Геометрическое моделирование многофакторных процессов на основе точечного исчисления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, доктор наук Конопацкий Евгений Викторович

• Конопацкий Евгений Викторович
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Конопацкий Евгений Викторович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СПОСОБЫ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

1.1 Краткое описание особенностей точечного исчисления

1.2 Основные параметризации пространства в точечном исчислении

1.2.1 Задание 1-мерного пространства - линии

1.2.2 Задание 2-мерного пространства - плоскости

1.2.3 Задание 3-мерного пространства

1.3 Дополнительные параметризации в точечном исчислении

1.3.1 Параметризация Чевы

1.3.2 Параметризация плоскости отношениями на сторонах симплекса

1.3.3 Параметризация плоскости тремя отношениями (избыточная параметризация)

1.3.4 Полярная параметризация плоскости

1.3.5 Биугловая параметризация плоскости

1.3.6 Четырёхугловая параметризация пространства

1.3.7 Бирадиальная параметризация плоскости

1.3.8 Радиальная параметризация многомерного пространства

1.4 Моделирование кривых с двумя осями симметрии

1.4.1 Моделирование плоских кривых с помощью биугловой параметризации плоскости

1.4.2 Моделирование плоских кривых с помощью бирадиальной параметризации плоскости

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ

ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЁННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ... 48 2.1 Геометрический смысл стандартных тригонометрических функций и его обобщение

2.2 Свойства обобщённых тригонометрических функций

2.3 Параметризация плоскости с помощью обобщённых тригонометрических функций

2.4 Вычисление обобщённых тригонометрических функций

2.5 Использование обобщённых тригонометрических функций для моделирования плоских кривых

2.6 Моделирование специальных плоских кривых типа синусоида с помощью обобщённых тригонометрических функций

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ

ГЛАВА 3. ПРОЕКТИВНЫЕ СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДУГ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ НАПЕРЕД ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

3.1 Моделирование дуг кривых 2-го порядка, проходящих через наперёд заданные точки

3.2 Алгоритм моделирования обвода нулевого порядка гладкости, состоящей из дуг кривых 2-го порядка, проходящих через 5 точек

3.3 Моделирование дуги кривой 2-го порядка с несобственной точкой

3.4 Моделирование дуги кривой 2-го порядка, проходящей через 3 наперёд заданные точки с помощью инженерного дискриминанта

3.5 Моделирование дуги кривой 3-го порядка, проходящей через 6 наперёд заданных точек

3.6 Моделирование дуги кривой 3-го порядка с двумя несобственными точками

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ

ГЛАВА 4. МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ДУГ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ НАПЕРЕД ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ, НА ОСНОВЕ КРИВЫХ БЕЗЬЕ

4.1 Метод определения дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе кривых Безье

4.2 Дуга кривой 2-го порядка, проходящая через 3 наперед заданные точки

4.3 Дуга кривой 3-го порядка, проходящая через 4 наперед заданные точки

4.4 Дуга кривой 4-го порядка, проходящая через 5 наперед заданных точек

4.5 Дуга кривой 5-го порядка, проходящая через 6 наперед заданных точек

4.6 Дуга кривой 6-го порядка, проходящая через 7 наперед заданных точек

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ

ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ОБВОДОВ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

5.1 Моделирование дуг обвода из кривых 2-го порядка

5.2 Моделирование дуг обвода из кривых одного отношения

5.2.1 Дуга обвода 1-го порядка гладкости

5.2.2 Дуга обвода 2-го порядка гладкости

5.2.3 Обобщение геометрической схемы конструирования дуг обвода n-го порядка гладкости

5.3 Геометрические основы моделирования обводов в точечном исчислении

5.4 Геометрические алгоритмы моделирования одномерных незамкнутых обводов по заданным условиям

5.4.1 Геометрический алгоритм 1 (ГА1)

5.4.2 Вычислительный алгоритм 1 (ВА1)

5.4.3 Геометрический алгоритм 2 (ГА2)

5.4.4 Геометрический алгоритм 3 (ГА3)

5.4.5 Геометрический алгоритм 4 (ГА4)

5.5 Геометрические алгоритмы моделирования одномерных замкнутых обводов по заданным условиям

5.5.1 Геометрический алгоритм 5 (ГА5)

5.5.2 Геометрический алгоритм 6 (ГА6)

5.6 Геометрические алгоритмы моделирования двумерных обводов

5.6.1 Геометрический алгоритм 7 (ГА7)

5.6.2 Геометрический алгоритм 8 (ГА8)

5.6.3 Геометрический алгоритм 9 (ГА9)

5.7 Геометрические алгоритмы моделирования многомерных обводов

5.7.1 Геометрический алгоритм 10 (ГА10)

5.7.2 Геометрический алгоритм 11 (ГА11)

5.7.3 Геометрический алгоритм 12 (ГА12)

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ

ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ МЕТОДОМ МНОГОМЕРНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

6.1 Моделирование объектов многомерного пространства методом подвижного симплекса

6.2 Принципиальный подход к формированию дерева геометрической модели в многомерном пространстве

6.3 Алгоритм геометрического моделирования многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции

6.4 Геометрическое моделирование и оптимизация комбинированного заполнителя мелкозернистого бетона

6.4.1 Построение геометрической модели зависимости физико-механических свойств мелкозернистого бетона от состава комбинированного заполнителя

6.4.2 Оптимизация состава комбинированного заполнителя на основе геометрической модели зависимости физико-механических свойств мелкозернистого бетона

6.5 Геометрическое моделирование процесса распределения прочностных характеристик в бетонной колонне методом многомерной интерполяции

6.5.1 Постановка задачи и исходные данные для моделирования

6.5.2 Геометрическая модель процесса распределения прочностных характеристик в бетонной колонне

6.6 Геометрическое моделирование и оптимизация процесса зависимости

физико-механических свойств дегтеполимербетона

6.6.1 Геометрический алгоритм построения «дерева» модели четырёхпараметрической гиперповерхности отклика

6.6.2 Вычислительный алгоритм моделирования четырёхпараметрической гиперповерхности отклика

6.6.3 Определение экстремальных точек четырёхпараметрической гиперповерхности отклика

6.6.4 Оптимизация геометрической модели зависимости предела прочности при сжатии с учётом эксплуатационных характеристик покрытий дорожных одежд

6.7 Геометрическое моделирование и оптимизация многомерных данных на основе комплексного чертежа В.П. Радищева

6.8 Принципы моделирования геометрических интерполянтов на основе многопараметрических линейчатых многообразий

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ

ГЛАВА 7. АППРОКСИМАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ МНОГОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ НАПЕРЁД ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

7.1 Общие вопросы аппроксимации геометрических объектов

7.2 Геометрическая интерпретация обобщённого метода наименьших квадратов

7.3 Принципы моделирования геометрических объектов ОМНК

7.4 Оценка точности результатов аппроксимации геометрических объектов

7.5 Геометрический смысл коэффициента детерминации

7.6 Аппроксимация геометрических объектов путём выделения узловых точек из исходных

7.7 Аппроксимация путём минимизации суммы квадратов расстояний между узловыми точками и исходными

7.7.1 Аппроксимация дискретно заданных точек с помощью однопараметрического множества

7.7.2 Пример аппроксимации дискретно заданных точек однопараметрическим множеством

7.7.3 Аппроксимация дискретно заданных точек с помощью двухпараметрического множества

7.7.4 Пример аппроксимации дискретно заданных точек двухпараметрическим множеством

7.7.5 Пример аппроксимации дискретно заданных точек трёхпараметрическим множеством

7.7.6 Принципы многомерной аппроксимации дискретного множества точек с помощью линейчатых многообразий

7.7.7 Пример геометрического моделирования трёхфакторного процесса с помощью трилинейной аппроксимации

7.8 Аппроксимация решения дифференциальных уравнений геометрическими объектами, проходящими через наперёд заданные точки

7.8.1 Общая идея решения дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами, проходящими через наперёд заданные точки

7.8.2 Покоординатный расчёт геометрических объектов для решения дифференциальных уравнений

7.8.3 Принципиальный вычислительный алгоритм аппроксимации решения дифференциальных уравнений

7.9 Решение простейших дифференциальных уравнений первого порядка с помощью аппроксимирующей кривой отклика, проходящей через наперёд заданные точки

7.10 Решение неоднородного уравнения теплопроводности с помощью аппроксимирующей поверхности отклика, проходящей через наперёд заданные точки

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Акты внедрения результатов исследований

304

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическое моделирование многофакторных процессов на основе точечного исчисления»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Задачи моделирования многофакторных процессов являются неотъемлемой частью любой области знаний, накопленных человеческим обществом, что обеспечивает широкий спектр инструментов и методов их решения, например, задачи планирования эксперимента, моделирования и оптимизации многокомпонентных систем в строительстве и химической промышленности; анализа и управления в экономике и социологии; задачи моделирования тепломассообменных процессов, движения жидкостей и газов в теплотехнике и гидравлике; а также во многих других отраслях науки и техники. Тем не менее, существующие методы моделирования и оптимизации не всегда могут обеспечить полный учет функциональных, конструктивных, технологических, экономических, эстетических и других требований, необходимых для решения научных и прикладных задач моделирования, поскольку выполняют анализ факторов, влияющих на протекание процесса (или явления) по очереди, что не даёт возможности оценить влияние того или иного фактора на весь процесс в целом.

На данный момент эффективное решение подобного класса задач является возможным с применением методов многомерной интерполяции и аппроксимации, которые позволяют представить любой многофакторный процесс в виде многопараметрического геометрического объекта, проходящего через наперёд заданные точки и принадлежащего многомерному аффинному пространству с последующей его оптимизацией высокоточными методами математического анализа. Особенно эффективно применение методов многомерной интерполяции и аппроксимации при решении задач, для которых проведение эксперимента с реальной системой, как минимум, нерентабельно, а иногда и просто невозможно.

Однако аналитическое описание геометрических объектов многомерного пространства затрудняется из-за сложности зрительного восприятия многомерного пространства и ограниченного инструментария существующих методов моделирования, которые не могут в полной мере обеспечить полноценное использование логических инструментов, основанных на методах обобщения и аналогии.

Поэтому разработку теоретических основ и практических методов геометрического моделирования многофакторных процессов, основанных на аналитическом описании геометрических объектов многомерного пространства, можно считать актуальной научно-практической задачей, имеющей большое теоретическое и прикладное значение.

Объект исследования - геометрические модели многофакторных процессов.

Предмет исследования - методы многомерной интерполяции и аппроксимации как инструменты представления многофакторных процессов в виде геометрических объектов многомерного аффинного пространства, проходящих через наперёд заданные точки.

Целью исследования является разработка теоретических основ и практических методов геометрического моделирования многофакторных процессов на основе точечного исчисления.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:

1. Разработать новые способы параметризации геометрических объектов с помощью обобщённых тригонометрических функций, инвариантных относительно параллельного проецирования.

2. Получить аналитическое описание и компьютерные модели дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе проективных алгоритмов их формирования.

3. Разработать метод моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье.

4. Предложить новые геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования одномерных и многомерных обводов различного порядка гладкости.

5. Разработать геометрическую теорию многомерной интерполяции и её аналитическое описание с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

6. Предложить метод аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

7. Разработать метод определения многомерных геометрических объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные характеристики.

Методы исследования. Теоретические основы геометрического моделирования многофакторных процессов опираются на геометрические алгоритмы формообразования геометрических объектов многомерного аффинного пространства, аналитическое описание которых выполнено в рамках математического аппарата - точечное исчисление (другие названия: точечное исчисление Балюбы-Найдыша, БН-исчисление), основанного на аффинных инвариантах, что позволяет аналитически представить любой геометрический объект в виде совокупности проекций на оси глобальной системы координат. Также используются методы начертательной, аналитической, дифференциальной, проективной и аффинной геометрии.

Теоретической основой и информационной базой для проведения исследований послужили работы ведущих учёных и их учеников:

- в области прикладной геометрии кривых линий и поверхностей: Александрова П.С., Бадаева Ю.И., Балюбы И.Г., Бернштейна С.Н., Валькова К.И., Верещаги В.М., Геронимуса Я.Л., Замятина А.В., Иванова Г.С., Ильина В.А., Ковалёва С.Н., Кривошапко С.Н., Куценко Л.Н., Михайленко В.Е., НадолинногоВ.А., Найдыша А.В., Найдыша В.М., Обуховой В.С., Павлова А.В., Панчука К.Л., Подгорного А.Л., Подкоритова А.Н., Полозова В.С., Постникова М.М., Рыжова Н.Н., Сазонова К.А., Скидана И.А., Толока А.В., Якунина В.И. и др.;

- в области геометрического моделирования и оптимизации процессов и явлений: Аносова В.Я., Валькова К.И., Верещаги В.М., Вертинськой Н.Д., Волкова В.Я., Гумен Н.С., Комяк В.М., Найдыша А.В., Радищева В.П., Сергейчука О.В. и др.;

- в области прикладной многомерной геометрии: Балюбы И.Г., Валькова К.И., Вертинськой Н.Д., Волкова В.Я., Гумен Н.С., Гумен Е.Н.,

Корчинского В.М., Найдыша А.В., Наумовича Н.В., Радищева В.П., Розенфельда Б.А., Согомоняна К.А. и др.;

- в области точечного исчисления: Балюбы И.Г., Бездитного А.А., Верещаги В.М., Горягина Б.Ф., Давыденко И.П., Найдыша А.В., Найдыша В.М., Полищука В.И. и др.

Из зарубежных учёных можно выделить работы: Baker H.F., Flanagan M.T., Henderson A., Lawrence J.D., Primrose W.E.J.F., Reye Т., Semple J.G., von Seggern D.H. и др.

Научная новизна полученных результатов:

1. Предложены новые способы параметризации геометрических объектов с помощью обобщённых тригонометрических функций, инвариантных относительно параллельного проецирования, которые позволяют переходить от одних параметризаций к другим, в частности, к угловым, и создавать новые геометрические объекты с наперёд заданными свойствами.

2. Получены аналитическое описание и компьютерные модели дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе проективных алгоритмов их формирования, отличительной особенностью которых являются, полученные на основе геометрических построений, точечные уравнения и вычислительные алгоритмы дуг алгебраических кривых. Полученные точечные уравнения и вычислительные алгоритмы позволяют охватить большее количество исходных точек, на основе которых моделируется искомый многопараметрический геометрический объект, используя при этом алгебраические кривые меньшего порядка.

3. Предложен метод моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье, особенность которого заключается в том, что получены готовые к использованию точечные и параметрические уравнения, обеспечивающие прохождение через наперёд заданные точки вне зависимости от координат исходных точек. Такой подход позволяет использовать полученные уравнения не только в качестве направляющих, но и в качестве образующих, проходящих через текущие точки, и является основным ин-

струментом многомерной интерполяции и аппроксимации, которые реализованы в работе.

4. Предложены новые геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования одномерных и многомерных обводов различного порядка гладкости, которые используются для геометрического моделирования многофакторных процессов с большим количеством исходной экспериментально-статистической информации.

5. Разработана геометрическая теория многомерной интерполяции и её аналитическое описание с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, преимущество которой заключается в использовании геометрического интерполянта, что позволяет получить искомое уравнение многопараметрического геометрического объекта непосредственно по геометрической схеме без необходимости решения громоздких систем линейных алгебраических уравнений.

6. Предложен метод аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, который является обобщением метода наименьших квадратов в сторону увеличения размерности пространства и количества параметров, определяющих аппроксимирующий геометрический объект.

7. Разработан метод определения многомерных геометрических объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные характеристики, который предложено использовать для численного решения дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами многомерного аффинного пространства, проходящими через узловые точки.

Практическая ценность результатов исследований заключается в решении ряда практических задач геометрического моделирования процессов техники, экономики, строительства и архитектуры с последующей их оптимизацией. Кроме того, разработанный метод определения многомерных геометрических объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные характеристики, может быть использован для усовершенствования существующих систем автомати-

зированного проектирования, основанных на численном решении дифференциальных уравнений с частными производными.

Результаты диссертационной работы внедрены на следующих предприятиях, что подтверждается актами о внедрении:

- в практику проектирования и расчёта напряжённо-деформированного состояния многогранных гнутых стоек на ЧАО «Авдеевский завод металлических конструкций»;

- в практику проектирования и расчёта напряжённо-деформированного состояния мостовых конструкций в ООО «Торговый Дом Хозстройинструмент»;

- для оценки напряжённо-деформированного состояния башенного копра в рамках договора № 117-02-ЦВС/0000000000022726160013 от 06.03.2017 г. с ГУ «ДОНГИПРОШАХТ» по теме «Обследование и оценка устойчивости и надежности строительных конструкций существующего башенного копра клетьевого ствола № 4 шахты им. В.И. Ленина ГП «Макеевуголь», разработка рекомендаций по их усилению при использовании данного копра в составе водоотливного комплекса с погружными насосами;

- при проектировании инженерных систем искусственного и смешанного освещения в ООО «ПРОМСВЕТ».

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечивается корректным использованием методов обобщения и аналогии, а также математического аппарата точечного исчисления, который основан на инвариантах аффинной геометрии и позволяет моделировать геометрические объекты непосредственно в том пространстве, в котором они находятся.

При использовании метода многомерной интерполяции корректность аналитического описания моделей геометрических объектов подтверждается вычислительными экспериментами.

В случае использования многомерной аппроксимации точность геометрических моделей многофакторных процессов определялась с помощью коэффициента детерминации. При решении дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами многомерного пространства, проходящими

через наперёд заданные точки, было выполнено сравнение результатов с другими методами решения аналогичных уравнений.

Апробация результатов диссертации. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XIV-XVIII Международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (г. Мелитополь, 2012-2016 гг.); IX-X Крымской международной научно-практической конференции «Геометрическое и компьютерное моделирование: энергосбережение, экология, дизайн» (г. Симферополь, 2012-2013 гг.); VII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации» (г. Пермь, 2017 г.); 27-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2017» (г. Пермь, 2017 г.); Международной научной конференции Института физико-технической информатики CPT2018 (г. Пущино, 2018 г.); VII Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (г. Новосибирск, 2018 г.); 28-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2018» (г. Томск, 2018 г.); II Международной научно-практической конференции «Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно-вычислительных систем (ПИИВС-2018)» (г. Донецк, 2018 г.); III Международной научно-технической конференции «Mechanical science and technology update» (Проблемы машиноведения) (г. Омск, 2019 г.); VIII Международной интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации» КГП-2019 (г. Пермь, 2019 г.); 29-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2019» (г. Брянск, 2019 г.); Международной научно-технической конференции «Строительство, архитектура и техносферная безопасность» ICCATS-2019 (г. Челябинск, 2019 г.); XIII International scientific and technical conference «Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines» (г. Омск, 2019 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Способы параметризации геометрических объектов с помощью обобщённых тригонометрических функций, инвариантных относительно параллельного проецирования.

2. Аналитическое описание и компьютерные модели проективно образуемых дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

3. Метод моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье.

4. Геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования многомерных обводов необходимого порядка гладкости применительно к решению задач геометрического моделирования многофакторных процессов с большим количеством исходных данных.

5. Геометрическая теория многомерной интерполяции и её аналитическое описание с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

6. Метод аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

7. Метод определения многомерных геометрических объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные характеристики, применительно к численному решению дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами многомерного аффинного пространства, проходящими через узловые точки.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 70 работ, в том числе 10, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук, 5 - в журналах, индексируемых в наукометрической базе Scopus. В совместных статьях вклад соавторов ограничивался помощью в написании программного кода и проведении вычислительного эксперимента. Геометрическая теория многомерной интерполяции и аппроксимации, а

также геометрические модели и их аналитическое описание получены автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав с выводами, заключения и списка использованной литературы. Общий объём составляет 307 страниц, 78 рисунков. Библиографический список включает 180 наименований, в том числе 13 иностранных.

ГЛАВА 1. СПОСОБЫ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

Выбор математического аппарата компьютерного моделирования многофакторных процессов и явлений является непростой задачей и в значительной степени зависит как от исходных её условий, так и от ожидаемого результата. При этом необходимо учитывать особенности решения поставленной задачи. Особенностью геометрического моделирования процессов является то, что каждому фактору исследуемого процесса ставится в соответствие параметр его геометрической модели. Соответственно для многофакторных процессов таких параметров будет много (по числу факторов), а итоговый многопараметрический геометрический объект будет принадлежать многомерному пространству. С одной стороны, использование многомерного пространства для моделирования многофакторных процессов и явлений является очень перспективным направлением, практически не ограничивающим количество исследуемых факторов, влияющих на функцию отклика, а с другой стороны - возникают сложности восприятия и визуализации, как самого процесса, так и результатов моделирования. Тогда к математическому аппарату предъявляются дополнительные требования, которые заключаются в возможности обобщения всех математических операций и уравнений на многомерное пространство. Причём, не имея возможности использования зрительной наглядности, необходимо прибегать к наглядности логической, основанной на методах обобщения и аналогии, которые и должны обеспечить выбранный аппарат геометрического моделирования необходимым набором инструментов.

Разработка и использование инструментов многомерной геометрии для моделирования многофакторных процессов и явлений не является чем-то абсолютно новым. В разное время ведущие отечественные учёные в области геометрического моделирования и оптимизации процессов и явлений использовали возможность увеличения размерности пространства для решения конкретных практических задач. К таковым можно отнести труды Аносова В.Я. [1, 2], Валькова К.И. [3, 4], Вертинськой Н.Д. [5, 6], Волкова В.Я. [7-9], Гумен Н.С. [10-11], Гумен Е.Н. [12],

Комяк В.М. [13], Корчинского В.М. [14], Найдыша А.В. [15], Наумовича Н.В. [16, 17], Радищева В.П. [18], Розенфельда Б.А. [19], Сергейчука О.В. [20], Согомоня-на К.А. [21] и др.

Однако, не имея математического аппрата, в основу которого заложена возможность обобщения на многомерное пространство, у них не было возможности разработать универсальный подход к геометрическому моделированию многофакторных процессов и явлений с возможностью использования современной вычислительной техники для его реализации. Тем не менее, без использования идей и методов, разработанных в перечисленных выше работах, невозможно было бы создание геометрической теории многомерной интерполяции и аппроксимации и её приложение к решению задач геометрического моделирования многофакторных процессов и явлений.

Исходя из вышеизложенного, для геометрического и компьютерного моделирования многофакторных процессов был выбран математический аппарат - точечное исчисление [22-26], основанный на инвариантах аффинной геометрии. Все операции с геометрическими объектами, которые находят в точечном исчислении своё аналитическое описание, также основаны на инвариантах аффинной геометрии и включают в себя: простое отношение трёх точек прямой, параллельный перенос и определение точки пересечения двух прямых (с учётом обобщения на многомерное пространство). Все другие операции с геометрическими объектами, какими бы сложными они не были, можно свести к этим трём. Такой подход даёт возможность реализовать очень важное свойство точечного исчисления - покоординатный расчёт, который позволяет представить любой геометрический объект в виде совокупности проекций на оси глобальной системы координат, что, в свою очередь, даёт возможность ставить в соответствие каждой оси координат свой фактор влияния и конечно саму функцию отклика. Полученная в такой системе координат геометрическая модель позволяет установить однозначную взаимозависимость между функцией отклика и влияющими на неё факторами.

В разное время в создание и развитие точечного исчисления внесли свой вклад представители Мелитопольской школы прикладной геометрии: Балюба И.Г.

[22-25, 27-33], Бездитный А.А. [34], Бумага А.И. [26, 35], Верещага В.М. [25, 2728], Конопацкий Е.В. [23, 26-28, 30, 32-33, 36-38], Крысько А.А. [26, 39], Кучеренко В.В. [40], Найдыш А.В. [27-28, 32], Найдыш В.М. [24, 25] и др. Кроме того весомый вклад в развитие точечного исчисления внесли сотрудники кафедры геометро-графической подготовки Донбасской национальной академии строительства и архитектуры: Горягин Б.Ф. [23, 30-31, 41], Давыденко И.П. [23, 30, 42], Малютина Т.П. [23, 30, 43], Полищук В.И. [30, 44].

Основываясь на их трудах, можно выделить следующие основополагающие критерии выбора точечного исчисления в качестве аппарата геометрического моделирования многофакторных процессов с помощью многомерной интерполяции и аппроксимации:

1. В точечном исчислении основной элемент - это точка (0-мерное пространство), которая характеризуется несколькими параметрами. Количество параметров зависит от размерности пространства, в котором определяется геометрический объект. А любой геометрический объект представляется упорядоченным множеством точек. Таким образом, 0-мерное пространство является основой для создания многомерных геометрических объектов любой степени сложности. Поэтому точечные уравнения геометрических объектов и вычислительные алгоритмы на их основе справедливы для пространства любой размерности.

2. Точечные уравнения геометрических объектов инвариантны относительно размерности пространства. То есть в качестве параметров выбираются такие параметры, которые необходимые инвариантные свойства (например, простое отношение трех точек прямой). Поэтому точечные уравнения справедливы для пространства любой размерности.

3. Точечное исчисление позволяет работать в локальном симплексе, а результат получать в глобальном симплексе. При этом переход от локального симплекса к глобальному осуществляется автоматически.

4. В точечном исчислении разработан специальный метод подвижного симплекса [48, 64], который позволяет конструировать геометрические объекты любой сложности с наперед заданными условиями и обеспечивает основу геомет-

рической теории многомерной интерполяции. Использование в теории многомерной интерполяции метода подвижного симплекса позволяет установить зависимость между несколькими параметрами геометрического объекта, что, в свою очередь, позволяет моделировать многофакторные процессы, учитывая не только независимые, но и взаимосвязанные факторы.

5. В точечном исчислении каждой геометрической операции соответствует аналитическая операция. Таким образом, точечное исчисление позволяет представить любой геометрический алгоритм построения объекта в аналитическом виде, или в виде точечного уравнения, или в виде расчетного алгоритма, который, по сути, является упорядоченным множеством точечных уравнений. Поэтому в точечных уравнениях сохраняется наглядный геометрический смысл параметров, который известен из геометрического алгоритма построения объекта. Эта особенность была потеряна для многих параметрических уравнений геометрических объектов, которые были получены аналитически, без использования геометрического алгоритма построения.

6. Точечные уравнения, по своей сути, является символьной записью. Переходя к глобальной декартовой системе координат, точечные уравнения заменяются на систему однотипных параметрических уравнений, количество которых зависит от размерности пространства. Эта операция получила название покоординатного расчета, в результате выполнения которой моделируемый объект может быть представлен как следствие параллельного выполнения нескольких однотипный уравнений. Исходя из этого, точечные уравнения и вычислительные алгоритмы, полученные на их основе, можно считать оптимизированными для распараллеливания потоков и использования многоядерных микропроцессоров. Тогда вычисление каждой отдельной проекции на координатную ось можно выполнять параллельно. При этом вид уравнения остаётся без изменений, меняются только соответствующие координаты точек.

1.1 Краткое описание особенностей точечного исчисления

Точечное исчисление является синтезом векторного, барицентрического и тензорного исчислений, из которых оно на стадии формирования заимствовало идеи и методы определения геометрических объектов, и их аналитическое описание. Также точечное исчисление в аффинном пространстве можно считать частным случаем вурф-исчисления в проективном пространстве, предложенного Х. Штаудтом.

В точечном исчислении точка считается объектом некоторого п -пространства, состоящего из п 1-мерных пространств ^ осей (направленных отрезков) ^ глобальной декартовой (в общем случае, аффинной) системы координат.

Направленный отрезок определяется началом и концом (двумя точками ^ метками). Эта совокупность двух точек называется симплексом одномерного пространства. Три независимые точки (не принадлежащие одномерному пространству) образуют симплекс двумерного пространства (плоскости). Обобщая до п , получим, что симплекс «-пространства определяется множеством (п +1) независимых точек. Таким образом, симплекс своими вершинами определяет пространство.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Конопацкий Евгений Викторович, 2020 год

- 43 с.

14. Корчинский, В.М. Многомерное векторное представление распределений яркости многоспектральных растровых изображений дистанционного зондирования земли / Корчинский В.М. // Вестник Херсонского национального технического университета. - 2014. - № 3 (50). - С.590-593.

15. Найдиш, А.В. Багатовимiрна НГВ-апроксимащя / А.В. Найдиш. - Прикл. геом. та шж. граф. - К.: КДТУБА, 1998. - Вип.63. - С. 67-70.

16.Наумович, Н.В. Эпюр четырехмерного евклидова пространства и его свойства / Н.В. Наумович // Сборник начертательной геометрии и инженерной графики. - Тбилиси: Грузинский политехнический ин-т, 1957. - Вып. 1 (49). - С. 21-30.

17. Наумович, Н.В. Об одном методе начертательной геометрии четырехмерного евклидова пространства / Н.В. Наумович // Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике: сб. научн. тр. - М.: Изд-во «Советская наука», 1958. - С. 146-161.

18. Радищев, В.П. О применении геометрии четырех измерений к построению разновесных физико-химических диаграмм / В.П. Радищев // Изв. Сектора физ.-хим. анализа. - 1947. - Т. 15. - С. 129-134.

19. Розенфельд, Б.А. Многомерные пространства: монография / Б.А. Розен-фельд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966.

- 648 с.

20. Сергейчук, О.В. Геометричне моделювання фiзичних процешв при оп-тимiзащi форми енергоефективних будинкiв: автореф. дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01 / Сергейчук О.В. - Кшв, 2008. - 39 с.

21. Согомонян, К.А. Плоская бинарная модель четырехмерного пространства и интерпретация мнымих элементов действительной евклидовой плоскости / К.А. Согомонян. - Доклады НАН РА. - Ереван, 2005. - Т.105. - № 3. - С217-226.

22. Балюба, И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. - Макеевка, 1995. -227 с.

23. Балюба, И.Г. Точечное исчисление геометрических форм и его место в ряду других существующих исчислений / И.Г. Балюба [и др.] // Компьютерно-интегрированные технологии: образование, наука, производство. - Луцк: ЛНТУ,

2011. - №6. - С. 24-29.

24. Балюба, И.Г. Точечное исчисление: учебное пособие / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. - Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. - 236 с.

25. Найдыш, В.М. Алгебра БН-исчисления / В.М. Найдыш, И.Г. Балюба, В.М. Верещага// Прикладная геометрия и инженерная графика. - К.: КНУБА,

2012. - Вып. 90. - С. 210-215.

26. Введение в математический аппарат БН-исчисление / Бумага А.И., Ко-нопацкий Е.В., Крысько А.А., Чернышева О.А. // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации: матер. VII Междунар. науч.-практ. интернет-конф. - Пермь: ПНИПУ, 2017. - Вып. 4. - С. 7682.

27. Принципи систематизацп компоненлв процесу для створення його гео-метричноi моделi у БН-численш / Конопацький С.В., Верещага В.М., Найдиш А.В., Балюба 1.Г. // Науковий вюник Мелггопольського державного педагопчного ушверситету iменi Богдана Хмельницького. Серiя: Математика. Геометрiя. 1н-форматика. - Мелггополь: МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2014. - Т.1. - С.75-79.

28. Застосування методу рухомого симплексу для моделювання багатофак-торних процешв / Конопацький С.В., Балюба 1.Г., Найдиш А.В., Верещага В.М. // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць. - Мелггополь: Видавництво МДПУ ш. Б. Хмельницького, 2014. - Вип. 3. - С.69-72.

29. Балюба, И.Г. Ближайшие точки двух прямых многомерного пространства / И.Г. Балюба, С.Л. Корнилов// Прикладная геометрия и инженерная графика. - К.: КДТУБА, 1997. - Вып. 61. - С.50-52.

30.Балюба, И.Г. Метод подвижного симплекса при конструировании 2-поверхностей многомерного пространства / И.Г. Балюба [и др.] // Моделювання та шформацшш технологи: Збiрник наукових праць. - К.: 1нститут проблем моделювання в енергетищ iм. Г.С. Пухова НАН Укра!ни. - Т.1. - С.310-318.

31. Балюба, 1.Г. Точковi рiвняння параболи четвертого порядку у рiзних по-даннях / И.Г. Балюба [и др.] // Прикладна геометрiя та шженерна графiка. -Мелггополь: ТДАТУ, 2009. - Вип.4, Т.44.- С.32-37.

32.Подгорный, А.Л. Формализация геометрической модели метода двух изображений Подгорного средствами точечного исчисления Балюбы-Найдыша / А.Л. Подгорный [и др.] // Строительство и техногенная безопасность. - Симферополь: НАПКС, 2013. - Вып. 48. - С.129-136.

33. Балюба, И.Г. Использование площади треугольника, как параметра БН-исчисления для решения геометрических задач / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий, А.В. Бородина // Науковий вюник Мелггопольського державного педагопчного ушверситету iменi Богдана Хмельницького. Серiя: Математика. Геометрiя. 1н-форматика. - Мелiтополь: МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2014. - Т.1. - С. 11-19.

34. Бездггаий, А.О. Варiативне дискретне геометричне моделювання на ос-новi геометричних стввщношень у точковому численнi Балюби-Найдиша: Дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / А.О. Бездгтний. - Мелггополь, 2012. - 191 с.

35.Бумага, А.И. Геометрическое моделирование физико-механических свойств композиционных строительных материалов в БН-исчислении: дис. ... канд. техн. наук.: 05.23.05 и 05.01.01. / А.И. Бумага. - Макеевка, 2016. - 164 с.

36. Конопацький, С.В. Геометричне моделювання алгебраiчних кривих та iх використання при конструюванш поверхонь у точковому численш Балюби-Найдиша. Дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / С.В. Конопацький. - Мелггополь, 2012. - 164 с.

37. Конопацький, С.В. Поверхня трьох напрямних з афшно-вщповщними перерiзами / С.В. Конопацький. - Комп'ютерно-штегроваш технологи: освгга, наука, виробництво. - Луцьк: ЛНТУ, 2012. - № 10. - С. 31-35.

38. Конопацкий, Е.В. Особенности параметризации геометрических объектов в БН-исчислении / Е.В. Конопацкий // Научная дискуссия: вопросы технических наук: сб. ст. по материалам ХШ-Х1У междунар. заочной науч.-практ. конф. -М.: Изд-во «Международный центр образования и науки», 2013. - № 8-9(11) -С.12-16.

39. Крысько, А.А. Геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы: дис. ... канд. техн. наук.: 05.23.01 и 05.01.01. / А.А. Крысько. - Макеевка, 2016. - 191 с.

40. Кучеренко, В.В. Формалiзованi геометричш моделi нерегулярноi повер-хш для гiперкiлькiсноi дискретноi скiнченоi множини точок: Дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / В.В. Кучеренко. - Мелггополь, 2013. - 234 с.

41. Горягин, Б.Ф. Кривая 2-го порядка в точечном описании / Б.Ф. Горягин // Прикладная геометрия и инженерная графика. - Мелитополь: ТГАТА, 1998. -Вып.4. - Т.4. - С. 23-26.

42.Давыденко, И.П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / И.П. Давыденко. - Макеевка, 2012. - 186 с.

43. Малютина, Т.П. Интерпретация вычислительной геометрии плоских фигур в точечном исчислении: Дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / Т.П. Малютина. -Макеевка, 1998. - 227 с.

44.Полщук, В.1. Побудова просторово!' дуги криво!' третього порядку / Полщук В.1., Конопацький С.В. // Матерiали VIII Мiжнародноi науково1' конфе-

ренцп молодих вчених, асшранлв i студентiв. - Макiiвка: ДонНАБА, 2009. - Вип. 2009-5(79), Т.2. - С.169-172.

45. Конопацький, С.В. 4-кутова параметризацiя простору / С.В. Конопацький // Сб. науч. Тр. 81огШ. - Иваново: МАРКОВА АД, 2013. - Вып. 3, Т. 13. - ЦИТ: 413-0725. - С.69-73.

46. Конопацький, С.В. Бшутова та бiрадiальна параметризацii в площинi за-гального положення / С.В. Конопацький // Прикладна геометрiя та шженерна графiка. Мiжвiдомчий науково-технiчний збiрник. - К.: КНУБА, 2012. - Вып. 90. - С.156-160.

47. Егорченков, В.А. Принципы построения модели светового поля помещения с криволинейным четырёхугольным светопроёмом с использованием точечного исчисления / В.А. Егорченков, Е.В. Конопацкий // Светотехника. - М.: ВНИСИ, 2015. - №2. - С.59-60.

48. Егорченков, В.А. Сканирование арочной плоскости с заданной неравномерностью распределения точек / В.А. Егорченков, Е.В. Конопацкий // Прикладна геометрiя та шженерна графша. - К.: КНУБА, 2013. - Вип. 91. - С.88-91.

49. Геометричний сенс узагальнених тригонометричних функцш / В.М. Верещага, В.В. Шацький, 1.Г. Балюба та ш. // Прикладна геометрiя та шженерна графка. - Мелгтополь: ТДАТУ, 2012. - Вып. 4 - Т. 55. - С.42-47.

50. Конопацький, С.В. До^дження властивостей узагальнених тригонометричних функцш / С.В. Конопацький // Прикладна геометрiя та шженерна графка. - Мелгтополь: ТДАТУ, 2013. - Вып. 4. - Т. 56. - С.263-267.

51. Конопацький, С.В. Конструювання системи спещальних плоских кривих типу «синусоща» методом узагальнених тригонометричних функцш / С.В. Конопацький // Сборник научных трудов SWorld. - Иваново: МАРКОВА АД, 2013. -Вып. 3. - Т. 12. - ЦИТ: 313-0698. - С.76-80.

52. Конопацкий, Е.В. Геометрическое моделирование и оптимизация многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции / Коно-пацкий Е.В. // Тр. Междунар. науч. конф. по физико-технической информатике СРТ2018, 28-31 мая 2018 г. - Москва-Протвино, 2018. - С.299-306.

53. Александров, П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями, составленного А.С. Пархоменко/ П.С. Александров. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. - Изд. 2-е, стер. - 911 с.

54. Бадаев, Ю.И. Метод обводов из кривых 3-го порядка в компьютерной геометрии: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / Ю.И. Бадаев. - М., 1990. -36 с.

55. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений / С.Н. Бернштейн. - М., 1952. -Т.1. - 583 с.

56. Верещага, В.М. Дискретно-параметрический метод геометрического моделирования кривых линий и поверхностей: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / В.М. Верещага. - Мелитополь, 1996. - 294 с.

57. Геронимус, Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов / Я.Л. Геронимус. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 399 с.

58. Замятин, А.В. Образование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка / А.В. Замятин// Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2007. - № 3. - С.120-122.

59. Иванов, Г.С. Конструирование одномерных обводов, принадлежащих поверхностям, путем их отображения на плоскость / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. Общество с ограниченной ответственностью «Научно-издательский центр ИНФРА-М». - 2018. Т.6, № 1. - С. 3-9. Б01: 10.12737/ агйс1е_5аё07её61Ьс114.52669586.

60. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей. Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.

61. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия: учеб. для ВУЗов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с.

62. Ковалёв, С.Н. Формирование дискретных моделей поверхностей пространственных архитектурных конструкций: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / С.Н. Ковалёв. - М.: МАИ, 1986. - 35 с.

63. Кривошапко, С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамаева. - М.: Книжный дом «Либроком», 2012. - 328 с.

64. Куценко, Л.Н. Теоретические основы и геометрические приложения метода А-отображений: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01. - К.: Киевский ордена трудового Красного знамени инженерно-строительный институт, 1992. -35 с.

65. Михайленко, В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре / В.Е. Ми-хайленко, В.С. Обухова, А.Л. Подгорный. - К.: Будiвельник, 1972. - 205 с.

66. Надолинный, В.А. Основы теории проективных рациональных поверхностей: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / В.А. Надолинный. - М., 1989. -30 с.

67. Найдиш А.В. Геометрическое моделирование дискретных точечных множеств на основе перенесения в пространство параметров: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / А.В. Найдыш. - Мелитополь: ТГАА, 1998. - 338 с.

68. Найдыш, В.М. Методы и алгоритмы формирования поверхностей и обводов по заданным дифференциально-геометрическим условиям // дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01. - Мелитополь: Мелитопольского ордена Трудового Красного Знамени институт механизации сельского хозяйства, 1982. - 512 с.

69. Павлов, А.В. Модификация метода кривых 2-го порядка для системы автоматизированного проектирования / А.В. Павлов // Прикладная геометрия и инженерная графика: межведомственный республиканский научн. сб. - Киев, изд-во «Будивельник», 1982. - Вып. 34. - С. 7-9.

70. Панчук, К.Л. Геометрическое моделирование линейчатого метрического пространства в инженерной геометрии и ее приложениях: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / К.Л. Панчук. - Омск: ОГТУ, 2009. - 40 с.

71. Подкорытов, А.Н. Геометрия сложных криволинейных поверхностей на базе ЭВМ / Подкорытов А.Н. - Новосибирск, 1976. - 82 с.

72. Полозов, В.С. Автоматизированное проектирование. Геометрические и графические задачи / В.С. Полозов, О.А. Будеков, С.И. Ротков и др. - М.: Машиностроение, 1983. - 277 с.

73. Постников, М.М. Аналитическая геометрия / М.М. Постников. - М.: Наука, 1973. - 751 с.

74. Рыжов, Н.Н. Параметрическая геометрия / Н.Н. Рыжов. - М.: МАДИ, 1988. - 55 с.

75. Сазонов, К.А. Формирование твердотельной модели проектируемых объектов / К.А. Сазонов, В.А. Анпилогова, А.В. Черников // Прикладная геометрия и инженерная графика. - К.: КГТУСА, 1994. - Вып.57. - С.37-41.

76. Скидан, И.А. Геометрическое моделирование кинематических поверхностей в специальных координатах: автореф. дис. ... техн. наук: 05.01.01 / Скидан И.А. - М., 1989. - 37 с.

77. Толок, А.В. Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании: монография / А.В. Толок. - М.: Физматлит, 2016. - 112 с.

78. Якунин, В.А. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. Формирование математической модели поверхности / В.А. Якунин. - М.: Изд-во МАИ, 1980. - 86 с.

79. Глаголев, Н.А. Проективная геометрия / Глаголев Н.А. - М.: Высшая школа, 1963. - 344 с.

80. Несвщомш, В.М. Комп'ютерш моделi синтетично1' геометрп [Текст]: дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Несвщомш В.М. - К.: КНУБА, 2008. - 424 с.

81. Короткий, В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей / В.А. Короткий, Е.А. Усманова, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. -2016. - Т. 3, № 4. - С. 19-26.

82. Верещага, В.М. Крива третього порядку як лтя перетину поверхонь другого порядку / Верещага В.М., Конопацький С.В. // Прикладна геометрiя та шженерна графша. - Мелгтополь: ТДАТУ, 2012. -Вип. 4, Т. 52. - С.60-65.

83. Горягин, Б.Ф. Описание некоторых проективных соответствий в точечном исчислении. Специальный комплексный чертеж симплекса и его применение/

Горягин Б.Ф. // Современные проблемы геометрического моделирования: матер. Второй украино-российской науч.-практ. конф., 24-27 апреля 2007 г. Спец выпуск. - Харьков: ХДУХТ, 2007. - С.145-150.

84. Кокарева, Я.А. Аналгшчш та комп'ютерш моделi поверхонь конгруен-цш першого порядку прямих: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / Кокарева Я.А. -Донецьк.: ДонНТУ, 2012. - 203 с.

85. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер // Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

86. Балюба, И.Г. Замена симплекса в уравнении плоской кривой и его приложения / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць. - Мелггополь: МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2016. - Вып. 6. - С.12-18.

87. Крысько, А.А. Геометрические основы конструирования одномерного обвода через к наперед заданных точек в БН-исчислении / А.А. Крысько, Е.В. Конопацкий, А.Я. Чураков // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць. -Мелггополь: МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2015. - Вып. 4. - С. 76-81.

88. Конопацкий, Е.В. Особенности конструирования замкнутого обвода первого порядка гладкости в БН-исчислении / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, Н.А. Рубцов // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць. - Мелггополь: МДПУ ш. Б. Хмельницького, 2016. - Вып. 6. - С. 65-70.

89.Квасов, Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И. Квасов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 360 с.

90. Шашков, В.Б. Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия: учебное пособие. / В.Б. Шашков. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2003. -363 с.

91. Горягин, Б.Ф. Проведение дуги параболы 3-го и 4-го порядка через заданные точки // Б.Ф. Горягин, Е.В. Конопацкий. - Труды VII Международной научно-практической конференции «Геометрическое моделирование и компьютерный дизайн». Украина, Одесса, 21-23 апреля 2010. - Вып. 85. Т. 2. - С.25-28.

92. Бумага, А.1. Точкове рiвняння дуги параболи другого порядку / А.1. Бумага // Прикладна геометрiя та iнженерна графiка. Мiжвiдомчий науково -техшчний збiрник. - К.: КНУБА, 2012. - Вып.90. - С. 49-52.

93. Конопацкий, Е.В. Моделирование дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий. - М.: 2019. - № 2. - С. 30-36. - 001: 10.14489/укй.2019.02.рр.030-036.

94. Балюба, И.Г. Геометрическая сущность кривых Безье и их аналитическое представление / И.Г. Балюба // Сучасш проблеми геометричного моделюван-ня. Зб. праць мiжнародноi науково-практично1' конференцп. - Харюв: Х1ПБ МВС Украши, 1998. - Ч.1. - С.178-182.

95. Балюба, 1.Г. Конструювання плоских i просторових алгебра1'чних кривих системою лшшних точкових рiвнянь / 1.Г. Балюба, Ж.В. Старченко, С.В. Конопа-цький // Прикладна геометрiя та iнженерна графiка. - Мелгтополь: ТДАТА, 2002. - Вип. 4. - Т.17. - С. 66-67.

96. Конопацкий, Е.В. Моделирование криволинейного участка топографической поверхности на нерегулярной сети точек / Е.В. Конопацкий, О.А. Чернышева, Я.А. Кокарева // Вестник компьютерных и информационных технологий. - М.: 2018. - № 7. - С.17-22. - Б01: 10.14489/укИ2018.07.рр.017-022.

97. Чернышева, О.А. Вычислительные алгоритмы и компьютерные средства моделирования нерегулярной топографической поверхности. Дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. / О.А. Чернышева. - Донецк, 2019. - 150 с.

98. Шустов, В.В. Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции /

B.В. Шустов // Чита: Издательство Молодой учёный, 2010. - №8(19)/2010. - Т.1. -

C.17-20.

99.Бежаев, А.Ю. Сплайн-интерполяция многомерных данных большого объема / А.Ю. Бежаев // Сибирский журнал вычислительной математики. - Новосибирск, 2003. - Т. 6, № 3. - С.249-261.

100. Юдин, О.А. Интерполяция NURBS-кривыми в многомерном пространстве / О.А. Юдин // Научные труды Винницкого национального техническо-

го университета. - Винница, 2008. - № 4 (2008). - Точка доступа: https: //trudy .vntu.edu.ua/index.php/trudy/article/view/93 (дата обращения: 12.08.2018).

101. Косякова, Е.Ю. Конструирование линейных каркасов гладких двумерных обводов посредством бирациональных преобразований / Е.Ю. Косякова // Научные труды КубГТУ. - 2015. - № 6. - Точка доступа: https://ntk.kubstu.ru/file/473 (дата обращения: 12.08.2018).

102. Косякова, Е.Ю. К вопросу моделирования отсеков двумерных обводов с заранее заданным порядком соприкосновения / Е.Ю. Косякова // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2018. - Т.6, № 1. - С.53-60.

103. Иванов, Г.С. Геометрическое обеспечение построения гладких сопряжений из отсеков конических поверхностей второго порядка / Г.С. Иванов, Б.Г. Жирных // Инженерный вестник. - 2015. - № 6. - С. 1026-1033.

104. Крысько, А.А. Вычислительный алгоритм формирования геометрических моделей действительной поверхности тонкостенных оболочек технических форм методами БН-исчисления / А.А. Крысько // Науковi нотатки. Мiжвузiвський збiрник (за галузями знань «Машинобудування та металообробка», «1нженерна мехашка», «Металурпя та матерiалознавство»). - Луцьк: 2015. - Вып. 48. -С. 125-129.

105. Крысько, А.А. Геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы: дис. ... канд. техн. наук.: 05.23.01 и 05.01.01. / А.А. Крысько. - Макеевка, 2016. - 191 с.

106. Корчагин, Д.С. Геометрическое моделирование динамических поверхностей на основе масс-инерционных характеристик образующих линий: дис. ... канд. техн. наук.: 05.01.01. / Д.С. Корчагин. - Омск, 2017. - 157 с.

107. Попова, Л.С. Применение теории инженерного дискриминанта в прикладных расчетах / Л.С. Попова, О.В. Синицына // Физико-математические науки и информационные технологии: проблемы и тенденции развития: сб. ст. по матер.

I междунар. науч.-практ. конф. - Новосибирск: СибАК, 2011. - Точка доступа: https://sibac.info/conf/matM/25862 (дата обращения: 15.08.2018).

108. Конопацький, С. В. Kp^i третього порядку, як Kp^i одного вщно-шення / С.В. Конопацький, Ж.В. Старченко // Прикладна геометpiя та шженерна гpафiка. - Мелггополь: ТДАТУ, 2011. - Вып. 4, Т. 51. - С. 111-115.

109. Норден, А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии / А.П. Нор-ден // М.: ФИЗМАТГИЗ, 1958. - 244 с.

110. Балюба, И.Г. Конструирование дуг обвода из кривых одного отношения / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий // Труды 27-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2017». - Пермь: ПГНИУ, 2017. - С.332-334.

111. Конопацкий, Е.В. Использование кривых одного отношения для конструирования профиля крыла летательного аппарата в БН-исчислении / Е.В. Конопацкий // Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника. - 2017. - № 50. - С. 90100.

112. Конопацкий, Е.В. Принципы моделирования многофакторных процессов с большим количеством исходных данных / Е.В. Конопацкий // Информационные технологии в проектировании и производстве. - М.: НТЦ «Компас», 2018. - № 4(172). - С.20-25.

113. Калиткин, Н.Н. Численные методы // Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

114. Popov, E.V. et al, Visualization and Analysis of Molecular Potential Energy Surface (Pes) and Its Minima/ E.V. Popov// IADIS International Conference Interfaces and Human Computer Interaction 2019 (part of MCCSIS 2019). - 411-415 pp.

115. Пахнутов, И.А. Многомерная интерполяция // И.А. Пахнутов. - Интерактивная наука. - 2017. - № 15. - Точка доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/ mnogomernaya-interpolyatsiya (дата обращения: 26.08.2018).

116. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция/ Н.М. Добровольский, А.Р. Есаян, О.В. Андреева, Н.В. Зайцева// Чебышевский сборник. - 2004. - Т.5, Вып. 1. - С.122-143.

117. Бахвалов, Ю.Н. Метод многомерной интерполяции и аппроксимации и его приложения // Ю.Н. Бахвалов. - М.: Спутник+, 2007. - 108 с.

118. Конопацкий, Е.В. Принципы построения компьютерных моделей многофакторных процессов методом многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно -вычислительных систем (ПИИВС-2018): сб. матер. II Междунар. науч.-практ. конф. 14-15 ноября 2018 г. - Донецк: ДонНТУ, 2018. - С. 277-287.

119. Короев, Ю.И. Начертательная геометрия: учебник / Ю.И. Короев. -М.: КНОРУС, 2013. - 3-е изд., стер. - 424 с.

120. Бумага, А.И. Оптимизация состава комбинированного заполнителя мелкозернистого бетона методами БН-исчисления / А.И. Бумага, В.И. Братчун, Е.В. Конопацкий // Современное промышленное и гражданское строительство. -2016. - Т.12, № 2. - С. 92-98.

121. Конопацкий, Е.В. Геометрическая модель процесса распределения прочностных характеристик в бетонной колонне / Е.В. Конопацкий, О.С. Воронова// Прикладная математика и вопросы управления. - Пермь: ПНИПУ, 2017. -№1. - С.37-44.

122. Конопацкий, Е.В. Геометрическая модель зависимости предела прочности при сжатии модифицированного мелкозернистого дегтебетона от четырёх параметров / Конопацкий Е.В., Бумага А.И., Бочоришвили В.А. // Вестник Дон-НАСА. Современные строительные материалы: сб. науч. тр. - Макеевка: Дон-НАСА, 2016. - Вып. 2016-1(117). - С.55-61.

123. Толчин, С.М. Мелкозернистые бетоны на комбинированных заполнителях из отходов промышленности: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05. / С.М. Толчин. - Макеевка, 1997. - 101 с.

124. Булавицкий, М.С. Исследование неоднородности бетона вертикальных элементов монолитных зданий ультразвуковым импульсным методом / М.С. Булавицкий // Вестник ДонНАСА. - Макеевка: ДонНАСА, 2006. - 2006-4(60). - С. 169-171.

125. Конопацкий, Е.В. Геометрическое моделирование и оптимизация физико-механических свойств дегтеполимербетона / Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага, А.А. Крысько, О.С. Воронова // Информационные технологии в проектировании и производстве. - М.: НТЦ «Компас», 2019. - № 1 (173). - С. 20-24.

126. Найдыш, А.В. Теоретические основы геометрического моделирования физико-механических свойств асфальтобетонов методами БН-исчисления / А.В. Найдыш, Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага // Науковий вюник Мелгтопольсько-го державного педагопчного ушверситету iменi Б.Хмельницького. Серiя: Математика. Геометрiя. 1нформатика. - Мелгтополь: МДПУ iм. Б. Хмельницького. -2014. - Т.1. - С. 111-117.

127. Ходун, В.Н. Дёгтебетоны с комплексно-модифицированной микроструктурой: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05 / В.Н. Ходун. - Макеевка, 1999. -146 с.

128. Ивлев, В.В. Математический анализ: функции многих переменных: учебное пособие. / В.В. Ивлев. - М.: ИКАР, 2013. - 548 с.

129. Свод правил. Автомобильные дороги. Актуализированная редакция СНиП 2.05.02-85*: СП 34.13330.2012. Введ. 2013-07-01. - М.: Госстрой России, 2013. - 107 с.

130. Рекомендации по использованию полимерно-битумных вяжущих материалов на основе блоксополимеров типа СБС при строительстве и реконструкции автомобильных дорог: ОДМ 218.2.003-2007. Введ. 2007-02-01. - М., 2007.

131. Свод правил. Строительная климатология. Актуализированная редакция СНиП 23-01-99*: СП 131.13330.2012. Введ. 2013-01-01. - М.: Минрегион России, 2012. - 57 с.

132. Чижик, М.А. Геометрическое моделирование многофакторных процессов на базе проекционных алгоритмов / М.А. Чижик, М.Н. Московцев, Д.П. Монастыренко // Омский научный вестник. - Омск: ОмГТУ, 2013. -№1(117)2013. - С.14-17.

133. Макашина, Е.В. Геометрическое моделирование временных рядов в многомерном пространстве / Е.В. Макашина // Геометрия и графика. - М.: Инфра-М, 2013. - Т.1, № 1. - С. 20-21. - DOI: 10.12737/464.

134. Яковенко, К.С. Метод геометрического анализа моделей многофакторных процессов / К.С. Яковенко, В.Я. Волков, В.С. Прокопец // Вестник СибА-ДИ. - Омск: СибАДИ, 2012. - Вып. 3(25). - С. 87-91.

135. Охотникова, М.Л. Геометрическое моделирование задач анализа и прогнозирования в экономике и алгоритмов их решения: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / М.Л. Охотникова. - М.: МАИ, 2004. - 192 с.

136. Конопацкий, Е.В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия. - М.: 2019. - Т. 10, № 2. - С. 77-86.

137. Конопацкий, Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через к наперед заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. - М.: Инфра-М, 2018. - №3. -С.20-32. - DOI: 10.12737/article_5bc457ece18491.72807735.

138. Математика: Энциклопедия / под ред. Ю.В. Прохорова. - М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. 845 с. ил.

139. Голубинский, А.Н. Методы аппроксимации экспериментальных данных и построения моделей / А.Н. Голубинский // Вестник ВИ МВД России, 2007. - №2. - Точка доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/metody-approksimatsii-eksperimentalnyh-dannyh-i-postroeniya-modeley (дата обращения: 22.07.2018).

140. Шашков, В.Б. Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия: учебное пособие / В.Б. Шашков // Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2003. -363 с.

141. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений: пер. с англ. / У. Прэтт. -М.: Мир, 1982. - Кн. 2. - 480 с.

142. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адамс. - М.: Мир, 2001. - 605 с.

143. Квасов, Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И. Квасов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 360 с.

144. Бутырский, Е.Ю. Аппроксимация многомерных функций / Е.Ю. Бутырский, И.А. Кувалдин, В.П. Чалкин // Научное приборостроение. -2010.

- Т. 20, № 2. - С. 82-92.

145. Беляев, М.Г. Аппроксимация многомерных зависимостей по структурированным выборкам / М.Г. Беляев // Искусственный интеллект и принятие решений. - 2013. - № 3. - С. 24-39.

146. Блинов, А.О. Многомерная аппроксимация в задачах моделирования и оптимизации / А.О. Блинов, В.П. Фраленко // Автоматика и телемеханика. - 2009.

- № 4. - С.98-109.

147. Губанов, B.C. Обобщенный метод наименьших квадратов. Теория и применение в астрометрии / B.C. Губанов. - СПб.: Наука, 1997. - 318 с.

148. Гольцов, Н.А. Обобщение метода наименьших квадратов на основе принципа максимального правдоподобия / Н.А. Гольцов // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2001. - № 5. - С.202-204.

149. Мустафина, Д.А. Обобщенная многомерная интерполяция методом наименьших квадратов / Д.А. Мустафина, А.Е. Буракова, А.И. Мустафин, А.С. Александрова // Вестник ПНИПУ. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - Пермь: ПНИПУ, 2018. - № 27. - С.30-48.

150. Чижик, М.А. Методология параметрического проектирования технологических процессов швейного производства на основе многомерного геометрического моделирования: дис. ... докт. техн. наук: 05.19.04. / М.А. Чижик. - СПб., 2018. - 272 с.

151. Конопацкий, Е.В. Аппроксимация геометрических объектов с помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки / Е.В. Конопацкий // Информационные технологии. - М.: 2019. - № 1, Т. 25. - С. 46-52. - DOI: 10.17587/it.25.46-51.

152. Пономарев, И.В. О геометрической интерпретации метода наименьших квадратов / И.В. Пономарев, В.В. Славский // Известия АлтГУ. - 2012. - №11. - С 119-121.

153. Конопацкий, Е.В. Общий подход к полилинейным интерполяции и аппроксимации на основе линейчатых многообразий / Е.В. Конопацкий, С.И. Ротков, А.А. Крысько // Строительство и техногенная безопасность. - Симферополь: ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского», 2019. - № 15(67). - С.159-168.

154. Щацков, А.О. Повышение эффективности работы систем низкотемпературного лучистого отопления жилых и общественных зданий: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.03. / А.О. Щацков. - Макеевка, 2018. - 182 с.

155. Владимиров, В.С. Что такое математическая физика? / В.С. Владимиров // Препринт, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. - М.: МИАН, 2006. - 20 с.

156. Ортега, Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ортега, У. Пул // Пер. с англ.; под ред. А.А. Абрамова. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

157. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер // Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

158. Конопацкий, Е.В. Решение дифференциальных уравнений методами геометрического моделирования / Е.В. Конопацкий // Труды 28-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2018». 24-27 сентября 2018 г. - Томск: ТПУ, 2018. - С. 322-325.

159. Бакельман, И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений / И.Я. Бакельман. - М.: Наука, 1965. - 340 с.

160. Зайцев, В.Ф. Симметрии дифференциальных уравнений. Формальные операторы / В.Ф. Зайцев // Известия РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. - №8. - Точка доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/ simmetrii-differentsialnyh-uravneniy-formalnye-operatory (дата обращения: 08.03.2019).

161. Яковенко, Г.Н. Дифференциальные уравнения с фундаментальными решениями: Софус Ли и другие / Г.Н. Яковенко. - М.: Физматкнига, 2006. - 112 с.

162. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

163. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. Квасов Б.И. // О. Зенкевич, К. Морган. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

164. Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов - М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 656 с.

165. Конопацкий, Е.В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика, применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности / Е.В. Конопацкий // Геометрия и графика. - М.: Инфра-М, 2019. - Т.7. - №2. - С.38-45. - DOI: 10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357.

166. Задача по уравнению с математической физики с решением Неоднородное уравнение теплопроводности. Точка доступа: https://www.matburo.ru/Examples/Files/umf_3.pdf (дата обращения: 08.03.2019).

167. Конопацкий, Е.В. Геометрический смысл метода наименьших квадратов / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий.

- М.,2019. - № 9. - С.11-18. - DOI: 10.14489/vkit.2019.09.pp.011-018.

168. Konopatskiy, E. Parametrization planes in BN-calculation / E. Konopatskiy // International Conference «Technical sciences: modern issued and development prospects». Conference Proceedings. Scope Academic House, December 10, 2013, Sheffield, UK. - pp. 183-187.

169. Egorchenkov V.A. Principles of constructing light field model for a room with curvilinear quadrangular light openings by means of the dot calculation / V.A. Egorchenkov, E.V. Konopatsky // Light & Engineering, 2015. - V. 23. - № 2. -pp. 43-48.

170. Yegorchenkov, V. Non-uniform distribution of scanning points at calculation of natural lighting for light openings with different configuration / V. Yegorchenkov, Ye. Konopatskiy, I. Koschavka // Сучасне промислове та цившьне будiвництво.

- Макпвка: ДонНАБА, 2014. - Vol.10, No.1. - pp.57-64.

171. Baker, H.F. Principles of geometry. Analytical principles of the theory of curves / H.F. Baker. - London: Cambridge University Press, 1933. - Vol. Y. - 247 pp.

172. Michael Thomas Flanagan's Java Scientific Library. Точка доступа: https://www.ee.ucl.ac.uk/~mflanaga/java/ (дата обращения: 23.07.2019).

173. Henderson, A. The 27 lines upon the cubic surface / A. Henderson. -New York: Hafner Publishing, 1911. - 100 pp.

174. Lawrence, J.D. A Catalog of Special Plane Curves / J.D. Lawrence. -New York: Dover Publication, 1972. - 218 pp.

175. Primrose, W.E.J.F. Plane Algebraic Curves / W.E.J.F. Primrose. - London: MacMillan, 1995.

176. Reye, Т. Geometrie der Lage / Т. Reye. - Hannover. Germany, 1877 (Перевод И.С. Джапаридзе в 3-х томах. - Лейпциг, 1910. - Т.1-3.).

177. Semple, J.G. Introduction of Algebraic Geometry / J.G. Semple, L. Roth. - Oxford: Clarendon Press, 1949. - 446 pp.

178. von Seggern, D.H. Standart Curves and Surfaces / D.H. von Seggern. -Roca Baton: CRC Press, 1993. - 416 pp.

179. Konopatskiy, E.V. Geometric modeling of multifactor processes and phenomena by the multidimensional parabolic interpolation method / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi // IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1441 (2020) 012063. - DOI: 10.1088/1742-6596/1441/1/012063.

180. Konopatskiy, E.V. Geometric modeling and optimization of multidimensional data in Radischev integrated drawing / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi // IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1260 (2019) 072006. -doi: 10.1088/1742-6596/1260/7/072006.

Приложение А. Акты внедрения результатов исследований

Торговый дом

Хозстройинструмент

Почтовый и юридический адрес: 249096, Калужская обл. Малоярославецкий р-он, д.Афанасово ИНН 4011023430 КПП 401101001, ОГРН 1114011000465 р/с 40702810127140000103 в Калужский РФ АО «Россельхозбанк» к/с 30101810100000000780 БИК 042908780. тел.[phone].

о внедрении результатов исследований диссертационной работы доцента кафедры «Специализированные информационные технологии и системы» ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры» Конопацкого

Евгения Викторовича

Модифицированный метод конечных элементов, предложенный в диссертационной работе доцента кафедры «Специализированные информационные технологии и системы» Конопацкого Е.В., рассмотрен и принят к внедрению в конструкторском отделе ООО «Торговый Дом Хозстройинструмент» при выполнении работ по расчёту напряженно-деформированного состояния конструкций в ходе проектирования мостовых сооружений.

Предложенный метод позволяет существенно сократить время конечно-элементного анализа конструкций мостовых и других сложных сооружений с учётом их геометрической, конструктивной и физической нелинейности. Такой подход прочностного расчёта конструкций даёт преимущество относительно существующих методов ЗО-моделирования и существующего расчётного программного обеспечения, путем получения наглядной математической пространственной модели конструкции с наперёд заданными прочностными характеристиками, в короткие сроки и с минимальными машинными и человеческими затратами.

«УТВЕРЖДАЮ» :нерадьцый директор Щ« Горго!?ый Дом

СПРАВКА

Главный инженер

Исх № 3/ /03

Р/с № 26006692230100 в ЦРБ ДНР г. Донецк ОКПО 50019364 МФО 400019 ДНР, 83086, г. Донецк, Ворошиловский район, ул. Октябрьская д.2, Т/ф:[phone], тел.: [phone] E-mail: [e-mail]

Общество с ограниченной ответственностью _«ПРОМСВЕТ»_

От 30 мар-а 2018г

СПРАВКА

Настоящая справка выдана доценту кафедры «Специализированные информационные технологии и системы» ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры» Конопацкому Е.В. о том, что результаты его научно-исследовательской работы рассмотрены и приняты к внедрению в ООО «ПРОМСВЕТ» при проектировании инженерных систем искусственного и смешанного освещения. Предложенный в диссертационной работе Конопацкого Е.В. метод геометрического моделирования светового поля в помещении позволяет определить необходимые значения параметров освещённости в любой точке 3-мерного пространства, чем в значительной мере совершенствует существующие расчёты осветительных установок искусственного и смешанного освещения, основанные на определении освещенности плоскостей с учётом многократного отражения световых лучей. Такой подход позволяет оптимизировать положение источника освещения относительно требуемой рабочей зоны для достижения максимально возможных параметров освещенности.

С уважением

Ген. директор ООО «Промсвет»

Р.А. Федосеев

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ДОНГИПРОШАХТ»

ОНГИПРОШАХТ

ул Артема. 125, г Донецк, 83001 тел /факс [phone] E-mail: dgshv/dgsh duncisk ua www dgsh donetsk ua Код ЕГРПОУ 51001837

/9» № с? / -

На №

В специализированный совет по защите диссертаций

1о внедрении результатов диссертационной работы

Результаты диссертационной работы доцента кафедры «Специализированные информационные технологии и системы» ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры» Конопацкого Евгения Викторовича на соискание научной степени доктора технических наук, а именно разработанный автором способ геометрического моделирования и оптимизации физико-механических свойств бетонной колонны, принят к внедрению и использован для оценки напряженно-деформированного состояния башенного копра в рамках договора № 117-02-ЦВС/0000000000022726160013 от 06.03.2017 г. по теме «Обследование и оценка устойчивости и надежности строительных конструкций существующего башенного копра клетьевого ствола № 4 шахты им. В.И. Ленина ГП «Макеевуголь», разработка рекомендаций по их усилению при использовании данного копра в составе водоотливного комплекса с погружными насосами».

Директор ГУ «Донгипрош

С.Е. Гулько