Геометрические характеристики функциональных банаховых пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Скачкова, Ольга Петровна

• Скачкова, Ольга Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скачкова, Ольга Петровна

ВВЕДЕНИЕ . 3 - II

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

СВЕДЕНИЯ. 12

ГЛАВА П. ВЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ. 28

§ I. Отсутствие связи индексов Бойда с вложением в шкале пространств Lp<^ 28 -

§ 2. Верхние и нижние оценки в идеальных банаховых пространствах. 32

§ 3. ( Cj^, р ) - выпуклость банаховых решеток.37

ГЛАВА Ш. ОЦЕНКИ РАССТОЯНИЯ БАНАХА-МАЗУРА МЕЖДУ

КОНЕЧНОМЕРНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ t55 -

ГЛАВА 1У. КОНСТАНТЫ СИММЕТРИЧНОСТИ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 71-

§ I. Определение величин ©^(Е) и|Сп(е), их свойства. 71

§ 2. Константы симметричности пространств L (1<Р< оо, и пространства

Орлича LM (о, 1) . 78

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические характеристики функциональных банаховых пространств»

Теория банаховых решеток представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются банаховыми решетками (например, пространства Lp(TtZ,/*) , Лоренца, Марцинкевича, Орлича) при том или ином естественном порядке. Теория банаховых решеток служит мощным средством исследования конкретных пространств.

Важным классом банаховых решеток являются симметричные пространства, появившиеся в работах по теории интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. /19/, /34/ ). Геометрия банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств долгое время оставалась неисследованной. Но последние 10-15 лет ознаменовались крупными достижениями в этой области. Итоги этих исследований приведены в ряде монографий и обзорных статей /4/, /15/, /34/, /39/. Результаты, связанные с геометрией симметричных пространств находят применение в теории интерполяции и теории ортогональных рдцов, играют все возрастающую роль в теории вероятностей.

Возникающие в рамках абстрактной теории банаховых решеток понятия и свойства вызывают естественное желание выяснить, какие из симметричных пространств этими свойствами обладают. Решению некоторых задач, относящихся к геометрической теории симметричных пространств, и посвящена диссертационная работа.

Основное содержание диссертации изложено в главах П - 1У. Им предпослана глава I, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

Глава П посвящена изучению некоторых геометрических свойств банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств. Шимогаки в /41/ показал, что существует симметричное функциональное пространство Е , фундаментальная функция которого такая же, как у пространства , а один из индексов Бойда тривиален. В первом параграфе строится симметричное пространство (сокращенно СП) £ такое, что Е с Lдля любых наперед заданных 1 < t< оо $ х < р < оо } а его индексы Бойда тривиальны. Тем самым показано отсутствие связи индексов Бойда СП Е с его вложением в шкале пространств Lp<^ .

Цафрири в /45/ исследовал связи между понятиями типа (соответственно, котипа) банахова пространства X и нормированного типа (соответственно, нормированного котипа) и показал, что *WP {р • X - типа р J = iupip : X - нормированного типа pj ; i-h| {р: X - котипа pj = {р : X - нормированного котипа pj , но существуют банаховы пространства, которые имеют нормированный тип р , i* р< & (соответственно, нормированный котип для Z<<\, 4 ), но не имеют типа р (соответственно, котипа Су ). Для р =2 эти понятия совпадают. По аналогии, во втором параграфе вводятся понятия нормированной верхней и нормированной нижней р - оценки ( i < р< 00 ) банаховой решетки (сокращенно БР) X » доказывается, что если БР X удовлетворяет нормированной нижней р -оценке, то сопряженная к ней БР.Х удовлетворяет нормированной верхней р -оценке, где р + р« = i (предложение 3.1). Затем исследуется связь между понятиями верхней (нижней) р -оценки и нормированной верхней (нормированной нижней) р -оценки банаховаидеального пространства (сокращенно БИП). Справедлива

Теорема 2.2. Пусть X -БИП, удовлетворяющее нормированной верхней (соответственно, нормированной нижней) р -оценке ( i < р < о* ). Тогда X удовлетворяет верхней ^ -оценке (соответственно, нижней *L -оценке) для любых р < 1 < со.

Тем самым устанавливается, что для БИП X

WPI р : X удовлетворяет верхней р -оценке ] = = 5up[p : X удовлетворяет нормированной верхней р -оценке] , { Р «X удовлетворяет нижней р -оценке] = -си^ { р : X удовлетворяет нормированной нижней р -оценке] .

Но в то же время существуют БИП, которые удовлетворяют нормированной верхней (соответственно, нормированной нижней) р -оценке, но не удовлетворяют верхней (соответственно, нижней) р -оценке. Пример такого БИП приводится в теореме 2.3.

В третьем параграфе изучаются понятия ( р , ) - вогнутости и ( Cj, , р ) - выпуклости, где i^p о , банаховых решеток (см. /4/), являющиеся обощением понятий с^ -вогнутости и р - выпуклости. Доказывается, что если БРХ удовлетворяет верхней р -оценке, тоХ( ъ , р ) - выпуклая для любого р > i (предложение 2.3). В качестве примера рассматриваются пространства р ,

1 ^ с^ £ ). Далее, в предложении 2.4 для СП Е с фундаментальной функцией ЧЧО устанавливаются условия, при которых выполняется неравенство:

V/3L и <» \

I IX/

II*-ll.il. где

YL - функция, обратная к ^ , 1 - пространство последовательностей Орлича, построенное по функции cfrl , постоянная С- не зависит от ^ .

Хорошо известно, что если БР X удовлетворяет верхней (соответственно, нижней) р -оценке для 1 < , то она 'г. -выпукла (соответственно, ф -вогнута) для любых I ± р < о^ < ро .В то же время существуют банаховы решетки, например, пространства L-p^ , которые не являются р - выпуклыми ( р - вогнутыми), но удовлетворяют верхней (нижней) р -оценке. В этом случае интересным становится вопрос об оценке величины

ТР/Г для любых элементов xt, ,., Хк из данной банаховой решетки. Справедливы следующие результаты.

Предложение 2.5. Пусть i < р< иЕРХ удовлетворяет верхней (нижней) р -оценке. Тогда существует постоянная С < 00 такая, что для любого набора элементов iA*3i=i из X выполняется

Кг

Предложение 2.7. Пусть X = ,

Тогда существуют постоянные К*, и Кц * 00 такие, что

1С, i-t IIZ Pclff „ A-i

Глава Ш посвящена оценкам расстояния Банаха-Мазура между конечномерными пространствами u^ ( I < р< с*> j

Пусть X » У - изоморфные нормированные пространства. Расстоянием Банаха-Мазура называется величина (см. /14/, /15/ ) а(ХЛ)--Ч{||Т||||Т1 Т: X - У - изоморфизм] .

Этой тематике посвящено большое количество работ (см. обширную библиографию в обзоре М.И.Кадеца /15/ ). Е.Д.Глускин в /12/ показал, что сЦХ.У) : сЫХ =dun есть величина порядка Уь

Ситуация резко меняется, если ограничиться рассмотрением только симметричных пространств. Так, в работе Дэвиса и Марэ /29/ показано, что если Е -симметричное пространство размерности YV , то найдется такое р , р е 00] , что а(Е. ) а Дэвис и Энфло /28/ установили, что в этом случае для любого ( i 6 с^ < оо ) имеет место оценка cL( Е,

Е.Д.Глускин в /II/ и /13/ показал, что близкая оценка dlE.F) *C5]/JZ верна, если заменить на произвольное симметричное пространство F той же размерности. Одновременно с ним близкий, но несколько лучший результат получила Томчак-Ягерманн /43/ сЦЕ, F) +

Если брать конкретные классы симметричных пространств, то для них имеются уже более точные оценки расстояния Банаха-Мазу-ра. Так, в случае пространств (i^p^^) В.И.Гурарием, М.И.Кадецем, В.И.Мацаевым в /14/ получены следующие результаты

4 С £ ) - , если f U-p4) = ЦьЦ-ръ) , и

С5 килх если pt ±pz ± оо

В главе Ш рассматриваются конечномерные пространства ЛоренлИ ца t„а ( i^p^oo t ) t являющиеся обобщением

D ^ пространств , и оценивается расстояние Банаха-Мазура между ними. В теореме 3.1 показано для , или р<*>° ,

Если же i^.^o* , , то

•и^а^-иг*-"-».

Аналогичная оценка сверху доказана для случаев, когда где о п» "1 (теорема 3.2). В теореме 3.3 показана г Р справедливость следующих оценок

Си(LкГ ^{Qл;л)г,

-1-4 р г если 1<р<г , - ^и(г.р) или тах(г,р)^<Ъ<<х>. j d (& , ф ) *

X -X г г

Постоянные в приведенных выше неравенствах зависят лишь от р. 1г.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скачкова, Ольга Петровна, 1984 год

1. Беккенбах Э.Ф., Беллман Р. Неравенства. - М.: Мир,1965. -276 с.

2. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980. - 264 с.

3. Браверман М.Ш., Семенов Е.М. Конечномерные подпространства симметричных пространств. Сиб. матем. ж., 1982, 23, № I, с. 12 - 24.

4. Бухвалов А.В., Векслер А.И., Лозановский Г.Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. - УМН, 1979,т.34, № 2, с. 137 183.

5. Былинкина О.П. Некоторые оценки расстояния Банаха-Мазура между конечномерными пространствами Лоренца. В кн.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах (4-1I июля 1982 г.) : Тез. докл. Минск, 1982, с. 31.

6. Былинкина О.П. Некоторые оценки расстояния Банаха-Мазура между конечномерными пространствами L ^ .- В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 1983, с. 14 28.

7. Былинкина О.П. Константы симметричности функциональных пространств. В кн.: Некоторые актуальные проблемы современного научного знания. Итоговая науч. - практ. конф. молодых ученых: Тезисы докл. и сообщ. Математика и физика. Ярославль, 1983, с. 8.

8. Былинкина О.П. Индексы Бойда, верхние и нижние оценки симметричных пространств. Воронеж, 1983. - 16 с. - Рукопись представлена Воронежским университетом. Деп. в ВИНИТИ112.83, № 6439-83.

9. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.-М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

10. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. - 476 с.

11. Глускин Е.Д. Об оценке расстояний между конечномерными симметричными пространствами- В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. Л., 1979, вып. 9, с. 268 273.

12. Глускин Е.Д. Диаметр компакта Минковского примерно равен- Функц. анализ и его прилож., 1981, т.15, № I, с. 72 73.

13. Глускин Е.Д. О расстояниях между некоторыми симметричными пространствами. В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. Л., 1981, вып. II, с. 218 - 224.

14. Гурарий В.И., Кадец М.И., Мацаев В.И. О расстояниях между конечномерными аналогами пространств . Матем. сб., 1966, 70, № 4, с. 481 - 489.

15. Кадец М.И. Геометрия нормированных пространств. В кн.: Итоги науки и техники. Матем. анализ, М., 1975, т.13, с. 99- 127.

16. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 741 с.

17. Кальдерон А.П. Промежуточные пространства и интерполяция, комплексный метод. Математика, 1965, 9:3, с. 56 - 129.

18. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. - 271 с.

19. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. - 400 с.

20. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных пространств.- М.: Наука, 1972. 232 с.

21. Новиков С.Я. Котип и тип функциональных пространств Лоренца.- Матем. заметки, 1982, 32, № 2, с. 213 221.

22. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. - 797 с.

23. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства,дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. - 664 с.

24. Фауг-S W. } tMayrty b. Ле сЬяЬхлъССftrobi, <ь<гы£ <fp — !Pret. Ун,Ь. Смп-Ц-. Орет.MfSra6 cuxd dpff. Xju^, тч, 5Ш.30. <Z)at/w> W^/-, МсНыаппУ.Ф., -^егиишА^ tf. Жеdltitastce ёе^соссп^ (Lw-fautb ft* -^'MMitW Jbcuuzc^r. % 4 Mxtk., Ш, иЗ9, Si-Z, 1-15.

25. Jiajfriri С-la/y^caI/ ha*uuL &р>леи., Suction, ЦмШд. "" hzrltn,: fyrwujer-Verta^; ief3.-~Zll3f>f>.

26. Sxcofiibro У. On, ilU a^d wtyper' еЦ-bfoucx*,- fif. vdcdL.j me,v.bZ, r/Lf 3Z-3S.