Гарантированные дележи в игре без побочных платежей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Оплетаева, Елена Николаевна

• Оплетаева, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Оплетаева, Елена Николаевна

ВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДЕЛЕЖИ.

§ 1. Максимины и их свойства.

§ 2. Условие индивидуальной рациональности.

§ 3. Дележи.

§ 4. Существование дележей.

ГЛАВА П. ГАРАНТИРОВАННЫЕ ДЕЛЕЖИ.

§ 5. Формализация и свойства.

§ 6. Геометрическая интерпретация.

§ 7. Существование гарантированных дележей.

§ 8. Игра с "разделенными" функциями выигрыша.

§ 9. Линейно-квадратичная игра

ГЛАВА III. ГАРАНТИРОВАННЫЕ ДЕЛЕЖИ В ИГРЕ С "ИНФОРМИРОВАННОЙ"

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ.

§ 10. Формализация гарантированного дележа.

§11. Существование гарантированных дележей.

§ 12. Линейно-квадратичная игра.

ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ ИГРА

ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.

§ 13. Формализация гарантированного дележа.

§ 14. Достаточные условия существования гарантирующей ситуации.

§ 15 Явный вид решения игры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гарантированные дележи в игре без побочных платежей»

Разумная человеческая деятельность в большинстве случаев состоит в том, что человеку для достижения тех или иных целей приходится принимать решения. При этом представляется вполне естественным стремление принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. Постановки вопроса о выборе оптимальных решений встречались и встречаются в различных теоретических и прикладных дисциплинах, в частности, медицине, праве, военном деле, экономике, технике и т.д. По мере развития и математизации этих дисциплин соответствующие процессы принятия решений формализуются и приобретают характер математических моделей.

Современные социально-экономические явления характеризуются сложностью, неопределенностью, многокритериальностью, несовпадением интересов участвующих сторон и требуют специального математического аппарата, пригодного для их исследования. В этой связи в последнее время наблюдается стремительное повышение интереса к теории игр, основной задачей которой является исследование оптимальных решений в математических моделях конфликтных ситуаций.

Взаимодействие между людьми обычно включает в себя довольно тонкую смесь конкуренции и кооперации. Так, переговоры о некоторой закупке являются кооперативными (обе стороны желают совершить сделку) и, в то же время, конкурентными (каждая сторона стремится к условиям, более благоприятным для себя и тем самым менее благоприятным для другой стороны); политические партии конкурируют в поисках расположения избирателей, но кооперируются при образовании правящих коалиций. Подобные ситуации, анализируемые с рациональной точки зрения, известны под названием игр, их участники называются игроками (действия которых описываются множествами стратегий), а получаемые "доходы" - выигрышами. Игры, как правило, классифицируются следующим образом [48]: коалиционные игры, если принимающие решение игроки объединяются в фиксированные коалиции, члены которых могут свободно обмениваться информацией и принимать полностью согласованные решения; бескоалиционные игры, если каждая коалиция состоит из одного игрока; кооперативные игры, если допускается временное объединение игроков в любые коалиции для принятия совместных решений и, возможно, с последующим распределением полученного выигрыша (побочные платежи). Предметом исследования настоящей работы являются кооперативные игры, в которых запрещена передача части выигрыша от одного игрока к другому (игры без побочных платежей).

Теория игр возникла еще в начале XX века и первые ее результаты систематически изложены в монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна [43]. Авторы монографии подробно исследовали кооперативные игры и сформулировали для них понятия решений, сведя вопрос к изучению характеристической функции игры (первоначальных возможностей коалиций).

Однако классическая теория фон Неймана и Моргенштерна рассматривает исключительно кооперативные игры, в которых разрешены побочные платежи, а выигрыши игроков обладают свойством трансферабельно-сти, т.е. измеряются в одной шкале и могут передаваться без потерь и без ограничений [12]. В начале 60-х годов появляется теория (разработанная Ау-маном и Пелегом [61]) кооперативных игр без побочных платежей, предполагающая отказ от трансферабельности и побочных платежей.

Кооперативной игрой без побочных платежей обычно называется пара (]ЧГ, V), где N = {1,2,.,^}- множество игроков, а Г - многозначное отображение, которое ставит в соответствие каждой коалиции К с N множество У(К), удовлетворяющее следующим условиям:

1° К(К) сЯК ={(/ь.=0для! гК}; п К

2. К(К) - непустое, замкнутое и исчерпывающее множество в Я,

Т'е„з /® еР(К),/® = еЯК И /V < /раеК) следует еК(К).

Если Н - множество реально достижимых игроками векторов выигрышей, то

Под решением игры без побочных платежей понимается некоторый вектор или множество векторов / еЯ^. Различные понятия решений (дележ, НМ-решение, С-ядро, К-ядро, Т^-ядро, значение Шепли, М-устойчивость), возникающие в классических кооперативных играх, переносятся и на игры без побочных платежей. Так, например, дележ определяется [12, с. 686; 60, с. 543] здесь как вектор выигрышей = такой, что ff>тíшУ{Щ) О'еЫ); не существует вектора / еЯ, для которого /¿> ff (г е]М).

Исследование существования С-ядра для кооперативных игр без побочных платежей было проведено Л. Биллера [62] и X. Скарфом [69]. В.Б. Вилков построил необходимые и достаточные условия непустоты ядра для игр, в которых все К(К) и Н есть объединение выпуклых многогранников [9]. Б. Пелег в [68] установил существование НМ-решения для игры трех лиц (при некоторых предположениях о выпуклости характеристических множеств). Р. Стернз [71] построил примеры игр, не имеющих решения. Ряд работ был посвящен возможным аналогам вектора Шепли [66, 70]. Особую трудность в теории кооперативных игр без побочных платежей вызывает формализация эксцесса, представляющего основу для таких понятий, как Ы-ядро, К-ядро и т.д. По этому вопросу опубликован цикл работ, начало которых положили статьи Э. Калаи [64]. В России аналогичные исследования проводились С.Л. Печерским [50, 51], В.Б. Вилковым [10], О.Н. Бондаревой [63]. Краткий обзор результатов по кооперативным играм без побочных платежей имеется в книге [46, с. 217 - 220], обстоятельная библиография приводится в обзорной статье Р. Аумана [59], ряд результатов кратко освещен в [5; 55].

Наряду с исследованием "статических" кооперативных игр уже во второй половине ХХ-го века начинает развиваться теория динамических кооперативных игр [48, 30, 31]. Она базируется на основных положениях и результатах теории дифференциальных антагонистических игр [33, 53]. Особенностью этих задач является требование динамической устойчивости, введенное профессором Л.А. Петросяном [49].

Для кооперативных игр характерна множественность принципов (критериев) оптимального поведения игроков. Однако можно указать на некоторые свойства, присущие большинству из них: коллективная рациональность (единогласное одобрение всех игроков) и индивидуальная рациональность (согласие каждого игрока). Решения, удовлетворяющие этим требованиям, называются дележами. Рассмотрению последних (для игр в нормальной форме) и посвящена первая глава диссертации.

Особое место среди условий, в которых приходится принимать решения, занимает наличие неопределенностей (помех, возмущений, ошибок измерения, запаздывания в каналах передачи информации и т.д.). Это особое положение определяется, в первую очередь, практической важностью, ибо необходимость принимать решения (для которых не удается полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние) встречается в подавляющем большинстве областей техники, экономики и социальных наук. Отказаться в такой ситуации от принятия решений большей частью бывает просто невозможно. Одновременно с тем, необходимо стремиться к оптимальному использованию имеющейся информации относительно поставленной задачи, чтобы, взвесив все возможные варианты решений, постараться найти среди них наиболее предпочтительный.

Причины появления неопределенных факторов могут быть весьма разнообразными (см. [26, 73]). В формальном отношении можно выделить два вида неопределенностей [26]:

1. стохастическая неопределенность, когда неизвестный фактор является случайной величиной, о которой известен лишь класс возможных законов распределения;

2. нестохастическая неопределенность, когда для неизвестных величин заданы лишь области их изменения.

В работе ограничились неопределенностями только второго вида.

В теории принятия решений существует несколько принципов, на основе которых могут быть построены оптимальные решения в задачах с нестохастической неопределенностью. К ним относятся: принцип гарантированного результата (принцип Вальда), принцип минимаксного сожаления (принцип Сэвиджа), принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица) и др. Все они были предложены для однокритериальных (скалярных) задач при неопределенности [35]. Однако почти всякая сложная практическая задача принятия решения является многокритериальной. В связи с этим особое значение приобретает активно развивающееся направление теории принятия решений, получившее название "многокритериальные задачи при неопределенности" [26 - 29, 73, 2, 54]. Основные исследования таких задач ведутся в рамках модификации принципа гарантированного результата. Этот подход получил название "векторного максимина" и в настоящее время активно разрабатывается в России профессором В.И. Жуковским [73] и его учениками Г.И. Житомирским [24], В.А. Матвеевым [37], В.В. Мухиным [42], И.В. Чернявским [56]. Основой здесь является обобщение понятий максимина и седловой точки антагонистической игры на векторный случай. Буквально в последние годы возникло новое направление - игровые задачи при неопределенности [25]. Однако исследования там ограничиваются бескоалиционным вариантом игры при неопределенности [20 - 22]. Кооперативные игры при неопределенности рассматриваются впервые в настоящей работе (в рамках указанного подхода [73]). Именно, во второй, третьей и четвертой главах диссертации исследуется понятие дележа для кооперативных игр без побочных платежей и при неопределенности.

Целью работы является формализация и исследование дележей в кооперативных играх без побочных платежей и при неопределенности. При этом предполагается, что о неопределенных факторах известны лишь границы изменений, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Формализация дележей основывается на двух подходах из теории многокритериальных задач при неопределенности [73]: "аналог векторной седловой точки" и "аналог векторного максимина". При этом используется понятие дележа из теории кооперативных игр [41, с. 156] и понятие "векторная гарантия" из теории многокритериальных задач при неопределенности. Исследования ограничены игрой трех лиц с целью наглядной геометрической интерпретации результатов.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации, которая состоит из четырех глав, разбитых на 15 параграфов. В первой главе (§1 - 4) исследуется понятие дележа в кооперативной игре трех лиц без побочных платежей (при фиксированной неопределенности).

Именно, в §1 приводятся условия существования или отсутствия мак-симинов и минимаксов.

§2 посвящен условию индивидуальной рациональности; установлено существование ситуаций, удовлетворяющих этому условию; исследованы свойства множества таких ситуаций.

В §3, используя понятия оптимальности из теории многокритериальных задач [29, 52] и основные требования к кооперативному решению [41], формализуются слейтеровские и паретовские дележи, борвейновские, джоф-фрионовские и А-квазидележи; проведена их классификация.

В заключительном §4 установлено существование введенных дележей и исследуются свойства множеств паретовских и слейтеровских дележей.

Содержание второй главы (§5 - 9) составляет исследование дележей в играх без побочных платежей и при неопределенности.

В §5 (на основе аналога векторной седловой точки из [73]) формализуются гарантированные дележи и квазидележи; приводится их классификация.

Следующий §6 посвящен геометрической интерпретации введенных решений.

В §7 установлено существование гарантированных дележей и в §8 для игры с "разделенными" функциями выигрыша предлагается алгоритм построения всего множества гарантированных паретовских и слейтеровских дележей.

Наконец, в §9 рассматривается линейно-квадратичная игра; найден явный вид ситуации, реализующей гарантированный дележ.

В третьей главе (§10 - 12) исследуется понятие дележа в игре без побочных платежей с "информированной" неопределенностью.

В §10 (на основе аналога векторного максимина) приводится определение гарантированного дележа и исследуются его свойства.

Далее в §11 установлено существование введенных дележей. Наконец, в §12 для линейно-квадратичной игры найден явный вид ситуации, реализующей гарантированный дележ.

В четвертой главе (§ 13 - 15) исследуется понятие дележа в дифференциальной позиционной линейно-квадратичной кооперативной игре без побочных платежей и при неопределенности. Именно, в § 13 приводится понятие гарантированного дележа и исследуются его свойства.

На основе метода динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова [32], в § 14 установлены достаточные условия существования ситуации, реализующей этот дележ.

Наконец, в § 15 найден явный вид гарантированного дележа и реализующей его ситуации. Также рассматривается игра с малым влиянием игроков на скорость изменения фазового вектора.

Основные положения, выносимые не защиту: формализована цепочка понятий дележа для кооперативной игры без побочных платежей, проведена классификация, выявлены условия существования; на основе принципа гарантированного результата введены понятия гарантированных дележей (аналог векторной седловой точки, аналог векторного максимина) для кооперативных игр без побочных платежей и при неопределенности, исследованы их свойства; для линейно-квадратичной игры при неопределенности найден явный вид ситуации, реализующей введенные дележи. на основе метода динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова, для дифференциальной позиционной линейно-квадратичной игры при неопределенности найден явный вид гарантирующей ситуации и гарантированного дележа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [74-81].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Оплетаева, Елена Николаевна, 1998 год

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 447 с.

2. Бардин А.Е. Векторный риск: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1993. 14 с.

3. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: Физматгиз, 1961. 126с.

4. Бондарева О.Н. О теоретико-игровых моделях в экономике. Ленинград: ЛГУ, 1974. 40 с.

5. Бондарева О.Н., Вилков В.Б., Кулаковская Т.Е., Наумова Н.М., Соколина H.A. Обзор советских работ по теории кооперативных игр. //Исследование операций и статистическое моделирование. Сб. науч. тр. Ленинград: ЛГУ, 1977. 4. С. 81 127.

6. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 1986. 104 с.

7. Вайсман К.С. Равновесие по Бержу. Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. СПбГУ, 1995. 15 с.

8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 549 с.

9. Вилков В.Б. Необходимые и достаточные условия существования ядра в кооперативных играх без побочных платежей на многогранных множествах. //Вестник Ленинградского университета, 1973. 19. 4. С. 21 — 27.

10. Вилков В.Б. N-ядро в кооперативных играх без побочных платежей. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. 14. 5. С. 1327- 1331.

11. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука,1984. 495 с.

12. Воробьев H.H. Развитие теории игр /см. 43. С. 631 694. В.Воробьев H.H. Современное состояние теории игр //Успехиматематических наук, 1970. XXV. 2(152). С. 81 140.

13. Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука,1985. 271 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1954. 492 с.

15. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.383 с.

16. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. 327 с.

17. Горелик В.А., Ларина О.В. Кооперативные игры с интервальной характеристической функцией // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. Сб. науч. тр. М.: ВЦ РАН, 1993. С. 75-91.

18. Давыдов Э.Г. Исследование операций. М.: Высшая школа, 1990. 384 с.

19. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1968 1983 г.г. / Под ред. В.И. Жуковского и Д.Т. Дочева. Болгария, Русе: Центр по математике, 1985. 114 с.

20. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1984 1988 г.г. / Под ред. В.И. Жуковского и В.Н. Ушакова. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. 139 с.

21. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1988 1994 г.г. / Под ред. В.И. Жуковского и В.И. Ухоботова. Челябинск: Челябинский ун-т, 1995. 123 с.

22. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981. 336 с.

23. Житомирский Г.И. Конфликтные динамические системы: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. ЛГУ, 1989. 16 с.

24. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 461с.

25. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: Международный НИИ проблем управления, 1990. 112 с.

26. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1988. 132 с.

27. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Многокритериальные задачи управления в условиях неопределенности. Тбилиси: Мецниереба, 1991. 128 с.

28. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления. Тбилиси: Мецниереба, 1996. 475 с.

29. Жуковский В.И., Тынянский Н.Т. Равновесные управления многокритериальных динамических систем. М.: МГУ, 1984. 224 с.

30. Жуковский В.И., Чикрий A.A. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1994. 320 с.

31. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

32. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

33. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

34. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: Иностр. лит-ра, 1961. 642с.

35. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

36. Матвеев В.А. Многокритериальная позиционная задача для параболической системы: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. Екатеринбург, УрГУ, 1992. 16 с.

37. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

38. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высш. шк., 1986. 288 с.

39. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. М.: Мир, 1991.464 с.

40. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985. 199 с.

41. Мухин В.В. Парето-оптимальные гарантии в динамических системах: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. М.: Ун-т Дружбы Народов, 1990. 14 с.

42. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708 с.

43. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 518 с.

44. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988. 264 с.

45. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. 230 с.

46. Петросян JI.A. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вестник ЛГУ, 1977. 19. С. 46 52.

47. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998. 304 с.

48. Петросян Л.А., Данилов Н.Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Томск. Ун-т, 1985. 276 с.

49. Печерский С.Л., Соболев А.И. Проблема оптимального распределения в социально-экономических задачах и кооперативные игры. Ленинград: Наука, 1983. 176 с.

50. Печерский С.Л. Аксиоматический метод в теории кооперативных игр. Автореф. дис. . доктора физ.-матем. наук. Москва, 1998. 31 с.

51. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.

52. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 372 с.

53. Смирнова Л.В. Принцип Гурвица в сложных управляемых системах: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. МПГУ, 1998. 13 с.

54. Соболев А.И. Кооперативные игры // Проблемы кибернетики, 1982. 39. С. 201 -222.

55. Чернявский И.В. Гарантии в многокритериальных задачах: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. ЛГУ, 1988. 13 с.

56. Al'breht E.G., Brodskaya L.I. On one Problem of Matrix Identification of the Linear Interval Systems II Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty: Abstracts. The IV-th Inter. Workshop. Orekhovo-Zuevo. Russia. 1996. P. 4.

57. Aumann R.J. Acceptable Points in General Cooperative N-person Games. //Contributions to the Theory of Games. Princeton: Princeton Univ., 1959. P.287 -324.

58. Aumann R.J. A Survey of Cooperative Games without Side Payments //Essays in Mathematical Economics. Princeton Univ., 1967. P. 3 27.

59. Aumann RJ. The Core of a Cooperative Game without Side Payments //Amer. Math. Soc. Providence. (R.I.) Trans., 1961. 98, 3. P.539 - 552.

60. Aumann R.J., Peleg B. Von Neumann-Morgenstern Solution to Cooperative Game without Side Payments. II Amer. Math. Soc. Providence (R.I.). Bull., 1960. 66, 3. P.173 179.

61. Billera L.J. Some Theorems on the Core of an n-Person Game Without Side Payments II SIAM J. Appl. Math. 1970. 3. P. 567 579.

62. Bondareva O.N. The Nucleolus of a Game Without Side Payments //Working Paper № 176, Institute of Mathematical Economics. Bielefeld University. Germany, 1989.

63. Kalai E. Excess Functions for Cooperative Games without Sidepayments //SLAM. Appl. Math., 1975. 29, 1. P. 60 70.

64. Kuzutin D.V. Extensive Game Solutions: Methods of Refinement II Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty: Abstracts. The LV-th Inter. Workshop. Orekhovo-Zuevo. Russia. 1996. P. 55.

65. Owen G. Values of Games Without Side Payments //Int. J. Game Theory. 1972. 1.2. P. 95- 109.

66. Peleg B. Bargaining Sets of Cooperative Games without Side Payments //Israel J. of Math., 1963. 1,4. P. 197-200.

67. Peleg B. Solution to Cooperative Games wihout Sade Payments II Amer. Math. Soc. Prov. (R.I.) Trans., 1963. 106, 2. P. 280 - 292.

68. Scarf H.E. On the Existence of a Cooperative Solution for a General Class ofN-person Games II Econ. Theory. New York ets, 1971. 3, 2. P. 169 181.

69. Shapley L.S. A Value for N-person Game without Side Payments II Proc. Conference. Princeton Univ., 1965. P. 9 14.

70. Stearns R.E. On the Axioms for a Cooperative Game without Side Payments //Amer. Math. Soc. Prov. (R.I.) Proc., 1964. 15, 1. P. 82 - 86.

71. Zakharov V.V. Time Consistent Optimality Principles in Cooperative Game //Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty: Abstracts. The LV-th Inter. Workshop. Orekhovo-Zuevo. Russia. 1996. P. 134.

72. Zhukovskii V.I., Salukvadze M.E. The Vector-Valued Maximin. New York ets: Academic Press, 1994. 404 p.

73. Кузнецова B.E., Оплетаева E.H. Одна дифференциальная игра без побочных платежей при неопределенности // Сложные управляемые системы. Межвузовский сб. науч. трудов. М.: РосЗИТЛП, 1996. С. 21 -25.

74. Оплетаева Е.Н. Два подхода к решению одной дифференциальной игры при неопределенности // IV Междунар. Конф. женщин-математиков "Математика, моделирование, экология": Тез. докл. Волгоград, 1996. С.99.

75. Оплетаева Е.Н. Дифференциальная игра без побочных платежей //Внутривуз. сб. "Труды молодых ученых". Орехово-Зуево, 1996. С. 9 -10.

76. Оплетаева Е.Н. Одна игровая модель при неопределенности /ЯП Междунар. конф. "Математика. Компьютер. Образование": Тез. докл. Дубна, 1996. С. 100.

77. Оплетаева Е.Н. Переговорное множество в игре при неопределенности //Межвуз. науч. конф. "Современные проблемы текстильной и легкой промышленности": Тез. докл. М.: РосЗИТЛП, 1998. 2. С. 132.

78. Opletayeva E.N. Guaranteed Imputation in Game without Side Payments hTV Междунар. конф. "Математика, компьютер, образование": Тез. докл. Пущино, 1997. С. 204.

79. Opletayeva E.N. Savage Guaranteed Solution in one Cooperative Game under Uncertainty II Multiple Criteria and Game Problems under Uncertainty: Abstracts. The IV-th Inter. Workshop. Orekhovo-Zuevo. Russia. 1996. P. 87.

80. Opletayeva E.N. Cooperative Decision Making in Competition Model II V Междунар. конф. женщин-математиков "Математика. Экономика": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1997. С. 136.