Геометрические методы в получении и решении уравнений типа Монжа-Ампера на компактных и некомпактных многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Кокарев, Виктор Николаевич

• Кокарев, Виктор Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кокарев, Виктор Николаевич

Введение

Глава 1. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными функциями условных радиусов кривизны.

§1. Основные понятия и уравнения

§2. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны

§3. Существование замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны

Глава 2. Кэлеровы многообразия с заданными смешанными формами объема.

§1. Обобщение проблемы Калаби

§2. Необходимое условие разрешимости уравнения (1)

§3. Единственность решения уравнения (1)

§4. Априорные оценки решения уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии положительной кривизны

§5. Условие положительной определенности искомой метрики при т = 1 для кэлеровых многообразий положительной кривизны.

§6. Доказательство разрешимости уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии положительной кривизны

§7. Априорные оценки решения уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии нулевой кривизны

§8. Доказательство разрешимости уравнения (1) на торе

Глава 3. Уравнения несобственной выпуклой аффинной сферы

§1. Обобщение уравнения (1)

§2. С2 - оценки решения уравнения (7) в ограниченной области

§3. Глобальная оценка для вторых производных решения уравнения (7)

§4. Дифференциальное неравенство для решения уравнения (7)

§5. Доказательство теоремы о полных выпуклых решениях уравнения (7)

§6. О полных выпуклых решениях уравнения

8ригт(гу) =

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические методы в получении и решении уравнений типа Монжа-Ампера на компактных и некомпактных многообразиях»

Геометрия — естественная область возникновения и применения уравнений Монжа-Ампера: уравнений, содержащих действительный опера

Л ! / З2"11 \ ТГ тор Монжа-Ампера det( .—г] . К таким уравнениям приводят, наохгохЭ пример, задачи о нахождении выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной (проблема Минковского), с заданной метрикой (проблема Вейля), а также задачи, связанные с классификацией аффинных сфер. Ряд задач в геометрии приводит к комплексным версиям уравнения Монжа-Ампера: уравнениям, содержащим комплексный оператор д2и

Монжа-Ампера ск^^ Такое уравнение возникает при решении проблемы Калаби.

Заметим, что указанные проблемы были поставлены не локально, а в рамках геометрии "в целом". Это позволило при их исследовании сочетать аналитические и геометрические методы. Здесь были получены классические результаты Г. Минковским, Г. Вейлем, Г. Леви, А. Д. Александровым, А. В. Погореловым, Е. Калаби, Ш. Ш. Чженем, С. Т. Яу и многими другими.

Г. Минковский доказал существование и единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной [18]. Решение Г. Минковского не содержит информации о регулярности этой поверхности и поэтому называется обобщенным решением. А. Д. Александров доказал единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной к -й элементарной симметрической функцией главных радиусов нормальной кривизны [26]. А. В. Погорелов дал регулярное решение проблемы Минковского и ее обобщения для к -й элементарной симметрической функции главных радиусов нормальной кривизны [18]. С. Т. Яу доказал существование кэлеровой метрики на компактном кэлеровом многообразии с заданной формой Риччи [52]. В работах К. Ёргенса, Е. Калаби, А. В. Погорелова было доказано, что всякая несобственная выпуклая аффинная сфера является эллиптическим параболоидом [50, 42, 18].

Помимо уравнений, содержащих действительный или комплексный операторы Монжа-Ампера, большой интерес представляют также уравнения, содержащие смешанный дискриминант О(II,., С/, V,., V) от матрицы Гессе и = (. .) неизвестной функции и и какой-нибудь дхгдхэ другой матрицы V либо известной, либо образованной из производных функции и первого порядка. Мы будем оператор И(II,., £7, V,., V) называть оператором Монжа-Ампера т -го порядка. Естественным образом уравнения, содержащие такие операторы также возникают в геометрии: в задачах, связанных с восстановлением поверхностей по т -м элементарным симметрическим функциям их главных кривизн, радиусов кривизны или условных радиусов кривизны [35, 18, 61].

В предлагаемой работе рассмотрены геометрические задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим действительный или комплексный оператор Монжа-Ампера т - го порядка.

Диссертация разбита на три главы. Первая глава посвящена обобщению многомерной проблемы Минковского в рамках "относительной дифференциальной геометрии". Пусть 5 и Е - регулярные замкнутые выпуклые поверхности в евклидовом пространстве Еп+1. Минковский ввел понятие главных условных радиусов кривизны Я\(у),., Ёп^) поверхности относительно поверхности Е (условной сферы) в точке с внешней нормалью V. Тогда возникает функция от единичной внешней нормали (р(р) = 1(^)4 ■ • •, где - к- я элементарная симметрическая функция. В работе рассматривается вопрос о существовании т д2и замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией (р{у). Найдены достаточные условия существования замкнутой выпуклой поверхности с заданной к -й элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны. Отметим, что полученная в процессе доказательства априорная оценка на радиус нормальной кривизны искомой поверхности в случае, когда условная сфера является обычной сферой £п , превращается в известную оценку А. В. Погорелова.

Во второй главе диссертации рассматривается обобщение проблемы Калаби. Автор вводит понятие смешанной формы объема на кэлеровом многообразии и ставит задачу о нахождении кэлеровой метрики по заданной смешанной форме объема. Эта задача является обобщением проблемы Калаби. Она сводится к вопросу о разрешимости на кэлеровом многообразии уравнения, содержащего комплексный оператор Монжа-Ампера т -го порядка. В случае, когда компактное кэлерово многообразие имеет положительную или нулевую голоморфную секционную кривизну, получены достаточные условия разрешимости этого уравнения.

Третья глава посвящена вопросу о характеризации несобственных выпуклых аффинных сфер. В подходящей системе координат несобственная выпуклая аффинная сфера в Еп+1 задается уравнением хп+1 — . ,хп)> где с1е1;(0у) = 1. Естественным является вопрос о полных выпуклых решениях уравнения ап — <р(сг1,. ■, сг/г1), где сг^ - к -я элементарная симметрическая функция от собственных значений гессиана (%). Доказывается, что при достаточной близости функции <р к тождественно единичной всякое решение последнего уравнения является квадратичным полиномом. В этой же главе изучается уравнение ат — 1, (т < тг). Доказывается, что при некоторых условиях на решение оно также является квадратичным полиномом.

Каждая из рассмотренных в диссертации задач приводит к некоторому уравнению Монжа-Ампера т -го порядка. Центральным моментом при рассмотрении этих задач является получение априорной оценки решения соответствующего уравнения. При нахождении априорных оценок применяются наглядные геометрические идеи и методы. Эти методы основаны на системе понятий, идей и результатов геометриии "в целом", развитых в работах А. Д. Александрова и А. В. Погорелова.

Каждая глава работы имеет свою нумерацию параграфов, формул и теорем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кокарев, Виктор Николаевич, 2010 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. 1.- М.: ИЛ: 1962. - 205 с.

2. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". М.: Наука, 1973. - 440 с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. - 352 с.

4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. - 352 с.

5. Бессе А. Многообразия Эйнштейна, т. 1, 2. М.: Мир, 1990. - 704 с.

6. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002. -224 с.

7. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, т. 1, 2. М.: Мир, 1982. - 864 с.

8. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. II, М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 407 с.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. II. М.: Наука, 1981. - 416 с.

10. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука, 1985. - 376 с.

11. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1969. - 576 с.

12. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. - 288 с.

13. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

14. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. - 336 с.

15. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970. - 400 с.

16. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. - 256 с.

17. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969. - 760 с.

18. Погорелов A.B. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука, 1975. - 96 с.

19. Погорелов A.B. Многомерное уравнение Монжа-Ампера det(zij) = <p(zi,., zn, z, xi,., xn). M.: Наука, 1988. - 96 с.

20. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987. - 736 с.

21. Blaschke W. Vorlesungen über Differentialgeometrie, II, Affine Differentialgeometrie. Berlin : Springer-Verlag, 1923. - 257 s.Статьи

22. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел// Матем. сб. 1937. -Т. 2, № 5. - С. 947 - 972.

23. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения// Матем. сб. 1937.- Т. 2, № 6. - С. 1205 - 1238.

24. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела// Матем. сб. 1938. - Т. 3, № 1. -С. 27 - 46.

25. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы// Матем. сб. 1938. - Т. 3, № 2. - С. 227 - 251.

26. Александров А.Д. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". I// Вестн. ЛГУ. 1956. - № 19. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 4. - С. 5 - 17.

27. Александров А.Д. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". II// Вестн. ЛГУ. 1957. - № 7. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 2. - С. 15 - 44.

28. Александров А.Д. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". III// Вести. ЛГУ. 1958. - № 7. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 2. - С. 14 - 26.

29. Александров А.Д., Волков Ю.А. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". IV// Вестн. ЛГУ. 1958. - № 13. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 3. - С. 27 - 34.

30. Александров А.Д. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". V// Вестн. ЛГУ. 1958. - № 19. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 4. - С. 5 - 8.

31. Бакельман И.Я., Понарядова P.C. Замкнутые поверхности с заданной суммой условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия и топология. -Ленинград: ЛГПИ, 1974. Вып. 2. - С. 22 - 34.

32. Бакельман И.Я., Сапожников Б.Д. Существование опорной функции замкнутой гиперповерхности с заданной суммой условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1977. - Вып. 6. -С. 4 - 14.

33. Dubnow J. Uber Tensoren mit nichtskalaren Komponenten// Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1933. - Т. 1. -С. 196 - 212.

34. Загускин В.Л. Об описанных и вписанных эллипсоидах экстремального объема// УМН. 1958. - Т. 13, № 6. - С. 89 - 92.

35. Ивочкииа Н.М. Решение задачи Дирихле для уравнений кривизны порядка тЦ Матем. сб. 1989. - Т. 180, № 7. - С. 867 - 887.

36. Кокарев В.Н. Оценка радиуса кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еа по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1975. - Вып. 3. - С. 73 - 85.

37. Кокарев В.Н. Оценка радиуса кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1975. - Вып. 4. - С. 83 - 94.

38. Кокарев В.Н. Существование замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 с заданной к -й элементарной симметрической функцией ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1976. -Вып. 5. - С. 60 - 68.

39. Кордес Г.О. О первой краевой задаче для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка более чем с двумя переменными// Сб. переводов "Математика". 1959. - Т. 3, № 2.

40. Понарядова P.C. Условие выпуклости замкнутой поверхности с заданной суммой главных условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия.- Ленинград: ЛГПИ, 1976. Вып. 5. - С. 101 - 105.

41. Сапожников В.Д. Поверхности с заданной суммой условных радиусов кривизны в Е3 // Современный анализ и геометрия. Сб. трудов ЛГПИ.- 1972.

42. Calabi Е. Improper affine hyperspheres of convex type and a generalizations of a theorem by K. Jörgens// Michigan Math. J. 1958. - V. 5, № 2. -P. 105 - 126.

43. Calabi E. An extension of E. Hopf's maximum principle with an applicationto Riemannian geometry// Duce Math. J. 1958. - V. 25. - P. 45 - 56. •

44. Calabi E. Complete affine hyperspheres I// Istituto Nazionale di Alta Matematica, Symposia Mathematica. 1972. - V. 10. - P. 19 - 38.

45. Caffarelli L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equatons. III. Functions of the eigenvalues of Hessian// Acta Math. 1985. - V. 155, № 3, 4. - P. 261 - 304.

46. Cheng S.Y. On the real and complex Monge-Ampere Equation and its geometric applications// Proc. Int. Congr. Math. Warszawa, 1983. -P. 533 - 539.

47. Cheng S.Y., Yau S.T. On the Regularity of the Monge-Ampere Equation det(d2/dxidxj) = F(x,u) //Comm. on pure Appl. Math. 1977. - V. 30. -P. 41 - 68.

48. Cheng S.Y., Yau S.T. The real Monge-Ampere equation and affine flat structures //Proceedings of the 1980 Beijing Sumposium on Differential Geometry and Differ. Equations. Beijing, New York: 1982. - P. 339 - 370.

49. Cheng S.Y., Yau S.T. Complete Affine Hypersurfaces. Part I. The Completeness of Affine Metrics // Comm. on pure Appl. Math. 1986. -V. 39. - P. 839 - 866.

50. Jôrgens K. Uber die Lôsungen der Differentialgleichung rt — s2 = 1 // Math. Ann. 1954. - V. 127. - P. 130 - 134.

51. Tzitzeika G. Sur one nouvelle classe de surfaces// Comtes Rendus Acad. S ci. Paris. 1907. - V. 145. - P. 132 - 133; 1908. - V. 146. - P. 165 - 166.

52. Yau S.T. On the Ricci curvature of a compact Kàhler manifold and the complex Monge-Ampere equation, I// Comm. Pure Appl. Math. 1978. -V. 31. - P. 339 - 411.Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ

53. Кокарев В.Н. Условно минимальные поверхности// Сиб. мат. ж. -1985. Т. 26, № 2. - С. 220.

54. Кокарев В.Н. Нормальный образ полной условно минимальной поверхности// Матем. сб. 1992. - Т. 183, № 2 - С. 112 - 120.

55. Кокарев В.Н. О полных выпуклых решениях уравнения spur= 1// Математическая физика, анализ, геометрия. 1996. - Т. 3, № 1/2. -С. 102 - 117.

56. Кокарев В.Н. Об уравнении несобственной аффинной сферы: обобщение теоремы Ёргенса// Матем. сб. , 2003. Т. 194, № 11. - С. 65 - 80.

57. Kokarev V.N. On Complete Convex Solutions of Equations Similar to the Improper Affine Sphere Equation// J. of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2007. - V. 3, № 4. - P. 448 - 467.

58. Кокарев В.Н. Точная оценка радиуса нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности// Вестник Самарского государственного университета. Самара: 2009. - Т. 68, № 2. - С. 33 - 50.

59. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на торе// Вестник Самарского государственного университета. Самара: 2009. - Т. 74, № 8. - С. 35 - 43.

60. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Известия РАН. Серия математическая, 2010. Т. 74, № 3. -С. 65 -78.Статьи в прочих изданиях

61. Кокарев В.Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. 1980. - Вып. 23. - С. 65 - 74.

62. Кокарев В.Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. 1986. - Вып. 29. - С. 82 - 92.

63. Кокарев В.Н. Условная площадь и условно минимальные поверхности// Всесоюзная конференция по геометрии "в целом." Тезисы докладов. Новосибирск: 1987. - С. 61.

64. Кокарев В.Н. Оценки главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности по функциям ее условных радиусов кривизны//Украинский геометрический сборник. 1988. - Вып. 31. - С. 62 - 73.

65. Кокарев В.Н. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными функциями условных радиусов кривизны// IX Всесоюзная геометрическая конференция. Тезисы докладов. Кишинев: 1988. - С. 156 - 157.

66. Кокарев В.Н. Обобщение проблемы Калаби// Международный геометрический семинар имени Н. И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей". Тезисы докладов. Казань: 1997. -С. 68.

67. Кокарев В.Н. Обобщение теоремы Калаби-Погорелова// Труды участников Международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. - Ростов-на-Дону: 2002. - С. 33 - 34.

68. Кокарев В.Н. Комплексное уравнение Монжа-Ампера в <Сп// Геометрия "в целом". Преподавание геометрии в вузе и школе. Материалы Всерос. науч.-метод. конф. Великий Новгород, 2004. - С. 45 - 46.

69. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение Монжа-Ампера на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Международная конференция "Геометрия в Одессе 2007". Тезисы докладов. - Одесса: 2007. - С. 63 - 64.

70. Кокарев В.Н. Нелинейные эллиптические уравнения на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Труды участников Международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. - Ростов-на-Дону: 2008. - С. 227 - 228.

71. Кокарев В.Н. Комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на торе// Международная конференция "Геометрия в Одессе 2009". Тезисы докладов. - Одесса: 2009. - С. 50.