Геометрическое моделирование локальных тепловых характеристик при технологической обработке объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат наук Плаксин Александр Михайлович

• Плаксин Александр Михайлович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Плаксин Александр Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ПРОЦЕССЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

1.1. Применение численных расчетов при анализе тепловых характеристик, возникающих в процессе механической обработки

1.1.1. Исследование проблем физических процессов, протекающих при механической обработке

1.1.2. Метод конечных элементов как инструмент для расчета тепловых характеристик

1.1.3. Существующие программные продукты моделирования тепловых характеристик методом конечных элементов

1.2. Тепловые характеристики, возникающие в процессе резания

1.3. Математическая модель тепловых процессов в зоне резания

1.4. Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО НАПРЯЖЕНИЯ

2.1. Основные принципы организации функционально-воксельной модели

2.2. Формирование закона температурного напряжения в рамках функционально-воксельного моделирования

2.3. Функционально-воксельное представление тепловых характеристик

2.4. Выводы по второй главе

66

ГЛАВА 3. ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНЫМ МЕТОДОМ

3.1. Определение статических величин теплового расширения тела при единичном (в точке) воздействии теплового источника

3.2. Определение статических величин теплового расширения тела при распределенном воздействии теплового источника

3.3 Принципы моделирования тепловых характеристик вдоль контура сложной геометрии изделия

3.3.1 Принципы моделирования сложного контура изделия на базе Я-функционального метода

3.3.2 Построение сложного контура на базе Я-функционального метода

3.3.3 Моделирование теплового расширения на примере контура сложной формы

3.5. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ ПОЛУЧЕННОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ

4.1. Фрезерование заготовки типа «балка» на универсальном фрезерном станке

4.2. Точение заготовки типа «стержень» на токарно-винторезном станке90

4.3. Обработка полученных результатов

4.3.1 Обработка результатов, полученных после фрезерования детали типа «балка»

4.3.2 Обработка результатов, полученных после точения детали типа «стержень»

4.3.3 Использование полученных результатов для построения траектории движения инструмента

4.4. Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение №

Приложение №

Приложение №

Приложение №

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическое моделирование локальных тепловых характеристик при технологической обработке объектов»

Актуальность работы.

Современные подходы к моделированию тепловых характеристик, возникающих в теле и их влияние на геометрию в современных системах автоматизированного проектирования (САПР), в основном применяют метод конечных элементов (МКЭ). Главным преимуществом МКЭ является возможность комплексного моделирования физики процесса, позволяющее довольно просто, опираясь на наработанные схемы моделировать тепловое взаимодействие двух тел. Например, имеются заготовка и резец из разного материала. Они взаимодействуют по некоторой поверхности, на которой задается закон трения и условия теплопередачи. Задана внешняя нагрузка на резец (или его скорость). Задаются граничные и начальные условия задачи (закрепление или движение заготовки). Далее для вычисления применяются подходящие физически обоснованные уравнения для системы «заготовка-резец». При этом МКЭ позволяет определить контактные нагрузки на границе взаимодействия двух тел, силы трения и мощность тепловыделения. В конечном итоге рассчитывается тепловое расширение заготовки.

Совершенно очевидно, что за простотой инженерных манипуляций над постановкой задачи стоит сложный математический расчет, включающий применение дифференциальных уравнений, увязывающих закон распределения температуры с задаваемыми пользователем параметрами.

Подобными исследованиями и разработками занимались следующие отечественные ученые: д. т. н., профессор Григорьев С. Н. [16, 18, 19, 85], д. т. н., профессор Маслов А. Р. [20, 40 - 42], д. т. н., профессор Волков Д. И. [9, 11, 12], д. т. н., профессор Сальников В. С. [64, 65], д. т. н., профессор Скуратов Д. Л. [66 - 69] и многие другие. К современным зарубежным учёным, работающим на поставленной проблемой, можно отнести: рк d. Ти£га1 Oze1 [96 - 98], рк d. Lazoglu, I. [87 - 89], рк d. Хи Luo [90, 91] и многих других.

Вычислительная сложность математического моделирования физических величин неизбежно приводит к росту погрешностей, неизбежному ограничению в учете параметров и многим другим причинам, влияющим на точность определения тепловой нагрузки на отдельно выбранном малом участке.

Современные аппаратные измерительные средства все активнее внедряются в сопровождение технологических процессов [14, 28], создавая мониторинговую информацию о текущем состоянии физических величин на интересующей области поверхности тела. В таком случае, полученная тепловая нагрузка на поверхности является лишь входным параметром при дальнейшем моделировании изменения геометрии этого тела. МКЭ в этом случае выступает далеко не лучшим расчетным посредником, поскольку при такой постановке результат будет сильно зависит от пространственного расположения узлов сетки.

Аналогичная проблема присутствует в современных аддитивных технологиях, где в задачах спекания порошковых материалов требуется регулировать температуру лазерного воздействия на малую окрестность порошка. Попытки комплексного моделирования процесса селективной лазерной технологии средствами МКЭ не позволяют приблизиться к адекватному решению.

Проблема кроется в том, что при такой постановке задачи, когда отбрасываются технологические аспекты - на первый план выходят законы физики тел, построенные на простых геометрических зависимостях. Задача становится геометрической и требует применения в расчетах современных подходов к применению локальных геометрических моделей (т. е. геометрии на малой окрестности фигуры).

Одним из современных средств компьютерного моделирования локальной геометрии является функционально-воксельный метод [73, 75 - 77]. Он позволяет использовать классические аналитические формулировки физических законов в отдельно взятой точке объекта и моделировать их набором локальных геометрических характеристик для заданного дискретно распределенного пространства. При этом, вычисляемая область функции заменяется областью

локальных функций, описывающих линейную зависимость для каждой окрестности точки на области.

Основой метода является принцип многомерной воксельной организации данных на компьютере для хранения локальных геометрических характеристик, представляющих коэффициенты локальной функции для каждой точки объектного пространства. Такой подход позволяет оперативно получать дифференциальные и интегральные характеристики геометрического объекта, представленного в виде функции, заданной на некоторой области определения, что обеспечивает его эффективную расчетную применимость в задачах аналитического моделирования на компьютере. Благодаря этому имеется возможность оперативного получения доступа к интегральным и дифференциальным характеристикам на функциональной области. Этим объясняется возможность успешного использования метода ФВМ в широком диапазоне задач аналитического моделирования [100, 102, 104, 105], включающем в себя и задачи моделирования возникших в результате механического воздействия физических процессов [32, 70, 106, 108]. Применение метода ФВМ позволяет преодолеть ряд ограничений, существующих при решении подобных задач посредством других методов. Учитывая вышесказанное, задача адаптации аналитических подходов к вопросу моделирования тепловых характеристик при механической обработке методом ФВМ является актуальной.

Объектом исследования в работе является функционально-воксельный метод для моделирования температурного напряжения и теплового расширения тела, возникающих от воздействия заданной тепловой нагрузки, приложенной на малой окрестности поверхности тела.

Предметом исследования в работе являются принципы моделирования температурного напряжения и теплового расширения тела, возникающих при заданной тепловой нагрузке на малую окрестность его поверхности.

Цель работы - разработка компьютерной геометрической модели тепловых характеристик при заданном тепловом нагружении на бесконечно малую окрестность поверхности тела.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:

1. анализ современных подходов к моделированию средств учета тепловых характеристик в технологическом процессе изготовления детали;

2. изучение принципов функционально-воксельного моделирования для определения температурного напряжения в твердом изотропном теплопроводящем теле;

3. разработка дискретной геометрической модели представления изотропии тела и закона распределения нагрузки в нем;

4. применение принципов функционально-воксельного моделирования теплового напряжения для определения изменения геометрии от теплового расширения для твердого изотропного теплопроводящего тела в процессе приложения заданной тепловой нагрузки.

Методы исследования.

Диссертационная работа базируется на методах: функционально-воксельного моделирования (ФВМ), ^-функционального моделирования (КБМ), тестового моделирования на основе метода конечных элементов (МКЭ), а также применяются теоретические основы аналитической и дифференциальной геометрии.

Научная новизна:

1. Разработана геометрическая модель пространственной изотропии, отличающаяся от функционально-воксельной модели обобщенным представлением локальной функции и предназначенная для моделирования величин локальной геометрии на бесконечно малой окрестности точки заданного пространства. Модель задается множеством точек пространства, организующих связки линейных геометрических объектов, что обеспечивает возможность ее использования в расчетах локальных величин функционально-воксельным подходом при моделировании дискретного закона сферического распределения фронта тепловой нагрузки.

2. Сформулирован дискретный закон сферического распределения фронта тепловой нагрузки, отличающийся локализацией точки приложения тепла в законе сферического распределения такого фронта, и позволяющий работать с

моделью пространственной изотропии. Дискретизация закона получена введением понятия сферической окрестности единичной площади для точки приложения тепловой нагрузки в формулировку закона сферического распределения теплового фронта. Такой закон обеспечивает устойчивое соответствие значения температуры на этой окрестности значению температуры прилагаемого источника.

3. Разработана модель теплового расширения, отличающаяся уровневым принципом построения локального изменения геометрии изотропного тела и позволяющая локально наращивать уровень расширения относительно локальных температурных значений, полученных дискретной моделью закона сферического распределения фронта тепловой нагрузки. Полученная модель обеспечивает возможность расчета теплового расширения функционально-воксельным методом.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечивается корректным применением математического аппарата методов компьютерной геометрии и графики, функционально-воксельного метода, а также подтверждается положительными результатами тестирования алгоритмов на сопоставление результатов моделирования с экспериментальными замерами теплового расширения при механической обработке, а также тестовых задач МКЭ.

Практическая значимость и внедрение.

Разработанные геометрические принципы функционально-воксельного моделирования тепловых характеристик прошли апробацию на предприятии АО НПО им. С. А. Лавочкина, при этом реализованы и внедрены в программную платформу функционально-воксельного моделирования при лаборатории компьютерной графики ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на следующих научно-технических конференциях, симпозиумах, форумах и семинарах:

• юбилейная 30-я международная конференция по компьютерной графике и машинному зрению в университете ИТМО ГрафиКон 2020 (г. Санкт-Петербург, 2020 г.);

• 13-е Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ XIII, г. Москва, 2019 г.);

• 18-я Международная молодежная конференция «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD / CAM / PDM - 2018, г. Москва, 2018 г.);

• 17-я Международная конференция «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD / CAM / PDM - 2017, г. Москва, 2017 г.);

• Международная школа молодых ученых и специалистов в области робототехники, производственных технологий и автоматизации. Металлообработка (г. Москва, 2016 г.);

• 26-я Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и студентов (МИКМУС-2014, г. Москва, 2014 г.);

• Студенческая научно-практическая конференция «Автоматизация и информационные технологии» (АИТ-2014, г. Москва, 2014 г.);

• 25-я Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и студентов (МИКМУС-2013, г. Москва, 2013 г.);

• 3-я научно-образовательная конференция «Машиностроение -традиции и инновации» (МТИ-2010, г. Москва, 2010 г.).

Положения, выносимые на защиту:

1. Функционально-воксельная модель температурного напряжения для приложенного в точку теплового нагружения в изотропном теле.

2. Функционально-воксельная модель температурного расширения для приложенного в точку теплового нагружения в изотропном теле.

3. Алгоритм функционально-воксельного моделирования теплового напряжения при распределенном тепловом нагружении в изотропном теле.

4. Алгоритм функционально-воксельного моделирования теплового расширения при распределенном тепловом нагружении в изотропном теле.

5. Автоматизированная технология предварительного моделирования процесса теплового расширения в изотропном теле под воздействием приложенной тепловой нагрузки.

Публикации.

Основные результаты исследований изложены в 13 научных трудах, 5 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК (2 - по специальности 05.01.01), 2 из которых опубликованы в изданиях, проиндексированных базой данных Scopus, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Информация о научных работах, выполненных лично соискателем и в соавторстве, приведена в приложении 4 диссертации.

Личный вклад.

Выносимые на защиту модель пространства изотропии, дискретный закон сферического распределения тепловой нагрузки и модель теплового расширения разрабатывались и исследовались автором лично. Научный руководитель проводил консультации в области применения метода функционально-воксельного моделирования, являясь его основным разработчиком.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 144 страницы, включая 78 рисунков, 7 таблиц и 4 приложения. Список литературы включает 110 наименований, в том числе 35 на иностранных языках.

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ПРОЦЕССЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ

ОБРАБОТКИ

На протяжении многих лет основным способом достижения заданной геометрии деталей в практически любой отрасли является механическая обработка. Наряду с развитием альтернативных способов формирования деталей (аддитивные технологии) [23, 29, 30, 54, 81, 95], современная промышленность продолжает базироваться на средствах механической обработки с удалением материала [8, 82, 92, 109]. С развитием требований к повышению качества выпускаемой продукции, для выполнения высокоточных расчетных задач, технологические отделы стремятся разрабатывать технологическую документацию к выпускаемой детали сложной формы, с учетом точности формообразования и шероховатости создаваемых поверхностей [11, 12, 65]. С точки зрения технологии машиностроения, зачастую такие детали являются нетехнологическими. Например, в космической промышленности, когда идет борьба за наименьший вес и повышенные требования к термоустойчивости деталей, последние имеют сложную геометрию с достаточно жесткими требованиями к размерной части и качеству поверхностей [1 ].

Ввиду вышеизложенного для механической обработки предъявляются все большие требования, а к самому процессу резания уделяется все большее внимание. Актуальной задачей становится не просто обработка в текущий момент геометрии детали, но и задача поддержания ее точности после обработки в цеховых условиях.

1.1. Применение численных расчетов при анализе тепловых характеристик, возникающих в процессе механической обработки

Процесс механической обработки представляет собой совокупность как различных физических процессов, протекающих при резании, так и способов технологичных подходов к работе. Одновременно промоделировать все процессы на данный момент невозможно, а вот каждый в отдельности - задача хоть и непростая, но в рамках текущих условий, выполнимая.

Различные технологические аспекты обработки деталей ложатся на плечи инженеров технологических отделов предприятия и исходят лишь от их накопленного опыта и знаний.

Физические же процессы в различных приближениях можно промоделировать во многих специализированных программах. Для построения процессов на ЭВМ активно используется подход, реализованный на численных методах расчета [15, 71, 84, 86].

1.1.1. Исследование проблем физических процессов, протекающих при

механической обработке

В распоряжении у современной промышленности находится множество способов достижения заданной геометрии детали, в том числе и механическая обработка металлов резанием. Самыми распространенными видами обработки металлов резанием являются точение, фрезерование, сверление, растачивание, строгание, долбление, шлифование и протягивание.

Металлообработка резанием заключается в процессе последовательного снятия слоев металла с поверхности обрабатываемой заготовки режущим инструментом. Таким образом, достигаются требуемые параметры детали, такие как размеры и формы, а также качество поверхностей и их взаимное расположение. При этом процесс металлообработки основывается на двух принципах:

контролируемом процессе целенаправленного разрушения поверхностного слоя заготовки и кинематике процесса резания. Удаление с заготовки в процессе обработки резанием слоя металла осуществляется за счет возникновения в срезаемом слое пластических деформаций и последующего за ними разрушения. Для достижения разрушения срезаемого слоя необходимо придать заготовке и обрабатывающему инструменту относительные движения [50, 51].

Для разрушения поверхностного слоя материала заготовки необходимо возникновение деформаций в точке контакта заготовки и режущего инструмента. Возникновение необходимых деформаций осуществляется по причине оказывания воздействия на заготовку со стороны рабочего инструмента внешней силы Я. При этом действие этой силы направлено в ту же сторону, что и действие вектора скорости резания и. Также можно сказать, что работа, расходуемая на процесс деформации и разрушения материала заготовки, тратится по нескольким направлениям. С одной стороны, работа резания расходуется на упругие и пластические деформации материала заготовки. С другой стороны - на разрушение и преодоление силы трения, возникающей между инструментом, стружкой и заготовкой [31, 94].

Для приведения возникающего в процессе механической обработки силового воздействия в равновесие и создания замкнутой технологической системы, необходимо производить закрепление заготовки со стороны инструмента. Элементами получаемой системы будут являться станок, приспособление, инструмент и деталь. Наглядная иллюстрация взаимодействия сил при обработке точением на примере цилиндрической заготовки представлена на рисунке 1. Положение и значение силы резания зависит от множества факторов. К примеру, среди них можно выделить составляющие режима резания (глубина резания, подача, скорость резания), физико-механические свойства материала заготовки, геометрические параметры режущей части инструмента [2, 17, 43, 53, 80, 103].

Рисунок 1 - Равнодействующая сила резания и ее компоненты Непостоянство точки приложения силы резания неудобно для расчетов. В связи с этим принято равнодействующую силу резания Я представлять разложением по трем составляющим - осевая составляющая Рх, радиальная составляющая Ру, тангенциальная составляющая Р2. Каждая из трех составляющих силы резания соответствует одной из координатных осей металлорежущего станка, представляющих собой взаимно перпендикулярные направления.

Действие осевой составляющей силы резания Рх происходит вдоль оси заготовки плоскости ХОУ. Осевая составляющая используется для проведения расчетов оказывающего влияние на стержень резца изгибающего момента и механизма подачи станка.

Воздействие радиальной составляющая силы резания Ру оказывается в плоскости ХОУ, однако, в отличии от осевой составляющей, оно направленно перпендикулярно оси заготовки. В случаях, когда необходимо определить величину упругого отталкивания от заготовки режущего инструмента или деформации изгиба заготовки в плоскости ХОУ, используется именно эта составляющая силы резания.

Тангенциальная составляющая силы резания Р2, которую также называют вертикальной, действует в направлении главного движения по оси 2. Выделение силы Р2 как отдельного компонента позволяет решать задачи нахождения таких величин, как оказывающий воздействие на стержень резца изгибающий момент, или крутящий момент на шпинделе станка, появляется возможность расчета эффективной мощности резания. Аналогично радиальной составляющей, тангенциальная позволяет определять деформацию изгиба заготовки, однако в отличии от нее уже не в плоскости ХОУ, а в плоскости Х02. Также тангенциальная составляющая силы резания Р2 позволяет проводить динамические расчеты механизмов коробки скоростей станка.

Совокупное рассмотрение составляющих силы резания позволяет проводить расчеты различных характеристик и процессов, сопровождающих обработку заготовки резанием. Рассмотрение возникающей под действием сил Р2 и Ру деформации заготовки дает возможность провести расчеты предполагаемой точности и погрешностей получаемой геометрической формы и размеров. Прочность стержня резца возможно рассчитать после определения значения суммарного изгибающего момента от сил Р2 и Рх [36, 56, 57, 99, 107].

Процесс механической металлообработки является сложным взаимодействием обрабатываемой заготовки и режущей части инструмента, сопровождающимся многими физическими процессами, такими как упругопластические деформации и тепловыделение. Изнашивание обрабатывающего инструмента также оказывает значительное влияние на протекание процесса обработки.

Процесс обработки заготовки на примере обработки резцом возможно упрощенно отобразить схематично. (см. рисунок 2).

На рисунке 2 имеются следующие обозначения:

• Ь - толщина срезаемого слоя;

• 0 - угол сдвига;

• у - передний угол резца;

а - заднии угол резца.

Стружка

Плоскость сдбига

Dr

Рисунок 2 - Зона деформации при превращении срезаемого слоя в стружку Сложное упруго напряженное состояние материала заготовки влечет за собой возникновение постепенно нарастающих пластических деформаций, приводящих в свою очередь к возникновению деформаций сдвига в области стружкообразования, обозначенной на рисунке 2 как область ABC. Условная плоскость 00, по которой происходят деформации сдвига, расположена под углом в = 30°. Можно сказать, что плоскость АВ области стружкообразования отсекает область начала возникновения деформаций сдвига, в то время как плоскость АС обозначает зону окончания возникновения сдвиговых деформаций с последующим за ней образованием стружки.

На рисунке 3 представлена схема, иллюстрирующая напряженное состояние срезаемого в процессе резания слоя материала, расположенного в зоне образования деформаций сдвига, а конкретно - на условной плоскости сдвига. Также на изображении отражены некоторые закономерности, отраженные в эпюрах изменения напряжений вдоль условной плоскости. Так, с сохранением постоянства знака можно наблюдать повышение значения нормального напряжения оу при

движении ближе к лезвию, а значение касательных напряжений т остается постоянным. Причем, на постоянное значение касательных напряжений не оказывают влияния некоторые геометрические характеристики инструмента (передний угол у) и составляющие режима резания (глубина и скорость резания) [33].

Рисунок 3 - Схема напряженного состояния на условной плоскости сдвига

На рисунке 3 имеются следующие обозначения:

• у - передний угол резца;

• 5 - угол заострения режущего клина;

• а - задний угол резца;

• Ь - толщина срезаемого слоя (глубина резания);

• в - угол сдвига.

Отходом производства, возникающим в следствии снятия слоя металла с поверхности заготовки, является образуемая стружка. В зависимости от многих факторов образуемая стружка может быть различной. Среди таких факторов выделяют составляющие режима резания, свойства материала заготовки, геометрические характеристики обрабатывающего инструмента и другие. По

внешнему виду и строению стружки выделяют четыре основных типа: сливная (см. рисунок 4.а), элементная (см. рисунок 4.б), суставчатая (см. рисунок 4.в) и стружка надлома (см. рисунок 4.г) [4, 10].

МЗА

а б в г

Рисунок 4 - Различные виды образуемых стружек При рассмотрении видов стружки в такой последовательности, можно проследить постепенное нарушение целостности получаемой стружки с уменьшением пластичности срезаемого материала или скорости обработки.

Первый вид стружки представляет собой сплошную ленту металла, с характерной гладкой прирезцовой стороной. Образование сливного типа стружки обусловлено обработкой пластичных материалов на высоких скоростях. Второй вид стружки (элементная) отличается от сливной тем, что внешняя сторона сплошной металлической ленты стружки покрыта ярко выраженными зазубринами. Образуется такая стружка в процессе обработки не пластичных металлов, но металлов средней твердости. Третьим рассматриваемым видом стружки является суставчатая. В связи с тем, что такая стручка представляет собой что-то среднее между элементной стружкой и стружкой скалывания, такая стружка считается практически переходной между этими двумя видами. Такая стружка представляет собой разрозненные, но достаточно близкие по размерам и форме отдельные элементы. Также составной из отдельных элементов является стружка надлома, получаемая при обработке резанием хрупких металлов. Отличительной особенностью такой стружки от элементной является значительное отличие размеров и форм элементов друг от друга. Поверхность резания при образовании

стружки надлома может быть покрыта отметинами от выломанных элементов материала в случае расположения поверхности сдвига ниже поверхности резания.

Напрямую от типа получаемой стружки зависят шероховатость получаемой поверхности, сила резания и износ обрабатывающего инструмента. В тоже время, имеется возможность перевода стружки между разными состояниями за счет воздействия на режущий инструмент. Наличие у обрабатывающего инструмента разделительных канавок, стружколомательных устройств и порожков позволяет получать в процессе резания вместо суставчатой стружки элементную [38].

Одним из явлений, зачастую сопровождающим процесс металлообработки в определенных условиях резанием большинства конструкционных металлов, является процесс наростообразования. Нарост представляет из себя слой материала заготовки, задержавшийся возле режущей кромки инструмента на его передней поверхности (см. рисунок 5).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Плаксин Александр Михайлович, 2021 год

■р -

1 + 2 ^ + 4пЯ2

где = ^ + уР2 +

при условии, что начало системы координат располагается в точке приложения тепла , ук, гк).

к

Полученная формула подобна функции квадратичной гиперболы: у = — (см. рисунок 21).

Рисунок 21 - Графическое представление в первой четверти для функции у = —

Изображение графика на рисунке 21 является общим для семейства функций гиперболических кривых в первой четверти координатной системы. Тот же график

функции у = для обоих четвертей будет выглядеть следующим образом (см. рисунок 22).

fc

Рисунок 22 - Графическое представление функции у = —

Приведенный дискретный закон отчасти соответствуют закону квадратичной гиперболы вращения с той разницей, что при Д^ = 0 значение = 0. А при 0 = 1, принимают вид, приведенный на рисунках 23 и 24. Дополнительно на рисунке 23 отмечена область, площадь (или в пространстве объем) которой можно соотнести с количеством температуры, приложенной к телу, т. е. ввести закон равновесия:

^ = .

В простейшем случае, когда /(х, у, г) = 1, тройной интеграл

численно равен объему тела. Данное утверждение вполне ложится в понятие объема минимального куба подфункционального пространства, т. е. V = L х Ш х Я, где:

• Ь - длина малого куба;

• Ш - ширина малого куба;

• Н - высота малого куба.

Рисунок 23 - Двухмерный график функции

0

Ъ = / {ХР1, УР1) =

1 + 2 ^ + 4лЯ?

Рисунок 24 - Трехмерный график функции

0

п f {хР1 > УР1 > гР1) ^

1 + 2 ^ + 4тт Я 2

Иными словами, можно сказать, что объем - бесконечно малый объем данного элементарного куба. Тройной интеграл позволяет сложить минимальные объемы по области исследуемого тела в полноценный объем 7.

В случае определения полноценного объема, необходимо учитывать

значение функции (температуры) в 4-х мерном пространстве, т. е.:

©

= I и^и,

'V/

0

=I

0

где и = III -5-йх^у^г.

у 1 + 2 ^ +

Тогда определить объем исходной функции можно как:

0 г ж н

Оу1 = 1111 -Б-йх^у^г^и

=НИ 1

1

р

■ + 2 —^ + 4-^Я2 о о о о 1 ^ 2 ^^

0 У2О) г(х,у) ^(х^)

оу; = I йх I йу I йг I -5-йи.

^1+2 +

0 у1(х) 21(х,у) и1(х,у,г) ^ ~ ^ ^

Вычисление указанных интегралов производится последовательно от самого вложенного ко внешнему. Для удобства восприятия можно записать формулу в виде:

0 / У2ОО ^ 2(Х,у)

^2(х,у,г)

0

-йи

11

•V 17 71

И-

и1(ж,у,г) 1 + 2 +

Йг > Йу I ЙХ

о \У1(х)

Из этой записи уже однозначно видно, что:

• сначала интегрируется функция = и(х, у, г) по переменной и, а в качестве пределов интегрирования берутся уравнения и = % (х, у, г) и и = и2 (х, у, г);

• получившийся на предыдущем шаге результат интегрируется по переменной г, а в качестве пределов интегрирования берутся уравнения г = (х, у) и г = г2 (х, у);

• получившийся на предыдущем шаге результат интегрируется по переменной у, а в качестве пределов интегрирования берутся уравнения у = у ± (х) и у = у 2 (х);

• получившийся на предыдущем шаге результат интегрируется по переменной , а в качестве пределов интегрирования берутся уравнения х = 0 и х = 0.

Так как функция сг^ является бесконечно приближающейся к плоскости X О У, то значения граничных условий можно задавать исходя из задачи точности или границ и расширения функционально-воксельного пространства.

2.3. Функционально-воксельное представление тепловых характеристик

Применим линейную аппроксимацию полученного дискретного закона для двухмерного случая, рассматриваемого в сечении изотропного тела. Следует при этом учесть, что по предложенному ранее принципу для описания области функции бг0/ (х,у), формулирующей дискретный закон, требуется увеличение размерности

ее пространства, т. е. f {х,у, <гв^ = 0. Для перехода к локальным функциям

д{х,у, ~ f(x,у, <гв^) применим формулу вычисления точек на плоскости по

трем опорным точкам Рг (хг, у±, ав/1), Р2 (х2,у2, , Рз (*з,Уз, авГз). в общем случае ее можно записать через определитель:

= 0

°вГ 1

1 °0Г1 1

*2 2 1

з з °9Гз 1

или

1 1 2 2 з з

°вг а*Т1 1 1 1

°0Г2 1 = X • 2

™*Тз 1 з

1 автх 1 1 1 1

2 1 + г • 2 2 1

з а*Тз 1 з з 1

Х1 У1 а0/1 *2 У2 ^0/2 хз Уз ^0/гз

= X • (у1 • ^0/2 • 1 + ст0/1 • 1 • Уз + 1 • У2 • 00/3 - 1 • 00/2 • Уз - У1 •1 • - • У2 • ■) --У (*1 • • 1 + • 1 • *3 + 1 • ^2 • - 1 • • *з - • 1 • - • ^2 • 1) +

+ ^0/ ■ ■ У2 ■ 1 + У1 ■ 1 ■ ^3 + 1 ■ *2 ■ Уз - 1 ■ У2 ■ *з - *1 ■ 1 ■ Уз - У1 ■ ^2 ■ 1) -

- (*1 ■ У2 ■ О0/з + У1 ■ ■ *з + ■ ■ Уз - ■ У2 ■ *з - ■ °0/2 • Уз - У1 ■ *2 ■ ^0/з) = = (у1 ■ ^0/2 + ^0/1 ■ Уз + У2 ■ ^0/з - ^0/2 ■ Уз - У1 ■ ^0/з - ^0/1 ■ У2) ■ X +

+ (^0/2 ■ *з + *1 " ^0/з + ^0/1 ■ ^2 - ■ ^0/2 - ^0/1 ■ *з - *2 ■ ^0/з) ■ У + + (*1 ■ У2 + У1 ■ *з + *2 ■ Уз - У2 ■ *з - ■ Уз - У1 ■ *2) ■ ^0/ + + (^0/х ■ У2 ■ ^з + ■ ^0/2 ■ Уз + У1 ■ ^2 ■ О0/з - ■ У2 ■ °0/з - У1 • °0/2 • хз - О0/х ■ *2 ■ Уз) Обозначим значения в скобках в следующем виде:

а = (У1 ■ О0/2 + ■ Уз + У2 ■ ^0/з - ^0/2 ■ Уз - У1 ■ ^0/з - ^0/1 ■ У2)

Ь = - (ст0/2 ' Хз + Х1 ' а0/з + а0/1 ' х2 - Х1 ' а0/2 - а0/1 ' хз - х2 ' СТ0/з)

С = (*1 ■ У2 + У1 ■ ^з + *2 ■ Уз - У2 ■ *з - ■ Уз - У1 ■ *2) л = (о0/х ■ У2 ■ Хз + ХХ ■ а0/2 ■ Уз + Ух ■ х2 ■ а0/з - хх ■ у2 ■ а0/з - ух ■ а0/2 ■ Хз - а0/1 ■ х2 ■ уз) Тогда локальную, как:

= ах + Ьу + + й = 0

* У ^0/ 1 *1 У1 ^0/1 1 *2 У2 ^0/2 1 *з Уз ^0/з 1

В итоге для каждой точки на области функции температурного напряжения

в изотропном теплопроводящем теле справедливо соответствие:

й а Ь ^,У) ~ ^00 =---х--у.

с с с

Воксельное представление значений температурного напряжения в изотропном теплопроводящем теле в двумерном сечении представлено на рисунке

25. Данный функциональный образ отражает распространение теплового потока внутри тела, учитывая его коэффициент теплопроводности.

0

Воксельное предстадление ' единичного температурного напряжения

Рисунок 25 - Воксельное представление значений функции <7вд, для единичной

тепловой нагрузки

Для распределенного источника тепла воксельное представление примет следующий вид, представленный на рисунке 26.

0

I

Воксельное предстадление / распределенного температурного напряжения

ШМШТОУ/

/

Рисунок 26 - Воксельное представление значений функции овд, для распределенной тепловой нагрузки Сравнение температурного напряжения при приложении тепловой нагрузки в точке тела приведено на рисунке 27, где слева расположен эксперимент,

проведенный методом конечных элементов в среде SolidWorks Simulation (прим.: для имитирования точки был выбран мелкий шаг сеточного разбиения), а справа -средствами ФВ-метода.

МКЭ ФВМ

Рисунок 27 - Сравнение образов распределения температурного напряжения, выполненных МКЭ и ФВМ при приложении нагрузке в точке Сравнение температурного напряжения при распределенной тепловой нагрузки приведено на рисунке 28, где слева расположен эксперимент, проведенный методом конечных элементов в среде SolidWorks Simulation, а справа - методом функционально-воксельного подхода.

МКЭ ФВМ

Рисунок 28 - Сравнение распределения температурного напряжения МКЭ и ФВМ

при приложении распределенной нагрузки Как отмечалось ранее в ходе определения объема подфункционального пространства функции необходимо решить четверной интеграл вида:

У2ОО f z(x,y)

о,

У1(х) UiO-y)

U2(x,y,z)

I1

0

Ui(x,y,z)

+ 2 ^ +

dz > dy I dx

Воспользуемся двумя подходами: решением выражения численным методом в среде МаШСАО и подходом, предложенным в [77], как функционально-воксельный расчет многомерных объемов.

В качестве граничных условий выберем куб исследования 100 х 100 х 100, а в качестве источника прилагаемой температуры: 0 = 1. Выбор куба для единичной нагрузки вполне достаточен для определения в соответствии:

Таким образом, в среде МаШСАО вычисление численным методом

выражения примет вид:

1 100 100 100

Для реализации второго подхода к вычислению воспользуемся принципами определения интегральных значений функционально-воксельным методом. Для понимания ФВ-подхода, рассмотрим методику вычисления площади на примере все той же функции описания окружности, рассмотренной в работе [77].

Применение воксельного подхода основывается на равномерной дискретизации области X х V, где X = Хтах - ХтЫ, а V = Гтах - УтЫ, на двумерную воксельную область I х /, где I х / - целочисленные габариты образа. Шаг получаемой сетки 5 определяется отношением по рассматриваемым осям:

Для наиболее удобного применения положительной области функции в расчете интегрального значения (площадь круга) возникает необходимость преобразования функции к предикатному виду: г = f(x,y) ^ {1; 0}, где число ноль будет обозначать отсутствие точки в положительной области значений. Приведение функции к требуемому виду осуществляется в два этапа.

^вь = к <Гу1.

йхйуйгйи « 30,378

Осевым сечением функции единичного круга является парабола, смещенная по оси на единицу (см. рисунок 29). Приведем рассматриваемую функцию к виду, определения знака (sign), показанную на рисунке 30 следующим образом:

^(Х) = |/(х))' ПРИ ^(Х) Ф

Рисунок 29 - График функции параболы, смещенная по оси на единицу

Рисунок 30 - Приведение исходной функции к бинарному виду Следующий этап предполагает обнуление отрицательной области (см.

рисунок 31):

q(x) =

£(*) + 1

-1

х

Рисунок 31 - Обнуление отрицательной области

В результате площадь единичного круга сводится к последовательному перебору единичных значений в точках воксельного пространства, умноженных на площадь, образуемую дискретным шагом Б х х Бу:

п т Я ^Я2-х2

$круг = XX чЫ, У]) бхбу ~ I I (н 2 -х2 - У2) аУах-

1=° } = 0 -Я -^2-х1

В общем случае для некоторой функции f(x, у) формула принимает вид:

Ь Ч(х)

5{ = I I /(х,у)йуйх,

а д{х)

-/ (*>У)

гл д(х) + \д(х)\ \Г(х,у)\

ц(х) = — -

+ 1

2 2

В конечном итоге получаем, что площадь фигуры, образованной положительной областью некоторой функции f(x,y) и равна:

Ь <?00 -[ (х,у)

\Г(х,у)\

п т > + 1

2 •-'х'-'у'

а д'(х) 1=0 1=0

= I I /(х,у)йуйх ^^^

где f(х,у) Ф 0, тхп - двумерная целочисленная область воксельного пространства.

Рассматривая «-мерный случай для функции вида /(х1хп) Ф 0 можно получить ее объем [77], как:

(*1 к ' "■' хщп)

■ , х + 1

тл тг, 1 ' N1-1.

2 X1 ' хп

¿! = 0 ¿п = 0

Исходя из вышеизложенного, рассчитываем объем оУд для единичного источника тепла, т. е. 0 = 1, как:

1 + 2 ^ + 4л:Д?

и„

о-,

1 100 100 100 =х х х х

0

О

1 + 2 ^ +

0 ¿=0 ;'=0 ^=0

где 5Х = 5У = 52 = = 1 - шаг дискретизации воксельного пространства, а

АР = )2 + (;5у)2 + )2.

Результаты расчетов приводят к результату = 30,12. Проводя сравнение значения, полученного численным методом решения = 30,378 с значением, полученным ФВ-методом, где оу; = 30,12 для единичного источника температуры можно сделать заключение, что коэффициент

к = ^, подтвержденный обоими подходами к применим к реализации.

В результате проведения расчетов можно вывести соответствие, что

о© =

30

Таким образом, модель можно считать завершенной с учетом равновесия объемного распределения температурного напряжения. Практически, это позволяет при мгновенном приложении тепловой нагрузки распределять ее сразу, а не сосредотачивать в единице объема, т. е. при мгновенном приложении нагрузке

в точке, величина нагрева точки меньше в величину к = —.

2.4. Выводы по второй главе

Предполагаемый подход функционально-воксельного моделирования, основанный на локальных геометрических характеристиках, позволяет в рамках выполнения задачи расчета температурного напряжения в изотропном теплопроводящем теле:

1. Сопоставить функционально-воксельную модель с законом изотропии путем обобщенного представления пространства ФВ-модели узловыми связками плоскостей, вращение которых обеспечивает равномерное сферическое распределение параметров.

2. Построить графо-аналитическую модель температурного напряжения для приложенной тепловой нагрузки в точке пространства изотропии на основе ФВ-моделирования.

3. На основе графо-аналитической модели температурного напряжения разработать модель температурного напряжения при единичном и распределенном приложении источника тепла.

4. Провести сравнительный визуальный анализ полученной формы температурного напряжения МКЭ и ФВ-методом наглядно демонстрируя адекватность сформулированного закона сферического распределения.

ГЛАВА 3. ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНЫМ МЕТОДОМ

Тепловое расширение [49, 52, 93 101] - изменение линейных размеров и формы тела при изменении его температуры. Говоря о тепловом расширении твердых тел, дополнительно рассматриваемая коэффициент, характеризующий линейное тепловое расширение тела.

Учет теплового расширения тел необходим в случае конструирования всех агрегатов, работа которых осуществляется в среде с непостоянными температурными условиями.

Согласно основному закону, описывающему процесс теплового расширения, тело, имеющее линейный размер , по рассматриваемому измерению увеличивается на величину AL. В случае, когда на рассматриваемое тело не оказывают влияния внешние механические силы, величина AL вычисляется как:

A L = atL A T

где ai - так называемый коэффициент линейного теплового расширения.

Представленная ситуация является наименее сложным рассмотрением закона теплового расширения, что связано с тем, что коэффициент теплового расширения не находится в зависимости от направления расширения или от температуры. В таких случаях тепловое расширение будет осуществляться во все стороны равномерно соответственно представленному выражению. Формулы, необходимые для вычисления изменения площади или объема имеют схожий вид.

Для объемного расширения тела АV подход совершенно аналогичный, где вместо коэффициента линейного теплового расширения применяется коэффициент объемного теплового расширения :

AV = avVAT.

В общем случае, коэффициент линейного теплового расширения может быть различен при измерении вдоль разных направлений. Например, у анизотропных

кристаллов, древесины коэффициенты линейного расширения по трем взаимно перпендикулярным осям: ах, , . Для изотропных тел ах = = и ау = 3аг.

3.1. Определение статических величин теплового расширения тела при единичном (в точке) воздействии теплового источника

Введя ранее соответствие между приложенной температурой к телу 7у и ее объемной интерпретацией , а также представление указанных локальных функций в ФВ-пространстве как , допустимо утверждение, что некоторый температурный объем, распределенный по площади образующей сферы, участвует в тепловом расширении последнего, как

ДУ = ОД,

где а - коэффициент теплового расширения, - температурное напряжение в 1-й точке, а У - объем сферы, образуемой приращением радиуса ДД;.

Построение дискретной геометрической модели расширения поверхности заключается в расчете координаты приращения, (например - Дг^), определяемой для рассматриваемой ¿-ой точки. А значит, полученный объем ДУ; необходимо поделить на дискретную модель определения текущей площади круга как площадки, наращиваемой радиусом ДД;:

51 = тсД2 = 1, а значит Д = 1/7^,

$ = л:(Д + ДД;)2 = п + 2 -1ДД + ДД2^ = 1 + 2^^ + л:ДЯ?,

ДУ

Д^ =--т, где ДУ = ОД;.

1 1 + 27^ДД^ + гсДЯ? 1 1 1

Для определения ДУ; необходимо по аналогии с выразить наращиваемый объем у:

4 з

У1 = — тсД3 = 1, а значит Д = 3 , N

3

4 л:

4п(Я + АЯ^)3 4п, _ 2

У1 = —^-3-— = — (Я3 + 3Я2АЯ1 + 3ДАД? + АЯ?)

= 1 + 3

N

-пАЯ; + 3

3 1

N

/4 \2 4

(зV АЯ? +3жАЯ*

где АЯ^ = ^хр2 + ур2. + гр2.

Полученный температурный объем на наибольшем расстоянии минимально влияет на геометрию объекта, так как радиус образующей сферы увеличивается, а температурный объем, наоборот уменьшается [58, 59].

Иными словами, можно сказать, что на максимально удаленном расстоянии АЯ1 на текущей итерации изменение объема АУ^ расширяет тело по всей площади круга радиусом АЯ^ (см. рисунок 32).

А

щ ¡¡к

е

г

-к

КГ

Рисунок 32 - Визуализация теплового расширения на А^ для текущего А^ Совокупность «пластов» для каждого АЯ^ с А^ дает полноценную картину теплового расширения при приложении тепловой нагрузки в точке. Самое максимальное расширение тела приходится на место приложения источника тепла. Также стоит отметить, что границы контура расширения повторяют ранее выведенный закон (график функции

йхйуйгйи,). Исключением является «сглаживание» в

_ гв г1 гШ гН

0 ->0 ■>О ->0 1 + 2^+4жк2

точке приложения, физически аргументированное связями кристаллической решеткой, т. е. коэффициентом линейного (или объемного) расширения и

теплопроводностью материала. Формирование участка теплового расширения тела с приложением источника тепла в точке представлено на рисунках 33 и 34.

Рисунок 33 - Трехмерное представление результата построения теплового расширения с приложением тепловой нагрузки в точке

0

Рисунок 34 - Формирование теплового расширения при приложении теплового

источника в точке

Моделирование данного подхода функционально-воксельным методом приведено на рисунке 35. Для улучшения визуального восприятия закона теплового расширения тела значительно увеличим температуру источника тепла. Данный функциональный образ представлен на рисунке 36.

Рисунок 35 - Моделирование теплового расширения тела с приложением

источника теплоты в точке

Рисунок 36 - Моделирование теплового расширения тела с приложением источника теплоты в точке с увеличением температуры для визуального

восприятия закона

Для проведения визуального сравнения полученных результатов формы теплового расширения с приложением тепловой нагрузки в точке, выполним однотипное моделирование теплового расширения методами ФВМ и МКЭ, проведенных в среде SolidWorks Simulation. Результаты экспериментов представлены на рисунке 37.

МКЭ ФВМ

Рисунок 37 - Сравнение результатов моделирования при точечном воздействии

источника теплоты к поверхности тела

Как видно из рисунка 37 форма теплового расширения при визуальном восприятии совпадает. Отличием является образованная плоская площадка, полученная в методе конечных элементов. Это обуславливается тем, что метод не позволяет моделировать точечное воздействие, и для него необходимо задание некоторой площадки.

3.2. Определение статических величин теплового расширения тела при распределенном воздействии теплового источника

Исходя из полученного закона теплового расширения для функционально-воксельного подхода при приложении источника тепла в точке, можно промоделировать тепловое расширение при приложении распределенной тепловой нагрузки.

Для получения формы теплового расширения при распределенной тепловой нагрузки необходимо суммировать законы теплового расширения для единичной нагрузки в каждой точке приложения. Таким образом, изменение объема текущей итерации Д^ для точки с распространением по площади сферы с радиусом ДИ^, распределенной вдоль некоторой прямой длиной L примет вид, представленный на рисунке 38.

0

I

.1111НИП11ЧП11ПЧ.

Рисунок 38 - Визуализация теплового расширения на Д^ для текущего Д^ с

учетом распределения нагрузки L

Совокупность «пластов» для каждого ДЯ^ с Д^ дает полноценную картину теплового расширения при приложении распределенной тепловой нагрузки вдоль некоторой прямой длиной L. Самое максимальное расширение тела приходится на место приложения источника тепла. Также стоит отметить, что границы контура расширения повторяют ранее выведенный закон (график функции

01// = (Т Г (Г (Т--йхйуйгйи,). Исключением является «сглаживание» в

точках приложения, физически аргументированное связями кристаллической решеткой, т. е. коэффициентом линейного (или объемного) расширения и теплопроводностью материала, как и в случае с приложение тепловой нагрузки в точке. Формирование участка теплового расширения тела с распределенным приложением источника тепла представлено на рисунке 39 и 40.

Рисунок 39 - Трехмерное представление подхода к формированию теплового расширения с распределенной приложением тепловой нагрузки вдоль некоторой

прямой L

Рисунок 40 - Формирование теплового расширения при распределенном приложении теплового источника вдоль некоторой прямой L

Моделирование данного подхода функционально-воксельным методом приведено на рисунке 41. Для визуального восприятия закона теплового расширения тела увеличим температуру источника теплоты. Данный функциональный образ представлен на рисунке 42.

Рисунок 41 - Моделирование теплового расширения тела с распределенным

приложением источника теплоты

Рисунок 42 - Моделирование теплового расширения тела с распределенным приложением источника теплоты с увеличением температуры для визуального

восприятия закона

Для проведения сравнения полученных результатов теплового расширения с приложением распределенной тепловой нагрузки, выполним однотипное моделирование теплового расширения методами ФВМ и МКЭ, проведенных в среде SolidWorks Simulation. Результаты экспериментов представлены на рисунке 43.

МКЭ ФВМ

Рисунок 43 - Сравнение результатов моделирования при распределенном воздействии источника теплоты к поверхности тела

Как видно из рисунка 43 геометрия теплового расширения при визуальном восприятии совпадает.

3.3 Принципы моделирования тепловых характеристик вдоль контура

сложной геометрии изделия

3.3.1 Принципы моделирования сложного контура изделия на базе

Я-функционального метода

Задача построения контура сложной формы изделия в рамках функционально-воксельного метода требует применения подхода, позволяющего осуществлять моделирование на области непрерывной функции. Подходящим решением будет являться использование функций Рвачева (Я-функций), осуществляющих теоретико-множественные операции на функциональной области. Теория Д-функций [26, 35, 61] дает возможность определить уравнение для рассматриваемого геометрического объекта, решая тем самым обратную задачу аналитической геометрии. При этом, даже в случае применения теории Д-функций к сложным геометрическим объектам, будет выполняться главное условие: внутри функциональной области рассматриваемого объекта будут сохраняться значения одного знака, снаружи функциональной области -

противоположного знака, а на границе между внутренней и внешней областью, представляющей собой, как правило, контур объекта - значения будут нулевыми.

В теории Я-функций для процедур аналитического моделирования а-система получила наибольшее распространение. Состоит а-система из трех основных функций:

Ш1 Аа ш2 = —+ ш2 +

Ш1 Уа ^2 = + ^2 - + —

= — &>1

где и - функции-предикаты, существующие на общей области задания; а(ш1, ) - произвольная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенствам —1 < а(ш1, ш2) < 1. В а-системе каждое уравнение имеет следующее назначение:

1. ш1Ааш2 = + ^>2 — —) - теоретико-

множественная операция пересечения двух функциональных областей и ;

2. ш1 Уа ш2 = + — + ^>2 — 2аы1ы2) - теоретико-

множественная операция объединения двух функциональных областей и ;

3. ш! = — - теоретико-множественная операция отрицания на области ш1.

Коэффициент а, значения которого лежат в промежутке — 1 < а < 1, в рассмотренной системе играет особую роль. Данный коэффициент оказывает влияние на форму поверхности на области применения Д-функции.

3.3.2 Построение сложного контура на базе Я-функционального метода

В качестве объекта, представляющим собой сложный контур, была выбрана фигура, представленная на рисунках 44 и 45.

Рисунок 44 - Исходная деталь заданной геометрии в трехмерном представлении

200

40 80 40

N Г Л

Г V кзо то 6 мест )

Рисунок 45 - Чертеж детали для моделирования приложения тепловой нагрузки Разобьем контур на ряд выпуклых подконтуров для применении в Я-функциональной конструкции. Зададимся, что обход инструментом будет выполняться по внутреннему контуру. Контур с разбиением на подконтуры Ш2 и ШЗ представлен на рисунке 46. Штриховкой выделен результат достижения желаемой геометрии.

Рисунок 46 - Пример разбивки исходного контура на подконтуры Далее на рисунках 47 ^ 49 указаны координаты и направления обхода построения подконтуров. Для удобства восприятия оси координат позволяют визуально наложить изображения контуров на исходный. Во избежание влияния нулевых значений границы одного из объектов на общую положительную область при объединении подконтуров Ш1 и Ш2 подконтур Ш2 смещен в тело подконтура Ш1 с последующим выполнением теоретико-множественной операции объединения. Совокупность выполнения операций над подконтурами позволяет в итоговом варианте получить результирующий контур.

Рисунок 47 - Выделение координат и направление обхода для формирования

подконтура Ш1

Рисунок 48 - Выделение координат и направление обхода для формирования

подконтура Ш2

\л/3

(-70; 30!R10 w16

(-70; -35! R10 { w15

(-30; 55! R10

(30 55! R10

х

w19 (70; 30/ R10

w20 ) (70; -35! R10

(О; -i5,7 R30

Рисунок 49 - Выделение координат и объектов для формирования подконтура W 3 Порядок описания функции результирующего контура в виде специализированного кода в системе РАНОК повторяет последовательность приведенных процедур:

RECTANGLE(-100, -80, 100, 80) RECTBMP(210, 170)

ARGUMENT x, y

FUNCTION w1 = -x - 80

FUNCTION w2 = x * (30 - 40) - y * (-80 - (-70)) + (-80 * 40 - 30 * (- 70))

FUNCTION w3 = y - 40

FUNCTION w4 = x * (40 - 30) - y * (70 - 80) + (70 * 30 - 40 * 80)

FUNCTION w5 = x - 80

FUNCTION w6 = x * (-35 - (-45)) - y * (80 - 70) + (80 * (-45) - (-35) * 70)

FUNCTION w7 = -y - 45

FUNCTION w8 = x * (-45 - (-35)) - y * (-70 - (-80)) + (- 70 * (-35) - (-45) *

FUNCTION W1 = w1 | w2 | w3 | w4 | w5 | w6 | w7 | w8

FUNCTION w9 = -x - 40

FUNCTION w10 = x * (55 - 65) - y * (-40 - (-30)) + (-40 * 65 - 55 * ( -30))

FUNCTION w11 = y - 65

FUNCTION w12 = x * (65 - 55) - y * (30 - 40) + (30 * 55 - 65 * 40)

FUNCTION w13 = x - 40

FUNCTION w14 = -y

FUNCTION W2 = w9 | w10 | w11 | w12 | w13 | w14

FUNCTION w15 = (x - (-70))A2 + (y - (-35))A2 - 10A2

FUNCTION w16 = (x - (-70))A2 + (y - 30)A2 - 10A2

FUNCTION w17 = (x - (-30))A2 + (y - 55)A2 - 10A2

FUNCTION w18 = (x - 30) A2 + (y - 55)A2 - 10A2

FUNCTION w19 = (x - 70) A2 + (y - 30)a2 - 10A2

FUNCTION w20 = (x - 70) A2 + (y - (-35))A2 - 10A2

FUNCTION w21 = (x) A2 + (y - (-45))A2 - 30A2

FUNCTION W3 = w15 & w16 & w17 & w18 & w19 & w20 & w21 FUNCTION W = W1 & W2 & W3 RETURN W

В конечном итоге сформированный контур W в виде функционального

воксельного образа приведен на рисунке 50.

Рисунок 50 - М-образ положительной области проектируемого контура детали W

Дополнительно приводится построение базовых М-образов исходной функции, взятой по модулю, для выделения результирующего контура с нулевыми значениями. Набор базовых М-образов приведен на рисунке 51.

П1 ^ С1 П2^ С2 п3 ^ С3 С4

Рисунок 51 - Базовые М-образы ФВ-модели области контура детали W Далее к полученному объекту W будет приложена тепловая нагрузка как в

точечном исполнении, так и распределенном.

3.3.3 Моделирование теплового расширения на примере контура сложной

формы

В этом подразделе приведены наглядные примеры приложения тепловых нагрузок к полученному ранее контуру W. На рисунках 52 и 53 тепловая единичная нагрузка приложена к различным участкам контура W. В результате получено наглядное представление о возникающем при этом температурном напряжении в теле объекта и его предполагаемой форме теплового расширения.

Точка приложения теплобой нагрузки

Рисунок 52 - Пример приложения тепловой нагрузки в точке прямолинейного

участка контура

Рисунок 53 - Пример приложения тепловой нагрузки в точке криволинейного

участка контура

Рисунок 54 демонстрирует случай приложения распределенной тепловой нагрузки на прямолинейном участке контура. Наблюдается возможное изменение формы контура при возникающем расчетном расширении в точках объекта.

Рисунок 54 - Пример приложения распределенной тепловой нагрузки к

указанному участку контура Как видно из вышеприведенных расчетных экспериментов приложение единичной и распределенной тепловой нагрузки на различных участках контура позволяет получить представление о температурном напряжении в теле, а также форме теплового расширения рассмотренных участков. Данную информацию

целесообразно учитывать для моделирования обхода инструментом, заранее имея информацию о свойствах материала, влияющих на натурный эксперимент.

3.5. Выводы по третьей главе

По окончании третьей главы сформулированы следующие основные выводы:

1. Визуализация результатов расчета функционально-воксельной модели теплового расширения для приложенного единичного источника тепла к поверхности тела сопоставимы с результатами, полученными средствами МКЭ. Сравнительный анализ с расчетными данными метода конечных элементов, показывает визуальную сходимость результатов. Стоит отметить, что для моделирования точечного воздействия методом конечных элементов применялась область, необходимая для организации сетки тела. При разработанном подходе данная проблема отсутствует.

2. Результат функционально-воксельного моделирования теплового расширения при приложении распределенного источника тепла к поверхности тела сопоставим с визуализацией расчетов, полученных средствами МКЭ. Сравнительный анализ с расчетными данными, определенными методом конечных элементов, также показал визуальную сходимость результатов.

3. Пример моделирования приложения источника тепла (как единичного, так и распределенного) к поверхности сложного контура показал возможность создания инструментария для учета тепловых характеристик при проходе режущего инструмента.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ

ПОЛУЧЕННОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ

Для представления реальных результатов механической обработки с учетом влияния тепловых процессов при резании и сопоставлении их с полученными теоретическими результатами необходимо провести ряд экспериментов. Исходя из того, что механическая обработка резанием на производстве чаще всего представлена операциями фрезерования и точения, то для эксперимента выберем:

• фрезерование плоскости заготовки типа «балка» на универсальном фрезерном станке;

• точение заготовки типа «стержень» вдоль оси универсального токарно-винторезного станка.

4.1. Фрезерование заготовки типа «балка» на универсальном фрезерном

станке

В качестве материла обрабатываемой заготовки выбран алюминиевый сплав АМг6 ГОСТ 4784-2019 в состоянии поставки плиты АМгб.М ОСТ 1 92001-90. Сплав АМг6 - это магналий (сплав алюминия с магнием) высокой пластичности, но средней прочности. Он обладает хорошей коррозионной стойкостью, хорошей обрабатываемостью резаньем и хорошо обрабатывается давлением. Однако, в ряду прочих широко известных магналиев этот сплав занимает первое место по прочности и твердости, но последнее место по коррозионной стойкости и последнее место по пластическим свойствам.

Физические свойства сплава АМг6:

• модуль упругости первого рода Е = 0,71 • Ю-5 МПа;

• коэффициент температурного (линейного) расширения

а