Функционализация параметра в задаче о локальных бифуркациях динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ибрагимова, Лилия Сунагатовна

• Ибрагимова, Лилия Сунагатовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ибрагимова, Лилия Сунагатовна

Введение 3 Ф

Глава 1. Бифуркации малых решений операторных уравнений 1.1. Вспомогательные сведения

1.2. Функционализация параметра в задаче на собственные значения

1.3. Функционализация параметра в задаче о бифуркации малых решений ф' 1.4. Доказательства основных утверждений 45 Ф

Глава 2. Локальные бифуркации динамических систем

2.1. Локальные бифуркации коразмерности один

2.2. Бифуркация двукратного равновесия 73 ^ 2.3. Локальные бифуркации вынужденных колебаний

2.4. Локальные бифуркации автоколебаний

2.5. Бифуркации в дискретных динамических системах

Глава 3. Анализ устойчивости бифурцирующих решений ф 3.1. Вспомогательные утверждения

3.2. Устойчивость решений в задаче о бифуркации двукратного равновесия

3.3. Устойчивость вынужденных колебаний 119 ,ф 3.4. Устойчивость бифурцирующих решений в дискретных системах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функционализация параметра в задаче о локальных бифуркациях динамических систем»

В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений одними из основных являются вопросы о бифуркациях, т.е. вопросы о перестройках фазовых портретов системы при переходе параметров через критические значения. Точкам бифуркации в практических задачах отвечают критические нагрузки в проблемах устойчивости, критические скорости в задачах возникновения волн, критические значения параметров в задаче о возникновении автоколебаний и другие. Теоретическое и компьютерное исследование бифуркаций динамических систем представляет собой важную задачу.

Особый интерес вызывают локальные бифуркации, происходящие в окрестностях особых точек динамической системы. Здесь возможны различные сценарии: бифуркации двукратного равновесия, вынужденных колебаний, автоколебаний, ограниченных решений, инвариантных торов, удвоения периода и др.

Вопросам изучения теоретических и прикладных аспектов различных бифуркаций посвящена обширная литература, восходящая к работам Л.Эйлера, К.Якоби, И.А.Вышнеградского и др. Основы современной теории бифуркации были заложены в работах А.М.Ляпунова [25] и А.Пуанкаре [29].

Существенный вклад в развитие теории бифуркаций динамических систем внесли А.А.Андронов, В.И.Арнольд, Дж.Гукенхеймер, М.Т.Тере-хин, Ф.Холмс, Э.Хопф, Л.П.Шильников, В.И.Юдович и др. (см. [1]-[4], [7], [9], [15], [26]-[28], [31], [32], [34]-[39], [45], [47], [48], [53]).

В настоящее время теория бифуркаций - одна из наиболее развитых ветвей общего нелинейного анализа. В ней последовательно и достаточно полно изучены многие типы бифуркаций. В теории бифуркаций разработан ряд эффективных методов исследования, таких как метод Ляпунова-Шмидта, метод нормальных форм Пуанкаре, метод инвариантных многообразий и др.(см. [2], [7], [28], [34]). Эти методы позволили провести детальное исследование многих задач о признаках бифуркации, о приближенном построении бифурцирующих решений, о получении их асимптотик, анализа устойчивости и др.(см. [12], [15], [20], [46], [51]).

Специфика задач о бифуркациях динамических систем состоит в том, что эти задачи содержат параметры и бифурцирующие решения обычно существуют при неизвестных априори значениях параметров. При этом, как правило, эти решения образуют непрерывные (по параметрам) ветви, а при фиксированном значении параметра решения могут образовывать связные континуумы. Это снижает эффективность многих, в особенности, приближенных методов исследования.

Для исследования задач с параметрами М. А.Красносельский [15] предложил метод функционализации параметра, суть которого состоит в том, что параметры задачи заменяются некоторыми специально сконструированными функционалами. Это позволяет переходить от задач с конти-нууами решений к эквивалентным в естественном смысле задачам с изолированными решениями. Метод функционализации параметра показал свою эффективность при решении задач о периодических решениях автономных систем, о бифуркации Андронова-Хопфа, о возмущении спектра линейных операторов и др.

Дальнейшее развитие метода функционализации параметра представляет собой важную задачу.

В диссертации разработаны теоретические аспекты метода функционализации параметра в задаче о локальных бифуркациях динамических систем и даны его приложения.

В работе предложен новый метод исследования задач о локальных бифуркациях динамических систем, основанный на конструировании специальных функционалов и позволяющий проводить детальное исследование задачи. Разработана общая схема конструирования линейных функционалов, позволяющая переходить от уравнений с параметрами к эквивалентным уравнениям без параметров и с изолированными решениями.

Предложенный метод позволил получить новые достаточные признаки локальных бифуркаций динамических систем, разработать итерационную процедуру построения бифурцирующих решений, получить асимптотические формулы для решений и соответствующих значений параметров, исследовать тип бифуркации, разработать новую схему исследования устойчивости решений бифуркационных задач.

Основные результаты работы в кратком изложении.

Первая глава посвящена вопросам теоретического обоснования метода функционализации параметра в задаче о бифуркации малых решений операторных уравнений.

В § 1.1 приводятся вспомогательные сведения из общей теории бифуркаций, а также об основных используемых методах исследования: методе функционализации параметра и методе Ньютона-Канторовича.

В § 1.2 на основе метода функционализации параметра решается вспомогательная задача о возмущении спектра линейного оператора. Рассматривается дифференцируемое семейство линейных вполне непрерывных операторов >1(А), действующих в гильбертовом пространстве Н. Предполагается, что оператор = А(Ао) имеет простое вещественное собственное значение цо, //о ф 0. Пусть ео - соответствующий собственный вектор.

При А, близких к Ао, оператор Л(А) имеет простое собственное значение ц(А) такое, что //(А) - непрерывная функция и //(Aq) = /io- Сопряженный к Aq оператор Aq = А*(Ао) также имеет простое собственное значение fio, которому отвечает собственный вектор до. Можно считать, что векторы ео и до нормированы исходя из соотношений: ||ео|| = 1 и (ео><7о) = 1- Обозначим через А'{А) производную оператора А по А.

Теорема 1. Пусть (Л'(Ао)ео, <7о) ф 0. Тогда собственное значение fi(А) оператора А(А) представимо в виде

А) = ^ + (^'(Ао)ео,^о) • (А - А0) + е(А), где е(А) = о(|А — Aq|) при А —> Aq.

При доказательстве теоремы 1 используется метод функционализации параметра. Неизвестное собственное значение ц находим в виде некоторого функционала ц = f(x), подставляя который в уравнение = fix, получим А(Х)х = f(x)x. В работе предлагается функционал f(x) выбрать линейным, а именно, в виде f(x) = Ho(x,go). Тогда получим уравнение

F(x, X) = Л(А)ж - цо(х, д0)х = 0. (1)

Уравнение (1) при А, близких к Ао, имеет в малой (не содержащей нуля) окрестности вектора ео единственное решение. Для построения этого решения в работе используется модифицированный метод Ньютона-Канторовича.

Основным в первой главе является § 1.3, в котором изучается операторное уравнение x = F(tг, А), х£ Я, (2) где F(x, А) - вполне непрерывный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Я и непрерывно (по норме операторов) зависящий от скалярного параметра А. Пусть F(0, А) = 0.

Значение Ао параметра А называют точкой бифуркации малых решений уравнения (2), если существует последовательность Ап —> Ао, такая что при каждом Х = Хп уравнение (2) имеет ненулевое решение хп, причем ||#п|| —> 0, п —> оо.

Положим А(А) = Л). Тогда уравнение (2) может быть представлено в виде х = А(\)х + а(х, A), xeH,\eR, (3) в котором ||а(ж, А)|| = о(||^||) при ||а;|| —»• 0 равномерно по А. В работе изучается ситуация, когда выполнено условие

U1: число 1 является простым собственным значением оператора Л(Ао).

В диссертации получен новый достаточный признак бифуркации малых решений уравнения (3). Обозначим через ео и до отвечающие собственному значению 1 собственные векторы операторов Л(Ао) и А*(Ао) соответственно. Векторы во и до можно нормировать в соответствии с равенствами ||ео|| = 1 и (во, до) = 1.

Пусть наряду с условием U1 также выполнено условие

U2: имеет место соотношение (Л'(Ло)ео, до) ф 0.

Справедлива

Теорема 2. Пусть выполнены условия U1 и U2. Тогда Ао является точкой бифуркации малых решений уравнения (3).

Далее приводится схема, позволяющая на основе метода функциона-лизации параметра провести детальное исследование бифуркации малых решений уравнения (3) в условиях теоремы 2. Для этого параметр А в уравнении (3) заменяем функционалом f(x) ~ ~(xi9o)i (4) что позволяет перейти к уравнению

F(x) = F0(x) + w(x) = 0, (5) где F0(x) - х- A[f(x)]x и w{x) = -а[х, f(x)].

Определим производную Фреше оператора Fq(x) при х = хо (здесь xQ = еео):

F£(x0)h = h- Ао {h, g0)A'e0 - Ah, (6) где обозначено А = Л(Ао), А' = Л'(Ао); оператор (6) не зависит от е и непрерывно обратим. Положим Го = [^о(£ео)]1 • Н Н.

Теорема 3. Пусть выполнены условия U1 и U2. Тогда при малых е > 0 уравнение (5) имеет в шаре 5Го(е) радиуса ro(£), ro{s) = о(е) при s —> 0, единственное непулевое решение х{е), которое можно получить как предел последовательных приблиэ1сений

Xk+i = xk - T0F(xk), k = 0,1,2,., (7) где хо = еео. При этом ||я(£)|| —У 0 и f[x(e)] —> Ао при е —> 0. Вектор х(е) является бифурцирующим решением уравнения (3) при А = fmi

Итерационная процедура (7) может быть использована и для получения асимптотик бифурцирующих решений. Пусть нелинейность а(х, Л) представляется в виде а(х, А) = а2(х, А) + Ьз(х, Л), где Л) содержит квадратичные по х слагаемые, а 63(х, Л) - слагаемые более высокого порядка.

Доказана

Теорема 4. Существующие в условиях теоремы 3 бифурцирующие решения х{е) уравнения (3) и соответствующие им значения параметра А(е) = f[x(e)] представимы в виде х(е) = ее0 + е2е\ + о(е2), Л(бг) = Л0 + eAi + о(е), где г л (0 \ \ \ (а2(е0>Ло),^о) е\ = I оа2(е0, А0), Ai =--т-т--г—.

Эта теорема в диссертации дополнена утверждениями о типе бифуркации.

Во второй главе основным объектом исследования является дифференциальное уравнение x' = f(x, A), x<ERN, (8) зависящее от скалярного параметра Л. Предполагается, что /(О, Л) = 0. Рассматриваются локальные бифуркации, которые сопровождаются возникновением новых положений равновесия или периодических орбит в окрестности нулевого решения системы (8).

В § 2.1 приводятся необходимые сведения из общей теории локальных бифуркаций динамических систем, а также постановки основных задач. В § 2.2 изучается бифуркация двукратного равновесия системы (8). Значение Ао параметра А называют точкой бифуркации двукратного равновесия системы (8), если существует последовательность Ап -» Ао такая, что при каждом А = Ап система (8) имеет ненулевое постоянное решение хп, причем ||жп|| —> 0, п —> оо.

Обозначим через В (Л) матрицу Якоби правой части системы (8), вычисленную в точке х = 0. Тогда система (8) может быть представлена в виде х'= В{\)х + а{х, A), xeRN, (9) в котором ||а(ж,Л)|| = о(||^||) при ||гс|| —У 0 равномерно по Л. В диссертации рассматривается ситуация, когда матрица В(Хо) имеет простое нулевое собственное значение.

Точки равновесия системы (9) совпадают с решениями уравнения х = А(Х)х + а{х,Х), х е Rn, (10) где А(\) = В (\) + I. Задача о бифуркации двукратного равновесия системы (9) сводится к эквивалентной задаче о бифуркации малых решений операторного уравнения (10), т.е. уравнения вида (3). Следовательно, для исследования бифуркации двукратного равновесия системы (9) можно воспользоваться результатами первой главы.

В § 2.3 рассматривается задача о бифуркации вынужденных колебаний в системах, описываемых неавтономным уравнением x' = f(x,t, A), xeRN, (11) где вектор-функция f(x, t, А) является гладкой по х и Л, непрерывной и Т-периодической по t. Пусть выполнено условие /(0, t, Л) = 0.

Значение Ао параметра Л называют точкой бифуркации вынужденных колебаний уравнения (11), если существует последовательность Ап —> Ао такая, что при А = Ап уравнение (И) имеет ненулевое Т-периодичес-кое решение х = £n(i), причем max ||^n(0ll ~~0 ПРИ 71 00

Обозначим через U{x, А) оператор сдвига за время Т по траекториям системы (11). Задача о бифуркации вынужденных колебаний системы (11) равносильна задаче о бифуркации малых решений операторного уравнения х = U(x, А).

Положим A(t, А) = f'x(0,t,\). Тогда система (11) может быть представлена в виде х'= A(t, \)х + a(x,t, X), x(zRn, (12) в котором ||а(я,£, А)|| = о(||ж||) при ||ж|| —> 0 равномерно по t и Л.

Пусть F(A) - оператор сдвига за время Т для линейной системы х' = А(£,А)сс. Оператор U(x, А) можно представить в виде U(x, А) = У(А)гс -I- v(x, А), в котором А)|| = о(||®||) при ||ж|| 0 равномерно по А. Таким образом, задача о бифурации вынужденных колебаний системы (12), а значит и системы (И), сводится к эквивалентной задаче о бифуркации малых решений операторного уравнения x = V(\)x + v(x,\). (13)

Уравнение (13) является уравнением вида (3). Поэтому метод, разработанный в первой главе, может быть практически без изменений перенесен и на задачу о бифуркации вынужденных колебаний системы (11). В диссертации приводится ряд полученных по указанной схеме результатов.

В § 2.4 рассматриваются дискретные динамические системы, зависящие от скалярного параметра А:

Хк+1 = /(я*,А), & = 0,1,2., (14) где f(x, А) - оператор, гладко зависящий от х £ Я и А е R1. Предполагается, что /(0, А) = 0.

Число Ао назовем точкой 1-бифуркации системы (14), если существует последовательность Хт -> Ао такая, что при каждом А = Хт система (14) имеет ненулевую неподвижную точку х^т\ при этом -» 0 при m —У оо.

Число Ао назовем точкой 2-бифуркации системы (14), если существует последовательность Ат Ао такая, что при каждом А = Ат система (14) имеет цикл х^^х^ периода 2 так, что Цж^Ц, Цж^Н 0 ПРИ т —> оо.

Аналогично определяются точки р-бифуркации системы (14) для любого натурального р ^ 1.

Задача о точках р-бифуркации системы (14) сводится к задаче о бифуркации малых решений операторного уравнения вида (3).

В § 2.5 дается обоснование метода функционализации параметра в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа для системы (9).

Заключительная третья глава диссертации посвящена анализу устойчивости бифурцирующих решений динамических систем.

В § 3.1 приводятся вспомогательные сведения из общей теории устойчивости решений дифференциальных уравнений.

В §§ 3.2, 3.3 и 3.4 рассматриваются, соответственно, вопросы об устойчивости решений в задачах о бифуркации двукратного равновесия, бифуркации вынужденных колебаний и р-бифуркаций дискретных систем.

Ограничимся приведением некоторых результатов из § 3.2, относящихся к вопросу об устойчивости бифурцирующих решений системы (9) в задаче о бифуркации двукратного равновесия. Пусть х(е) - это бифур-цирующее решение системы (9) при Л = А(б:).

Если матрица В(Хо) имеет хотя бы одно собственное значение с положительной вещественной частью, то при всех малых е > 0 бифурциру-ющие решения х(г) системы (9) неустойчивы.

Пусть все собственные значения матрицы В{Ао), отличные от нулевого, имеют отрицательные вещественные части.

Теорема 5. Пусть (аг^о, Ао), до) < 0; тогда при всех малых е > 0 би-фурцирующие решения х(е) системы (9) асимптотически устойчивы. Если же («2(^0, Ао), ^о) > 0; то решения х(е) при всех малых е > 0 неустойчивы.

В заключении сформулированы выводы об основных результатах работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ибрагимова, Лилия Сунагатовна

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. В задаче о локальных бифуркациях динамических систем разработана общая схема конструирования линейных функционалов, позволяющая переходить к эквивалентным уравнениям без параметров и с изолированными решениями.

2. Получены новые удобные в приложениях достаточные признаки локальных бифуркаций динамических систем.

3. На основе метода Ныотона-Канторовича разработана итерационная процедура построения бифурцирующих решений.

4. Получены асимптотические формулы для бифурцирующих решений, позволяющие определять эволюцию и тип бифуркации.

5. Предложена новая схема исследования устойчивости бифурцирующих решений, приводящая к анализу эффективно вычисляемых характеристик задачи.

6. На основе метода функционализации параметра разработана схема приближенного решения задачи о возмущении спектра линейных операторов и изучены ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ибрагимова, Лилия Сунагатовна, 2006 год

1. Андропов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959.

2. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 400 с.

3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 368 с.

5. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.

6. Басов В. В. Бифуркация положения равновесия в системах с нулевыми корнями характеристического уравнения // Математические заметки. 2004. 75. №3. С.323-341.

7. Гукепхеймер Дою., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

8. Демидович Б.П.Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

9. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 304 с.

10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

11. И. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1975. 740 с.

12. Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Доклады АН СССР, 1980. Т. 254. № 5. С. 1061-1064.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 543 с.

14. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1966. 332 с.

15. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

16. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

17. Красносельский А.М, Красносельский М.А. Циклы больших амплитуд в автономных системах с гистерезисом // Доклады АН СССР, 1985. Т. 283, № 1. С. 23-26.

18. Красносельский A.M.,Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. Нелинейная бифуркация Хопфа // Доклады РАН. 2000. Т. 372, № 4. С.455-458.

19. Красносельский М.А., Кузнецов Н.А., Юмагулов М.Г. Функциона-лизация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. № 11. С. 22-28.

20. Красносельский М.А., Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений // ДАН России, 1999. Т.365. № 2. С. 162-164.

21. Кроиовер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

22. Куракин Л.Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разру-шениии кососимметрии динамической системы // Сибирский математический журнал, 2004. Т.45. № 2. С. 356-374.

23. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1983. 328 с.

24. Локшин А.А., Лопатников С.А., Саакян А.С. Метод сжатых отображений в симметричной проблеме собственных значений. М.: Изд-во МГУ, 1995. 143 с.

25. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. М.-Л.:Гостехиздат, 1956. Т. 2.

26. Малииецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Наука, 1997. 225 с.

27. Малииецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС-М.: Наука, 2000. 336 с.

28. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 362 с.

29. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.

30. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 288 с.

31. Терехин М.Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. № 10 (449). 1999. С. 37-42.

32. Терехин М.Т. Ненулевые периодические решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных // Дифференциальные уравнения. 2003. 39. К0- 12. С. 1645-1653.

33. Хори Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

34. Хэссард В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985. 280 с.

35. Шилъников Л.П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.

36. Юдович В.И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости. // ДАН СССР, 195(1970). № 2. С. 292-295.

37. Юдович В.И. Об устойчивости автоколебаний жидкости // ДАН СССР. 195(1970). № 3.

38. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебательных режимов // Автоматика и телемеханика. 1988. №10. С. 76-84.

39. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в итерационных процедурах исследования бифуркации Хопфа для уравнений с последействием // Доклады АН России. 1993. Т.331. № 1. С. 24-27.

40. Bhattacharya Rakhi, Bandyopadhyay Malay, Banerjee Sandip. Stability and bifurcation in a difusive prey-predator system. Non-linear bifurcation analysis. J.Appl. Math, and Comput., 2002. 10. № 1-2. P. 17-26.

41. Cicogna G.J. Resonant bifurcation // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 2000. 241. № 2. P. 151-180.

42. Diamond P., Rachinskii D., Yumagulov M. Stability of large cycles in a nonsmooth problem on the Hopf bifurcation at infinity. // Nonlinear Anal. Theory. Meth. Appl. 2000. Vol. 16. № 4. P. 79-92.

43. Doedel E., Keller H. and Kernevez J. Numerical analysis and control of bifurcation problems. Bifurcation in finite dimensions, Int. // J. Bifurcation and Chaos, Vol. 1. 493-520. 1991.

44. Guckenheimer J. and Worfolk P. Dynamical systems: some computational problems. Bifurcations and Periodic Orbits of Vector Fields. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht etc., 241-278. 1993.

45. Hale J.K., Кодак H. Dynamics and bifurcations // Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New-York etc., 1991.

46. He Xiangian. Hopf bifurcation at infinity with discontinuous nonlineari-ties // J. Austral. Math. Soc. B. 1991. 33, № 2. P. 133-148

47. Hirsch M. W. and Smale S., Differential Equation. Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press. New York (1974).

48. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines Differential systems // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math.-Nat., 1942.

49. Izydorek M, Rybieki S. Bifurcations of bounded solutions of 1-parameter ODE's. // J. Differ.Equat. 1996. 130. P. 267-276.

50. Ju P. Leung A.J.T. The simplest normal form of Hopf bifurcation // Nonlineavity. 2003. 16. №1. P.277-300.

51. Kozyakin V.S. and Krasnoselskii M.A. The method of parameter functionalization in the Hopf bifurcation problem // Nonlinear Analysis. 1987. 11. Vol. 2. P. 149-161.

52. Krasnosel'skii A.M, Rachinskii D.I. Small periodic solutions generated by sublinear terms // J. Differ.Equat. 2002. 179. P. 97-132.

53. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. // Applied Mathematical Sciences (V.112), Springer-Verlag, New-York etc., 1995.

54. Morassi P. Bifurcation of harmonic solution for periodically perturbed autonomous differential equations from a manifold of equilibria // Nonlinear Anal Theory, Meth. and Appl., 1998. 32. №2. P. 145-161.

55. Shilnikov L. Bifurcations and strange attractors. Proceedings of the International Congress of Mathematicans, Beijing, Aug.20-28, 2002, Vol.3, Invited Lectures. Beijing: Higher Educ. Press, 2002. P. 349-372.

56. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors // Applied Mathematical Sciences (V.41). Springer-Verlag, 1982.

57. Yu Shu-Xiang. Bifurcations of bounded solutions of ordinary differential equantions depending on a parameter // Rocky Mount. Y.Math. 2004. 34. №. P. 1191-1196.

58. Ибрагимова JI.С. Функционализация параметра в задаче о признаках бифуркации ненулевых решений операторных уравнений // Вестник МаГУ. Естественные науки. Т. 1. Магнитогорск. 2004. С. 134-136.

59. Ибрагимова Л. С. Приближенные методы исследования бифуркационных задач с простым вырождением // Вестник Башгосуниверси-тета. Уфа. 2006. № 2.

60. Ибрагимова Л. С. Простые решения в задачах о точках бифуркации // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы. Труды Международной научной конференции. Т. 1. Стерлитамак. 2003. Изд-во "Гилем", Уфа. С. 134-136.

61. Ибрагимова Л.С. Алгоритмы исследования бифуркационных задач с простым вырождением // Новые программные средства для предприятий Урала. Сборник трудов региональной научно-технической конференции. Магнитогорск. 2004. Изд-во МГТУ. С. 191-195.

62. Ибрагимова JI.C. Асимптотические формулы в задаче о точках бифуркации дискретных динамических систем // Труды Второй научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB". Москва. ИПУ РАН. 2004. С. 549-553.

63. Ибрагимова Л. С. Точки бифуркации вынужденных колебаний // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Т. 3. Самара. 2005. С. 107110.

64. Ибрагимова Л. С. Об итерационных методах исследования бифуркационных задач с простым вырождением // Известия РАЕН. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. 2005. Т. 9. № 3-4. С. 15-26.