Гарантированный апостериорный контроль точности решений эволюционных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Мацулевич Светлана Викторовна

• Мацулевич Светлана Викторовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Мацулевич Светлана Викторовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Двусторонние оценки ошибок для параболической задачи реакции-

диффузии

1.1. Мажоранта ошибки

1.2. Миноранта ошибки

1.3. Глобальная минимизация мажоранты

1.4. Численные примеры

Глава 2. Двусторонние оценки ошибок для параболической задачи реакции-

конвекции-диффузии на сложной области

2.1. Двусторонние оценки ошибок, основанные на глобальных константах

2.2. Двусторонние оценки ошибок, основанные на локальных константах

2.3. Эквивалентность мажорант и ошибок в энергетической и комбинированной

нормах

2.4. Мажоранта, основанная на расширенном поле флаксов

Глава 3. Мажоранты констант в неравенстве Пуанкаре и ‘граничных’

неравенствах Пуанкаре

3.1. Верхние оценки CΓP , CΓTr и CTP для треугольных сиплексов

3.2. Нижние оценки CΓP , CΓTr и CTP для треугольных областей

3.3. Двусторонние оценки констант CΓP и CΓTr для тетраэдров

Глава 4. Адаптивный метод Пикара–Линделëфа

4.1. Метод Пикара–Линделёфа

4.2. Адаптивный метод Пикара–Линделёфа

Заключение

Список условных обозначений

Список сокращений

Список литературы

3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гарантированный апостериорный контроль точности решений эволюционных уравнений»

Введение

Актуальность темы исследования. В настоящее время математические модели

довольно широко используются для описания процессов и явлений в различных отраслях

естественных наук, медицины, инженерии и экономики. Эволюционные проблемы, в частно-

сти, являются ключевыми компонентами в моделировании реальных процессов, таких как

теплопроводность в термодинамике, моделирование вихревых индукционных токов в элек-

тромагнитных явлениях, глобальное прогнозирование климата, а также анализ рассадки

леса в экологии и других областях научной и практической деятельности человека. Приве-

дённые выше примеры свидетельствуют о том, что вопросы, возникающие в математическом

моделировании, мотивированы непосредственно явлениями, окружающими нас.

Большинство моделей, упомянутых выше, регулируются зависимыми от времени урав-

нениями в частных производных (УЧП) или системами уравнений в частных производных,

которые в сочетании с начальными (НУ) и граничными условиями (ГУ) порождают так

называемые начально-краевые задачи (Н-КЗ). Данная работа посвящена эволюционным за-

дачам параболического типа, систематический математический анализ которых представлен

в монографиях Ладыженской [1], Ладыженской, Уральцевой и Солонникова [2], Wloka [3],

Zeidler [4, 5]. Численный анализ и изучение практического применения уравнений приводят-

ся в работах Thomee [6] и Lang [7] и частично в классических книгах по методам конечных

элементов (МКЭ) (см., к примеру, Breass [8], Grossman, Roos и Stynes [9] и Johnson [10]).

Мультигармонический анализ распределённой параболической задачи и задачи оптималь-

ного управления в установке с периодическим во времени краевым условием представлен в

Langer и Wolfmayr [11].

Пусть QT := Ω × (0, T ) обозначает пространственно-временной цилиндр, в котором

Ω ⊂ Rd , d ∈ {1, 2, 3} является ограниченной областью с Липшицевой границей ∂Ω, и (0, T )

задаёт временной интервал. ST := ∂Ω × [0, T ] обозначает цилиндрическую боковую поверх-

ность. Рассмотрим классическую формулировку линейной параболической задачи: найти ре-

шение u(x, t), удовлетворяющее системе

∂t u + Lu = f в QT , (1)

u = uD на ST , (2)

u(x, 0) = u0 на Ω. (3)

Здесь u, как правило, описывает изменение температуры в теплопроводности или концен-

трации некоторого вещества в химической диффузии. Данные задачи включают источник

тепла f , краевое условие Дирихле uD (можно также рассматривать условия Неймана, Роби-

на, или смешанный тип краевых условий) и начальные условия u0 . Эллиптический оператор

 4

L имеет следующую общую форму:

Lu := −div(A(x, t)∇u(x, t)) + λ(x, t) · ∇u(x, t) + a(x, t) u(x, t), (x, t) ∈ QT ,

где A является симметричной матрицей, состоящей из характеристик материала, а λ и a

обозначают конвекцию и реакцию соответственно. Если любая из вышеперечисленных форм

зависит от u (или ∇u), задача становится нелинейной.

При λ(x) ≡ 0, a(x) ≡ 0 и A = νI получаем классическое уравнение теплопроводности,

регулирующее различные диффузионные процессы. Например, в приложениях, рассматрива-

k

ющих задачи переноса тепла, параметр ν = cp ̺

обозначает коэффициент тепловой диффузии,

зависимый от температуропроводности k, удельной теплоемкости cp и плотности материала ̺

(см. Fourier [12], Carslow и Jaeger [13], Widder [14], Cannon [15]). В электромагнетизме ν иллю-

стрирует сопротивление ν = σ1 , обратно пропорциональное электропроводности σ, которая,

к примеру, является очень низкой в воздухе (так называемом отличном изоляторе), очень

высокой в металлах, а в плазме рассматривается как бесконечная. Кроме того, уравнение

теплопроводности используется в распространении потенциала действия в нервных клетках,

финансовых процессах, к примеру, в модели ценообразования опционов Блэка–Шоулза (см.

Black и Scholes [16]), вероятностных процессах (процесс Орштейна–Уленбека) и описании

случайных блужданий (см. Pearson [17]). Нелинейные аналоги уравнения теплопроводности

были также использованы в обработке изображений и моделировании пористых сред (см.

Vayquez [18]).

Строго говоря, уравнение теплопроводности находится в противоречии со специальной

теорией относительности, так как его решения включают мгновенное распространение воз-

мущения. Частью возмущения вне переднего светового конуса обычно можно пренебречь,

но, если скорость передачи тепла значительная (динамически развивающиеся процессы),

используются гиперболические дифференциальные уравнения. Данная работа сосредоточе-

на исключительно на процессах, имеющих относительно медленную эволюцию (к примеру,

биологические и экологические процессы) и, соответственно, описываемых уравнением па-

раболического типа.

В силу того, что изучение определённого эволюционного (к примеру, физического) про-

цесса неразрывно связано с сопровождающим его математическим экспериментом, надёж-

ность используемых методов анализа или численных методов является одним из принци-

пиальных требований к стадиям математического моделирования. Использование исключи-

тельно эвристического воспроизведения характеристик той или иной системы может при-

вести к необоснованным недостоверным результатам и, соответственно, ложным выводам о

рассматриваемой модели. Отсюда вопрос о корректности модели (на самом начальном этапе

моделирования), а также вопрос количественного апостериорного контроля ошибки данных,

сгенерированных тем или иным методом, являются неоспоримо актуальными вопросами в

современном численном анализе.

 5

Научная и практическая значимость. Представленные в диссертации методы поз-

воляют явно и гарантированно контролировать точность численных приближений эволю-

ционных систем уравнений в частных производных, описывающих довольно широкий класс

явлений на практике. Такие системы в большинстве случаев могут быть дискредитирова-

ны одним из двух методов. В первом, так называемом инкрементальном методе (методе

линий, см. Сармин и Чюдов [19]), пространственные переменные, как правило дискретизи-

рованы соответствующим методом, к примеру, методом конечных элементов (МКЭ) (см., к

примеру, Courant [20], Zlamal [21], Ciarlet [22], Johnson [10]), методом конечных разностей

(МКР) [23], Morton и Mayer [24], Crank [25], Самарский и Николаев [26], Гулин и Самар-

ский [27]) или методом конечных объёмов (МКО) (см. Toro [28], Eymard, Gallout и Herbin [29],

LeVeque [30]). Т. е., (3) заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений

(ОДУ) относительно переменной времени, которое разбивается на шаги (инкременты) со-

гласно некоторой схеме дискретизации ОДУ (см.,к примеру, Zafarullah [31], Verwer и Sanz-

Serna [32], Schiesser [33]). В результате задачи, зависящие только от пространственных пере-

менных, решаются на последовательности временных интервалов (детальное изучение этого

метода можно найти в монографиях Thomee [6], Braess [8], Johnson [10]). Во втором мето-

де время трактуется как дополнительная пространственная переменная (см. Hackbusch [34],

Womble [35], Vandewalle и Piessens [36], Horton и Vandewalle [37]). Его, как правило, называют

методом пространственно-временной дискретизации.

Независимо от используемого метода, полученное приближение содержит погрешность.

Именно поэтому для построения корректного численного метода неоспоримо важно иметь

математический аппарат, позволяющий осуществить эффективный количественный анализ

полученных результатов. Именно такой анализ предоставляет надежную информацию об

ошибке, содержащейся в аппроксимации, и позволяет избежать риска построения некор-

ректных выводов на основе неточного результата. В силу своей эффективности и универ-

сальности, полученные в данной работе гарантированные оценки и индикаторы являются

потенциальными кандидатами на внедрение в крупные программные продукты, включаю-

щие процедуры адаптации, а также стадии анализа качества получаемых приближений.

Прежде чем перейти к обсуждению степени разработанности тематики, а также пред-

ставлению используемой методологии, рассмотрим некоторые общепризнанные обозначения,

определения и постановку параболической задачи, а также сделаем детальный обзор фунда-

ментальных сведений, необходимых для обоснования представленных в последующих главах

результатов.

Определения и основные обозначения. Допустим, что Ω ⊂ Rd , d = {1, 2, 3}, яв-

ляется ограниченной областью (открытым и связным множеством) с Липшицевой границей

∂Ω, где Ω обозначает замыкание Ω. Γ – часть границы ∂Ω, для которой measd−1 Γ > 0 или

в частном случае совпадает с ней. Пусть {X, k · kX } обозначает Банахово пространство,

оснащённое нормой k · kX , такое что X полно по отношению к ней. Пусть {V, k · kV } – Гиль-

 6

1/

бертово пространство, где норма порождена скалярным произведением, т. е., k·kV := (·, ·)V 2 ,

(·, ·)V : V × V → R.

Пространство V ∗ является двойственным к V , состоящим из линейных непрерывных

функционалов на V , и снабжено нормой

f (v)

kf kV ∗ := sup kvkV

.

v∈V, v6=0

Соответствующее двойственное произведение h·, ·iV ∗ ×V : V ∗ × V → R определено как

hf, viV ∗ ×V := f (v), ∀v ∈ V.

Банахово пространство функций, измеримых в смысле Лебега с нормой

Z 1/p

kukLp (Ω) := |u(x)|p dx ,

Ω

обозначается как Lp (Ω), p ∈ [1, +∞). Для пространств ограниченных почти всюду (п. в.)

функций (при p = +∞) норма определена при помощи

kukL∞ (Ω) := ess sup |u(x)|.

x∈Ω

В дальнейшем чаще всего используется Гильбертово пространство функций, интегрируемых

1/

со степенью p = 2, оснащённое нормой k · kL2 (Ω) := (·, ·)L22(Ω) , где

Z

(u, v)L2 (Ω) = (u, v) := u v dx, ∀u, v ∈ L2 (Ω).

Ω

Далее в работе для упрощения обозначений в случае обсуждения L2 -нормы на области ω

используется обозначение k · kω .

Пусть α = (α1 , . . . ,αd ), αi ∈ N ∪ 0, i 1, . . . , d - мульти-индекс, тогда

=

∂ |α| ∂ α1 ∂ αd

Pd

Dα u := ∂xα

u= ∂xα1

... ∂xαd

u, где xα – одночлен x1 α1 . . . xd αd со степенью |α| = αi . Функция

i=1

из множества C l (Ω) обладает непрерывными и ограниченными производными Dα до степени

l включительно. Пространство C l (Ω) оснащено нормой

kukC l (Ω) := max sup |Dα u(x)|.

0≤|α|≤l x∈Ω

Норма для непрерывных функций (при l = 0) обозначается как k · kC(Ω) . Множество C ∞ (Ω)

состоит из бесконечно дифференцируемых (гладких) функций, и элементы C0∞ (Ω) ⊂ C ∞ (Ω)

определены на компактном носителе Ω. Гладкие функции, обращающиеся в нуль на Γ, обо-

 7

значены как n o

∞

C0,Γ (Ω) := ϕ ∈ C ∞ (Ω) | dist(suppϕ, Γ) > 0 . (4)

Обобщённая (слабая) производная порядка α для функций u ∈ L2 (Ω) обозначается при

помощи w = Dα u ∈ L2 (Ω), для которой справедливо

Z Z

|α|

w v dx = (−1) u Dα v dx, ∀v ∈ C0∞ (Ω).

Ω Ω

Сепарабельное Банахово пространство W l,p (Ω), где p ∈ [1, +∞) и l ∈ N, обозначает про-

странство Соболева

n o

W l,p (Ω) := u ∈ Lp (Ω) | Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ l ,

оснащённое нормой

X 1/p

kukW l,p := kDα ukpLp . (5)

|α|≤l

Если граница Ω является достаточно гладкой, последнее пространство совпадает с

k·kW l,p

W := C l (Ω) (замыканием C l (Ω) по норме (5)). В общем случае, W ⊂ W l,p .

Гильбертово пространство с p = 2 традиционно обозначается как H l (Ω) = W l, 2 (Ω).

Далее в работе используются пространства

n o n o

1 2 2 d 2 d 2

H (Ω) := u ∈ L (Ω) | ∇u ∈ L (Ω, R ) и H (Ω, div) := u ∈ L (Ω, R ) | divu ∈ L (Ω)

с соответствующими нормами k · kH 1 (Ω) и k · kH (Ω,div) , порождёнными

(u, v)H 1 (Ω) := (u, v) + (∇u, ∇v) и (u, v)H (Ω,div) := (u, v) + (divu, divv).

Пространства с гомогенными краевыми условиями на Γ ⊂ ∂Ω определяются как замыкания

множества (4) по соответствующим нормам:

1 H 1 (Ω) H (Ω,div)

∞ ∞

H0,Γ (Ω) := C0,Γ (Ω) и H0,Γ (Ω, div) := C0,Γ (Ω) .

1

Если Γ ≡ ∂Ω, тогда H0,∂Ω (Ω) = H01 (Ω). Наконец, γΓ u ∈ C(Γ) определяет оператор сужения

u ∈ C(Ω) на Γ, а именно γΓ u(x) := u(x), ∀x ∈ Γ. Последний называется оператором следов

1

γΓ : H s (Ω) → H s− /2 (Γ), s ∈ ( 12 , 23 ).

Для неотрицательных чисел ξi , i = 1, . . . , n справедливо так называемое неравенство

Юнга n n n

Y X p

ξ i

X

1

ξi ≤ i

pi

, где pi

= 1. (6)

i=1 i=1 i=1

 8

Неравенство Гёльдера для интегрируемых функций формулируется как

Z Y

n n

Y n

X

1

ui dx ≤ kui kLpi (Ω) , где pi

= 1. (7)

Ω i=1 i=1 i=1

Для любого функционала F и его выпуклого сопряжённого F ∗ справедливо неравенство

Фенхеля

hv ∗ , viV ∗ ×V ≤ F ∗ (v ∗ ) + F(v), ∀v ∈ V и ∀v ∗ ∈ V ∗ . (8)

Комбинацию (6) и (8) часто называют неравенством Юнга–Фенхеля.

Далее приведём главные неравенства теории вложений. Прежде всего, в работе исполь-

зуется неравенство

kukL2 ≤ CFΩ k∇ukL2 , ∀u ∈ H01 (Ω), (9)

которое часто называется неравенством Фридрихса (см. Friedrichs [38, 39]), но которое впер-

вые было получено Стекловым [40] для трёхмерной ограниченной области Ω. Фридрихс, в

свою очередь, доказал более общую форму (9):

Z Z Z 

2 2

u dx ≤ CF (Ω) |∇u| dx + u ds , ∀u ∈ H 1 (Ω). (10)

Ω Ω ∂Ω

Неравенство (10) справедливо для любых ограниченных областей в Rn , для которых выпол-

няется теорема Гаусса–Остроградского (см., к примеру, книгу Mazya [41]).

Неравенство Пуанкаре (см. Poincaré [42, 43]) формулируется как

kukΩ ≤ CPΩ k∇ukΩ , e 1 (Ω),

∀u ∈ H (11)

 R

e 1 (Ω) :=

где H u ∈ H 1 (Ω) {|u|}Ω = 0 с {|u|}Ω := 1

w dx. Выше введённые константы

|Ω|

Ω

0 < CFΩ := √1 D < +∞ и 0 < CP := √1 N < +∞, где λD

1 является первым собственным

λ1 λ2

значением задачи Дирихле–Лапласа, а λN

2 – второе собственное значение Неймана–Лапласа.

Учитывая неравенство 0 < λN D

n+1 < λn для ∀n ∈ N (см. Филонов [44]), справедливо соотноше-

ние CFΩ < CPΩ .

Одной из самых первых работ, посвящённых получению точных констант в (9) и (11),

были работы Стеклова [45, 46], в которых неравенство

Zl Zl

2

l 2

u dx ≤ π

(ux )2 dx (12)

0 0

было доказано для непрерывно дифференцируемых функций на [0, l], имеющих нулевое сред-

нее, а также для функций, принимающих нулевое значение на концах интервала. Согласно

монографии Mikhlin [47], для простых ограниченных областей в Rd , вписанных в прямо-

 9

угольник (или в прямоугольный параллелепипед) со сторонами li , i = 1, . . . , d, справедливо

Pd −1/2

неравенство C ≤ 1

FΩ l −2

π i. Константа C в неравенстве Пуанкаре может быть оце-

PΩ

i=1

нена при помощи неравенства

diamΩ

CPΩ ≤ π

(13)

для выпуклых областей Ω (см., Payne и Weinberger [48]). Для симплексов в R2 эта оценка была

улучшена в работе Laugesen и Siudeja [49], которая показывает, что для всех невырожденных

треугольников справедливо

diamΩ

CPΩ ≤ j1,1

,

а для равносторонних треугольников





 1

α ∈ (0, π3 ],



 j1,1 n o

LS
−1/2

CPΩ ≤ C T := diamΩ · min j 1 , j 1 2(π − α) tan(α/2) α ∈ ( π3 , π2 ], (14)



 1,1 0,1



 1
−1/2

j0,1

2(π − α) tan(α/2) α ∈ ( π2 , π].

Здесь j0,1 ≈ 2.4048 и j1,1 ≈ 3.8317 являются минимальными корнями соответствующих функ-

ций Бесселя J0 и J1 .

Нижняя оценка CΩP для выпуклых областей была представлена в работе Cheng [50]:

CΩP ≥ diam Ω

2 j0,1

. (15)

Она служит дополнением к верхней границе Payne и Weinberger (13). Кроме того, в Laugesen

и Siudeja [51] для треугольников T выводится нижняя граница в терминах их периметра P

CTP ≥ P

4π

, (16)

которая оптимизирует оценку (15) для некоторых случаев.

Точное значение константы в (11) на равностороннем треугольнике с единичной сторо-

P 3

ной получено в работе Pinsky [52], а именно CT,

b π/ = 4π

. Константа Пуанкаре для прямоуголь-

√3

2 P √1 ,

ного равнобедренного треугольника с катетом 2

равна CT,

b π/ = 2π

а для аналогичного тре-

4

P 1

b π/ = π . Здесь нижний индекс константы обозначает значение

угольника с катетом 1 равна CT,

2

угла между двумя сторонами треугольника. Последние результаты могут быть найдены в

Hoshikawа и Urakawa [53] и Nakao и Yamamoto [54]. Точные значения констант в неравенствах

Пуанкаре для трёхмерных симплексов получены в Bérard [55] и Hoshikawa и Urakawa [53].

 R

Для функций w ∈ H e 1 (Ω, Γ) := u ∈ H 1 (Ω) {|u|} = 0 , где {|u|} := 1 w ds,

Γ Γ |Γ|

Γ

справедливы ‘граничные’ неравенства Пуанкаре

kukL2 (Ω) ≤ CΓp k∇ukL2 (Ω) , (17)

kukL2 (Γ) ≤ CΓTr k∇ukL2 (Ω) . (18)

 10

Неравенство (17) содержит константу CΓP , соответствующую минимальному положительному

собственному значению задачи

− ∆u = λu в T, ∂n u = λ {|u|}Γ на Γ, ∂n u = 0 на ∂T\Γ (19)

e 1 (Ω, Γ). Точная константа во втором нера-

с соответствующей собственной функцией u ∈ H

венстве (18) соответствует минимальному ненулевому собственному значению задачи

− ∆u = 0 в T, ∂n u = λu в Γ, ∂n u = 0 в ∂T\Γ, (20)

e 1 (Ω, Γ). Здесь (20) является специальным случаем задачи Стеклова со спектраль-

где u ∈ H

ным параметром, возникающим в граничном условии (см. Steklov [56]). Эта так называемая

‘задача разбрызгивания’ описывает колебания жидкости в сосуде или контейнере, интенсив-

ное изучение свойств собственных чисел и собственных функций которой может быть найде-

но в ряде работ Fox и Kuttler [57], Kozlov и Kuznetsov [58], Kozlov, Kuznetsov и Motygin [59],

Kuznetsov et all [60], Girouard и Polterovich [61] и публикациях, цитируемых в них.

Точные значения CΓp и CΓTr на прямоугольных треугольниках, прямоугольниках и пря-

моугольных параллелепипедах были получены в работе Nazarov и Repin [62]. Далее в ра-

боте используются два опорных симплекса в R2 . Первый симплекс T задан на вершинах



A = (0, 0), C = (0, h), B = (h, 0), c Γ := x2 = 0, x1 ∈ [0, h] , и константы для него опреде-

 1/2

лены как CΓP := ζh0 , и CΓTr := ζ̂ tanh(

h

ζ̂ )

, где ζ0 и ζ̂0 – корни соответствующих уравнений

0 0

z cot(z) + 1 = 0 и tan(z) + tanh(z) = 0 на (0, π). Второй симплекс T с вершинами A = (0, 0),



C = h2 , h2 , B = (h, 0) и с Γ := x2 = 0, x1 ∈ [0, h] характеризуется значениями CΓP := 2ζh0 и

1/

CΓTr := h2 2 .

Наконец классическое неравенство о следах выглядит следующим образом

kukL2 (Γ) ≤ CTrΓ k u kH 1 (Ω) , ∀u ∈ C 1 (Ω). (21)

Пространства Соболева на пространственно-временном цилиндре. Простран-

ство L2 (QT ) содержит суммируемые с квадратом функции на QT и оснащено нормой

1/

k · kL2 (QT ) := (·, ·)L22(QT ) . (22)

Обобщим обозначения при помощи введения пространства

n o

H s,k (QT ) := u ∈ L2 (QT ) | Dα u ∈ L2 (QT ), |α| ≤ s, ∂tβ u ∈ L2 (QT ), 1 ≤ β ≤ k ,

 11

в котором введена норма

Z X X 

kuk2H s,k (QT ) := α

|D u(x, t)| + 2

|∂tβ u(x, t)|2 dxdt.

QT |α|≤s 1≤β≤k

Наиболее широко используемыми пространствами являются H 1,0 (QT ) и H 1,1 (QT ), где

 

1,0 2

 2 d

H (QT ) := u ∈ L (QT ) | ∇u ∈ L (QT )

оснащено нормой Z

kukH 1,0 (QT ) := |u(x, t)|2 + |∇u(x, t)|2 dxdt,

QT

а  

1,1 2

 2 d 2

H (QT ) := u ∈ L (QT ) | ∇u ∈ L (QT ) , ∂t u ∈ L (QT )

нормой Z

kukH 1,1 (QT ) := |u(x, t)|2 + |∇u(x, t)|2 + |∂t u(x, t)|2 dxdt.

QT

Пространства Соболева с границей Дирихле SD ⊂ ST (с заданным на ней условием uD )

обозначаются как

n o

Hus,k

D

(Q T ) := u ∈ H s,k (QT ) | u = uD на SD . (23)

Пространства Бохнера. Рассмотрим пространства Бохнера в качестве альтернатив-

ного инструмента для анализа начально-краевых задач. Пусть {H, (·, ·)H } и {V, (·, ·)V } – Гиль-

бертовы пространства. Пространство Lp (a, b; V ), p ∈ [1, +∞) является наиболее часто исполь-

зуемым пространством и состоит из измеримых функций u : (a, b) → V , норма в котором

определяется как

 Zb 1/p

kukLp (a,b;V ) := ku(·, t)kpV dt < +∞.

a

Для p = ∞, получаем пространство Бохнера, оснащённое нормой

kukL∞ (a,b;V ) := ess sup ku(·, t)kV < +∞.

t∈(a,b)

Кроме того, C([a, b]; H) представляет пространство функций u : [a, b] → H, непрерывных как

функция времени t ∈ [a, b] с нормой

kukC([a,b];H) := max ku(·, t)kH .

t∈[a,b]

 12

Для изучения параболической начально-краевой задачи рассмотрим L2 (0, T ; V ) с

V = H 1 (Ω) (или V = H01 (Ω)), которое состоит из функций, принадлежащих V по отношению

к пространственной переменной, V -норма которых является L2 -функцией по отношению к

t ∈ (0, T ). Так как V является Гильбертовым пространством, L2 (0, T ; V ) – также Гильбер-

тово. Обобщённая производная функции u ∈ L2 (0, T ; V ) относительно времени обозначается

как ∂t u ∈ L2 (0, T ; V ∗ ) и удовлетворяет тождеству

ZT ZT

u(t)∂t ϕ(t) dt = − ∂t u(t)ϕ(t) dt, ∀ϕ ∈ C0∞ ([0, T ]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мацулевич Светлана Викторовна, 2016 год

Список литературы

1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Наука, Москва, 1973.

2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные

уравнения параболического типа. Наука, Москва, 1967.

3. Wloka J. Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 1987.

4. Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. II/A. Springer-Verlag, New

York, 1990. С. xviii+467.

5. Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. II/B. Springer-Verlag, New

York, 1990. С. i–xvi and 469–1202.

6. Thomée V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Second изд. Berlin:

Springer-Verlag, 2006. Т. 25. С. xii+370.

7. Lang J. Adaptive multilevel solution of nonlinear parabolic PDE systems. Springer-Verlag,

Berlin, 2001. Т. 16. С. xii+157.

8. Braess D. Finite elements. Second изд. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

С. xviii+352.

9. Grossmann C., Roos H.-G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential equations.

Springer, Berlin, 2007. С. xii+591.

10. Johnson C. Numerical solution of partial differential equations by the finite element method.

Mineola, NY: Dover Publications Inc., 2009. С. ii+279.

11. Langer U., Wolfmayr M. Multiharmonic finite element analysis of a time-periodic parabolic

optimal control problem // J. Numer. Math. 2013. Т. 21, № 4. С. 265–300.

12. Fourier J. B. J. Analytical theory of heat // Great Books of the Western World, no. 45.

Encyclopaedia Britannica, Inc., Chicago, London, Toronto, 1952. С. 163–251.

13. Carslow H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. Oxford Univ. Press (Clarendon),

London and New York, 1948.

14. Widder D. V. The heat equation. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers],

New York-London, 1975. С. xiv+267.

15. Cannon J. R. The one-dimensional heat equation. Addison-Wesley Publishing Company,

Advanced Book Program, Reading, MA, 1984. Т. 23. С. xxv+483.

16. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Financial risk

measurement and management. Edward Elgar, Cheltenham, 2012. Т. 267. С. 100–117.

 129

17. Pearson K. The Problem of the Random Walk // Nature. 1905. Т. 72. С. 294, 318, 342.

18. Vázquez J. L. The porous medium equation. The Clarendon Press, Oxford University Press,

Oxford, 2007. С. xxii+624.

19. Сармин Э. Н., Чудов Л. А. Об устойчивости численного интегрирования систем обык-

новенных дифференциальных уравнений, возникающих при применении метода пря-

мых // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3, № 6. С. 1122–1125.

20. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations //

Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Т. 49. С. 1–23.

21. Zlámal M. On the finite element method // Numer. Math. 1968. Т. 12. С. 394–409.

22. Ciarlet P. G. The finite element method for elliptic problems. North-Holland Publishing Co.,

Amsterdam-New York-Oxford, 1978.

23. Lax A. Decaying shocks. A comparison of an approximate analytic solution with a finite

difference method // Communications on Appl. Math. 1948. Т. 1. С. 247–257.

24. Morton K. W., Mayers D. F. Numerical solution of partial differential equations. Cambridge

University Press, Cambridge, 1994.

25. Crank J. The mathematics of diffusion. Second изд. Clarendon Press, Oxford, 1975.

С. ix+414.

26. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука,

1978.

27. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. Наука, Москва, 1989.

28. Toro E. F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Second изд. Springer-

Verlag, Berlin, 1999. С. xx+624.

29. Eymard R., Gallouët T., Herbin R. Finite volume methods // Handbook of numerical

analysis, Vol. VII. North-Holland, Amsterdam, 2000. С. 713–1020.

30. LeVeque R. J. Finite volume methods for hyperbolic problems. Cambridge University Press,

Cambridge, 2002. С. xx+558.

31. Zafarullah A. Application of the method of lines to parabolic partial differential equations

with error estimates // J. Assoc. Comput. Mach. 1970. Т. 17. С. 294–302.

32. Verwer J. G., Sanz-Serna J. M. Convergence of method of lines approximations to partial

differential equations // Computing. 1984. Т. 33, № 3-4. С. 297–313.

 130

33. Schiesser W. E. Computational mathematics in engineering and applied science: ODEs,

DAEs, and PDEs. CRC Press, Boca Raton, FL, 1994. С. xii+587.

34. Hackbusch W. Parabolic multigrid methods // Computing methods in applied sciences and

engineering, VI (Versailles, 1983). North-Holland, Amsterdam, 1984. С. 189–197.

35. Womble D. E. A time-stepping algorithm for parallel computers // SIAM J. Sci. Statist.

Comput. 1990. Т. 11, № 5. С. 824–837.

36. Vandewalle S., Piessens R. Efficient parallel algorithms for solving initial-boundary value and

time-periodic parabolic partial differential equations // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1992.

Т. 13, № 6. С. 1330–1346.

37. Horton G., Vandewalle S. A space-time multigrid method for parabolic partial differential

equations // SIAM J. Sci. Comput. 1995. Т. 16, № 4. С. 848–864.

38. Friedrichs K. Eine invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und des

Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz // Math. Ann. 1927. Т. 98.

С. 566–575.

39. Friedrichs K. On certain inequalities and characteristic value problems for analytic functions

and for functions of two variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. Т. 41, № 3. С. 321–364.

40. Steklov V. A. On the expansion of a given function into a series of harmonic functions (in

Russian) // Communs Kharkov Math. Soc. 1897. Т. 2, № 6. С. 57–124.

41. Maz′ ja V. G. Sobolev spaces with applications to elliptic partial differential equations.

augmented изд. Springer, Heidelberg, 2011. Т. 342. С. xxviii+866.

42. Poincare H. Sur les Equations aux Derivees Partielles de la Physique Mathematique // Amer.

J. Math. 1890. Т. 12, № 3. С. 211–294.

43. Poincare H. Sur les Equations de la Physique Mathematique // Rend. Circ. Mat. Palermo.

1894. Т. 8. С. 57–156.

44. Филонов Н. Об одном неравенстве на собственные числа задач Дирихле и Неймана для

оператора Лапласа // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16, № 2. С. 172–176.

45. Steklov V. A. The problem of cooling of an heterogeneous rigid rod (in Russian) // Communs

Kharkov Math. Soc. 1896. Т. 2, № 5. С. 136–181.

46. Steklov V. A. Probléme de refroidissement d’une barre hétérogéne // Ann. fac. sci. Toulouse.

1901. Т. 2, № 3. С. 281–313.

47. Mikhlin S. G. Constants in some inequalities of analysis. John Wiley and Sons, Ltd.,

Chichester, 1986. С. 108.

 131

48. Payne L. E., Weinberger H. F. An optimal Poincaré inequality for convex domains // Arch.

Rational Mech. Anal. 1960. Т. 5. С. 286–292 (1960).

49. Laugesen R. S., Siudeja B. A. Minimizing Neumann fundamental tones of triangles: an

optimal Poincaré inequality // J. Differential Equations. 2010. Т. 249, № 1. С. 118–135.

50. Cheng S. Y. Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications // Math. Z.

1975. Т. 143, № 3. С. 289–297.

51. Laugesen R. S., Siudeja B. A. Maximizing Neumann fundamental tones of triangles // J.

Math. Phys. 2009. Т. 50, № 11. С. 112903, 18.

52. Pinsky M. A. The eigenvalues of an equilateral triangle // SIAM J. Math. Anal. 1980. Т. 11,

№ 5. С. 819–827.

53. Hoshikawa Y., Urakawa H. Affine Weyl groups and the boundary value eigenvalue problems

of the Laplacian // Interdiscip. Inform. Sci. 2010. Т. 16, № 1. С. 93–109.

54. Nakao M. T., Yamamoto N. A guaranteed bound of the optimal constant in the error

estimates for linear triangular element // Topics in numerical analysis. Springer, Vienna,

2001. Т. 15. С. 165–173.

55. Bérard P. H. Spectres et groupes cristallographiques. I. Domaines euclidiens // Invent. Math.

1980. Т. 58, № 2. С. 179–199.

56. Steklov V. A. Sur les problémes fondamentaux de la physique mathematique // Annales sci.

ENS. 1902. Т. 3, № 19. С. 191–259, 455–490.

57. Fox D. W., Kuttler J. R. Sloshing frequencies // Z. Angew. Math. Phys. 1983. Т. 34, № 5.

С. 668–696.

58. Kozlov V., Kuznetsov N. The ice-fishing problem: the fundamental sloshing frequency versus

geometry of holes // Math. Methods Appl. Sci. 2004. Т. 27, № 3. С. 289–312.

59. Kozlov V., Kuznetsov N., Motygin O. On the two-dimensional sloshing problem // Proc. R.

Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 2004. Т. 460, № 2049. С. 2587–2603.

60. Kuznetsov N., Nazarov A. Sharp constants in the Poincaré, Steklov and related inequalities

(a survey) // Mathematika. 2015. Т. 61, № 2. С. 328–344.

61. Girouard A., Polterovich I. Spectral geometry of the Steklov problem // arXiv.org. 2014. Т.

math/1411.6567.

62. Nazarov A. I., Repin S. I. Exact constants in Poincare type inequalities for functions with

zero mean boundary traces // Mathematical Methods in the Applied Sciences. John Wiley

and Sons, Ltd., 2014.

 132

63. Banach S. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations

intégrales // Fund. Math. 1922. Т. 3. С. 133–181.

64. Collatz L. Funktionan alysis und numerische Mathematik. Springer-Verlag, Berlin, 1964.

65. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.

Наука, Москва, 1976.

66. Istratescu V. I. Fixed Point Theory, An Introduction. The Netherlands, 1981.

67. Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. I: Fixed-point theorems.

Springer-Verlag, New York, 1986.

68. Brenner S., Scott R. L. The mathematical theory of finite element methods. Springer, New

York, 1994.

69. Strang G., Fix G. An analysis of the finite element method. Prentice Hall, Englewood Cliffs,

1973.

70. Babuška I., Rheinboldt W. C. A-posteriori error estimates for the finite element method //

Internat. J. Numer. Meth. Engrg. 1978. Т. 12. С. 1597–1615.

71. Babuška I., Rheinboldt W. C. Error estimates for adaptive finite element computations //

SIAM J. Numer. Anal. 1978. Т. 15, № 4. С. 736–754.

72. Zienkiewicz O. C., Zhu J. Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical

engineering analysis // Internat. J. Numer. Meth. Engrg. 1987. Т. 24, № 2. С. 337–357.

73. Eriksson K., C.Johnson. An adaptive finite element method for linear elliptic problems //

Math. Comp. 1988. Т. 50, № 182. С. 361–383.

74. Johnson C., Hansbo P. Adaptive finite elements in computational mechanics // Comput.

Methods Appl. Mech. Engrg. 1992. Т. 101, № 1-2. С. 143–181.

75. Ainsworth M., Oden J. T. A procedure for a posteriori error estimation for h-p finite element

methods // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1992. Т. 101, № 1-3. С. 73–96.

76. Ainsworth M., Oden J. T. A unified approach to a posteriori error estimation using element

residual methods // Numer. Math. 1993. Т. 65, № 1. С. 23–50.

77. Verfürth R. A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement

techniques. Wiley and Sons, Teubner, New-York, 1996.

78. Dörfler W., Rumpf M. An adaptive strategy for elliptic problems including a posteriori

controlled boundary approximation // Math. Comp. 1998. Т. 67, № 224. С. 1361–1382.

 133

79. Carstensen C. Quasi–interpolation and a posteriori error analysis of finite element methods //

Mathematical Modelling in Numerical Analysis. 1999. Т. 6, № 33. С. 1187–1202.

80. Carstensen C., Verfürth R. Edge residuals dominate a posteriori error estimates for low order

finite element methods // SIAM J. Numer. Anal. 1999. Т. 5, № 36. С. 1571–1587.

81. Ainsworth M., Oden J. T. A posteriori error estimation in finite element analysis. Wiley and

Sons, New York, 2000.

82. Carstensen C., Funken S. A. Fully reliable localized error control in the FEM // SIAM J.

Sci. Comput. 2000. Т. 21, № 4. С. 1465–1484.

83. Babuška I., Strouboulis T. The finite element method and its reliability. New York: The

Clarendon Press Oxford University Press, 2001. С. xii+802.

84. Babuška I., Whiteman J. R., Strouboulis T. Finite elements, an introduction to the method

and error estimation. Oxford University Press, New York, 2011.

85. Zienkiewicz O. C., Zhu J. Z. Adaptive techniques in the finite element method // Commun.

Appl. Numer. Methods. 1988. Т. 4. С. 197–204.

86. Babuška I. M., Rodrı́guez R. The problem of the selection of an a posteriori error indicator

based on smoothening techniques // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 1993. Т. 36, № 4.

С. 539–567.

87. Zienkiewicz O. C., Boroomand B., Zhu J. Z. Recovery procedures in error estimation and

adaptivity: adaptivity in linear problems // Advances in adaptive computational methods in

mechanics (Cachan, 1997) / под ред. P. Ladeveze, J.T. Oden. Amsterdam: Elsevier, 1998.

Т. 47. С. 3–23.

88. Wang J. Superconvergence analysis of finite element solutions by the least-squares surface

fitting on irregular meshes for smooth problems // J. Math. Study. 2000. Т. 33. С. 229–243.

89. Bartels S., Carstensen C. Each averaging technique yields reliable a posteriori error control

in FEM on unstructured grids. Part II: Higher order FEM // Math. Comput. 2002. Т. 239,

№ 71. С. 971–994.

90. Wang J., Ye X. Superconvergence analysis for the Navier–Stokes equations // Applied

Numerical Mathematics. 2002. Т. 41. С. 515–527.

91. Heimsund B.-O., Tai X.-C., Wang J. Superconvergence for the gradient of finite element

approximations by L2 projections // SIAM J. Numer. Anal. 2002. Т. 40, № 4. С. 1263–1280.

92. Zhang Zh., Naga A. A new finite element gradient recovery method: superconvergence

property // SIAM J. Sci. Comput. 2005. Т. 26, № 4. С. 1192–1213.

 134

93. Oganesjan L. A., Ruhovec L. A. An investigation of the rate of convergence of variation-

difference schemes for second order elliptic equations in a two-dimensional region with smooth

boundary // Ž. Vyčisl. Mat. i Mat. Fiz. 1969. Т. 9. С. 1102–1120.

94. Zlámal M. Some superconvergence results in the finite element method // Mathematical

aspects of finite element methods (Proc. Conf., Consiglio Naz. delle Ricerche (C.N.R.), Rome,

1975). Springer, Berlin, 1977. С. 353–362. Lecture Notes in Math., Vol. 606.

95. Křı́žek M., Neittaanmäki P. Superconvergence phenomenon in the finite element method

arising from averaging gradients // Numer. Math. 1984. Т. 45, № 1. С. 105–116.

96. Křı́žek M., Neittaanmäki P. On superconvergence techniques // Acta Appl. Math. 1987.

Т. 9, № 3. С. 175–198.

97. Křížek M., Neittaanmäki P., Stenberg R. Superconvergence, post-processing and a posteriori

error estimates // Lecture notes in pure and applied mathematics / под ред. M. Křížek,

P. Neittaanmäki, R. Stenberg. Marcel Dekker, New York, 1998. Т. 196.

98. Wahlbin L. B. Superconvergence in Galerkin finite element methods. Berlin: Springer-Verlag,

1995. Т. 1605. С. xii+166.

99. Ladevéze P., Leguillon D. Error estimate procedure in the finite element method and

applications // SIAM J. Numer. Anal. 1983. Т. 20, № 3. С. 485–509.

100. Ainsworth M. A posteriori error estimation for fully discrete hierarchic models of elliptic

boundar–value problems on thin domains // Numer. Math. 1998. Т. 80, № 3. С. 325–362.

101. Ainsworth M., Rankin R. Fully computable error bounds for discontinuous Galerkin Finite

Element Approximations on Meshes with an Arbitrary Number of Levels of Hanging Nodes //

SIAM J. Numer. Anal. 2010. Т. 47, № 6. С. 4112–4141.

102. Deuflhard P., Leinen P., Yserentant H. Concept of an adaptive hierarchical finite element

code // Impact Computing Sci. Engrg. 1989. Т. 1, № 1. С. 3–35.

103. Agouzal A. On the saturation assumption and hierarchical a posteriori error estimator //

Comput. Meth. Appl. Math. 2002. Т. 2, № 2. С. 125–131.

104. Duran R., Muschietti M. A., Rodriguez R. On the asymptotic exactness of error estimators

for linear triangle elements // Numer. Math. 1991. Т. 59, № 2. С. 107–127.

105. Dörfler W., Nochetto R. H. Small data oscillation implies the saturation assumption //

Numer. Math. 2002. Т. 91, № 1. С. 1–12.

106. Becker R., Rannacher R. A feed–back approach to error control in finite element methods:

Basic approach and examples // East–West J. Numer. Math. 1996. Т. 4, № 4. С. 237–264.

 135

107. Stein E., Ohnimus S. Coupled model- and solution-adaptivity in the finite element method //

Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1997. Т. 150, № 1–4. С. 327–350.

108. Peraire J., Patera A. T. Bounds for linear-functional outputs of coercive partial differential

equations: Local indicators and adaptive refinement // Advances in adaptive computational

methods in mechanics / под ред. P. Ladevéze, J. T. Oden. Elsevier, New York, 1998. С. 199–

228.

109. Houston P., Rannacher R., Süli E. A posteriori error analysis for stabilised finite element

approximations of transport problems // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. Т.

190, № 11–12. С. 1483–1508.

110. Rannacher R. The dual-weighted-residual method for error control and mesh adaptation

in finite element methods // The mathematics of finite elements and applications, X,

MAFELAP 1999 (Uxbridge). Oxford: Elsevier, 2000. С. 97–116.

111. Oden J. T., Prudhomme S. Goal–oriented error estimation and adaptivity for the finite

element method // Comput. Methods Appl. 2001. Т. 41, № 5–6. С. 735–756.

112. Stein E., Rüter M., Ohnimus S. Error-controlled adaptive goal-oriented modeling and finite

element approximations in elasticity // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2007. Т. 196,

№ 37–40. С. 3598–3613.

113. Meidner D., Rannacher R., Vihharev J. Goal-oriented error control of the iterative solution

of finite element equations // J. Numer. Math. 2009. Т. 17, № 2. С. 143–172.

114. Rannacher R., Vexler B. Adaptive finite element discretization in PDE-based optimization //

GAMM-Mitt. 2010. Т. 33, № 2. С. 177–193.

115. Besier M., Rannacher R. Goal-oriented space-time adaptivity in the finite element Galerkin

method for the computation of nonstationary incompressible flow // Internat. J. Numer.

Methods Fluids. 2012. Т. 70, № 9. С. 1139–1166.

116. Prager W., Synge J. L. Approximation in elasticity based on the concept of function space //

Quart. Appl. Math. 1947. № 5. С. 241–269.

117. Synge J. L. The method of the hypercircle in function-space for boundary-value problems //

Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1947. Т. 191. С. 447–467.

118. Mikhlin S. G. Variational methods in mathematical physics. Pergamon, Oxford, 1964.

119. Repin S. I., Xanthis L. S. A posteriori error estimation for elastoplastic problems based on

duality theory // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1996. Т. 138, № 1-4. С. 317–339.

120. Repin S. A posteriori estimates for approximate solutions of variational problems with

strongly convex functionals // Problems of Mathematical Analysis. 1997. Т. 17. С. 199–226.

 136

121. Repin S. A posteriori error estimation for variational problems with power growth functionals

based on duality theory // Zapiski Nauchnych Seminarov POMI. 1997. Т. 249. С. 244–255.

122. Repin S. I. A unified approach to a posteriori error estimation based on duality error

majorants // Math. Comput. Simulation. 1999. Т. 50, № 1-4. С. 305–321.

123. Repin S. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex

functionals // Math. Comput. 2000. Т. 69, № 230. С. 481–500.

124. Raviart P.-A., Thomas J. M. A mixed finite element method for 2nd order elliptic problems //

Mathematical aspects of finite element methods (Proc. Conf., Consiglio Naz. delle Ricerche