Функциональные методы в неравновесной статистической физике системы гидродинамического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Колоколов, Игорь Валентинович

• Колоколов, Игорь Валентинович
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Колоколов, Игорь Валентинович

Содержание

1. Введение

2. Статистика пассивного скаляра в двумерном круп номасштабном поле скоростей

2.1. Введение

2.2. Формулировка модели с гладким полем скорости

2.3. Подстановка для упорядоченной экспоненты

—

2.4. Предельные случаи быстрого и медленного неоднородного перено са

2.4.1 Малые времена корреляции поля скорости

2.4.2 Медленное поле скорости

2.5 Показатель Ляпунова при гауссовой статистике а и произвольном времени корреляции

2.6 Статистика пассивного скаляра

Приложение 2А. Деформация контура интегрирования и доопределение функционального интеграла

Приложение 2Б. Конечность времени корреляции флуктуаций ляпунов-ского показателя

Приложение 2В. Простой способ вычисления показателя Ляпунова

Приложение 2Г. Диффузия и корреляционные функции на малых расстояниях

3. Точное вычисление четырехточечного коррелятора пассивного скаляра в быстром гладком поле скорости. Двумерный случай

4. Статистика пассивного скаляра в крупномасштабном поле скоростей; произвольное число измерений.

69

4.1 Формулировка задачи в N измерениях

4.2 Усреднение упорядоченных экспонент в N - мерном случае

4.2.1 Определение спектра ляпуновских экспонент

5. Пассивный скаляр в многомасштабном поле скоростей. Аномальные размерности четырехточечного

коррелятора

5.1 Введение

5.2 Формулировка модели

5.2.1 Формальное решение и парный коррелятор

5.3 Четырехточечная корреляционная функция пассивного скаляра

5.4 Тетраэдральное представление

5.4.1 Общий скейлинговый индекс четырехточечного коррелятора

5.5 Слияние точек в четырехточечном корреляторе

6. Пассивный скаляр в одномерном сжимаемом поле скоростей. Обратный каскад и статистика темпа

диссипации

6.1 Введение

6.2 Формулировка модели и обратный каскад

6.3 Динамика в формализме лагранжевых частиц

6.4 Корреляционные функции градиентов поля в в конвективном интервале

6.5 Скейлинг и функция распределения разностей поля 9 в простран-

ственно разнесенных точках

6.5.1 Большие расстояния

6.5.2 Инерционный интервал

6.6 Функции распределения диссипации и градиентов поля 9

Приложение 6А.Поведение парного коррелятора поля градиентов на больших временах

Приложение 6Б. Вывод динамической формулировки в теоретико-полевом формализме

7. Статистика темпа диссипации в двух измерениях.

131

7.1 Введение и разделение времен

7.2 Вычисление функции распределения 'Р(е)

Приложение 7А. Особенности функции С (г)

8. Обратный каскад в высших размерностях

8.1 Введение и критерий появления обратного каскада

8.2 Статистика 8вг = #(Т, г) — в(Т, 0) в конвективном интервале

9. Метод перевала в динамических функциональных интегралах: турбулентность в уравнении Бюргерса.

146

9.1 Введение

9.2 Функциональные интегралы для моментов градиента скорости и их экстремали

9.3 Выделение мягкой флуктуационной моды

10. Заключение

Литература

1 Введение.

Задача о выводе статистических свойств неравновесного волнового поля, стартуя с динамических уравнений эволюции, восходит к классической работе Л.В.Келлера и А.А.Фридмана [1]. Первый точный результат на этом пути, относящийся к развитой гидродинамической турбулентности, был получен А.А.Колмогоровым [2] - знаменитый закон четырех пятых для одновременной корреляционной функции скорости третьего порядка:

Здесь п = 1//ие = ^< (djVi)2 > - темп диссипации энергии, v - вязкость, и расстояния предполагаются лежащими в инерционном интервале, то есть, I много больше масштаба, на котором существенна диссипация и много меньше масштаба L внешней накачки, создающей стационарное движение. В его работах этого же цикла [2, 3, 4] и работах А.М.Обухова [5, 6] была впервые сформулирована гипотеза подобия. ^ Буквально она формулировалась как предположение о степенном виде парного од-

новременного коррелятора разности скоростей и наличии в инерционном интервале единственного размерного параметра е . После этого из соображений размерности следует закон Колмогорова-Обухова:

В этих работах была также развита восходящая к Л.Ричардсону идея каскада - спектального потока энергии и вообще, любого интеграла движения. В гидродинамической турбулентности реализуется прямой каскад - переход энергии с больших масштабов на малые и так вплоть до расстояний, на которых происходит её диссипация. Подробности см. в книгах [8],[9].

В дальнейшем гипотеза подобия в её буквальной формулировке была распостранена на высшие корреляционные функции, так что их скей-

^ Позже идея подобия получила второе рождение в теории фазовых переходов [7].

(1.0.1)

< ((v(r) - v(r + l))2 >= constе2/3/2/3

(1.0.2)

линговые индексы получались кратными индексу парного коррелятора. Попытка динамического обоснования как закона (1.0.2), так и аналогичных соотношений для высших корреляторов встретила непреодоленные до сих пор трудности, имеющие то же происхождение, что и нерешенные проблемы теории поля - сильное взимодействие и отсутствие каких-либо малых параметров. Огромное количество работ на эту тему использует те или иные предположения о статистических свойствах диссипации, самого поля скоростей и т.д., не имеющие сколь-нибудь разумного обоснования на динамическом уровне. Следует отметить только статьи [10],[11] и [12]. В первых двух было показано, что закон Колмогорова-Обухова проносится через формальный ряд теории возмущений по нелинейности с исключенным переносом. В работе [12] же исследовалась двумерная развитая турбулентность и было обнаружено, что для корреляторов скорости возможно такое пересуммирование теоретико-возмущенческих рядов, что в задаче возникает в качестве малого параметра обратный логарифм отношения масштаба накачки к текущему, лежащему в инерционном интервале (для локальных составных операторов такого параметра нет).

С другой стороны, эксперимент ясно показывает несоответствие наивных скейлинговых оценок для высших корреляторов поля скорости и других наблюдаемых, причем в случае общего положения можно говорить о параметрически сильной негауссовости - неприводимые корреляторы больше приводимых в положительную степень отношения Ь/г, где г - текущий масштаб.

В такой ситуации стало ясно, что, с одной стороны, необходимо начать исследование более простых моделей турбулентного типа, то есть , статистически стационарных неравновесных состояний волновых полей, и с другой - попытаться развить методы, учитывающие переносную нелинейность точно и использующие какой-нибудь другой малый пара-

2)В первом порядке это впервые обнаружил Р.Крайчнан [13].

метр.

Начнем с первого подхода. Важным этапом было построение теории слабой волновой турбулентности - в этих задачах есть хорошо определенные квазичастицы, относительно слабо взаимодействующие друг с другом. Турбулентное состояние хорошо (за некоторыми важными исключениями) описывается кинетическими уравнениями и оказалось, что степенные спектры являются их точными решениями [14]. Было обнаружено также, что наряду с прямым каскадом возможен обратный - "перекачка" дополнительных интегралов движения в большие масштабы. Следует заметить, что качественное представление об обратном каскаде возникло независимо при исследовании двумерной гидродинамической турбулентности [22]. Впечатляющее развитие теории слабой волновой турбулентности описано в книге [15].

Другой класс моделей - пассивные скаляры - сохраняет такую важную характеристику динамики, как пространственный перенос возбуждения полем скоростей, но статистические свойства скорости считаются не зависящими от амплитуды самого возбуждения.

Пассивным скаляром называется поле 0(г, , подчиняющееся линейному уравнению движения :

в + иаХ7а6 = ф + кАв, (1.0.3)

описывающему перенос заданным полем скорости и(£,г) (отсюда определение "пассивный"). Уравнение эволюции включает в себя диффузию кАв (необратимость) и источник (накачку) г). Мы будем рассматривать случайные поля скоростей и задавать будем их статистику. То же относится и к накачке. Мы полагаем источник ф скоррелированным на масштабе Ь. Это значит, что его парная корреляционная функция (<^>(г1, ¿г)) = ^(¿х — ¿2, ^12) как функция пространственного аргу-

мента г 12 — |Г1 —1*21 спадает на расстояниях порядка Ь. То же относится и к высшим корреляторам.

Типичными примерами пассивных скалярных полей являются поле температур в турбулентной атмосфере и концентрация примеси в турбулентной жидкости. Состояние поля будет предполагаться стационарным в статистическом смысле, то есть, мы будем считать времена наблюдения настолько большими, что диссипация и накачка пришли в равновесие между собой и функции распределения физических величин перестали зависеть от времени. Диссипация определяет время установления стационарного состояния, но корреляционные функции на масштабах , больших диссипативного г^//, от неё или не зависят, или же эта зависимость в некотором смысле тривиальна (см. ниже). Следует отметить, что пассивные модели представляют самостоятельный интерес, так как описывают реальные физические ситуации .

Переноситься могут также и векторные поля, например, вмороженное магнитное поле. Задачи такого типа возникают в астрофизике [17], но мы ими заниматься не будем (см. [18]и недавние достижения в статьях [19] и [20]).

Изучение из первых принципов статистических свойств пассивного скалярного поля, переносимого случайным полем скорости с заданной мерой усреднения началось в пионерских работах [21] и [22]. Основное развитие шло в направлении применения тех или иных приближений и подходов, возникших при попытках решения проблемы турбулентности в рамках уравнения Навье-Стокса и результаты получались большей частью соответствующей достоверности. С другой стороны, натурные [23, 24, 25, 26, 27] и численные [28, 29] эксперименты показывали, что статистическая физика турбулентного переноса пассивного скаляра демонстрирует многие черты, свойственные развитой гидродинамической турбулентности: аномальный скейлинг высших корреляционных функций, негауссову статистику локальных характеристик типа темпа дис-

Точное определение диссипативной длины зависит от конкретной статистики поля скоростей и будет приведено ниже.

сипации и т.д. Обнаружение таких явлений в решаемых, стартуя с эволюционных уравнений, моделях стало вызовом теоретической физике.

Вопрос о статистических свойствах решения уравнения (1.0.3) фактически с самого начала сформулирован в терминах функционального интеграла - именно такой смысл имеют усреднения по мерам в функциональном пространстве. Однако развитые в теории поля мощные методы [30, 31] требуют некоторой адаптации к неравновесным задачам и развития сами по себе. Кроме того, в общем случае (произвольной статистике поля скорости) даже пассивная задача очень сложна и достоверные результаты удается получить только в некоторых постановках более частного характера. В данной работе - в главах 2-4,6,8, посвященных пассивному скаляру - подробно изучим случай гладкого поля скорости, когда для изучения локальных характеристик можно использовать разложение функции г) в ряд Тэйлора в окрестности данной точки и задавать статистику коэффициентов этого разложения, как случайных функций времени. Мы исследуем влияние на статистику самого поля конечного времени корреляции поля скорости и вычислим функции распределения параметра диссипации в одно- и двумерном случае. Окажется, что статистика этой локальной величины - сильно негауссова с универсальным хвостом. Полученные результаты объясняют имеющиеся данные численных и натурных экспериментов и дают надежду на понимание более сложных и фундаментальных проблем. Метод, использованный для решения этой задачи - точное (в пределе бесконечного отношения длины инерционного интервала к диссипативной) непертур-бативное разделение масштабов в правильно написанном функциональном интеграле - заведомо найдет более широкое применение.

В главе 8 рассмотрено гладкое и быстрое, но сжимаемое поле скоростей и обнаружено, что начиная с некоторого критического значения параметра сжимаемости прямой каскад сменяется на обратный, причем статистика поля 9(оказывается гауссовой на больших расстояниях

и сильно негауссовой - внутри инерционного интервала.

В главе 5 описаны результаты принципиального характера, относящиеся к полю скорости с нетривиальной масштабной размерностью стуктурной функции. Именно: впервые в динамической модели показана доминантность негауссовой части высших корреляторов в инерционном интервале и найдены обеспечивающие это аномальные индексы (конкретно - одновременной четырехточечной корреляционной функции пассивного скаляра). Также сформулированы правила слияния (или, что то же, операторная алгебра) на уровне четырехполевых объектов. Эти правила определяют локальные наблюдаемые.

Все результаты, относящиеся к пассивно-скалярной турбулентности, не могут быть получены в рамках теории возмущений, использующей разложение в ряд по переносному члену а9 в уравнении эволюции (1.0.3). (Такие попытки между тем предпринимались [32]). Однако при переходе к "по-настоящему" нелинейным задачам мы увидим, что до недавнего времени диаграммная техника Уальда была единственным оружием теоретиков. Эта диаграммная техника имеет свою специфику, но в главную свою характеристику она заимствует из теории поля - это разложение по нелинейности, то есть, для систем гидродинамического типа -по переносу. Наивный ряд теории возмущений изначально был рядом по бесконечно большому параметру. В работе [11] удалось сформулировать свободную от почленных расходимостей теорию возмущений , используя идею Крайчнана [13]. После этого параметр разложения стал в лучшем случае порядка единицы. Однако совершенно очевидно, что непертурба-тивные эффекты в таком случае никакой априорной малости не имеют (а великость - могут).

Давно известно, что если для какой-нибудь величины есть интегральное представление, то можно использовать метод перевала. Если речь идет о функциональном интеграле и никакой возможности считать нели-

нейность малой нет, то параметр, по которому применима квазиклассика, может содержаться в усредняемой величине. По-видимому, впервые эта идея в полевой системе была использована И.М.Лифшицем для нахождения асимптотик плотности состояний электрона в неупорядоченном кристалле [33] ("хвосты Лифшица"). Позже [34] Л.Н.Липатовым было продемонстрировано, как использовать метод перевала для нахождения высоких порядков теории возмущений в квантовой теории поля. Поскольку классические экстремальные конфигурации, локализованные и во времени, и в пространстве, часто называются инстантонами, то мы будем использовать термины - инстантонный подход и инстантонные конфигурации.

Для статистической физики нелинейных неравновесных систем гидродинамического типа метод перевала - в настоящее время единственный подход, который может дать контролируемо достоверные результаты. Более того, ответы, которые так можно получить - хвосты производящих функций и функций распределения - непосредственно наблюдаемы, так как в таких системах измеримой является сама флуктуирующая динамическая переменная. Инстантонный метод для функциональных интегралов - производящих функционалов средних в динамических неравновесных системах 4) - был сформулирован в работе [37]. В ней он был проверен на точно решаемых задачах пассивно-скалярного типа. Следующим применением стала турбулентность в уравнении Бюргерса с накачкой:

дф + идхи — ид^и = ф (1.0.4)

В главе 9 описано, как получается левый (нетривиальный) хвост функции распределения градиентов и разностей скорости и ( инвариантных относительно преобразования Галилея величин) и описаны также некоторые дальнейшие достижения. Впрочем, открытых вопросов, как всегда, больше.

4'Такие представления получаются очень просто. См. [35], книгу [36] и главу 9.

Каждая глава данной работы предваряется своим введением 5) и читаться может, как правило, независимо.

5)В этих локальных введениях и содержатся ссылки на оригинальные работы автора.

2 Статистика пассивного скаляра в двумерном крупномасштабном поле скоростей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные методы в неравновесной статистической физике системы гидродинамического типа»

2.1 Введение

В значительной части данной работы мы будем изучать статистику на малых расстояниях пассивного скаляра, переносимого крупномасштабным полем скорости (точную формулировку см. ниже). Эта модель представляет значительный интерес в теории турбулентности как с физической,так и с методической точек зрения. С одной стороны, аналитические методы позволяют зайти достаточно далеко и получить ряд точных результатов, имеющих самостоятельную ценность. С другой стороны, такой предельный случай может служить своеобразной лабораторией для развития непертурбативных методов, приложимых потом к другим, более трудным, задачам.

В этой главе мы будем рассматривать гладкое двумерное бездивергентное случайное поле скоростей, подчиняющееся гауссовой статистике. Мы изучим случай как малого (нулевого), так и конечного времени корреляции потока в сопутствующей системе. Отметим, что такая постановка возникает при исследовании турбулентности в двух измерениях (см.[12] и ссылки там).

При изучении корреляций пассивного скаляра на расстояниях г , много меньших масштаба Ь внешней накачки, в задаче возникает большой параметр 1п Ь/г. После развития необходимого аппарата мы вычислим корреляционные функции в ведущем приближении по этому параметру для произвольного времени корреляции скорости В этом главном порядке статистика пассивного скаляра в{г, оказывается гауссовой . Попутно будет найдена одноточечная функция распределения 7>{в) для некоррелированного по времени поля скоростей. Везде в этой главе диссипатив-

ный член в уравнении движения или отбрасывается, или учитывается как ультрафиолетовое обрезание расходящихся интегралов на масштабе Это возможно до тех пор, пока все расстояния г в вычисляемых корреляторах лежат в инерционном интервале (rc^iff <С г <С Ь), или же входит в ответ только под знаком логарифма. Если же нас интересует статистика величин, определенных на самой диффузионной длине, например, поля диссипации б, то требуется существенное развитие аппарата, что и будет сделано в главе 6.

В следующей главе будет точно вычислена четырехточечная одновременная корреляционная функция в(г, для быстро меняющегося во времени поля скорости и расстояниях между точками много больше т^ц.

Изложение в данной главе следует работам [38, 39, 40]. Частные результаты в различных предельных случаях (относящиеся в основном к двухточечным корреляторам) были получены ранее в работах [21, 16].

2.2 Формулировка модели с гладким полем скорости

Поле скоростей в общем случае может быть многомасштабным, но здесь мы предположим, что наименьший из характерных пространственных масшабов Ьи изменения поля скорости больше, чем Ь. Мы расматрива-ем стационарное в статистическом смысле состояние, поддерживаемое источником ф и диссипацией кАв на малых расстояниях. Механизм переноса энергии по спектру от источника к стоку за счет растяжения элемента объема жидкости неоднородным полем скорости был объяснен качественно в работах [21, 16]. Ниже мы проведем количественный анализ.

Чтобы исключить однородный перенос, мы перейдем в систему отсчета, локально сопутствующую какой-нибудь частичке жидкости. В

дальнейшем г будет обозначать радиус-вектор именно в этой системе, так что выделенная частичка имеет г = 0. Такая система координат иногда называется квазилагранжевой и в явном виде она впервые использовалась в теории турбулентности в работе [11], см. также обзор [44]. Поле скоростей в этой системе соотносится с эйлеровой скоростью г) следующим, вообще говоря, нелинейным образом: и(*,г) = у(*,г - /о* у(0, *')<**')•

Пересчет статистики скорости из одной системы в другую в общем случае весьма затруднителен из-за возможной корреляции функции со своим аргументом. Однако для крупномасштабного бездивергентного поля скорости статистику в квазилагранжевой системе можно непротиворечивым образом предположить гауссовой (см. (2.2.3), (2.2.2) ниже). 6) Тут следует заметить, что учет сжимаемости даже при сохранении остальных ограничений делает основные статистические свойства неинвариантными относительно такой смены системы координат и при конечном времени корреляции ответ до сих пор неизвестен. Для быстро-переменного (но гладкого) поля скорости анализ проведен в главах 6 и 8.

Одновременные корреляционные функции 9 в обоих системах координат в момент времени 0 одинаковы. Это является следствием несжимаемости потока и трансляционной инвариантности усредненных величин. Уравнение движения (1.0.3) в квазилагранжевых переменных принимает вид:

е + (уа-У%)Ча6 = ф + кА6, = (2.2.1)

Распределение конфигураций поля скорости сразу зафиксируем гаус-

Корреляторы поля г) должны удовлетворять определенным соотношениям самосогласованности (см. [41]). При конечном времени корреляции скорости эти соотношения накладывают довольно жесткие ограничения на распределение вероятности конфигураций и(2,г) .

совым с коррелятором:

Ы*1,пЫ*2,г2)) = Р{г1-Ь)[ОЬ1ба0-)Сар{т12)], (2.2.2)

1Сар(г) = В(35арГ2/2 - гагр),

(2.2.3)

Тезорная структура соответствует несжимаемости потока, временная часть коррелятора в этой главе предполагается экспоненциально

убывающей за некоторое конечное время т (явный вид будет приведен ниже). Пространственная часть коррелятора скорости может иметь вид (2.2.3) только до расстояний Ьи. Задача оказывается хорошо определенной, так как этот масштаб, играющий в такой постановке роль инфракрасного обрезания, никуда не входит ("инфракрасная сходимость").

Мы будем вычислять корреляционные функции скаляра в точках пространства, разделенных расстояниями, много меньшими масштаба накачки Ь. Расстояния предполагаются также много меньшими характерного масштаба изменения скорости Ьи. Это позволяет разложить в квазилагранжевой системе разность скоростей, возникающую в уравнении движения (2.2.1), в ряд Тейлора и ограничиться первым членом: иа(г) — г>а(0) = (табгв. Здесь &{{) - матрица производных скорости, содержащая симметричную (растяжение) и антисимметричную (завихренность) части:

ются с коррелятором (2.2.3), (2.2.2) . Мы предполагаем пространственную изотропию, так что а(£),Ь(£) и с(£) суть независимые случайные

переменными а. и, тогда как завихренность - переменной с. Уравнение эволюции для 6(1'. г) в терминах матрицы а принимает вид:

(2.2.4)

Выражение уа(г) — Vа(0) через <та/3г/3 и гауссова статистика согласу-

процессы с нулевым средним и (а2) = (б2). Растяжение определяется

6(1; г) + аар{г)грЧав{г, г) = ф(г, г) + к Ав,

(2.2.5)

При изучении статистических корреляций пассивного скаляра на не слишком малых расстояниях диффузионным членом можно пренебречь. Если же его необходимо учитывать, то часто это можно сделать, просто вводя ультрафиолетовое обрезание в бездиссипативные формулы (см. ниже). Обоснование такой процедуры, а также анализ случаев, когда она не работает, содержится в Приложении 2Г и разделе, посвященном точному вычислению четырехточечного коррелятора. Формальное решение (2.2.5) в бездиссипативном пределе может быть записано следующим образом:

г) = сИ'ф(г - г', Щг, г - г>), (2.2.6)

где матрица ]¥ определена уравнением:

г') + Щг, ГЩг) = о . (2.2.7)

и начальным условием = 1. Решение (2.2.7) может быть предста-

влено в виде антихронологически упорядоченной экспоненты:

Ж(М') = Т ехр (- £ ¿и ,. (2.2.8)

Здесь значок Т и обозначает такое упорядочение.

С помощью (2.2.6) мы можем переписать корреляционные функции скаляра в терминах известных корреляторов накачки. Источник ф будет считаться ^-коррелированным во времени в квазилагранжевой системе координат. Реально это не налагает сколь-нибудь существенных физических ограничений. Действительно, в квазилагранжевой системе парная корреляционная функция накачки

п2

tl —

Г1 -г2+ [\(о,г)сИ

Ju

быстро спадает на временах \t-i-> V благодаря второму аргументу ( если время корреляции в эйлеровой системе больше, чем Ь/У). Средняя скорость турбулентного потока V, однородно переносящего скаляр, определяется самыми большими масштабами, в то время как завихренность и растяжение определяются вихрями с размерами порядка Ь. Это

означает, что типичное время корреляции накачки в сопутствующей системе много меньше,чем характерные времена эволюции структур размера Ь, независимо от времени корреляции ф в лабораторной системе. Мы рассматриваем, таким образом, время Ь/У как наименьшее в задаче и пишем: (ф(гии)ф(г2^2)) = ^2X2(^12)^(^1 - к)- Здесь функция Хг^г) описывает пространственную корреляцию накачки , Хг(0) = 1, и константа Р2 имеет смысл производительности источника, определяемой по среднему значению в2.

Одновременная парная корреляционная функция скаляра может быть записана в виде:

<0(пЖг3)> = <ЙХ2(I Ж(0, -*)(П - г2) 1))^ • (2.2.9)

где (.. обозначает усреднение по статистике ст. В левой части (2.2.9) подразумеваются уреднения и по внешнему полю скоростей и по статистике источника. Однородность обеих статистик во времени позволяет положить момент наблюдения (значение временного аргумента в (09)) нулем. Единственной неизвестной функцией в этом выражении является Ж(0, — ¿). Функция Хг определяется статистикой источника ф. Мы положим просто Хг(®) = 1 ПРИ х < Ь и Хг(ж) = 0 при х > Ь (более аккуратный учет конкретной формы Хч(х) даст с логарифмической точностью такой же ответ ). В этом случае:

<0(пЖг2)> = Р2(г(г12))„ = Р2г*(г12) , (2.2.10)

где t{r\2) - время, нужное двум точкам, чтобу разойтись с расстояния г\2 на расстояние Ь под действием матрицы перехода 1¥(0, —¿). т* - это время ¿(г!2), усредненное по статистике <т. Поскольку в выражение (2.2.9) входит модуль |Жг| , то полезно представить а в виде суммы симметричной части 5 , ответственной за растяжение, и антисимметричной <та, описывающей вращение. Оператор эволюции!^ , соответственно, представляется в виде произведения IV = гле сомножители удо-

влетворяют следующим уравнениям:

^а + М^а = 0, + Ш = 0 (2.2.11)

Здесь з = ТУ^И^. Первое уравнение немедленно интегрируется:

О -г г О

Поскольку |И/аг| = г , то в выражение (2.2.9) должна быть подставлена матрица И^. И^ же зависит от эффективного параметра растяжения, который в общем случае определяется полным набором а(£), Ь(1) и с(£).

Wa(t,t') = exp(-iay J* cdt) , ау= ° Ч. (2.2.12)

2.3 Подстановка для упорядоченной экспоненты

Уравнения (2.2.7,2.2.11) или упорядоченная экспонента (2.2.8) не дают нам выражения для оператора Ws(t) как явного функционала от а. С другой стороны, усреднение по сг означает функциональное интегрирование:

(f{W)) = JVa exp(-S{a})f(W) (2.3.13)

с действием 5'{<т}, определяющим статистику а. В таком функциональном интеграле мы можем перейти от переменных сг к другим, в которых оператор Ws{t) имеет явное выражение. Похожая задача - преобразование упорядоченной экспоненты от спиновых операторов - была решена в работе [48], см. также [49], [50], для точного функционального представления статсуммы квантового ферромагнетика Гайзенберга. Основная идея подстановки достаточно проста - использовать в качестве переменных интегрирования элементы самой матрицы Техр в какой-нибудь параметризации. Проблема сводится к выбору этой параметризации таким образом , чтобы и действие, и якобиан замены имели вид, "пригодный к употреблению". Приводимая ниже параметризация типа Риккатти представляется максимально удобной для нашей задачи: определения статистики А и построения теории возмущений для быстрого и медленного поля скоростей.

Первым шагом разложим матрицу s (симетричную часть <т) в линейную комбинацию матриц Паули: s = aaz + bax. Далее перейдем к циркулярному базису (операторам повышения и понижения проекции спина 1/2 на ось у): ау, а± with

а± — uz ± %ах =

1л -и-^

1 ±г

г Т1

(2.3.14)

Соответственно введем комплексное поле, (р^ — (а ± ¿6)/2, представляя 5 в виде: в = + у?+<т_.

Рассмотрим матричную функцию, заданную в явном виде:

А{Т,г) = ехр [-¿_Ф+(<)] ехр [-о-+Ф-(Т)] ехр [<туФу{Т)] ехр [<т_Ф+(Т)] ,

(2.3.15)

где Ф^Ф^ - функционалы новых динамических полей ф^^р:

ф+(Т) = ф+{1)е2^1с<11 , Ф"(Т) = е2& , ФУ{Т) = ^ рсИ.

(2.3.16)

Напомним, что поле с характеризует антисимметричную часть а. Используя алгебру операторов (2.3.14), можно показать,что А удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

дтА = А

2 рф+ + ф+ + 2гс0+) + ау(-Аф~ф+ + р)

(2.3.17)

и первый сомножитель в (2.3.15) обеспечивает начальное условие: £) 1. Сравнивая (2.3.17) и (2.2.11), мы заключаем, что подстановка (р~ = ф~ и

<р+ = -ф+ - 2{сф+ + 4ф~(ф+У

р = Аф ф+,

(2.3.18)

(2.3.19)

обеспечивает совпадение с А. Таким образом, замена переменных интегрирования (с/?* -» ф±) в (2.3.13) позволяет нам получить явное

функциональное представление для любого среднего, выражаемого через элементы И^. Якобиан отображения:

= Лф±^ф±,

(2.3.20)

зависит от выбора регуляризации и условий, налагаемых на поле ф+. Такие - начальные или конечные - условия необходимы, поскольку преобразование (2.3.18) содержит производную поля ф+ по времени. В работе [49] было показано, что только начальные или конечные (но не граничные) условия обеспечивают обратимость отображения (2.3.18). Ниже мы увидим, что для данного Т удобно зафиксировать конечное значение поля ф+ (см. также [51]) :

(2.3.21)

Мы выбираем следующую дискретизацию преобразования (2.3.18) : (</? V?±(i„); п = 1,..., М; h = ->• 0; tn = t + hn\ M со),

Vn = Фп , <Рп

+ _

(Ф^-Ф^-^Ф^+Ф^+ФЖ + Ф^)2- (2-3.22)

Отметим, что она совпадает с регуляризацией, использовавшейся в работе [51], посвященной локализации Андерсона в случайном потенциале на прямой . Данной дискретизации соответствует якобиан:

J = const exp ^4 f* ф+ф-dt' - i cdt^j . (2.3.23)

Действуя оператором А(Т, на начальный вектор следующее простое выражение для (2.4.29):

ЩТ-Ь) =

'И

мы получаем

2 { ¿(1 + 2ф+{г)е*,

R2(T -t) = -2ф+(г) exp(8 ¡\ф+ф~ + ic/4)dt').

(2.3.24)

(2.3.25)

Изотропия задачи позволяет нам выбрать ЩО) =

в качестве

начального значения вектора Н(Т — "£) без потери общности. Из формул (2.3.24,2.3.25) мы немедленно получаем желаемую асимптотику при больших Т для коэффициента растяжения:

Для справедливости этого представления важно, что в среднем не

растет, оставаясь ограниченной флуктуирующей величиной. Это можно увидеть из формул Приложения 2Б к данной главе, где также показано, что ф+(¿) "забывает" свое начальное значение за характерное время Л-1.

Выражение (2.3.26) позволяет нам также доказать положительность Л = \\тт-+во(ф+(Т)ф~(Т)) и центральную предельную теорему для статистики Л(£). На первый взгляд подстановка (2.3.18-2.3.19) разрушает комплексную сопряженность ф+ и ф~, так что ф+ф~ может быть комплексным числом. Мы покажем в Приложении 2А, что начальная поверхность интегрирования в функциональном интеграле (2.3.13) (9?+)* = может быть продеформирована в поверхность (ф+)* = ф~, и на ней, таким образом, А > 0. Для доказательства центральной предельной теоремы необходимо показать, что случайный процесс ф+(1)ф~(1) имеет конечное время корреляции. Для конечно-коррелированной по времени <т это будет сделано в Приложении 2А. Когда время Т становится много больше времени корреляции переменной ф+(1)ф~(1), статистика А(£) приближается к гауссовой. Время же, определяющее статистику скаляра (2.2.10), ограничено сверху величиной т* = А-11пРе (подробнее - см. ниже), так что гауссовость является асимптотическим свойством при больших Ре.

Все предыдущие построения не требовали явного задания статистики поля скорости, или, что в этой главе то же самое, статистики а. Далее, для получения количественных результатов, мы будем рассматривать

(2.3.26)

случай гауссовой статистики сг как простейший, но уже нетривиальный, пример. Кроме того, мы сможем сделать некоторые утверждения качественного характера, не зависящие от конкретного функционала распределения скорости.

Кроме гауссовой статистики, мы зафиксируем экспоненциальный закон спадания корреляций а по времени. Это означает следующий вид меры интегрирования в (2.3.13):

Р<т(<) ехр(-50) = VaVЫ>cexp(-So),

& = щ /[«2 + Ь2 + т2(а2 + Ь2М + /[с2 + ^¿<2.3.27)

Выражение а через поля а, Ь, с дано в (2.2.4). Мы ввели в выражении (2.3.27) два разных времени т5 и та и две разных величины Д, и характеризующих соответственно времена корреляции и амплитуды коэффициента растяжения и завихренности. Средние значения Б и О коэффициента растяжения и завихренности могут быть определены как:

52 = 1>в/т„ П2 = Д7та. (2.3.28)

2.4 Предельные случаи быстрого и медленного неоднородного переноса

В этом разделе мы рассмотрим два важных предельных случая: быстро и медленно изменяющееся по времени поле скорости. Вектор

= 0,-£)г (2.4.29)

определяет через (2.2.9) статистику скаляра 9. В ведущем по 1п Ре приближении корреляционные функции конечных порядков 9 выражаются через среднее значение параметра растяжения Л = (1/<)1п(Д(^/г) на больших временах (см. следующий раздел). С этой точки зрения вычисление Л представляет основной интерес. Однако неприводимые корреляторы, корреляционные функции высоких порядков скаляра 9 и хвосты

его функции распределения определяются всей функцией распределения Р(г, А). Для "белошумного" случайного процесса а удается точно вычислить как А), так и Т(в) - функцию распределения значения поля пассивного скаляра в данной точке пространства (последнюю - в главном логарифмическом по 1п Ре приближении).

Если ограничиться только вычислением среднего значения А показателя Ляпунова (в нашей задаче это другой синоним параметра растяжения), то два разных предельных случая - это два разных члена, доминирующих в правой части соотношения

рассматриваемого как уравнение. (Мы подразумеваем последующую подстановку решения в равенство А = Нт^_>004ф+ф~ вместе с ф~ = .)

2.4.1 Малые времена корреляции поля скорости

Если корреляционное время скорости т много меньше, чем характерное время эволюции поля пассивного скаляра (которое порядка обратного среднего коэффицтента, растяжения или обратной завихренности), то случайную матрицу <т можно рассматривать, как дельта-коррелированную во времени. Этот случай впервые рассмотрел Крайчнан [16] при некоторых дополнительных упрощениях. Если дискретизовать уравнение (2.2.7) и представить его решение в виде произведения независимых случайных матриц из 5Х(2, Я), то применима теорема Фурстенберга [45] о положительности среднего ляпуновского показателя и центральная предельная теорема [46, 47]: для начального вектора общего положения г функция

стремится с ростом времени t к константе А > 0, не зависящей от t

ip+ + 2 ¡сф+ = (-ф+ + 4 р~(ф+)2),

(2.4.30)

and г; распределение случайной величины [1п(Я/г) — iA]/\/At при этом стремится к стандартному гауссовому.

Наш формализм позволяет вычислить Л в виде ряда по времени корреляции г и вычислить в пределе нулевого г параметры функции распределения Р(Ь,\). Начнем с первого:

т -разложение для Л . В случае "быстрой" а доминирует первый член в правой части (2.4.30). Разложение в ряд по т получается из следующей итерационной процедуры:

+ 21сф+ = (2.4.31)

+ 2гсф+ = + (2-4.32)

Хк = lim 4Dt((p~il>t), (2.4.33)

Т-¥ oo

и Л = lim-fc-s-oo Äfc. Интегрируя (2.4.31), мы получим:

Ло = lim 4Ds(<p-e-2i£cJt Г cp+e^So dt), Т—>00 \ J 0 /

Ai = Ао —

-16DS \im^~e-2ifocdt £ <p-e-2ifocdt Qf* ip+e2tfo' сЛ"<Й') V^.34)

Данная регулярная итерационная процедура применима при любой статистике <7 (валена лишь малость времени корреляции, а не отсутствие высших неприводимых корреляторов). В частном случае гауссовой меры мы можем вычислить (2.4.34) явно. При Da =0: Ло = Ds, Aj = Ä0 — 2D2sts,____ Таким образом, при Da — 0 мы действительно построили регулярную теорию возмущений для А по параметру Dsts. Если Da - ненулевое, то данная итерационная процедура по прежнему работает: (Äfc+i — Afc)/Ak 0 при Dsts —0, однако каждый член данного порядка по Dsts включает в себя бесконечный ряд по Dara (как гауссово среднее от экспоненты).

Вычисление функции распределения P(t, А) и одноточечной статистики пассивного скаляра в пределе г = 0. Положим в мере

(2.3.27) та = г, = 0 :

Т>а(г) ехр(—5о{а, Ь, с» V^p:ЬVcexp(-S1{(p, с}),

51 = т / + /(2-4'35)

. Отсюда и из (2.2.12) можно сразу заключить, что вращение в данном случае не оказывает никакого влияния на статистику пассивного скаляра в силу вращательной инвариантности усредняемых выражений и инвариантности действия в (2.4.35) относительно локальных фазовых преобразований. Таким образом мы можем сразу положить с = 0 в формулах (2.3.18-2.3.25) и перейти к переменным ф*. Мера интегрирования (2.4.35) в терминах этих полей примет вид:

Vф±exv^) ¡^[ф+ф~ -4(ф+ф-)2 + 2Иф+ф-]<1^ . (2.4.36) В этом разделе мы опустим индекс 5 у параметра = Б.

Далее мы проведем цепочку преобразований (которую можно назвать "бозонизацией"), использовавшуюся также в работе [51]. Первым шагом выполним калибровочное преобразование:

ф±Ц) = х± ехр (т £ , (2-4.37)

В новых переменных В?(Т — ¿) = —2г2х+(^)- Начальное условие для Х+СО - Х+(Т) = —1/2 и якобиан преобразования имеет вид: 3[ф —> х] =

ехр(-4/0Тх+Х~^):

~ 1о(~Ъ*+Х~ ~8рх+х~ + > (2.4.38)

Здесь мы ввели новое поле р для преобразования нелинейности к виду взаимодействия Юкавы (гауссово интегрирование по полю р воспроизведет первоначальное действие; такой трюк иногда называется преобразованием Хаббарда-Стратоновича). Введение этого поля нам нужно для проведения процедуры "абелевой бозонизации", аналогичной неабелевой бозонизации для киральных полей, предложенной в работе [52]. Следующим шагом выполним калибровочное преобразование:

Х±(0=х±ехр^±4^^Т^ , х+(Т) = -1~, (2.4.39)

Т>х±Т)рех р

с якобианом J[x х] = ехр(2£> /0Г рсИ). Регуляризация преобразований (2.4.39) и (2.4.37) выбрана такой, чтобу истребить нелинейные члены в дискретизованном, согласно (2.3.22), действии:

/ П_1 И, \ xi = & ехР I £ Рз + 2АВРЛ '

, (2.4.40)

Более подробно: регуляризация действия фиксирует регуляризацию преобразования (2.4.39) и , тем самым, якобиан. Какая-нибудь другая регуляризация даст лишние слагаемые в действии, содержащие фактор вида Ьр2 (контактный член), не исчезающий в пределе /г —> 0 в силу сингулярной природы одноточечных средних поля р: < р2 1/к.

Таким образом, в новых переменных мера интегрирования гауссова:

г'Т

Т>Х Vpexp

5

(2.4.41)

и R2(T-t) = -2r2x+{t)exp(4D // pdf). Среднее (F[x+(i)]) произвольного фунционала F[x+(t)] по мере (2.4.41) равно F[—1/2]. Это легко увидеть, выполнив сдвиг: х+ ~ 1/2+ и заметив, что среднее от любой целой степени вновь определенной переменной х+ равно нулю. Таким образом, интегрирование по Т>х± выполняется тривиально и мы приходим к мере:

e-m'2VpexV

причем

т

2 D

[ (p-p2)dt J о

(2.4.42)

R\T - t) = г2 exp(4L> J pdf). (2.4.43)

fT n

В выражении (2.4.42), нормировочный фактор ехр( — DT/2) обеспечивает условие (1) = 1.

Мера (2.4.42) вместе с равенством (2.4.43) сразу дает гауссову функ-

2 111 Я2( 0)'

цию распределения для ляпуновского показателя А = | In R ^ ■

P(t, А) = уг/27гА ехр[—(А - Х)Н/2Х], (2.4.44)

где А = О.

В Приложении 2В мы приведем прямой и более простой способ вычисления моментов В?(Т — ¿). Функциональный же формализм, описанный в данном параграфе, позволяет вычислять средние от нелокальных по времени функционалов величины что необходимо для определения

статистики собственно пассивного скаляра и чем мы сейчас и займемся.

Первым шагом найдем точное выражение для функции распределения двухточечного объекта <3 =< 0(?~1, Т)9(г2, Г) >ф, где < ... >ф обозначает усреднение только по накачке ф . (Таким образом, $ остается случайной величиной, зависящей от случайного поля скорости.)

Согласно (2.2.9,2.4.29), мы можем написать:

Я = Р2 [Т Х2 (Я(Т-^)Л, Jo

где К = \¥(Т, ¿)г и Т велико (в конце концов нас интересует предел Т —> оо). Начнем с нахождения лапласовского образа 'Р(з) функции распределения величины ): Р(з) = (ехр(—вС})). Подставляя в выражения (2.4.42) и (2.4.43) р = — <г,<г(Т) = 0, мы видим, что вычисление (ехр(—5(5)) становится квантовомеханической задачей 7К в которой переменная <г играет роль координаты частицы:

9{з) = е~т/2 X

х / 1)? ехр| - Г Л(т)=о [ ./о

= е-от/2(%)|е-ЙТ|е2^). (2.4.45)

Гамильтониан Н этой задачи имеет вид:

я = ~82 + Р2зХ2(г ехР{20я)) . (2.4.46)

Последнее усреднение в (2.4.45) обозначает матричный элемент оператора ехр(-НТ) между соответствующими волновыми функциями. Возьмем в качестве коррелятора накачки Х2(х) ступенчатую функцию — ^Функциональный интеграл, соответствующий среднему (ехр(—в<5)), имеет вид Фейнмана-Каца [53]

2 Ое + Р2зХ2{е21)"^) + 2 £>?(0)

<й

ж), что не ограничивает общности в ведущем порядке по Хп.(Ь!г\2). Тогда: Я = - jßd* + U(я), где

£,(0 = { - • (2.4,47)

I 0 , <7 >

Итак, V(s) равно е~т/2^(я = О,Г), где Ф есть решение задачи Ко-ши: 5тФ = —ЯФ, Ф(?,0) = е2Вя. При больших <7 асмптотика решения - начальная экспонента e2D<; при всех Т. Следовательно, при я —у +оо,Щя,Т) —У eDT/2+2£>c. Асимптотика в целом на больших временах Т —У оо волновой функции Ф(<г) имеет вид: eDT/2f(q), где f(q) удовле-

творяет уравнению:

д2 — 8 DU (я) — 4 D2 f — 0 и имеет асимптотику: /(Я —+оо) = e2ö? and /(я —У —со) < оо. Для потенциала (2.4.47) решение находится легко:

Г e*D< + Ae-'D< , я>Яо; { Ве2в^ШТЗ^ Я<Я0_

Константы А и В в этом выражении определяются условием непрерывности функции / и производной дя/ в точке Яо- В результате мы имеем:

V(s) = /(? = 0) = В =-, 2 expiln - (l - Jl + 2P2s/D )

l + y/l+ 2 P2s/D r^ V }

(2.4.48)

Эта функция имеет разрез вдоль вещественной оси от 5* = — ^г до —оо, что дает:

1 f+io° D

э

I р+1 со /)

?{у) = Aj-o'WW (2.4.49)

7Г 7 — оо 1 — IX

При у = -С/2Р2 ~ 1п(Ь/г) 1 интеграл в (2.4.49) может быть вычислен методом перевала:

2 In (L/r) v/тгу 2у + 1п(£/г)

_i(2y-ln(Z/r))2 , (2.4.50)

Таким образом, функция распределения величины Q имеет гауссов пик

ширины ~ In (L/r) 1 и негауссовы хвосты. Ниже мы увидим, что

эти черты переносятся на функцию распределения собственно скаляра. Предэкспоненциальный фактор в (2.4.50) вычислен для конечных отклонений у от среднего значения (внутри многих дисперсионных интервалов), таких, что неравенство у 1 сохраняется.

Переходя к одноточечной статистике пассивного скаляра в, заметим, что < в2 >ф получается из (¡) =< 0(г1,Т)0(г2,Т') >ф формальным совмещением точек. На самых малых расстояниях небходимо учитывать диффузию. Поскольку зависимость от расстояния г в нашем случае логарифмическая, то с той же логарифмической точностью можно положить < О2 >ф- Я{гащ) =< 0(0,Т)6(гц}},Т) >ф, то есть, использовать диффузионный масштаб как ультрафиолетовое обрезание. Ниже - в Приложении 2Г - мы приведем более подробное обоснование такой процедуры. Сейчас же отметим, что она не работает для самых высоких моментов в (номер момента больше логарифма числа Пекле Ре = Ь/г^/у; см. главу Ъ) и при определении статистки темпа диссипации (см. главу ЪЪ). В последнем случае причина "отказа" простого обрезания очевидна - сама изучаемая величина по определению зависит от динамики на диссипа-тивном масштабе.

Итак, при использовании г^/у как ультрафиолетового обрезания, мы получаем, что (в2п) отличается от только комбинаторным фак-

тором:

<^> = (2п-1)!!<д>А7)), (2.4.51)

Следовательно, для Преобразование Лапласа функции распределения в выражается, таким образом, через Р(з) (см. (2.4.48)):

оо 2п/а2п\ оо 2 п1Г)п\ а2Г)

<«"> = £ ^ = £ = <«р^]> = -

Отсюда мы получаем саму одноточечную функцию распределения пассивного скаляра Т>зр{9)'.

1 л+гоо

-Р*р(в) = ~ / е*Рь(-з>/2)Ж -

¿ТТ1 J —гоо

2тг^Р2]-оо 1 + ^ТТф у ;

где 2 = Вычисление методом перевала интеграла в (2.4.53) да-

ет следующее приближенное выражение для Тяр(в). справедливое при гб"- 1п(1/гЛ/) » 1:

Тар(в) ос ехр (-у+ ^(.Ь/г,«/)^ , (2.4.54)

Эта формула демонстрирует наличие экспоненциальных хвостов с показателем, не зависящим от числа Пекле. Утверждение о такого рода асимптотическом поведении /Рер(в) содержится также в работе [54].

2.4.2 Медленное поле скорости

В этом случае в правой части равенства (2.4.30) доминирует второй член, не содержащий производной по времени и мы можем строить адиабатическую итерационную процедуру:

ic + \/4ip+(p- — с2 ' =--'

ic+ J4ip+(p- - с2 -\г4ф-ф1_х У к ---:-)

Afc= Нш4 Оа{<р~ф+). (2.4.55)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Колоколов, Игорь Валентинович

10 Заключение.

В диссертации развит метод функционального интегрирования для некоторых задач неравновесной статистической физики систем гидродинамического типа и с его помощью получены следующие результаты:

1. Рассмотрен перенос пассивного скаляра гладким двумерным бездивергентным случайным полем скоростей, подчиняющимся гауссовой статистике.

При изучении корреляций пассивного скаляра на расстояниях г , много меньших масштаба Ь внешней накачки, в задаче возникает большой параметр 1п Ь/г. В главном порядке по этому параметру статистика пассивного скаляра 9(г, ¿) оказывается гауссовой для произвольного времени корреляции скорости вплоть до моментов с номерами порядка 1п Ь/г. Найдена зависимость ляпуновского показателя и определяеных им корреляционных функций поля 0(г, ¿) от времени корреляции поля скорости.

2. В ведущем порядке по 1п Ь|r¿^¡¡ вычислена . одноточечная функция распределения Т>{9) для некоррелированного по времени поля скоростей вплоть до негауссовых хвостов, которые оказываются экспоненциальными.

3. В двух же измерениях найдена четырехточечная корреляционная функция пассивного скаляра для быстропеременного гладкого поля скоростей. Её негауссова часть определяет те величины, для которых главный логарифмический вклад сокращается . Показано наличие слабой угловой особенности для расстояний в инерционном интервале.

4.Развит аппарат для изучения статистических свойств пассивного скаляра в гладком поле скоростей в N - мерном случае. Вычислена одноточечная статистика для некоррелированного по времени переноса (вплоть до моментов порядка 1п Ь/г^ц ) и найден спектр ляпуновких экспонент.

5. Для поля скорости с нетривиальным скейлингом показана параметрически сильная негауссовость пассивного скаляра в инерционном интервале и для большой размерности пространства найдены аномальные индексы четырехточечного коррелятора. Сформулированы также правила слияния, определяющие локальные объекты.

6. Для одномерного сжимаемого и двумерного несжимаемого гладких случайных полей скорости вычислены функции распределения дис-сипативного параметра, локальной величины, чувствующей динамику на диссипативном масштабе. Показано, что эта функция распределения - существенно негауссова с (по-видимому) универсальным хвостом. Она объясняет данные численных и натурных экспериментов.

7. Показано, что в сжимаемом поле скорости может возникнуть обратный каскад - перенос возбуждения по спектру с малых расстояний на большие. В случае крупномасштабного переноса найдены иллюстрирующие это явление функции распределения.

8.Найден левый хвост функции распределения градиентов и разностей скорости для задачи о турбулентности в уравнении Бюргерса. Этот хвост существенно зависит от вязкости и убывает медленнее, чем гауссово распределение. Последнее обстоятельство позволяет говорить об аналитическом описании статистической перемежаемости в нелинейной системе, исходя из уравнений движения. Выделены также мягкие флук-туационные моды, происходящие из галилеевской инвариантности теории.

Я благодарен моим соавторам Е.Балковскому, М.Вергассола, А.Гамба, В.Лебедеву, Г.Фальковичу и М. Черткову за радость совместной работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Колоколов, Игорь Валентинович, 1997 год

Литература

[1] L.V. Keller, A.A.Fridman , Proceedings of the First International Congress for Applied Mechanics, Delft, 1924, p. 395-405.

[2] А.Н.Колмогоров, ДАН СССР, 32, 16 (1941).

[3] А.Н.Колмогоров, ДАН СССР, 30, 299 (1941).

[4] А.Н.Колмогоров, ДАН СССР, 31, 538 (1941).

[5] А.М.Обухов, ДАН, 32, 22 (1941).

[6] А.М.Обухов, Изв. АН СССР, Серия географическая и геофизическая, 5, 453 (1941).

[7] А.З.Паташинский, В.Л. Покровский, ЖЭТФ 46, 994 (1964),

[8] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Гидродинамика, М., Наука, 1986.

[9] U.Frisch, Turbulence. The legacy of A.N.Kolmogorov, Cambridge Univ. Press, 1995.

[10] E.A.Kuznetsov, V. S. L'vov, Physica 2D, 203 (1981). S.S.Moiseev, A.V.Tur, V.V.Yanovskii, in Proc. Intern. Working Group on the Physics of Nonlinear Phenomena and Turbulence, Naukova Dumka, Kiev, 1683.

[11] В.И.Белиничер, В.С.Львов, ЖЭТФ 93, 533 (1987).

[12] G. Falkovich , V. Lebedev, Phys. Rev. E 50, 3883 (1994).

[13] R. Kraichnan, J. Fluid. Mech., 5, 497 (1959).

[14] В.Е.Захаров, ПМТФ, 4, 35 (1965).

[15] V. Zakharov, V. L'vov, and G. Falkovich, "Kolmogorov spectra of turbulence I", Springer, Berlin, (1992).

16] R. Kraichnan, Phys. Fluids 10, 1417 (1967);

17] С.И.Вайнштейн, Я.Б.Зельдович , А.А.Рузмайкин, Турбулентное динамо в астрофизике. М., Наука, 1980.

18] А.П.Казанцев, ЖЭТФ 53, 1806 (1967).

19] М.Vergassola, Phys. Rev. Б 53, R3021 (1996).

20] V.Borue, V.Yakhot, Phys. Rev. E 53, R5576 (1996).

21] G.K. Batchelor, J. Fluid Mech. 5, 113 (1959).

22] R. Kraichnan, J. Fluid Mech. 64, 737 (1974).

23] R. Antonia, E. Hopfinger, Y. Gagne, and F. Anseimet, Phys. Rev. A 30, 2704 (1984).

24] С. Meneveau and К. R. Sreenivasan, Phys. Rev. A 41, 2246 (1990).

25] K. R. Sreenivasan, Proc. R. Soc. bond. A 434, 165 (1991).

26] I. Hosokawa and K. Yamamoto, in Turbulence and Coherent Structures, ed. by O. Metais and M. Lesieur (Kluwer, London 1991).

27] M. Ould-Ruis, F. Anselmet, P. Le Gal and S. Vaienti, Physica D85, 405 (1995).

28] M. Holzer and E. Siggia, Phys. Fluids 6, 1820 (1994).

29] M. Overholt and S. Pope, Phys. Fluids 8, 3128 (1996).

30] В.Н.Попов, Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М., Атомиздат, 1976.

31] J. Zinn-Justin, Quantum field theory and critical phenomena. Clarendon Press, Oxford, 1989.

32] V. S. L'vov, I. Procaccia, and A. Fairhall, Phys. Rev. E 50, 4684 (1994).

[33] И.М.Лифшиц, УФН, 83, 617 (1964).

[34] Л.Н.Липатов, ЖЭТФ, 72, 411 (1977).

[35] Н. Janssen, Z. Phys. В 23, 377 (1976).

[36] Е.И.Кац, В.В.Лебедев, Динамика жидких кристаллов. М., Наука, 1988.

[37] G.Falko vi ch, I.Kolokolov, V.Lebedev, A.Migdal, Phys. Rev. E 54, 4896 (1996).

[38] M. Chertkov, Y. Fyodorov, I. Kolokolov, J.Phys. A, 27, 4925 (1994).

[39] M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, V. Lebedev, Phys. Rev. E 51, 5068 (1995).

[40] M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, V. Lebedev, Int. J. of Mod. Phys. BIO, 2273 (1996).

[41] G. Falkovich, V. Kazakov, V. Lebedev, J. of Phys. A, (1997), (в печати).

[42] E. Balkovsky, M. Chertkov, I. Kolokolov ,V. Lebedev, Письма в ЖЭТФ, 61, 1012 (1995).

[43] E. Balkovsky, M. Chertkov, I. Kolokolov , V. Lebedev, Неопубликованный вариант работы [42].

[44] V. L'vov, Phys. Rep. 207, 1 (1991).

[45] H. Furstenberg, Trans. Amer. Math. Soc. 108, 377 (1963).

[46] E. La Page, in Probability measures on groups, ed. by H. Heyer, Lect. Notes Math (Springer, Berlin 1982) v.928, p. 258.

[47] A. Crisanti, G. Paladin, A. Vulpiani, Products of Random Matrices (Springer-Verlag, Berlin 1993).

[48] I.V. Kolokolov, Phys. Lett. A, 114, 99 (1986).

[49] I.V. Kolokolov, E.V. Podivilov , Sov. Phys. JETP, 68 , 119 (1989).

[50] I.V. Kolokolov, Ann. of Phys., 202, 165 (1990).

[51] I.V. Kolokolov, JETP 76, 1099 (1993).

[52] A.M.Polyakov, P.B.Wiegmann. Phys. Lett. 131B (1983), 121.

[53] R.P. Feynmann and A.B. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals. McGr.-Hill B.C., New York 1965. (Имеется перевод: P. Фей-нман, А.Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям. М., Мир, 1968).

[54] B.I. Shraiman and E.D. Siggia, Phys. Rev. E 49, 2912 (1994).

[55] И.М.Лифшиц, С.А.Гредескул, Л.А.Пастур, Введение в теорию неупорядоченных систем. М., Наука, 1982.

[56] A.A. Abrikosov and I.A. Ryzhkin, Adv. in Phys. 27, 146 (1978).

[57] Ф.А. Березин, УФН, 132, 497 (1980).

[58] А. Переломов, Обобщенные когерентные состояния и их применения. М., Наука, 1987.

[59] G. Falkovich, Phys. Rev. E 49(3) (1994).

[60] L. Van Hove, Physica 25, 268 (1959).

[61] B.I. Shraiman, E.D. Siggia, Phys. Rev. Lett. 77, 2463 (1996).

[62] E. Balkovsky, G. Falkovich, V. Lebedev, Phys. Rev. E 55, R4881, (1997).

[63] M. Chertkov, A. Gamba, I. Kolokolov, Phys. Lett. A 192, 435 (1994).

[64] A.Gamba, I.Kolokolov, Journ. of Stat. Phys., 85, 489 (1996).

[65] A.Morozov, Phys. Lett. B, 229, 239 (1989).

[66] D.Bernard, K.Gawedzki, A.Kupianen, cond-mat/9706035

[67] O.Dorokhov, Sov. Phys. JETP, 58(1983), 606.

[68] C.W.J.Beenakker, B.Rejaei, Phys.Rev.Lett., 71, 3689 (1993).

[69] M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, V. Lebedev, Phys. Rev. E 52, 4924 (1995).

[70] K.Gawedzki, A.Kupianen, Phys.Rev.Lett., 75, 3834 (1995).

[71] M. Chertkov, G. Falkovich, Phys.Rev.Lett., 76, 2706 (1996).

[72] D.Bernard, K.Gawedzki, A.Kupianen, Phys. Rev. E 54, (1996).

[73] R. H. Kraichnan, Phys. Fluids 11, 945 (1968).

[74] R. Kraichnan, частное сообщение (1991).

[75] Ya. Sinai and V. Yakhot, unpublished (1988)

[76] А.З.Паташинский, В.JI. Покровский, Флуктуационная теория фазовых переходов. М., Наука, 1982.

[77] Г.Бейтмен, А.Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, том 2, стр. 170. М., Наука, 1966.

[78] А.М.Поляков, ЖЭТФ 57, 271 (1969),

[79] L. P. KadanofF, Phys. Rev. Lett. 23, 1430 (1969).

[80] К. G. Wilson, Phys. Rev. 179, 1499 (1969).

[81] V. V. Lebedev and V. S. LVov, JETP Letters 59, 577 (1994).

[82] R. Kraichnan, Phys. Fluids 10, 1417 (1967).

[83] M.Chertkov, I.Kolokolov, M.Vergassola, "Inverse cascade and intermittency of passive scalar in Id smooth flow", chao-dyn/9706017, принята к публикации в Phys. Rev.E.

[84] M. Vergassola, and A. Mazzino, chao-dyn \ 9702014.

[85] P.C.Martin, E.D.Siggia, H.A.Rose, Phys. Rev.A, 8, 423, (1973).

[86] H. W. Wyld, Ann. Phys. 14, 143 (1961).

[87] C. de Dominicis, J. Physique (Paris) 37, cOl-247 (1976).

[88] C. de Dominicis and L. Peliti, Phys. Rev. В 18, 353 (1978).

[89] A. M. Polyakov, Phys. Rev. E 52, 6183 (1995).

[90] А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев, Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., Наука, 1981.

[91] Г. Фалькович, частное сообщение.

[92] M.Chertkov, G.Falkovich, I.Kolokolov, "Intermittent dissipation of a passive scalar in turbulence",

[93] M.Chertkov, I.Kolokolov, M.Vergassola, "Inverse versus direct cascade in turbulent advection", chao-dyn/9706016.

[94] Я.Б.Зельдович, С.А.Молчанов, А.А.Рузмайкин, Д.Д.Соколов, ЖЭТФ, 89, 2061 (1985).

[95] D. Bernard, K.Gawedsky, A.Kupianen, (1997) (в печати).

[96] В. Muzykantskii and D. Khmelnitskii, Phys. Rev. B51, 5480, (1995).

[97] V. Falko and K. Efetov, Europhys. Lett. 32, 627 (1995).

[98] V. Gurarie and A. Migdal, Phys. Rev. E54,4908, (1996).

[99] E. Balkovsky, G.Falkovich, I.Kolokolov, V.Lebedev, Phys.Rev.Lett. 78, 1452 (1997).

[100] J.M. Burgers, The Nonlinear Diffusion Equation (Reidel, Dordrecht 1974).

101] M.Chertkov, Phys. Rev. E55, 2722, (1997).

102] С.Н.Гурбатов, А.Н.Малышев, А.И.Саичев, Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М., Наука, 1990.

103] R. Kraichnan, Phys. Fluids 11, 265 (1968).

104] Т. Gotoh and R. Kraichnan, Phys. Fluids 5, 445 (1993).

105] T. Gotoh, Phys. Fluids 6, 3985 (1994).

106] A.M. Polyakov, Phys. Rev. E52, 6183 (1995).

107] J. Bouchaud, M. Mezard and G. Parisi, Phys. Rev. E52, 3656 (1995).

108] A. Chekhlov and V. Yakhot, Phys. Rev. E52, 5681 (1995).

109] T. Gotoh and R. Kraichnan, (в печати).

110] E.Weinan, K.Khanin, A.Mazel, Ya.Sinai, Phys.Rev.Lett. 78, 1904 (1997).