Геометрическое моделирование перколяционных процессов в объектах с бинарными характеристиками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Рыбаков, Дмитрий Александрович

• Рыбаков, Дмитрий Александрович
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Рыбаков, Дмитрий Александрович

Перечень условных обозначений и сокращений.

Введение.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ

1.1 Терминология теории перколяции.

1.2 Решеточные модели объектов с бинарными характеристиками.

1.3 Континуальные модели объектов с бинарными характеристиками.

1.4 Сводимость некоторых континуальных моделей к дискретным.

1.5 Дополнительные параметры моделей объектов с бинарными характеристиками.

1.6 Классификация моделей объектов с бинарными характеристиками.

1.7 Исследуемые величины моделей объектов с бинарными характеристиками.

1.8 Близость перколяционных моделей на вытянутых элементах.

1.9 Использование хэш-функций при моделировании объектов с бинарными характеристиками.

1.10 Выводы.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА С БИНАРНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НА ОСНОВЕ АНСАМБЛЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОВ.

2.1 Описание модели.

2.2 Характеристики отдельного элемента статической модели на параллелепипедах.

2.3 Объем взаимных пересечений элементов.

2.4 Генерация сцены для статической перколяционной модели.

2.5 Поиск контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов.

2.5.1 Подзадачи для поиска контактных кластеров.

2.5.2 Предварительные замечания к алгоритму для поиска кандидатов на пересечение.

2.5.3 Отбраковка кандидатов на пересечение на основе анализа охватывающих параллелепипедов.

2.5.4 Процедура определения существования геометрического пересечения двух элементов.

2.5.5 Оптимизированный алгоритм для поиска контактных пар.

2.5.6 Поиск контактных пар в случае трансляционной симметрии промежутка.

2.5.7 Идентификация кластеров на основании информации о контактных парах.

2.5.8 Идентификация перколяционных кластеров.

2.6 Поиск кратчайших путей между двумя элементами в кластере.

2.7 Алгоритм вычисления рс.

2.8 Процедура определения внешнего вида плоских сечений.

2.9 Процедура вычисления фрактальной размерности подмножеств в статической модели.

2.10 Архитектура программного обеспечения.

2.11 Результаты вычислений в статической модели.

2.11.1 Результаты вычислений величины рс.

2.11.2 Динамика переноса в кластерах.

2.11.3 Фрактальные свойства кластеров.

2.12 Выводы.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОГО ПОВЕДЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ИСКРОВОМ ПРОБОЕ ГАЗОВ.

3.1 Описание искрового пробоя газов.

3.1.1 Условия для возникновения искрового разряда.

3.1.2 Стадии развития искрового разряда.

3.1.3 Математические модели процессов в газовом разряде.

3.1.3.1 Аналитические решения для описания развития структурных элементов искрового пробоя.

3.1.3.2 Численное решение уравнений баланса в дрейфово-диффузионном приближении.

3.1.3.3 Клеточные автоматы и другие математические модели развития стримера, лидера и атмосферных спрайтов, основанные макроскопическом описании процессов.

3.1.3.4 Модели однородной ионизации газа.

3.1.3.5 Пакеты прикладных программ для моделирования процессов в газовом разряде.

3.1.4 Структура и свойства электронной лавины.

3.1.5 Условие для множественного развития электронных лавин.

3.1.7 Выбор типа перколяционной модели для описания множественного развития электронных лавин.

3.1.8 Обобщение положений раздела 3.1.

3.2 Характеристики моделируемого промежутка и отдельного элемента динамической перколяционной модели на параллелепипедах.

3.3 Описание входных параметров динамической математической модели перколяционных эффектов в искровом пробое газов.

3.3 Процедура вычисления электрических полей на каждом шаге динамической модели.

3.4 Результаты расчетов в динамической модели.

3.4.1 Случайное слияние и слияние под действием локально искаженного поля.

3.4.2 Динамика формирование наибольшего кластера.

3.3.4 Аппроксимация временной зависимости размера наибольшего кластера.

3.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическое моделирование перколяционных процессов в объектах с бинарными характеристиками»

П.2.2 Обзор теорий, объясняющих высокую скорость продвижения стримера.157

Приложение 3. Причины возникновения неоднородностей в газовом разряде 160

П.3.1 Введение.160

П.3.2 Источники неоднородностей.162

П.3.3 Перемежаемость.164

П.3.4 Флуктуации при атмосферном давлении.165

Приложение 4. Алгоритм поиска контактных пар в отсортированном списке элементов.173

Приложение 5. Акты внедрения результатов исследований.174

П 5.1 Акт о внедрении результатов в ИСОИ РАН.174

П 5.2 Акт о внедрении результатов в СГАУ №1.175

П 5.1 Акт о внедрении результатов в СГАУ №2.176

Перечень условных обозначений и сокращений

А - отношение длины к ширине элемента Ь — линейный размер промежутка N - количество V- объем р— отношение суммы объемов элементов к объему промежутка

6тах — максимальный разрешенный угол отклонения от оси

II [а;Ь] - функция непрерывного равномерного распределения на отрезке

Введение

Актуальность темы

Существует большой класс математических объектов, которые могут находиться в двух состояниях — объекты с бинарными характеристиками. Среди них есть объекты со сложной внутренней структурой, в которых смена состояний достигается за счет взаимодействия большого количества элементов. К таким объектам относятся неупорядоченные ансамбли, в которых имеются связи между соседними элементами. В рамках данной работы рассматриваются ансамбли геометрических ограниченных трехмерных элементов, которые расположены в ограниченном трехмерном промежутке. Условно назовем состояния всего объекта активным и неактивным. При достижении определенной концентрации активных элементов составной объект изменяет состояние на активное за счет того, что образуется непрерывный путь, проходящий через активные элементы, соединяющий противоположные грани промежутка. Минимальная концентрация активных элементов, при которой возникает путь, называется пороговой, а состояние объекта - пороговым. Для исследования таких объектов используется теория перколяции, целью которой является математическое описание структур, возникающих вблизи порогового состояния и непосредственно в пороговом состоянии объекта.

Эта теория представляет большой интерес как с математической, так и прикладных точек зрения. Теория перколяции оказалась удобной для описания эффектов, возникающих в широком классе явлений. В физике эта теория используется для исследования явлений переноса. Элементам математической модели соответствуют проводящие, горящие, активные и т.д. области физической среды. Теория позволяет предсказывать возможность или невозможность протекания сквозь пористые среды, горения аэрозолей, фазовых переходов и многих других явлений, а также предсказывать свойства областей переноса.

Дополнение базовой модели определенными параметрами и условиями позволяет использовать для описания специфических явлений. Примером служит модель перколяционных эффектов лавинно-стримерного перехода, моделирование которого затрагивает данная диссертация.

Исторически теория перколяции восходит к работам P.J. Flory и W.H. Stockmayer. Математическая теория перколяции развивалась J. Hammersley, S. Kirkpatrick, Б.И. Шкловским, A.JI. Эфросом, S. Havlin, G.E. Pike и многими другими. Вопросами применения направленной перколяции занимались Н. Hinrichsen, Д.И. Иудин, В.Ю. Трахтенгерц. Модель перколяционных эффектов начальной стадии искрового пробоя газов, которая включает множественное развитие структурных элементов, была предложена Х.Д. Ламажаповым.

Некоторые задачи теории перколяции были решены аналитически. Однако сложность аналитических решений заставляет исследователей прибегать к численным методам. А добавление специфических параметров в модель, приводит к тому, что получение результатов не обходится без интенсивных вычислений.

Наиболее исследованными являются решеточные модели объектов с бинарными характеристиками. Подробно исследованы двумерные решетки такими авторами как M.F. Sykes, J.W. Essam и другими. В таких моделях проводящие элементы расположены в строго определенных местах решетки: узлах, ребрах или гранях. Эта математическая модель применима к физическим процессам, в которых элементы имеют простое поведение и расположены, например, в кристаллических решетках.

Однако существует ряд физических процессов, в которых проводящие элементы могут располагаться в произвольной точке промежутка и иметь более сложные характеристики. Для моделирования таких сред в трехмерном случае удобно использовать не решетчатые модели, а модели, содержащие ансамбль однотипных элементов. При этом каждый элемент наделяется тремя и более степенями свободы. Актуальность данной работы обусловлена необходимостью исследовать зависимости свойств объекта с бинарными характеристиками от 8 характеристик составляющих его элементов. А так как далеко не все параметры отдельного элемента влияют на свойства всего объекта с бинарными характеристиками, то важным является поиск наиболее сильных зависимостей.

В рамках данной работы рассмотрены два вида задач. Обе основаны на использовании элементов, чья форма представлена вытянутыми параллелепипедами с семью геометрическими параметрами. Три параметра задают положение в пространстве, два параметра задают ориентацию, один параметр -длину, и один параметр - длину ребра квадратного основания.

Первый вид задач направлен на исследование свойств контактных кластеров, составленных из случайно разбросанных параллелепипедов в конечном трехмерном промежутке. Результаты, полученные при решении данного вида задач, позволяют предсказывать свойства процессов переноса в физических объектах.

Во втором случае геометрические параметры зависели от времени, и добавлялись параметры, определяющие электростатическое взаимодействие. Таким образом, достигалось сходство свойств элементов модели со структурными элементами газового разряда. Второй вид задач направлен на изучение динамики формирования проводящей структуры в низкотемпературной плазме, возникающей в начальной стадии искрового пробоя. Полученные результаты позволяют объяснять особенности этого явления.

Работа выполнялась при финансовой поддержке гранта ГК П939 "Исследование процессов перестройки пограничного слоя газа при возбуждении разряда на поверхности с развитым микро- и макрорельефом".

Целью работы является изучение численными методами свойств контактных кластеров, возникающих в объектах с бинарными характеристиками.

Методы исследования, используемые в диссертации, основаны на положениях таких областей, как вычислительная математика, имитационное моделирование, теория перколяции, фракталов, графов, газового разряда.

Задачи диссертационной работы:

1) Анализ существующих моделей объектов с бинарными характеристиками и обоснование актуальности разработки новой модели.

2) Разработка модели объекта с бинарными характеристиками на основе ансамбля параллелепипедов.

3) Разработка алгоритмов, структур данных и программного комплекса для исследования математических свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов.

4) Исследование с помощью программного комплекса математических свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов.

5) Исследование свойств математической модели объекта с бинарными характеристиками в динамической постановке, для которой используются дополнительные параметры, такие, что поведение элементов модели похоже на поведение структурных элементов искрового пробоя.

Научная новизна:

1) Построена математическая модель объекта с бинарными характеристиками на основе ансамбля параллелепипедов.

2) Разработан метод для определения типа пересечения куба и кластера на основе линейных неравенств, который используется в алгоритме для определения фрактальной размерности поверхности кластера, в промежуточной асимптотике.

3) Получена зависимость порогового значения рс от максимального разрешенного угла отклонения от оси ъ игаах для ансамбля вытянутых параллелепипедов, где рс = М> IV, N - количество элементов в ансамбле, у - объем одного элемента, V — объем промежутка.

4) Показано, что дипольное взаимодействие элементов ускоряет образование перколяционного кластера в динамической модели.

5) Получена зависимость продольного размера от времени для самого большого кластера в динамической модели. Теоретическая и практическая ценность работы:

1) Разработана модель объекта с бинарными характеристиками, а также алгоритмы, структуры данных и программный комплекс для исследования свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов; модель позволяет использовать такие характеристики как угловое распределение, вытянутость элементов; программный комплекс позволяет производить поиск пороговой концентрации проводящей фазы, находить контактные кластеры, вычислять фрактальные размерности кластеров, оценивать динамику переноса внутри кластера, вычислять длину путей внутри кластера, моделировать динамику роста кластеров с учетом дипольного взаимодействия элементов.

2) Данные, полученные при исследовании статического ансамбля параллелепипедов, используются для оценки свойств кластеров, возникающих в объектах с бинарными характеристиками.

3) Данные, полученные при исследовании свойств математической модели перколяционных эффектов начальной стадии искрового пробоя газов, используются для объяснения особенностей начальной стадии искрового пробоя.

Положения, выносимые на защиту:

1) Математическая модель объекта с бинарными характеристиками на основе ансамбля параллелепипедов.

2) Метод определения типа пересечения куба и кластера на основе линейных неравенств.

3) Программный комплекс для исследования математических свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов.

4) Зависимость порогового значения рс от максимального разрешенного угла отклонения элементов от оси z 9max, где рс = Nv / V, N — количество элементов в ансамбле, v - объем одного элемента, V - объем промежутка.

5) Зависимость скорости формирования наибольшего кластера от времени для случаев, когда присутствует и когда отсутствует дипольное взаимодействие элементов.

Апробация работы

Результаты обсуждались на конференциях «Fourth international conference on the frontiers of Plasma physics and technology», Kathmandu 2009, Nepal; на 35й Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС в 2008, г. Звенигород; на 37й Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС в 2010 году, г. Звенигород; на международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ-2010)», г. Самара, 2010 г.

Внедрение результатов работы

Результаты исследований внедрены в ИСОИ РАН и СГАУ, что подтверждается актами о внедрении.

Публикации

Всего 12 публикаций, которые включают 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 7 публикаций в трудах конференций, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Полный список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из перечня условных обозначений и сокращений, введения, трех глав, заключения, списка литературы. Работа изложена на 152 страницах, включая 69 рисунков и 9 таблиц. Пять приложений размещены на 24 страницах. Библиография включает 124 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рыбаков, Дмитрий Александрович

3.5 Выводы

1. Чтобы исследовать динамику формирования перколяционного кластера из структурных элементов искрового пробоя, использовались упрощения, которые позволили произвести расчет за приемлемое время.

2. Свойства лавин соответствовали упрощенной макроскопической модели; их форма моделировалась с помощью параллелепипеда, чьи характеристики изменялись во времени; слияние лавин происходило мгновенно и т.п.

3. Выявлено, что на скорость формирования проводящего кластера существенное влияние оказывает дипольное взаимодействие элементов.

4. Вариация начальной плотности затравочных электронов в пределах от 400

3 3 см" до 2000 см" качественно не влияет на динамику формирования кластера. Фаза наиболее интенсивного роста приходится на момент, когда притяжение между элементами ускоряет слияние.

5. Длина наибольшего кластера хорошо описывается следующей зависимостью

Заключение

1) Анализ существующих моделей объектов с бинарными характеристиками показывает, что распространенные модели в основном являются решеточными, в которых элементы расположены в строго определенных местах решетки. Такие модели подходят для описания физических сред, в которых структурные элементы расположены в строго определенных местах промежутка. Однако для повышения адекватности моделей элементы модели могут располагаться в произвольной форме промежутка и иметь более сложные характеристики, такие как вытянутость и ориентацию в пространстве.

2) Разработана модель объекта с бинарными характеристиками, которая использует массив параллелепипедов. Данная форма элементов позволяет использовать линейные уравнения и неравенства в расчетах. Характеристики отдельного параллелепипеда задаются вещественными числами. Модель позволяет исследовать влияние пространственной ориентации и вытянутости элементов на свойства объекта с бинарными характеристиками.

3) Построен программный комплекс, который позволяет исследовать ансамбль до 2-Ю6 параллелепипедов на компьютере под управлением Microsoft Windows ХР, объемом памяти 2 Gb и процессором Intel с тактовой частотой 3 GHz. Он включает возможности моделирования начальной стадии искрового пробоя газов.

4) В результате вычислений получены зависимости, характеризующие объект с бинарными характеристиками и возникающие в нем кластеры.

5) В результате исследований математической модели перколяционных эффектов начальной стадии искрового пробоя выяснилось, что динамика продольного размера самого длинного кластера на качественном уровне согласуется с физической картиной искрового пробоя газов. Выявлено, что дипольное взаимодействие элементов ускоряет формирование перколяционного кластера.

6) Результаты исследований в виде математической модели объекта с бинарными характеристиками на основе ансамбля параллелепипедов, алгоритмов, структуры данных и программного комплекса для исследования свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов внедрены в ИСОИ РАН, использовались при выполнении гранта ГК П939 "Исследование процессов перестройки пограничного слоя газа при возбуждении разряда на поверхности с развитым микро- и макрорельефом" в СГАУ, а также - на кафедре информационных систем и технологий при подготовке специалистов по специальности 230102 - «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Рыбаков, Дмитрий Александрович, 2011 год

1. Абрамов А.К, Казанский Ю.А., Матусевич Е.С. Основы экспериментальных методов ядерной физики М. 1977 - 528 с. - 5700 экз.

2. Александров А.Ф., Бычков В.Я., Грачев Л.П., Исаков И.И., Ломтева А.Ю. Ионизация воздуха в околокритическом электрическом поле. // ЖТФ — 2006 том 76, выпуск 3, С. 38-43.

3. Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Искровой разряд, М.1997, 320 с. 1000 экз. -ISBN 5-89155-013-Х.

4. Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии и молниезащиты М.2001 - 320 с. - 1000 экз. - ISBN 5-9221-0082-3.

5. Дацюк О.В. Изучение тлеющего газового разряда методами математического моделирования. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, специальность 05.13.18 Ростов 2006 - 168 с.

6. Вирт Н. Алгоритмы+структуры данных=программы М., 1977 - 410 с. -50000 экз.

7. Ермаков В.И., Стожков Ю.И. Механизм образования электричества грозовых облаков. Препринт ФИАН 2002 - № 25. С. 2-38.

8. Елецкий A.B., Смирнов Б.М. Диссоциативная рекомбинация электрона и молекулярного иона // УФН 1982 - том 136, вып 1. С. 25-59.

9. Залиханов Б.Ж. Плазменный механизм разряда в проволочных камерах в режиме большого газового усиления. Физика элементарных частиц и атомного ядра, том 29, вып. 5 1998 - С. 1194-1258.

10. Залиханов Б.Ж. Высокоскоростные проволочные камеры нового поколения и особенности развития в них газового разряда. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук 01.04.01, Дубна 2006 — 196 с.

11. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // УФН- 1987 том 152, вып 1. С. 3-32.

12. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика. УФН 1985 - том 146, вып 3. С. 493-506.

13. Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю. Динамическая перколяция // Нелинейные волны, сборник статей института прикладной физики РАН — 2005 С. 217242, - 544 с. - 400 экз. - ISBN 5-8048-0048-5.

14. Иудин Д.И., Григорьев А.Н., Трахтенгерц В.Ю. О фрактальной динамике активных сред // Нелинейные волны сборник статей института прикладной физики РАН 2003 - С. 287-302, - 448 с. - 400 экз. - ISBN 5-8048-0036-1.

15. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах — М., 2006 488 с. - 3000 экз. - ISBN 5-94836-068-7.

16. Курейчик В.М. Математическое обеспечение конструкторского и технологического проектирования с применением САПР, М. 1990 - 352 с.- 12000 экз.-ISBN5-256-00698-3.

17. Капцов H.A. Электрические явления в газах и вакууме — М., 1950 — 808 с. -10000 экз.

18. Ландау JIД., Лифшнц Е.М. Теоретическая физика. Том V — М. 1976 584 с.- 45000 экз.

19. Ламажапов Х.Д. Некоторые закономерности образования катодных пятен в самостоятельном и несамостоятельном тлеющих разрядах и влияние случайного распределения эмиссионных свойств катода. // Препринт ФИАН -1991-N.149. С. 35.

20. Ламажапов X.Д., Алчагиров Б.Б., Яковлев В.М. Фрактальные размерности распределения работы выхода и эмиссионных свойств катода. //Письма в ЖТФ 2006 - том 32, вып. 11. С. 56-60.

21. Ламажапов Х.Д. Перколяционная модель пробоя газов // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия Физ.-мат. науки 2007 - выпуск 1(14). С. 108-113.

22. Ламажапов Х.Д., Рыбаков Д.А. Перколяционная модель лавинно-стримерного пробоя // Прикладная физика, 2008 - № 6. С. 83-88.

23. Ламажапов Х.Д., Рыбаков Д.А. Влияние неоднородностей на продвижение стримеров. Вестник Новосибирского государственного университета, серия: физика 2009 - том 5, выпуск 1, С. 29-36.

24. Ламажапов Х.Д., Рыбаков Д.А. Перколяционная модель лавинно-стримерного пробоя // Тезисы докладов XXXV Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. г. Звенигород -2008- С. 210.

25. Ламажапов Х.Д, Рыбаков Д.А. Перколяционный критерий пробоя // Тезисы докладов XXXVII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. г. Звенигород 2010 - С. 209.

26. Ламажапов Х.Д, Прохоров С.А, Рыбаков Д.А. Свойства трехмерных кластеров, составленных из параллелепипедов // Вестник Новосибирского144государственного университета. Серия: Физика 2009 - том 4 , номер 3. С. 67-73.

27. Лозанский Э.Д., Фирсов О.Б. Теория искры М.: Атомиздат 1975 - 272 с. -2500 экз.

28. Лозанский Э.Д. Развитие электронных лавин и стримеров. // УФН 1975 -том 117. вып.З.С. 493-521.

29. Маршак КС. Электрический пробой газа при давлениях, близких к атмосферному. УФН 1960 - том LXXI, вып 4. С.631-675.

30. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы М., 2002 — 656 с. - 2000 экз. - ISBN 5-93972-108-7.

31. Методы нормирования метрологических характеристик, оценки и контроля характеристик погрешностей средств статистических измерений. РТМ 25 139-74 // Минприбор. 1974. - 76 с.

32. Москалев П.В. Анализ структуры перколяционного кластера. // Журнал технической физики 2009 - том 79, вып.6. С. 1-7.

33. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации : топология выборки-М. 2005 848 с. -2000 экз -ISBN 5-98699-015-3.

34. Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов Самара 2001 - 329 с.- 1000 экз.-ISBN 9965-01-958-4.

35. Райзер Ю.И Физика газового разряда М. 1992 - 536 с. - 1026 экз. - ISBN 5-02014615-3.

36. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы М., 2002 -122 с. -960 экз. - ISBN 5-354-00233-8.

37. Ульянов КН. Параметры электронных лавин и убегание электронов в сильных электрических полях // Теплофизика высоких температур 2008 -том 46, № 4. С. 486-494.

38. Чалмерс Дж.А. Атмосферное электричество, пер. с англ., JI: Гидрометеоиздат 1974-421 с.

39. Черняев А.П. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом — М. 2004 -152 с. ISBN 5-9221-0432-2.

40. Шкловский Б.И., Эфрос A.JI. Электронные свойства легированных полупроводников М., 1979 - с. 416 - 4500 экз.

41. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядкам., Наука, 1982, с. 260.

42. Яковленко С.И. Механизм распространения стримера от анода к катоду, обусловленный размножением электронов фона // ЖТФ 2004 - том 74, вып. 9. С. 47-54.

43. Adalev A.S., Hayakawa М., Korovkin N.V., ludin D.I., Trakhtengerts V.Yn. Simulation of surface discharge dynamics by means of cellular automata. // Journal of Applied Physics April 2007 - Volume 101, Issue 8, 15. P. 209-215.

44. Aints M., Haljaste A., Roots L. Photoionizing radiation of positive corona in moist air // HAKONE VIII: Int. Symp. High Pressure Low Temperature Plasma Chemistry, Tartu, Estonia 2002 - P. 282 - 285.

45. Aliverdiev A.A., Efendiev A.Z., Efendiev K.A. Formation of an electron beam-induced spark discharge at minimal voltages // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics September 1987 - Volume 28, Number 5. P. 650-653.

46. Allen K.R., Phillips K. Cloud Chamber Study of Electron Avalanche Growth // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 1962 - Volume 274, Issue 1357, P. 163-186.

47. Anikin N. Pancheshnyi S., Starikovskaia S., Starikovskii A. Breakdown development at high overvoltage: electric field, electronic level excitation and electron density. J.Phys.D: Appl.Phys. 1998 - P.826-833.

48. Arrayas M., Ebert U., Hundsdorfer W. Spontaneous Branching of Anode-Directed Streamers between Planar Electrodes // Physical Review Letters April 2002 - Volume 88, Number 17, 174502.

49. Avis D., Bremner D., Seidel R. How good are convex hull algorithms? // Computational Geometry: Theory and Applications 1997 - Volume 7, Issues 5,6 -P. 265-301.

50. Babaeva N.Yu., Naidis G.V. Two-dimensional modeling of positive streamer dynamics in non-uniform electric fields in air // J.Phys.D:Appl.Phys. — 1996 — 29. P.2423-2431.

51. Bak P., Tang Ck, Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Physical review -Jul. 1988 vol. 38, number 1, P. 364-374.

52. Balberg I., Anderson C.H., Alexander S. Wagner N. Excluded volume and its relation to the onset of percolation // Phys. Rev. B, vol.30, 1984, P. 3933-3943.

53. Broadbent S.K., Hammersley J.M. Percolation processes I. Crystal and mazes. // Proc. Camb. Phil. Soc. 1957 vol. 53, P. 629-641.

54. Ebert U., Saarloos W. Propagation and structure of planar streamer fronts // Physical Review E. 1997 - Volume 55, Number 2, February P. 1530-1549.

55. Erie I., Motoc C., Rusu M. Fractal models for 2d and 3d electric discharge // Proceeding of The First South-East European Symposium on Interdisciplinary Approaches in Fractal Analysis, Bucharest, Romania- 2003 P. 46-53.

56. Ericson, Christer Real-time collision detection, Morgan Kauftnann series in interactive 3D technology, Elsevier, Amsterdam 2005 - P. 329-338, ISBN 9781558607323

57. Essam J. W., Sykes M. F. Critical Percolation Probabilities by Series Methods. Physical Review 1964 - V. 133, P. 310-315.

58. Flory P.J. //Am. Chem. Soc- 1941 vol. 53, P. 3083, 3091, 3906.

59. Fofana L, Beroual A. A predictive model of the positive discharge in long air gaps under pure and oscillating impulse shapes // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997 -vol. 30. P. 1653-1667.

60. Frohlich A. Formation of Sparks by Several Electron Avalanches //Nature 1967 -vol. 215,P. 1362- 1363.

61. Garboczi E.J., Snyder K.A., Douglas J.F. Geometrical percolation threshold of overlapping ellipsoids // Physical review E. 1995 - Volume 52, Number 1. P. 819-828.

62. Georghiou G.E., Papadakis A.P., Morrow R., Metaxas A. C. Numerical modeling of atmospheric pressure gas discharges leading to plasma production // J.Phys.D:Appl.Phys. 2005 - vol. 38. P. 303-328

63. Gibson W.C. The Method of Moments in Electromagnetics. Chapman & Hall/CRC 2008 - P. 183-184.

64. Gilbert E.G., Johnson D.W., Keerthi S.S. A fast procedure for computing the distance between complex objectsin three-dimensional space // IEEE Journal of Robotics and Automation 1988-Volume: 4, Issue 2. P. 193-203.

65. Gulya A., SzedenikN. 3D simulation of the lightning path using a mixed physical-probabilistic model The open source lightning model // Journal of Electrostatics -2009-Volume 67, Issues 2-3. P. 518-523.

66. Hager W.W. A Discrete Model for the Lightning Discharge // Journal of Computational Physics 1998 - Volume 144 , Issue 1, P. 137-150.

67. Hinrichsen H. Non-equilibrium critical phenomena and phase transitions into absorbing states // Advances in Physics 2000 - Volume 49, Issue 7, P. 815-958.

68. Lawrence E.O., Dunninton F.G. On the early stages of electric sparks,// Physical review 1930 - Volume 35, p. 396-409.

69. Li J., Nekka F. The Hausdorff measure functions: A new way to characterize fractal sets. Pattern recognition letters 2003 - vol. 24, P. 2723-2730.

70. Loeb L.B. The Problem of the Mechanism of Spark Discharge // Rev. Mod. Phys. 1936 - Volume 8, Issue 3, P. 267-293.

71. Loeb L.B., Meek J.M. The mechanism of spark discharge in air at atmospheric pressure. I // J. Appl. Phys. -1940 vol. 11. P. 438-447.

72. Loeb L.B., Meek J.M. The mechanism of spark discharge in air at atmospheric pressure. II // J. Appl. Phys. 1940 - vol. 11. P. 459-474.

73. Meek J.M. A theory of spark discharge // Physical review 1940 - Volume 57. P. 722-728.

74. Meek J.M. A theoretical determination of breakdown voltage for sphere-gaps. // Journal of the Franklin Institute 1940 - Volume 230, Issue 2, P. 229-242.

75. Meek J.M. The electric spark in air // J. ZEE. 1942 - vol. 89, Part I, p. 335351.

76. Meester R., Roy R. Continuum percolation. Cambridge University Press 1996 — 246 p. - ISBN 0-521-47504-X.

77. Naidis G.V. On photoionization produced by discharges in air. Plasma Sources Sci.Technol. 2006 - vol. 15. P. 253-255.

78. Naidis G.V. Effects of nonlocality on the dynamics of streamers in positive corona discharge // Tech. Phys. Lett. 1997 - vol. 23. P. 493-494.

79. Newman M. Short time lag of spark breakdown I I Physical review 1937 — volume 52, P. 652-654.

80. Nijdam S., Geurts C.G.C., E.M. van Veldhuizen, Ebert U. Reconnection and merging of positive streamers in air // J. Phys. D: Appl. Phys. 2009 - 42, 045201, 9 pages.

81. Nurujjaman Md., Sekar Iyengar A. N., Realization of SOC behavior in a de glow discharge plasma // Physics Letters A 2007 - vol. 360. P. 717-721.

82. Pancheshnyi S., Starikovskaia S., Starikovskii A. Role of photoionization processes in propagation of cathode-directed streamer //J.Phys.D.: Appl.Phys. -2001-vol. 34. P. 105-115.

83. Vecchi G., Labate D., Canavero F. Fractal approach to lighting radiation on a tortous channel // Radio Science 1994 - Volume 29, Number 4. P. 691-704.

84. Pancheshnyi S., Segur P., Capeillere J., Bourdon A. Numerical simulation of filamentary discharges with parallel adaptive mesh refinement // Journal of Computational Physics 2008 - vol.227. P.6574-6590.

85. IudinD.I., Trakhtengerts V.Y., Hayakawa M. Fractal dynamics of electric discharges in a thundercloud // Phys. Rev. E 2003- vol. 68. 016601.

86. Lamazhapov Kh.D. Rybakov D.A. Percolation model of avalanche-streamer breakdown // Fourth international conference on the frontiers of Plasma physics and technology, Nepal 2009 - P. 104.

87. Pancheshnyi S. V., Starikovskii A.Yn. Comments on 'The role of photoionization in positive streamer dynamics // J. Phys. D: Appl. Phys. 2001 - vol. 34. p. 248250.

88. Pancheshnyi S. V. Experimental study, direct numerical simulation and application of ionization waves. Habilitation ä diriger des recherches, University Paul Sabatier, France 2007 - P. 230.

89. Pike G.E., Seager C.H. Percolation and conductivity: a computer study, I // Physical Review 1974 - Volume BIO, P. 1421.

90. Raether H. Über eine gasionisierende Strahlung einer Funkenentladung. // Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 1938 - Volume 110, Numbers 910. P. 611-624.

91. Rintoul M.D. Precise determination of the void percolation threshold for two distributions of overlapping spheres // Phys. Rev. E 2000 - vol. 62. P. 68-72.

92. Saar M.O., Manga M. Continuum percolation for randomly oriented soft-core prisms // Phys. Rev. E -2002 vol. 65, 056131.

93. Sahimi M. Applications of percolation theory. London : Taylor & Francis 1992 -P. 258- ISBN 0-7484-0075-3.

94. Staujfer D. Scaling theory of percolation clusters. Physics Reports (Review Section of Physics Letters) 1979 - vol. 54, N.l. P. 1-74.

95. Stockmayer W.H. Theory of molecular size distribution and gel formation in branched polymers // J. Chem. Phys. 1943 - vol. 11, P. 45-55.

96. Teich T.H. Emission gasionisierender Strahlung aus Elektronenlawinen I //Zeitschift fuer Physik 1967 - Bd. 199. h. 4. p. 378-394.

97. Teich T.H. Emission gasionisierender Strahlung aus Elektronenlawinen II //Zeitschift flier Physik 1967 - Bd. 199, h. 4, p. 395-410.

98. Varney R.N., Loeb L.B. Photoionization in Gases. Physical review 1935 -volume 48, November 15, P. 822-824.

99. Woo A. Fast ray-box intersection // Graphics gems, Academic Press Professional Inc. San Diego, CA, US A 1990- p. 395-396.

100. Yi Y. B. Void Percolation and Conduction of Overlapping Ellipsoids // Physical Review E 2006 - vol. 74, art. 031112, P. 1 -6.