Геометрическое моделирование параметрических кривых функционально-воксельным методом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сычева Анастасия Антоновна

• Сычева Анастасия Антоновна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Сычева Анастасия Антоновна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СУЩЕСТВУЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Основные принципы функционально-воксельного моделирования. Понятие области локальных функций

1.2. Основы Я-функционального моделирования. Нулевой контур

1.3. Способы представления кривых на основе непараметрических функций

1.4. Способы представления кривых с применением параметрических функций

1.5. Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ КРИВОЙ БЕЗЬЕ

2.1. Определение непараметрического вида функции кривой Безье

2.2. Я-функциональное моделирование области локальных функций уравнением прямой по двум точкам на кривой Безье

2.3. Принципы построения функции локального обнуления

2.3.1. Построение предикатной функции локального обнуления

2.3.2. Построение одномерной метрической функции локального обнуления

2.4. Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ИТЕРАЦИОННОГО Я-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИВЫХ

3.1. Принципы конструирования Я-функциональных операций на основе функционально-воксельной модели

3.2. Итерационный алгоритм построения сложной предикатной функции на основе принципа композиции

3.3. Моделирование отрицательной области нулевого контура на основе функции локального обнуления

3.4. Построение сложных предикатных функций на основе функционально-воксельных моделей кривых Безье

3.5. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ФУНКЦИИ ЛОКАЛЬНОГО ОБНУЛЕНИЯ

4.1. Применение Функции Локального Обнуления в задачах движения мобильных роботов

4.2. Функционально-воксельное моделирование траектории движения фрезы при вытачивании карманных областей

4.3. Функция локального обнуления в трехмерном пространстве

4.4. Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А Приложение Б

127

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическое моделирование параметрических кривых функционально-воксельным методом»

ВВЕДЕНИЕ

Внедрение информационных технологий во все сферы существования общества требует компьютерного представления моделей для различных явлений и реальных объектов. При этом с возрастанием вычислительных мощностей и требований к точности генерируемых объектов закономерно встает вопрос о разработке новых и совершенствованию уже имеющихся компьютерных моделей. Особое место в системах автоматизации занимает геометрическое моделирование. При этом, аналитическое моделирование является самым точным способом представления геометрической информации, так как обеспечивает максимальную вычислительную точность скалярных величин и полноту представления дифференциальных характеристик геометрического объекта в каждой точке заданного пространства. Здесь речь идет как о представлении функции в виде зависимости между аргументами (непараметрическое представление), так и в виде зависимостей аргументов от параметра (параметрическое представление).

Исследованиями средств аналитического моделирования занимались и занимаются многие отечественные ученые, среди которых: Рвачев В. Л., Шейко Т. И., Максименко-Шейко К. В., Слесаренко А. П., Катасонов А.В., Вяткин С.И., Найдыш В. М., Балюба И. Г. и многие другие, однако применение распространенных средств аналитического моделирования в автоматизации прикладных задачах затрудняется сложностью математического описания геометрических объектов, а значит особым требованием к математической подготовке пользователя.

В качестве альтернативного средства аналитического моделирования возможно рассмотреть метод функционально-воксельного моделирования (ФВМ) [70, 75], активно продвигаемый Толоком А.В. и основанный на применении графической информации, что делает его перспективным способом решения задач геометрического моделирования [8] применительно к компьютерной геометрии. Также исследованиями в области компьютерной

геометрии занимались многие зарубежные ученые, среди которых Ягел Р., Пасько А. А., Brian A. Barsky, Farin G., Schumaker L. L., N. Stolte и другие, но в отличии от приведенных исследований метод функционально-воксельного моделирования является одним из путей компьютерной реализации локальной геометрии.

Метод функционально-воксельного моделирования, хорошо зарекомендовал себя в ряде исследуемых прикладных направлений, среди которых: компьютерное моделирование R-функциями аналитической геометрии, решение функциональных уравнений в математическом моделировании, расчёт физических характеристик в инженерных задачах, прокладка градиентного спуска с учётом препятствий к намеченной цели в задачах оптимизации и многие другие [25, 35-37, 47, 50-53, 55, 66-75, 48, 84, 102-104]. При этом аналитическая функция, описывающая геометрический объект представляется набором графических М-образов, хранящих в себе данные для формирования области локальных функций [70]. Каждая локальная функция в точке моделирует линейную аналитическую функцию, поведение которой соответствует закону исходной аналитической функции, что позволяет использовать её в дальнейших расчётах. Такой подход к компьютерному представлению геометрической информации позволяет решать различные задачи компьютерного моделирования на уровне применения локальных функций в каждой точке рассматриваемой области. Более того, подобное представление функции позволяет применять к функционально-воксельным моделям R-функциональные операции, что значительно расширяет возможности моделирования многомерных геометрических объектов сложной формы.

Однако построение функционально-воксельных моделей возможно только для непараметрических функций неявного вида. Параметрические функции, в том числе параметрические функции кривых линий и поверхностей, применяются в решении широкого круга задач [3, 4, 7, 16, 2023, 29, 30, 59, 62, 80] и получили широкую популярность для построения

гладких границ геометрического объекта в современных системах автоматизированного проектирования. Параметрическими функциями занимаются Панчук К. Л., Косников Ю. Н., Конопацкий Е. В. и многие другие, но проведенные исследования не позволяют реализовать функционально-воксельное моделирование параметрических функций, что значительно сужает возможности применения функционально-воксельного метода в задачах автоматизированного проектирования. Таким образом, возникает необходимость разработки геометрических инструментов представления параметрической функции функционально-воксельной моделью.

Цель работы - разработка геометрических инструментов функционально-воксельного моделирования области локальных функций для параметрически заданной кривой.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих

задач:

1. Разработать принцип компьютерного конструирования R-функциональных операций на основе функционально-воксельной алгебры.

2. Разработать итерационную модель построения функционально -воксельных образов сложной предикатной функции на основе принципа её последовательной композиции.

3. Разработать алгоритм генерации функций локального обнуления, моделирующий заданную параметрическую кривую как нуль-границу геометрического объекта.

4. Разработать принцип моделирования траектории движения режущего инструмента для механической обработки карманов сложной формы на основе полученных функционально-воксельных моделей.

Объектом исследования является функционально-воксельный метод моделирования области локальных функций для параметрической кривой.

Предметом исследования являются принципы построения области локальных функций для параметрических кривых.

Методы исследования.

Диссертационная работа базируется на методах: функционально -воксельного моделирования (ФВМ), R-функционального моделирования (ЯБЫ), методах преобразования математических моделей, теоретических основах аналитической и дифференциальной геометрии.

Научная новизна результатов исследования состоит в том, что:

1. Разработан принцип компьютерного конструирования R-функциональных операций на основе функционально-воксельной алгебры, позволяющий эффективнее применять теоретико-множественные операции к функционально-воксельным моделям. Принцип отличается последовательным применением арифметических операций функционально-воксельного метода в реализации R-функциональной операции. Данный принцип ускоряет расчет по причине отказа от переаппроксимации результирующей области функции.

2. Разработана итерационная модель построения функционально-воксельных образов сложной предикатной функции на основе принципа её последовательной композиции, что позволяет значительно ускорить процесс получения решения, не прибегая к рекурсивному вычислению, в отличии от Я-функционального подхода.

3. На базе полученной итерационной модели разработан алгоритм генерации функций локального обнуления, обеспечивающих локальное обнуление сегментов, составляющих параметрически заданную кривую как нуль-границу геометрического объекта, а также требуемый знак на рассматриваемой области значений. Алгоритм отличается тем, что позволяет получать компьютерное представление области сложного контура геометрического объекта, применимое в R-функциональном моделировании, простым перебором составных элементов.

4. Разработан принцип моделирования траектории движения режущего инструмента для механической обработки карманов сложной формы, отличающийся применением локальных геометрических характеристик функционально-воксельной модели. Принцип позволяет автоматически заполнять внутреннее пространство замкнутого контура от экстремальной точки карманной поверхности по спирали к заданной границе.

Соответствие паспорту специальности 2.5.1. «Инженерная геометрия и компьютерная графика. Цифровая поддержка жизненного цикла изделия»:

Пункт 2. Теория и практика непрерывного и дискретного геометрического моделирования. Конструирование кривых линий, поверхностей и тел по заданным требованиям.

Пункт 6. Геометрические основы процессов проектирования, конструирования и технологии производства с применением компьютерных технологий.

Практическая значимость и внедрение.

Разработанные геометрические принципы функционально-воксельного моделирования параметрических кривых прошли апробацию на предприятии АО НПО им. С. А. Лавочкина (приложение А), также реализованы и внедрены в программную платформу функционально-воксельного моделирования при лаборатории компьютерной графики ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН. На основе разработанных принципов предложена четырехмерная модель области возможного столкновения роботов в алгоритме ОЯСА (грант МНШ-2021-2022/18 ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН). Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ (приложение Б).

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечивается корректным применением математического аппарата компьютерной геометрии, функционально-воксельного и Я-функционального методов. Корректность разработанного алгоритма

определяется построением нуль-границы функции, совпадающей с расчетной функцией параметрического вида.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Принцип конструирования R-функциональных операций на основе функционально-воксельной алгебры.

2. Итерационная модель построения функционально-воксельных образов сложной предикатной функции на основе принципа её последовательной композиции.

3. Алгоритм генерации локальных функций на заданной прямоугольной области для построения областей локальных функций параметрических кривых.

4. Алгоритм определения отрицательной области модели функции, построенной посредством локального обнуления сегментов параметрически заданной кривой.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции «Современные направления и перспективы развития технологий обработки и оборудования в машиностроении 2020» (г. Севастополь, 2020 г.), 30-й юбилейной международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2020» (г. Санкт Петербург, 2020 г.), 17-й Всероссийской школе-конференция молодых ученых «Управление большими системами» (Москва, 2021 г.), 31-й Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2021» (г. Нижний Новгород, 2021 г.), 9-й международной конференции «Физико-техническая информатика — СРТ2021» (Пущино, 2021 г.), 18-й Всероссийской школе-конференция молодых ученых «Управление большими системами» (Челябинск, 2022 г.), 32-й Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2022» (г. Рязань, 2022 г.).

Личный вклад.

Постановка задач исследования и формулирование основных теоретических принципов [102 - 104], а также адаптация принципов функционально-воксельного метода для решения некоторых задач [48, 65, 66, 68, 74, 77, 100, 103] осуществлялись совместно с основным разработчиком функционально-воксельного метода - научным руководителем. Организация проведения экспериментальных расчетов, обработка, визуализация и анализ полученных результатов, а также разработка выносимых на защиту функционально-воксельного принципа конструирования R-функциональных операций, итерационной модели построения функционально-воксельных образов и алгоритма генерации локальных функций на заданной прямоугольной области [67, 77, 103] выполнялись автором лично. При непосредственном участии автора разработанные геометрические принципы функционально-воксельного моделирования параметрических кривых внедрены в программную платформу функционально-воксельного моделирования при лаборатории компьютерной графики ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН.

Публикации. Основные результаты исследований изложены в 12 научных трудах, 4 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК (из которых 1 по научной специальности 2.5.1 и 1 проиндексирована в RSCI), 4 в изданиях, проиндексированных базой данных Scopus, 3 в сборниках научных трудов и конференций, 1 - свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы: диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 129 страниц, включая 96 рисунков и 2 приложения. Список литературы включает 105 наименований, в том числе 23 на иностранных языках.

ГЛАВА 1. СУЩЕСТВУЮЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Метод функционально-воксельного моделирования (ФВ-моделирование) основан на компьютерном представлении области непараметрической функции явного вида дискретной областью локальных функций [70] - линейных аналогов исходной функции в отдельно взятой точке. Такое компьютерное представление позволяет приводить функцию любой сложности к единому линейному виду в каждой точке области и строить её локальное геометрическое описание для любой размерности. Полученная ФВ-модель применима в компьютерном геометрическом моделировании, например, в Я-функциональном конструировании. Однако, для приведения к предикатному виду параметрически заданную плоскую кривую линию вида

х = Хф У = у^У

где и У(£) - непрерывные функции, а параметр t £ [0; 1], потребуется описать областью двумерной непараметрической функции z = f(x,у). Исследования показали, что такая задача для решения общего случая не является тривиальной.

1.1. Основные принципы функционально-воксельного моделирования. Понятие области локальных функций Метод функционально-воксельного моделирования является методом графического (воксельного) представления области функции, описанной локальными геометрическими характеристиками [70, 75]. Функционально-воксельная модель аналитической п —мерной функции характеризуется набором графических образов-моделей (М-образов), соразмерных области задания исходной функции, количество которых равно п + 2, т.е. для функции

z = f(x,y) требуется построить четыре двумерных образа, для функции и = f(x,y, z) соответственно пять трехмерных образов и т.д.

Рассмотрим пример неявно заданной функции, описывающей своими нулевыми значениями на двухмерной области множество равноудаленных от начала координат точек, т.е. окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом r:

г2 — х2 — у2 = 0.

Для рассмотрения помимо нулевых значений функции положительных

и отрицательных значений достаточно записать:

222 z = г2 — х2 — у2.

Таким образом в трехмерном пространстве будет задаваться параболоид вращения, сечение которого нулевой плоскостью представляет собой раннее рассмотренную окружность с радиусом г, имеющую область положительных значений функции внутри окружности и область отрицательных значений функции вне ее.

Полученная область значений позволяет применить ФВ-моделирование для создания её компьютерного представления в виде области локальных геометрических характеристик в виде четырёх М-образов, позволяющих описать локальную функцию общего вида для каждой точки. Понять принципы метода наиболее наглядно возможно на примере.

Для примера рассмотрим следующую функцию двух аргументов: sin(nx)

z = ---у cos(x2)(y + х2 + 16ху + у2) , (111)

J\y\ + io к ' ' J

заданную на области: Xmin = —1,Ymin = —1,Хтах = 1,Ymax = 1.

Для построения ее функционально-воксельной модели в виде 4 графических М-образов с разрешением V(v± Xv2) необходимо разбить область определения аргументов функции на vt строк и v2 столбцов, задав таким образом множество двумерных точек (Xij,Yij), где i Е [1;Pi], j Е [1;v2], которое затем необходимо разбить на треугольники с вершинами

(Х^; У^у), У^), (Х^; У^+^у. По выражению (1.1.2) для каждой точки

треугольника определяется значение третьей координаты:

^ = — ^ С05(Хи2)(¥и + 4)2 + 16Х'Л]' + ^ (1.1.2)

Через каждый из полученных треугольников проводится плоскость Ах + Ву + Сг + Б = 0. На примере треугольника с вершинами (Х—, У—, 2— ), (Х2, У2,22), (Х3, У3,23) для определения коэффициентов А, В, С, Б уравнения плоскости используем определитель (1.1.3) [19]: х у г 1

= (У±(22 — 2з) — У2(2-1 — 2з) + Уз(2г — Х^х —

X— У— 2— 1 У2 Я2 1 Уз %з 1

— (Х—(22 — 2з) — Х2(2— — 2з) + Хз(2— — Ъ^у + (ХМ — Уз) —

(1.1.3)

Х2(У— — Уз) + Хз(У1 — У2))г — (Х—^гз — У322) — Х2(У—2з — Уз2—) + +Хз(У—22 — ВД) = 0.

В результате нормирования полученных коэффициентов А, В, С при аргументах х,у и г и свободного члена Б получаем локальные геометрические характеристики п1,п2,п3, п4 функции (1.1.1) в текущей точке ее области:

А

Щ = ,

VА2+В2 + С2 + Б2 В

2 ^ А2 +В2 + С2 + В2, С

щ = / =,

В

щ = =.

Графические образы в рамках функционально-воксельного метода являются контейнером для хранения локальных геометрических характеристик моделируемой функции. Нормированные значения щ, п2, п3, п4 изменяются на отрезке [—1; 1], т.к. по сути являются косинусами угла отклонения вектора нормали в точке области функции от координатных

осей. Значение цвета М^ для локальной геометрической характеристики щ в цветовой палитре Р рассчитывается как:

Р(1 + щ) М; = 0 Л = 1,2,3,4.

1 2

Каждое значение цвета для текущей точки области записывается в соответствующий графический образ М^.

Монохромная палитра (255 цветов) и цветная ЯОВ-палитра (16 777 216 цветов) для ФВ-модели данной функции представлены на рисунке 1.1.1. Цветная ЯОВ-модель предоставляет большую точность целочисленного представления записи в М-образы значений вычисленных величин.

2

М1

М

М

М

6

12 7 7 7 6

Р

Рис. 1.1.1. ФВ-модель моделируемой функции в монохромном и

цветном вариантах Полученные базовые М-образы, составляющие функционально-воксельную модель, являются информативными для компьютера, но не столь наглядными для человеческого глаза. Каждая точка базового М-образа содержит в себе цветовое представление значений компонент 4-х мерного вектора нормали для плоской окрестности этой точки. Образы в цветной палитре сложно воспринимаемы, монохромные же могут быть информативны для человека с соответствующей подготовкой и опытом работы с функционально-воксельным моделированием. Особый информационный интерес при работе с ФВ-моделью вызывают М-образы, отображающие компоненты проекции 2-х мерного вектора нормали, например, в плоскости

ХОУ. Организованная двумя монохромными образами компонент М-и М2 с подкрашенной синим отрицательной областью модель представлена на рисунке 1.1.2.

III

М'1

М1> „2

Рис. 1.1.2. Образы проекции компонент 2-х мерной нормали на

плоскость ХОУ

Данные М-образы дают возможность более наглядно представить форму моделируемой функции, а также расположение положительной (внутренней) и отрицательной (внешней) области моделируемой функции. В данной работе в основном именно эта пара образов либо один наиболее наглядный из них используются для иллюстрации результатов проводимых экспериментов.

Базовые М-образы полностью описывают характеристики области локальных функций моделируемого выражения. При этом значение локальной функции z и локальные геометрические характеристики п1, п2, пз, п4 связаны выражением:

щ п2 п4

2 = — X--У---.

Щ Щ Пз

(1.1.4)

Выражение (1.1.4) является локальной функцией, иначе говоря это функция (1.1.1), представленная локальными геометрическими характеристиками. Выражение (1.1.4) является линейным, т.е. вычисление ъ значительно упрощается по сравнению с исходным выражением (1.1.1).

После построения ФВ-модели функции для решения различных задач нет необходимости возвращаться к вычислениям исходной функции. Все необходимые расчёты и преобразования возможно осуществить с заранее вычисленными и доступными в любой момент времени в каждой точке

области функции локальными геометрическими характеристиками с применением локальной функции. Так, например, существует возможность создания дополнительных, т.е. порождаемых М-образов на основе базовых. Порождаемые М-образы содержат в себе вычисленные на основе локальных геометрических характеристик значения, которые могут быть полезны при решении различных задач, например, в организации алгоритма градиентного спуска [36].

1.2. Основы Я-функционального моделирования. Нулевой контур

Я-функции, или функции Рвачева, названные в память отцу Владимира Логвиновича Рвачева, являются математическим аппаратом теоретико-множественных операций [10] над областями значений функции, нашедшим свое применение во многих областях [1, 32 - 34, 39 -Ошибка! Источник ссылки не найден., 56, 58, 96, 97]. При этом функция задается на некоторой функциональной области посредством нулевой границы между ее внутренней (положительной) и внешней (отрицательной) областью значений [57, 58].

Так, функция окружности описывающая все точки, удаленные на определенное расстояние Я от центра окружности, расположенного в начале координат, в неявном виде задаётся как:

г2-х2-у2 = 0. (1.2.1)

Определяя область её значений, получим:

ш = г2-х2-у2. (1.2.2)

Основное отличие явного выражения функции окружности (1.2.2) от неявного вида (1.2.1), заключается в том, что данное выражение описывает значение функции для каждой точки на заданной области (рис. 1.2.1).

нуль-граница

Рис. 1.2.1. Иллюстрация областей функции окружности

Применяемые на области значений двух функций R-функциональные теоретико-множественные операции (пересечение, объединение и инверсия) содержатся в полной а системе:

ш Ааш2 = + ш2 — ^22 + — 2аш1ш2)

Уа ш2 = (щ +м2+ + — 2аш1ш2) С1.2.3)

щ = —w1

где w1 и w2 - исходные функции, определяющие область геометрических объектов; а - коэффициент, изменяющийся на промежутке (—1; 1], не меняющий нулевых границ, но влияющий на поведение значений функции на рассматриваемой области. Так, при значении а = 1 выражения пересечения и объединения, сводятся к линейному расчету:

г 1( . /—т—:—т—^-^ wл+w2-|wл-w2|

= -[w1 + w2 — Jw12 + у^22 — 2ам1ум2 ) =-

2, ,_( ± 2 , (1.2.4)

1( . . I-п—I-п-^-\ Ш1+Ш2 + Ш1-Ш21 к '

w1 У1ж2=- (+ w2 + ^w12 + У^22 — 2aw1w2) =---

В случае а = 0 сохраняется квадратичный закон выражения операций:

>1 Ао 12 +^22 2

V0 = + + 12 + ш22

Рассмотрим Я-функциональное моделирование на примере областей функций двух окружностей w1 и w2, определенных на области Хт1П = —1,Ут1п = —1,Хтах = 1,утах = 1 (рис. 1.2.2), задаваемых как:

Wl = 0.4 — (х — 0.3)2 — (у — 0.3)2, (1.2.6)

w2 = 0.1 — (х + 0.2)2 — (у + 0.3)2. (1.2.7)

W1

рис. 1.2.2. Визуализация внутренних областей функций окружностей

Первое уравнение системы (1.2.3) описывает операцию Нефункционального пересечения областей функций. Операция пересечения сохраняет накладываемые друг на друга положительные участки областей. В случае наложения отрицательных зон областей или отрицательной зоны области на положительную зону (вне зависимости от порядка) знак результирующей зоны области будет отрицательным (рис. 1.2.3 а).

Второе уравнение системы (1.2.3) описывает операцию Нефункционального объединения областей функций. Операция объединения соединяет в единую область все положительные зоны области искомых функций вне зависимости от того, накладываются ли они друг на друга или на отрицательные зоны области. В случае наложения отрицательных зон друг на друга знак результирующей зоны области будет отрицательным (рис. 1.2.3 б).

Третье уравнение системы (1.2.3) описывает операцию инверсии знака. Это унарная операция, меняющая местами внешнюю и внутреннюю зоны на области задания исходной функции (рис. 1.2.3 в).

а) Л w2 б) V w2 в)

Рис. 1.2.3. Примеры применения Я-функций

Посредством последовательного применения представленных операций возможно построение областей, содержащих сложные геометрические объекты. Уже рассмотренные окружности (1.2.6) и (1.2.7) можно скомбинировать с какой-либо другой функцией, например, функцией параболы (рис. 1.2.4):

Шз = у - х2. (1.2.8)

Рис. 1.2.4. Визуализация внутренней области функции параболы

На рисунке 1.2.5. Представлены примеры результирующих областей при трех различных вариантах применения Я-функциональных операций к областям функций (1.2.6), (1.2.7) и (1.2.8).

V! №3) V1 V! V! (Ж! V1 Лг №3) Лх Лх

Рис. 1.2.5. Примеры результирующих областей предикатных функций

Как видно, посредством описанных операций и минимального количества достаточно простых функций уже можно построить различные области сложной предикатной функции. Применение составных предикатных выражений целесообразно для различных задач. Так, например, в работе [52] предикатная функция применяется для описания сложного контура детали (рис. 1.2.6 а), а в работе [37] сложность моделируемых Я-функционально форм представлена на примере контура, изображающего ракету (рис. 1.2.6 б).

а) б)

Рис. 1.2.6. Примеры сложных Я-функционально моделируемых контуров

Я-функциональное моделирование применимо и в трехмерном случае для решения задач пространственного проектирования. В работе [32] Я-функции применяются для построения аналитической модели автомобиля (рис. 1.2.7 а), а в работе [1] для построения моделей различных

машиностроительных деталей. Одним из известных примеров, демонстрирующих возможности Я-функционального моделирования трехмерных объектов сложной формы является модель пешки В.Л. Рвачёва [70] (рис. 1.2.7 б).

а) б)

Рис. 1.2.7. Примеры сложных Я-функционально моделируемых трехмерных

поверхностей

1.3. Способы представления кривых на основе непараметрических функций

Непараметрическое представление кривой может являться как явной, так и неявной функцией. Неявное представление кривой функцией вида f(x,У) = 0 не ограничено однозначным отношением друг другу координат х и у, что позволяет моделировать замкнутые и многозначные кривые [63], например конические сечения. Однако подобное выражение кривой, в отличии от выражения в явном виде у = f(x), не позволяет напрямую определить значения координат в точке кривой, что затрудняет их применение в проектировании и визуализации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сычева Анастасия Антоновна, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аналитическая идентификация машиностроительных деталей с помощью R-функций / Ю. С. Литвинова, К. В. Максименко-Шейко, Т. И. Шейко, А. В. Толок // Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2016. - № 1(161). - С. 38-44.

2. Антонов, В. А. Сплайновое бинарно-модельное определение зон горизонтальной деформации земной поверхности блочного горного массива по данным GPS навигации / В. А. Антонов // Проблемы недропользования. - 2021. - № 2(29). - С. 85-93. - DOI: 10.25635/23131586.2021.02.085.

3. Антонова, И. В. Математическое описание вращения точки вокруг эллиптической оси в некоторых частных случаях / И. В. Антонова, И. А. Беглов, Е. В. Соломонова // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 3. -С. 36-50. - DOI: 10. 12737/article_5dce66dd9fb966.59423840.

4. Антонова, И. В. Математическое описание частного случая квазивращения фокуса эллипса вокруг эллиптической оси / И. В. Антонова, Е. В. Соломонова, Н. С. Кадыкова // Геометрия и графика. -2021. - Т. 9. - № 1. - С. 39-45. - DOI: 10.12737/2308-4898-2021-9-1-3945.

5. Батурин, О. В. Профилирование рабочих колес радиально-осевых турбин с помощью кривых Безье / О. В. Батурин // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). - 2011. -№ 3-3(27). - С. 125-130.

6. Безик, О. В. Генерация узоров кровеносных сосудов человека для создания базы данных искусственных биометрических образов / О. В. Безик, М. А. Басараб // Безопасные информационные технологии (бит-2016) : Сборник трудов Седьмой Всероссийской научно-технической конференции, Москва, 16-17 ноября 2016 года / Под редакцией В.А.

Матвеева. - Москва: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана" (Научно-учебный комплекс "Информатика и системы управления" МГТУ им.Н.Э.Баумана), 2016. - С. 48-51..

7. Блинова, И. В. Кривые, заданные параметрически и в полярных координатах / И. В. Блинова, И. Ю. Попов. - Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики. - 2017. - 56 с.

8. Бондарев, А. Е. Анализ развития концепций и методов визуального представления данных в задачах вычислительной физики / А. Е. Бондарев, В. А. Галактионов, В. М. Чечеткин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, №2 4. - С. 669-683.

9. Борисенко, В. В. Построение оптимального сплайна Безье / В. В. Борисенко // Фундаментальная и прикладная математика. - 2016. - Т. 21. - № 3. - С. 57-72.

10. Бурбаки, Н. Теория множеств / Н. Бурбаки. - М.: Издательство "Мир", 1963. - 455 с.

11. Бутырский, Е. Ю. Кусочно-линейная аппроксимация в задаче фильтрации и обнаружения сигналов / Е. Ю. Бутырский // Национальная безопасность и стратегическое планирование. - 2021. - №2 1(33). - С. 3443. - 001: 10.37468/2307-1400-2021-1-34-43.

12. Визуальная диагностика физических величин на основе метода функционально-воксельного моделирования / А. В. Толок, М. А. Локтев, Н. Б. Толок [и др.] // Научная визуализация. - 2020. - Т. 12, № 3. - С. 5160. - Б01 10.26583/БУ.12.3.05.

13. Вишневский, В. В. Итерационный алгоритм построения кривой Безье по заданным точкам / В. В. Вишневский, И. К. Рысцов, М. В. Волжева // Математические машины и системы. - 2004. - № 4. - С. 108-116.

14. Воксельно-математическое моделирование при решении задач определения площади для поверхностей деталей / А. В. Толок, Д. А. Силантьев, Е. А. Лоторевич, С. А. Пушкарев // Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2013. - № 3(151). - С. 29-33.

15. Выгодчикова, И. Ю. Метод сплайн-аппроксимации экономических процессов с неустойчивым трендом / И. Ю. Выгодчикова, В. Н. Гусятников, Е. Ю. Высочанская // Вестник Саратовского государственного социально-экономического университета. - 2017. - № 4(68). - С. 110-115.

16. Гирш, А. Г. Операция пересечения на комплексной плоскости / А. Г. Гирш // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 1. - С. 20-28. - DOI: 10.12737/2308-4898-2021-9-1-20-28.

17. Голованов, Н. Н. Геометрическое моделирование / Н. Н. Голованов. -М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2002. - 472 с

18. Делоне, Б. Н. Аналитическая геометрия том 1 / Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. - Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы. - 1948. - 457 с.

19. Делоне, Б. Н. Аналитическая геометрия том 2 / Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. - Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы. - 1949. - 518 с.

20. Е, В. Т. Универсальный способ построения рецепторных геометрических моделей объектов сложных технических форм / В. Т. Е // 18-я Международная конференция "Авиация и космонавтика - 2019" : Тезисы, Москва, 18-22 ноября 2019 года / Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). - Москва: Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). - 2019. - С. 187.

21. Задорожный, А. Г. Построение сплайнов с использованием библиотеки OpenGL : учебное пособие / А. Г. Задорожный, Д. С. Киселев. -Новосибирск : Новосибирский государственный технический университет, 2019. - 88 с. - ISBN 978-5-7782-4069-8.

22. Зиатдинов, Р. Кривые высокого качества и их применение в геометрическом моделировании и эстетическом дизайне / Р. Зиатдинов, Т. М. Кенджиро // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM - 2012) : Труды 12-й Международной конференции, Москва, 16-18 октября 2012 года / Под редакцией Е. И. Артамонова. - Москва: ООО "Аналитик". - 2012. - С. 145-147.

23. Иващенко, А. В. Общий анализ формы линии пересечения двух однотипных поверхностей второго порядка / А. В. Иващенко, Д. А. Ваванов // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 4. - С. 24-34. - DOI: 10.12737/2308-4898-2021-8-4-24-34.

24. Ильясов, Р. Х. Сплайн-моделирование и анализ скорости потоков экспорта / Р. Х. Ильясов // Индустрия 5.0, цифровая экономика и интеллектуальные экосистемы (ЭКОПРОМ-2021) : Сборник трудов IV Всероссийской (Национальной) научно-практической конференции и XIX сетевой конференции с международным участием, Санкт-Петербург, 18-20 ноября 2021 года. - Санкт-Петербург: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС. - 2021. - С. 658-663. - DOI: 10.18720/IEP/2021.3/190.

25. Интерактивная система создания и компоновки функционально -воксельных моделей для решения задачи поиска пути градиентным методом / С. В. Додонов, М. А. Локтев, П. А. Петухов, А. В. Толок // Вестник МГТУ "Станкин". - 2016. - № 3(38). - С. 66-69.

26. Кайбичев, И. А. Аппроксимация обстановки с гибелью людей при пожарах в Российской Федерации сплайнами / И. А. Кайбичев //

Пожарная и аварийная безопасность : сборник материалов XVI Международной научно-практической конференции, посвященной проведению в Российской Федерации Года науки и технологий в 2021 году и 55-летию учебного заведения, Иваново, 10-11 ноября 2021 года. - Иваново: ФГБОУ ВО «Ивановская пожарно-спасательная академия Государственной противопожарной службы Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий». - 2021. - С. 78-82.

27. Карпов, Д. А. Динамическое программирование как метод сплайн-аппроксимации в САПР линейных сооружений / Д. А. Карпов, В. И. Струченков // Российский технологический журнал. - 2019. - Т. 7. - № 3(29). - С. 77-88. - БОГ 10.32362/2500-316Х-2019-7-3-77-88.

28. Конопацкий, Е. В. Геометрическое моделирование многофакторных процессов на основе точечного исчисления : специальность 05.01.01 "Инженерная геометрия и компьютерная графика" : диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук / Конопацкий Евгений Викторович. - Нижний Новгород, 2020. - 307 с.

29. Короткий, В. А. Аппроксимация физического сплайна с большими прогибами / В. А. Короткий, И. Г. Витовтов // Геометрия и графика. -2021. - Т. 9. - № 1. - С. 3-19. - БО1: 10.12737/2308-4898-2021-9-1-3-19.

30. Короткий, В. А. Кубические кривые в инженерной геометрии / В. А. Короткий // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 3. - С. 3-24. - БО1: 10.12737/2308-4898-2020-3-24.

31. Кузьмичев, Н. Д. Математическое моделирование конфигурации экранирующего сверхтока в Толстом диске сверхпроводника 2-го рода в рамках модели бина с помощью кривых Безье / Н. Д. Кузьмичев, И. В. Бурьянов // Материалы XXIII научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Национального исследовательского Мордовского государственного университета им.

Н.П. - Саранск: Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва, 2019. - С. 374-378.

32. Лисин, Д. А. Математическое моделирование поверхностей автомобилей с помощью R-функций / Д. А. Лисин, К. В. Максименко-Шейко, Т. И. Шейко // Проблемы машиностроения. - 2013. - Т. 16. - № 3. - С. 51-60.

33. Лисняк А. А. Применение R-функций для геометрического моделирования объектов сложной формы / А. А. Лисняк, С. И. Гоменюк // Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшия. - № 2. - 2009. - С. 76-81

34. Литвинова, Ю. С. Математическое и компьютерное моделирование строительных конструкций на основе R-функций / Ю. С. Литвинова, К.

B. Максименко-Шейко, Т. И. Шейко // Проблемы машиностроения. -2014. - Т. 17. - № 3. - С. 45-52.

35. Локтев, М. А. Особенности применения функционально-воксельного моделирования в задачах поиска пути с препятствиями / М. А. Локтев // Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2016. - № 1(161). - С. 45-49.

36. Локтев, М. А. Функциональный принцип обхода препятствий с применением метода функционально воксельного моделирования / М. А. Локтев, А. В. Толок // Вестник МГТУ "Станкин". - 2016. - № 1(36). -

C. 75-80.

37. Лоторевич, Е. А. Геометрические преобразования пространства функционально-воксельной модели : специальность 05.01.01 "Инженерная геометрия и компьютерная графика" : диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Лоторевич Евгений Андреевич. - Нижний Новгород, 2016. - 109 с.

38. Лоторевич, Е. А. Принципы пространственной визуальной компоновки аналитических моделей, отображенных в воксельном графическом

пространстве / Е. А. Лоторевич // Технология машиностроения. - 2013.

- № 11. - С. 59-63.

39. Максименко-Шейко, К. В. R-функции в аналитическом проектировании с применением системы "РАНОК" / К. В. Максименко-Шейко, А. В. Толок, Т. И. Шейко // Вестник МГТУ "Станкин". - 2010. - № 4(12). - С. 139-151.

40. Максименко-Шейко, К. В. R-функции и аналитическое описание геометрических объектов, обладающих симметрией / К. В. Максименко-Шейко, А. В. Толок, Т. И. Шейко // Информационные технологии. -2009. - № 7. - С. 57-62.

41. Максименко-Шейко, К. В. Метод R-функций в математическом моделировании теплообмена при движении жидкости по цилиндрическим каналам с центральными винтовыми вставками / К. В. Максименко-Шейко // Проблемы машиностроения. - 2010. - Т. 13. - № 4. - С. 58-67.

42. Максименко-Шейко, К. В. R-функции в математическом моделировании геометрических объектов и физических полей / К. В. Максименко-Шейко // Харьков : ИПМаш НАН Украины. - 2009. - 306 с.

43. Максименко-Шейко, К. В. R-функции как аппарат в приложениях фрактальной геометрии / К. В.Максименко-Шейко, А. В.Толок, Т. И Шейко // Прикладная информатика. - 2010. - № 6(30). - С. 21-27.

44. Максименко-Шейко, К. В. Сопряженная задача конвективного теплообмена в топливной кассете ТВЭЛов /К. В. Максименко-Шейко, Т. И. Шейко, А. В. Толок // Информационные технологии. - 2013. - № 11.

- С. 32-36.

45. Математическое и компьютерное моделирование аэрокосмических объектов для реализации технологии 3D-печати / Т. И. Шейко, К. В. Максименко-Шейко, А. И. Морозова, А. В. Толок // Информационные

технологии в проектировании и производстве. - 2019. - № 2(174). - С. 16-20.

46. Митин, К. В. Моделирование потока заряженных частиц в процессе газоочистки применительно к электрофильтру ЭГАВ 1-40-9-6-4 / К. В. Митин, И. В. Дорогавцев // Инновационный дискурс развития современной науки : Сборник статей IV Международной научно-практической конференции, Петрозаводск, 29 марта 2021 года. -Петрозаводск: Международный центр научного партнерства «Новая Наука», 2021. - С. 41-48.

47. Михайленко, А. В. Формообразующие поверхности w-уровня R-функционального моделирования (RFM) в организации технологии обработки деталей сложной формы / А. В. Михайленко, А. В. Толок // Вестник МГТУ Станкин. - 2015. - № 2(33). - С. 73-77.

48. Моделирование алгоритмов управления группами мобильных роботов средствами функционально-воксельного метода / А. В. Толок, М. А. Локтев, А. А. Сычева [и др.] // Станкоинструмент. - 2020. - № 4(21). -С. 76-81. - DOI: 10.22184/2499-9407.2020.21.04.76.81.

49. Никулин, Е. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики / Е. Никулин. - Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2010. - 576 с. - ISBN 5-94157-264-6.

50. Петухов, П. А. Исследование метода функционально-воксельного моделирования на основе средств потенциальных полей к задачам поиска пути / П. А. Петухов, А. В. Толок // Сборник трудов XIII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ-2019, Москва, 17-20 июня 2019 года. - Москва: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. - 2019. - С. 3173-3178. - DOI: 10.25728/vspu.2019.3173.

51. Плаксин, А. М. Геометрическое моделирование тепловых характеристик объектов функционально-воксельным методом / А. М.

Плаксин, С. А. Пушкарев // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8. - № 1. -С. 25-32. - БО1: 10.12737/2308-4898-2020-25-32.

52. Плаксин, А. М. Геометрическое моделирование локальных тепловых характеристик при технологической обработке объектов : специальность 05.01.01 "Инженерная геометрия и компьютерная графика" : диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Плаксин Александр Михайлович. - Нижний Новгород, 2021. - 125 с.

53. Плаксин, А. М. Функционально-воксельная модель в задачах интеллектуализации систем автоматизированного проектирования / А. М. Плаксин, А. В. Толок // Вестник МГТУ Станкин. - 2017. - № 2(41). -С. 75-78.

54. Покорная, И. Ю. Пример построения сплайна как решения дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами / И. Ю. Покорная, П. С. Корнева, А. В. Лосева // Приоритетные направления инновационной деятельности в промышленности : Сборник научных статей XI международной научной конференции, Казань, 29-30 ноября 2021 года. - Казань: Общество с ограниченной ответственностью "КОНВЕРТ". - 2021. - С. 188-190.

55. Пушкарев, С. А. Геометрическое моделирование локальных характеристик механического напряжения : специальность 05.01.01 "Инженерная геометрия и компьютерная графика" : диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Пушкарев Сергей Алексеевич. - Нижний Новгород, 2021. - 108 с.

56. Рвачев, В. Л. R-функции в задачах теории пластин / В. Л. Рвачев, Л. В. Курпа. - Киев: Наукова думка, 1987. - 176 с.

57. Рвачев, В. Л. Геометрические приложения алгебра логики / В. Л. Рвачев. - Киев: Техника, 1967. - 212 с.

58. Рвачев, В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. - Киев: Наукова думка, 1982. - 552с.

59. Рязанов, С. А. Аналитические зависимости кинематического формообразования начальных поверхностей элементов червячной передачи / С. А. Рязанов, М. К. Решетников // Геометрия и графика. -2019. - Т. 7. - № 2. - С. 65-75. - Б01: 10.12737/article_5d2c2dda42fda7.79858292.

60. Семерич, Ю. С. Применение г-функций для автоматизированного проектирования геометрических объектов с перфорацией / Ю. С. Семерич, Л. В. Тельнова // Новые информационные технологии и системы : сборник научных статей XIV Международной научно -технической конференции, посвященной 70-летию кафедры «Вычислительная техника» и 30-летию кафедры «Системы автоматизированного проектирования», Пенза, 22-24 ноября 2017 года. - Пенза: Пензенский государственный университет. - 2017. - С. 290-294.

61. Семикина, Н. А. Сплайны в эконометрике: сплайн третьего порядка / Н. А. Семикина // СХХХ1 международные научные чтения (памяти Е. М. Чехарина): сборник статей Международной научно-практической конференции, Москва, 18 декабря 2021 года. - Москва: Общество с ограниченной ответственностью "Издательство "Научная артель". -2021. - С. 71-76.

62. Скурту, И. Т. Параметрическое представление магнитных характеристик в задачах моделирования / И. Т. Скурту // Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-технических наук. - 2012. - № 4. - С. 111-118.

63. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: учебник для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов и технических высших учебных заведений / В. И. Смирнов. - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2008. - С. 812.

64. Струченков, В. И. Использование параболических сплайнов в САПР линейных сооружений / В. И. Струченков // Российский технологический журнал. - 2018. - Т. 6. - № 1(21). - С. 40-52.

65. Сычева, А. А. Компьютерное моделирование функции сферы методом функционально-воксельного моделирования / А. А. Сычева, А. В. Толок // Управление большими системами: труды XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых, Челябинск, 05-08 сентября 2022 года / Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2022. - С. 375-383.

66. Сычева, А. А. Функционально-воксельное моделирование областей столкновения роботов / А. А. Сычева, А.В. Толок // Управление большими системами: сборник трудов. - 2022. - №2 98. - С. 60-78. - DOI: 10.25728/ubs.2022.98.4.

67. Сычева, А. А. Функционально-воксельное моделирование кривых Безье / А. А. Сычева // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 4. - С. 63-72. -DOI: 10.12737/2308-4898-2022-9-4-63-72.

68. Сычева, А. А. Функционально-воксельное моделирование траектории движения инструмента при фрезеровании карманной области / А. А. Сычева, А. М. Плаксин // Труды Международной конференции по компьютерной графике и зрению "Графикон". - 2022. - № 32. - С. 892898. - DOI: 10.20948/graphicon-2022-892-898.

69. Толок, А. В. Графические образы-модели в информационных технологиях / А. В. Толок // Прикладная информатика. - 2009. - №4. -с. 31-40.

70. Толок, А.В. Локальная компьютерная геометрия : учебное пособие / Толок А. В - Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2022 - 147 c - ISBN 978-5-44971630-9 - Текст : электронный // IPR SMART: [сайт] - URL: https://www.iprbookshop.ru/120286.html. Режим доступа: для авторизир. пользователей. - DOI: https://doi.org/10.23682/120286.

71. Толок, А. В. Метод функциональной вокселизации полигональных объектов на основе математического аппарата R-функций / А. В. Толок, М. А. Локтев // Прикладная информатика. - 2016. - Т. 11. - № 1(61). - С. 127-134.

72. Толок, А. В. Основы аналитического проектирования на функционально-воксельных моделях / А. В. Толок, Н. Б. Толок // Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2016. - № 4(164). - С. 15-23.

73. Толок, А. В. Способ моделирования функциональной области для кривых, построенных на основе линейной комбинации базисных многочленов Бернштейна / А. В. Толок, Н. Б. Толок, М. А. Локтев // Программирование. - 2019. - № 1. - С. 52-58. - DOI: 10.1134/S0132347419010060.

74. Толок, А. В. Функционально-воксельное моделирование областей столкновения роботов / А. В. Толок, А. А. Сычева // Управление большими системами: труды XVII Всероссийской школы-конференции молодых ученых, Москва-Звенигород, 06-09 сентября 2021 года. -Москва: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2021. - С. 361-374. - DOI: 10.25728/ubs.2021.035.

75. Толок, А. В. Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании / А. В. Толок. - Москва : ООО Издательская фирма "Физико-математическая литература", 2016. - 112 с. - ISBN 978-5-92211680-0.

76. Трофимук, А. А. Применение кривых Безье при автоматизированном расчете неизображающих оптических систем / А. А. Трофимук // Оптический журнал. - 2013. - Т. 80. - № 4. - С. 75-79.

77. Функционально-воксельное моделирование кривой Безье / М. А. Локтев, А. И. Разумовский, А. А. Сычева, П. М. Харланова // Перспективы науки. - 2020. - № 11(134). - С. 196-198.

78. Черняков, В. С. Использование кривых Безье для построения регулятора траектории ракеты-носителя сверхмалых космических аппаратов / В. С. Черняков // Решетневские чтения. - 2017. - Т. 1. - С. 282-283.

79. Шутова, К. Ю. Моделирование опасных зон и препятствий на основе метода «избегания хищника» при стайном движении автономных агентов / К. Ю. Шутова // Труды 17-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых «Управление большими системами» (УБС'2021, Москва) - М.: ИПУ РАН - 2021 - С. 375-386.

80. Юрков, В. Ю. Аппроксимация множеств прямых на плоскости / В. Ю. Юрков // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7. - № 3. - С. 60-69. - DOI: 10.12737/article_5dce6cf7ae 1 d70.85408915.

81. Balaji, P. G. An Introduction to Multi-Agent Systems / P. G. Balaji, D. Srinivasan // Studies in Computational Intelligence. - Vol. 310. - DOI: 10.1007/978-3-642-14435-6_1.

82. Chapra, S. C. Numerical methods for engineers: 5th Edition / S. C. Chapra, R. P. Canale. - New York: McGraw-Hill. - 2006. - 926 p.

83. Chudy, J. Emulating Centralized Control in Multi-Agent Pathfinding Using Decentralized Swarm of Reflex-Based Robots / J. Chudy, N. Popov, P. Surynek // International Conference on Systems, Man, and Cybernetics (SMC). - 2020. - pp. 3998-4005. - DOI: 10.1109/SMC42975.2020.9283368.

84. Construction of linear structure of a skeleton for the closed path of complex geometry on the basis of the method of functional voxel modeling / A. B. Tolok, M. A. Loktev, N. B. Tolok [et al.] // Scientific Visualization. - 2019.

- Vol. 11, No. 1. - P. 1-10. - DOI 10.26583/sv.11.1.01.

85. Distributed MPC for formation of multi-agent systems with collision avoidance and obstacle avoidance / L. Dai, C. Qun, X. Yuanqing, G. Yulong, // Journal of the Franklin Institute. - Vol. 354. - I. 4. - 2017. - pp. 2068-2085.

- ISSN 0016-0032. - https: //doi.org/ 10.1016/j.j franklin.2016.12.021.

86. Farin, G.E. The Essentials of CAGD / G. E. Farin, D. Hansford. - CRC Press.

- 2000. - 248 p. - DOI: 10.1201/9781439864111.

87. Filippidis, I. Decentralized multi-agent control from local LTL specifications /I. Filippidis, D. V. Dimarogonas, K. J. Kyriakopoulos // 51st IEEE Conference on Decision and Control. - 2012. - pp. 6235-6240. - DOI: 10.1109/CDC.2012.6426027.

88. Formation control and collision avoidance for multi-agent systems based on position estimation / Yuanqing Xia, Xitai Na, Zhongqi Sun, Jing Chen // ISA Transactions. - Vol. 61. - 2016. - pp. 287-296. - ISSN: 0019-0578. - DOI: https://doi.org/10.1016/jisatra.2015.12.01.

89. Gupta, J. K. Cooperative multi-agent control using deep reinforcement learning / J. K. Gupta, M. Egorov, M. Kochenderfer // Autonomous Agents and Multiagent Systems. AAMAS 2017. Lecture Notes in Computer Science.

- Vol. 10642. - DOI: 10.1007/978-3-319-71682-4_5.

90. Haptic Guidance in Dynamic Environments Using Optimal Reciprocal Collision Avoidance / T. Lisini Baldi, S. Scheggi, M. Aggravi and D. Prattichizzo // IEEE Robotics and Automation Letters. - Vol. 3. - No. 1. - pp. 265-272. - DOI: 10.1109/LRA.2017.2738328.

91. Li, X. Aperture Illumination Designs for Microwave Wireless Power Transmission with Constraints on Edge Tapers Using Bezier Curves / X. Li, K. M. Luk, B. Duan // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. -2019. - Vol. 67. - No 2. - P. 1380-1385. - DOI: 10.1109/TAP.2018.2884850.

92. Luna, R. Efficient and complete centralized multi-robot path planning / R. Luna, K. E. Bekris // International Conference on Intelligent Robots and Systems. - 2011. - pp. 3268-3275. - DOI: 10.1109/IROS.2011.6095085.

93. Multi-agent robotic systems in collaborative robotics / S. Vorotnikov, K. Ermishin, A. Nazarova, A. Yuschenko // Lecture Notes in Computer Science.

- 2018. - Vol. 11097 LNAI. - P. 270-279. - DOI 10.1007/978-3-319-995823 28.

94. Multi-obstacle path planning and optimization for mobile robot / X. Deng, R. Li, L. Zhao [et al.] // Expert Systems with Applications. - 2021. - Vol. 183.

- P. 115445. - DOI: 10.1016/j.eswa.2021.115445.

95. Reciprocal collision avoidance for multiple car-like robots / J. Alonso-Mora, A. Breitenmoser, P. Beardsley and R. Siegwart // International Conference on Robotics and Automation - 2012 - pp. 360-366 - DOI: 10.1109/ICRA.2012.6225166.

96. R-функции в компьютерном моделировании дизайна 3D-n0BepxH0cra автомобиля / Д. А. Лисин, К. В. Максименко-Шейко, А. В. Толок, Т. И. Шейко // Прикладная информатика. - 2011. - № 6(36). - С. 78-85.

97. R-функции и обратная задача аналитической геометрии в трехмерном пространстве / К. В. Максименко-Шейко, А. М. Мацевитый, А. В. Таток, Т. И. Шейко // Информационные технологии. - 2007. - № 10. - С. 23-32.

98. Samadi, E. Decentralized multi-agent based energy management of microgrid using reinforcement learning / E. Samadi, A. Badri, R. Ebrahimpour // International Journal of Electrical Power & Energy Systems.

- Volume 122. - 2020. - ISSN: 0142-0615. - DOI: 10.1016/j.ijepes.2020.106211.

99. Sayed, A. S. Centralized Multi-agent Mobile Robots SLAM and Navigation for COVID-19 Field Hospitals / A. S. Sayed, H. H. Ammar, R. Shalaby // 2020 2nd Novel Intelligent and Leading Emerging Sciences Conference (NILES). - 2020. - pp. 444-449. - DOI: 10.1109/NILES50944.2020.9257919.

100. Shutova, K. Using a Functional Voxel Model to Simulate Swarm Motion of a Multi-agent System in a Confined Space / K. Shutova, A. Sycheva // Technologies for Smart Cities. - Cham, Switzerland: Springer Cham, 2022. -P. 21-30. - DOI: 10.1007/978-3-031-05516-4_2.

101. SketchADoodle: Touch-surface Multi-stroke Gesture Handling by Bézier Curves / D. Grolaux, T. D. Nguyen, J. Vanderdonckt, I. Khaddam //

Proceedings of the ACM on Human-Computer Interaction. - 2020. - Vol. 4.

- No EICS. - P. 87. - DOI: 10.1145/3397875.

102. Tolok, A. Construction of the functional voxel model for a spline curve / A. Tolok, N. Tolok, A. Sycheva // CEUR Workshop Proceedings: 30, Saint Petersburg, 22-25 сентября 2020 года. - Saint Petersburg, 2020. - DOI: 10.51130/graphicon-2020-2-3-52.

103. Tolok, A. Geometric aspects of the functional-voxel implementation of the ORCA algorithm / A. Tolok, A. Sycheva // CEUR Workshop Proceedings: 31, Nizhny Novgorod, 27-30 сентября 2021 года. - Nizhny Novgorod, 2021.

- P. 637-644. - DOI: 10.20948/graphicon-2021-3027-637-644.

104. Tolok, A. V. Building a space for an analytic function that describes a spline curve / A. V. Tolok, M. A. Loktev, A. A. Sycheva // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, Sevastopol, 07-11 сентября 2020 года.

- Sevastopol, 2020. - P. 032091. - DOI: 10.1088/1757-899X/971/3/032091.

105. VR-ORCA: Variable Responsibility Optimal Reciprocal Collision Avoidance / K. Guo, D. Wang, T. Fan, J. Pan // IEEE Robotics and Automation Letters. - vol. 6. - no. 3. - pp. 4520-4527. - DOI: 10.1109/LRA.2021.3067851.

Приложение А

Акт о внедрении результатов исследования

НПО

/14В0ЧКИН4

Акционерное общество «Научно-производственное объединение им. С.А. Лавочкина» (АО «НПО Лавочкина»)

Ленинградская ул., д. 24, г. Химки. Московская область, 141402,0ГРН 1175029009363, ИНН 5047196566 тел.: »7 [phone]. факс: -7 [phone]. е-таН: [e-mail], www.laspace.ru

УТВЕРЖДАЮ Заместитель генерального директора

о внедрении результатов диссертационной работы Сычевой Анастасии Антоновны на тему: «Геометрическое моделирование параметрических кривых функционально-вексельным методом», представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук

Комиссия акционерного общества «Научно-производственное объединение им. С. А. Лавочкина» (АО «НПО Лавочкина») в составе начальника конструкторского комплекса Алексея Витальевича Ковалева и начальника отдела механических систем и приводов Евгения Николаевича Брешева подтверждает внедрение отдельных результатов диссертационной работы Сычевой А. А. на тему: «Геометрическое моделирование параметрических кривых функционально-воксельным методом» в программных комплексах предприятия. Разработанный алгоритм построения параметрических кривых внедрен на предприятии и позволяет эффективно моделировать сложные контуры, содержащие геометрические характеристики карманной поверхности деталей, а также моделировать тепловые, прочностные

(дата)

АКТ

Приложение Б

Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ