ballesteros A., Enciso A., Herranz F. J., Ragnisco O., Bertrand spacetimes as Kepler/oscillator potentials // 2008

[3] Ballesteros A., EncisoA., HerranzF.J.. Ragnisco O., Riglioni D. New superintegrable models with position-dependent mass from Bertrand's Theorem on curved spaces

[4] Bertrand J., Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C.R. Acad. Sri. Paris 77 (1873), 849-853. Engl. transi.: F. C. Santos, V. Soares, A. C. Tort. An English translation of Bertrand's theoiem (2007), arXiv:0704.2396vl.

[5] Besse A., Manifolds all of whose geodesies are closed. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1978. Русск. перевод: А. Бессе. Многообразия с замкнутыми геодезическими. Пер. с англ. иод ред. В.М. Алексеева. Москва: Мир, 1981.

[6] Bolyai \V. and Bolyai J., Geometrische Untersnchnngen. Leipzig: B. G. Teubner, 1913.

[7] Darboux G, Sur un problème de mécanique. In book: Cours de mécanique, T. Despeyrous, Vol. 2. Note XIV, Paris: A. Herman, 1886. 161-466.

[8] Darboux G.. Étude d'une question relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution// Bull. S. M. F. 1877. 5. 100-113.

[9] Despeyrous T.. Cours de mécanique. Vol. 2., Note XIV, Paris: A. Herman. 1886.

[10] Fomenko A.T. "The theory of invariants of multidimensional integrable Hamiltonian systems (with arbitrary many degrees of freedom). Molecular Table of all integrable systems with two degrees of freedom". - In: Topological Classification of Integrable Systems. - Advances in Soviet Mathematics, v.6, 1991. Amer.Math.Soc. pp.1-36.

[11] Gordon \Y. В.. On the relation between period and energy in periodic dynamical systems

J. Math. Meeh. 19 (1969). 111-114.

[12] Grandati Y., Berard A.. Menas F. Inverse problem and Bertrand's theorem // 2008.

[13] Higgs P. W., Dynamical symmetries in a spherical geometry, I. J. Phys. A. Math. Gen. 12 (1979), 309-323. Русск. перевод: П. Хиггс, Динамические симметрии в сферической геометрии, I. В книге: Классическая динамика в неевклидовых пространствах, ред. A.B. Борисов и II. С. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004. 125-146.

[14] Ikeda М. and Katayama X., On generalization of Bertrand's theorem to spaces of constant curvature. Tenzor, X. S. 38 (1982). 37-40.

[15] Killing W., Die Mechanik in den nicht-Euklidischen Raumformen, J. reine angew. Math. Bd. 98 (1885), 1-48. Русск. перевод: В. Киллипг, Механика в неевклидовых пространствах. В книге: Классическая динамика в неевклидовых пространствах, ред. А. В. Борисов и И. С. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 23-72.

[16] Koenigs G., Sur les lois de force central fonction de la distance pour laquelle toutes les trajcctoires sont algebraiques, Bull, de la Societe de France 17 (1889), 153-155.

[17] Liebmann H., Die Kegelschnitte und die Planetenbewegung im nichteuklidischen Raum, Berichte der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaft. Math. Phys. Klasse. Bd. 54 (1902), 393-423.

[18j Liebmann H., Uber die Zentralbewegung in der nichteuklidische Geometrie, Berichte der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaft, Math. Phys. Klasse, Bd. 55 (1903), 146 153. Русск. перевод: Г. Либман, О движении под действием центральной силы в неевклидовой геометрии, Классическая динамика в неевклидовых пространствах, ред. A.B. Борисов и И. С. Мамаев, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004, 73-82.

[19] Lipshitz R., Extension of the planet-problem to a space of n dimensions and constant integral curvature, Quart. J. Pure Appl. Math. 12 (1873), 349-370.

[20] Mat\eev Y. S.. On projectively equivalent metrics near points of bifurcation. In book: Topologival methods in the theory of integrable systems. Eds. Bolsinov A. Y., Fomenko A.T. and Oshemkov A.A. Cambridge: Cambridge scientific publishers, 2006, 215-240.

[21] Xcumann C.. Ausdehnung der Kepler'schen Gesetze auf der Fall, class die Bewegung auf einer Kugelfläche stattfindet. Gessellschaft der Wissenschaften. Math. Phys. Klasse 38 (1886). 1 2.

[22] Xewton I.. Mathematical Principles of Xatural Philosophy 7 1728

[23] Perlick V., Bertrand spacetimes, Class. Quantum Grav. 9 (1992), 1009-1021.

[24] Santoprete M., Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution, Journal of Math. Phys. 49:4 (2008), 042903, 16 pp.

[25] Santoprete M., Block Regularization of the Kepler Problem on Surfaces of Revolution with Positive Constant Curvature// 2009.

[26] Schering F., Die Schwerkraft im Gaussischen Räume, Nachr. der König], Gcssellschaft der Wissenschaften Göttingen 15 (1870), 311-321.

[27] Serret P., Theorie nouvelle géométrique et mécanique des lignes a double courbure. Paris: Librave de Mallct-Bachelier, I860, p. 205.

[28] Slawianowski J. J., Bertrand systems on 50(3,/?), SU{2), Bull, de l'Acadcmie Polonica des Sciences. Sér. sei. phys. et astron. XXVIII, N.2 (1980), 83-94.

[29] Tikochinsky Y., A simplified proof of Bertrand's theorem, Am. J. Phys. 56:12 (1988), 1073-1075.

[30] Алёшкин K.P. Топология интегрируемых систем с неполными полями Матем. сб., 205:9 (2014), 49-64.

[31] Болсипов A.B., Козлов В. В., Фоменко А. Т., Принцип Моперпои и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела, Успехи математических наук 50:3 (1995), 3-32.

[32] Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А. Т. , Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности, УМН, 45:2(272) (1990), 49-77

[33] Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

[34[ Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях. (Монография). - Москва, УРСС, 1999. В серии: "Библиотека Rfe С Dynamics. Регулярная и хаотическая динамика том. 2.

[35] Борисов A.B.. Мамаев U.C., Системы на сфере с избыточным набором интегралов. Классическая динамика в неевклидовых пространствах. Ред. А. В. Борисов и U.C. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004, 167182. Engl, transi.: A.Y. Borisov. I. S. Mamaev. Superintegrable systems on a sphere, Regular and Chaotic Dynamics 10:3 (2005). 257-266.

|36] Классическая динамика в неевклидовых пространствах. Ред. А. В. Борисов и U.C. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

[37] Козлов В. В., О динамике в пространствах постоянной кривизны, Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1994. Х.2, 28-35.

[38] Kozlov Y. V., Harin A. О., Kepler's pioblem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy 54 (1992), 393-399. Русск. перевод: B.B. Козлов, А. О. Ха-рин, Задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны, Классическая динамика в неевклидовых пространствах, A.B. Борисов, U.C. Мамаев, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 159-106.

[39] Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Механические системы с замкнутыми орбитами на многообразиях вращения // Матем. сб. В печати.

[40] Лобачевский H. И., Новые начала геометрии с полной теорией параллельных, Полное собрание сочинений. Сочинения по геометрии. T. II. М.-Л.: ГИПТЛ, 1949, 158-159. В книге: Классическая динамика в неевклидовых пространствах, А. В. Борисов и И. С. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004, 19-21.

[41| Нгуен Т.З., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых невырожденных гамильтонианов на изоэнертетической трехмерной сфере. - Успехи математических наук. 1990, Т.45, вып.6, с.91-111.

[42] Нгуен Т. 3., Фоменко А. Т., Топологическая классификация интетрируемых невырожденных гамильтонианов на изоэнергетической трехмерной сфере, Успехи математических наук 45:6 (1990), 91-111.

[43] Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Москва-Ленинград: государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

[44] Смирнов Р.Г. О классической задаче Бертрана-Дарбу// Фундаментальная и прикладная математика. 12:7 (2006). 231-250.

[45[ Фоменко А. Т.. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю, Функц. анализ и его приложения 22:4 (1988), 38-51.

[46] Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем. - Доклады АН СССР. 1986. Т.287. Хо.5. с.1071-1075.

[17] Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. - Известия АН СССР. Серия матем. 1986. г.50. Хо.6. с.1276-1307.

[48] Фоменко А.Т., Цншанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильгоновой механике. - Доклады АН СССР, 1987, т.294, Хо.2, е.283-287.

[49] Браилов A.B., Фоменко А.Т. Топология интегральных многообразий вполне интегрируемых гамильтоповых систем. - Математический Сборник, 1987, 1.133. Хо.З, с.375-385.

[50] Фоменко А.Т., Цишапг X. О типичных топологических свойствах иптегрир\емых гамильтоповых систем. - Известия АН СССР, 1988. т.52, Хо.2. с.378-407.

[51] Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоповых систем, интегрируемых по Лиувиллю. - Функп. анализ и его приложения. 1988, г.22, вып.4, с.38-51.

[52] Фоменко А.Т. Симплектическая тоиолоптя вполне интегрируемых гамильтоповых систем. - Успехи математических наук, 1989. т.44. вып.1 (265), с.145-173.

[53] Фоменко А.Т., Цишапг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоповых систем с двумя степенями свободы. // Известия АН СССР. 1990. г.54, Хо.З, с.546-575.

[51] ФоменкоА.Т, Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях, Функц. анализ и его приложения 25:4 (1991), 23-35.

[55] Щепегилов A.B., Анализ и механика на двухточечно-однородных римаповых пространствах. Москва-Ижевск: НИЦ '"Регулярная и хаотическая динамика", IIIIKII, 2008.

Публикации автора по теме диссертации

[56[ Загрядский О. А., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Bepipana на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, Л*8. 39-78.

[57] Загрядский O.A.. Федосеев Д.А. О явном виде метрик Бертрана //Вести. Моск. унта. Матем. Меха». 2013. 67, Л"°5. 46-50.

[58] Загрядский O.A.. Соотношение классов Бертрана. Бонне и Танпери // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ.. Л'° 6 (2014), 62-65.

[59] Загрядский O.A.. Поверхности Бертрана с псевдоримановой метрикой вращения ' Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ.. .VI (2015). 66-69.

[60[ Загрядский O.A.. "Берграновская система и её фазовое пространство" / Наука и образование МГТУ. 2014. .V? 12. 365-386.

[61] Загрядский O.A., международная конференция "Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г. Крейна." (Воронеж, 25-30 января 2012 г.), 68.

[62] Загрядский O.A., XX международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" (Москва, 8-13 апреля 2013 г.).

[63] Загрядский O.A., XXI международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов" (Москва, 7-11 апреля 2014 г.).