Геометрические структуры на бесконечномерных многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Романова, Елена Михайловна

• Романова, Елена Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Романова, Елена Михайловна

Глава 1. Многообразие ориентированных незамкнутых кривых в евклидовом пространстве

1.1. Структура многообразия

1.2. Группа движений

1.3. Ковариантное дифференцирование

1.4. Структура фактормногообразия

1.5. Линейная связность

Глава 2. Многообразие невырожденных аффинорных полей

2.1. Структура группы Ли

2.2. Связность Картана

Глава 3. Многообразие компактных подмногообразий евклидова пространства

3.1. Естественные карты и преобразование координат

3.2. Линейная связность 72 3.3 Тензор кривизны

3.4. Метрика

3.5. Риманова связность

3.6. Расслоение гладких тензорных полей

3.7. Инфинитезимальная связность

3.8. Тензор кривизны на расслоении гладких функций 96 Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические структуры на бесконечномерных многообразиях»

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИИ

Изучением бесконечномерных дифференцируемых многообразий ученые-математики занимаются уже больше века. За это время были получены значительные результаты в изучении и применении банаховых многообразий ([1], [5], [10], [16] и др.), но работ, посвященных многообразиям Фреше, появилось меньше ([17], [18] и др.). В них приводятся основные определения и теоремы, а также примеры, рассматривающие дифференциально-топологические свойства бесконечномерных многообразий, но мало внимания уделяется построению геометрических структур, а именно, нахождению связностей (линейной и римановой) и тензора кривизны.

Теория связностей, введение метрики, вычисление тензоров кривизны и кручения, построение гладких структур многообразий и расслоений — вот одни из основных вопросов дифференциальной геометрии, которые рассмотрены в данной диссертации. Они представляют интерес для таких областей знания, как вариационное исчисление, теория относительности, механика и гидродинамика.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ — изучение бесконечномерных многообразий банахова типа и типа Фреше: построение структуры банахова многообразия на множестве ориентированных незамкнутых кривых в евклидовом пространстве и нахождение объекта плоской линейной связности на этом многообразии; построение связности Картана на группе Ли невырожденных аффинорных полей; изучение линейной связности и ее тензора кривизны на многообразии компактных подмногообразий евклидова пространства и введение римановой связности на этом многообразии; построение структуры векторного расслоения типа Фреше, слоями которого являются все гладкие сечения тензорного расслоения произвольного компактного подмногообразия евклидова пространства, изучение инфинитезимальной связности и ее тензора кривизны на этом расслоении.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ являются новыми и заключаются в следующем:

1) Методом проектирования линейной связности доказывается, что многообразие плоских ориентированных незамкнутых кривых без точек спрямления, определяемых с точностью до движения, является локально плоским пространством линейной связности.

2) Доказывается, что фактормногообразие невырожденных аффинор-ных полей по действию группы обратимых функций является группой Ли, на которой строится объект связности Картана - линейной связности нулевой кривизны, но ненулевого кручения.

3) На многообразии компактных подмногообразий евклидова пространства строится объект линейной связности и вычисляется ее тензор кривизны.

4) Вводится риманова структура на многообразии компактных подмногообразий евклидова пространства.

5) Строится векторное расслоение Фреше гладких тензорных полей над многообразием компактных подмногообразий евклидова пространства. Находится объект инфинитезимальной связности на этом расслоении и для расслоения гладких функций вычисляется тензор кривизны. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Построение теории абстрактных банаховых многообразий было завершено в работах Бурбаки Н. [1] и Ленга С. [10].

Доказательства большинства известных теорем для конечномерных многообразий можно перенести на многообразия бесконечной размерности.

Вопросы дифференциальной топологии банаховых многообразий изучались многими математиками, при этом менее развит оказался дифференциально-геометрический аспект бесконечномерных многообразий.

Еще сложнее дело обстоит с многообразиями Фреше. В пространстве Фреше не удается построить естественное простое дифференциальное исчисление, как в банаховом пространстве. Например, в пространстве Фреше не выполняется классическая теорема об обратном операторе и, как следствие, неверна теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений [17]. Существенным отличием от теории банаховых пространств является тот факт, что пространство непрерывных линейных отображений из одного пространства Фреше в другое не образует пространство Фреше [17].

При подготовке диссертации были изучены работы Ленга С. "Введение в теорию дифференцируемых многообразий"[10], Eliasson Н. I. "Geometry of manifolds of maps"[16], Hamilton R. S. "The inverse function theorem of Nash and Moser"[17], Michor P. W. "Manifolds of differentiable mappings"[18].

Первые две главы диссертации опираются на собрание трудов Н. Бурбаки "Элементы математики" и С. Ленга с приложением лекций С. Смейла, записанных и обработанных Р. Абрахамом [10]. В этих книгах приводятся такие понятия, как "субмерсия" и "иммерсия", и даются их основные свойства. У Бурбаки Н. [1] определения и свойства соответствующего отображения даются как эквивалентные утверждения. В диссертации эти свойства иммерсии и субмерсии взяты в качестве определений таких отображений.

В конце работы [10] приводятся основные правила дифференцирования отображений банаховых многообразий конечного класса гладкости. Введение структуры многообразия на множестве дифференцируемых отображений можно также найти в [16].

В первой главе диссертации применяется метод нормализации, описанный Норденом А. П. в работе "Пространства аффинной связности"([11], п.57). Нормализация - это расширение понятия "оснащение". Под оснащением понимают соответствие, при котором каждой точке многообразия ставится подпространство, дополнительное к касательному пространству и проходящее через заданную точку.

Также в параграфе 49 [11] Норден А. П. поднимает вопрос о существовании связности с абсолютным параллелизмом. На группе Ли такая связность существует и называется связностью Картана. Постников М. М. в [13] выделяет три связности Картана — левую, правую и среднюю. Все три связности Картана не симметричны по своим аргументам и имеют нулевой тензор кривизны. В диссертации строится объект левой связности Картана.

Если первые две главы диссертации содержали примеры банаховых многообразий, то третья глава посвящена многообразиям Фреше.

Книга Hamilton R. S. [17] является основным источником определений, формул, примеров и идей, используемых в третьей главе диссертации.

Работы Hamilton R. S. [17] и Michor P. W. [18] посвящены многообразиям отображений бесконечного класса гладкости. У Michor P. W. важным является параграф 10 [18], где рассматривается множество гладких отображений С°°(Х, Y) (X, Y - компактные многообразия класса С00), доказывается, что С°°(Х, У) является многообразием, причем эта структура многообразия не зависит от выбора локальной экспоненты, с помощью которой строятся карты атласа. В [17] и [18] приведены доказательства того, что множество сечений произвольного расслоения является многообразием, и в частности в [17], что множество сечений векторного расслоения является пространством Фреше. Примеры 4.4.5. и 4.4.6. [17] дают основные формулы дифференцирования, которые приводятся в диссертации в третьей главе в виде формул под номерами (1) и (2). Параграфы 3.6 - 3.8 третьей главы данной диссертации являются обобщением примера 4.5.5. [17], где строится векторное расслоение и вычисляется тензор кривизны инфинитезимальной связности.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Романова, Елена Михайловна, 2005 год

1. Бурбаки И. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов - М.: Мир, 1975,- 224 с.

2. Бурбаки И. Группы и алгебры JIu.- М.: Мир, 1976, гл.Ш.- 496 с.

3. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства М.: Наука, 1969,- 392 с.

4. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. М.: Наука , 1975, гл.9-10.

5. Дьедонне Ж. Основы современного анализа- М.: Мир, 1964 430 с.

6. Картам А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы-М.: Мир, 1971.- 392 с.

7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981- том 1- 344 с.

8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981- том 2 - 416 с.

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-цонального анализа М.: Наука, 1972.- 496 с.

10. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий М.: Мир, 1967.- 204 с.

11. Норден А. П. Пространства аффинной связности.- М.: Наука, 1976, п.49, 57.

12. Постников М. М. Гладкие многообразия. Семестр III- М.: Наука,1987.- 480 с.

13. Постников М. М. Римапова геометрия. Семестр V. М.: Факториал, 1998 - 496 с.

14. Фомин В. Е. Методические указания и рекомендации к специальному курсу Дифференциальная геометрия банаховых многообразий. // Учебное пособие. Изд.-во КГУ, Казань, 1983.- 80 с.

15. Фомин В. Е. Проектирование линейных связностей в расслоениях банахова типа // Труды геометрического семинара. Изд.-во КГУ, Казань, 1988. - Выпуск 18. - с. 95 - 116.

16. Eliasson Н. I. Geometry of manifolds of maps// J. Diff. Geom., 1967.-№1.- p.169 -194.

17. Hamilton R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser// Bull. Amer. Math. Soc., 1982.- V.7.- №1.- p.65 222.

18. Michor P. Manifolds of differentiable mappings// Cambridge, Mass., 1980.- 158 p.

19. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М.Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии.// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Геометрия-1. М.: ВИНИТИ, 1988.- том 28.- 297 с.

20. Архангельский А. В., Федорчук В.В. Основные понятия и конструкции общей топологии.// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Общая топология-1. М.: ВИНИТИ, 1988.- том 17.-231 с.

21. Фомин В. Е., Юльметов Р. Р. Линейные связности и геодезические кривые на многообразии Фреше.// Изв. вузов. Математика. 1995.- № 7.-с. 78-90.

22. Романова Е. М., Фомин В. Е. Линейная связность и геодезические на многообразии компактных подмногообразий евклидова пространства:.// Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: УНИПРЕСС.- 2000,- Т.5. - с. 181-182.

23. Романова Е. М. Линейная связность на многообразии компактных подмногообразий// Движения в обобщенных пространствах. Межвузовский сборник трудов. Пенза: Изд.Пенз.гос.педагог.ун-та, 2000. - с. 4149.

24. Романова Е. М. Риманова связность на многообразии компактных подмногообразий евклидова пространства// Труды XIII-XIV Международной летней школы-семинара "Волга 2001-2002".- Казань, 2003.- с. 360-366.

25. Романова Е. М. Связность на расслоении гладких тензорных полей// Труды XIII-XIV Международной летней школы-семинара "Волга 2001-2002".- Казань, 2003.- с. 348-360.