Генерация множества контурно-параллельных линий на основе циклографического отображения применительно к обработке карманных поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.01.01, кандидат наук Мясоедова Татьяна Михайловна

• Мясоедова Татьяна Михайловна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Мясоедова Татьяна Михайловна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ МНОЖЕСТВА КОНТУРНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ И ПОСЛЕДУЮЩЕЙ СБОРКИ ЕДИНОЙ ЛИНИИ-ТРАЕКТОРИИ ИНСТРУМЕНТА ДЛЯ ОБРАБОТКИ КАРМАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

1.1 Проблемы формообразования контурно-параллельных линий (OC)

1.2 Анализ подходов к формированию граничных контуров карманной области и островов

1.3 Обзор подходов к обрезке нерабочих участков линий OC

1.4 Обзор способов формообразования медиальной оси преобразования (MAT)

1.5 Обзор способов сборки линии-траектории движения инструмента

для обработки карманных поверхностей на станках ЧПУ

Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. КОНСТРУКТИВНО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ МНОЖЕСТВА ЛИНИЙ OC НА ОСНОВЕ ЦИКЛОГРАФИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КРИВОЙ ЛИНИИ

2.1 Обратная задача циклографического моделирования кривой линии пространства

2.2 Построение MAT, MA и OC для выпукло-вогнутого граничного контура в виде обвода из сегментов кривых второго порядка

2.3 Построение линий MAT, MA и OC для многоугольного контура области с островом

2.4 Построение линий MAT, MA и OC для криволинейного контура

области с двумя островами

Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. СЕГМЕНТАРНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ КОНТУРНОЙ ЛИНИИ ОБЛАСТИ НА ОСНОВЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

3.1 Граничный контур области на основе линейной интерполяции

3.2 Граничный контур области на основе сегментарной интерполяции

с заданной гладкостью в точках соединения сегментов

3.3 Выпукло-вогнутый граничный контур области на основе интерполяции гладкой сплайн-кривой из сегментов рациональных кривых

Bezier второго порядка

Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ПОСЛЕДУЮЩЕЕ ОТСЕЧЕНИЕ НЕРАБОЧИХ УЧАСТКОВ ЛИНИЙ LOC В ЦИКЛОГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ С ОСТРОВАМИ

4.1 Анализ, выявление и отсечение петель самопересечения линий семейства контурно-параллельных линий уровня (LOC)

4.2 Анализ, выявление и отсечение нерабочих участков встречных линий LOC контура области и контуров островов. Формирование объединенных контурно-параллельных линий уровня (ULOC)

4.3 Обобщенный алгоритм расчета OC для области с островами, ограниченными выпукло-вогнутыми контурами и расчета составной

линии - траектории движения обрабатывающего инструмента

Выводы по четвертой главе

ГЛАВА 5. СБОРКА ЛИНИИ - ТРАЕКТОРИИ ИНСТРУМЕНТА ДЛЯ ОБРАБОТКИ КАРМАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ОСТРОВАМИ

5.1 Преобразование многосвязной области (области с островами) в односвязную область

5.2 Формирование рабочих линий MAT для области с островами

5.3 Обобщенный алгоритм формирования бриджей по линии MAT для области с островами

Выводы по пятой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ (АББРЕВИАТУР)

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

ПРИЛОЖЕНИЕ Е

ПРИЛОЖЕНИЕ Ж

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Генерация множества контурно-параллельных линий на основе циклографического отображения применительно к обработке карманных поверхностей»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Как известно, использование компьютерного числового программного управления (ЧПУ) в обрабатывающей промышленности привело к развитию и широкому применению программного обеспечения (CAD/CAM систем) для автоматизированного проектирования и подготовки производства. CAD/CAM системы позволяют генерировать важные процедуры и параметры обработки, в том числе траектории движения обрабатывающего инструмента. Карманное фрезерование, при котором удаляется весь материал внутри замкнутой области, использует сгенерированные CAM траектории инструмента для удаления материала на фиксированную глубину. Карманные поверхности, как правило, обрабатывают по схеме контурно-параллельных фрезерных переходов. Выборка материала производится по ходам, каждый из которых является эквидистантой контура кармана. При проектировании траектории инструмента последовательно выполняются расчет эквидистант относительно контура карманной области и расчет рабочих перемещений инструмента, связывающих эквидистантные траектории в одну траекторию. Эквидистанты определяются как геометрическое место точек, которые находятся на постоянном расстоянии по нормали от контура карманной области. Из-за особенностей математической модели, эквидистанты в функциональном представлении более сложны, чем производящий их контур карманной области, что затрудняет последующие расчеты, связанные с устранением самопересечений и пересечений эквидистант при формировании рабочих траекторий инструмента. Связывание (сборка) эквидистантных траекторий в одну траекторию, после устранения их самопересечений и пересечений, направлена на оптимизацию процесса фрезерования кармана, позволяющую производить обработку карманных поверхностей без отвода инструмента, что существенно улучшает технологические характеристики обработки. Существующие способы расчета траектории инструмента для фрезерования карманов, заложенные в алгоритмах CAM-систем, основаны на методах, приводящих к приближенным результатам вычислений

рабочих перемещений инструмента, что сказывается на точности формообразования карманной поверхности. При этом вычислительные алгоритмы применяемых приближенных методов весьма чувствительны к определенным геометрическим особенностям многосвязной карманной области, содержащей острова. Сфера использования этих алгоритмов, как правило, ограничена карманными одно- и многосвязными областями с граничными контурами простой геометрической формы.

Важным аспектом решения задачи расчета оптимальной траектории инструмента является компьютерная визуализация результатов вычислений на стадии промежуточных расчетов, что позволяет минимизировать возможные ошибки и повысить эффективность работы проектировщиков. Особенно это важно при проектировании современных изделий машиностроения с одно- и многосвязными карманными областями со сложной геометрией граничных контуров. Существующие приближенные методы проектирования рабочих перемещений инструмента малопригодны для решения с поэтапной компьютерной визуализацией этой сложной задачи проектирования.

Если учесть, что в отечественных исследованиях уделяется незначительное внимание теории и методам проектирования и оптимизации траектории движения обрабатывающего инструмента, то становится очевидной необходимость в комплексном подходе к разработке геометрических моделей и алгоритмов формообразования контурных линий многосвязных карманных областей и формообразования рабочих траекторий инструмента для их обработки. При этом решения этих двух взаимосвязанных задач должны быть аналитическими (точными) и сопровождаться компьютерной визуализацией результатов вычислений.

Степень разработанности темы. Формообразование криволинейного контура карманной области может быть выполнена кривыми, к которым предъявляется ряд ограничений, связанных с особенностями формирования эквидистантных линий [82, 98, 99]. Валишин А.А., Туманов И.А. и Ахунд-заде М.Р. в работе [3] рассматривают задачу построения сети эквидистант для сложных

негладких кривых. Верещага В.М., Бездитный А.А. [4] решают задачу нахождения и построения эквидистанты дискретно представленной кривой в точечном исчислении. Шоман О.В. [57, 58] построение эквидистант и эквидистантных поверхностей рассматривает на основе нормальной функции. В перечисленных работах не рассматриваются задачи построения эквидистантных линий к граничному контуру области с островами.

Эквидистантные линии контуров карманных поверхностей для формирования контурно-параллельных траекторий движения инструмента требуют отсечения нерабочих участков, которые образуются при самопересечении и пересечении эквидистант. В общем случае для контуров карманной области с островами и без островов применяют рациональные кривые [62, 81, 83, 84, 132]. В качестве базисных функций рациональных кривых для формообразования карманных контуров применяют полиномы для полиномиальных кривых, полиномы Бернштейна для кривых Bezier или базисные функции для B-Spline [62]. Обобщением B-Spline являются сплайны NURBS. Создание действительных траекторий инструмента в форме NURBS стало универсальным стандартом в технических приложениях [103, 130]. Однако сплайны NURBS произвольной формы не обладают рациональностью своих эквидистант и при расчете устранения нерабочих участков эквидистант применяются приближенные методы. Стремление к рациональности эквидистантных кривых привело к созданию класса плоских PH-кривых (Pythagorean-Hodograph curves) [81]. Несмотря на то, что эквидистанты PH-кривых являются рациональными, расчет обрезки нерабочих участков эквидистант по-прежнему требует применения приближенных методов. В некоторых случаях для получения граничных кривых используют PS-кривые [68, 69, 92, 94]. При этом для формирования граничных контуров кармана и эквидистант к ним применяют линейную интерполяцию, что так же проводит к приближенным расчетам контурно-параллельных траекторий перемещения инструмента для карманной обработки.

Возникающие самопересечения и пересечения эквидистант контура карманной области и эквидистант контуров островов устраняют: методами,

основанными на диаграмме Вороного [143, 95] с поиском медиальной оси MA ("Medial Axis"); методами расчета по функции расстояний [83]; методами построения эквидистант без расчета самопересечений и пересечений с использованием разложения области с островами на домены [109]; методами попарных пересечений [92] и др. Работа H. Persson [127] - одна из первых, в которых изучалась обработка карманов с использованием диаграмм Вороного. M. Held развивает идею H. Persson. Алгоритм, предложенный M. Held [94], основан на расширении метода H. Persson [127], обеспечивает общий подход к полностью автоматизированной обработке карманов, что дает дальнейшее развитее этого направления в последующих работах. A. Hansen и F. Arbab. [92] предлагают метод вычисления самопересечений и пересечений эквидистант, в котором расчеты сводятся к вычислению пересечений прямой линии с прямой линией, окружности с кривой или прямой линии с окружностью - так называемый метод попарного пересечения. Этот подход требует значительных вычислительных затрат.

Медиальная ось МА области представляет собой геометрическое место центров кругов, касательных к контуру области. МА была впервые представлена в исследованиях H. Blum [62]. Далее были разработаны различные алгоритмы вычисления MA для плоских областей. Более эффективный алгоритм для вычисления MA выпуклой многоугольной области был представлен F. P. Preparata [133]. D. T. Lee. [105] разработал алгоритм для выпукло-вогнутой многоугольной области. Работа M. Held [94] содержит всесторонний обзор алгоритмов применения диаграммы Вороного, которые он использует в контексте обработки карманов.

Л. М. Местецкий [26] предложил способ описания MA (скелета) в виде составной кривой Bezier второй порядка для скелетов многоугольных фигур. А. В. Толок и М. А. Локтев [54] предложили способ построения прямолинейного скелета для сложных замкнутых контуров, описанных с помощью математического аппарата ^-функций.

R. T. Farouki и J. K. Johnstone [80] при определении MA рассматривали задачу о биссектрисе для случая плоской кривой и точки в ее плоскости, а также для случая двух компланарных кривых. Они вводят естественный метод отслеживания

биссектрисы между двумя кривыми, используя точное представление биссектрис первой кривой и последовательных точек на второй кривой. В работе Li X.J и Ye J.S. [107] генерируется МА в сочетании с функцией радиуса, т.е. генерируется линия Medial Axis Transformation (MAT) области с криволинейным контуром с использованием подвижного трёхгранника Френе. В совокупности указанные подходы определения MA и MAT основаны на итерационных методах вычисления. Причем конечный результат расчетов не исключает получение ложных ветвей MA и MAT.

Проектирование пути инструмента по схеме контурно-параллельных фрезерных переходов сопряжено с задачей связывания эквидистантных кривых. В работе T. N. Wong [143] предложен алгоритм, который может автоматически соединять эквидистантные линии контура карманной области. Но общее время расчета минимального расстояния между двумя кривыми зависит от общего количества кривых, включая контур области и контуры островов. В работе L. Zhiwei [147] семейства эквидистант всех островов и эквидистант контура карманной области объединяют в единую связную PS-кривую с помощью триангуляции Делоне. Однако при такой схеме связывания пути инструмента остаются необработанными участки карманной области. В работе M. Seo [136] связывание эквидистант в одну линию-траекторию движения инструмента происходит с устранением необработанных участков карманной поверхности путем введения дополнительных движений инструмента в виде петель, что требует уникальных расчетов для выполнения процедуры дополнительных переходов и увеличивает время обработки карманной области.

Несмотря на глубокую проработанность отмеченных существующих методов решения задач формообразования объектов, а именно: криволинейных контуров карманных поверхностей; эквидистантных линий OC, линий MA и MAT; линии-сборки для проектирования единого пути инструмента, работающего по схеме контурно-параллельных фрезерных переходов, и методов устранения нерабочих участков эквидистант, выделяется общая проблема в задаче генерации контурно-параллельных траекторий перемещения инструмента для карманной

обработки - отсутствует единый алгоритмический подход к комплексному решению задачи генерации, в котором все перечисленные задачи формообразования, как составляющие единого целого, находились бы во взаимосвязи и решались бы на общей теоретической основе.

Объект исследования. Геометрическое моделирование линий и поверхностей в решении научных и прикладных проблем инженерной геометрии и компьютерной графики.

Предмет исследования. Метод геометрического моделирования множества контурно-параллельных траекторий движения инструмента для обработки карманных поверхностей на основе циклографического отображения.

Цель исследования. Разработать геометрическую модель и соответствующий алгоритм аналитического решения задачи генерации множества контурно-параллельных линий на основе циклографического отображения кривой линии пространства применительно к обработке карманных поверхностей изделий машиностроения.

Задачи исследования:

1. Обосновать решение обратной задачи циклографического моделирования кривой пространства Я3 (восстановление в пространстве кривой-образа по циклографическому прообразу) и необходимость её применения в решении задачи генерации контурно-параллельных линий.

2. Выполнить формообразование граничных контуров карманной области и островов в ней на основе сегментного построения замкнутых гладких сплайн-кривых.

3. Выполнить, опираясь на решение обратной задачи циклографического моделирования кривой, формообразование рабочих контурно-параллельных линий карманной области с островами с аналитическим решением всех сопутствующих задач формообразования.

4. Разработать способ анализа, выявления и отсечения нерабочих участков самопересечений контурно-параллельных линий для контура карманной области и самопересечений контурно-параллельных линий для контуров островов

в ней.

5. Разработать способ анализа, выявления и отсечения нерабочих участков пересечения встречных контурно-параллельных линий для контура карманной области и контуров островов в ней.

6. Разработать алгоритм сборки рабочих перемещений инструмента при обработке карманных поверхностей по схеме контурно-параллельных фрезерных проходов с получением единой траектории инструмента.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Решена обратная задача циклографического моделирования кривой пространства R3. Решение положено в основу рассмотрения всех сопутствующих задач генерации контурно-параллельных линий.

2. Разработана геометрическая модель формообразования множества эквидистантных линий - линий непрерывного семейства OC ("Offset Curves"), принадлежащих многосвязным карманным областям с выпукло-вогнутыми контурами. Предложенная геометрическая модель отличается тем, что основана на решении обратной задачи циклографического моделирования линии пространства R3 и позволяет получать параметрические уравнения сегментов рабочих линий семейства OC.

3. Разработана математическая модель и алгоритм формообразования замкнутых гладких полиномиальных сплайн-кривых Эрмита и Bezier высоких порядков, определяющих выпуклый криволинейный контур карманной области. Модель и алгоритм могут быть использованы для технологического проектирования высокоскоростной обработки на станках с ЧПУ.

4. Разработана математическая модель и алгоритм построения замкнутой гладкой составной рациональной кривой Bezier второго порядка по заданному массиву точек для формообразования граничных контуров карманной области и островов в ней. Эта кривые, благодаря простоте векторно-параметрического представления и несложной вычислительной технологии ее формообразования, предпочтительно использовать для проектирования выпукло-вогнутых контуров карманной области и островов в ней.

5. Разработан способ анализа, выявления и отсечения нерабочих участков линий семейств OC многосвязных областей с выпукло-вогнутыми граничными контурами с получением параметрических уравнений рабочих участков линий семейств OC на основе решения обратной задачи циклографического моделирования линии пространства R3.

6. Разработана геометрическая модель преобразования многосвязной карманной области в односвязную, основанная на циклографическом моделировании линии пространства. Модель отличается пространственным характером и позволяет выполнять сборку единой составной линии рабочих перемещений инструмента и получать параметрические уравнения сегментов этой линии.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты выполненных исследований в области циклографического моделирования геометрических объектов пространства R3 вносят вклад в развитие теоретической базы конструктивных методов отображения, в теорию непрерывного геометрического моделирования кривых линий и поверхностей и развивает геометрические основы компьютерного исследования процессов проектирования и технологии производства.

Практическая значимость полученных результатов исследований заключается в следующем:

1. Разработаны алгоритмы формообразования граничного контура для карманной области изделия с островами в ней на основе замкнутых обводов гладкости C2 из сегментов рациональных кривых Bezier, моделирующих кривые второго порядка и замкнутых полиномиальных сплайн-кривых высокого порядка гладкости стыковки их сегментов.

2. Предложена геометрическая модель и соответствующий вычислительный алгоритм аналитического решения задачи формообразования рабочих линий семейства OC, моделирующих траектории движения инструмента для обработки карманной поверхности изделия.

3. Разработан алгоритм сборки траектории движения инструмента,

обрабатывающего карманную поверхность изделия, на основе предложенной циклографической модели формообразования этих траекторий.

Предложенные алгоритмы могут быть встроены в существующие САПР режущих инструментов, предназначенные для конструкторско-технологической подготовки процессов карманной обработки на станках с ЧПУ.

Результаты исследований диссертационной работы были приняты к внедрению в виде математических моделей, вычислительных алгоритмов и компьютерных программ с целью обеспечения автоматизации расчетов траектории движения режущего инструмента для обработки карманных поверхностей на оборудовании с ЧПУ на базе федерального государственного унитарного предприятия "Федеральный научно-производственный центр "ПРОГРЕСС", г. Омск и на базе публичного акционерного общества «Новолипецкий металлургический комбинат», г. Липецк.

Предложенная геометрическая модель формообразования семейства линий OC может быть встроена в специализированные CAD/CAM системы, предназначенных для автоматизации технологической подготовки для обработки многосвязных карманных поверхностей. Геометрическая модель послужила основой для разработки программ для ЭВМ: «Расчет эквидистантных (контурно-параллельных) линий для связных областей, ограниченных ломаным контуром» [47], и «Расчет эквидистантных линий для связных областей, ограниченных криволинейным контуром» [48].

Материалы диссертационного исследования в виде вычислительных примеров были использованы при подготовке учебного пособия: «Математические основы геометрического моделирования кривых линий» (авторы: К.Л. Панчук, В.Ю. Юрков, Н.В. Кайгородцева) [37] для аспирантов, обучающихся по специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика».

Исследования по теме диссертации выполнялись в рамках реализации договорной НИР «Разработка технологии изготовления режущего инструмента для обработки композиционных материалов в технологии сверхскоростного и криогенного шлифования» в ОмГТУ (тема №17705596339190002350/21071, шифр

«Цифра»).

Методология и методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы геометрического моделирования применительно к циклографическому отображению пространства R3. Методология исследования основывалась на принципах и подходах конструктивного и аналитического методов геометрического моделирования, при этом использовались методы аналитической, вычислительной и дифференциальной геометрий. В процессе работы для проведения численных экспериментов использовалась система компьютерной алгебры Maple и язык программирования Python.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся положения, соответствующие трем областям исследований, указанным в следующих пунктах паспорта специальности 05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика:

Пункт 1. Теория изображений и практические методы ее реализации при построении геометрических моделей.

Пункт 2. Теория и практика непрерывного и дискретного геометрического моделирования. Конструирование кривых линий, поверхностей и тел по наперед заданным требованиям.

Пункт 6. Геометрические основы компьютерного исследования процессов: проектирования, конструирования и технологии производства.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Геометрическая модель генерации семейств линий OC и линий MAT для области с островами, ограниченной выпукло-вогнутым контуром, с получением параметрических уравнений сегментов, составляющих линии OC и MAT. (Пункты 1,2,6).

2. Математические модели и алгоритмы формообразования замкнутой гладкой составной линии контура карманной области. (Пункт 2).

3. Способ анализа, выявления и отсечения нерабочих участков линий семейств OC многосвязных областей с выпукло-вогнутыми граничными контурами с получением параметрических уравнений рабочих участков линий семейств OC.

(Пункт 6).

4. Геометрическая модель преобразования многосвязной карманной области в односвязную для выполнения сборки единой составной линии рабочих перемещений инструмента и получения параметрических уравнений сегментов этой линии. (Пункты 2,6).

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов обеспечивается корректностью математических выкладок и согласованностью полученных математических результатов с другими известными результатами. Результаты теоретических исследований работы подтверждены публикациями в рецензируемых изданиях и обсуждены на научно-технических конференциях различных уровней публикациями в рецензируемых журналах и обсуждались на научно-технических конференциях разного уровня: VII всероссийская научно-техническая конференция «Россия молодая: передовые технологии - в промышленность» (г.Омск, 2017), Международная научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (г. Омск, 2018), 28-я Международная конференция по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон» (г. Томск, 2018), XII Международная научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (г. Омск, 2018), III Международная научно-техническая конференция «Проблемы машиноведения» (г. Омск, 2019), IV Региональная научно-техническая конференция «Ученые Омска -региону» (г. Омск, 2019), XIII Международная научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (г. Омск, 2019), IV Международная научно-техническая конференция «Проблемы машиноведения» (г. Омск, 2020), 19th International Conference on Geometry and Graphics «ICGG 2020» (Sao Paulo, Brazil, 2020).

Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа по содержанию, целям, задачам, методам исследования и научной новизне соответствует научной специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика» по пунктам: п.1 «Теория изображений и практические методы её реализации при построении геометрических моделей»; п. 2. «Теория и

практика непрерывного и дискретного геометрического моделирования. Конструирование кривых линий, поверхностей и тел по наперед заданным требованиям»; п. 6. «Геометрические основы компьютерного исследования процессов: проектирования, конструирования и технологии производства».

Публикации по теме диссертации. Основные результаты исследований опубликованы в 23 научных работах, 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, 8 - в изданиях, входящих в международную реферативную базу данных и систем цитирования Scopus (Q3), 1 - в издании, входящем в международную реферативную базу данных и систем цитирования Web of Science (Q1) . Получены 2 свидетельства о регистрации электронных ресурсов.

Постановка задач исследования и формулирование основных теоретических положений выполнены совместно с научным руководителем. Автором лично получены следующие основные научные результаты: разработаны алгоритмы формообразования граничного контура для карманной области с островами; предложена циклографическая модель и соответствующий вычислительный алгоритм аналитического решения задачи формообразования рабочих линий семейства OC; разработана геометрическая модель формообразования линий MAT и MA; разработан алгоритм сборки траектории движения инструмента, обрабатывающего карманную поверхность, на основе предложенной циклографической модели формообразования. Конфликт интересов со всеми соавторами научных работ отсутствует.

Структура и объем диссертации. Взаимосвязи глав диссертационной работы показаны схематично на рисунке 1. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем диссертационной работы составляет 254 страницы, содержащих 114 рисунков, 5 таблиц и 7 приложений.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ МНОЖЕСТВА КОНТУРНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ И ПОСЛЕДУЮЩЕЙ СБОРКИ ЕДИНОЙ ЛИНИИ-ТРАЕКТОРИИ ИНСТРУМЕНТА ДЛЯ ОБРАБОТКИ КАРМАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

1.1 Проблемы формообразования контурно-параллельных линий (OC)

1.3 Обзор подходов к обрезке нерабочих участков

ОС

1.4 Обзор способов формообразования медиальной оси преобразования (М4Т)

1.2 Анализ подходов к формированию граничных контуров карманной области и островов

1.5 Обзор способов сборки линии-траектории движения инструмента для обработки карманных поверхностей на станках ЧПУ

ГЛАВА 2.

КОНСТРУКТИВНО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ МНОЖЕСТВА ЛИНИЙ ОС НА ОСНОВЕ ЦИКЛОГРАФИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КРИВОЙ ЛИНИИ

2.1 Обратная задача циклографического моделирования кривой линии пространства

2.2 Построение MAT, MA и OC для выпукло-вогнутого граничного контура в виде обвода из дуг кривых второго порядка

2.3 Построение линий MAT, MA и OC для многоугольного контура области с островом

2.4 Построение линий MAT, MA и OC для криволинейного контура области с двумя островами

ГЛАВА 3. СЕГМЕНТАРНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ КОНТУРНОЙ ЛИНИИ ОБЛАСТИ НА ОСНОВЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

3.2 Граничный контур области на основе сегментарной интерполяции с заданной гладкостью в точках соединения сегментов

3.3 Выпукло-вогнутый граничный контур области на основе интерполяции гладкой кривой из сегментов рациональных кривых Bëzier второго порядка

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мясоедова Татьяна Михайловна, 2022 год

- 22 с.

60. Agoston, M. K. Computer graphics and geometric modeling / М. К. Agoston. -London, UK : Springer-Verlag, 2005. - 906 p.

61. Aichholzer, O. А Novel Type of Skeleton for Polygons / O. Aichholzer, A Aurenhammer // Journal of Universal Computer Science. - 1995. - Vol. 1, no. 12.

- P. 752-761.

62. Bezier, P. The Mathematical Basis of the UNISURF CAD system / P. Bezier. -Waltham, Massachusetts : Butterworth-Heinemann, 1986. - 72 p.

63. Bouard, V. Pocketing toolpath computation using an optimization method / V. Bouard, V. Pateloup, P. Armand // Computer-Aided Design. - 2011. - Vol. 43, no. 9. - P. 1099-1109.

64. Blum, H. A transformation for extracting new descriptors of shape, in Models for the Perception of Speech and Visual Form / H. Blum. - Cambridge : MIT Press, 1967. - 380 p.

65. Cao, L. Computation of medial axis and offset curves of curved boundaries in planar domain / L. Cao, L. Liu // Computer-Aided Desigh. - 2008. - Vol. 40, no.

4. - P. 465-475.

66. Chazal, F. Stability and finiteness properties of Medial Axis and Skeleton / F. Chazal, R. Soufflet // Journal of Dynamical and Control Systems. - 2004. - Vol. 10. - P. 149-170.

67. Choi, H. I. New algorithm for medial axis transform of plane domain Graph / H. I. Choi, S. W. Choi, H. P. Moon // Models and Image Process. - 1997. - Vol. 59, no. 6. - P. 463-483.

68. Choi, B. K. A pair-wise offset algorithm for 2d point-sequence curve / B. K. Choi,

5. C. Park // Computer-Aided Desigh. - 1999. - Vol. 31, no. 12. - P. 735-745.

69. Choi, B. K. Die-cavity pocketing via cutting simulation / B. K. Choi, B. H. Kim // Computer-Aided Design. - 1997. - Vol. 29, no. 12. - P. 837-846.

70. Chou, J. J. Voronoi diagrams for planar shapes / J. J. Chou // IEEE Computer Graphics and Applications. - 1995. - Vol. 15, no. 2. - P. 52-59.

71. Choy, H. S. Corner-Looping based Tool Path for Pocket Milling / H. S. Choy, K. W. Chan // Computer-Aided Desigh. - 2003. - Vol. 35, no. 2. - P. 155-166.

72. Chuang, S. H. F. One-sided arc approximation of b-spline curves for interference-free offsetting / S. H. F. Chuang, C. Z. Kao // Computer-Aided Deighs. - 1999. -Vol. 31, no. 2. - P. 111-118.

73. Cohen, E. Geometric Modeling with Splines / E. Cohen, R. F. Riesenfeld, G. Elber. - New York : A K Peters/CRC Press, 2001. - 638 p.

74. Coquillart, S. Computing offsets of B-spline curves / S. Coquillart // Computer-Aided Desigh. - 1987. - Vol. 19, no. 6. - P. 305-309.

75. Contour-parallel offset machining for trimmed surfaces based on conformal mapping with free boundary / Y. Sun, F. Ren, X. Zhu, D. Guo // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2012. - Vol. 60, no. 1-4. - P. 261-271.

76. Eckhart, L. Konstructive abbildungsverfahren / L. Eckhart. - Wien : Verlag von Julius Springer, 1926. - 120 p.

77. Elber, G. Bisector curves for planar rational curves / G. Elber, M. Kim // Computer-Aided Design. - 1998. - Vol. 30, no. 14. - P. 1089-1096.

78. Elber, G. Comparing offset curve approximation methods / G. Elber, I.-K. Lee, M.S. Kim // IEEE Computer Graphics and Applications. - 1997. - Vol. 17, no. 3. -P. 62-71.

79. Farin, G. Handbook of Computer Aided Geometric Design / G. Farin, J. Hoschek, M.-S. Kim [et al.]. - Elsevier, 2002. - 848 p.

80. Farouki, R. The bisector of a point and a plane parametric curve / R. Farouki, J. Johnstone // Computer Aided Geometric Design. - 1994. - Vol. 11, no. 2. - P. 117151.

81. Farouki, R. T. Analytic properties of plane offset curves / R. T. Farouki, C. A. Neff // Computer Aided Geometric Design. - 1990. - Vol. 7, no. 1-4. - P. 83-99.

82. Farouki, R. T. Contour machining of free-form surfaces with real-time PH curve CNC interpolators / R. T. Farouki, Y. F. Tsai, G. F. Yuan // Computer Aided Geometric Design. - 1999. - Vol. 16, no. 1. - P. 61-76.

83. Farouki, R. T. Pythagorean-Hodograph Curves: Algebra and Geometry Inseparable / R. T. Farouki. - Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 2008. - 729 p. - ISBN 9783-540-73398-0.

84. Farouki, R. T. Pythagorean hodographs / R. T. Farouki, T. Sakkalis // IBM Journal of Research and Development. - 1990. - Vol. 34, no. 5. - P. 736-752.

85. Farouki, R. T. Conic approximation of conic offsets / R. T Farouki // Journal of Symbolic Computation. - 1997. - Vol. 23, no. 2-3. - P. 301-313.

86. Feng, H. Y Constant scallop-height tool path generation for three-axis sculptured surface machining / H. Y. Feng, H. Li // Computer-Aided Desigh. - 2002. - Vol. 34, no. 9. - P. 647-654.

87. Fiedler, W. Cyklographie oder construction der aufgabenüber kreise und kugeln und elementare geometrie der kreis- und kugelsysteme / W. Fiedler. - Leipzig : Druckund Verlag von B. G. Teubner, 1882. - 284 p.

88. Fiorot, J. C. J. C. Rational Curves and Surfaces: Applications to CAD / J. C. Fiorot, P. Jeannin. - Chichester : Wiley, 1992. - 322 p.

89. Glaeser, G. Collision-free 3-axis milling and selection of cutting tools / G. Glaeser, J. Wallner, H. Pottmann // Computer-Aided Desigh. - 1999. - Vol. 31, no. 3. - P. 225-232.

90. Global Uncut Regions Removal for Efficient Contour-Parallel Milling / Z. Lin, J. Fu, H. Shen, W. Gan // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2013. - Vol. 68, no. 5-8. - P. 1241-1252.

91. Guyder, M. K. Automating the optimization of 2 Axis milling / M. K. Guyder // Computersin Industry. - 1990. - Vol. 15. - P. 163-168.

92. Hansen, A. An algorithm for generating NC tool path for arbitrary shaped pockets with islands / A. Hansen, F. Arbab // ACM Transactions on Graphics. - 1992. -Vol. 11, no. 2. - P. 152-82.

93. Hatna, A. Automatic CNC milling of pockets: geometric and technological issues / A. Hatna, R. Grieve // Computer Integrated Manufacturing Systems. - 1998. -Vol. 11. - P. 309-330.

94. Held, M. On the Computational Geometry of Pocket Machining. Lecture Notes in Computer Science / M. Held. - Berlin : Springer Verlag Publ., 1991. - 184 p.

95. Held, M. A geometry-based investigation of the tool path generation for zigzag pocket machining / M. Held // The Visual Computer. - 1991. - Vol. 7, no. 5-6. -P. 296-308.

96. Held, M. Voronoi diagram and offset curves of curvilinear polygons / M. Held // Computer-Aided Design. - 1998. - Vol. 30, no. 4. - P. 287-300.

97. Hon-Yuen, T. A geometric approach to the offsetting of profiles on three dimension al surfaces / T. Hon-Yuen, H. Xu // Computer-Aided Desigh. - 2004. - Vol. 36, no. 10. - P. 887-902.

98. Hoschek, J. Spline approximation of offset curves / J. Hoschek // Computer Aided Geometric Design. - 1988. - Vol. 5, no. 1. - P. 33-40.

99. Influence of Pocket Geometry and Tool Path Strategy in Pocket Milling of UNS A96063 Alloy / P. E. Romeroa, R. Doradoa, F. A. Diaza, E. M. Rubioab // Procedia Engineering. - 2013. - Vol. 63. - P. 523-531.

100. Kim, H. C. Tool path generation for contour parallel milling with incomplete mesh model Int / H. C. Kim // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2010. - Vol. 48. - P. 443-454.

101. Kim, D. Representing the Voronoi diagram of a simple polygon using rational quadratic B'ezier curves / D. Kim, I. Hwang, B. Park // Computer-Aided Desigh. - 1995. - Vol. 27, no. 8. - P. 605-614.

102. Kramer, T. Pocket Milling with Tool Engagement Detection / T. R Kramer // Journal of Manufacturing Systems. - 1992. - Vol. 11, no. 2. - P. 112-123.

103. Kumar, R. Computing non-self-intersecting offsets of NURBS surfaces / R. Kumar, K. G. Shastry, B. G. Prakash // Computer-Aided Desigh. - 2002. - Vol. 34, no. 3. - P. 209-228.

104. Lartigue, C. C. CNC tool path in terms of b-spline curves / C. Lartigue, F. Thiebaut, T. Maekawa // Computer-Aided Desigh. - 2001. - Vol. 33, no. 4. - P. 307-319.

105. Lee, D. T. Medial axis transformation of a planar shape / D. T. Lee // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 1982. - Vol. 4, no. 4. - P. 362-369.

106. Lee, E. Contour offset approach to spiral toolpath generation with constant scallop height / E. Lee // Computer-Aided Desigh. - 2003. - Vol. 35, no. 6. - P. 511-518.

107. Li, X. J. Offset of planar curves based on polylines / X. J. Li, J. S. Ye // Journal of Institute of Command and Technology. - 2001. - Vol. 12. - P. 5-8.

108. Mansor, M. S. A. Voronoi Diagram-based Tool Path Compensations for Removing Uncut Material in 2^D Pocket Machining / M. S. A. Mansor, S. Hinduja, O. Owodunni // Computer-Aided Design. - 2006. - Vol. 38, no. 3. - P. 194-209.

109. Medial axis transform and offset curves by Minkowski Pythagorean hodograph curves / H. I. Choi, C. Y. Han, H. P. Moon [et al.] // Computer-Aided Desigh. -1999. - Vol. 31, no. 1. - P. 59-72.

110. Meek, D. S. Offset curves of clothoidal splines / D. S. Meek, D. J. Walton // Computer-Aided Design. - 1990. - Vol. 22, no. 4. - P.199-201.

111. Moreira, A. Concave hull: A k-nearest neighbor's approach for the computation of the region occupied by a set of points / A. Moreira, M. Santos // Proceedings of the Second International Conference on Computer Graphics Theory and Applications. - Barcelona, Spain, 2007. - Vol. 2. - P. 61-68.

112. Muller, E. Vorlesungen über Darstellende Geometrie. II. Band: Die Zyklographie. Edited from the manuscript by Dr. Josef Leopold Krames. - Leipzig ; Vienna, Franz Deuticke, 1929. - 476 p.

113. Myasoedova, T. M. Analysis and trimming operations in the problem of spatial formation of a family of offset curves given an area with islands / T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk. - DOI: 10.1088/1742-6596/1441/1/012069 // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1441. - P. 012069-1-012069-8. (Q3)

114. Myasoedova, T. M. Geometric model of generation of family of contour-parallel trajectories (equidistant family) of a machine tool / T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk. - DOI: 10.1088/1742-6596/1210/1/012104 // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1210. - P. 012104-1-012104-8. (Q3)

115. Myasoedova T. M. Generation of contour-parallel curves for cloced curvilinear multiply connected areas on the basis of cyclographic mapping Mech. Sc. and Technology Update / T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk // III IEEE Intl. Sci-Tech. Conf. - Omsk St. Tech. Un. - 2019. - 2. - P. 310-317.

116. Myasoedova, T. M. Geometric modeling of offset curves in contour-parallel pocket machining of engineering products / T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk. -

DOI: 10.1088/1742-6596/1210/1/012103 // Journal of Physics: Conference Series.

- 2019. - Vol. 1210. - P. 012103-1-012103-8. (Q3)

117. Myasoedova, T. M. Forming of contour-parallel lines family with the detection of their non-working sections / T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk. - DOI: 10.1088/1742-6596/1546/1/012039 // Journal of Physics: Conference Series. -2020. - Vol. 1546. - P. 012039-1-012039-7. (Q3)

118. On Optimal Tolerancing in Computer-Aided Design / H. Pottmann, B. Odehnal, M. Peternell [et al.]. - DOI:10.1109/GMAP.2000.838266 // Proceedings Geometric Modeling and Processing. Theory and Applications : Conference Paper.

- Hong Kong, China, 2000. - P. 347-363.

119. Panchuk, K. L. Computer aided geometric modeling of solutions to the tasks of applied cyclography / K. L. Panchuk, E. V. Lyubchinov, T. M. Myasoedova. -DOI: 10.30987/graphicon-2019-2-185-188 // CEUR Workshop Proceedings. -2019. - Vol. 2485. - P. 185-188. (Q5)

120. Panchuk, K. L. Construction of a discrete planar contour by fractional rational Bezier curves of second order / K. L. Panchuk, T. M. Myasoedova, M. N. Odinets.

- DOI: 10.1088/1742-6596/1441/1/012072 // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1441: Applied Mechanics and Dynamics Systems. - P. 012072-1-012072-8. (Q3)

121. Panchuk, K. L. Cyclographic Model of Generation of Families of Parallel Curves to a Multiply-Connected / K. L. Panchuk, T. M. Myasoedova, E. V. Lyubchinov.

- DOI: 10.1007/978-3-030-63403-2_15 // Advances in Intelligent Systems and Computing. - 2021. - Vol. 1296. - P. 152-163.

122. Panchuk, K. L. Spatial Spline Construction through the Monge Model / K. L. Panchuk, T. M. Myasoedova, Y. A. Rogoza. - DOI: 10.51130/graphicon-2020-2-3-60 // CEUR Workshop Proceedings. - 2020. - Vol. 2744. - P. 60-1-60-11.

123. Panchuk, K. L. Spline curves formation given extreme derivatives / K. L. Panchuk, T. M. Myasoedova, E. V. Lyubchinov // Mathematics. - 2021. - Vol. 9, no. 1. -47. - P. 1-29. (Q1)

124. Park, S. C. Uncut free pocketing tool-paths generation using pair-wise offset algorithm / S. C. Park, B. K. Choi // Computer-Aided Desigh. - 2001. - Vol. 33, no. 10. - P. 739-746.

125. Park, S. C. Offset tool-path linking for pocket machining / S. C. Park, Y. C. Chung // Computer-Aided Desigh. - 2002. - Vol. 34, no. 4. - P. 299-308.

126. Park, S. C. Contour-parallel offset machining without tool-retractions / S. C. Park, Y. C. Chung, B. K. Choic // Computer-Aided Design. - 2003. - Vol. 35, no. 9. -P. 841-849.

127. Persson, H. NC machining of arbitrary shaped pockets / H. Persson // Computer-Aided Design. - 1978. - Vol. 3, no.10. - P. 169-174.

128. Pham, B. Offset curves and surfaces: A brief survey / B. Pham // Computer-Aided Design. - 1992. - Vol. 24, no. 4. - P. 223-229.

129. Pham, B. Offset approximation of uniform B-splines / B. Pham // Computer-Aided Design. - 1988. - Vol. 20, no. 8. - P. 471-474.

130. Piegl, L. A. Computing offsets of NURBS curves and surfaces1 / L. A. Piegl, W. Tiller // Computer-Aided Design. - 1999. - Vol. 31, no. 2. - P. 147-156.

131. Pocketing Toolpath Optimization for Sharp Corners / Z. Y. Zhao, C. Y. Wang, H. M. Zhou, Z. Qin // Journal of Materials Processing Technology. - 2007. - Vol. 192-193. - P. 175-180.

132. Pottmann, H. Rational curves and surfaces with rational offsets / H. Pottmann, M. Peternell // Computer Aided Geometric Design. - 1995. - Vol. 12, no. 2. - P. 175192.

133. Preparata, F. P. The medial axis of a simple polygon / F. P. Preparata // Mathematical Foundations of Computer Science. - 1977. - Vol 53. - P. 443-450.

134. Ramamurthy, R. Voronoi diagram and medial axis algorithm for planar domains with curved boundaries / R. Ramamurthy, R. Farouki // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1999. - Vol. 102. - P. 119-141.

135. Rogers, D. F. Mathematical element for computer graphics / D. F. Rogers, J. A. Adams. - London : McGraw-Hill, 1990. - 611 p.

136. Seo, M. Systematic approach to contour-parallel tool path generation of 2.5-D pocket with islands / M. Seo, H. Kim, M. Onosato // Computer-Aided Design and Applications. - 2013. - Vol. 2, no. 1-4. - P. 213-222.

137. Shape modeling and matching in identifying 3D protein structures / S. A. Sasakthi, J. Tao, B. Matthew, W. Chiu // Computer-Aided Design. - 2008. - Vol. 40, no. 6. - P. 708-720.

138. Spielberger, C. Improved Spiral High-Speed Machining of Multiply- Connected Pockets, C. Improved Spiral High-Speed Machining of Multiply- Connected Pockets / C. Spielberger, M. Held // Computer-Aided Design and Applications. -2013. - Vol. 11, no. 3. - P. 346-357.

139. Srinivasan, V. Voronoi diagram for multiply-connected polygonal domains I: Algorithm / V. Srinivasan L. R. Nackman // IBM Journal of Research and Development. - 1987. - Vol. 31, no. 3. - P. 361-372.

140. Tang, K. Traversing the Machining Graph of a Pocket / K. Tang, A. Joneja // Computer-Aided Design. - 2003. - Vol. 35, no. 11. - P. 1023-1040.

141. Toolpath interpolation and smoothing for computer numerical control machining of freeform surfaces: a review / W. B. Zhong, X. C. Luo, W. L. Chang [et al.] // International Journal of Automation and Computing. - 2020. - Vol. 17, no. 1. - P. 1-16.

142. Two-dimensional offsets and medial axis transform / H. I. Choi, S. W. Choi, C. Y. Han [et al.] // Advances in Computational Mathematics. - 2008. - Vol. 28. - P. 171-199.

143. Wong, T. N. NC toolpath generation for arbitrary pockets with islands / T. N. Wong, K. W. Wong // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 1996. - Vol. 12. - P. 174-179.

144. Xunnian, Y. Geometric interpolation by PH curves with quadratic or quartic rational normal / Y. Xunnian, U. Zhejiang // Computer-Aided Design. - 2019. -Vol. 114. - P. 112-121.

145. Xu, K. Image processing-based contour parallel tool path optimization for arbitrary pocket shape / K. Xu, Y. Li, B. Xiang // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2019. - Vol. 102. - P. 1091-1105.

146. Zhang, M. Optimized contour-parallel offset tool-path linking method based on free region / M. Zhang, H. Bian // China Mechanical Engineering. - 2011. - Vol. 22, no. 4. - P. 468-473.

147. Zhiwei, L. A robust 2D point-sequence curve offset algorithm with multiple islands for contour-parallel tool path / L. Zhiwei, F. Jianzhong, G. Wenfeng // Computer-Aided Desigh. - 2013. - Vol. 45, no. 3. - P. 657-670.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Листинг Maple-программы «Расчет линии MAT, MAT, MAT, MAT Для области, ограниченной эллипсом»

> restart; with[plots),with(plottools) : with(linalg) :

> #3десь Исходные данные. Задается кривая (Эллипс).

2 tl 1 — tl2 al := 4 : Ы ■= 2 : xl ■= al- , : s= Ы -—Цг :zl ;=0:

1+tl2 1 + i/2

41] := SKbi(tl =-t, [xl, yl ]) [ 1 ]; y[l] :=jnfa(tl=-t,[xl,yl])[2];

1] := spacecurve( [x[ 1 ], y[ 1 ], 0, t = 0 ..1 ], color = green, scaling = constrained, thickness = 3):

81

xl "" 2 t2 + 1

2{-t2 + l)

> *[2] :=i«fa(tl = l -t,[xl,yl])[l];

Я2] := ™to(tl = l -t,[xl,yl])[2];

K[ 2] == spacecurve( [x[2], y[2], 0, t = 0 ..1 ], color = blue, scaling = constrained, thickness = 3):

x~ :=

8(1-0

2' (l-i)2 + l

, 2(-(l-Q2 + l) (1 -t)2 + 1

It? 1 —t'P'

> a2-.= A\b2-.= 2\x2 ■■= a2- . : jtf := -¿2 --Цт- :z2:=0:

1+ tT \+tT

> jc[4] := ,yMfe(t2 =-t, [x2,y2])[l]; Я4] := sM&s(t2=-t, [x2,y2])[2];

A"[4] := spacecurve( [x[4], y[4], 0, t = 0 ..1 ], color = purple, scaling = constrained, thickness = 3):

x4 ~~2-

4 t2 +1

y4r-

2 С -Г2 + l) i2 + 1

jc[3] ■■= subs(t2=l — t, [x2,y2])[l]; ЯЗ] == subs(t2=l -t,[x2,y2])[2];

AT[3] == spacecurve([x[3],y[3],0,t = 0..1], color = red, scaling = constrained,thickness = 3):

x, :=

8(1-0

3' (i-i)2 + i 2 ( - (1 — f)2 + l) 3 (l-i)2 + l

> #Строим Эволюту к кривой - на плоскости

> xl ~ subs{t = tl,x[l])-,x2 := subs{t = t2,x[2]);yl == subs{t = tl,y[ 1]);у2 == subs{t = t2,

Л 2]);

, Sil xl := -

tl2 + 1

x2 :=

(1 -t2)2 + 1

. 2 (-tl2 + l)

yi-

tl2 + 1

2 (- (1 — t2)2 + l) (1 — £?)2 + 1

> x3 ■= subs(t = t3,x\b'\y,x4 ■= subs(t = t4,x[4]);y3 == subs{t = t3,y[^)\yA ■= subs{t = t4,

Л 4]);

(1 -t3)2 + 1 :=

tf2 + 1

yi:

.= 2 (-(1 -d)2 + l)

(1 -t3)2 + 1 +1

>

' ^ diffixl, tl$2) -diffiyl, tl) - diffiyl, tl$2) -diff(xl, tl) ■

>

' y diff{yl,t№)-diff{xl,tl)~ diff{xl, t№)-diff{yl,tl) '

>

diff(x2, t2$2) ■diff(y2, t2) - diff{y2, t2$2) ■diff{x2, t2) '

>

y diff(y2, t2$2) •diff{x2, t2) - diff(x2, t2$2) -diff{y2, t2) '

> Zla ■= 0 :

>

' diff(x3, trn) -diff(y3, t3) - diff{y3, tf$2) -diff(x3, t3) '

>

diff(y3, t3%2) ■diff[x3, t3) - diff(x3, t3$2) •diff{y3, t3) '

' diff(x4, t4$2) -diff(y4, t4) - diff(y4, t4%2) -diff(x4, t4) '

> Y4 •= v4 + dmx4>t4) •({dmx4>t4) )2 + idmy4't4) )2) •

' 7 diff(y4MS2)-diff(x4,t4)-diff(x4,t4$2)-diff(y4,t4) '

> E[ 1 ] := spacecurve( [XI, Yl, Zla], tl = 0 ..1, color = green, scaling = constrained,tliickness

= 2):

>

style = hidden) :

> Е[Ъ] •= spacecurve{[X3, Y3, Zla], t3 = 0..1, color = red, scaling = constrained,thickness

= 2):

> £[4] := spacecurve( [X4, Y4, Zla], t4 = 0 ..1, color = purple, scaling = constrained,thickness

= 2, style = hidden) :

>

= 2, style = hidden) :

> восстанавливаем Эволюту в пространстве путем добавления координаты Z(z =

радиусу кривизны в соттвестующих точках эволюты)

> Zl-=+ (sqrt((x7 -XI)2 + [yl - Yl)2)) :

> Z2-=+ (sqrt((x2 —X2)2 + (y2 - Y2)2)) :

> Z3-=+ (sqrt((x3 -X3)2 + (y3 - Y3)2)) :

> Z4-=+ (sqrt((x4 -X4)2 + (y4 - Y4)2)) :

> Ep[ 1 ] := spacecurve{ [XI, Yl, Z1 ], tl = 0 ..1, color = green, scaling = constrained,thickness

= 3):

> Ep[2] := spacecurve( [X2, Y2, Z2], t2 = 0 ..1, color = blue, scaling = constrained,thickness

= 3):

> Ep[3] := spacecurve([X3, Y3, Z3], t3 = 0 ..1, color = red, scaling = constrained,thickness

> Ep[4] := spacecurve( [X4, Y4, Z4], t4 = 0 ..1, color = purple, scaling = constrained, thickness

= 3):

> simplify(X4); simpliJy(Y4); simplify(7A)

24143

{tS + 2t42 + \){t42 + \)

6{tf-2t# + l) [tf - l) +2tf + l) {if + l)

{tS-ti + lf № +1)6

> simplify(X3); simplify^ Y3); simpliJy(Z3)

__24 ^З3 — 3 *52 + 3 *5 — 1)_

(*3*-4*33 + в«2-8*5+ 4) (*5г-2*5 + 2)

__6 (^З2- 4*3 + 4) (*5-2)*53_

(*34 -4*53 +8*52 - 8*5 + 4) (*52-2*5 + 2)

8 I (*54-4*33 + 5*32 - 2*3 + 1)3

У (^З2 — 2«? Ч- 2)6

ятр11/у(У2); ятрИ^Z2)

__24 (¿23 -3*^ + 3*2- 1)_

(*24 -4*23 +8*22 - 8*2 + 4) (*22-2*2 + 2)

_б(<22-4<2 + 4) (*2 — 2) *23_

(Й4-4«23 + 8Й2-8<2 + 4) (*22 —2*2 + 2)

8 (*24 -4*23 +5*22 -2*2 +I)3

V (*22-2*2 + 2)6

>ятрН$(Х1); $трИ/у{У1); втр1Уу{Х\)

__24 */3_

(*;4 + 2*;2 + 1)(*;2 + 1)

б(*;4-2*;2 + 1)(*;2-1) (*/ + 2*72 + 1) (*72 + 1)

8 / (*/4-*;2 + 1)3 У (^2 + 1)6

>#3ад^т поверхность для эллипса [Линейчатая)

>Ш ■= этрИМХ! + 12-{х2 -Х2)):

>Ш ■= этрИМХ! +11-{х1 -XI)) : >

>Уу1 ~ ¡птр1г/у{П + 11-{у1 - У1)) :

>Уу2 ~ ¡птр1г/у{У2 + 12-(у2 - У2)) : >

>Я1 := этрНМ21-{\ -Щ):

>&2 ~ этр11/у{22-(\ —12)) : >

>&4 := втрИММ + 14-(х4 -Х4)):

>Ш ■= ятрИ^ХЗ + 13-{х3 -ХЗ)): >

>7^5 := ¡птрНМУЗ + 13-(уЗ -УЗ)):

>¥у4 •■= нипрЩуЦМ + 14-(у4 -У4)): >

> Zz3 := simpliJy(Z3-{\ -13)):

> Zz4 ■■= simplify(Z4-(1 -14)):

> simplify{Xx4); simplify{Yy4); simplify(Zz4)

8 (/4*/ -I4t42 +3t4* + 14) t4 (*/ + 2*42 + l)(*42 + l) 2(4/4*/ -3*/ -4l4t# + 614* +414-3) (tfi - l) (t/+2t41 + l) (*/ + l)

> simplify(Xx3); simplify(Yy3); simplify(Zz3)

8(/3/35-5/3/34 + 913/33-Il3t32 + 3/33 + 3/3*3-9*32-l3 + 9t3-3) (ii4 -4*33 +8^-8« +4) (*32-2*3+2)

2 (4/3 *34 - 16/3d3 - 3*34 + 20/3 d2 + 12 *33 - 8¿3*3 - 12*32 + 4») *3 (/3 - 2) («34 - 4*33 + 8*32 - 8*3 + 4) (t32 -2t3 + 2)

-8 / (^-4^ + 5/32-2/3 + l)3 (_1+b) (/32 —2/3+2)

> simplify{Xx2); simplify(Yy2)\simplify(Zzl)

8(/2*25 -5/2;/ +912tf-lUt? + 3*2* + 3/2*2-9*22-l2 + 9t2-3) {tf -4*23 + 8*22 -8*2 + 4) (if -2*2 + 2)

2 (4 /2 <3* - 16 /2 ¿23 - 3 tf + 2012*22 + 12 ¿23 - 81212 - 12 *22 + 412) t2 (t2 - 2) (/24 -4/23 +8/22 -8/2 + 4) (/22 -2/2 + 2)

-8 (^-4^ + 5^-2*2 + 1) (_1+c) V (*22 — 2*2 + 2)

> simplify(Xx 1); simplify{Yy\); simplify^Zzl)

8 (/7 *74 - 11 tl2 +3tl2+ ll) tl (tl4 + 2tl2 + l) (tl2 + l)

2 (411 tl4 - 3 *74 - 411 tl2 + 6 tl2 + 411 - 3) {tl2 - 1) (tl4 +2tl2 + l) (tl2 + l)

^4-"2+fil)3 (-1+K) (*/2 + l)6

> El[i] ■= plot3d{[Xxl, Yyl, Zzl], tl = 0 ..1,11 = 0 ..1, color = green,transparency = 0) :

> El[2] ■■= plot3d{ [Xx2, Yy2, Zz2], t2 = 0 ..1,12 = 0 ..1, color = blue,transparency = 0) :

> El[3] := plot3d([Xx3, Yy3, Zz3], t3 = 0 ..1,13 = 0 ..1, color = red,transparency = 0) :

> El[4] •■= plot3d{ [Xx4, Yy4, Zz4\ t4 = 0 ..1,14 = 0 ..1, color = purple, transparency = 0) :

7 tl 1 — 112

1 + tl2 1 + tl2

> х2 := а2- —^^ : у2 ■= -Ъ2 ——: z2 ■= 0 :

1 + tT 1 +tr

>

> #Строим Эволюту к кривой - на плоскости

> Х1 .= х1 ._dw(yi,а)• ((diffjxi,ti))2 + ты,ti))2) ,

' diffixl, t№) -diffiyl, tl) - diff{yl, tl$2) -diff{xl, tl) '

> Y1 -= vl . _diff(xl,tl)-((diff(xl,tl))2 + (diffjyl, tl))2)__

' y diff{yi,tm)-diff{xi,ti)-diff{xi,tm)-diff{yi,ti) •

> x2 ■= x2 +_dmy2>m •(ШПх2>t2) )2 + Ш{у2't2) )2)__

' diff(x2, t2$2) -diff[y2, t2) - diff(y2, Ж2) -diff(x2, t2) '

> Y2-=v2 +_diff{x2't2) •( Ш(х2't2) )2 + Ш[у2't2) )2)__

' y diff{y2,m2)-diff{x2,t2)-diff{x2,m2)-diff{y2,t2) '

> Zla ■= 0 :

> >

thickness = 4) :

> Evltal[2] := spacecurve{ [XI, Yl, Zla], tl = 0 ..1, color = blue, scaling = constrained,thickness

= 4):

> Evlta2[2] := spacecurve{ [X2, Y2, Zla], t2 =-1 ..0, color = red, scaling = constrained,thickness

= 4, style = hidden) :

> Evlta2[ 1 ] == spacecurve{ [X2, Y2, Zla], t2 = 0 ..1, color = pink, scaling = constrained, thickness

= 4, style = hidden) :

> восстанавливаем Эволюту в пространстве путем добавления координаты Z(z =

радиусу кривизны в соттвестующих точках эволюты)

> Zl~+ (sqrt( (xl -XI)2 + {yl - У7)2)) :

> Z2:=+ (sqrt( (х2 -Х2)2 + {у2 - Y2)2)) :

> EvltPrl[ 1 ] == spacecurve([XI, Yl, Zl], tl =-1 ..1, color = green, scaling = constrained,

thickness = 2) :

> EvltPrl[2] •■= spacecurve{[X\,Y\,Z\~\,t\ = 0..1,color = blue,scaling = constrained,thickness

= 2):

> EvltPr2[2] := spacecurve([X2, Y2,Z2],t2=-l „0,color = red,scaling = constrained,thicknes!

= 2):

> EvltPr2[ 1 ] == spacecurve{ [X2, Y2, Z2], t2 = 0 ..1, color = pink, scaling = constrained,

thickness = 2) :

> #3адаем поверхность для эллипса {Линейчатая)

> Хх2 ■= simplify(X2 + 12-{х2 -Х2)):

> Хх1 ■- simpliJy(Xl +ll-{xl -XI)) \

> Yyl ■■= simplify(Yl + ll-{yl -Yl)):

> Yy2 ■■= simplify(Y2 + l2-(y2 - Y2)) :

>

> Zzl ■= simplify(Zl-(\ -11)):

> Zz2 ■■= simplify(Z2-(1 -12)):

> Ellipsel[ 1] == plot3d(\Xxl, Yyl,Zzl],t\ =-1 ..0,11 = 0 ..1, color = green, transparency = 0) :

> Ellipsel[2] ■■= plot3d([Xxl, Yyl,Zzl],W = 0..1,11 =0..1, color = blue,transparency = 0) :

> Ellipse2[2] ••= plot3d( [Xx2, Yy2, Zz2], t2 =-1 ..0,12 = 0 ..1, color = red, transparency = 0) :

> Ellipse2[ 1 ] := plot3d{\Xx2, Yy2, Zz2], t2 = 0 ..1,12 = 0 ..1, color = pink, transparency = 0) :

> Lll ■■= solve{Zzl = Zz2,ll) :

> subs(ll=Lll, Yyl = Yy2) :

> L222 ■= solve{{subs{ll =L11, Yyl = Yy2)), 12) :

> LI 11 ■- subs{l2 = L222,Lll) :

> T22 := solve{ (subs{ll=Llll, J2=L222,Xxl =Xx2)), t2) :

> L1T := subs{t2 = T22,Llll) :

> L2T-= subs{t2 = T22,L222) :

>

YTD1 := subs{t2 = T22,11 =LIT\ 12=L2T, Yyl) : ZTD1 ■■= subs(t2 = T22,11 = LIT, 12 = L2T, Zzl) :

>

YTD2 ■■= subs( t2 = T22,11 = LI T, 12 = L2T, Yyl) : ZTD2 ■= subs(t2 = T22,11 = LIT, 12 = L2T, Zzl) :

>

thickness = 5) :

>

thickness = 5) :

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Листинг программы на языке Python 3.7 «Расчет эквидистантных (контурно-параллельных) линий для связных областей, ограниченных ломаным контуром»

# -*- coding: utf-8 -*-

Created on Thu Nov 28 09:47:06 2019

@author: Татьяна

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from mpl toolkits.mplot3d import Axes3D

from sympy import

var,lambdify,sqrt,Eq,solveset,S,linsolve,solve,diff,simplify, sin, cos,atan

from sympy.core import (S, Pow, Dummy, pi, Expr, Wild, Mul, Equality,Add) from numpy import sin,cos,array import math import copy

from mpl toolkits.mplot3d import Axes3D import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np

# ввести координаты x внешнего контура

print('Введите координаты x внешнего контура , нажимайте enter') print(' для окончания ввода нажмите enter') a = int(input('—>> ')) rices = [] while True: try:

xI.append(a) a = int(input('—>> ')) except:

break print(xI)

# ввести координаты y

print('Введите координаты y внешнего контура , нажимайте enter') print (' для окончания ввода нажмите enter') a = int(input('—>> ')) rices = [] while True: try:

yI.append(a) a = int(input('—>> ')) except:

break print(yI)

# ввести координаты x первого острова

print('Введите координаты x первого острова , нажимайте enter') print(' для окончания ввода нажмите enter') a = int(input('—>> ')) rices = [] while True: try:

xV.append(a) a = int(input('—>> ')) except:

break print(xV)

# ввести координаты y первого острова

print('Введите координаты y первого острова, нажимайте enter') print(' для окончания ввода нажмите enter') a = int(input('—>> ')) rices = [] while True: try:

yV.append(a) a = int(input('—>> ')) except:

break print(yV)

# ввести координаты x второго острова

print('Введите координаты x второго острова, нажимайте enter') print(' для окончания ввода нажмите enter') a = int(input('—>> ')) rices = [] while True: try:

xVV.append(a) a = int(input('—>> ')) except:

break print(xVV)

# ввести координаты y второго острова

print('Вводте координаты y второго острова, нажимайте enter') print(' для окончания ввода нажмите enter') a = int(input('—>> ')) rices = [] while True: try:

yVV.append(a) a = int(input('—>> ')) except:

break print(yVV)

# плоский график fig=plt.gcf() fig.set facecolor('w') ax=fig.gca() ax.axis('equal') t=var('t')

#Отрезок по точкам параметрическое уравнение def xOt(x,x1):

return x+(x1-x)*t def yOt(y,y1):

return y+(y1-y)*t def zOt(z,z1):

return z+(z1-z)*t #Копии списков координат точек

x1I,y1I = copy.deepcopy(xI),copy.deepcopy(yI) #Первый элемент копии списков помещаем в конец x1I.append(x1I[0]);

x1I.pop(0); y1I.append(y1I[0]); y1I-pop (0);

#Списки уравнений внешнего контура KIx=list(map(xOt, xI,x1I)) KIy=list(map(yOt, yI,y1I)) z=10

KIz=[z,z,z,z,z] KI=[KIx,KIy,KIz]

# эквидистанта - уравнение n=-10

t=var('t') def xE(x,y):

return x+n*diff(y,t)/((diff(x,t)**2)+(diff(y,t)**2))**0.5 def yE(x,y):

return y-n*diff(x,t)/((diff(x,t)**2)+(diff(y,t)**2))**0.5 #### УРАВНЕНИЯ КОНТУРА ОБЛАСТИ

xUOI=[xOt(xI[0],x1I[0]),xOt(xI[1],x1I[1]),xOt(xI[2],x1I[2]),

xOt(xI[3],x1I[3]),xOt(xI[4],x1I[4])] yUOI=[yOt(yI[0],y1I[0]),yOt(yI[1],y1I[1]),yOt(yI[2],y1I[2]), xOt(yI[3],y1I[3]),yOt(yI[4],y1I[4])]

# Списки уравнений эквидистант z=10

EUIx=list(map(xE, xUOI,yUOI)) EUIy=list(map(yE, xUOI,yUOI)) EUIz=[z,z,z,z,z] EI=[EUIx,EUIy,EUIz]

# уравнения поверхностей x1=var('x1') y1=var('y1') z1=var('z1') l=var('ll)

t=var('t') z=var('0') z1=var('10') def xP(x,x1):

return x+l*x1-l*x

def yP(y,y1):

return y+l*(y1-y) def zP(z,z1):

return z+l*(z1-z) #уравнения поверхностей контура области xPP=list(map(xP,xUOI,EUIx)) yPP=list(map(yP,yUOI,EUIy)) z=0+l*(10-0) zPP=[z,z,z,z,z] PI=[xPP,yPP,zPP]

# уравнение основания конуса-окружность from sympy import cos, sin t=var('t')

OKI=[xI[3]+abs(n)*cos(t),yI[3]+abs(n)*sin(t),z] #Точка касания def ORTT(ax,ay,rx,ry,R): L=var('L')

V=var('V')

Xort=var(lXort')

Yort=var(lYort')

L=((ax-rx)**2+(ay-ry)**2)**0.5

V=(L**2-R**2)**0.5

return solve([Eq((((ax-Xort)**2+(ay-Yort)**2))**0.5-V,0),

Eq((((rx-Xort)**2+(ry-Yort)**2))**0.5-R,0)]) # Поверхность конуса t=var('t') z=10

xPK=xP(OKI[0],xI[3]) yPK=yP(OKI[1],yI[3]) zPK=z*(1-l) PKI=[xPK,yPK,zPK] t=var('t')

#Копии списков координат точек

x1V,y1V = copy.deepcopy(xV),copy.deepcopy(yV)

#Первый элемент копии списков помещаем в конец

x1V.append(x1V[0]);

x1V.pop(0);

y1V.append(y1V[0]);

y1V.pop(0);

#Списки уравнений контуров KVx=list(map(xOt, xV,x1V)) KVy=list(map(yOt, yV,y1V)) z=0

KVz=[z,z,z,z,z] KV=[KVx,KVy,KVz]

# Отрезок по точкам по ДОЛЯ t=var('t')

#Отрезок по точкам параметрическое уравнение def xLOM(Ax,Bx):

return Ax+((Bx-Ax)*(1/2))*(1+abs(t)-abs(t-1))

def yLOM(Ay,By):

return Ay+((By-Ay)*(1/2))*(1+abs(t)-abs(t-1)) #Списки уравнений контура по ДОЛЯ KV_LOMx=list(map(xLOM, xV,x1V)) KV_LOMy=list(map(yLOM, yV,y1V)) z=0

KV_LOMz=[z,z,z,z,z] KV_LOM=[KV_LOMx,KV_LOMy,KV_LOMz]

# Эквидистанта - уравнение z=10

n=10

EVx=list(map(xE,KV[0],KV[1])) EVy=list(map(yE,KV[0],KV[1])) EVz=[z,z,z] EV=[EVx,EVy,EVz]

# уравнение основания конуса-окружность from sympy import

var,symbols,lambdify,sqrt,Eq,solveset,S,linolve,solve,diff,simplify, sin, cos #from numpy import sin,cos,array t=var('t') cos(t)

OKV1=[xV[0]+abs(n)*cos(t),yV[0]+abs(n)*sin(t),z] OKV2=[xV[1]+abs(n)*cos(t),yV[1]+abs(n)*sin(t),z] OKV3=[xV[2]+abs(n)*cos(t),yV[0]+abs(n)*sin(t),z] z=10

OKV=[OKV1[0],OKV2[0],OKV3[0]],[OKV1[1],OKV2[1],OKV3[1]],[Z,Z,Z]

# Поверхность конуса острова xPPv1=list(map(xP,KV[0],EV[0])) yPPv1=list(map(yP,KV[1],EV[1])) z=0+l*(10-0)

zPPv1=[z,z,z] PV=[xPPv1,yPPv1,zPPv1]

# Поверхность конуса z=10

xPKv1=list(map(xP,OKV[0],xV)) yPKv1=list(map(yP,OKV[1],yV)) zPKv1=[z*(1-l),z*(1-l),z*(1-l)] PKV=[xPKv1,yPKv1,zPKv1] #Копии списков координат точек

x1VV,y1VV = copy.deepcopy(xVV),copy.deepcopy(yVV)