Геометрическое конструирование многообразий применительно к процессам обогащения полезных ископаемых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат технических наук Шангина, Елена Игоревна

• Шангина, Елена Игоревна
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шангина, Елена Игоревна

Введение.

1.Размерность многообразий пространства п-измерений.

1.1 Формирование пространства п-измерений.

1.2 Вопросы геометрического строения каркасных гиперповерхностей 4-мерного пространства.

1.3 Подсчёт параметров различными способами.

1 АРазмерность пересечения, связывание параметров.

1.5.Условие параллельности.

Выводы.

Построение модели с минимальным числом проекций объектов различного числа измерений и различной структуры.

2.1 Различные геометрические модели отображения многомерных пространств.

2.2 Построение модели с минимальным числом проекций многомерной начертательной геометрии.

2.3 Геометрическое моделирование линейных многообразий многомерного пространства.

2.4. Алгоритмы решения позиционных задач пространства Е4 и их графическое отображение.

2.5. Графическое задание кривых линий, поверхностей и гиперповерхностей на модели с минимальным числом проекций,.

2.6. Гиперповерхности Каталана пространства Е4.

Выводы.

3. Применение предложенной графоаналитической модели с минимальным числом проекций для решения технологических задач процессов обогащения полезных ископаемых.

3.1 Геометрические модели многокомпонентных систем.

3.2 Планирование эксперимента.

3.3 Реализация методов геометрического моделирования применительно к процессам обогащения полезных ископаемых.

3.3.1.Аналитическая и графическая реализация полного факторного эксперимента процесса грохочения.

3.3.2. Конструирование многомерных поверхностей применительно к химико-технологическому процессу - флотация.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическое конструирование многообразий применительно к процессам обогащения полезных ископаемых»

Актуальность проблемы. В настоящее время начертательная геометрия развивается под воздействием поставленных инженерных задач, а её методы находят многочисленное применение в науке и технике.

Начертательная геометрия в процессе своего развития активно использует методы смежных наук, в том числе, алгебры, алгебраической геометрии, исчислительной геометрии и др., расширяется круг её теоретических возможностей. В сегодняшнем арсенале уже имеется широкий набор методов, начиная с классических: метода Монжа, аксонометрии, перспективы до метода двух следов, циклографии Фидлера и других. Вместе с тем, продолжает оставаться актуальной проблема разработки новых методов геометрического моделирования, что позволяет находить требуемые решения разнообразных многопараметрических задач. Кроме того, желательно, чтобы конструктор имел возможность задавать эти параметры в графическом виде.

В линейных методах многомерной начертательной геометрии наибольший практический интерес предст авляет проблема построения моделей с минимальным числом проекций, наиболее удобных при решении инженерных задач.

В теоретическую область начертательной геометрии большой вклад внесли такие учёные, как Н.Ф.Четверухин, К.И.Вальков, И.С.Джапаридае, И.йКотов, Е.И.Мчедлишвили, Г.С.Иванов и многие другие.

В области практических приложений подученных теоретических методов большой вклад внесли В. А. Бусыгин. Ю С Завьялов. В.Л.Калипнп, И.И.Котов, В.Е.Михайленко, К.М.Наджаров, В.А.Осипов, А.П.Павлов, В.Н.Первикова, А.Л.Подгорный, Н.Н.Рыжов, С.А.Фролов, А.М.Тевлин, А.Д.Тузов, В.И.Якунин и др.

В этот период получила дальнейшее развитие многомерная начертательная геометрия. Существенный вклад в теорию геометрического моделирования многомерного пространства и практику её применения внесли отечественные учёные.

Проф. Н.Ф. Четверухин внёс вклад в разработку методов параметрического исследования изображений, в теорию позиционной и метрической полноты изображений, в теорию аксонометрии многомерного пространства [ 97, 98, 99, 100 ].

Проф. И.И. Котов пользовался понятием многомерной поверхности в созданной им теории конкурирующих поверхностей. Им разработаны графоаналитические методы конструирования поверхностей технических форм, а также плоских и пространственных обводов [ 40, 41, 42, 43], что во многом определило направленность развития как прикладной, так и общей теории поверхностей.

Проф. В.И. Первиковой принадлежат работы в области многомерной аксонометрии и разработка теории обратимых отображений многомерного пространства [ 59, 60, 61, 62, 64, 65 ]. В работе [ 60 ] разработаны способы построения аксонометрических изображений различных геометрических многообразий многомерного пространства применительно к исследованию многокомпонентных систем; рассмотрены общие способы решения основных позиционных задач с нелинейными элементами четырёхмерного пространства, а также указана возможность задания в аксонометрических проекциях нелинейных образов дискретных каркасов. В [ 61 ] исследованы общие свойства комплексных чертежей n-мерных многообразий, построенных по способу двух изображений (проекций) и по способу двух следов, рассмотрены общие вопросы теории отображения гиперповерхностей при каркасном способе их задания.

Многие работы проф. H.H. Рыжова посвящены конструированию поверхностей по определённым дискретным условиям, а также им внесён вклад в теорию параметризации [78, 79, 80 ].

Направлению геометрического моделирования многомерных пространств посвящены работы проф. К.И. Валькова [11,12,13]. Направлению привлечения вычислительных машин для решения геометрических задач графическими методами посвящены работы проф. С. А, Фролова [92. 93].

Проф. В.Я. Вожов на основе исследования теории параметризации и методов исчислительной геометрии разработал классификацию геометрических многообразий многомерного пространства и общие принципы их моделирования. Им выведены формулы расчёта алгебраических характеристик многообразий п-мерного пространства на базе символических исчислений условий [14,15,16,17].

Проф. И. С. Джапаридзе рассмотрены вопросы моделирования пространств и его преобразований, исследованы вопросы построения моделей различных пространств, проанализирована их связь с различными методами изображений, которые применяются в технике [26].

Общие вопросы многомерной геометрии рассмотрены как в работах зарубежных учёных, так и наших: Схоуте [121], Соммервиля [122], Экхарта [117], Буке [116], Рейе [120] Б.А. Г.С.М.Коксгера [37], Розенфельда [77], А.С.Палатника и А.И. Ландау [57], Л.С. Атанасяна [7], П. С. Александрова [5,6], В.П.Радищева [74,75], Д.З.Гордевского и А.С.Лейбина [21], Н.В. Ефимова, Э.Р.Розендорна [28,29] и др.

В геометрии известны различные модели отображения многомерных пространств, предложенные в работах [3,22.26,27,46,48,53,54.55,56,62,68.69, 72,74,75,83,90,115] и др. Однако следует заметить, что каждая модель позволяет решать лишь определённый, сравнительно узкий круг задач. Поэтому продолжает оставаться актуальной разработка новых методов геометрического моделирования.

В линейных методах многомерной начертательной геометрии наибольший практический интерес представляет на сегодня проблема построения моделей с минимальным числом проекций, наиболее удобных для решения прикладных задач.

Цель работы состоит в разработке метода геометрического моделирования многомерных пространств или многообразий на чертеже с минимальным числом проекций, наиболее удобной при решении прикладных задач, и реализация этой модели применительно к процессам обогащения полезных ископаемых.

Для достижения этой цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи:

-систематизация известных понятий, определений и фактов на основе теоретико-множественного подхода к параметризации;

-разработка и исследование геометрической модели отображения многомерных пространств или многообразий различного числа измерений и различной структуры с минимальным числом проекций;

-геометрическое моделирование многокомпонентных систем процессов обогащения полезных ископаемых.

Методика исследований. Решение задач, сформулированных в диссертационной работе, базируется па методах начертательной, многомерной, исчислительной, аналитической, проективной, алгебраической геометрии и других смежных наук. Научная новизна:

-разработана и изучена модель отображения многообразий многомерного пространства различной размерности на основе проекций с числовыми отметками и расслоения множеств на классы эквивалентности, в виде модели с минимальным числом проекций, наиболее практичной и удобной при решении прикладных задач;

-разработаны методики и алгоритмы решения позиционных и метрических задач многомерной начертательной геометрии на предлагаемой модели;

-рассмотрены вопросы, связатппле с систематизацией подсчёта параметров в начертательной геометрии на теоретико-множественной основе: факторизация (расслоение) множества определителей, аналитическое задание множества, условие принадлежности и др.

Практическая ценность. Предложенная в диссертационной работе графоаналитическая модель может использоваться для геометрического моделирования процессов многокомпонентных систем. В качестве объекта прикладных исследований построена графическая модель химико-технологического процессов обогащения полезных ископаемых - грохочения, флотации.

Материалы диссертации также используются автором в учебном процессе Уральской государственной горно-геологической академии (УГГГА),

На защиту выносятся:

-методика подсчёта параметров заданных многообразий, основанная на теоретико-множественном подходе;

-метод построения и исследования, наиболее удобной при решении прикладных задач, модели отображения многомерных пространств с минимальным числом проекций;

-исследование геометрических многообразий на предлагаемой модели с минимальным числом проекций с помощью дополнительных проекций;

-методика решения прикладных задач обогащения полезных ископаемых на основе модели с минимальным числом проекций.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены: -на городском семинаре по прикладной геометрии и графике (Екатеринбург), 1998г.;

-на научно-технической конференции и семинарах УГГТА, 1998-2000г.г.; -на семинаре кафедры «Прикладная геометрия» МАИ, 2000г; -на научно- технической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту 2000», Екатеринбург, УрГАПСДООО.

-па научно-технической конференции по начертательной геометрии и графике (Нижний Новгород), 2000г.

Публикации. По теме диссертации имеется 8 публикаций, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты исследований. Опубликовано 1 учебное пособие, 3 методические разработки для студентов УГТТА.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографического списка, включающего 123 наименования и приложения. Диссертация объёмом 158 страниц машинописного текста содержит 39 рисунков и 2 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Инженерная геометрия и компьютерная графика», Шангина, Елена Игоревна

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3

Исходя из постановки проблемы развития теории геометрического моделирования в технологических процессах обогащения полезных ископаемых и рассмотренных в этой главе геометрических методах моделирования многокомпонентных зависимостей, используемых в литературе, были получены следующие результаты:

-разработана теоретическая и комплексная последовательность решения задач многокомпонентных процессов, начиная с определения количества экспериментальных данных, обработки их методами математической статистики, получения аналитической зависимости;

-на основе теоретических данных, рассмотренных во второй главе, получена геометрическая модель многокомпонентной системы процесса грохочения;

-разработана методика графического определения оптимального протекания процесса грохочения, заключающаяся в отыскании наилучшего результата или режима;

-получена математическая модель в виде аналитической зависимости эффективности грохочения от угла наклона грохота, расхода воды, частоты пульсаций, которая подтверждает достоверность геометрической модели;

-предложена методика конструирования поверхностей многокомпонентных систем процессов флотации.

Таким образом, разработанные в третьей главе методы конструирования многомерных эмпирических поверхностей применительно к процессам грохочения и флотации на модели с минимальным числом проекций, обеспечивают возможность использования методов многомерной начертательной геометрии для решения общих задач процессов обогащения полезных ископаемых.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведённые теоретические и прикладные исследования позволили решить поставленные в диссертационной работе задачи и получить следующие результаты:

1. Систематизация вопросов подсчёта параметров различных многообразий и объединение их с теорией задания геометрических многообразий в п-пространстве, позволили разработать методику конструирования их образов и разработать алгоритмы решения позиционных и метрических задач.

2. Разработана графоаналитическая модель отображения многомерного пространства на основе проекций с числовыми отметками, параллельного проецирования на двумерную плоскость и расслоения заданных множеств на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). Показана связь этой модели с известными моделями отображения многомерных пространств (чертежом Радищева, Буке-Схоуте, Эйтеля и др.).

3. На основании теоретических результатов исследования, разработан способ построения моделей многофакторных зависимостей для процессов обогащения полезных ископаемых, на чертеже с минимальным числом проекций. Это позволило разработать удобный для практики, простой вычислительный алгоритм решения многофакторных задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шангина, Елена Игоревна, 2000 год

1. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. -М.: Металлургия, 1969.-2Юс.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. -М.: Наука, 1976. -279с.

3. Аносов В.Я. К вопросу об изображении многокомпонентных систем. Метод спиральных координат // Изв. Сектора физ. хим. анализа. Т.9, №5. - 1936. - с.5-25.

4. Аоки М. Введение в методы оптимизации. -М.: Наука, 1977. -344с.

5. Александров П.С. Теория размерности и смежные вопросы. Статьи общего характера. -М.: Наука, 1978 -432с.

6. Александров П.С., Пасынков В.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973. -576с.

7. Атанасян A.C. Основы многомерной геометрии. Учпедгиз -М., 1963.

8. Аффи А., Эйзен Р. Статистический анализ: Подход с применением ЭВМ. -М.: Мир, 1982. -486 с.

9. Березкина Л.Я. К теории поверхностей многомерного пространства. Изд. Рижского института инженеров гражданской авиации -Рига, 1965.

10. Ю.Бененсон В.Д. Влияние некоторых факторов на скорость флотации и металлургические результаты. Канд. дисс. техн. наук. Свердловск, 1956. -168 с.

11. Вальков К.И. Лекции по основам геометрического моделирования. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1975. - 180с.

12. Вальков К.И. Линейные преобразования многомерного пространства как средство геометрического моделирования в науке и технике. Докт. дисс., Л., 1964.

13. Вальков К.И., Дралин Б.И., Клементьев В.Ю., Чукова М.Н. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика. М.: Высшая школа, 1997.-495с.

14. Волков В.Я., Куликов Л.К. Геометрическое моделирование в курсе начертательной геометрии // Учебное пособие. Омск: ОмГТУ, 1995. - 60с.

15. Волков В.Я. Исследование многомерных тангенциально вырожденных поверхностей применительно к многофазным равновесиям многокомпонентных металлических систем. Автореферат канд. дисс.- М., 1969.-130с.

16. Волков В.Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и её приложения. Автореферат докт. дисс. -М: 1983

17. Вольберг O.A. Основные идеи проективной геометрии. М.: ГТТИ, 1948. -194с.

18. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. -М.-Л.:ГТТЛ, 1949. -512с.

19. Гильберт Д., Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. -М.:Наука, 1981.- 344с.

20. Гордевский Д.З., Лейбин A.C. Популярное введение в многомерную геометрию. Харьков: ХГУ, 1964 - 191с.

21. Гумен Н.С. Графоаналитическое отображение некоторых геометрических образов многомерного евклидова пространства на подпространства низших измерений применительно к решению некоторых технических задач. Автореф. дисс. канд. техн. наук. Киев, 1969. - 28с.

22. Гуревич Г.Б. Проективная геометрия. -М.: 1960 -320с.

23. Гуревич В., Волмен Г. Теория размерности. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948 - 232с.

24. Данциг Д. Линейное программирование, его применение и обобщение. М.: Прогресс, 1966. - 289 с.

25. Джапаридзе И.С. Конструктивные модели отображения проективных преобразований пространства. Тбилиси: ГПИ, 1964 -127с.

26. Джапаридзе И.С. Начертательная геометрия в свете геометрического моделирования. -Тбилиси: Ганатлеба, 1983. -208с.

27. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1978. -576с.

28. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. -М.: Наука, 1970. -528с.

29. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. М.: Машиностроение, 1995. -224с.: ил.

30. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. -М.: Машиностроение, 1998. 157с.

31. Козин В.З. Экспериментальное моделирование и оптимизация процессов обогащения полезных ископаемых. М.: Недра, 1984. - 112с.

32. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л.: ГОНТИ, 1939. -400с.

33. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. -М.: Просвещение, 1966.- 648с.

34. Комиссарук A.M. Основы аффинной геометрии на плоскости. Минск: Высшая школа, 1967. -296с.

35. Корн Г. Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1973- 795с.

36. Котов И.И. Аналитическая геометрия в пространстве и начертательная геометрия поверхностей. -М.: МАИ, 1968. 147с.

37. Котов И.и. Каркасные поверхности зависимых сечений. Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. 11 тем. сб. научных трудов МАИ. 1974. - вып. 296 - с.4-8.

38. Котов И.И. Методологические основы и пути развития прикладной геометрии. Сб трудов МАИ, №195, вып.5. М.: МАИ, 1970.

39. Котов И.И., Якунин В.И., Иванов Г.С. Учебное пособие по начертательной геометрии на базе ЭВМ. -М.: МАИ, 1977. 53с.

40. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -М.: Наука, 1971. 432с.

41. Ламбин Л.Н. Полнота изображений в многомерной начертательной геометрии и её приложения к многокомпонентным системам. Канд. дисс.-М.: МАИ, 1962.-169с.

42. Лодочников В.Н. Простейшие способы изображения многокомпонентных систем. Изв. ИХФА АН СССР, т.2, вып.2, 1924. 255с.

43. Малеев Ю.А. Поверхности Каталана применительно к изучению диаграмм состояний многокомпонентных систем, канд. дисс. М. 1972.- 130с.

44. Мемке Р. Новые построения пространственной графостатики, УМН, вып. 7, 1940. -С.31- 72.

45. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

46. Михайленко В.Е., Обухова B.C., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. Киев: Будивельник, 1972. 208с.

47. Михайленко В.Е Прикладная геометрия архитектурных оболочек. Автореферат докт. дисс. -Киев: 1971

48. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. -644с.

49. Мчедлишвили Е.А. Методы изображений. Тбилиси,: ГПИ, 1974.

50. Мчедлишвили Е. А. Проективная геометрия и плоскостное отображение пространства. Тбилиси,: ТГУ, 1974. - 267с.

51. Наумович H.B. Комплексный чертёж n-мерного пространства и его применение. Труды конференции по прикладной геометрии ВУЗов Северного Кавказа. Новочеркаск, 1967. -с.74-92.

52. Наумович Н.В. Об одном методе начертательной геометрии четырёхмерного евклидова пространства // Тр. Моск. науч.-метод.семинара по начертательной геометрии и инж. графике. 1958. - Вып. 1.-е. 146-161.

53. Палатник A.C. Ландау А.И. Фазовые равновесия в многокомпонентных системах. Харьков: Изд. ХГУ, 1961.

54. Пеклич В.А. Элементы теории множеств начертательной геометрии. Сб. научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. Вып 7. М.: МАИ, 1979.

55. Первикова В.Н. Геометрические основы чертежей многомерных фигур. М.: МАИ, 1982, с.44.

56. Первикова В.Н. Аксонометрические изображения и применение их для исследования многокомпонентных систем. Дисс. канд. техн. Наук. М.: МАИ, 1955,- 384с.

57. Первикова В.Н. Теория обратимых отображений многомерного пространства. Дисс. докт. техн. Наук. М.: МАИ, 1975.

58. Первикова В.Н. Комплексный чертёж n-мерного евклидова пространства на к-мерной плоскости. В кн.: труды Московского научно-методического семинара по нач. геом. и инж. графике. М.: МВССО, 1963. с. 172- 179.

59. Первикова В.Н. основы обратимых отображений линейного пространства в применении к чертежам многомерных фигур. В кн.: Вопросы прикладной геометрии. Труды МАИ, М.: МАИ, 1966, с. 157-171.

60. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии. -М.: Наука, 1976.

61. Первикова В.Н., Коробова Д.М., Решетникова A.A. Чертежи поверхностей п-мерного пространства и их инженерное приложение. В кн.: геометрические преобразования и прикладная многомерная геометрия. - М.: МАИ, 1973, с.68-86.

62. Перельман Ф.М. Методы изображения многокомпонентных систем.- М.: Изд. АН СССР, 1959, с. 130.

63. Перельман Ф.М. Изображение многокомпонентных систем по методу В.П. Радищева//Изв. Сектора физ.-хим. анализа, 1953. -т.22. с.21-32.

64. Погорелов A.B. Геометрия. М.: наука. 1983. - 288с.

65. Подгорный A.JI. Геометрическое моделирование пространственных конструкций. Автореферат докт. дисс. Киев: КИСИ, 1975.

66. Подылина М.Г. Отображение 4-пространства на плоскость по методу проекций с двумя числовыми отметками и его применение для исследования многокомпонентных сплавов. Канд. дисс. Техн. Наук. М.: МАИ, 1963. -145с.

67. Полежаев В. Д. Непрерывно-каркасные и параметрические методы конструирования многообразий применительно к моделированию многофакторных процессов. Автореферат канд. дисс. Киев: КИСИ, 1989. -20с.

68. Радшцев В.П. К теоретическому изучению многокомпонентных взаимных систем. Изв. Сектора физ.-хим. анализа-М.: АН СССР, 1953, т22, с.33-63.

69. Радищев В.П. О применении геометрии четырёх измерений к построению равновесных физ.- хим. анализа. М.: АН СССР , 1947, т. 15, №5. С.5-35.

70. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. -M.-JL: ГОНТИ, 1938.-336с.

71. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, !966.-544с.

72. Рыжов H.H. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей, сб. математика, прикладная геометрия, т.26, вып. 3 -М.: труды УДН, 1967. -с.2-16.

73. Рыжов H.H. Начала геометрического моделирования.- М.: МАДИ-ТУ , 1999,-62с.

74. Рыжов H.H. О теории каркаса. Труды УНД им. П.Лумумбы 1963. - вып. 1.-с.9-19.

75. Савелов A.A. Плоские кривые. М.: Физматгиз, 1960. -293с.

76. Семендяев К. А., Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука. 1983. - 721с.

77. Солодовникова Э.В. Моделирование многомерного пространства методом проекций с числовыми отметками и некоторые её приложения, канд. дисс. Д., 1974. 167с.

78. Таггарт Д. Справочник по обогащению полезных минералов, (русский перевод). Т.2. 1923, с. 280-314.

79. Тарчевская И.Г. Физико химические основы флотационных методов обогащения. - Свердловск: УТИ, 1991. - 78с.

80. Тевлин A.M. Конструирование каркасных поверхностей. Труды МАИ. -1975.-вып. 331-с. 90-93.

81. Теоретические основы формирования моделей поверхностей. Учебное пособие под ред. В.И. Якунина. -М.: МАИ, 1985. 51с.

82. Курс начертательногй геометрии на базе ЭВМ под редакцией Тевлина A.M. М.: Высшая школа, 1983. - 175с.

83. Уайлд Д. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967. - 267с.

84. Филиппов П.В. Многомерная начертательная геометрия и её применения. -Л.: Наука, 1979. 298с.

85. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982. - 304с.

86. Фролов С. А. Методы преобразования ортогональных проекций. -М.: Машгиз, 1963. 144с.

87. Фролов С.А. Кибернетика и инженерная графика. М.: Машиностроение, 1974.-222с.

88. Хикс Ч. Основные принципы планирования Эксперимента. М.: Мир, 1976. -406 с.

89. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1976.-406 с.

90. Хоффер Э., Лундерштед Р. Численные методы оптимизации. М.: Машиностроение, 1981. - 192с.

91. Четверухин Н.Ф. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 1968.-276с.

92. Четверухин Н.Ф. Полные и неполные изображения. Условные изображения и параметрический метод.// Вопросы современной нач. геометрии (под ред. Н.Ф. Четверухина. М.: Гостехиздат, 1947.

93. Четверухин Н.Ф. О графической геометрии // Вопросы прикладной геометрии. М.: МАИ. - 1972. - вып. 246. - с. 5-9.

94. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969. -367с.

95. Шангина Е.И., Бабич В.Н. Анализ классических методов начертательной геометрии. Научно техническая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту - 2000», тезисы докладов. -Екатеринбург. 2000.

96. Шангина Е.И., Бабич В.Н. Подсчёт параметров различных геометрических многообразий. Юбилейная научно-техническая конференция (УрГАПС 40 лет). «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту». - Екатеринбург. 1996.Тезисы докладов 118с. -47с.

97. Шангина Е.И., Бабич В.Н. Начертательная геометрия в проекциях с числовыми отметками // Учебное пособие под ред. P.A. Вайсбурда. Екатеринбург: Полиграфист, 1999. - 150с.

98. Шангина Е.И. Геометрические модели оптимизации. Научно -техническая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования -транспорту 2000. - Екатеринбург.2000.

99. Шангина Е.И. Геометрическое моделирование процессов оптимизации в проекциях с числовыми отметками. Научно техническая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту - 2000. -Екатеринбург. 2000.

100. Шангина Е.И. Кинематический анализ секции линии валкового грохота. «Горный журнал» №4. Екатеринбург: УГГГА, 1999.

101. Шангина Е.И. Размерность пересечений. Тезисы докладов семинара -совещания заведующих графических кафедр ВУЗов России «Актуальные проблемы теории и методики графических дисциплин». Пенза.: ПГАСА, 1999.-с. 79-81.

102. Шангина Е.И., Якунин В.И. Построение модели с минимальным числом проекций многомерной начертательной геометрии. Научно-техническая конференция. Нижний Новгород: НГТУ, 2000.

103. Шенон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. -М.: Мир, 1978.-418 с.

104. Шубов Л.Я., Иванков С.И. Щеглова Н.К. Флотационные реагенты в процессах обогащения минерального сырья: Справочник: В 2 кн.\ Под ред. Л.В. Кондратьевой,- М.Недра, 1990. Кн.1. - 400с., Кн.2. - 263с.

105. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. От проективной геометрии к неевклидовой. -М.: Просвещение. 1979. - 160с.

106. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. -М.: МАИ, 1980. 86с.

107. Якунин В.И. Методологические вопросы геометрического конструирования технических объектов// Начертательная геометрия имашинная графика в практике решения инженерных задач.

108. Омск: изд. ОмПИ, 1987.-е. 4-7.

109. Якунин В.И. Современные проблемы и перспективы научных исследований в прикладной геометрии //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: изд. ОмПИ, 1986.-е. 12.

110. Bertini Е. Einfuhrung in die projektive Geometrie mehrdimensionaler Räume, über A. Duschek, Wien, Seidel, 1924.

111. Boeke H.E. Eine Anwendurng mehrdimensionale Geometrie auf chemischmineralogische Fragen // Neues Jahrb. für mineralogie.- 1916. Bd.2. - p. 109148.

112. Echart L. Der vierdimensionale Raum, Leipzig Berlin, 1929.

113. Eitel W. Uber Vielstoffsysteme, Zeitch. f. anorg. u. allg. Chemie, Bd. 100, Leipzig, 1917.

114. Muller E. Vjrlesungen über darstellender Geometrie, Bd. 1. Die linearen Abbildungen, Leipzig U. Wien, 1923.

115. Reye Th. Die Geometrie der Lage. Bd 1, 2, 3. Leipzig, 1923. - 536p.

116. Schoute P.H. Mehrdimensionale Geometrie.- Leipzig, 1902. T.2. - 295 p.

117. Sommerville D.M.V.An introduetion to the geometry of N dimentions. -London, 1929.

118. Veronese G. Behandlung der projektivischen Verschindenen Demensionen durch das Prinzip des Projezierens und Schneidens. Math. Annalen, Bd. 19, Leipzig, 1882.