Гармонический анализ на базе дискретного преобразования Ахмеда-Рао тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Коровкин, Александр Владимирович

  • Коровкин, Александр Владимирович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2004, Санкт-Петербург
  • Специальность ВАК РФ01.01.07
  • Количество страниц 93
Коровкин, Александр Владимирович. Гармонический анализ на базе дискретного преобразования Ахмеда-Рао: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.07 - Вычислительная математика. Санкт-Петербург. 2004. 93 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коровкин, Александр Владимирович

Введение

§1. Предварительные сведения.

§2. Базисы Ахмеда-Рао.

§3. Быстрое преобразование Ахмеда-Рао, связанное с прореживанием по частоте.

§4. Быстрое преобразование Ахмеда-Рао, связанное с ирореживанием но времени.

§5. Обобщенное преобразование Ахмеда-Рао.

§G. Примеры сжатия изображений на основе преобразования

Ахмеда-Рао.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Вычислительная математика», 01.01.07 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гармонический анализ на базе дискретного преобразования Ахмеда-Рао»

До 1970-х годов основным инструментом дискретного гармонического анализа являлось дискретное преобразование Фурье [2, 7, 18, 38]. В 1980-х годах стали больше уделять внимания другим ортогональным преобразованиям, таким как преобразование Уолша, Хаара, Виленкина—Крестенсона, дискретное косинусное и т.п. [1, G, 8, 11, 35]. Для всех указанных преобразовании были разработаны быстрые алгоритмы.

Одним из источников быстрых ортогональных преобразований является матричная факторизация — представление матрицы ортогонального преобразования в виде произведения слабозанолненных матриц. Эффективные расчётные формулы получаются путем использования индексной техники, когда при умножении разреженной матрицы на вектор убираются все операции с нулевыми элементами матриц. В последние годы был разработан новый подход к быстрым ортогональным преобразованиям. В работах [19, 20, 25, 2G] результаты промежуточных вычислений интерпретируются как коэффициенты разложения по некоторым ортогональным базисам. В пространстве дискретных периодических сигналов при длине периода, равной степени двойки, построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов, имеющих блочную структуру. В каждом блоке сигналы различаются лишь сдвигом аргумента. Из блоков, принадлежащим разным базисам рекуррентной последовательности, формируются обобщённые вейвлетные базисы. Это значительно расширяет возможности цифровой обработки сигналов. В работе [27] с аналогичных позиций проанализировано дискретное преобразование Уолша, а в [21, 28] — дискретное преобразование Виленкина—Крес-тенсона.

В диссертационной работе рассматривается дискретное преобразование Ахмеда-Рао. В отличии от традиционной ситуации, когда для получения быстрого алгоритма разложения сигнала фактори-зуется известная матрица ортогонального преобразования, а базисные функции выражены явно, в монографии [1] реализован обратный подход. Дискретное преобразование Ахмеда-Рао задаётся в виде произведения разреженных матриц, а свойства базисных сигналов нужно вывести из свойств матриц, входящих в факторизацию.

Целыо диссертационной работы является:

§1. Изучить структуру и фундаментальные свойства базисов Ахмеда-Рао.

§2. Построить быстрые алгоритмы декомпозиции и реконструкции сигналов и изображений по базисам Ахмеда-Рао.

§3. Разработать соответствующее программное обеспечение.

Приведем краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из шести параграфов, содержит 5 рисунков, одну таблицу и список литературы, состоящий из 4G наименований.

В первом параграфе вводится терминология и описываются основные объекты дискретного гармонического анализа. Дается определение и основные свойства перестановки reverse. Приводятся необходимые свойства кронекерова произведения матриц.

Во втором параграфе вводится определение функций Ахмеда-Рао и базисов Ахмеда-Рао как параметризованного семейства. Показано, что функции Уолша и экспоненциальный базис принадлежат семейству функций Ахмеда-Рао. Доказывается, что при каждом значении параметра функции Ахмеда-Рао образуют ортогональный базис в пространстве iV-нериодических сигналов. Рассмотрен ряд свойств функций Ахмеда-Рао, изучен вопрос об их частоте.

В третьем параграфе приводится факторизация матрицы преобразования Ахмеда-Рао, исследуются свойства матриц, входящих в факторизацию. Описывается быстрый алгоритм разложения сигнала но фиксированному базису из семейства базисов Ахмеда-Рао, связанный с прореживанием но частоте. Согласно подходу, описанному выше, строится рекуррентная последовательность ортогональных базисов, выводятся формулы декомпозиции и реконструкции сигнала. Приводится явный вид промежуточных базисов, формируется вейвлет-пакет.

В четвертом параграфе описывается быстрый алгоритм разложения сигнала но фиксированному базису из семейства базисов Ахмеда-Рао, связанный с прореживанием но времени. Получены результаты, аналогичные результатам третьего параграфа.

В пятом параграфе вводится понятие обобщенных функции Лх-меда-Рао. Устанавливается критерий ортогональности обобщенных функций Лхмеда-Рао. Описываются быстрые алгоритмы разложения сигнала — с прореживанием по частоте и с прореживанием по времени. Для обоих случаев строятся рекуррентные последовательности базисов, при этом финальным базисом являются обобщенные функции Лхмеда-Рао. Получен явный вид функций, входящих в базис. Показано, как из обобщенных функций Лхмеда-Рао получить дискретные функции Лхмеда-Рао, в том числе базисы Фурье и Уо-лша.

В шестом параграфе результаты параграфов 3-4 перенесены на двумерный случай. Описаны двумерные варианты быстрого преобразования Лхмеда-Рао, связанного с прореживанием но времени и с прореживанием но частоте. Описан алгоритм обработки как черно-белых, так и цветных изображений, являющийся алгоритмом сжатия с потерями. Приведены примеры такой обработки. Этот параграф диссертации во многом аналогичен работе [13], где в основе алгоритма сжатия лежит быстрое преобразование Хаара. Следует отметить также большое количество литературы по сжатию и обработке изображений [3, 33, 41, 42].

На защиту выносятся следующие основные результаты:

§1. В пространстве дискретных N-периодических сигналов построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов; приводящих к обобщенному базису Ахмеда-Рао.

§2. Получен явный вид функций из обобщенного базиса и указаны условия их ортогональности.

§3. Для функций из серии дискретных базисов Ахмеда-Рао, включающей базисы Фурье и Уолша, получено более простое явное представление и рассмотрен вопрос об их частоте.

§4. Реализован алгоритм сжатия изображений па основе преобразования Ахмеда-Рао.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14, 16, 15, 17, 39].

Лктор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В. Н. Малоземову за помощь в постановке задач и анализе результатов, а также за постоянное внимание в течение всего периода работы над диссертацией.

Похожие диссертационные работы по специальности «Вычислительная математика», 01.01.07 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коровкин, Александр Владимирович, 2004 год

1. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Снизь, 1980.

2. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.

3. Ватолин Д., Ратушняк А., Смирнов М., Юкин В. Методы сжатия данных. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002.

4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления, М.: Наука, 1984.

5. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб: ВУС, 1999.G. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды м преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

6. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1985.

7. Дагман Э. Е., Кухарев Г.А. Быстрые дискретные ортогональные преобразования. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Добепш И. Десять лекций по вейвлетам. М.: РХД, 2001.

9. Дьяконов В.П. Всйвлсты. От теории к практике. М.: COJIOH-Р, 2002.

10. Залманзон J1.A. Преобразования Фурье, Уолта, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.

11. Зеленков А.В. Быстрое преобразование спектра сигнала из базиса функций Уолиш в базис дискретных экспоненциальных функции // Радиотехника и электроника. 1977. JV93. С. 552-5G5.

12. Кирушев В.А. Быстрый алгоритм сжатия изобраэ/сспий // Вестник молодых учёных. Сер. "Прикладная математика и механика". 1997. С. 4-10.

13. Коровкин А.В., Малозёмов В.II. Базисы Ахмсда-Рао // Мат. заметки. 2004. Т.75. Вып. 6. С. 834-840.

14. Коровкин Л.В. Обобщённое дискретное преобразование Ахмеда-Рао // Вестник молодых учёных. Сер. "Прикладная математика и механика". 2003. Л"«2. С. 33-41.

15. Макклеллан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Радио и связь, 1983.

16. Малоземов В.П., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа. СПб.: НИИММ, 2003.

17. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Формула Глассмапа, быстрое преобразование Фурье и вейвлетные разлоо1сения // Труды Санкт-Петербургского математического общества. Т.9. 2001. С. 97-119.

18. Малоземов В.П., Машарский С.М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крсстенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т.13. Вып.1. С. 111-157.

19. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Сравнительное изучение двух вейвлетных базисов // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 30. Выи. 2. С. 27-37. •

20. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Хааровскис спектры дискретных сверток j/ Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 2000. Т. 40. jV6. С. 954-9G0.

21. Малоземов В.Н., Певный А.Б., Третьяков А.А. Быстрое всй-влетиос преобразование дискретных периодических сигналов и изображений // Проблемы передачи информации. 1998. Т. 34. Вып. 2. С. 77-85.

22. Малоземов В.Н., Третьяков А.А. Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестн. С-Петербург. ун-та. Сер.1. 1999. Вын.1 (Ш). С. 16-21.

23. Машарский С. М. Гармонический анализ па базе дискретного преобразования Вилснкина-Крсстснсона Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. СПбГУ, 2001.

24. Новиков JI. В. Спектральный анализ сигналов в базисе всйвле-тов II Научное приборостроение. 2000. Т. 10. № 3. С. 57-64.

25. Meyer Y. Wavelets: Algorithms and Applications. SIAM, Philadelphia, 1993.

26. Smith S. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. Califirnia Technical Publ., 1999.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.