Функциональные методы в теории абсолюта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Агеев, Сергей Михайлович

• Агеев, Сергей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Агеев, Сергей Михайлович

Введение

Глава I

Пункт I

Пункт 2.

Пункт 3.

Пункт 4.

Пункт 5.

Пункт 6.:.

Пункт 7.'.

Пункт 8.

Пункт 9.

Пункт 10.

Пункт II.

Глава 2.

§ I. Построение отображения "Ч7?:

§ 2. .Доказательство теоремы I

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные методы в теории абсолюта»

Работа посвящена изучению функциональными методами частично-удорядоченного множества &СТ) -бикомпактных эвивариантных расширений совершенных неприводимых эквивариантных прообразов регулярного G -пространства Т . Полученные результаты пршеня-ются к построению и описанию различных абсолютов.

Таким образом, работа находится на стыке двух направлений: теории топологических групп преобразований и теории абсолюта, которые в последнее время изучаются с самых различных точек зрения.

Так, например, трудами С.А. Антоняна, Ю.М. Смирнова [4], Де Вриса [29], [30] создана далеко продвинутая теория бикомпактных эквивариантных расширений, С.А. Антоняном [2] , Мадиримовым [15], Ю.М. Смирновым [20] изучены различные аспекты эквивариант-ной теории ретрактов, А. Кадировым [13] построены абсолюты топологических групп преобразований.

С другой стороны, в теории абсолюта наметились тенденции к изучению не только классического абсолюта Глисона-Пономарева [17], [26], но и некоторых совершенных неприводимых прообразов, лежащих ниже абсолюта: секвенциального абсолюта в смысле Колду-нова [il], [14], 8 -абсолюта [27], многочисленных малых абсолютов, рассмотренных В.М. Ульяновым [22]. Недавно В.К. Захаровым [8], [il] , [3l] была предложена функциональная характеристика секвенциального абсолюта и абсолюта Глисона-Пономарева с помощью банаховых алгебр квазинормальных и сильно квазинормальных функций. Как кажется автору, именно функциональная точка зрения позволяет дать единый подход к построению всех малых абсолютов.

В настоящей работе вводится банахова С-алгебра /(* (Т) всех классов эквивалентности ограниченных л-квазинормальных функций и рассматривается частично-упорядоченное по включению множество f(T) всех G -банаховых подалгебр F - К л (~0 » "разделяющих" точки от замкнутых множеств в Т . Оказывается, что при помощи f(T) можно описать частично-упорядоченное множество а>(т) . Именно, строятся изотонная в обе стороны би-екция

М--Г(т)-*Р(Т) и изотонная сюръекция

-» А(Т), причем прообразы (Т —> Т) и ^Tj полностью и явным образом описываются. (Здесь ЛСТ) - частично-упорядоченное множество всех совершенных неприводимых эквива-риантных отображений &-тихоновских пространств на Т ). Тем самым топологические вопросы можно переводить на язык банаховых 6?-алгебр и наоборот.

Полученный результат является новым даже в случае тривиальной группы Gr и представляет собой функциональное описание множества всех бикомпактных расширений неприводимых совершенных прообразов регулярного пространства Т . Подобно тому, как данное В.В. Федорчуком [23] описание 3)(Т) с помощью & -близостей является обобщением известного результата Ю.М. Смирнова [2l] о соответствии мевду близостями и бикомпактными расширениями, вышеприведенная теорема обобщает теорему И.М. Гельфанда [ю] о характеризации бикомпактных расширений с помощью банаховых подалгебр из с'Сг) .

Отображение , конструктивным образом предъявленное, позволяет сделать ряд топологических выводов: о существовании, единственности и функциональном представлении максимального элемента в

ЛСГ) ; о функциональной характеризации всех совершенных неприводимых слабо конуль-плотных прообразов Т ; о топологическом описании ограничений совершенных неприводимых отображений на плотные подмножества.

В работе на основе специальным образом введенной 9-близости [23] построен С-абсолют регулярных С-пространств. Приводится топологическая характеристика С -абсолюта, доказывается аналог формулы Илиадиса [12]. С использованием отображения обобщается функциональная характеристика В.К. Захарова [8] С -абсолюта регулярного С-пространства Т . Исследуются, так называемые, G -экстремально несвязные пространства, которые по своим свойствам близко подходят к классическим экстремально несвязным: сохраняются при максимальной эквивариант-ной бикомпактификации, при переходе ко всюду плотным инвариантным подмножествам и т.д. В случае действия бикомпактной группы Сг предъявлено ряд эквивалентных свойств С-экстремально-несвяз-ных пространств.

Отметим следующее качественное наблюдение: в случае действия бикомпактной группы С при переходе от пространства Т к пространству сС$(Т) его С -абсолюта, которое является Сл -экстремально несвязным, происходит процесс "улучшения" действия группы. Отображение, сопоставляющее каздой точке £ из т ее стабилизатор Si(t) * , вообще говоря разрывное (на ехр(Р) рассматривается топология Виеториса), становится непрерывным на . Более того, непрерывность этого отображения У1:Т~'—+ехр(0 вместе с экстремальной несвязностью пространства орбит Т/С эквивалентна С-экстремальной несвязности пространства Т . А , как правило, не постоянно. В работе приводится пример G -экстремально несвязного пространства, у которого ровно континуум различных стабилизаторов. Именно в нетривиальности А состоит основное отличие (л -абсолюта от 6г -абсолюта в смысле А. КадироваЦз): пространство

Gr -абсолюта всегда свободно.

Таким образом, в более общей обстановке, когда кроме топологической структуры имеется еще и дополнительная алгебраическая структура, а именно, действие группы Gr , полученные результаты выw* w* являют строение U -абсолюта и U-экстремально несвязных пространств.

Диссертация состоит из 78 страниц: введения, трех глав, списка литературы из 33 наименований. Изложим результаты диссертации по главам.

Первая глава носит вспомогательный характер, состоит из II пунктов. В них собраны сведения о Сг -пространствах, вводится важное понятие банаховой G? -алгебры и доказывается аналог теоремы Гельфанда о пространствах максимальных идеалов. Приводится определение Кл(Т) и других важных в исследовании банаховых Gr -алгебр.

Функцию Х=Т— Г назовем ОС-квазинормальной, если для любого N существуют плотное открытое множество U и его открытое покрытие , окрестность и единицы

Сг , такие что колебание X на Vnl СОх (Vnx)^ и \x(i) - X(gi)l < Vn для всех , ft^O . ос- квазинормальные х и ^ назовем эквивалентными, если для некоторой последовательности 11ц плотных открытых множеств из Т выполнено 01 < Ун при любом i'Vn. .

Банахова G-алгебра всех классов эквивалентности х ограниченных ос-квазинормальных функций х обозначим через

ЮТ .

Для любой F с F(T) каноническим образом строится бикомпактное С-расширение эквивариантного совершенного неприводимого прообраза

Вторая глава содержит три параграфа. В первом вводится важный класс неприводимых отображений.

Определение I. Отображение "9: Т/ —> Т называется строго неприводимым, если малый образ i^U] любого открытого множества I/ ^Т' не пуст и содержит открытое множество Y плотное в

Для строго неприводимых ^-отображений ~Р-Т'—^Т рассматривается оператор : КЛ

T')-^C(V, который, как доказывается, является изоморфизмом банаховых С-алгебр. Второй параграф посвящен доказательству основной теоремы Теорема I. В категории частично-упорядоченных множеств имеет место коммутативная диаграмма, f(T) нт) я J J^

J:(T) -LLj^JrCT) причем л

- изоморфизм, - сюръекции,

T'-t—T) = { ТДО R«Я(Т1)}

Здесь отображения заданы формулами м(П = UFi^LF(T)-^r),

- 8 i ' '

Л (Г) - частично-упорядоченное множество банаховых С?4-алгебр R S C*(T'J f разделяющих точки от замкнутых множеств в Т' , - частично-упорядоченное множество всех совершенных неприводимых эквивариантных отображений : Т'—>Т <х-тихоновских пространств на Т .

Т) - частично-упорядоченное множество всех диаграмм ]) = Т'-^Т), где 4 ■' Т'^-^&Т' -бикомпактное Сграсширение,

В третьем параграфе изложены различные приложения теоремы I. Приведено функциональное описание максимального элемента в j£(T).

Предложение 6. В J:(T) существует единственный максимальный элемент, равный ^(jJ

С помощью отображения изучаются частично-упорядоченные множества ^(Т) f е К$СТ)} ( К*(Т) — банахова алгебра сильно квазинормальных функций [и]) и

Л (Т) = существует , такая что для любого конуль-множества V некоторой функции из R найдется ко-нуль-множество и из I , для которого Доказывается важный результат.

Теопема 2. (Т))

Исследуются бикомпактные С-расширения строго неприводимых отображений. Под бикомпактным U-расширением Ф) С-отображения ■ Т'-^Т понимается коммутативная диаграмма, j/crJU^T' Т где Ж-э - совершенное 6г-отображение, / - плотное топологическое С-вложение.

Теорема 3. Пусть G|—отображение И:Т -строго неприводимо. Тогда для любого его 'бикомпактного -расширения отображение 6-$ является неприводимым. Третья глава полностью посвящена построению и изучению свойств Сг*-абсолюта регулярного ^-пространства Т . Она состоит из двух параграфов. В первом из них вводится специальная 9 -близость (& .

Определение I. Множество А об-далеко от Б , если найдется такая окрестность 0 единицы группы 6? , что

О-,Ш = 0.

Определение 2. /[ ol £ <===> не существует (й-далеких открытых окрестностей

1/64) > и(В) множеств А и В .

Используя метод В.В. Федорчука [23] ,строится С-абсолют регулярного б?-пространства, т.е. такое эквивариантное совершенное неприводимое отображение —^Т , что для любого эквивариантного совершенного неприводимого отображения —>Т найдется эквивариантное отображение в-'Я-^ГГ)—>7"'« для которого "9 ° 9 = , Вводится аналог классической экстремальной несвязности: пространство Т назовем Gt -экстремально-несвязным, если замыкания двух открытых 06-далеких множеств не пересекаются.

Доказывается ряд классических формулировок теории абсолюта. Для регулярных 6г-пространств обобщается функциональная характеристика В.К. Захарова [в] для й-абсолюта:

Теорема 4. Для отображения i?: T-^T^jfYT) следующие условия эквивалентны

1. V является Ct-абсолютом регулярного пространства Т.

2. с СП .

3. естественное вклшение является изоморфизмом банаховых G-алгебр.

Во втором параграфе исследуются (^-экстремально несвязные пространства. Выделены общие свойства.

A. С-экстремально несвязное пространство является об-тихоновским.

B. Т - Сг-экстремально несвязно fcfl)- таково.

C. регулярное С-пространство Т является Gr-экстремально несвязным <=ф> CO^lCCD- изоморфизмом банаховых С-алгебр.

Предложение II. Пусть Т - С-экстремально несвязно. Тогда для любого плотного инвариантного множества /| естественное отображение ограничения С&(Т)^ос [/)) есть изоморфизм.

В случае < бикомпактности группы С- приводятся ряд топологических и внешних характеристик £-экстремально несвязных пространств.

Теорема 5. Следующие условия, наложенные на регулярное С-пространство Т эквивалентны экстремально несвязным пространством.

I. Т является С

3. Для любого плотного инвариантного множества i * /\ с—^Т естественное отображение ограничения • С^(Т)—>^ос(А) есть изоморфизм.

4. Для любого открытого плотного инвариантного множества 7~ естественное отображение ограничения : С<х(Т)-*Сх(и)есть изоморфизм.

5. 1/С - экстремально несвязно и для любого замкнутого множества ^ Т I пересекающегося с каждой орбитой по одной точке, и любого открытого множества О - С множество

0-А также открыто.

6. -экстремально несвязно и для некоторого замкнутого множества А = [А] ^ Т , пересекающегося с каждой орбитой по одной точке, и любого открытого множества О я. Сг множество О'А также открыто. 7. Т/й -экстремально несвязно и отображение А. Т—»ex/>(G\) t сопоставляющее иг замкнутое подмножество (С), является непрерывным.

Приводится пример, показывающий сложность строения действия группы G в С -экстремально несвязных пространствах.

Основными результатами диссертации мы считаем вышеприведенные теоремы 1-5.

Основные результаты этой работы опубликованы [32], [33] .

В заключение выражаю искреннюю благодарность научному руководителю профессору Ю.М. Смирнову и С.А. Богатому за всестороннюю помощь при работе над диссертацией и при ее написании.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Агеев, Сергей Михайлович, 1983 год

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размернос-. ти. - М.:.Наука, 1973. - 576 с., ил.

2. Антонян С.А. Эквивариантные ретракты и вложения. Дис. . канд. . физ.-мат,наук. Москва, 1980. - 81 с.

3. Антонян С. А. Банаховы С -алгебры, Фушщиональныи анализ и его . приложения, т. 17, вып. 2.(1983), с. 62-63.

4. Антонян С.А., Смирнов Ю.М. Универсальные объекты и бикомпактные расширения для топлогических групп преобразований. ДАН СССР,257:3 (1981), с. 521-526. . .

5. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в . задачах и.упражнениях. М.: Наука, 1974. - 424 е., ил.

6. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, . 1968. - 392 е., ил.

7. Бурбаки Н, Общая топология. Топологические группы. М.: Наука,1969. 272 с., ил.

8. Векслер А,И., Захаров В.К. Топологические пространства и векторные решетки. УМН, 35:3 (1980), с. 153-157.9.-Гамелин Т, Равномерные алгебры. М,: Мир, 1973, - 378 е.,ил.

9. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. Ы., ГИФМЛ, I960. - 361 с.

10. Захаров В.К., Колдунов А.В. Секвенциальный абсолют и его характеризации. ДАН СССР, 253:2 (1980), 280-284.

11. Илиадис С.Д. Абсолюты хаусдорфовых пространств. ДАН СССР, . 149:1 (1963), с. 22-25.

12. Кадиров.А. Абсолюты топологических групп преобразований. . Дне. . канд. физ.-мат. наук, — Москва, 1982, 59 с.

13. Колдунов А.В. Секвенциальный аналог абсолюта вполне регулярногопространства. В кн.: Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. - Кишинев, "Штиинца", 1979, с.63-64.

14. Мадиримов М. О продолжении эквивариантных отображений. Матем. сб., 98:1 (1975), с. 84-92.

15. Пасынков Б.А. О размерности пространств с бикомпактной группой преобразований. УМН, 36:5 (1976), c.III-120.

16. Пономарев В.И. Паракомпакты, их проекционные спектры и непрерывные отображения. Матем. сб., 60:1 (1963), с. 89-119.

17. Пономарев В.И., Шапиро Л.Б. Абсолюты топологических пространств и их непрерывные отображения. УМН, 31:5 (1976), с. I2I-I36.

18. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 484 с. .

19. Смирнов Ю.М. Об эквивариантных вложениях С-пространств. -УМН, 31:5 (1976), с. 137-147.

20. Смирнов Ю.М. О пространствах близости. — Матем. сб., 31(73), (1952), с. 543-547.

21. Ульянов В.М. Секвенциальный абсолют и другие аналоги абсолюта. Тезисы ленинградской международной топологической конференции, 1982, с. 160.

22. Федорчук В.В. Совершенные неприводимые отображения и обобщенные близости. Матем. сб., 76:4 (1968), с.513 - 536.

23. Cain G.L. Compactification of mapping. Proc.Amer.Math.Soc., 23:2 ( 19Sy ад-303

24. Rinnan L. and Jerison M. Ring of continous functions.- Princeton, 1960.-441 c.

25. Gleason A.M. Proective topological spaces. Illinois Hath.Jour., 2:4a ( 19>6 ),4o^-489

26. Koldunov A.V. & absolute of complete regular space, -Leningrad International Topological Conference ( Leningrad, 1982 ), Abstracts, p.83

27. Semadeni z. Banach spaces of continuos functions.-V/arszaxva, PY/TT, 1971 584p.

28. J.de Vries. Topological transformation groups 1. Mathematical centre. Tracts 65.- Amsterdam, 1975.- 457p.

29. J. de Vries. Pseudocompactness and the Stone-Ceeh com-pactification for topoligical group. Nieuw.Arch.Wisk.3 ), 23 ( 1975 ), 35-48

30. Zaharov V. Functional characterization of Absolute and Dedekind completion. Bull.Polon.Acad.Sci., 1981 , 29:5-6, p. 293 297

31. Агеев С.Ы. Функциональные методы в теории абсолюта.-УМН, 1983, 38:5,с. 177-178

32. Агеев С.М, Эквивариантная классификация непрерывных функций на Gr-пространствах.- УМН, 1984 , 39:5, с,155-156