Геометрическое моделирование локальных характеристик механического напряжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат наук Пушкарев Сергей Алексеевич

• Пушкарев Сергей Алексеевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Пушкарев Сергей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ТЕНЗОРНЫХ ВЕЛИЧИН НАПРЯЖЕНИЯ НА БАЗЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

1.1 Методы трехмерного геометрического моделирования

1.2 Триангуляция твердотельной модели

1.3 Геометрическая характеристика конечных элементов

1.4 Общий алгоритм статического расчета МКЭ

1.5 Геометрические аспекты в описании линейного треугольного конечного элемента

1.6 Геометрические основы теории напряженного и деформированного состояния твердого тела

1.6.1 Напряжение в точке

1.6.2 Деформированное состояние в точке

1.6.3 Обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянии

1.7 Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЯ

2.1 Основные положения метода функционально-воксельного моделирования33

2.1.1 Локальные геометрические характеристики увеличенной размерности пространства

2.1.2 Принцип построения функционально-воксельной модели

2.2 Объемный вектор

2.3 Геометрическая модель тензора напряжения для главной площадки

2.4 Геометрическая модель тензора напряжения для наклонной площадки

2.5 Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ В ЗАДАЧАХ КОНСТРУИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

3.1 Принципы компьютерного представления многомерной функционально-воксельной модели

3.2 Компьютерное представление многомерной функционально-воксельной модели

3.3 ЯОБ-представление функционально-воксельной модели

3.4 Пространственное преобразование локальных характеристик

3.5 Функционально-воксельное моделирование локального нагружения в системе РАНОК 2D

3.6 Деформация при единичном напряжении. Обобщённый закон Гука

3.7 Функционально-воксельное моделирование распределённой нагрузки

3.8 Расчёт распределённой нагрузки интегральной конструкцией ФВМ

3.9 К вопросу адекватности полученных результатов

3.10 Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Т£НА ОБЛАСТИ ФУНКЦИИ ^ПЛ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ «ПЛАСТИНА»

4.1 Формулировка пространства функции для описания формы области

нагружения ш , приводимой к рецепторной модели

4.2 Я-функциональное моделирование пространства функции шпл, описывающей геометрический объект «пластина»

4.3 Алгоритм преобразования точек на области функции ^пл посредством напряжения, задаваемого моделью ^01

4.4 Модель геометрического преобразования Т£ для пространства функции ^пл, описывающей геометрический объект «пластина»

4.5 Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическое моделирование локальных характеристик механического напряжения»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Ежедневно технический прогресс порождает не только новые решения, но и новые задачи. Стремление инженеров и ученых применить накопленный опыт и созданные инструменты в новых направлениях провоцируют появление все более сложных инженерных задач [7][45][44][57][11][40][61], численных методов и алгоритмов. Особую роль в процессе поиска решений сегодня играют геометрические инструменты научной визуализации [7][81][82].

Компьютерные способы представления научных данных открыли перед человеком огромное поле возможностей. Визуализация с использованием вычислительной техники действительно позволила произвести серьезный прорыв в понимании человеком законов окружающего мира. И сегодня визуальный образ зачастую ключевой и единственный аргумент принятия инженером технического решения [37][42][52][55][56].

В таких условиях поиск способов визуализации не только максимально понятных человеку, но и несущих в себе достаточное количество аналитической информации для принятия оптимального решения остается актуальным. Современный инженер должен быть уверен в том, что графические образы на экране его монитора максимально соответствуют физическим процессам, которые являются объектом его исследования.

Одними из ключевых параметров, существенно влияющих на принятие инженерных решений остаются параметры напряженного состояния твердого тела [79][87][1][88]. На это указывает динамика развития способов его определения как в области создания новых приборов, так и новых программных пакетов для моделирования, формирования новых подходов к решению. Однако, если вопрос визуализации напряжений, наряду со схожими процессами, в выделенных сеточных регионах, как это реализуется, например, в методе конечных элементов, достаточно широко освещен и применяется [28][60][66][31], то проблемы моделирования и визуализации локальных напряжений остаются открытыми. Однако развитие новых подходов к моделированию и визуализации открывает

возможность решения и этих проблем.

В настоящий период исследователями ведутся работы в направлении развития научной визуализации и введения в проектный процесс аналитически описанных геометрических моделей [92] [64] [59] [46] [48] [53]. Этому активно способствуют такие направления как Я-функциональное моделирование (ЯБЫ), получившее своё начало в лаборатории прикладной математики ИПМАШ НАН Украины под руководством академика НАН Украины В.Л. Рвачёва [77], а также метод функционально-воксельного моделирования, развивающийся под руководством профессора А.В. Толока А в ИПУ РАН [88][3][12]. В первом случае рассматриваются проблемы аналитического описания конструктивного подхода к построению геометрического объекта сложной функцией на заданной области средствами математического аппарата. Это позволяет единым аналитическим представлением описать геометрический объект любой сложности и заданной размерности. Второй метод направлен на построение воксельного компьютерного представления такой области заданной размерности, приводя к упрощению компьютерную обработку такой модели.

Основным достоинством метода функционально-воксельного моделирования является решение проблемы переноса основных свойств непрерывности аналитического представления объекта на дискретную компьютерную основу. Предоставлен способ компьютерного построения геометрической модели на её локальных характеристиках. Это позволяет добавить к компьютерной реализации широкий класс аналитических формулировок теоретических и прикладных задач, приводя их к доступному для компьютера представлению [13]. А значит, можно снять многие барьеры, возникавшие при компьютеризации задач аналитического моделирования.

Исследование возможностей функционально-воксельной модели для решения задач определения напряженного состояния показало, что она рассчитана на работу с аналитическим описанием постановки задачи и не подходит для визуализации результатов расчётов, полученных традиционным методом конечных элементов. Это связано со спецификой организации данных функционально-воксельной

модели, отличающейся от организации данных поверхностных моделей, используемых в САПР.

Цель работы: Поиск геометрических средств функционально-воксельного моделирования для построения и визуализации нормальных и касательных напряжений.

Задачи исследования: для реализации этой цели были поставлены следующие основные задачи:

1. Исследовать современные подходы к моделированию и визуализации результатов расчёта величин напряжения в изотропном теле на примере метода конечных элементов.

2. Разработать дискретную модель локальной геометрии для векторных законов физики с последующим построением локальной величины напряжения.

3. Разработать алгоритм построения функционально-воксельной модели для области напряжений в изотропном теле.

4. Разработать модель пространственной деформации объекта под суммарным воздействием локальных величин напряжения, заданных областью распределённой нагрузки сложной конфигурации.

Объектом исследования является метод функционально-воксельного моделирования для построения локальных величин напряжения.

Предметом исследования являются векторные геометрические модели физических величин, модели и алгоритмы пространственных преобразований, участвующие в моделировании напряжения, возникающего в теле под действием внешней нагрузки.

Методы исследования.

Для решения поставленных в работе задач использованы теоретические и практические методы исследований, основанные на: векторном анализе, методах аналитической геометрии, Я-функциональном моделировании, а также методе функционально-воксельного моделирования. Для сравнения результатов моделирование тестовых примеров проводилось методом конечных элементов.

Научная новизна:

1. Предложена геометрическая модель объемного вектора, отличающегося от понятия общепринятого вектора тем, что определяется функцией распределения величины модуля вектора и функцией величины угла его направления. Объёмный вектор предназначен для реализации расчета локальных характеристик нормального и тангенциального напряжений в пространстве изотропии функционально-воксельной модели. Объемный вектор, являясь элементом напряженного состояния, обеспечивает возможность дискретного конструирования полей нагружения сложной конфигурации. (Паспорт 05.01.01 Теория и практика непрерывного и дискретного геометрического моделирования.)

2. Сформулирован принцип геометрического моделирования области нагружения для функционально-воксельной модели изотропного тела, отличающийся применением рецепторной модели управления физической нагрузкой. Полученный принцип предназначен для образно-аналитического моделирования нагрузки в виде многомерного векторного поля заданной геометрии. Он является инструментом моделирования дискретного поля нагружения задаваемой сложной конфигурации. (Паспорт 05.01.01 Теория изображений и практические методы ее реализации при построении геометрических моделей. Теория и практика непрерывного и дискретного геометрического моделирования.)

3. Разработан локально-аналитический подход к моделированию пространственной деформации твердого тела, определенный функционально -воксельной моделью, отличающийся локализацией расчёта деформации нуль-поверхности на области значений функции, задающей геометрию деформируемого объекта. Он основан на прямом и обратном отображении дискретно непрерывного пространства значений функции, описывающей на компьютере геометрию тела под воздействием осевого сдвига согласно локальным характеристикам напряжения. Такой подход служит для построения геометрии деформированного состояния изотропного тела с использованием локальных характеристик нормального и тангенциального напряжений в функционально-воксельном моделировании.

(Паспорт 05.01.01 Геометрические основы компьютерного исследования процессов: проектирования, конструирования и технологии производства).

Практическая значимость и внедрение.

Полученные алгоритмы легли в основу расчетного модуля определения физических характеристик в процессе технологической обработки изделий на основе функционально-воксельного моделирования, разрабатываемого в ФГБОУ ВО МГТУ «Станкин» (см. приложения А, Б, В).

Разработанные геометрические принципы функционально-воксельного моделирования локального напряжения прошли апробацию на предприятии ФГУП «НПО «Техномаш», утвержден соответствующий акт (см. приложение Г).

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечивается корректным применением математического аппарата векторной и компьютерной геометрии, теории сопротивления материалов, а также подтверждено результатами тестирования полученных алгоритмов с существующими активно применяемыми на практике системами для инженерных вычислений (SoHdWorks).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Юбилейной 30-й международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2020» (г. Санкт Петербург, 2020 г.). Работа докладывалась на ежегодных семинарах кафедры инженерной графики МГТУ «СТАНКИН», а также научных семинарах лаборатории 18 ИПУ РАН 20182019 гг. Апробация проводилась на 40-й Международной конференции «Информационные технологии в науке, социологии и бизнесе» (IT+S&E'12, Гурзуф, 2012); 12-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (СА0/САМ/РВМ-2012, Москва); 14-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (СА0/САМ/РБМ-2014, Москва); 15-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки

производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (СЛО/СЛМ/РВМ-2015, Москва); 16-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-2016, Москва).

Личный вклад. Постановка задач исследования и формулирование теоретических основ, адаптация принципов функционально-воксельного моделирования для анализа физических параметров объектов и решения некоторых математических задач [3, 5, 70, 74, 75, 76, 90] выполнены совместно с научным руководителем, как основным разработчиком метода функционально-воксельного моделирования. Организация и проведения экспериментальных расчетов, визуализация и анализ результатов [65, 70, 71, 72, 73, 74], разработка выносимой на защиту модели объемного вектора и его применения, принципов геометрического моделирования площади нагружения сложной формы и подходов для моделирования деформированного состояния [65, 105] разрабатывались и исследовались автором лично. При непосредственном участии автора был создан расчетный модуль определения физических характеристик в процессе технологической обработки изделий на основе функционально-воксельного моделирования, разрабатываемого в ФГБОУ ВО МГТУ «Станкин» (см. приложение Б). Под руководством автора разработанные геометрические принципы функционально-воксельного моделирования локального напряжения прошли апробацию на предприятии ФГУП «НПО «Техномаш» (см. приложение Г).

Положения, выносимые на защиту:

1. На основе ФВ-модели изотропного пространства рассматривается процесс увязки локальных параметров направленного вектора силы (направление и величина) с локальными параметрами объёмного вектора напряжения (функция направления и функция величины распространения).

2. Функционально-воксельная рецепторная модель конфигурации векторного поля нагрузки позволяет распределить вектор силы на области определения согласно заданной сложной формы.

3. Матричная модель пространственной деформации объекта под

суммарным воздействием локальных величин напряжения, заданных на области с контуром сложной геометрии, позволяет изменять форму поверхности исходного объекта, представленного функционально-воксельной моделью.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 14 печатных работах, 2 статьи проиндексированы в SCOPUS, 5 научных работ в 4 изданиях, рекомендованных ВАК. Информация о научных работах, выполненных лично соискателем и в соавторстве, приведена в Приложении Д диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения, библиографического списка литературы и приложений. Общий объём составляют 127 страниц, 79 рисунков и 5 приложений. Библиографический список включает 105 наименований, в том числе 5 иностранных.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ТЕНЗОРНЫХ ВЕЛИЧИН НАПРЯЖЕНИЯ НА БАЗЕ

МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

1.1 Методы трехмерного геометрического моделирования

Геометрическая модель содержит описание формы моделируемого объекта и описание связей элементов модели. Элементы геометрической модели, как правило, наделяют атрибутами, которые несут информацию о физических и других свойствах этих элементов [21].

Системы геометрического моделирования делятся на каркасные, поверхностные, твердотельные. Наибольшее распространение получили системы твердотельного моделирования, позволяющие оперировать в трехмерном пространстве твердыми телами. [86].

Твердотельная модель - трехмерная компьютерная геометрическая модель, представляющая форму как результат композиции заданного множества геометрических элементов с применением операций булевой алгебры к этим геометрическим элементам [24].

В отличие от поверхностных моделей, твердотельная модель обладает некоторой математической плотностью и массой [67].

Данный тезис, однако, не совсем полно отражает сущность твердотельной модели. Рассмотрим данный вопрос более подробно.

Описать форму объекта возможно с помощью набора стыкующихся определенным образом друг с другом поверхностей. Для этого используется граничное представление, которое заключается в построении поверхностей, проходящих по границе, отделяющей моделируемый объект от остального пространства. Граничная поверхность моделируемого объекта описывается с помощью оболочек [20]. Рисунок 1.1.1 демонстрирует пример трехмерной модели, сформированной из оболочек.

В геометрическом моделировании используют преимущественно однородные оболочки,

В конструктивной твердотельной геометрии объект задается набором примитивов (базовых элементов формы) и операций над ними.

Рис.1.1.1 - Трехмерная модель сформированная из оболочек

Универсальные алгоритмы, пригодные для моделирования оболочек любой формы, сложны, и построение простых моделей с применением таких алгоритмов нерационально. Описание простых тел универсальными методами приводит к неоправданным затратам времени и содержит больше информации, чем требуется. Поэтому графические системы, как правило, содержат набор примитивов [15] (рисунок 1.1.2).

Рис.1.1.2 - Пример геометрических примитивов Геометрический примитив - неделимый пространственный объект,

обладающий геометрическими свойствами [25], такие объекты обеспечивают [18] удобный набор программных средств для формирования геометрических объектов. Распространены графические библиотеки, обеспечивающие работу с основными группами графических объектов [9].

Форма геометрических примитивов в твердотельном моделировании обеспечивается единственной замкнутой однородной оболочкой. Широкое применение таких примитивов в процессе создания модели создают иллюзию работы с твердым сплошным телом, однако не обеспечивают математическую плотность и массу.

Обратимся к способам, позволяющим использовать твердотельные модели для инженерного анализа.

1.2 Триангуляция твердотельной модели

Для построения точечных изображений, вычисления инерционных характеристик, определения соударений элементов модели, генерации конечных элементов и других целей используют геометрическую модель, в которой поверхность моделируемого объекта аппроксимируют набором треугольных пластин [11]. Этот процесс называется триангуляцией (триангулированием) [2,85].

Выделяют как двумерную, так и трехмерную триангуляцию, которая может использовать в качестве элементов аппроксимации, как плоские треугольники, так и тетраэдры [2].

Разделяют прямые и итерационные классы методов триангуляции. Универсальность и возможность итерационных методов триангулировать произвольные формы, несмотря на высокое потребление ресурсов [16], обусловила их применение в автоматических программных комплексах [17]. В наибольшей степени в методе конечных элементов.

Развитие метода конечных элементов шло параллельно с развитием компьютерной техники и ее применением в различных областях науки и инженерной графики [97], в итоге конечно-элементный анализ сегодня - наиболее распространенный инструмент решения задач инженерного анализа, не лишенный

недостатков [36] [99] [100][101][102].

Отдельный элемент

Узел

Рис.1.2.1 - Дискретизация сплошного тела по методу конечных элементов

1.3 Геометрическая характеристика конечных элементов

В трехмерном случае самые распространенные формы ячейки конечного элемента - тетраэдр и прямоугольный параллелепипед. Однако при заполнении какого-либо объема обычно требуется тетраэдров примерно в 5-6 раз больше, чем параллелепипедов тех же габаритов (рисунки 1.3.1 и 1.3.2) [98].

\

8

Рис.1.3.1 - Разбиение прямоугольного параллелепипеда на 6 тетраэдров

Конечные элементы могут обладать различными геометрическими параметрами и применяться в зависимости от конкретного расчета (рисунок 1.3.3) [29]. Подробная классификация конечных элементов затруднена количеством их вариаций [47].

Рис.1.3.3 - Основные типы конечных элементов для одно-, дву- и трехмерных задач механики

Конечные элементы характеризуются размерностью пространства, геометрической формой, набором узлов и т.д. Подробный перечень их свойств приведен в литературе [54].

1.4 Общий алгоритм статического расчета МКЭ

Общий алгоритм исследования для объекта методом конечных элементов представляет из себя ряд следующих последовательных действий [32]:

А) Дискретизация объекта.

Исследуемая область разбивается на взаимосвязанные конечные элементы с заранее задаваемой функцией формы [104].

Б) Построение глобальных матриц жесткости и вектора узловых сил.

Формируются локальные матрицы жесткости и векторы напряжений локальных конечных элементов, которые размещаются в глобальной матрице и векторе напряжений (рисунок 1.4.1) [69].

I_I_

j k i

Рис. 1.4.1 - Построение матрицы жесткости (K33 K31K32 ошибка) В) Учет заданных граничных условий.

Определяется влияние всех граничных условий, которым должен удовлетворять исследуемый объект. Учет заданных граничных условий предполагает следующий порядок шагов [33]:

1.Выражение произвольной внешней нагрузки через эквивалентные узловые силы и их учет в глобальном векторе нагрузки;

2.Расширение матрицы жесткости за счет данных, полученных при учете заданного упругого основания объекта;

3.Корректировка глобальной системы уравнений матрицы жесткости и вектора напряжений при учете заданных ненулевых смещений узлов;

4.Преобразование глобальной системы уравнений в зависимости от заданных жестких опорных связей (нулевых перемещений).

5.Только после проведения вышеуказанных операций глобальная система разрешающих уравнений приобретет вид достаточный для проведения расчетов, позволяющих получить искомое решение.

Г) Решение системы разрешающих уравнений.

Основной проблемой при решении окончательно выявленной системы разрешающих уравнений является их количество. Оно зависит в первую очередь от сложности исследуемого объекта [83]. В случае относительно простых задач, которые подразумевают поиск значений переменных в количестве от нескольких десятков до нескольких тысяч неизвестных, для решения применяются прямые методы - метод Гаусса [6], разложение Холецкого [30], LDLT - факторизация [103] и др. Для случаев, требующих вычисления значительно большего количества значений, применяются альтернативные методы или разрабатываются специальные алгоритмы, основанные как на прямых, так и на итерационных методах [78].

Д) Определение внутренних усилий (напряжений).

Решение системы разрешающих уравнений метода конечных элементов дает в результате компоненты узловых перемещений дискретной модели конструкции. Для определения компонент напряженного состояния объекта производятся вычисления по следующему алгоритму (рисунок 1.4.2) [47]:

1. Для каждого конечного элемента формируется вектор узловых перемещений, посредством выборки из глобального вектора узловых перемещений соответствующих компонент;

2. В случае, когда система координат отдельного конечного элемента не совпадает с глобальной, вектор узловых перемещений данного конечного

элемента преобразуется;

3. Основываясь на заложенных в объект геометрических и физических взаимосвязей, формируются матрица напряжений для конечного элемента.

4. Вычисляется вектор узловых значений внутренних напряжений для конечного элемента.

Рис.1.4.2 - Основные

этапы статического расчета объекта МКЭ.

1.5 Геометрические аспекты в описании линейного треугольного конечного элемента

Геометрия трехузлового треугольного линейного конечного элемента задается тремя узловыми точками в плоскости (х,у). Эти точки являются узлами конечного элемента. Узлам присваиваются локальные номера (1,2,3), при этом нумерация производится против часовой стрелки, если направление взгляда совпадает с направлением внешней нормали к плоскости элемента (рисунок 1.5.1). Положение узлов определяется декартовыми координатами в глобальной системе координат:

(х„удЛ = 1,2,3

Компоненты элементного вектора узловых перемещений образуют шесть степеней свободы трехузлового треугольного конечного элемента:

Рис.1.5.1 - Линейный треугольный конечный элемент: (слева-направо) геометрия элемента, (б) - положительное направление обхода контура элемента.

Каждый элемент описывается отдельно. Через геометрические преобразования выражаются физические значения [63]. Любая произвольная точка трехузлового конечного элемента обладает локальным и глобальным набором координат [38]. Необходимость связать их является особенностью конечно-элементного анализа [62]: локальные треугольные координаты (^ £2, £3) отвечают

за форму конечного элемента (рисунок 1.5.2 ) [91]; глобальные координаты (х,у,7) отвечают за исследуемые физические процессы, например, напряжения и деформации [10].

Рис.1.5.2 - Треугольные координаты

1.6 Геометрические основы теории напряженного и деформированного состояния твердого тела

1.6.1 Напряжение в точке

В твердом теле, нагруженном произвольной системой сил, через любую его точку можно провести бесконечное множество различно ориентированных площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения, вызывающие линейные и угловые деформации [96]. В окрестности точки выделяют элементарный объем материала в виде параллелепипеда, для которого напряженное состояние можно считать однородным. Напряжения, возникающие на гранях параллелепипеда под действием внешних сил, путем проецирования раскладывают на нормальные и касательные напряжения [96,4], что определяет тензор напряжений [14].

Для тензора напряжений действует закон парности касательных напряжений, исходя из которого

^ху ^ух , ^хг ^гх , ^уг ^гу •

Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, являются главными площадками. В каждой точке выделяют три взаимно перпендикулярные площадки. Действующие по ним нормальные напряжения называются главными

напряжениями.

Главные напряжения принимают экстремальные значения на главных площадках. Записанный через главные напряжения тензор напряжений принимает вид:

Тх =

8± 0 0 0 82 0 0 0 83

, где 8± = тах, 83 = тт, 8г> 82> 83.

От количества действующих в окрестности точек главных напряжений зависит вид напряженного состояния, среди них выделяют (рисунок 1.6.1) [68]:

а) линейное (одноосное), где 0, 82 = 0, 83 = 0;

б) плоское (двухосное), где 8± ^ 0, 82± 0, 83 = 0;

в) объемное (трехосное), где 0, 82± 0, 83± 0;

Рис.1.6.1 - Линейное, плоское и объемное напряженное состояние в окрестности точки

Для линейного напряженного состояния нормальные напряжения в его поперечных сечениях равны [43]:

6 — — — —

0 = ао = V

Здесь поперечные сечения являются главными площадками = 80) (рисунок 1.6.2).

Рис.1.6.2 - Определение напряжения на главной площадке

В случае определения напряжений на неглавных, наклонных площадках действуют следующие определения.

Для наклонной площадки (а-площадка), нормаль к которой составляет с осью тела угол а (рисунок 1.6.3)

Рис.1.6.3 - Определение напряжения на наклонных площадках справедлив косинусный закон, где

= Л0/cos а

Здесь — площадь а — площадки, Л0 — поперечное сечение стержня. В сечении осевая сила N есть равнодействующая полных напряжений ра,

таким образом:

N = ра • cos а.

Отсюда

N N

р„ = — = — • cos а = 50 • cos а " л л 0

Спроецировав полное напряжение ра на нормаль и плоскость а-площадки, получаем:

= Ра • cosa; та = ра • sin а,

Так как ра = 50 • cos a

= 50 • cos2 a

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пушкарев Сергей Алексеевич, 2021 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абдрахимов, Р. Р. Конструкционная прочность полимерных композитов на основе коротких стеклянных волокон / Р. Р. Абдрахимов, С. Б. Сапожников, А. А Шакиров // Вестник ЮУрГУ. - 2014. - № 1. - С. 50-54.

2. Абдурайимов, Л. Н., Критерии качества триангуляции 3D моделей промышленных изделий / Л. Н. Абдурайимов, В. Л. Доброскок, С. И. Чернышов // Сучасш технологи в машинобудуванш. - 2011. - №. 6. -С. 245-254.

3. Автоматизация графического способа решения некоторых математических задач / С. А. Пушкарев, С. Н. Григорьев, А. В. Толок [и др.], // Прикладная информатика. - 2012. - №5 (41). - С. 44-50.

4. Бакушев, С. В. Теория упругости. Краткий теоретический курс: учебное пособие. / С. В. Бакушев; Министерство образования и науки Российской Федерации, ФГБОУ ВО «Пензенский госудаственный университет архитектуры и строительства (ПГУАС) - Пенза: Изд-во ПГУАС, 2016. - 256 с. - URL: http://library.pguas.ru/xmlui/handle/123456789/1992 (дата обращения 02.04.2021).

5. Библиотека конечных элементов Scadsoft: сайт. - Москва. -URL: https://scadsoft.com/help/SCAD/FEMLib/ru/table of contents.htm (дата обращения 02.03.2021).

6. Болдырев, А. М. Учет накопления пластических деформаций при нелинейном расчете висячих стержневых конструкций / А.М. Болдырев, А.А. Свентиков // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2008. - № 4. - С. 21-27.

7. Бондарев, А. Е. Анализ развития концепций и методов визуального представления данных в научных исследованиях задач вычислительной физики / А. Е. Бондарев, В. А. Галактионов, В. М. Чечеткин // Вычислительная математика и математическая физика. - 2011. - Т.51, № 4. -С. 669-683.

8. Бондарев, А. Е., Галактионов В. А. Научная визуалиализация в задачах вычислительной физики: концепции, методы, перспективы // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. 2010. -№13. - С. 134-146.

9. Боресков, А. В. Компьютерная графика. Динамика, реалистические изображения / А. В. Боресков, Е. В. Шикин. - Москва: ДИАЛОГ-МИФИ, 1995. - 288 с. - ISBN: 5-86404-061-4.

10. Бурков П. В. Компьютерное моделирование технологий в нефтегазовом деле / П. В. Бурков, С. П. Буркова. - Томск: Издательство Томского политехнического университета, 2012. - 143 с.

11. Бурков, П. В. Трехмерное напряженно-деформированное состояние трубы с ручейковым износом при сложном нагружении // П. В Бурков, С. П. Буркова // Международный научно-исследовательский журнал. - 2015. - № 4-1 (35).

- С. 46-49.

12. Визуализация математического моделирования при определении рабочих поверхностей деталей /С. А. Пушкарев, А. В. Толок, С. Н. Григорьев [и др.] // Технология машиностроения. - 2013. - № 2 (128). - С. 57-60.

13. Визуальная диагностика физических величин на основе метода функционально-воксельного моделирования / С. А. Пушкарев, А. В. Толок,

A. М. Плаксин [и др.] // Научная визуализация. - 2020. - Т. 12. - №2 3. - С. 5160.

14. Винчаков, В. Н. Применение тензоров и матриц в физике твердого тела //

B. Н. Винчаков, И. П. Ипатова. Ленинград: издательство Ленинградского политехнического института, 1979. - 76 с.

15. Гаврилов, В. Н. Теоретические основы геометрического моделирования. Часть 2. Трехмерное моделирование: учеб. пособие. - Самара: Издательство Самарского государственного аэрокосмического университета, 2007. - 80 с.

- ISBN: 978-5-78883-0639.

16.Галанин, М.П. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространств: итерационные методы. Препринт №9 /

М. П. Галанин, И. А. Щеглов / ИПМ им. М.В. Келдыша. - Москва. - 2006. -32 с. - URL: https://keldysh.ru/papers/2006/prep09/prep2006 09.html (дата обращения 02.04.2021).

17. Галанин, М.П. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространств: прямые методы. Препринт №10 / М. П. Галанин, И. А. Щеглов / ИПМ им. М.В. Келдыша. - Москва. - 2006. - 32 с. -URL: https://keldysh.ru/papers/2006/prep 10/prep2006 10.html (дата обращения 02.04.2021).

18. Геометрические примитивы // ГИС Ассоциация. - 2004. - Москва. - URL: http://www.gisa.ru/13134.html/ (дата обращения 02.04.2021).

19. Гладких, Л. И. Дифракционные методы анализа внутренних напряжений. Теория и эксперимент: учеб. пособие / Л. И. Гладких, С. В. Малыхин, А. Т. Пугачев. - Харьков: НТУ «ХПИ», 2006. - 304 с. - ISBN: 966-593-435-Х.

20.Голованов, Н.Н. Геометрическое моделирование / Н. Н. Голованов. -Москва: «Физматлит», 2002. - 472 с. - ISBN 5-94052-048-0.

21.Голованов, Н.Н. Геометрическое моделирование: учеб. пособие / Н. Н. Голованов. - Москва: ООО «КУРС». - 2016. - 400 с.

22.Гольцев, В.Ю. Сопротивление материалов / В. Ю. Гольцев, Е. Н. Пирогов. -Москва: МИФИ, 2008. - 200 с. - ISBN: 978-5-7262-0927-2.

23.Гоменюк, С. И. Моделирование образной оценки градиента на рельефе поверхности // С. И. Гоменюк, А. В Толок // Искусственный Интеллект. -2004. - №. 1. - С. 558-565.

24. ГОСТ 2.052-2006 Единая система конструкторской документации (ЕСКД). Электронная модель изделия. Общие положения = Unified system for design documentation. Electronic model of product. General principles: межгосударственный стандарт: изд. офиц. : утв. и введ. в действие Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 22 июн. 2006 г. № 119-ст : введ. впервые : дата введ. 2006-01-09 / разраб. Федеральным государственным унитарным предприятием Всероссийским научно-исследовательским институтом стандартизации и сертификации в

машиностроении (ВНИИНМАШ), Автономной некоммерческой организацией Научно-исследовательским центром CALS-технологий "Прикладная логистика" (АНО НИЦ CALS-технологий "Прикладная логистика"). - Москва: Стандартинформ, 2011. - 33 с.

25.ГОСТ Р 52438-2005. Географические информационные системы. Термины и определения = Geographical information systems. Terms and definitions: национальный стандарт российской федерации: изд. офиц. : утв. и введ. в действие Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 28 дек. 2005 г. № 423-ст : введ. впервые : дата введ. 2005-28-12 / разраб. Федеральным государственным унитарным предприятием "Государственный научно-внедренческий центр геоинформационных систем и технологий" (ФГУП "ГОСГИСЦЕНТР"), Институтом географии Российской Академии наук (ИГ РАН) и Федеральным государственным унитарным предприятием "Всероссийский научно-исследовательский институт стандартизации и сертификации в машиностроении" (ВНИИНМАШ). - Москва: Стандартинформ, 2018. - 28 с.

26.Деменчук, Н. П. Основы теории напряженного и деформированного состояния: учеб. пособие / Н. П. Деменчук, А. А. Прилуцкий. - Санкт-Петербург: Университет ИТМО; ИХиБТ, 2016. - 118 с. -ISBN: 5-9221-0229-Х.

27. Демидов, С. П. Теория упругости / С. П. Демидов. - Москва: Издательство "Высшая школа," 1979. - 432 с.

28.Дмитриев, С. В. Решение упругой задачи методом конечных элементов. Визуализация тензора напряжений / С. В. Дмитриев // ГИАБ. - 2017. - №2 7. -С. 222-227.

29.Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. / О. Зенкевич: под ред. Б. Е. Победри. - Москва: Издательство "МИР," 1975. - 542 с.

ЗО.Игрицкий, В. А. Методика прогнозирования температур и температурных напряжений в элементах конструкций стартового оборудования при газодинамическом воздействии струй двигателей стартующей ракеты /

В. А. Игрицкий, В. В. Чугунков, А. В. Языков // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия «Машиностроение». - 2010. - Спец.выпуск. - С. 53-60.

31.Казаков, А. Н. Оценка напряженно-деформированного состояния массива с учетом тектонических напряжений методом конечных элементов / А. Н. Казаков, В. Р. Рахимов // Геометрия и графика. - 2014. - № 10. - С. 151-162.

32.Каримов, И. Строительная механика: учеб. курс. Основные определения метода конечных элементов / И. Каримов // URL: http://www.stroitmeh.ru/lect31 .htm. (дата обращения 02.03.2021).

33.Клованич, С. Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики / С. Ф. Клованич. - Запорожье: Издательство журнала «Свгг геотехшки». - 2009. - 400 с. - ISBN: 5-7707-6337-Х.

34.Кольский, Г.К. / Волны напряжения в твердых телах / Г. К. Кольский. -Москва: Издательство иностранной литературы, 1955. - 194 с.

35. Компания NVIDIA: официальный сайт. - Москва. - URL: http://www.nvidia.ru/obiect/vxgi-technology-ru.html. (дата обращения 02.03.2021).

36. Компьютерный инжиниринг: учеб. Пособие / А. И. Боровков, С. Ф. Бурдаков, О. И. Клявин [и др.]. - Санкт-Петербург: Издательство Политехнического университета, 2012. - 93 с. - ISBN: 978-5-7422-3766-2.

37.Конопацкий, Е. В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности / Е. В. Конопацкий // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7, № 2. - С. 39-46.

38.Копысов, С. П. Введение в метод конечных элементов / С. П. Копысов,

A. К. Новиков, Ю. А. Сагдеева. - Ижевск: Издательство «Удмуртский университет», 2011. - 44 с.

39.Кравцова, Н.В / Элементы анализа напряженно-деформированного состояния в точке: учеб-метод. пособие / Н.В. Кравцова, С. Ю. Погорелов,

B. Л. Хавин, С. Ю. Шергин. - Харьков: НТУ «ХПИ», 2016. - 44 с.

40.Крысова, И. В., Мясоедова Т. М., Панчук К. Л., Геометрическая модель генерации семейства контурно-параллельных линий для автоматизированного расчета траектории режущего инструмента / И.В. Крысова, Т. М. Мясоедова, К.Л. Панчук // Геометрия и графика. - 2019., Т. 7, № 1. - С. 3.

41.Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа: учеб.пособие: в 3 ч. / Л. Д. Кудрявцев; Часть 1. Дифференциальное и интегральное исчсиление функций одной переменной. Ряды. - Москва: Физматлит, 2015, Ч.1. - 444 с. - ISBN: 978-5-922-1585-8.

42.Куприков, М. Ю. Геометрические аспекты автоматизированной компоновки летательных аппаратов / Л.В. Маркин // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6, № 3. - С. 69 - 87.

43. Леденев, В.В. Теоретические основы механики деформирования и разрушения / В. В.Леденев, З. Х. Нгуен, В. Г. Однолько. - Тамбов: Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2013. - 312 с. - ISBN 978-5-8265-1208-1.

44.Лепаров, М. Н. Геометрическое преобразование сборочных единиц / М. Н. Лепаров // Геометрия и графика. - 2016. - Т.4, № 3. - С. 62-72.

45. Лепаров, М. Н. О науке «Геометрия технических объектов» // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7, № 2. - С. 28-38.

46.Лисин, Д. А. R-функции в компьютерном моделировании дизайна 3D поверхности автомобиля / Д. А. Лисин, К. В. Максименко-Шейко, А. В. Толок, Т. И. Шейко // Прикладная информатика. - 2012. Т. 6, № 36. -С. 78-85.

47. Лихачева, С.Ю. Применение МКЭ к решению задач механики деформируемого твердого тела: учебное пособие / Лихачева С. Ю., Маковкин Г. А.; Министерство образования и науки Российской Федерации, ФГБОУ ВПО ННГАСУ. - Нижний Новгород: Издательство ННГАСУ, 2012. - 71 с. -URL: https://bibl.nngasu.ru/electronicresources/uch-metod/physics/847226.pdf (дата обращения 02.04.21).

48.Локтев, М. А. Метод функциональной вокселизации полигональных

объектов на основе математического аппарата R-функций / М. А. Локтев, А. В. Толок // Прикладная информатика. - 2016. - Т. 11, № 1(61). - С. 127134.

49.Локтев, М. А. Особенности применения функционально-воксельного моделирования в задачах поиска пути с препятствиями / М. А. Локтев // Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2016. -Т. 11. - С. 127-134.

50.Ломакин, В.А. Теория упругости неоднородных тел / В.А. Ломакин. -Москва: Издательская группа URSS, 2014. - 376 c. -ISBN: 978-5-9710-1083-8.

51.Лоторевич, Е.А. Геометрические преобразования пространства функционально-воксельной модели : специальность 05. 01. 01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика»: дис. ...канд. Техн. Наук / Лоторевич Евгений Андреевич Москва; Московский государственный технологический университет «Станкин», 2016.- 111 с.

52.Майстренко, А. В. Моделирование отрыва обшивки от корпуса на испытательном стенде / А.В. Майстренко // Вестник евразийской науки. -2013. - № 5 (18). - С. 136.

53.Максименко-Шейко, К. В. R-функции в аналитическом проектировании с применением системы «РАНОК» / К. В. Максименко-Шейко, А. В. Толок, Т. И. Шейко // Вестник МГТУ Станкин. - 2010. - № 4. - С. 139-151.

54.Максименко-Шейко, К.В. R-функции в математическом моделировании геометрических объектов и физических полей: монография / К. В. Максименко - Шейко. - Харьков: ИПМаш НАН Украины, 2009. - 306 с.

55. Маляр, В. В. Метод определения температурных напряжений в асфальтобетоне с помощью метода конечных элементов / В. В. Маляр // Вестник ХНАДУ. - 2016. - № 72. - С. 102-106.

56.Маркин, Л. В. Дискретные геометрические модели оценки степени затененности в гелиоэнергетике / Л. В. Маркин // Геометрия и графика. -2019. - Т. 7, № 1. - С. 28-45.

57. Маркин, Л. В. О путях создания геометрических моделей / Л. В. Маркин // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3, № 1. - С. 64-69.

58.Маркин, Л. В. Применение рецепторных геометрических моделей в задачах автоматизированной компоновки авиационной техники / Л. В. Маркин, А. А. Соседко, Н. Н. Хтун // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2014. - вып. 72. - 26 с. - URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=47438 (дата обращения: 02.04.2021).

59.Михайленко, А. В Формообразующие поверхности w-уровня R-функционального моделирования (RFM) в организации технологии обработки деталей сложной формы / А. В. Михайленко, А. В. Толок // Вестник МГТУ Станкин. - 2015. - Т. 2, № 33. - С. 73-77.

60.Мостаков, В. А. Оценка напряженно-деформированного состояния круглых резцов методом конечных элементов // ГИАБ. - 2009. - № 4. - С. 87-89.

61. Небритов, В. И. Визуализация линейных смещений узловых точек при реализации мгновенных состояний различных конфигураций руки андроидного робота / В. И. Небритов, Ф. Н. Притыкин, В. Г. Хомченко, В. И. Янишевская // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7, № 3. - С. 51.

62.Овчаренко, В.А. Расчет задач машиностроения методом конечных элементов: учебное пособие / В.А. Овчаренко. - Краматорск: ДГМА, 2004. -128 с. - ISBN: 966-7851-28-1.

63.Павленко, И.В. Метод конечных элементов в задачах сопротивления материалов и линейной теории упругости / Павленко И. В. - Сумы: Изд-во СумГУ, 2006. 1- 47 с. - ISBN: 966-657-087-4.

64.Плаксин А. М. Функционально-воксельная модель в задачах интеллектуализации систем автоматизированного проектирования / Плаксин А. М., Толок А. В. // Вестник МГТУ Станкин. - 2017. - Т. 2, № 41. -С. 75-78.

65.Плаксин, А. М. Геометрическое моделирование средств визуализации напряжения на основе функционально-воксельного метода / А. М. Плаксин, С. А. Пушкарев, А. А. Сычева, П.М. Харланова // Геометрия

и графика. - 2020. - Т. 8. - № 3. - С. 36-43. - DOI: 10.12737/2308-4898-202036-43.

66.Плаксин, А. М. Геометрическое моделирование тепловых характеристик объектов функционально-воксельным методом / А. М. Плаксин, С. А. Пушкарев // Геометрия и графика. - 2020. - Т. 8, № 1. -С. 25-32.

67.Планета САМ: информационно-аналитический электронный журнал. - URL: http://planetacam.ru/college/learn/12-4/.

68.Потапова, Л.Б Механика материалов при сложном напряженном состоянии. Как прогнозируют механические напряжения? / Л. Б. Потапова, В. П. Ярцев. - Москва: «Издательство машиностроение-1», 2005. - 244 с. - ISBN: 5-94275197-8.

69.Путято, А.В. Применение метода конечных элементов в решении задач прикладной механики / А. В. Путято, А. О. Шимановский. Гомель: Изд -Во Белгут, 2008. - 61 с. - ISBN: 978-985-468-474-1.

70.Пушкарёв, С. А. Исследование статической деформации твердых тел с применением методов функционально-воксельного моделирования / С. А. Пушкарев, А. В. Толок //Тезисы докладов 14-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-2014, Москва); ИПУ РАН. - Москва: ООО «Аналитик», 2014. - С. 31.

71.Пушкарев, С. А. Метод функционально-воксельного моделирования в решении задач исследования напряженного состояния твердого тела / С. А. Пушкарев, А. В. Толок // Тезисы докладов 16-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-2016, Москва); ИПУ РАН. - Москва: ООО «Аналитик», 2016. - С. 131.

72.Пушкарёв, С. А. Моделирование напряженного состояния твердого тела функционально-воксельным методом (ФВМ) / С. А. Пушкарев, А. В. Толок // Труды 16-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (САО/САМУРВМ-2016, Москва); ИПУ РАН. - Москва: ООО «Аналитик», 2016. -С. 408-411.

73.Пушкарёв, С. А. Синтез графического образа деформируемого твердого тела с применением метода функционально-воксельного моделирования / С. А Пушкарев, А. В. Толок // Труды 15-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (СА0/САМУРВМ-2015, Москва); ИПУ РАН. - Москва: ООО «Аналитик», 2015. - С. 87-90.

74.Пушкарёв, С.А. Исследование принципов деформации твердого тела с применением метода функционально-воксельного моделирования / С. А. Пушкарев, А. В. Толок // Тезисы 15-ой международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (САБ/САМУРВМ-2015, Москва); ИПУ РАН, Москва: ООО «Аналитик», 2015. - С. 33.

75. Растровое представление геометрической модели / С. А. Пушкарев, С. Н. Григорьев, А. В. Толок [и др.] // Труды 12-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (СА0/САМ/РВМ-2012, Москва); ИПУ РАН. -Москва: ООО «Аналитик», 2012. - С. 47-50.

76. Растровое представление геометрической модели / С. А. Пушкарев, А. В. Толок, С. Н. Григорьев [и др.] // Труды 12-й Международной конференции «Системы проектирования, технологической

подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (CAD/CAM/PDM-2012, Москва); ИПУ РАН. -Москва: ООО «Аналитик», 2012. - С. 16.

77.Рвачев, В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев, Киев: Наукова думка, 1982. - 552 с.

78.Реут, Л.Е. Теория напряженного и деформированного состояния с примерами и задачами / Л. Е. Реут. - Минск: БНТУ, 2008. - 107 с. - ISBN: 978-985-479978-0.

79. Решетников, М. К. Оценка параметров червячных передач на основе методов 3D компьютерной графики / М. К. Решетников, С. А Рязанов // Геометрия и графика. - 2019. - Т. 7, № 2. - С. 56-60.

80.Русанов, О. А. Итерационное решение систем линейных алгебраических уравнений в расчетах методом конечных элементов / О. А. Русанов // Машиностроение и инженерное образование. - 2010. - № 2. - С. 52-60.

81. Сальков, Н. А. Геометрическая составляющая технических инноваций / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6, № 2. - С. 85-93.

82.Сальков, Н. А. Геометрическое моделирование и начертательная геометрия / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4, № 4. - С. 31-40.

83.Свентиков, А.А. Разработка и исследование висячих стержневых пространственных покрытий повышенной жесткости: специальность 05.23.01 «Строительные конструкции, здания и сооружения»: дис. ... доктор. техн. наук / Свентиков Андрей Александрович; Воронежский государственный архитектурно-строительный университет. - Воронеж, 2010. - 420 с.

84.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: пер. с англ. / Л. Сегерлинд: под ред. Б. Е. Победри. - Москва: Издательство «МИР», 1979. -392 с.

85. Скворцов, А.В. Триангуляция Делоне и ее применение / А. В. Скворцов. -Томск: Издательство Томского университета, 2002. - 128 с. -ISBN: 5-7511-1501-5.

86. Смирнов, А.А. Трехмерное геометрическое моделирование: учеб. пособие / А. А. Смирнов. - Москва: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. -40 с.

87.Струков, А. Н. Конечно-элементный анализ процессов формообразования листовых заготовок при повышенных температурах с учетом процессов релаксации напряжений / А. Н. Струков // Вестник ВГТУ. - 2011. - Т. 7, № 12-2. - С. 72-74.

88. Ткачев, В. И. Расчет динамики термоупругих напряжений в керамическом клапане методом конечных элементов / В. И. Ткачев, В. В. Чудинов // Вестник Башкирского университета. - 2014. - № 1. - С. 8-13.

89.Толок А.В. Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании: монография / А. В. Толок - Москва: Физматлит, 2016. -112 с.

90. Толок, А. В. Воксельно-математическое моделирование при решении задач определения площади для поверхностей деталей / А. В. Толок, Е. А. Лоторевич, Д. А. Силантьев, С.А. Пушкарев // Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2013. -№3. - С. 29-33.

91. Толок, А. В. Графические образы-модели в информационных технологиях // Прикладная информатика. - 2009. - №. 4. С. 31-40.

92. Толок, А. В. Основы аналитического проектирования на функционально-воксельных моделях / А. В. Толок, Н. Б. Толок // Информационные технологии в проектировании и производстве. - 2016. - №. 4 (164). -С. 15-23.

93.Толок, А.В. Использование графических образов-моделей в анализе поверхности аналитически заданной функции / А. В. Толок // Тезисы докладов 5-й Международной конференции (СА0/САМ/РВМ-2005, Москва). Москва: ИПУ РАН, 2005. - С. 46-46.

94.Толок, А.В. Применение воксельных моделей в процессе автоматизации математического моделирования / А. В. Толок // АиТ. - 2009. - № 6. -

С. 167-180.

95.Трибель, Х. Теория функциональных пространств / Х. Трибель. - Москва: «Мир», 1986. - 447 с.

96.Филоненко-Бородич, М. М. Теория упругости / М. М. Филоненко-Бородич. -Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. - 364 с.

97. Фокин, В. Г. Метод конечных элементов в механике деформируемого твердого тела: учеб.пособие / В. Г. Фокин. - Самара: Самарский государственный технический университет, 2010. - 131 с. - ISBN: 978-57964-1390-6.

98. Шайдуров, В.В. Многосеточные методы конечных элементов / В. В. Шайдуров. - Москва: Физматлит, 1989. - 288 с. - ISBN 5-02-013986-6.

99. Ainsworth M. A posteriori error estimation in finite element analysis / M. Ainsworth, J. Tinsley Oden // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - №142 -P.1-88.

100. Akin, J.E. Finite Element Analysis with Error Estimation: An intoduction to the FEM and Adaptive Error Analysis for Engeneering Students / J. E. Akin. -Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. - 512 p. - ISBN-10: 0750667222.

101. Amini, S. Coupled Boundary and Finite Element Methods for the Solution of the Dynamic Fluid-Structure Interaction Problem / S. Amini, C.J. Harris, D.T. Wilton. - Berlin: Springer, 1992. - 108 p. - ISBN: 978-3-642-51727-3.

102. Axelsson O. Finite Element Solution of Boundary Value Problems: Theory and Computation / O. Axelsson, V.A. Baker. Oxford: Academic Press. - 2014. -432 p. - ISBN-13: 978-01206878800.

103. Fletcher B.R. On the Modification of LDL Factorizations / B. R. Fletcher, M.J.D. Powell // Mathematics of Computations , 1974. - V. 28, №128. - P. 10671087.

104. SolidWorks. Компьютерное моделирование в инженерной практике / А. А. Алямовский, Е. В. Одинцов, Н. Б. Пономарев [и др.] // Санкт-Петербург: «БХВ-Петербург», 2005. - 800 с. - ISBN: 5-94157-558-0.

105. Pushkarev, S. Geometric Modeling of Stress Visualization Based on the Functional-Voxel Method / S. Pushkarev, A. Tolok // Proceedings of the 30th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision (GraphiCon 2020, St.Petersburg). Saint-Petersburg: CEUR Workshop Proceedings, 2020. -Vol-2744. - URL: http://ceur-ws.org/Vol-2744/paper54.pdf (дата обращения 12.04.2021).

Начало

Описание модели

Описание области

р

1

Построение

объемных векторов

рассматриваемых

точек

1

Дх = + тх,

Ду = ау + ту,

Дг = + т2.

(х + Дх,

у + Ду,

г + Дг)

г

Визуализация

г

Конец

using System;

using System.Drawing;

using System.Windows.Forms;

namespace ThermalLoad {

public partial class ThermalLoadForm : Form {

// Глобальные переменные: Bitmap bmpFuncResult;

Bitmap bmpAFunc, bmpBFunc, bmpCFunc, bmpDFunc;

public ThermalLoadForm() {

InitializeComponent();

this.VisualisationGBProperty(); this.BtnResultProperty();

}

private void VisualisationGBProperty() {

int xNew = this.ClientRectangle.Left + 10; int yNew = this.ClientRectangle.Top + 15;

Point pNew = new Point(xNew, yNew);

int wNew = this.ClientRectangle.Right - xNew - 10; int hNew = this.ClientRectangle.Bottom - yNew - 50

Size sNew = new Size(wNew, hNew);

this.visualisationGB.Location = pNew; this.visualisationGB.Size = sNew;

}

private void BtnResultProperty() {

int xNew = this.ClientRectangle.Left + 10; int yNew = this.ClientRectangle.Bottom - 35;

Point pNew = new Point(xNew, yNew);

this.btnResult.Location = pNew;

}

private void BtnCreateAProperty() {

int xNew = this.btnResult.Right + 10;

int yNew = this.ClientRectangle.Bottom - 35;

Point pNew = new Point(xNew, yNew);

this.btnCreateA.Location = pNew;

}

protected override void OnPaint(PaintEventArgs e) {

this.VisualisationGBProperty(); this.BtnResultProperty(); this.BtnCreateAProperty();

base.OnPaint(e);

}

protected override void OnResize(EventArgs e)

}

this.VisualisationGBProperty(); this.BtnResultPropertyQ; this.BtnCneateAPnoperty();

base.OnResize(e);

private void btnResult_Click(object sender, EventArgs e) {

int sizeX; int sizeY;

int x; обхода точек по X.

int у; обхода точек по Y.

int k = 1;

X и оси Y.

// Ширина модели. // Высота модели.

// Переменная для

// Переменная для

// Шаг для обхода по оси

int biasX; приложения тепловой нагрузки).

int biasY; приложения тепловой нагрузки).

double beginX = в, endX; окрестности приложения тепловой нагрузки.

double beginY = в, endY; окрестности приложения тепловой нагрузки.

double color = 0; double dxColor = 0; для формирования основного цвета.

int count = 1; тепловой нагрузки.

нагрузки.

температуры.

int distrStep = 1;

double sqrDist;

int temperature = 10000000;

double volumeTemp = 0;

double deltal_=0, deltal_Prev=0; double alpha = 0.00001;

//sizeX = this.visualisationPictBox.Width; // Получение ширины окна. //sizeY = this.visualisationPictBox.Height; // Получение высоты окна.

// Смещение по оси X (начало // Смещение по оси У (начало

// Координаты X начала и конца // Координаты У начала и конца

// Цвет пикселя. // Промежуточный цвет пикселя

// Количество точек

// Шаг распределения тепловой

// Квадрат расстояния. // Значение прилагаемой

// Чистый объем.

sizeX = 600; sizeY = 400;

II Ширина модели. II Высота модели.

this.bmpFuncResult = new Bitmap(sizeX, sizeY);

biasX = sizeX / 2 + 200; biasY = 200;

//biasX = sizeX; //biasY = sizeY;

//biasX = 3; //biasY = 3;

//for (temperature = 0; temperature <= 695000; temperature += 5000)

//{

for (x = 0; x < sizeX; x += k) {

// Цикл обхода по оси Y.

for (у = 200; у < sizeY; у += k) {

endX = x - biasX; endY = у - biasY;

color = 0;

// Получение значения цвета.

for (int i = 0; i < count; i++) {

beginX = i * distrStep;

2);

sqrDist = Math.Pow((endX - beginX), 2) + Math.Pow((endY - beginY),

dxColor = temperature / (1 + 2 * Math.PI * sqrDist); //dxColor = temperature / (1 + (4 / 3) * Math.PI * Math.Pow(Math.Sqrt(sqrDist), 3));

//dxColor = temperature / (1 + sqrDist);

color += dxColor;

}

//if (color >= 1) volumeTemp += color;

if (color >= 255)

color = 255; //if (color < 0)

// MessageBox.Show(color.ToString()); //if (x >= sizeX)

// MessageBox.Show(x.ToString()); //if (y >= sizeY)

// MessageBox.Show(y.ToString());

this.bmpFuncResult.SetPixel(x, y, Color.FromArgb(Convert.Tolnt32(color)j Convert.ToInt32(color), Convert.ToInt32(color)));

}

}

this.visualisationPictBox.Image = this.bmpFuncResult; //this.bmpFuncResult.Save("images\\" + temperature.ToStringO + ".gif",

System.Drawing.Imaging.ImageFormat.Gif); //}

for (x = 0; x < sizeX; x += k) {

//deltaLPrev = deltaL;

//deltaL = 0;

// Цикл обхода по оси Y.

for (у = 200; у < sizeY; у += k) {

endX = x - biasX;

endY = у - biasY;

2);

color = 0;

// Получение значения цвета.

for (int i = 0; i < count; i++) {

beginX = i * distrStep;

sqrDist = Math.Pow((endX - beginX), 2) + Math.Pow((endY - beginY),

dxColor = temperature / (1 + 2 * Math.PI * sqrDist); //dxColor = temperature / (1 + (4 / 3) * Math.PI * Math.Pow(Math.Sqrt(sqrDist), 3));

//dxColor = temperature / (1 + sqrDist);

color += dxColor;

//colorllp = color;

//if (deltaL < color) // deltaL = color;

Graphics gr = Graphics.FromImage(this.visualisationPictBox.Image); Pen p = new Pen(Color.Red);

if (color > 0) {

double VI = (2 * Math.PI * Math.Pow(biasX, 2));

double V = (2 * Math.PI * Math.Pow(Math.Abs(x - biasX), 2));

deltaL = alpha * color * (VI - V);

deltaL));

>

gr.DrawLine(p, x, Convert.Tolnt32(200), x, Convert.Tolnt32(200 -

//this.bmpFuncResult.Save("images\\" + temperature.ToStringQ + ".png",

System.Drawing.Imaging.ImageFormat.Png); }

MessageBox.Show("Объем: " + volumeTemp.ToString());

}

// Формирование образа A.

private void btnCreateA_Click(object sender, EventArgs e) {

// Вершины треугольника для формирования нормали. Double xl, yl, x2, y2, хЗ, уЗ; // Значения функции в вершинах треугольника. Double fund, func2, func3;

// Целочисленные флаги для проверки (сперто у Толока-Локтева).

Intl6 flagl, flag2, flag3, flag;

// Аргументы функции.

Double a, b, c, d;

// Нормированные аргументы функции.

Double aN, bN, cN, dN;

// Цветовая интепретация косинуса угла наклона нормали. Double cosAN, cosBN, cosCN, cosDN; // Координаты образа для заполнения цветом. Intl6 xScr, yScr;

// Определение размеров образа.

this.bmpAFunc = new Bitmap(601, 601)

this.bmpBFunc = new Bitmap(601, 601)

this.bmpCFunc = new Bitmap(601, 601)

this.bmpDFunc = new Bitmap(601, 601)

for (Double у = 0; у < 6; у += 0.01) {

for (Double x = -3; x < 3; x += 0.01) {

// Вершины треугольника для формирования нормали. xl = х - 0.01; yl = у - 0.01;

х2 = х;

у2 = у + 0.01;

хЗ = х + 0.01; уЗ = у - 0.01;

// Определение значений функции в вершинах треугольника, fund = 10 * this.CalculationTempStressFunc(xl, yl); func2 = 10 * this.CalculationTempStressFunc(x2, y2); func3 = 10 * this.CalculationTempStressFunc(x3, y3);

// Некоторый флаг для проверки (сперто у Толока-Локтева), if (fund >= 0) flagl = 1;

else

flagl = 0;

if (func2 >= 0) flag2 = 1;

else

flag2 = 0;

if (func3 >= 0) flag3 = 1;

else

flag3 = 0; // Вычисление аргументов функции.

a = yl * (func2 - func3) - y2 * (fund - func3) + y3 * (fund - func2); b = -(xl * (func2 - func3) - x2 * (fund - func3) + x3 * (fund - func2)); с = xl * (y2 - уЗ) - x2 * (yl - уЗ) + хЗ * (yl - y2);

d = xl * (y2 * func3 - y3 * func2) - x2 * (yl * func3 - y3 * fund) + x3 * (yl * func2 - y2 * fund);

// Нормирование вычисленных аргументов функции.

aN = -а / Math.Sqrt(Math.Pow(a, 2) + Math.Pow(b, 2) + Math.Pow(c, 2) +

Math.Pow(d, 2));

bN = -b / Math.Sqrt(Math.Pow(a, 2) + Math.Pow(b, 2) + Math.Pow(c, 2) +

Math.Pow(d, 2));

cN = -c / Math.Sqrt(Math.Pow(a, 2) + Math.Pow(b, 2) + Math.Pow(c, 2) +

Math.Pow(d, 2));

dN = d / Math.Sqrt(Math.Pow(a, 2) + Math.Powib, 2) + Math.Pow(c, 2) +

Math.Pow(d, 2));

II Исключение значения нуля в нормированных аргументах функции, if (aN == 0) aN = 0.000000001; if (bN == 0) bN = 0.000000001; if (cN == 0) cN = 0.000000001; if (dN == 0) dN = 0.000000001;

// Определение цветовой интерпретации косинуса угла наклона нормали на образованном треугольнике.

cosAN = ((aN + 1) * 255) / 2; cosBN = ((bN + 1) * 255) / 2; cosCN = ((cN + 1) * 255) / 2; cosDN = ((dN + 1) * 255) / 2;

// Переопределение координат для формирования координат образа. xScr = Convert.ToIntl6((x+3) * 100);

yScr = Convert.ToIntl6(y * 100);

// Вычисление полного флага для проверки (сперто у Толока-Локтева), flag = Convert.ToIntl6(flagl + flag2 + flag3);

II Проверка (сперто у Толока-Локтева) с последующим заполнением пикселей

образа цветом.

if (flag < 2) {

this.bmpAFunc.SetPixel(xScr, yScr, Color.FromArgb(Convert.ToIntl6(cosAN), Convert.ToIntl6(cosAN),

this.bmpBFunc.SetPixel(xScr, yScr, Color.FromArgb(Convert.ToIntl6(cosBN), Convert.ToIntl6(cosBN),

this.bmpCFunc.SetPixel(xScr, yScr, Color.FromArgb(Convert.ToIntl6(cosCN), Convert.ToIntl6(cosCN), this.bmpDFunc.SetPixel(xScr, yScr,

Color.FromArgb(Convert.ToIntl6(cosDN), Convert.ToIntl6(cosDN), }

else {

this.bmpAFunc.SetPixel(xScr, yScr, Color.FromArgb(Convert.Tolnt16(cosAN), Convert.ToIntl6(cosAN),

this.bmpBFunc.SetPixel(xScr, yScr, Color.FromArgb(Convert.ToIntl6(cosBN), Convert.ToIntl6(cosBN),

this.bmpCFunc.SetPixel(xScr, yScr, Color.FromArgb(Convert.Tolnt16(cosCN), Convert.Tolnt16(cosCN), this.bmpDFunc.SetPixel(xScr, yScr,

Color.FromArgb(Convert.ToIntl6(cosDN), Convert.ToIntl6(cosDN), }

}

}

this.visualisationPictBox.Image = this.bmpAFunc;

}

// Функция расчета температурного напряжения.

private Double CalculationTempStressFunc(Double x, Double y) {

Double temperature = 1; Double result;

result = temperature / (1 + 2 * Math.PI * (Math.Pow(x, 2) + Math.Pow(y, 2))); return result;

}

}

}

II Функция расчёта напряжённого состояния double Au, Bu, Cu, Du; //компоненты нормали в точке int URjUB, UG;

MForm->aRefresh->Enabled = true; int nt=0;

float F=1000,Ax,Ay,Az,Ra, SigmaX, SigmaY, SigmaZ, Sigma, //Компоненты сдвига no осям

TettaX, TettaY, TettaZ, Tetta;

float Rs=0.005642; float PI=3.1415926535;

float D, xl=0, yl=0, x2, y2, y3=0, Colorl=0, Color=0; float MaxSigma=0;

float SumSigma; // Нормальное напряжение float MaxTetta=0; //Касательное напряжение float SumTetta; float Sa;

//

press = Param4->Edit_press->Text.ToDouble();// задаваемая сила

Convert.ToIntl6(cosAN))); Convert.ToIntl6(cosBN))); Convert.ToIntl6(cosCN))); Convert.ToIntl6(cosDN)));

0)); 0)); 0)); 0));

DistX = Param4->Dist_X->Text.ToInt(); // координаты приложения силы DistY = Param4->Dist_Y->Text.Tolnt(); //

Radius = Param4->Radius->Text.ToDouble();// Радиус площадки приложения силы CountPress = Param4->Count_press->Text.ToInt();// Количество точек приложения StepPress = Param4->Step_press->Text.ToInt(); // шаг распределения нагрузки

for(int y=nt; y<MForm->AuAll->Height-nt; y++) {

for(int x=nt; x<MForm->AuAll->Width-nt; x++) {

MFonm->BasePoint.x = x; MFonm->BasePoint.y = y; Point = BasePoint;

//

UB= GetBValue((MFonm->AuPlus->Canvas->Pixels[x][y])); UG= GetGValue((MForm->AuPlus->Canvas->Pixels[xj[y])); UR= GetRValue((MForm->AuPlus->Canvas->Pixels[xj[y])); //Рассматриваем сечение в плоскости zOy Си = Point.RetGrad(MForm->BuAll->Canvas);

Си = (((Cu)-127)*2.)/256.j// угол отклонения нормали от оси 0Z

if(Cu==0) Си=0.0000000001;

Bu = Point.RetGrad(MForm->AuAll->Canvas);

Ви = (((Ви)-127)*2.)/256.J// угол отклонения нормали от оси OY if(Bu==0) Ви=0.0000000001;

if(UR==0 && UG==0 && UB!=0) // определение отрицательной области объекта

GnadPicture->Imagel->Canvas->Pixels[x][у] = (TColor)RGB(UR,UG,UB)

else {

х2= x-DistX; //Координаты текущей точки объекта у2= y-DistY;

SumSigma=0; SumTetta=0;

for(int j=0;j<CountPress; j++) {

//Расчёт напряжения в текущей точке

xl=j*StepPress; //Координаты текущей точки нагружения Az=(y2-yl)*Radius; Ay=(x2-xl)*Radius; Ах=0; Au=0; Ra=sqrt(Ax*Ax+Ay*Ay+Az*Az); Sa=l+Ra+4*PI*Ra*Ra; //

if(x2==xl && y2==yl) Sigma=press/(PI*Radius*Radius)*(Cu); else

{SigmaX=press*Az*Ax/Sa*(Au); SigmaY=pness*Az*Ay/Sa*(Bu); SigmaZ=pness*Az*Az/Sa*(Cu);

Sigma=sqrt(SigmaX*SigmaX+SigmaY*SigmaY+SigmaZ*SigmaZ);

TettaX=pness*Az*Ax/Sa; TettaY=pness*Az*Ay/Sa; TettaZ=pness*(Ax*Ax+Ay*Ay)/Sa;

Tetta=sqrt(TettaX*TettaX+TettaY*TettaY+TettaZ*TettaZ);

}

SumSigma=SumSigma+Sigma; SumTetta=SumTetta+Tetta;

}

if(SumSigma>MaxSigma)MaxSigma=SumSigma; if(SumTetta>MaxTetta)MaxTetta=SumTetta; // Colorl=SumSigma;

Colorl=sqrt(SumTetta*SumTetta+SumSigma*SumSigma); if(Colonl>=255) Colorl=255;

//Запись в графический файл результата

GradPictune->Imagel->Canvas->Pixels[x][у] = (TColor)RGB(Colorl,Colorí,Colorí)

// } }

}

}

// Вывод максимального значения нормально напряжения AnsiString Sj ShowMessage(S + "max power:" + MaxSigma);

Application->MessageBox("Bыпoлнeниe процедуры завершено" "Сообщение",MB_OK);

II...........................................................

и

НПО ТЕХНОМАШ

им. С.А.Афанасьева

ГОСУДАРСТВЕННАЯ КОРПОРАЦИЯ ПО КОСМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ .РОСКОСМОС» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ «НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОбЪЕДИНЕНИЕ «ТЕХНОМАШ» (ФГУП «НПО «Техмомлш»)

127018, г.Моасм, 3-й проезд Марьиной рощи. д. 40. а/я 131 1«л.: 8 [phone], факс 8 <495) 689-73-45 wvm.tninpo.ru е-таК [e-mail]

СЖПО 07527638. ОГРН ЮЭ7739453982, ИНН 7715012448, КПП 771501001

УТВЕРЖДАЮ

И.о. заместителя генерального директорам главного технолога, д.э.н.

\1 "Вхмми да