Генерация каскадов и рождение пар короткими интенсивными лазерными импульсами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Миронов, Арсений Антонович

• Миронов, Арсений Антонович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Миронов, Арсений Антонович

Содержание

Введение

Глава 1. Модель зарождения КЭД каскадов

1.1. Введение в главу 1. Основные приближения

1.2. Зависимость в произвольном поле электрического типа

1.3. Условие возникновения каскада

1.4. Каскады в одиночном фокусированном лазерном импульсе

1.5. Выводы к Главе 1

Глава 2. Оптимизация лазерного поля для наблюдения КЭД каскадов

2.1. Введение в главу 2

2.2. Моделирование каскадов методом Монте-Карло

2.3. Моделирование каскадов в одиночном лазерном импульсе

2.4. Оптимальная конфигурация поля для зарождения каскадов Л-типа

2.5. Численное моделирование

2.6. Выводы к главе 2

Глава 3. Каскады при столкновении быстрых электронов с сильным лазерным полем

3.1. Введение в главу 3

3.2. Эффект коллапса и возрождения каскадов

3.3. Численное моделирование

3.4. Особенности конечных распределений частиц

3.5. Коллапс и возрождение каскадов в одиночном лазерном импульсе

3.6. Выводы к главе 3

Глава 4. Рождение пар при столкновении интенсивного лазерно-

го импульса с пучком фотонов высокой частоты

4.1. Введение в главу 4

4.2. Схема, параметры и согласование известных подходов

4.3. Точное решение при столкновении с дельта-импульсом

4.4. Предельные случаи

4.5. Выводы к главе 4

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Генерация каскадов и рождение пар короткими интенсивными лазерными импульсами»

Введение

Актуальность темы исследования.

Нелинейные эффекты КЭД во внешнем сильном электромагнитном поле, связанные с поляризацией вакуума, такие как рождение электрон-позитронных пар, двойное лучепреломление и дихроизм, генерация гармоник, излучение Че-ренкова и другие, должны проявляться при напряженностях поля, приближающихся к критическому полю Заутера-Швингера Es = m2с3/eh — l.32 • lO16 В/см [l-З] или в случае магнитного поля H s — 4.4l • lO13 Гс, что соответствует интенсивности лазерного излучения Is = (с/4^)Е'| — 4.65 • lO29 Вт/см2. Поля такой величины, по всей видимости, могут возникать естественным образом в астрофизических объектах, таких как пульсары [4, 5] или магнетары [б]. В лабораторных условиях их можно получить в столкновениях тяжелых ионов [7-9], однако такие поля занимают малые объемы пространства и существуют в течение коротких промежутков времени, недостаточных для прямого наблюдения нелинейных эффектов КЭД, и более того, в этом случае не применимо приближение внешнего поля [lO].

Большой прогресс в лазерных технологиях создал условия для необычайного роста достижимых интенсивностей когерентного лазерного излучения. С момента изобретения революционной в области сверхмощных лазерных установок технологии Chirped Pulse Amplification [ll] рост достижимых интенсивностей лазерного излучения резко ускорился, см. Рисунок l. В настоящее время уже существуют установки, генерирующие сверхкороткие импульсы длительности порядка lO фс инфракрасного и оптического диапазонов с пиковой интенсивностью до lO22 Вт/ см2 в фокусе [l2], и в ближайшие годы ожидается дальнейшее повышение интенсивностей вплоть до lO23 ^ lO24 Вт/см2 благодаря установкам нового поколения, например, VULKAN-lOPW [l3], PEARL lO [l4], Apollon lOP [l5], ELI Beamlines [l6, l7], ELI-NP [l8, l9], EP OPAL [2O] или SIOM QiangGuang IV [2l]. Более того, планируется строительство лазер-

Рис. 1. Рост интенсивности лазерных систем. Пунктирная линия соответствует строящимся и проектируемым установкам.

ных систем, нацеленных на достижение интенсивностей вплоть до 1026 Вт/см2 в рамках международных проектов — таких, например, как европейский проект Extreme Light Infrastructure [22, 23] или российский проект Exawatt Center for Extreme Light Studies [24]. Данные установки откроют широкие возможности для экспериментального изучения эффектов КЭД во внешнем поле, в том числе нестабильности вакуума в сильных полях и создания сверхплотной релятивистской электрон-позитронной плазмы, воспроизведения астрофизических процессов в лабораторных условиях, изучения фотоядерных реакций и многого другого [3, 25-29].

Одним из ярчайших нелинейных эффектов КЭД во внешнем поле является возникновение самоподдерживающихся электромагнитных или КЭД каскадов, теоретически предсказанных около 10 лет назад [30, 31], и исследованию которых посвящена данная диссертация. Согласно оценкам, образование таких каскадов возможно при достижении напряженности электрического поля порядка Е ~ aEs ~ Es/137, что соответствует интенсивности ^ 1025 Вт/см2 [30, 31], и, в свете сказанного выше, мы находимся на пороге экспериментального наблю-

<

7

Рис. 2. Схематичное изображение КЭД каскада.

дения самоподдерживающихся каскадов. По этой причине теоретические исследования и моделирование их зарождения и динамики является чрезвычайно актуальной задачей.

КЭД каскады могут образовываться при попадании затравочных электронов, позитронов или жестких гамма-квантов в область сильного поля. Они представляют собой цепочки последовательных элементарных процессов в присутствии внешнего электромагнитного поля: излучения фотонов заряженными частицами (нелинейное обратное комптоновское рассеяние) и рождение электрон-позитронных пар жесткими фотонами (нелинейный эффект Брейта-Уилера), как схематично показано на Рисунке 2. Как хорошо известно из КЭД, в вакууме свободные заряженные частицы не могут излучать единичные фотоны, а отдельные фотоны не могут рождать пары в силу закона сохранения 4-импульса, однако эти процессы могут протекать в присутствии внешнего поля. Например, вероятности для этих процессов вычислены для случая поля плоской волны [32-39], а также в постоянных и однородных магнитном [40, 41], электрическом [42, 43], скрещенном [38] или произвольном [44] полях.

КЭД каскады могут возникать при попадании электронов высокой энергии в электромагнитное поле, например, в столкновениях с лазерными имульсами [45, 46] или в сильных магнитных полях [47, 48]. Такие каскады напоминают хорошо известные широкие атмосферные ливни, порождаемые космическими лучами в атмосфере Земли [49, 50]. Каскады, генерируемые быстрыми частицами во внешнем электромагнитном поле, в дальнейшем для краткости мы будем называть каскадами ливневого или S-типа1. В некотором смысле можно говорить о том, что каскады S-типа уже наблюдались в лабораторных условиях. Так, первые экспериментальные проверки КЭД в интенсивных полях были проведены два десятилетия назад на Стэнфордском линейном ускорителе (SLAC) в эксперименте E144, в котором впервые наблюдалось нелинейное обратное комптоновское рассеяние и нелинейный процесс Брейта-Уилера [51-53]. В ходе эксперимента пучок электронов с энергией 46.6 ГэВ сталкивался с лазерным полем интенсивности порядка 1018 Вт/см2. Электроны излучали жесткие фотоны, часть которых в свою очередь рождала вторичные электрон-позитрон-ные пары. Хотя в эксперименте рождалось всего 2 электрон-позитронных пары на 100 электронов из налетающего пучка, можно считать это первым и на настоящий момент единственным наблюдением S-каскада в лабораторных условиях. Стоит отметить, что результаты эксперимента хорошо согласуются с теоретическими предсказаниями КЭД внешнего поля [3, 37]. На планируемых установках [22, 24] можно будет воспроизвести подобный эксперимент на принципиально новом уровне. Вместо редких событий излучения фотонов и рождения пар будут наблюдаться длинные цепочки последовательных событий этих процессов.

Еще один механизм развития КЭД каскадов — за счет ускорения заряженных частиц лазерным полем — представляет гораздо больший интерес. В работе [31] показано, что затравочный электрон, помещенный в состоянии покоя в фокус двух встречных оптических лазерных импульсов высокой интенсивности, ускоряется полем и через короткий промежуток времени (по сравнению с пери-

1 От англ. «shower».

одом поля) излучает жесткий фотон. Этот фотон в свою очередь может родить пару вторичных заряженных частиц, которые снова будут ускорены полем аналогично затравочному электрону. Согласно оценкам при суммарной интенсивности поля порядка 1025 Вт/см2 этот процесс может многократно повторяться, формируя самоподдерживающийся каскад. У этого эффекта есть общие черты с таунсендовским разрядом в газах [54] и лавинным пробоем в диэлектриках или полупроводниках [55]. Будем называть их каскадами лавинного или A-типа2. Их принципиальное отличие от каскадов S-типа заключается в том, что в ходе развития таких каскадов частицы черпают энергию из внешнего поля3. Интенсивное развитие лавинообразного процесса может привести к тому, что суммарная энергия образованных частиц сравнится по порядку величины с энергией внешнего поля, то есть в результате генерации электрон-позитрон-фотонной плазмы лазерный импульс может истощиться. Это накладывает естественное ограничение на достижимую интенсивность лазерного излучения [31]. Каскады A-типа никогда не наблюдались в лабораторных условиях из-за нехватки интенсивности современных лазерных установок, и поэтому представляют особенный интерес.

Теория каскадов A-типа впервые была представлена в работе [31] в рамках модели вращающегося однородного электрического поля, которое может быть получено, например, в фокальной плоскости двух встречных лазерных импульсов циркулярной поляризации. Эта конфигурация не является единственной, допускающей развитие каскадов при помещении затравочных частиц в переменное поле. Так, например, в работе [57] показано, что при выполнении необходимых условий возможно возникновение каскадов в стоячих волнах произвольной поляризации, а также более подробно обсуждаются случаи циркулярно- и линейно-поляризованных волн. В частности, показано, что порог напряженности,

2 От англ. «avalanche».

3 Существование двух типов КЭД каскадов также было отмечено в работе [56], однако их подробный сравнительный анализ не проводился.

необходимый для развития каскадов, выше в линейно-поляризованной волне, чем в циркулярно-поляризованной. Авторами [58] разработан феноменологический подход к рассмотрению каскадов во вращающемся поле, а в работе [59] предпринята попытка обобщения качественной теории на случай стоячих волн линейной и циркулярной поляризации. Существующие на настоящий момент попытки построения теоретического описания каскадов ограничены упрощенными моделями поля, в то время как предполагается, что в эксперименте будут использоваться сильно фокусированные лазерные пучки с достаточно сложной структурой. В связи с этим актуален вопрос о разработке общего описания процесса зарождения каскадов A-типа, позволяющего рассмотреть более сложные конфигурации поля.

Практически с момента первого предсказания для более точного анализа образования A-каскадов стало применяться численное моделирование методом Монте-Карло [60, 61], развитое в дальнейшем [62, 63] для проверки теории каскадов [31]. По существу такое моделирование соответствует решению кинетических уравнений без учета коллективных эффектов и обратного влияния образующейся плазмы на лазерное поле [58, 63]. Этот подход обоснован лишь при небольших плотностях образующейся электрон-позитронной плазмы, однако для исследования предсказанного эффекта истощения поля интенсивного лазера [31] учет обратного влияния необходим. Впервые этот эффект был рассмотрен с помощью двухмерного гибридного численный кода [64], основанного на методе «частиц в ячейке» (PIC), который позволяет учесть плазменные эффекты, скомбинированного с методом Монте-Карло для учета квантовых процессов излучения и фоторождения. С использованием такого подхода было впервые показано [64, 65], что развитие самоподдерживающихся КЭД каскадов приводит к перераспределению энергии из поля лазера в образующуюся электрон-позитрон-фотонную плазму и к поглощению лазерного импульса. Позднее подобные PIC-MC коды, обобщенные на трехмерный случай, появились у ряда других групп [66-69], см. также обзор [70]. С использованием аналитических моделей

и одного из таких кодов показано [68], что эффект обратного влияния генерируемой плазмы мал при инициировании каскадов лазерными установками мощности порядка 10 ПВт, но при использовании установок мощностью 100 ПВт и более необходимо учитывать поглощение лазерного поля генерируемой плазмой. С помощью Р1С-МС моделирования также было показано, что каскады могут развиваться при взаимодействии лазерных импульсов с твердотельными мишенями [71-77]. Стоит отметить, что при развитии каскадов происходит преобразование сверхмощных лазерных импульсов оптического диапазона в жесткое рентгеновское излучение [72, 78-81], и этот эффект может быть использован для практических приложений.

Согласно результатам численного моделирования, проведенного независимыми группами, зарождение каскадов А-типа возможно при интенсивностях поля порядка 1024 Вт/см2 [63, 65, 82, 83], что на порядок меньше предсказания качественной теории [31]. Эти значения близки к интенсивностям, которые по прогнозам будут достигнуты в лабораторных условиях в ближайшие годы и составляют 1023^ 1024 Вт/см2. С целью поиска оптимальной схемы проведения будущих экспериментов представляют интерес подробные исследования влияния параметров поля на зарождение и динамику каскадов. Существенным оказывается вопрос о выборе поляризации, который обсуждается в работах [59, 83-85] на примере каскадов, развивающихся при помещении затравочной частицы в фокус двух сталкивающихся лазерных импульсов. Движение заряженных частиц в интенсивных линейно- и циркулярно-поляризованных волнах существенно различается [86-88], что приводит к значительным отличиям в динамике каскадов. Хотя выбор циркулярной поляризации кажется предпочтительным с точки зрения множественности каскада [59], такая схема требует очень точного соблюдения начальных условий для затравочных частиц, и по мнению авторов [83, 85] в более реалистичном сценарии выбор линейной поляризации может оказаться более эффективным. Остается открытым вопрос о поиске новых конфигураций поля, позволяющих добиться большей множественности каскада

при минимальных требованиях к будущим установкам, например, за счет более сложной геометрии сталкивающихся лазерных пучков и точной настройки их параметров.

При обсуждении зарождения каскадов А-типа как правило предполагается, что затравочная частица уже помещена в область фокуса сильного лазерного поля, и вопрос о методах инжекции остается за рамками исследования. Однако указанная проблема является нетривиальной, в первую очередь, из-за наличия пондеромоторных сил, препятствующих инжекции заряженных частиц в область сильного поля [89]. Использование твердотельных мишеней решает данный вопрос [71-77], однако исследование явлений КЭД при таком взаимодействии осложняется множеством дополнительных плазменных эффектов и влиянием ионов. Также предлагается обжимать разреженные газы лазерными импульсами [82] так, чтобы затравочные электроны образовывались благодаря ионизации предымпульсами, однако при такой схеме они могут покинуть область сильного поля из-за пондеромоторной силы еще до того, как начнется каскад. По этим причинам необходим новый реалистичный способ инжекции частиц в область сильного поля, который был бы лишен указанных недостатков.

При рассмотрении эффектов КЭД во внешнем лазерном поле обычно предполагается, что частота излучения лежит в оптическом диапазоне в соответствии с проектами лазерных установок нового поколения. Тем не менее, целесообразно рассмотреть вопрос о том, как влияет повышение частоты поля на развитие эффектов КЭД, например, процесса рождения пар из вакуума в присутствии сильного поля. Известно [90-92], что в поле одиночного сильно фокусированного лазерного импульса оптической частоты будет происходить спонтанное рождение электрон-позитронных пар, если интенсивность поля превышает 1028 Вт/см2, но при лобовом столкновении двух таких импульсов достаточно интенсивности каждого из них порядка 1026 Вт/см2. С точки зрения вопроса о понижении требований к лазерным установкам интересно рассмотреть столкно-

вение оптического лазерного пучка с когерентным импульсом жесткого рентгеновского или гамма-излучения, как предложено в [93], а также обсуждалось в [94]. Подобные импульсы могут быть получены различными способами: с помощью лазера на свободных электронах (в качестве актуального примера можно рассматривать установку XFEL [95]), или с использованием современных технологий компрессии, например, концепции «релятивистского летящего зеркала» (Relativistic Flying Mirror) [96]. Согласно гипотезе Таджимы-Муру [97], для получения импульсов высокой частоты и большой интенсивности необходимо сокращать длительность таких импульсов.

В самом общем случае можно рассматривать короткие высокочастотные импульсы произвольной интенсивности, но при этом важно выбрать подходящий теоретический подход для их описания. Интенсивный оптический лазерный импульс, состоящий из большого числа когерентных мягких фотонов, можно с высокой точностью рассматривать как внешнее классическое поле, например, как плоскую волну. Конечная длительность оптического импульса может оказывать влияние на эффект рождения пар [98-101], однако для простоты будем считать его очень длинным по сравнению с высокочастотным импульсом. Короткий импульс, взаимодействующий с оптическим, при аккуратном подходе к задаче следует рассматривать как пучок когерентных фотонов. При этом необходимо учитывать, что в процесс образования пары может давать вклад как малое, так и большое количество фотонов из короткого импульса. Другими словами, следует рассматривать задачу полностью квантово-механически относительно короткого высокочастотного импульса, однако такой общий подход не может быть явно реализован ввиду значительных технических трудностей. Обобщая существующие методы, в настоящее время возможно рассматривать короткие импульсы высокой частоты либо как совокупность отдельных некогерентных фотонов, т.е. учитывать только диаграммы с одним жестким фотоном и произвольным числом мягких оптических фотонов, и использовать соответствующие выражения для вероятностей [35, 36, 38], либо, если плотность

жестких фотонов велика, как еще одно внешнее классическое поле, например, встречной плоской волны, и рассматривать процесс рождения пар из вакуума полностью непертурбативно аналогично работе [92]. В обоих случаях полная вероятность образования пары выражается через безразмерные инвариантные параметры [35, 36, 38, 92]. Ввиду принципиального различия этих методов ранее никогда не производилось их прямое сопоставление, а так же не существует оценок применимости каждого из них в терминах общей системы инвариантных параметров. По всей видимости, области их применимости не имеют пересечений в пространстве параметров, и требуется разработка новых непер-турбатиных подходов к описанию нелинейных процессов КЭД в присутствии высокочастотных сильных полей.

Цели и задачи диссертационной работы.

Целью настоящей диссертационной работы являлось исследование процессов формирования КЭД каскадов и рождения электрон-позитронных пар в интенсивных лазерных импульсах, а также в столкновениях пучков быстрых заряженных частиц или фотонов высокой частоты с такими полями. В частности, одной из главных целей была разработка теоретической модели зарождения КЭД каскадов во внешнем электромагнитном поле, а также моделирование возникновения и динамики каскадов в полях, образованных фокусированными лазерными импульсами сверхвысокой интенсивности, и выработка рекомендаций по постановке будущих экспериментов, нацеленных на обнаружение таких каскадов. Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Разработка теоретической модели зарождения самоподдерживающихся КЭД каскадов при помещении затравочной заряженной частицы в область сильного слабо неоднородного и медленно меняющегося (по сравнению с характерными масштабами формирования процессов КЭД) электромагнитного поля электрического типа поля произвольной конфигурации.

2. Численное моделирование зарождения и динамики самоподдерживающихся КЭД каскадов в электромагнитных полях, сформированных фокусированными лазерными импульсами сверхвысокой интенсивности, в частности, в одиночном лазерном импульсе и в поле нескольких сталкивающихся импульсов.

3. Поиск оптимальной конфигурации лазерной установки, нацеленной на обнаружение самоподдерживающихся КЭД каскадов, в которой требования к полной мощности лазерного излучения будут минимальны.

4. Моделирование КЭД каскадов, возникающих при инжекции частиц высокой энергии в область фокуса интенсивного лазерного излучения.

5. Решение задачи о рождении электрон-позитронных пар при столкновении сверхкороткого импульса высокой частоты, например, рентгеновского диапазона, с полем оптического лазерного импульса.

Научная новизна.

• Разработана новая теоретическая модель самоподдерживающихся КЭД каскадов, обобщающая известные ранее результаты для упрощенных моделей лазерного поля на случай произвольного медленно меняющегося слабо неоднородного электромагнитного поля электрического типа. Данная модель позволяет проводить оценку характеристик поля, необходимых для зарождения самоподдерживающихся каскадов. С ее использованием впервые показано, что каскады могут развиваться в поле одиночного сильно фокусированного лазерного импульса.

• Предложена новая конфигурация лазерной установки, в которой полная интенсивность, необходимая для наблюдения формирования КЭД каскадов при помещении затравочного электрона в область фокуса, снижается вплоть до ~ 1023 Вт/см2. Результат достигается за счет использования многопучковой технологии и точной настройки поляризации каждого из импульсов.

• Впервые предсказан эффект коллапса и возрождения КЭД каскадов. Эффект возникает при столкновении быстрых электронов с электромагнитным полем, удовлетворяющим условиям возникновения самоподдерживающихся каскадов, и заключается в превращении каскада ливневого или Б-типа, образующегося за счет энергии налетающих частиц, в самоподдерживающийся каскад А-типа, протекающий за счет ускорения частиц лазерным полем. На основе эффекта предложена реалистичная схема инжекции затравочных частиц для инициирования каскадов А-типа в области сильного электромагнитного поля.

• Предложена новая точно решаемая непертурбативная модель образования электрон-позитронных пар из вакуума при столкновении сверхкороткого импульса высокой частоты, напряженность поля которого описывается дельта-функцией Дирака, с постоянным скрещенным электромагнитным полем, соответствующим медленно меняющемуся оптическому лазерному импульсу. Данная модель впервые позволяет установить переход между пертурбативным подходом и полностью непертурбативным приближением локально постоянного поля.

Теоретическая и практическая значимость.

Разработанная теоретическая модель самоподдерживающихся каскадов может быть использована для: 1) разработки критериев возникновения каскадов в электромагнитных полях различных конфигураций; 2) поисков оптимальных конфигураций лазерных установок, нацеленных на обнаружение каскадов в лабораторных условиях; 3) поиска конфигураций поля, в которых можно избежать возникновения каскадов и, следовательно, истощения энергии поля, что имеет значение в рамках обсуждений о максимально достижимой интенсивности лазерного излучения.

Предложенная многопучковая схема лазерной установки, а также метод инжекции затравочных частиц в область сильного поля могут быть реализованы в будущих экспериментах, нацеленных на обнаружение каскадов.

На основе эффекта коллапса и возрождения каскадов предложена реалистичная схема инжекции затравочных частиц в область сильного поля для инициирования самоподдерживающихся КЭД каскадов. Также выработаны рекомендации по проведению будущих экспериментов, нацеленных на обнаружение самоподдерживающихся КЭД каскадов.

Точно решаемая модель образования электрон-позитронных пар при столкновении сверхкороткого импульса высокой частоты с оптическим лазерным импульсом позволяет глубже понять непертурбативные аспекты КЭД во внешнем поле и нестабильности вакуума, и может дать указания для дальнейших исследований взаимодействия интенсивных сверхкоротких лазерных импульсов с вакуумом и веществом.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоретическая модель зарождения самоподдерживающихся КЭД каскадов при помещении затравочного электрона в слабо неоднородное медленно меняющееся во времени электромагнитное поле электрического типа произвольной конфигурации.

2. Предсказание возникновения самоподдерживающихся КЭД каскадов в одиночном сильно фокусированном лазерном импульсе при интенсивности поля > 1026 Вт/см2.

3. Схема проведения эксперимента по инициированию самоподдерживающихся каскадов с использованием многопучковой лазерной установки, позволяющая снизить требуемую полную интенсивность до ~ 1023 Вт/см2.

4. Предсказание эффекта коллапса и возрождения КЭД каскадов при столкновении пучка электронов высокой энергии с интенсивным лазерным полем, то есть превращения каскада из «ливневого», формирующегося за счет энергии пучка, в самоподдерживающийся, развивающийся за счет ускорения частиц полем.

5. Точно решаемая непертурбативная модель образования электрон-позитрон-ной плазмы из вакуума при столкновении сверхкороткого импульса высокой частоты с полем оптического лазерного импульса.

Степень достоверности и апробация результатов.

Достоверность полученных результатов обеспечена использованием общепринятых подходов и проверками на соответствие с известными ранее результатами. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 7 международных конференциях:

• The 22nd Annual International Laser Physics Workshop (LPHYS'13) (15-19 июля

2013, Прага, Чешская Республика);

• The 23rd Annual International Laser Physics Workshop (LPHYS'14) (14-18 июля

2014, София, Болгария);

• International Conference on Ultra-High Intensity Lasers (ICUIL) 2014 (12-17 октября 2014, Панаджи, Индия);

• The 24th Annual International Laser Physics Workshop (LPHYS'15) (21-25 августа 2015, Шанхай, Китай);

• V Международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование» (5-7 апреля 2016, Москва);

• The 25th Annual International Laser Physics Workshop (LPHYS'16) (11-15 июля 2016, Ереван, Армения);

• III Международная конференция «Лазерные, плазменные исследования и технологии» (24-27 января 2017, Москва);

а также на 3 российских конференциях:

• Научная сессия НИЯУ МИФИ-2015 (16-20 февраля 2015, Москва);

• Конференция фонда «Династия» «Молодые ученые России» 2015 (13-14 апреля 2015, Москва);

• Семинар «Басовские чтения» 2015 (14-15 декабря 2015г., Москва).

Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 7 статьях в рецензируемых журналах [102-108], индексируемых в международных базах данных Web of Science и SCOPUS.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миронов, Арсений Антонович, 2017 год

Литература

1. Sauter F. Über das Verhalten eines Elektrons im homogenen elektrischen Feld nach der relativistischen Theorie Diracs // Zeitschrift für Physik. 1931. Vol. 69, no. 11-12. P. 742-764.

2. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Physical Review. 1951. Vol. 82, no. 5. P. 664.

3. Narozhny N., Fedotov A. Extreme light physics // Contemporary Physics. 2015. Vol. 56, no. 3. P. 249-268.

4. Daugherty J., Harding A. K. Electromagnetic cascades in pulsars // The As-trophysical Journal. 1982. Vol. 252. P. 337-347.

5. Michel F. C. Theory of pulsar magnetospheres // Reviews of Modern Physics. 1982. Vol. 54, no. 1. P. 1.

6. Rea N. Magnetars: neutron stars with huge magnetic storms // Proceedings of the International Astronomical Union. 2012. Vol. 8, no. S291. P. 11-18.

7. Gershtein S., Zeldovich Y. Positron production during the mutual approach of heavy nuclei and the polarization of the vacuum // Sov. Phys. JETP. 1970. Vol. 30. P. 358-361.

8. Kienle P. Positrons from heavy ion collisions // Annual Review of Nuclear and Particle Science. 1986. Vol. 36, no. 1. P. 605-648.

9. Greiner W., Reinhardt J. Quantum Electrodynamics of Strong Fields // Quantum Electrodynamics. Berlin Heidelberg: Springer, 2009. P. 361-424.

10. Baur G. Coherent photon-photon interactions in very peripheral relativistic heavy ion collisions // The European Physical Journal D-Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. 2009. Vol. 55, no. 2. P. 265-269.

11. Strickland D., Mourou G. Compression of amplified chirped optical pulses // Optics Communications. 1985. Vol. 56, no. 3. P. 219 - 221.

12. Yanovsky V., Chvykov V., Kalinchenko G. et al. Ultra-high intensity-300-TW laser at 0.1 Hz repetition rate // Optics Express. 2008. Vol. 16, no. 3.

P. 2109-2114.

13. Hernandez-Gomez C., Blake S. P., Chekhlov O. et al. The Vulcan 10 PW project // Journal of Physics: Conference Series. 2010. Vol. 244, no. 3. P. 032006.

14. Shaykin A., Kostyukov I. et al. Prospects of PEARL 10 and XCELS Laser Facilities // The review of laser engineering. 2014. Vol. 42, no. 2. P. 141-144.

15. Zou J., Le Blanc C., Papadopoulos D. et al. Design and current progress of the Apollon 10 PW project // High Power Laser Science and Engineering. 2015. Vol. 3. P. e2.

16. Le Garrec B., Sebban S., Margarone D. et al. ELI-beamlines: extreme light infrastructure science and technology with ultra-intense lasers. 2014.

17. Extreme Light Infrastracture Beamlines [сайт]. URL: https://www. eli-beams.eu/ (дата обращения: 2017-03-02).

18. Turcu I., Negoita F., Jaroszynski D. et al. High field physics and qed experiments at eli-np // Romanian Reports in Physics. 2016. Vol. 68. P. 145-231.

19. The White Book of ELI Nuclear Physics [сайт]. URL: http://www.eli-np. ro/documents/ELI-NP-WhiteBook.pdf (дата обращения: 2017-03-02).

20. Meyerhofer D., Bahk S., Bromage J. et al. OMEGA EP OPAL: A Path to a 100-PW Laser System // APS Meeting Abstracts. 2014.— oct. URL: http://meetings.aps.org/Meeting/DPP14/Session/UO5.6 (дата обращения: 2017-03-02).

21. Danson C., Hillier D., Hopps N., Neely D. Petawatt class lasers worldwide // High Power Laser Science and Engineering. 2015. Vol. 3.

22. ELI - Extreme Light Infrastructure Whitebook Science and Technology with Ultra-Intense Lasers / Ed. by G. Mourou, G. Korn, W. Sandner, J. Collier. THOSS Media GmbH, Wolfshagener Str. 56, 13187 Berlin, Germany: Andreas Thoss, 2011. URL: https://eli-laser.eu/media/1019/eli-whitebook. pdf (дата обращения: 2017-03-02).

23. Extreme Light Infrastracture [сайт]. URL: http://www.eli-laser.eu/ (дата

обращения: 2017-03-02).

24. Международный центр исследований экстремальных световых полей (ЦИЭС) // Exawatt Center for Extreme Light Studies (XCELS) [сайт]. URL: http://www.xcels.iapras.ru/img/xcels-project-russian%20version. pdf (дата обращения: 2017-03-02).

25. Tajima T., Mourou G. Zettawatt-exawatt lasers and their applications in ul-trastrong-field physics // Phys. Rev. ST Accel. Beams. 2002. —Mar. Vol. 5. P. 031301.

26. Mourou G. A., Tajima T., Bulanov S. V. Optics in the relativistic regime // Reviews of Modern Physics. 2006. Vol. 78, no. 2. P. 309.

27. Di Piazza A., Müller C., Hatsagortsyan K., Keitel C. Extremely high-intensity laser interactions with fundamental quantum systems // Reviews of Modern Physics. 2012. Vol. 84, no. 3. P. 1177.

28. Gonoskov A., Gonoskov I., Harvey C. et al. Probing Nonperturbative QED with Optimally Focused Laser Pulses // Phys. Rev. Lett. 2013.— Aug. Vol. 111. P. 060404.

29. Sarri G., Poder K., Cole J. et al. Generation of neutral and high-density electron-positron pair plasmas in the laboratory // Nature communications. 2015. Vol. 6.

30. Bell A., Kirk J. Possibility of prolific pair production with high-power lasers // Physical Review Letters. 2008. Vol. 101. P. 200403.

31. Fedotov A., Narozhny N., Mourou G., Korn G. Limitations on the attainable intensity of high power lasers // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105, no. 8. P. 080402.

32. Reiss H. R. Absorption of light by light // Journal of Mathematical Physics. 1962. Vol. 3, no. 1. P. 59-67.

33. Brown L. S., Kibble T. Interaction of intense laser beams with electrons // Physical Review. 1964. Vol. 133, no. 3A. P. A705.

34. Goldman I. Intensity effects in Compton scattering // Physics Letters. 1964.

Vol. 8, no. 2. P. 103-106.

35. Nikishov A., Ritus V. Quantum processes in the field of a plane electromagnetic wave and in a constant field. I // Sov. Phys. JETP. 1964. Vol. 19, no. 2. P. 529-541.

36. Nikishov A., Ritus V. Quantum processes in the field of a plane electromagnetic wave and in a constant field. II // Sov. Phys. JETP. 1964. Vol. 19, no. 5. P. 1191-1199.

37. Narozhnyi N., Nikishov A., Ritus V. Quantum processes in the field of a circularly polarized electromagnetic wave // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1964. Vol. 47. P. 930.

38. Ритус В., Никишов А. Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле // Труды ФИАН / Под ред. В. Гинзбург. Т. 111. М.: Наука, 1979.

39. Берестецкий В., Лифшиц Е., Питаевский Л. Квантовая электродинамика.-1980.-Изд.-2-ое. Москва: Наука, 1980.

40. Erber T. High-energy electromagnetic conversion processes in intense magnetic fields // Reviews of Modern Physics. 1966. Vol. 38, no. 4. P. 626.

41. Baier V., Katkov V. Quantum effects in magnetic bremsstrahlung // Physics Letters A. 1967. Vol. 25, no. 7. P. 492-493.

42. Narozhnyi N. Propagation of plane electromagnetic waves in a constant field // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. 1968. Vol. 28, no. 2. P. 371-374.

43. Baier V., Katkov V. Pair creation by a photon in an electric field // Physics Letters A. 2010. Vol. 374, no. 22. P. 2201-2206.

44. Katkov V. Production of a pair by a polarized photon in a uniform constant electromagnetic field // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2012. Vol. 114, no. 2. P. 226-233.

45. Sokolov I., Naumova N., Nees J., Mourou G. Pair Creation in QED-Strong Pulsed Laser Fields Interacting with Electron Beams // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105, no. 19. P. 195005.

46. Bulanov S., Schroeder C., Esarey E., Leemans W. Electromagnetic cascade in high-energy electron, positron, and photon interactions with intense laser pulses // Physical Review A. 2013. Vol. 87, no. 6. P. 062110.

47. Akhiezer A., Merenkov N., Rekalo A. On a kinetic theory of electromagnetic showers in strong magnetic fields // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 1994. Vol. 20, no. 9. P. 1499.

48. Anguelov V., Vankov H. Electromagnetic showers in a strong magnetic field // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 1999. Vol. 25, no. 8. P. 1755.

49. Auger P., Ehrenfest P., Maze R. et al. Extensive cosmic-ray showers // Reviews of Modern Physics. 1939. Vol. 11, no. 3-4. P. 288.

50. Gaisser T. et al. Cosmic rays and particle physics. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1990.

51. Bula C., McDonald K., Prebys E. et al. Observation of nonlinear effects in Compton scattering // Physical Review Letters. 1996. Vol. 76, no. 17. P. 3116.

52. Burke D., Field R., Horton-Smith G. et al. Positron production in multiphoton light-by-light scattering // Physical Review Letters. 1997. Vol. 79, no. 9. P. 1626.

53. Bamber C., Boege S., Koffas T. et al. Studies of nonlinear QED in collisions of 46.6 GeV electrons with intense laser pulses // Physical Review D. 1999. Vol. 60, no. 9. P. 092004.

54. Howatson A. Oxford: Pergamon press, 1976.

55. Levinshtein M., Kostamovaara J., Vainshtein S. Singapore: World Scientific, 2005.

56. King B., Elkina N., Ruhl H. Photon polarization in electron-seeded pair-creation cascades // Phys. Rev. A. 2013.— Apr. Vol. 87. P. 042117.

57. Bulanov S. S., Esirkepov T. Z., Thomas A. G. R. et al. Schwinger Limit Attainability with Extreme Power Lasers // Phys. Rev. Lett. 2010.— Nov. Vol. 105. P. 220407.

58. Nerush E., Bashmakov V., Kostyukov I. Y. Analytical model for electromagnetic cascades in rotating electric field // Physics of Plasmas. 2011. Vol. 18, no. 8. P. 083107.

59. Bashmakov V., Nerush E., Kostyukov I. Y. et al. Effect of laser polarization on quantum electrodynamical cascading // Physics of Plasmas. 2014. Vol. 21, no. 1. P. 013105.

60. Kirk J. G., Bell A., Arka I. Pair production in counter-propagating laser beams // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2009. Vol. 51, no. 8. P. 085008.

61. Duclous R., Kirk J. G., Bell A. Monte Carlo calculations of pair production in high-intensity laser-plasma interactions // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2010. Vol. 53, no. 1. P. 015009.

62. Legkov M., Fedotov A., Elkina N., Ruhl H. 2D Monte Carlo simulation of cascades in rotating electrical field // Lasers, Applications, and Technologies / International Society for Optics and Photonics. 2010. P. 799423-799423.

63. Elkina N., Fedotov A., Kostyukov I. Y. et al. QED cascades induced by circularly polarized laser fields // Physical Review Special Topics-Accelerators and Beams. 2011. Vol. 14, no. 5. P. 054401.

64. Nerush E., Kostyukov I. Y., Fedotov A. et al. Laser field absorption in self-generated electron-positron pair plasma // Physical review letters. 2011. Vol. 106, no. 3. P. 035001.

65. Nerush E., Kostyukov I. Y. Kinetic modelling of quantum effects in laser-beam interaction // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2011. Vol. 653, no. 1. P. 7-10.

66. Ridgers C., Kirk J. G., Duclous R. et al. Modelling gamma-ray photon emission and pair production in high-intensity laser-matter interactions // Journal of Computational Physics. 2014. Vol. 260. P. 273-285.

67. Vranic M., Grismayer T., Martins J. L. et al. Particle merging algorithm for

PIC codes // Computer Physics Communications. 2015. Vol. 191. P. 65-73.

68. Grismayer T., Vranic M., Martins J. L. et al. Laser absorption via quantum electrodynamics cascades in counter propagating laser pulses // Physics of Plasmas. 2016. Vol. 23, no. 5. P. 056706.

69. Lobet M., d'Humieres E., Grech M. et al. Modeling of radiative and quantum electrodynamics effects in PIC simulations of ultra-relativistic laser-plasma interaction // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. Vol. 688. 2016. P. 012058.

70. Gonoskov A., Bastrakov S., Efimenko E. et al. Extended particle-in-cell schemes for physics in ultrastrong laser fields: Review and developments // Physical Review E. 2015. Vol. 92, no. 2. P. 023305.

71. Ridgers C., Brady C. S., Duclous R. et al. Dense electron-positron plasmas and ultraintense 7 rays from laser-irradiated solids // Physical review letters. 2012. Vol. 108, no. 16. P. 165006.

72. Ridgers C., Brady C. S., Duclous R. et al. Dense electron-positron plasmas and bursts of gamma-rays from laser-generated quantum electrodynamic plasmas a // Physics of Plasmas. 2013. Vol. 20, no. 5. P. 056701.

73. Kirk J., Bell A., Ridgers C. Pair plasma cushions in the hole-boring scenario // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2013. Vol. 55, no. 9. P. 095016.

74. Chang H., Qiao B., Xu Z. et al. Generation of overdense and high-energy electron-positron-pair plasmas by irradiation of a thin foil with two ultraintense lasers // Physical Review E. 2015. Vol. 92, no. 5. P. 053107.

75. Luo W., Zhu Y.-B., Zhuo H.-B. et al. Dense electron-positron plasmas and gamma-ray bursts generation by counter-propagating quantum electrodynamics-strong laser interaction with solid targets // Physics of Plasmas. 2015. Vol. 22, no. 6. P. 063112.

76. Liu J.-X., Ma Y.-Y., Zhao J. et al. High-flux low-divergence positron beam generation from ultra-intense laser irradiated a tapered hollow target // Physics of Plasmas. 2015. Vol. 22, no. 10. P. 103102.

77. Kostyukov I. Y., Nerush E. Production and dynamics of positrons in ultrahigh intensity laser-foil interactions // Physics of Plasmas. 2016. Vol. 23, no. 9. P. 093119.

78. Nerush E., Kostyukov I. Y., Ji L., Pukhov A. Gamma-ray generation in ul-trahigh-intensity laser-foil interactions // Physics of Plasmas. 2014. Vol. 21, no. 1. P. 013109.

79. Ji L., Pukhov A., Kostyukov I. Y. et al. Radiation-Reaction Trapping of Electrons in Extreme Laser Fields // Physical review letters. 2014. Vol. 112, no. 14. P. 145003.

80. Brady C., Ridgers C., Arber T., Bell A. Synchrotron radiation, pair production, and longitudinal electron motion during 10-100 PW laser solid interactions // Physics of Plasmas. 2014. Vol. 21, no. 3. P. 033108.

81. Bashinov A., Gonoskov A., Kim A. et al. New horizons for extreme light physics with mega-science project XCELS // The European Physical Journal Special Topics. 2014. Vol. 223, no. 6. P. 1105-1112.

82. Tamburini M., Di Piazza A., Keitel C. H. Laser-pulse-shape control of seeded QED cascades // arXiv preprint arXiv:1511.03987. 2015.

83. Grismayer T., Vranic M., Martins J. L. et al. Seeded QED cascades in counter propagating laser pulses // arXiv preprint arXiv:1511.07503. 2015.

84. Bashmakov V., Nerush E., Kostyukov I. Y. Short-time particle motion in strong standing electromagnetic wave // PROBLEMS OF ATOMIC SCIENCE AND TECHNOLOGY. 2013. no. 4. P. 241-244.

85. Jirka M., Klimo O., Bulanov S. et al. Electron dynamics and 7 and e- e+ production by colliding laser pulses // Physical Review E. 2016. Vol. 93, no. 2. P. 023207.

86. Gonoskov A., Bashinov A., Gonoskov I. et al. Anomalous radiative trapping in laser fields of extreme intensity // channels. 2013. Vol. 1. P. 6.

87. Bashinov A., Kim A., Sergeev A. Impact of quantum effects on relativistic electron motion in a chaotic regime // Physical Review E. 2015. Vol. 92, no. 4.

P. 043105.

88. Bashinov A., Kumar P., Kim A. Particle dynamics and spatial e-e+ density structures at QED cascading in circularly polarized standing waves // arXiv preprint arXiv:1610.08847. 2016.

89. Fedotov A., Elkina N., Gelfer E. et al. Radiation friction versus ponderomotive effect // Physical Review A. 2014. Vol. 90. P. 053847.

90. Narozhny N., Bulanov S., Mur V., Popov V. e+ e-pair production by a focused laser pulse in vacuum // Physics Letters A. 2004. Vol. 330, no. 1. P. 1-6.

91. Narozhny N., Bulanov S., Mur V., Popov V. On e+ e- pair production by colliding electromagnetic pulses // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. 2004. Vol. 80, no. 6. P. 382-385.

92. Bulanov S., Narozhny N., Mur V., Popov V. Electron-positron pair production by electromagnetic pulses // Journal of experimental and theoretical physics. 2006. Vol. 102, no. 1. P. 9-23.

93. Dunne G. V., Gies H., Schützhold R. Catalysis of Schwinger vacuum pair production // Physical Review D. 2009. Vol. 80, no. 11. P. 111301.

94. Otto A., Nousch T., Seipt D. et al. Pair production by Schwinger and Bre-it-Wheeler processes in bi-frequent fields // Journal of Plasma Physics. 2016. Vol. 82, no. 03. P. 655820301.

95. Group D. X. P. Beam Parameters of FEL Radiation [сайт]. URL: http: //xfel.desy.de/technical_information/photon_beam_parameter/ (дата обращения: 2017-03-02).

96. Bulanov S. V., Esirkepov T., Tajima T. Light intensification towards the Schwinger limit // Physical review letters. 2003. Vol. 91, no. 8. P. 085001.

97. Mourou G., Tajima T. More intense, shorter pulses // Science. 2011. Vol. 331, no. 6013. P. 41-42.

98. Titov A., Takabe H., Kampfer B., Hosaka A. Enhanced subthreshold e+ e-production in short laser pulses // Physical review letters. 2012. Vol. 108, no. 24. P. 240406.

99. Nousch T., Seipt D., Kampfer B., Titov A. Pair production in short laser pulses near threshold // Physics Letters B. 2012. Vol. 715, no. 1. P. 246-250.

100. Titov A., Kampfer B., Takabe H., Hosaka A. Breit-Wheeler process in very short electromagnetic pulses // Physical Review A. 2013. Vol. 87, no. 4. P. 042106.

101. Titov A. I., Kampfer B., Hosaka A., Takabe H. Quantum processes in short and intensive electromagnetic fields // Physics of Particles and Nuclei. 2016. Vol. 47, no. 3. P. 456-487.

102. Fedotov A., Mironov A. Pair creation by collision of an intense laser pulse with a high-frequency photon beam // Physical Review A. 2013. Vol. 88, no. 6. P. 062110.

103. Mironov A., Narozhny N., Fedotov A. Collapse and revival of electromagnetic cascades in focused intense laser pulses // Physics Letters A. 2014. Vol. 378. P. 3254.

104. Gelfer E., Mironov A., Fedotov A. et al. Optimized multibeam configuration for observation of QED cascades // Physical Review A. 2015. Vol. 92, no. 2. P. 022113.

105. Mironov A. A., Fedotov A. M., Narozhnyi N. B. Generation of quantum-elec-trodynamic cascades in oblique collisions of ultrarelativistic electrons with an intense laser field // Quantum Electronics. 2016. Vol. 46, no. 4. P. 305.

106. Gelfer E., Mironov A., Fedotov A. et al. Perspectives of implementing QED cascade production with the next generation of laser facilities // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. Vol. 594. 2015. P. 012054.

107. Fedotov A., Narozhny N., Mironov A. Threshold Laser Intensity Refinement and Scenarios for Observation of QED Cascade Production // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. Vol. 691. 2016. P. 012023.

108. Mironov A., Fedotov A., Narozhny N. Observable Features of QED Cascades in Collisions of GeV Electrons with Intense Laser Pulses // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. Vol. 826. 2017. P. 012029.

109. Landau L. D., Landau E. M. Oxford: Butterworth-Heinemann, 1975. Vol. 2.

110. Taub A. Orbits of charged particles in constant fields // Physical Review. 1948. Vol. 73, no. 7. P. 786.

111. Narozhny N., Fofanov M. Scattering of relativistic electrons by a focused laser pulse // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2000. Vol. 90, no. 5. P. 753-768.

112. Agostinelli S., Allison J., Amako K. a. et al. GEANT4—a simulation toolkit // Nuclear instruments and methods in physics research section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2003. Vol. 506, no. 3. P. 250-303.

113. Vay J.-L. Simulation of beams or plasmas crossing at relativistic velocity a // Physics of Plasmas. 2008. Vol. 15, no. 5. P. 056701.

114. Bulanov S., Mur V., Narozhny N. et al. Multiple colliding electromagnetic pulses: a way to lower the threshold of e+ e-pair production from vacuum // Physical review letters. 2010. Vol. 104, no. 22. P. 220404.

115. Fedotov A. Electron-positron pair creation by a strong tightly focused laser field // Laser physics. 2009. Vol. 19, no. 2. P. 214-221.

116. Bahk S.-W., Rousseau P., Planchon T. et al. Generation and characterization of the highest laser intensities (1022W/cm2) // Optics letters. 2004. Vol. 29, no. 24. P. 2837-2839.

117. Nerush E., Kostyukov I., Fedotov A. et al. Laser field absorption in self-generated electron-positron pair plasma // Physical Review Letters. 2011. Vol. 106. P. 035001.

118. Salamin Y. I., Keitel C. H. Electron acceleration by a tightly focused laser beam // Physical review letters. 2002. Vol. 88, no. 9. P. 095005.

119. Leemans W., Nagler B., Gonsalves A. et al. GeV electron beams from a centimetre-scale accelerator // Nature physics. 2006. Vol. 2, no. 10. P. 696-699.

120. Maksimchuk A., Reed S., Naumova N. et al. Energy scaling of quasi-monoen-ergetic electron beams from laser wakefields driven by 40-TW ultra-short puls-

es // Applied Physics B: Lasers and Optics. 2007. Vol. 89, no. 2. P. 201-207.

121. Gupta D. N., Kant N., Kim D. E., Suk H. Electron acceleration to GeV energy by a radially polarized laser // Physics Letters A. 2007. Vol. 368, no. 5. P. 402-407.

122. Bochkarev S., Popov K., Bychenkov V. Y. Vacuum electron acceleration by a tightly focused, radially polarized, relativistically strong laser pulse // Plasma physics reports. 2011. Vol. 37, no. 7. P. 603-614.

123. Ji L., Pukhov A., Nerush E. et al. Energy partition, 7-ray emission, and radiation reaction in the near-quantum electrodynamical regime of laser-plasma interaction // Physics of Plasmas. 2014. Vol. 21, no. 2. P. 023109.

124. Baier V., Katkov V., Strakhovenko V. AN OPERATOR APPROACH TO QUANTUM ELECTRODYNAMICS IN EXTERNAL FIELD. 2: ELECTRON LOOPS // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1975. Vol. 68. P. 405.

125. Brezin E., Itzykson C. Pair production in vacuum by an alternating field // Physical Review D. 1970. Vol. 2, no. 7. P. 1191.

126. Popov V. Production of e+ e-Pairs in an Alternating External Field // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. 1971. Vol. 13. P. 195.

127. Volkov D. On a class of solutions of the Dirac equation // Z. Phys. 1935. Vol. 94. P. 250-260.

128. Zakowicz S. Square-integrable wave packets from the Volkov solutions // Journal of mathematical physics. 2005. Vol. 46, no. 3. P. 032304.

129. Boca M. On the properties of the Volkov solutions of the Klein-Gordon equation // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2011. Vol. 44, no. 44. P. 445303.