Функция спектрального сдвига в пределе большой константы связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Пушницкий, Александр Борисович

• Пушницкий, Александр Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пушницкий, Александр Борисович

Содержание

1 Введение

1 Постановка задачи

2 Обозначения. Предварительные сведения

3 Функция спектрального сдвига

4 Основной результат работы

5 Оператор Шредингера

6 Оценки для ФСС

7 ФСС в пределе большой константы связи

2 Представление для ФСС

8 Доказательство основной теоремы

9 Величины Л/± как функции от А, К, а

10 Величины Л/± как функции от Но) Сг, А

11 Представление (4.6): относительно ядерные возмущения

3 Вспомогательные факты об операторе Шредингера

12 Определение. Свойство доминации

13 Спектральные оценки и асимптотики

4 Интегральные оценки для ФСС

14 Абстрактные результаты

15 Приложения

5 ФСС в пределе большой константы связи

16 Считающие функции в пределе большой константы связи

17 Поточечная асимптотика

18 Интегральная асимптотика

19 Заключение

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функция спектрального сдвига в пределе большой константы связи»

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Модель Рассмотрим оператор Шредингера Но = —Л + и(х) в Х^О^)) (1 > 1, где II — некоторый периодический потенциал. Оператор Но есть гамильтониан электрона, находящегося в поле решетки некоторого ¿-мерного кристалла (без учета взаимодействия данного электрона с остальными свободными электронами кристалла — "одноэлектронное приближение"). Как хорошо известно, оператор Но имеет зонный спектр.

Далее, пусть в кристалл введена некоторая примесь, локализованная в конечной области пространства. Предположим, что количество атомов примеси можно каким-то образом менять. Модельным гамильтонианом для такой задачи может служить оператор Н(а) = Щ — аУ, где V = V(х) - потенциал, создаваемый одним атомом примеси, а а > 0 — параметр (константа связи), который можно интерпретировать как количество атомов примеси. Непрерывный спектр оператора Н(а) совпадает со спектром Но. В отличие от Но, оператор Н(а) может иметь дискретный спектр в лакунах непрерывного. При изменении константы связи а дискретный спектр оператора Н(а) изменяется.

1.2 Поток собственных значений Предположим для простоты, что потенциал V неотрицателен: V > 0. Тогда все собственные значения Хп(а) оператора Н(а) являются невозрастающими функциями параметра а. Пусть (А_,А+) — лакуна в спектре оператора Но. При непрерывном росте а собственные значения Ап(а), находящиеся в лакуне (А_, А+), двигаются справа налево (т.е. в сторону отрицательных энергий) и в конце концов "исчезают" на левом крае А_ лакуны. В то же время, на правом крае А+ при росте а "рождаются" собственные значения. Таким образом, мы приходим к следующей картине: при росте а имеется поток собственных значений справа налево; этот поток "течет" в лакунах, "просачиваясь" через непрерывный

спектр.

Этот поток подчиняется некоторому асимптотическому закону сохранения. Именно, для точки Л из лакуны спектра Н0 обозначим через N+(X,a) количество собственных значений (с учетом кратностей) оператора H(t), проходящих через Л при монотонном росте параметра t от 0 до а. Оказывается, что при достаточно быстром убывании V(x) на бесконечности главный член асимптотики величины N+(X,a) при а —V оо не зависит от Л:

где — объем единичного ¿-мерного шара.

1.3 ФСС Настоящая работа посвящена функции спектрального сдвига (ФСС) — важному объекту спектральной теории, введенному физиком-теоретиком И. М. Лифшицем в 1952 г. и впоследствии изученному М. Г. Крейном. ФСС £(А) для пары операторов Но, Н(сх) является естественным аналогом "считающей функции" М+ (А, а) на непрерывном спектре. Основной результат работы (см. параграф 4) — некоторое новое формульное представление для ФСС. Из этого представления, в частности, вытекают некоторые интегральные оценки для ФСС, а также асимптотическое соотношение вида (1.1) для ФСС на непрерывном спектре.

2 Обозначения. Предварительные сведения

2.1 Общие обозначения Обозначения Н, Z, К, С имеют стандартный смысл; 1+ = {0}им, - (0,1)й С Г*, С+ = {г е С I 1тг > О}. Стандартное скалярное произведение и норма в Са обозначаются через (•, •) и |-|; 1 — единичная йхй-матрица. Через теав5 обозначается мера Лебега борелевского множества 8 С М; есть объем единичного шара в К6*. Характеристическая функция множества М обозначается через \м\ в(х) = Х(0,оо)(х), х 6 К. Количество элементов множества М обозначается через фМ. Интеграл без указания пределов интегрирования подразумевает интегрирование по Формулы и утверждения с двойными индексами (± и следует читать как пары независимых утверждений, в одном из которых все индексы принимают верхние значения, а в другом — нижние. Через С, с обозначаются различные оценочные постоянные; константа, впервые появляющаяся в формуле с номером (г^), обозначается через С. В утверждениях, включающих в себя оценки сверху, мы предполагаем конечными все величины (нормы и интегралы) в правых частях, не оговаривая этого особо в формулировках. Для вещественнозначной функции / мы полагаем /± := (|/| ± /)/2.

2.2 Функции Пусть О С — открытое множество. Пространства Со°(П), Ьр(С1), Хр>1ос(П) определяются обычным образом. Нг(0,) — пространство Соболева и — замыкание Со°(0) в #Х(Г2). Пространство

(1.1)

состоит из таких функций /, что |/|log(l + |/|) G Li(Cl). В пространстве L logL(O) можно ввести норму Орлича, соответствующую функции B(s) ~ (1 + |s|)log(l + |s|) — |s| (см. [61, 62]). Определим слабые Х^-классы. Для измеримой функции / положим

pf(t) = meas {х е | \f(x) >t}, t> 0.

Класс LP:OO(0,), 0 < р < оо, состоит из функций / таких, что конечна квазинорма

\\f[\Lp¡co := suPí(P/(í))1/p-í>0

Классы XPj00(fi) несепарабельны. Сепарабельное подпространство Lp>(X(Q) С ip,oo(íí) выделяется условием

tppf(t) -» 0 при t ->• 0 и í ->■ оо.

Далее, пусть L — любой из классов Lp, LP!OC, LPjO0- Решеточный класс ZT(Zd; L(Qd)), г > 0, состоит из таких функций, что

:= S IMII(Q"+¿)

\j£Zd

а класс l00(Zd; L(Qd)) — из таких функций, что

IMIioo(£) sup ||u||L(Qd+j) < оо. j&d

Подпространство l^(Zd\L(Qd)) С l00(hd-, L(Qd)) выделяется условием

IMIw+j) 0 пРи lil

Наконец, запись / б Lioc(fi), как обычно, означает, что сужение / на любой компакт К C.Q принадлежит классу L(K).

2.3 Операторы Ниже %, Hi, Н2 — сепарабельные гильбертовы пространства. Для линейного оператора А обозначения DomA, Ran А, КегА, rank А, А*, А(г(А), р(А) имеют стандартный смысл. А — замыкание оператора А, I — единичный оператор, |А| = {A*A)1/2, R(z,A) = {А - zl)"1. Для самосопряженного оператора А символ Дд(<5) обозначает спектральную меру борелевского множества S С К; А± :— (|А| ± Л)/2\ ар(А), аас(А) обозначают соответственно точечный и абсолютно непрерывный спектры А и т(А) := inf а(А).

Через B(Hi,H2) и &00(Hi,'H2) обозначаются соответственно пространства ограниченных и компактных операторов, действующих из Hi в Н2', В(%) := В{%,%), 6оо(Н) := &оо{Н,Н). Для Т = Т* G &оо{Н) и 8 > 0 мы обозначаем

/'

< оо,

n±is>T) := ranki£±r((s,+00)), а для T e ©00(^1^2) полагаем n(s,T) := n+(s2,T*T). При этом ясно, что для Т = Т* имеем n(s,T) = n+(s,T) + n_(s,T).

Для компактных самосопряженных операторов Ti, Т2 имеет место оценка (см., напр., [7])

n±(si + S2,Ti + T2) <П±(в1,Г1)+П±(52>Г2), si, s2>0, (2.1)

которая может быть записана в виде

n±{sí,T1 + T2)>n±(s1 + s2,T1)-n4:{s2,T2), Si, s2>0. (2.2)

Если Т = Т* е &оо{П), а Б € В (П), ||Я|| < 1, то

n±(s,BTB*) <n±(s,T), s > 0. (2.3)

2.4 Классы компактных операторов Для 0 < р < оо класс Неймана-Шаттена &р(11и'Н2) С ©оо(^1,^2) есть множество операторов Г таких, что конечен функционал

/ roo \ 1/р

1|Т||вг> := Wo • (2-4)

Функционал У • ||@р есть норма при р > 1 и квазинорма при р < 1. Отметим неравенство

\\TiT2\\6p <||Ti||eJ|T2||6r, р"1 = Г1 + г"1. (2.5)

Для 0 < р < оо класс mp('Hi,'H2) С вooÍHi^Hq) есть множество всех компактных операторов Т таких, что конечен функционал

||Г||Е,:= (sup Г)) /Р ■ (2-6)

\8> 0 /

Функционал У • ||sp является квазинормой. Классы ЕД'Нь'Нг) несепарабельны (при dirndl = d.mi%2 = 00); сепарабельное подпространство С определяется условием

Sj := {Т е £р I Дт^п^Т) = 0}. Отметим, что С Для Т = Т* е &оо вводятся функционалы

Д^(Т) := lim sup spn±(s,T), (2.7)

S—»-ОО

¿(±) (Г) lim inf spn± (s, T), (2.8)

s—»-оо

так что 0 < ¿^(Т) < Др^(Г) < оо. Функционалы Др^, óp^ непрерывны в Кроме того,

Д(±)(Г1) = А^(Т2) если Тг - Г2 е (2.9)

Последнее утверждение, по существу, есть асимптотическая лемма Г. Вейля. Подробнее о функционалах Sp^ см. [7] и [8].

2.5 Операторные суммы Пусть H — основное, а К — вспомогательное гильбертово пространство, Но — самосопряженный оператор в H и G : Ti —У К — линейный оператор. Предположим, что

Dom|#o|1/2 cDomG, G(|tf0| + /)~1/2 G ©«>(?*,К). (2.10)

Далее, пусть

Ф = Ф* € В (/С). (2.11)

Ниже мы определяем самосопряженный оператор H = Яф(Яо, G), отвечающий формальной сумме Но + G*<&G. Для 2 G р(Но) определим компактный в К оператор

T(z- Н0, G) := (G(|#o| + /Г1/2)(|Я0| + I)R(z, H0)(G(\H0\ +1Г1/2)*. (2-12)

Если G замыкаем и, следовательно, G* плотно определен, то оператор T(z;Hq,G) может быть определен как замыкание оператора GR{z,Ho)G*. Мы будем писать T(z) или Т вместо T{z\Hq,G), если выбор операторов Но и G ясен из контекста.

Несложное рассуждение (см., напр., [63, п. 1.10]) показывает, что при всех г 6 С\1 выполнено включение

-1 G р(ФТ(г)). (2.13)

Определим ограниченный оператор R(z) в H формулой

R(z)=R(z,H0) - (GR(z,Ho))*(I + ФT(z))-1(ФGR(z,Ho)). (2.14)

Здесь г G р(Н0) — такое, что выполнено (2.13) (в частности, годится любое z G C\R). Следующее предложение содержится, например, в [63, п.1.9-1.10].

Предложение 2.1 Пусть выполнены условия (2.10), (2.11). Тогда:

(i) Оператор R(z) из (2.14) совпадает с резольвентой в точке z некоторого самосопряженного в H оператора H = H^{Hq,G). Оператор H не зависит от выбора точки z.

(ii) При всех z G р(Но) П р{Н) выполнено (2.13) и равенство (2.14) верно при R{z) = R(z,H).

(iii) Если оператор Но полуограничен снизу, то H тоже полуограничен снизу и для любого До < min(га(Я),т(Я0)} форма ((Я - А0Z)1/2/, (H - А0 совпадает с суммой форм ((Я0 - А0Z)1^2/, (Я0 - Ао 1)г^2д) + (ФС?/, Gg).

(iv) Если G замкнут, а оператор G*QG является Но-ограниченным с относительной гранью 7 < 1, то H совпадает с суммой Но + G*QG в смысле теоремы Като-Реллиха.

Замечания 1. Ниже мы в большинстве случаев (а в приложениях — всегда) будем иметь дело с полуограниченными снизу операторами Яо, Н. При этом из (2.10) следует, что

Бот|#оГ/2 = Оот|Я|1/2. (2.15)

2. При условии (2.15) оператор Т(,г;Я, (?) корректно определен. Из (2.14) следуют тождества

(I + ФТ(г; Но, (?))(/ - ФГ(г; Я, С))

= (I - ФТ(г; Я, С))(1 + ФГ(г; Я0, С)) = 1, г 6 р{Н) П />(Я0). (2.16)

3. Описанная выше конструкция операторной суммы будет встречаться нам в двух вариантах.

А) Пусть Ф = ±/. Тогда условимся обозначать оператор, отвечающий формальной сумме Но ± через

Я±(Яо,(7) := Я±/(Я0,С).

Б) Пусть Яо — самосопряженный оператор в %, /С+ и —

вспомогательные гильбертовы пространства и : И —>■ /С± — линейные операторы, удовлетворяющие условиям вида (2.10):

Оот|Я0|1/2 СБот(?±, С±(|Я0| + /)~1/2 € &ж{% К). (2.17)

Для того, чтобы определить оператор, отвечающий формальной сумме Но — (7+С+-Ь(7!!1Сг_, поступим следующим образом. Положим К, = /С+ф/С_, С = Сг+Ф 0-, Ф = (—1) Ф I и определим оператор Нф(Но,0). В этом случае условимся писать

Я(Яо, Сг+, (?_) := Яф(Яо, С).

2.6 Считающая функция N. Принцип Бирмана—Швингера для полуограниченных операторов Пусть оператор Но в И полуограничен снизу, а операторы (т± : Н —>■ К.± удовлетворяют условиям (2.17). Для любого а > 0 определим оператор

Н(а) := Я(Я0, у/ав-), (2.18)

отвечающий формальной сумме Яо — агС+С-). + ай*_С-, в соответствии с конструкцией предыдущего пункта (т.е., в данном случае, через соответствующие квадратичные формы — см. предложение 2.1(ш)). Положим

;Я0, се) := ггшкЕн(в)((-оо, А)), А < ш(Я0). (2.19)

Если выбор операторов Яо, (?_ ясен из контекста, то мы будем писать ЛГ(А, а) вместо Л^(А;Яо,(■?+,а). Далее, определим операторы

Х±(А) := С±Я1/2(А,Яо), Я±(А) := Х£(А)Х±(А), А < т(Я0). (2.20)

Следующее утверждение хорошо известно и может быть получено, например, из вариационных соображений.

Предложение 2.2 Пусть выполнены условия (2.17). Тогда имеет место соотношение

N{\) Но, G+, G-) а) = п+(аГг, Z+(X) — Z_(A)), А < т(Н0). (2.21)

2.7 Считающие функции N±. Принцип Бирмана-Швингера для знакоопределенных возмущении Пусть Но — самосопряженный оператор в % и для G /С выполнены условия (2.10). Определим операторы

H±(H0,G). Хорошо известно следующее утверждение (см., напр., [32] или в полуограниченном случае [3]).

Предложение 2.3 При условии (2.10) имеет место равенство

dimKer (Я±(Я0,G) - XI) = dimKer (Т(А;Я0, G) ± I), А еМ\<т(Я0). (2.22)

Из предложения 2.3, в частности, следует, что собственные значения оператора H±(Ho,\/ctG), а > 0, суть монотонные функции а. Для А € R \ сг(Яо) и а > 0 считающая функция N±(\-, Я0,С;а) определяется как количество собственных значений (с учетом кратностей) оператора HT(Ho,VtG), проходящих через точку А, когда параметр t монотонно растет в интервале (0, а). Для удобства дальнейших ссылок запишем формально

N±(\;H0,G-,a) = #{te (0,а) | X е a(HT(H0,VtG))}, X eR\a(H0). (2.23)

Из предложения 2.3 вытекает тождество

iV±(A;Яо,<2;а) = п±(а~г,T(X]Hq,G)), X £R\a{H0). (2.24)

Наконец, отметим очевидное равенство

N+(X-,H0,G;a) = N(X-,Ho,G,0-,a), X <т(Н0). (2.25)

3 Функция спектрального сдвига

3.1 Ядерные возмущения Пусть Но и Я — самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Киих разность V ядерна:

У :=Я-Я0 € &1{П). (3.1)

Тогда имеет место следующая формула следа Лифшица-Крейна:

/оо

£(А; Я, Но)ф' (X)dX. (3.2)

-оо

Здесь ф — любая функция из некоторого подходящего функционального класса, а функция £(А;Я, Я0) есть ФСС для пары Я0, Я. ФСС дается формулой Крейна [34]

£(А; Я, Но) = - lim argdet(/ + VR(X + ie, Я0)), п.в. А Gl. (3.3)

Ветвь аргумента в (3.3) фиксируется условием

arg det(J + VR(z, Я0)) —> 0, Im г +оо. (3.4)

ФСС была впервые введена (на формальном уровне) в работе И. М. Лифшица [37] по квантовой теории твердого тела. Основы математической теории ФСС были заложены М. Г. Крейном [34]. Современное состояние теории ФСС описано в [16, 63]; там же можно найти подробную библиографию.

Достаточные условия на функцию ip, гарантирующие ядерность оператора <р(Н) — (р(Но) и справедливость формулы (3.2), были даны в [34]; более точные условия, близкие к необходимым, имеются в [43]. Во всяком случае, класс допустимых функций включает в себя Со°(Е). ФСС удовлетворяет неравенству Крейна [34]

K(A;tf,#o)|dA<p4|6l. (3-5)

J —оо

Кроме того [34],

-rank VI < £(А; Я0, Я) < гапкУ+,

откуда следует, что

±У>0 ±£(А; Я, Но) > 0. (3.6)

В свою очередь, из (3.6) вытекают неравенства

£(А; Но - У_, Н0) < £(А; Я0 + У, Щ) < ^(А; Я0 + V+, Я0). (3.7)

Если операторы Я0, Hi, Щ в Н таковы, что разности Я2—Hi и Hi—Но ядерны, то, как следует из формулы следа (3.2),

£(А; Я2, Я0) = £(А; Я2, Ях) + ^(А; Яь Я0). (3.8)

Обсудим поведение ФСС вне существенного спектра Я0. Если оператор Но полуограничен снизу, то, выбирая подходящую "пробную" функцию <р в (3.2), найдем, что

£(А; Я, Но) = -гапкЕя((-оо, А)), А < Ыа{Н0). (3.9)

Далее, пусть интервал (a, i) С К не содержит точек существенного спектра оператора Но- Тогда, вновь используя (3.2), находим:

- 0; Я, Н0) - £{а + 0; Я, Я0) = гапк£Яо((а, Ъ)) - гапкЯя((а, 6)). (3.10)

Формула (3.10) позволяет интерпретировать ФСС как проинтегрированную плотность изменения числа собственных значений при введении возмущения.

Для знакоопределенных возмущений имеет место формула Соболева [58] для ФСС:

£(А;Яо±У,Яо) = ±пт(1;УУД(А,Яо)\/У), АеК\<г(Я0), У > 0. (3.11)

Отметим, что, в силу принципа Бирмана-Швингера (2.24), величина пт(1,л/УЛ(Л,Я0)\/У) в правой части (3.11) совпадает со считающей функцией ЛГт(А;Яо, л/У; 1) (см. (2.23)).

На абсолютно непрерывном спектре оператора Но ФСС связана с матрицей рассеяния 5(Л;Я, Но) формулой Бирмана-Креина [5]:

<1<Л ^(Л; Я, Но) = п.в. Л е сгас(Я0). (3.12)

Эта связь позволяет интерпретировать ФСС как фазу рассеяния и стимулирует интерес к ней в квантовомеханических задачах. В несколько иной форме в конкретной задаче (одномерный оператор Шредингера) соотношение (3.12) было известно до абстрактной работы [5] (см [38, 19]). В задачах математической физики часто бывает удобна "дифференциальная форма" соотношения (3.12) — см. [20].

3.2 Относительно ядерные возмущения В приложениях вместо (3.1) обычно удается проверить включение

/(я)-/(я0)ебх(я), (3.13)

где / : (а, Ъ) —»■ М — некоторая достаточно гладкая монотонная функция, а (а,Ь) С1 — интервал, содержащий <т(Я) исг(Я0). Тогда ФСС для пары Яо, Я определяется естественной формулой

£(А;Я,Я0) :=ш8п//е(/(А);/(Я),/(Я0)). (3.14)

Как легко убедиться с помощью замены переменной в интеграле, формула следа (3.2) для пары Яо, Я остается в силе при определении ФСС через (3.14); требует пересчета лишь класс допустимых функций (р. Обсудим, что происходит со свойствами ФСС, упомянутыми в п. 3.1, при таком определении ФСС.

Неравенство Крейна (3.5) переходит в оценку

/оо

|£(А;Я,Я0)||/'(А)ИА< У(Н)-ЦНо)\\&1. (3.15)

-оо

Соотношение (3.6) иногда может быть оправдано. В случае, когда операторы Яо и Я полуограничены снизу, а

/(А) = (А - Хо)~к, к> 0, А0 < тш{го(Я0), т{Н)}, (3.16)

(3.6) было доказано в [33] (эта ситуация охватывает большинство практически интересных приложений). Отметим, что при 0 < к < 1 нужное утверждение

немедленно следует из неравенства Гайнца (см., напр., [63, п.8.10]); нетривиальным является лишь случай к > 1. Другой подход к оправданию (3.6), использующий соображения гладкой теории рассеяния, был указан в [29].

Если операторы Я0, Н\, Я2 в % таковы, что разности /(Я2) —/(#1) и /(Я1) — /(Но) ядерны, то, очевидно, справедливо соотношение (3.8). Равенства (3.9) и (3.10) также сохраняют силу. Оправдание (3.11) возможно в большинстве практически интересных случаев, однако в рамках общей теории оно требует каких-либо более детальных предположений об операторах Но, V и функции /. Наконец, в силу принципа инвариантности для матрицы рассеяния (см. [2, 28] или [63, п.7.2]), формула Бирмана-Крейна (3.12) справедлива для широкого класса функций /.

4 Основной результат работы

4.1 Основная теорема Пусть И — основное, а 1С — вспомогательное гильбертово пространство и Но — самосопряженный оператор в И. Пусть

Се62(Я,/С). (4.1)

Положим V := (?*<3(е ©^"Н)) и определим операторы Н± = Я0 ± V. Запишем формулу Соболева (3.11) в виде

£(А; Н±, Но) = ±^(А; #0, С; 1), А е М \ а(Н0). (4.2)

Основной результат настоящей работы, который мы формулируем ниже, можно рассматривать как обобщение формулы (4.2) на случай А е сг(Яо). Определим аналог функций Л^(А; Н0, <3; а) на спектре оператора Но-Обозначим

А(г-,Н0,С) = КеТ(г-,Н0,в), К{я\Н0,в) = 1шГ(г;Я0,(?), г £ р(Я0), (4.3)

где оператор Г(^;Я0,О) определен в (2.12). Хорошо известно (см. [13] или [63, п.6.1]), что при условии (4.1) оператор Т(г;Яо,С) имеет предельные значения при г —А + гО при п.в. А € Е в класе @2(/С) и при этом К(А + ¿0) е &\(К). Для таких А обозначим

Л4(А;Я0,С;а) := - / ——^(сТ1; А(А+г0; Я0, С)+Ш(Х+10-, Я0, в)), а > 0.

^ ^ —ОС ®

(4.4)

Нетрудно проверить, что интеграл в (4.4) сходится в силу включения К(А + гО) е &1- Очевидно, вне спектра имеем

ЛГ±{А; Н0, С; а) = п±{а-\Т(Х)) = ЛГ±(А; Я0, С; а), А £ К \ а(Н0). (4.5)

Теорема 4.1 Пусть выполнено условие (4.1). Тогда при п.в. А 6 М справедливо представление

£(А;Я±,#о) = ±ЛГт(А;Яо,С;1). (4.6)

В силу (4.5), вне спектра представление (4.6) переходит в формулу Соболева (4.2). Нетривиальным является лишь случай точек А, лежащих на спектре Щ. Тогда интеграл в (4.4) осуществляет своеобразное "сглаживание" целочисленной считающей функции п±. Разумеется, сама функция Л/± на спектре не обязана быть целочисленной.

Теорема 4.1, ее обобщения, следствия и приложения к теории оператора Шредингера составляют содержание настоящей работы. Доказательство теоремы 4.1 приведено в параграфе 8. Оно основано на общих операторных соотношениях, близких к формуле Бирмана-Крейна (3.12). Именно, при доказательстве вводится некий оператор, копирующий по своей структуре стационарное представление для ¿^-матрицы. При анализе этого оператора используются приемы, сходные с техникой работ [59, 60].

4.2 Величина Л/± При рассмотрении конкретных задач оказывается, что существование величины Л/± удается установить при несколько более широких и естественных условиях, чем существование ФСС (см. п. 13.2). По этой причине мы определяем величину Л/± независимо от ФСС и предпринимаем попытку провести ее прямой анализ на основе определения (4.4). Именно, в параграфе 9 изучается зависимость величины Л/±(А; Но, (7; а) от операторов А(А+гО) и К(А + г0). При этом происхождение операторов А(А + гО) и 7^(А+г0) и связь Л/± с ФСС не играют никакой роли. В результате такого анализа для Л/± получено еще одно формульное представление, отличное от исходного определения (4.4). Именно, теорема 9.3 дает следующее соотношение, справедливое при условии ±1 6 р(А(Х + гО)):

Л/±(А; Н0, 1) = п±(1, А) Т тг^Тг агс1е {КХ'2(А 1)~ХК1/2). (4.7)

В результате дальнейшего анализа формул (4.4), (4.7) получены оценки величины Л/± в терминах спектральных характеристик операторов А{А + гО) и К{А + гО). Кроме того, указан критерий непрерывности величины М±, получены явные формулы и оценки для ее производных по А, К, а.

В параграфе 10 величина Л/± рассматривается как функция операторов Но и С. В результате выясняется, что Л/±(А; Но, С; а) имеет смысл для весьма широкого класса возмущений (7, удовлетворяющих лишь некоторым условиям локальной ядерности вместо (4.1) (см. следствие 10.7). Оказывается, что такое "широкое" определение функции Л/± обладает рядом естественных свойств. В частности, выполнен аналог свойства монотонности (3.6) ФСС и другие полезные неравенства.

На основе проведенного анализа величины Л/± в параграфе 11 представление (4.6) переносится на некоторые классы относительно ядерных возмущений. Это открывает дорогу применениям представления (4.6) к задачам математической физики.

5 Оператор Шредингера

В главе 3 собраны вспомогательные утверждения об операторе Шредингера, не связанные непосредственно с ФСС, но необходимые в дальнейшем. Предложения, сформулированные в главе 3, более или менее хорошо известны в литературе; в настоящей работе были лишь уточнены некоторые детали. Ниже во введении исключительно для упрощения формулировок мы считаем, что в, > 3 (если явно не указаны иные условия на (¿); в основном тексте (за исключением параграфа 18) рассмотрен общий случай й > 1.

5.1 Определение Пусть д — — вещественная измеримая й х й-

матричнозначная функция (метрика пространства),

<д(х) <0+1, 0<д- <д+<оо, (5.1)

А = — вещественный магнитный вектор-потенциал,

А е Ь2,юсС»*), (5-2) и — скалярный вещественный электрический потенциал,

и еЬ^ос{Жа), и> 0. (5.3) Определим оператор Шредингера

Н0(д,А,и)= ]Г (-^-А^+Щх). (5.4)

к, ¿=1 ^

При выписанных условиях на д, А, и оператор Но = Но(д,А,и) корректно определяется через соответствующую квадратичную форму. Полугруппа, порождаемая уравнением теплопроводности для оператора Но, поточечно доминируется соответствующей полугруппой для оператора (—А):

\е~ш°ф\ < Ме^А\ф\, Ш > 0, ф е Ь2(Ша),

где М > 0 и /5 > 0 — некоторые константы, зависящие от д. Это свойство в дальнейшем играет существенную роль. В п. 13.1 оно позволяет получить оценки ядерного типа для оператора Но, возмущенного потенциалом V = У(х) > 0. В результате оказывается следующее. Пусть V факторизован в виде V = 0*Сг (например, можно взять С = ^/У).

1. Пусть V е Ь1(Ша), ¿>1. Тогда при п.в. АеК величины Л/±(А; Я0,С; а), а > 0, корректно определены.

2. Пусть выполнены условия

V е ^(Г*), й < 3, (5.5)

V ек(Ъа-,12(Яа))(С Ь^К4)), ¿>4. (5.6)

Тогда для пары операторов Но, Hq ± V выполнено включение вида (3.13) и, следовательно, ФСС корректно определена. Справедливо представление (4.6).

Таким образом, как указывалось выше, существование величин Л/±(А; Но, G\ а) удается проверить в более широких предположениях, чем существование ФСС и справедливость представления (4.6).

5.2 Оценка ЦЛР и вейлевская асимптотика Пусть Но — оператор Шредингера (5.4), а потенциал возмущения V = V(х), х £ Rd, записан в виде V = G+G+ — G1G_; например, можно взять G± := y/V±. Пусть V удовлетворяет включению

VeLd/2{Rd). (5.7)

Тогда для функции N+(X; Но, G; а), А < 0, справедливо неравенство Цвикеля-Либа-Розенблюма:

N+(А; Н0, G; а) < C(d)ad/2gld/2 J V+/2{x)dx, d> 3. (5.8)

Далее, пусть, дополнительно к (5.1)-(5.3) и (5.7), имеет место включение

|A|2 + ^eL°/2;OOil0c(Ed). (5.9)

Тогда положим

С5.ю(*0 ••= (2ir)-dwd JVl/2(x)(detg(x))-^2dx-, (5.10)

ясно, что величина С5.ю(У) конечна при условиях (5.7), (5.1). Справедлива следующая асимптотическая формула вейлевского типа:

lim a-d/2N(\-,H0,G+,G-,a) = C5Ao(V), А < 0. (5.11)

a—too

Формула (5.11) доказывается вариационным способом. Необходимые литературные комментарии по поводу материала этого пункта даны в п. 13.3.

6 Оценки для ФСС

6.1 Поточечные оценки Пусть

Н0 = - А в L2(M.d), d> 2, H = H0 + V(x). (6.1)

Вопрос об оценках ФСС для пары Но, Н вида (6.1) рассматривался в [58]. На потенциал V накладывалось условие

\V(x)\<(1 + 1*1)-', p>d.

Была получена оценка (см. [58, теорема 4.2])

\Z(\;Ho + aV,Ho)\ < C(a(d/24 аА^Ь^) log А| + 1)), Уа > 0, А > с, (6.2)

а для V > О — более точная оценка

£(А; Но + о;У, Но) < logЛ| + 1), Va>0,A>c. (6.3)

Здесь С, с — некоторые положительные числа, которые не зависят от спектрального параметра А и константы связи а, но, возможно, зависят от V (характер этой зависимости в [58] не прослеживался).

Помимо оценок (6.2), (6.3), известны многочисленные результаты об асимптотике £(\-,Ho + aV,Ho) при А —> оо и фиксированном а (высокоэнергетические асимптотики — здесь исходные результаты были получены в [21]), а также при а-)ооиА->оои фиксированном А/а (квазиклассические асимптотики) -— см., напр., обзор [48] и цитированную там литературу.

6.2 Интегральные оценки Упомянутые в предыдущем пункте результаты о поточечных оценках и асимптотиках ФСС пары операторов (6.1) в той или иной форме используют тот факт, что спектр Hq абсолютно непрерывен и оператор V является гладким относительно Но в определенном смысле. В настоящей работе мы следуем иному подходу и рассматриваем ФСС целиком в рамках Фермой теории возмущений. Опираясь на неравенство Крейна (3.5), в главе 4 мы получаем интегральные оценки для ФСС пары операторов

Но = Ho(g, A, U), H = Ho + V{x). (6.4)

Приведем в качестве примера оценку

поо /»оо р

/ |£(А; Но + V, Ho)\f(X)d\ < Сх / f(X)dX / V*/2(x)dx+ J о J о J

+С2 f" X^-xf{X)dX J\V(x)\dx, (6.5)

причем, если V > 0, то, очевидно, первый член в правой части пропадает и мы получаем

/< ОС /»ОО Л

/ £(А; Hq + V, Ho)f(X)dX < / X^~1f(X)dX / V(x)dx. (6.6) J о J о J

Здесь / = /(А) — неотрицательная монотонно убывающая функция из некоторого достаточно широкого класса, а С\, С2 — константы, не зависящие от А, V, /. Точные формулировки см. в параграфе 15.

Разумеется, поточечные оценки (6.2), (6.3) сильнее интегральных оценок

(6.5), (6.6) (с точностью до констант и логарифмического множителя). Однако используемый нами метод получения интегральных оценок "нечувствителен" к характеру спектра Но. Это позволяет рассмотреть в качестве Но широкий класс операторов Шредингера ((6.4) вместо (6.1)), а также не накладывать излишних ограничений на возмущение V. Для справедливости оценок (6.5),

(6.6) достаточно лишь, чтобы были выполнены условия (5.5) и (5.6) и интегралы в правых частях (6.5), (6.6) сходились. Кроме того, в отличие от (6.2), (6.3), оценки (6.5), (6.6) явным образом включают в себя зависимость от V.

7 ФСС в пределе большой константы связи

Основной результат главы 5 — асимптотическая формула для ФСС, подобная (5.11) (см. ниже (7.6)). Эта формула получается с помощью (5.11) и абстрактной теоремы о стабильности (независимости от спектрального параметра Л) главного члена степенной асимптотики ФСС при а —> оо. Естественными предшественниками этой теоремы являются утверждения о стабильности главного члена асимптотики считающих функций спектра. Ниже мы обсуждаем вначале асимптотическое поведение считающих функций спектра, а затем — ФСС.

7.1 Считающая функция N+ в лакунах В работе [3] была доказана абстрактная теорема о стабильности главного члена асимптотики iV+(A; Но, G; а) при а -4 оо (нужный нам упрощенный вариант этой теоремы сформулирован ниже в п. 16.3). В результате применения этой теоремы к оператору Шредингера получается следующее (см. [6]).

Пусть Но = H0{g,A,U), а потенциал V > 0 неотрицателен и факторизован в виде V = G*G. При условиях (5.1)-(5.3) и (5.9) на д, А, U и (5.7) на V оказывается, что величины

limsupa-d/2iV+(A; Я0, G; а), liminf a~d/2N+{X-, Я0, G; а)

а-юо а-юо

не зависят от А е М\сг(Яо). Тем самым, учитывая (5.11), получаем:

lim a~d'2N+{\-Ho,G-,a) = С5.ю(П А е Е\<т(Я0). (7.1)

а—юо

При несколько более ограничительных условиях на параметры задачи эта формула была доказана ранее другим способом в [25, 26]; см. также обзор [4] и цитированную там литературу. Отметим, что в [6] был рассмотрен случай плоской метрики д = 1. Общий случай рассматривается совершенно аналогично; для полноты изложения мы приводим доказательство в п. 16.3.

Если Но — периодический оператор, то, при некоторых дополнительных ограничениях на У и на структуру спектра Но, формула (7.1) справедлива также для точек А, лежащих на границе непрерывного спектра Но — см., напр., обзор [4].

7.2 Считающая функция N в лакунах Пусть теперь потенциал V не обязательно знакоопределен: V = G+G+ — G*_G_. Собственные значения оператора H(t) := H{Hq, y/tG+, т/tG-) суть вещественно аналитические функции параметра t. При возрастании t они могут проходить через точку А е R \ а (Но) или справа налево, или слева направо, или "поворачивать" в точке А. Для а > 0 обозначим через а) и iV(_)(A,o;) количества собственных значений (с учетом кратностей) оператора H(t), пересекающих точку А справа налево и слева направо при росте t от 0 до а. Следуя [51], положим

N(\-HQ,G+,G^,a) := N^(X,a)-N^(\,a), А G М \ ст(Н0). (7.2)

Собственные значения, "поворачивающие" в точке Л, не учитываются в выражении (7.2) — см. [51, 52]. Очевидно, для знакоопределенных возмущений считающая функция (7.2) совпадает с ±N±:

iV(A; Н0, G+, 0; а) = N+(А; Я0, G+, а), А е R \ а(Н0), (7.3)

N(X; Но, 0, а) = -АГ_(А; Я0, а), Ае1\а(Я0).

Далее, для А < т(Но) определение функции N(X;Ho,G+,G--,a) совпадает с данным ранее (см. (2.19)). Заметим также, что, как показано в [51], функция (7.2) допускает представление, отвечающее последовательному "включению" положительной и отрицательной частей возмущения V:

АГ(А; Но, G+, G_; а) = N+( А; Я(Я0,0, y/äG-), G+-, а)- N-{ А; Я0, G_; а). (7.4)

В [51] была доказана абстрактная теорема о стабильности главного члена степенной асимптотики N(X;Ho,G+,G-;a) при а —» оо. Применяя эту теорему к оператору Шредингера и учитывая формулу (5.11), получаем следующее. При условиях (5.1)-(5.3) и (5.9) на д, А, U и (5.7) на V справедлива асимптотика

lim a-d/2N(X-,Ho,G+,G-',a) = C5.io{V), ХеЖ\сг(Н0). (7.5)

а—>оо

По поводу величин N^(X,a) см. также [24, 52] и цитированную там литературу. Отметим, что в [51] был рассмотрен случай д = 1, а на А и U накладывались несколько более ограничительные условия, чем указано выше. Общий случай может быть без труда рассмотрен по той же схеме. Однако мы не нуждаемся в обосновании (7.5) (так же, как и (7.1)).

7.3 Асимптотика ФСС В главе 5 мы доказываем аналог асимптотических соотношений (7.1), (7.5), касающийся ФСС. Вначале доказывается абстрактная теорема о стабильности главного члена асимптотики ФСС £(А; Ho — aV, Но) при а —У оо. Под стабильностью в данном случае понимается независимость от А G 1. Как следствие, мы получаем следующее утверждение.

Пусть, как и выше, d > 3, Но — оператор Шредингера (5.4), а V = V(x) > 0 — потенциал возмущения. При условиях (5.1)-(5.3) и (5.9) на д, А, U и (5.5), (5.6), (5.7) на V имеет место асимптотическая формула

lim a~d/2^X-Ho - aV,H0) = -С5.ю(П А е Е, (7.6)

а—toa

(точные формулировки даны в главе 5). Нетрудно убедиться, что (см. замечание 18.4)

£(А; Но - aV, Я0) = -N(А; Я0, G+, а), X е Е \ <т(Я0). (7.7)

Тем самым, (7.6) переходит в (5.11), (7.1), (7.5) при соответствующих ограничениях на А и V. Отметим, однако, что сам факт существования ФСС

накладывает сильные ограничения на скорость убывания V на бесконечности. Поэтому формула (7.6) имеет смысл для более бедного класса потенциалов V, чем соотношения (5.11), (7.1), (7.5).

Соотношение (7.6) означает, что функции (от Л) в левой части, зависящие от параметра а, сходятся при а —>■ оо к постоянной —СблоСЮ- Поясним, какой тип сходимости имеется в виду. В действительности мы доказываем два основных результата, соответствующие двум типам сходимости. В параграфе 17 доказывается теорема 17.6, которая дает сходимость в (7.6) при п.в. А € К. В качестве побочного продукта доказательства теоремы 17.6 мы получаем некоторую информацию о поведении £(А; Ло + о/У, Но) при а —> оо (для V > 0) — см. теорему 17.7.

В параграфе 18 доказывается теорема 18.1, дающая сходимость в весовом пространстве 2а(К; с1ц(А)) с некоторым степенным весом <///(А). Отметим, что в теореме 18.1 потенциал V не обязан быть знакоопределенным. Теорема 18.1 доказана нами лишь при й > 3.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Пушницкий, Александр Борисович

19 Заключение

19.1 Библиографические замечания Основной результат работы (теорема 4.1) и его обобщения (теоремы 11.3 и 11.5) были опубликованы в [44]. При этом в [44] был приведен несколько иной, формально более сильный вариант теоремы 11.5: вместо (11.19) требовалось, чтобы

Я*(А, Н±) — Яг(А, Но) £ ©1, ¿>0, СЯт(А,Я0) <Е б2, т> 0.

В [44] были также доказаны теоремы 9.6, 9.7, 9.10. Результаты параграфов 10 и 14, 15 опубликованы в [45]. Теоремы 17.1, 17.2, 17.6, 17.7, 18.1 опубликованы в [46]. Теоремы 9.3 и 9.11 не публиковались.

19.2 Автор глубоко благодарен своему научному руководителю М. Ш. Бирману за постановку задачи, многочисленные обсуждения и помощь в работе. Автор благодарит В. С. Буслаева, обратившего его внимание на вопрос об интегральных оценках для ФСС и тем самым стимулировавшего написание работы [45]. Автор благодарит А. В. Соболева и Д. Робера за полезное обсуждение формулы (4.6), которое привело к ряду упрощений в конструкции параграфа 9. Автор благодарен А. А. Лаптеву и Г. В. Розенблюму за консультации, связанные с приложениями результатов работы к теории оператора Шредингера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пушницкий, Александр Борисович, 1998 год

Библиография

[1] J. Avron, I. Herbst, B. Simon, Schrodinger operators with magnetic fields. I. General' interactions, Duke Math. J. 45 (1978), 847-883.

[2] M. Ш. Бирман, Об условиях существования волновых операторов. Изв. АН СССР. Сер. мат. 27, вып. 4 (1963), 883-906.

[3] М. Sh. Birman, Discrete spectrum in the gaps of a continuous one for perturbations with large coupling constant. Estimates and asymptotics for discrete spectra of integral and differential equations (Leningrad, 1989-90), Adv. Soviet Math., vol. 7, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, pp. 57-73. MR 95h:47009

[4] M. Ш. Бирман, Дискретный спектр периодического оператора Шредингера, возмущенного убывающим потенциалом. Алгебра и Анализ 8, вып. 1 (1996), 3-20.

[5] М. Ш. Бирман, М. Г. Крейн, К теории волновых операторе и операторов рассеяния, ДАН СССР, 144, вып. 3 (1962), 475-478.

[6] М. Sh. Birman, G. D. Raikov, Discrete spectrum in the gaps for perturbations of the magnetic Schrodinger operator, Adv. in Sov. Math. 7 (1991), 75-84.

[7] M. Sh. Birman, M. Z. Solomyak, Spectral theory of selfadjoint operators in Hilbert space, Dordrecht, D.Reidel, P.C., 1987.

[8] M. HI. Бирман, M. 3. Соломяк, Компактные операторы со степенной асимптотикой сингулярных чисел. Исследования по теории линейных операторов и теории функций, 12. Зап. науч. семинаров ЛОМИ 126 (1983), 21-30.

[9] М. Sh. Birman, М. Z. Solomyak, Estimates for the number of negative eigenvalues of the Schrodinger operator and its generalizations. Estimates and asymptotics for discrete spectra of integral and differential equations (Leningrad, 1989-90), 1-55, Adv. Soviet Math., 7, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991.

[10] M. Sh. Birman, M. Z. Solomyak, Schrödinger operator. Estimates for the number of bound states as function-theoretical problem. Amer. Math. Soc. Transi. (2) 150 (1992), 1-54.

[11] M. Ш. Бирман, M. 3. Соломяк, Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории. Труды X летней математической школы (Кацивели - Нальчик, 1972), 5-189. Ин-т математики АН Украин. ССР, Киев, 1974.

[12] M. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк, Замечания о функции спектрального сдвига. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций, 6. Зап. науч. семинаров ЛОМИ 27 (1972), 33-46.

[13] M. Ш. Бирман, С. Б. Энтина, Стационарный подход в абстрактной теории рассеяния, Изв. АН СССР, сер. мат., 31, вып. 2 (1967), 401-430.

[14] M. Sh. Birman; А. В. Pushnitski, Spectral shift function, amazing and multifaceted. Integral Equations Operator Theory, 30, no. 2, 191-199.

[15] M. Ш. Бирман, Д. P. Яфаев, Асимптотика спектра матрицы рассеяния. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций, 13. Зап. науч. семинаров ЛОМИ 110 (1981), 3-29.

[16] Бирман, M. Ш.; Яфаев, Д. Р. Функция спектрального сдвига. Работы М. Г. Крейна и их дальнейшее развитие. Алгебра и анализ 4, вып. 5 (1992), 1-44.

[17] Бирман, М. Ш.; Яфаев, Д. Р. Спектральные свойства матрицы рассеяния. Алгебра и анализ 4, вып. 6 (1992), 1-27.

[18] М. Ш. Бирман, Д. Р. Яфаев, Матрица рассеяния при возмущении периодического оператора Шредингера убывающим потенциалом. Алгебра и Анализ 6, вып. 3 (1994), 17-39.

[19] В. С. Буслаев, Л. Д. Фаддеев, О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма-Лиувилля, ДАН СССР 132, вып. 1 (1960), 13-16.

[20] В. С. Буслаев, Формулы следа для оператора Шредингера в трехмерном пространстве, ДАН СССР 143, вып. 5 (1962), 1067-1070.

[21] В. С. Буслаев, Формулы следов и некоторые асимптотические оценки ядра резольвенты для оператора Шредингера в трехмерном пространстве, Проблемы матем. физики, вып.1 (1966), 82-101, ЛГУ.

[22] Е. В. Davies, Heat kernels and spectral theory, Cambridge Univ. Press, 1989.

[23] M. Demuth, Е. М. Ouhabaz, Scattering theory for Schrddinger operators with magnetic fields, Math. Nachr. 185 (1997), 49-58.

[24] F. Gesztesy, D. Gurarie, H. Holden, M. Klaus, L. Sadun, B. Simon, P. Vogl, Trapping and cascading of eigenvalues in the large coupling limit. Commun. Math. Phys. 118 (1988), 597-634.

[25] R. Hempel, A left-indefinite generalized eigenvalue problem for Schrodinger operators, Habilitationsschrift, Univ. Munchen, 1987.

[26] R. Hempel, On the asymptotic distribution of the eigenvalue branches of a Schrodinger operator H — XW in a spectral gap of H, J. Reine Angew. Math. 399 (1989), 38-59.

[27] H. Hess, R. Schrader, D. A. Uhlenbrock, Domination of semigroups and generalization of Kato's inequality, Duke Math. J. 44 (1977), 893-904.

[28] T. Kato, Wave operators and unitary equivalence, Pacif. J. Math. 15 (1965), 171180.

[29] T. Kato, Monotonicity theorem in scattering theory, Hadronic J. 1 (1978), 134-154.

[30] T. Kato, Schrodinger operators with singular potentials, Israel J. Math. 13 (1973), 135-148.

[31] T. Kato, Remarks on Schrodinger operators with vector potentials, Int. Eq. Oper. Theory 1 (1979), 103-113.

[32] R. Konno, S. T. Kuroda, On the finiteness of perturbed eigenvalues, J. Fac. Sci. Univ., Tokyo, Sect. I, 13 (1966), 55-63.

[33] JI. С. Коплиенко, К теории функции спектрального сдвига, Проблемы мат. физики, 5, (1971), 62-72.

[34] М. Г. Крейн, О формуле следов в теории возмущений, Мат. сб., 33, вып. 3 (1953), 597-626.

[35] М. Г. Крейн, Лекции Первой летней математической школы (Канев, 1963), часть I, "Наукова думка", Киев, 1964, 103-187.

[36] Е. Lieb, The number of bound states of one-body Schrodinger operators and the Weyl problem, Proc. Am. Math. Soc. Symposia Pure Math. 36 (1980), 241-252.

[37] И. M. Лифшиц, Об одной задаче теории возмущений, Успехи мат. наук, 7, вып. 1 (1952), 171-180.

[38] И. М. Лифшиц, О задаче рассеяния частиц центрально-симметричным полем в квантовой механике, Ученые зап. Харьковского Гос. Ун-та 27 (1948), 105-107.

[39] M. Melgaard, G. Rozenblum, Spectral estimates for magnetic operators, Math. Scand. 79 (1996), 237-254.

[40] С. H. Набоко, О граничных значениях аналитических оператор-функций с положительной мнимой частью, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 157 (1987), 55-69.

[41] С. Н. Набоко, Нетангенциальные граничные значения операторных R-функций в верхней полуплоскости, Алгебра и Анализ, 1 (1989), вып. 5, 197-222.

[42] Е.-М. Ouhabaz, Invariance of closed convex sets and domination criteria for semigroups, Potential Anal. 5 (1996), 611-625.

[43] В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля в теории возмущений унитарных и самосопряженных операторов, Функцион. анализ и его прил. 19, вып. 2 (1985), 37-51.

[44] А. Б. Пушницкий, Представление для функции спектрального сдвига в случае знакоопределенных возмущений, Алгебра и анализ 9, вып. 6 (1997), 197-213.

[45] А. В. Pushnitski, Integral estimates for the spectral shift function, препринт KTH, TRITA-MAT-1998-35.

[46] A. B. Pushnitski, Spectral shift function of the Schrödinger operator in the large coupling constant limit, препринт KTH, TRITA-MAT-1998-34.

[47] M. Рид, Б. Симон, Методы современной математической физики. Теория рассеяния, М., Мир, 1982.

[48] D. Robert, Semi-classical asymptotics of the spectral shift function, в сборнике "Differential Operators and Spectral Theory. Collection of papers, dedicated to the 70-th birthday of M. Sh. Birman" (в печати).

[49] Г. В. Розенблюм, Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов, Изв. ВУЗов. Математика, 1 (1976), 75-86.

[50] G. Rozenblyum, М. Solomyak, On the number of negative Eigenvalues for the two-dimensional magnetic Schrödinger operator, в сборнике "Differential Operators and Spectral Theory. Collection of papers, dedicated to the 70-th birthday of M. Sh. Birman" (в печати).

[51] О. Л. Сафронов, Дискретный спектр в лакунах непрерывного при незнакоопределенных возмущений с большой константой связи, Алгебра и Анализ 8, вып. 2 (1996), 162-194.

[52] 0. L. Safronov, The discrete spectrum in the gaps of the continuous one for non-signdefinite perturbations with a large coupling constant, Commun. Math. Phys. 193 (1998), 233-243.

[53] B. Simon, Trace Ideals and Their Applications, Cambridge University Press, Cambridge University Press, Cambridge 1979.

[54] B. Simon, Functional integration and quantum physics, Academic Press, NY, 1979.

[55] B. Simon, Schrodinger semigroups, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1982), 447-526.

[56] B. Simon, Koto's inequality and the comparison of semigroups, J. Funct. Anal. 32 (1979), 97-101.

[57] B. Simon, Maximal and minimal Schrodinger forms, J. Oper. Theory 1 (1979), 37-47.

[58] A. V. Sobolev, Efficient bounds for the spectral shift function, Ann. Inst. H.Poincare, Physique theorique, 58, no.l (1993), 55-83.

[59] A. V. Sobolev, D. R. Yafaev, On the quasi-classical limit of the total scattering cross-section in nonrelativistic quantum mechanics, Ann. Inst. H.Poincare, 44, no.2 (1986), 195-210.

[60] A. V. Sobolev, D. R. Yafaev, Спектральные свойстав абстрактной матрицы рассеяния, Tr. MIAN, 188, (1990), 125-149.

[61] М. Z. Solomyak, Piecewise-polynomial approximation of functions from Hl(( 0, l)d), 21 = d, and applications to the spectral theory of the Schrodinger operator, Israel J. Math. 86 (1994), 253-276.

[62] M. Z. Solomyak, Spectral problems related to the critical exponent in the Sobolev embedding theorem, Proc. London Math. Soc. (3) 71 (1995), 53-75.

[63] Д. P. Яфаев, Математическая теория рассеяния. Общая теория, СПбГУ, 1994.