Фрустрированные квантовые системы со сложным обменным взаимодействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Валиулин Валерий Эрижанович

• Валиулин Валерий Эрижанович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Валиулин Валерий Эрижанович

Введение

1 Глава 1: Фрустрация и сложное обменное взаимодействие

2 Глава 2: Общие свойства мультиобменной модели Гейзенберга

2.1 Модель

2.1.1 Классический предел $ ^

2.1.2 Квантовый случай $ =1/2

2.2 Сферически симметричный самосогласованный подход

2.3 Корреляторы и ближний порядок

2.4 Пример геликоидальной структуры

2.5 Выводы ко второй главе

3 Глава 3: Зг модель Гейзенберга

3.1 Эксперимент и теория на — круге

3.2 Дальний и ближний порядок

3.3 Основное состояние

3.4 Температурное поведение корреляторов и щелей

3.5 Спектры спиновых возбуждений

3.6 Термодинамические свойства

3.7 Структурный фактор и корреляционная длина

3.8 Связь фрустрации и допирования

3.9 Выводы третьей главе

4 Глава 4: Магнитные и термодинамические свойства З3 модели Гейзенберга

4.1 Введение

4.2 Спектры спиновых возбуждений

4.3 Магнитные и термодинамические свойства

4.3.1 Восприимчивость

4.3.2 Теплоемкость

4.4 Изотропные спиновые спирали

4.5 Выводы к четвертой главе

5 Глава 5: Описание экспериментального геликоида

5.1 Введение

5.2 Параметры модели для (СиВг^гг^зОю

5.3 Магнитные и термодинамические свойства

5.4 Выводы к пятой главе

6 Глава 6: Термодинамика и запутанные состояния в низкоразмерной модели Кугеля-Хомского

6.1 Введение

6.2 Модель и метод

6.3 Двумерный случай

6.4 Одномерный случай

6.5 Выводы к шестой главе

7 Заключение

8 Благодарности

А Выражения для спектра спиновых возбуждений

Б Энергия в классической J\ — J2 — J3 модели Гейзенберга .... Ill

В Приближение для спин-орбитального слагаемого

Список использованных источников

Введение

Актуальность темы диссертации: Магнитные системы со сложным обменным взаимодействием представляют собой широкую область теоретических и экспериментальных исследований, на протяжении многих лет привлекающую значительное внимание. Низкоразмерные, в частности, двумерные соединения особенно интересны из-за значительной, а иногда определяющей роли квантовых флуктуаций. Взрывной рост в изучении двумерных фрустрированных магнетиков был вызван открытием в конце 1980-х годов ВТСП купратов. Однако с тех пор экспериментально обнаружены уже несколько десятков новых квазидвумерных соединений с фрустрированной спиновой подсистемой, одновременно появились новые направления теории.

Еще один важный класс сложных межспиновых взаимодействий образует взаимодействие Дзялошинского-Мории [1-3], приводящее к формированию спиновых спиральных структур. Оказывается, однако, что в двумерных моделях спиральные структуры могут инициироваться и другим видом сложного взаимодействия — гейзенберговским обменом с заближайшими соседями.

Третьим примером интенсивно изучаемой системы со сложным обменным взаимодействием является спин-орбитальная модель Кугеля-Хомского. Эта модель, известная уже давно, в последние годы получила новый импульс к развитию после экспериментального обнаружения орбитальных волн [4,5]. Сейчас модель интенсивно исследуется (см. например, [6,7] и ссылки в этих работах). Одним из новейших направлений ее изучения является поиск спин-псевдоспиновой квантовой запутанности.

Низкоразмерные спиновые системы, в силу из специфики, плохо поддаются исследованию стандартными методами, такими как хрестоматийный спин-волновой подход [8]. Здесь, как правило, используются специально разработанные либо модифицированные под этот класс задач методы. Это, например, модифицированный метод спиновых волн [9,10] метод вспомогательных (швингеровских) бозонов [11-13], сферически симметричный самосогласованный подход.

Отдельная отдельная большая область — НУВ-теории. то есть подходы, основанные на предложенной Ф.Андерсоном еще в 1973 году [14-16] идее резонансных валентных связей [17,18].

Сюда же, разумеется, следует добавить широкий спектр современных численных методов [19-22].

У каждого метода есть свои сильные и слабые стороны, и насколько можно судить, "единоличный лидер" пока не определился.

Все это делает задачу исследования низкоразмерных спиновых систем со сложным обменным взаимодействием актуальной, интересной, теоретически и практически значимой.

Целью диссертационной работы, в силу вышесказанного, является теоретическое изучение низкоразмерных спиновых систем со сложным фрустрируюгцим обменных взаимодействием, определение структуры спинового порядка, спектров спиновых возбуждений и термодинамических свойств.

В связи с этим были поставлены и решены следующие задачи:

1. Определение, а при необходимости модификация и развитие теоретического подхода, адекватного поставленным целям.

2. Исследование структуры спинового порядка, спектров спиновых возбуждений и термодинамических свойств низкоразмерной сильно фрустрированной модели Гейзенберга.

3. Сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными по фрустрированным спиновым системам.

4. Развитие принятого подхода на модели с двумя спиновыми степенями свободы на узле и применение к спин-псевдоспиновой (спи-орби-тальной) модели.

Положения, выносимые на защиту:

1. Для квантовой $ =1/2 3\-32-З3 модели Гейзенберга квадратной решетке вычислены спин-спиновые корреляторы в наиболее ннтерес-ной — фрустрированной области параметров обмена. Показано, что при Т = 0 спиновый ближний порядок демонстрирует шесть качественно различных структур.

2. Детально рассмотрена 3\ — 32 модель в полном диапазоне параметров. Определена зависимость спектра спиновых возбуждений и теплоемкости от обменных параметров и температуры. Продемонстрировано появление двухпикового температурного поведения теплоемкости.

3. Показано, что для лантановых ВТСП купратов в области температур 50 °К < Т < 100 °К и допирований 0.1 < х < 0.25 фрустриро-ванная 3\ — 32 модель Гейзенберга приводит к адекватным значениям спин-спиновой корреляционной длины. Установлен закон соответствия допирования в моделях с носителями и фрустрации в число спиновых моделях.

4. Показано, что при ненулевом третьем обмене З3 появляются изотропные квантовые геликоиды — структурный фактор имеет максимум, а спиновая щель мала не в точке, а вдоль линии в зоне Бриллюэна. Последнее принципиально невозможно в классическом пределе.

5. Для квантовой Б = 1/2 3\-32-З3 найдены спиновая восприимчивость (вычисленная в различных симметричных точка зоны Бриллюэна) и теплоемкость, проанализирована из зависимость от параметров обмена. Определена область параметров, в которой температурный ход теплоемкости демонстрирует двухпиковую структуру.

6. Показано, что 3\ — 32 — З3 модель может быть использована для описания квазидвумерных соединений с геликоидальным спиновым порядком, без привлечения взаимодействия Дзялошинского-Мории. На примере (СиБг)8г2ХЪ3Ою получено согласие экспериментальных и теоретических данных по структуре спинового порядка, теплоемкости и магнитной восприимчивости.

7. Показано, что в симметричной спин-орбитальной модели в 2Б и Ш спин-орбитальные корреляции степенным образом обращаются в нуль при пороговых значениях температуры или параметров обмена. Одновременно — несмотря на отсутствие дальнего порядка — проявляются особенности термодинамических величин, напоминающие фазовый переход. Появление этих особенностей интерпретируется как возникновение квантового запутанного спин-орбитального состояния.

Научная новизна

Впервые исследована квантовая 3\ — 32 модель Гейзенберга в полном диапазоне параметров в рамках единого подхода. Определены спектры спиновых возбуждений и теплоемкость. Продемонстрировано появление двухпикового температурного поведения теплоемкости. Показано, что для лантановых ВТСП купратов в области температур 50 °К < Т < 100 °К и допирований 0.1 < х < 0.25 3\ — 32 модель приводит к адекватным значениям корреляционной длины. Впервые установлен закон соответствия допирования в моделях с носителями и фрустрации в спиновых моделях.

Впервые 3\-32-З3 модель изучена в наиболее интересной — фруст-рированной — области параметров обмена. При Т = 0 детектированы шесть типов ближнего порядка. Исследованы спектры спиновых возбуждений и теплоемкость. Впервые показано, что при ненулевом третьем обмене З3 появляются изотропные квантовые геликоиды — структурный

фактор имеет максимум, а спиновая щель мала не в точке, а вдоль линии в зоне Бриллюэна. Последнее принципиально невозможно в классическом пределе.

Показано, что — 32 — З3 модель может быть использована для описания квазидвумерных соединений с геликоидальным спиновым порядком. Для (СиБг)8г2ХЪ30ю получено согласие экспериментальных и теоретических данных.

Впервые показано, что в симметричной спин-орбитальной модели в 2Б и Ш спин-орбитальные корреляции степенным образом обращаются в нуль при пороговых значениях температуры или обмена. Одновременно проявляются особенности термодинамических величин. Появление этих особенностей интерпретируется как возникновение квантового запутанного спин-орбитального состояния.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с имеющимися альтернативными подходами, с численными работами и с общеизвестными предельными случаями. Результаты работы обсуждались и докладывались на семинарах и конференциях, связанных с темой, изучаемой в рамках диссертационной работы. Основные результаты были опубликованы в российских и международных научных журналах по области диссертационный работы. Таким образом, результаты данной диссертации можно считать достоверными и соответствующими мировому уровню исследований. Некоторые из результатов были получены впервые.

Личный вклад автора

Все представленные результаты диссертационной работы получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, трех приложений, заключения и списка использованных источников. Объем работы составляет 132 страницы, включая 64 рисунка. Список использованных источников содержит 160 наименований.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фрустрированные квантовые системы со сложным обменным взаимодействием»

Апробация работы

По результатам диссертации опубликованы статьи:

1. Михеенков А. В., Валиулин В. Э., Шварцберг А. В., Барабанов А. Ф. Спин-спиновая корреляционная длина в 2D фрустрированном магнетике и ее связь с допированием // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. — 2015. — № 121. — С. 446.

2. Mikheyenkov A. V, Shvartsherg A.V., Valiulin V.E., Barabanov A. F. Thermodynamic properties of the 2D frustrated Heisenberg model for the entire J\- J2 circle // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2016. - Vol. 419. - Pp. 131.

3. Михеенков А. В., Валиулин В. Э., Шварцберг А. В., Барабанов А. Ф. Квантовые спиральные состояния в сильно фрустрированном двумерном магнетике // Журнал Экспериментальной и Теоретической фИзИКИ. _ 2018. - № 153. - С. 483-497.

4. Валиулин В. Э., Михеенков А. В., Кугель К.И., А. В., Барабанов А. Ф. Термодинамика симметричной спин-орбитальной модели: одномерный и двумерный случаи // Письма в ЖЭТФ. — 2019. — № 109. - С. 561 - 567

5. V Е. Valiulin, А. V Mikheyenkov, N. М. Chtchelkatchev, et al. Gyrate quantum states in frustrated magnetism: Continuous transitions on the J\-J2-J3 globe // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2019. [в печати]

6. Mikheyenkov A. V, Barabanov A. F., Valiulin V.E. Magnetic spiral order in the square-lattice spin system (CuBr)Sr2Nb3Oio // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2019.[в печати]

Также результаты работы представлялись на конференциях:

1. «Корреляционный портрет двумерного фрустрированного гейзенберговского магнетика», устный, XXXVI Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка-XXXVI», 21 - 27 февраля 2016 г., Верхняя Сысерть, Свердловск

2. «Фрустрация и корреляции в двумерной модели Гейзенберга с неближайшими соседями», устный, XXI Международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника», 14 - 18 марта 2016 г., Нижний Новгород

3. «Влияние неближайших соседей на термодинамические свойства двумерного гейзенберговского магнетика», устный, XIV Конференция «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления», 3 июня 2016 г., Москва

4. «Frustrated and incommensurate states in 2D J^ J2- J3 Heisenberg model», oral, EASTMAG VI Euro-Asian symposiym «Trends in MAGnetism», August 15-19, 2016 y., Krasnoyarsk, Russia

5. «Обменные спирали в двумерной J\- J2- J3 модели Гейзенберга», устный стендовый. 59 научная конференция МФТИ с международным участием, 21-26 ноября 2016 г., Долгопрудный

6. «Роль фрустрации в формировании двумерных спиральных состояний», стендовый, XXI Международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника», 13-16 марта 2017 г., Нижний Новгород

7. «Описание сложных спиновых систем без взаимодействия Дзя-лошинского-Мории», устный, XVI конференция «Проблемы физики твердого тела и высоких давлений», 15-25 сентября 2017 г., Сочи

8. «Термодинамические свойства J\- J2- J3 двумерной модели Гейзенберга», устный, 60-я научная конференция МФТИ, 20-25 ноября 2017 г., Долгопрудный

9. «Квантовые спиральные состояния в сильно фрустрированном двумерном магнетике», устный, XXII Международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника», 12-15 марта 2018 г., Нижний Новгород

10. «Isotropie helical states in frustrated magnetism: continuous transitions on the J\-J2-J3 globe», oral, VI International Symposium on Strong Nonlinear Vibronic and Electronic Interactions in Solids, April 28 - May 1, 2018 y., Tartu, Estonia

И. «Квантовые изотропные спирали в двумерном фрустрированном магнетике», устный, XVI Конференция «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления», 7 июня 2018 г., Москва

12. «Перепутанные состояния в одномерной и двумерной модели Кугеля-Хомского», устный, 61-я научная конференция МФТИ, 19-25 ноября 2018 г., Долгопрудный

1 Глава 1: Фрустрация и сложное обменное взаимодействие

Предметом настоящей диссертации являются системы локализованных магнитных моментов со сложным обменным взаимодействием, как правило двумерные. Базовой моделью является модель Гейзенбер-га на двумерной квадратной решетке $ = 1/2 с учетом взаимодействия не только ближайших соседей, но и соседей более высокого порядка. Гамильтониан модели в самом общем виде представляется как:

здесь (8^2 = 3/4, индекс 1 отвечает за узел, (1,]) обозначает суммирование по связям (не обязательно ближайших узлов), а ^ л соответствует обменным взаимодействиям между соседями разных порядков (находящихся на разных координационных сферах). Второе слагаемое в гамильтониане — энергия взаимодействия магнитных моментов в узлах решетки с внешним магнитным полем.

Тензор <1у часто представляется в виде суммы продольных и поперечных (в спиновом пространстве) компонент

Наиболее общая хуг модель в этой области используется редко.

Гамильтониан (1.2) симметричен по индексам узлов. В общем случае может возникать и антисимметричное слагаемое, отвечающее взаимодействию Дзялошинского-Мории [1-3]

Этот тип взаимодействия широко используется для описания сложных магнитных структур: геликоидов (спиновых спиралей), скир-мионов и других экзотических магнитных порядков [23-25]. Отметим, что взаимодействие Дзялошинского-Мории применимо только в случае нарушения центральной симметрии.

Н = §1 Зу^ — д^о^ьН § 1 (У) 1

(1.1)

ННегаепЬег9 = £ (§?§? + §?) + §?%)] (1.2)

Ном1 = ^2 л ^ 1 х ^

(У)

(1.3)

В самое последнее время появились спиновые модели, содержащие киральное слагаемое вида

Н = .!х £ [§, ■ ф х §к)

(1.4)

У,кеД

где суммирование идет по всем треугольным плакеткам решетки с учетом только одного направления обхода. Хотя некоторые экспериментальные реализации последней модели уже предложены, она пока носит довольно умозрительный характер, но уже интенсивно исследуется.

И, наконец, существуют модели, в которых на каждом узле есть несколько спинов (или псевдоспинов) разных сортов, соответствующим образом усложняется и взаимодействие между ними. Наиболее популярная модель этого класса — спин-орбитальная модель Кугеля-Хомского (гамильтониан здесь приводить не будем).

В большей части диссертации рассматривается сферически симметричный гамильтониан Гейзенберга без внешнего поля, с учетом обменного взаимодействия на нескольких координационных сферах:

где г — вектор г-ой координационной сферы.

Если взаимодействуют только ближайшие соседи, то отрицательное значение обмена приводит к параллельному, ферромагнитному упорядочиваю спинов, положительное же значение — к антипараллельному, антиферромагнитному (отвлекаясь от разупорядочиваюгцего влияния квантовых флуктуаций в низкоразмерном случае.

Если же взаимодействие между соседними спинами устроено так, что невозможно одновременная минимизация энергии по всем связям, то возникает фрустрация, а магнетик называют фрустрированным. Термин «фрустрация» был введен в магнетизм Жераром Тулузом в 1977 году [26] и поначалу использовался для описания только геометрических фрустраций. Кроме того, фрустрация может возникать из-за разнонаправленных влияний обменов на разных координационных сферах. В настоящий момент концепция фрустрации включает также магнито-упругие связи, орбитальные степени свободы, допирование. Приведем несколько характерных примеров.

Н ^ Зг (8|8|г)

(1.5)

Фрустрированной системой может являться, например, треугольная решетка с антиферромагнитным попарным взаимодействием. При такой конфигурации обменов минимальной энергии соответствует антипараллельное упорядочивание соседних спинов. В треугольной решетке это требование может быть выполнено только для двух связей, но не для трех. Фрустрация в этом примере является следствием геометрической конфигурации системы, поэтому такая фрустрация называется геометрической.

Еще одним видом фрустрации является описанная выше конкуренция между обменами. Рассмотрим квадратную решетку и два типа обмена: по стороне квадрата и по его диагонали. Если у соседей первого порядка (по стороне квадрата) знак обмена положительный (антиферромагнитный), то магнитные моменты, стоящие по сторонам квадрата, будут "пытаться" выстроиться антипараллельно, если же при этом у соседей второго порядка (по диагонали квадрата) обмен также имеет положительный знак, то "диагональные" моменты тоже стремятся к антипараллельному порядку. Возникает фрустрация, так как два описанных условия (антипараллельности по стороне и по диагонали) соблюсти одновременно невозможно.

Наличие в магнетике фрустрации приводит к сильному вырождению основного состояния системы, в результате чего возникает состояние спиновой жидкости, в котором спины сильно коррелируют между собой, но не образуют упорядоченной структуры дажеТ ^ 0, см. [27-30].

Возможность перехода систем в состояние спиновой жидкости, в котором в системе отсутствует спиновый дальний порядок, была теоретически предсказана еще в 1973 году Ф. Андерсоном [14].

Структурный элемент спиновой жидкости — два спина в сип глет-ном состоянии с общим спином равным нулю — резонансная валентная связь (Resonating Valene Bond, RVB). Рассматриваются также структуры с упорядоченными RVB-связями — Valence Bond Solide [31,32].

В 1987 году Андерсон высказал предположение об определяющей роли RVB-состояний в физике высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) [15,16], а фрустрированная S =1/2 J1 — J2 модель Гейзенберга становится объектом интенсивных теоретических исследований. Интерес к ВТСП не угасает на протяжении уже почти 40 лет [33-35]. Еще одним импульсом к изучению Ji- J2 модели стали квантовое фазовые переходы [36], где эта модель — она из базовых.

Рассмотрим некоторые свойства модели (см. обзор [37]).

Стандартное среднеполевое решение для модели Гейзенберга на квадратной решетке с одним обменом 3 (парамагнетик при Т > Тс ~ </ и ферро- либо антиферромагнетик Т < Тс противоречит известным точным утверждениям.

— Теорема Мермина-Вагнера [38]: в низкоразмерных системах (одномерных и двумерных) с конечным числом обменов невозможно спонтанное нарушение симметрии при Т > 0.

— Теорема Маршала [39]: для систем любой размерности из двух равных подрешеток в случае антиферромагнитного взаимодействия основное состояние — си н глет.

— Точное решение в одномерном случае было получено X. Бете в 1931 году [40]. Основное состояние при этом является синглетным.

Кроме ВТСП, к началу XXI века было изучено еще несколько квазидвумерных соединений, в которых необходимо учитывать по крайней мере два обмена. Почти все они соответствовали антиферромагнитным знакам как ближайшего, так и следующего обменов, > 0 > 0 |41 44|.

Впоследствии число соединений, описываемых с помощью 32 модели резко возрастает — были изучены более десятка квазидвумерных соединений с ферромагнитным ближайшим обменом < 0 и антиферромагнитным вторым обменом 32 > 0, такие как: РЬ2У0(Р04)2 [45-48], (СиС1)ЬаМЬ07 [49], 8ггпУ0(Р04)2 [48,50,51], ВаСаУ0(Р04)2 [47,50,52]. Исследуются также соединения, например К2СиР4, Ьа2ВаСи05, и Шз2СгС14, [53-56] со слабым фрустрирующим АФМ обменом.

Еще один интересный с теоретической точки зрения пример экспериментальной фрустрированной системы — (СиВг)8г2ЫЪ3О\0. В работах [57-59] детально изучаются его магнитные и термодинамические свойства. Эксперименты по рассеянию нейтронов демонстрируют геликоидальную спиновую структуру [58]. Стандартным механизмом описания спиновых спиральных структур, как уже упоминалось, является взаимодействие Дзялошинского-Мории. Но такой подход здесь неприменим, ввиду отсутствия в (СиВг)8г2ЫЪ3О\0 нарушения центральной симметрии [57-59]. Однако теоретическое описание экспериментальных данных оказывается возможным в рамках 32-2Б модели Гейзенберга.

Можно отметить еще один вид сложного обмена, который реализуется в спин-орбитальной модели, или как ее часто называют, модели Кугеля-Хомского. В простейшем варианте модель представлена аж в 1943 году Ашкиным и Теллером [60]. В модели Ашкина-Теллера обе степени свободы — спиновая и псевдоспиновая — изинговские. Обобщение спин-орбитальной модели на случай с обоими гейзенберговскими обменами было предложено в 1970-годах К.И. Кугелем и Д.И. Хомским [61]. Еще более подстегнуло интерес к модели недавнее экспериментальное открытие орбитальных волн — орбитонов [4,5].

Представляет интерес фрустрация, возникающая в моделях такого типа. Она здесь имеет не геометрическое происхождение и возникает не благодаря взаимодействию дальних соседей, ее источником служит взаимодействие между подсистемами.

Двухспиновые модели применяются для описания переходных металлов, в которых взаимная связь орбитальной, спиновой и зарядовой степеней свободы может приводить к множеству разнообразных фазовых диаграмм и нетривиальным эффектам, таким как гигантское магни-тосопротивление [6,7,61].

Также спины и орбитали могут формировать так называемые "запутанные" (entangled) квантовые состояния, интерес к которым в последнее время значительно возрос [7,64]. С точки зрения квантовых вычислений интересна возможность реализации запутанных состояний, их вклад в термодинамику спин-орбитальных систем [65,66].

Исследования в области систем со сложным обменным взаимодействием обогатили как теоретическое описание сильнокоррелированных магнитных систем с конкурирующими обменами, так и эксперимент.

Среди теоретических методов естественным образом выделяются два основных класса: вычислительные методы и полуаналитические методы (чисто аналитические методы здесь, как правило, неработоспособны) .

Вычислительные методы изучения квантовых магнитных систем подробно изложены в [32]. Один из наиболее распространенных — метод точной диагонализации. В основе его лежит исследование не очень большой системы спинов. Точная диагонализация гамильтониана позволяет вычислить любую термодинамическую величину, а также извлечь информацию об основном состоянии системы. Проблема такого подхода ясна сразу — экспоненциальный рост вычислительных затрат с увели-

чением количества базисных векторов. Для системы, состоящей из N спинов $ = 1/2, размер базиса состаявляет 2м. Тем самым можно обозначить границы применимости данного метода.

Наличие симметрии позволяет увеличить доступное количество спинов исследуемой системы. Матрица гамильтониана представима в блочно-диагональном виде, при этом каждому блоку соответствует свое значение Далее такие блоки исследуются отдельно, что приводит к значительному уменьшению размера базиса. Также базис может быть уменьшен искусственно, с оглядкой на изучаемое состояние. Если состояние системы, например, является основным, то достаточно рассматривать синглетный базис из различных НУВ-состоянии. На текущий момент в работах по исследованию фрустрированных систем со спином $ =1/2 методом точной диагонализации размер системы обычно ограничивается N = 40 узлов.

Для — — <13 модели Гейзенберга метод точной диагонализации использован, в частности, в [67-69], рассмотрена система из не более чем 40 узлов.

Также для теоретического изучения магнитных систем применяются различные реализации квантового алгоритма Монте-Карло [19]. Однако для больших значениях фрустрации использование метода сталкивается с проблемой знака (вероятность реализации какого-либо состояния в алгоритмах типа Монте-Карло становится отрицательной).

Ещё одним вычислительным подходом к изучению таких систем является разложение гамильтониана в ряд по малому параметру Л [20]:

Н = Н (А) = §? + А( §Г §? + §* ))]

<и>

Если Л ^ 0, то гамильтониан переходит к изинговскому, основное которого известно. Среднее значение произвольного оператора в основном состоянии известно из теории возмущений (Л мало):

<Х1Й|Л> ^ьл°

<А|А>

С помощью данного метода можно получить границы неупорядоченной фазы. Однако сама структура состояния остается неизвестной [70,71]. В качестве инструмента исследований фазовой диаграммы фрустрированной модели можно использовать метод спиновых волн и

швингеровских бозонов [12,13]. Спин-волновое решение нефрустрирован-ной модели Гейзепберга подробно изучено (см. например [37,72,73]). Метод заключается в переходе от спиновых операторов к операторам рождения и уничтожения магнонов, способ выражения разнится от видов упорядочивания. Используя вид дальнего порядка, определяемого из минимума классической энергии, можно найти примерные границы фаз с дальним порядком для £ = 1/2 и зависимость вида спектра спиновых возбуждений от параметров обмена. Однако, в силу того, что в системе предполагается наличие дальнего порядка, метод неприменим для исследования неупорядоченных фаз.

В [74] проведено рассмотрение швингеровских бозонов для — 32 — Л модели Гейзепберга с ферромагнитным первым обменом. Такое рассмотрение не позволяет определять спин-жидкостную фазу, однако может быть использовано для изучения областей фазовой диаграммы, где заведомо присутствует упорядочивание.

Также стоит упомянуть используемый в диссертации сферически симметричный самосогласованной подход (СССП) [75, 76], основанный на решении системы самосогласованных уравнений для двухвременной температурной функции Грина и схожую с ним по физическому построению проекционную технику Цванцига-Мори-Церковникова [77-79]. В отличие от спин-волновых методов в рамках СССП рассматриваются синглетные основные состояния, у которых спиновая Зи(2) и трансляционная симметрии решетки сохраняются. Данный метод позволяет вычислить спектр спиновых возбуждений, явный вид спин-спиновой восприимчивости, теплоемкость и т.д.

2 Глава 2: Общие свойства мультиобменной модели Гейзенберга 2.1 Модель

В этой главе представлены основные общие свойства квантовой £ =1/2 модели Гейзенберга на двумерной квадратной решетке. Рассматривается 3\-3<1~3% модель, то есть случай, когда учитывается обменное взаимодействие не только первых, но и вторых, и третьих соседей. Таким образом, гамильтониан имеет вид:

Н = Зг ^ § 1 ^ + 32 ^ § 1 ^ + З3 ^ §|^ (2.1)

(У) [У] {У}

здесь (8¡)2 = 3/4, ^ — узлы квадратной решетки, (1,]) обозначает сумму по связям ближайших соседей (сторона квадрата), [1]] — по связям вторых ближайших соседей (диагональ квадрата), {1,]} — по связям третьих ближайших соседей (удвоенная сторона квадрата) см. Рис. 2.1.

Рисунок 2.1 — Схематичное изображение элемента решетки 3\-32-3$

двумерной модели Гейзенберга

2.1.1 Классический предел 5 ^ 1

Первичное представление о свойствах модели дает ее фазовая диаграмма в классическом пределе Б ^ 1. Эта задача легко решается в общем виде.

В 2D любой дальний порядок соизмеримый или несоизмеримый описывается следующей подстановкой (плоской спиралью) [80,81]

Sr = ei cos(qor) + e2 sin(qor),

(2.2)

где ех и в2 — лежащие в плоскости решетки ортогональные орты, г — радиус-вектор узла квадратной решетки, до — управляющая точка в зоне Бриллюэна (длина спина здесь нормирована на единицу). При фиксированных значениях обменных параметров , 32, <13 спиновая структура находится подстановкой (2.2) в (2.1) и минимизацией классической энергии по положению управляющей точки до. Полученное при данных 32, <13 положение управляющей точки д0 однозначно определяет спиновый порядок. Соответствующие вычисления приведены в Приложении Б

-30

О 60 120 180 240 300 360

Ф

Рисунок 2.2 — (Слева) Фазовая диаграмма J\-J2-J3 модели Гейзенберга на 2D квадратной решетке в классическом пределе. Обмены Ji5 J2 и J3 параметризуются углами р и 'ф (показаны в градусах): Ji = cos'ф cos J2 = cos 'ф sin J3 = sin 'ф. Возможные фазы маркированы положением

управляющей точки (или одной из двух эквивалентных) на четверти зоны Бриллюэна: (к,к) — антиферромагнитной (АФМ), (к,0) — страйп (полосатая), (0,0) — ферромагнитной (ФМ), (q,q), (n,q), (q,0) — три вида геликоидальных (спиральных) структур. Фазовая диаграмма не

меняется в диапазоне углов 'ф > 40°,ф < -30°, не показанных на рисунке. (Справа) Для наглядности приведена Ji — J2 — ^-сфера с аналогичной рисунку слева маркировкой фаз.

Ниже приведены полученные таким образом все возможные положения управляющей точки и соответствующие им значения классиче-

40

30

ф

о

скои энергии.

qo Е (яо)

(0,0) 4(71 + Ь + Зъ) (к,*) -4(71 - Ь - ^)

(0,д1Ш,0) )

где использованы обозначения:

-4(Л - Л)

23х - (^2)2

-2J1 - 4Л

Т 23

(2.3)

473

^2 + 2^

, Л + 272,

о1 = arccos(--——)

47з

, 71 - ^ д2 = arccos(--——)

(¡3 = агсш8(-

47з

272 + 47з

)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Фазовая диаграмма находится отбором спиновой структуры, отвечающей при данных 71, 72, 73 наименьшей энергии и представлена на Рис. 2.2. Здесь и далее использована параметризация обменов

71 = Шб^) шв(^)

72 = ) Б1П(^) 7з = вт(^)

0 ^ ^ ^ 2^; -^/2 ^ 'ф ^ -к/2

(2.7)

Во избежание путаницы параметрические углы р ж ф будут измеряться в градусах, а координаты в зоне Бриллюэна — стандартно, в радианах. Ниже все энергетические величины нормированы на у/( 7? + 72 + 72) = 1.

В литературе используется и другой вариант параметризации обменов (71, 72, 7з) ^ (1, 72/71,7з/71). Тогда все фазовые границы оказываются прямыми линиями. Но такой вариант удобен лишь на локальных участках пространства параметров и здесь встречаться не будет.

Далее в диссертации будет рассматриваться главным образом (если не оговорено иное) наиболее интересная четверть полной фазовой диаграммы 0 ^ (р ^ п, 0 ^ ф ^ ^/2, то есть 1 ^ 71 ^ -10 ^ 72 ^ 1, 0 ^ 73 ^ 1, = 1 (см- Рис- 2.3).

Рисунок 2.3 — Фазовая диаграмма 32-З3 модели Гейзенберга на 20

квадратной решетке в классическом пределе для наиболее фрустрированной области. Обмены 3^ 32 и З3 параметризуются углами

р и 'ф (показаны в градусах). Возможные фазы маркированы положением управляющей точки (или одной из двух эквивалентных) на четверти зоны Бриллюэна: — антиферромагнитной (АФМ), (^,0) — страйп, (0,0) — ферромагнитной (ФМ), (^,0) — три вида

геликоидальных структур. Представлена часть фазовой диаграммы 0 ^ (р ^ п, 0 ^ 'ф ^ ^/4. На вставке показана четверть зоны

Бриллюэна.

Это область интересна и для эксперимента, и для теории. Сюда попадают все известные экспериментальные данные по квазидвумерным соединениям. А с точки зрения теории эта область важна тем, что в ней реализуются все возможные в соответствии с (2.3) фазы. Это, во-первых, три "стандартные" фазы:

1. ферромагнитная, управляющая точка до = (0,0) = Г (см. вставку на Рис. 2.3);

2. страйп, чередующиеся полосы спинов, направленных в противоположные стороны д0 = (0,^), (^,0) = X;

3. шахматная антиферромагнитная д0 = (/к,/к) = Q.

И, во-вторых, три спиновых геликоида, спины поворачиваются от узла к узлу, причем в общем случае период спиновой структуры несоизмерим с периодом решетки

4. геликоид я0 = (0,д1), ^ ,0), управляющая точка на линии Г - X;

5. геликоид я0 = (ж,д2), (д2,ж)7 управляющая точка на линии Q - X;

6. геликоид я0 = ), управляющая точка на линии Г - Q.

В первых трех случаях управляющая точка я0 во всей области существования соответствующей фазы неподвижна. Для геликоидов же при изменении параметров обмена точка я0 движется по симметричным линиям зоны Бриллюэна в соответствии с (2.4), (2.5), (2.6) (см. вставку на Рис. 2.2).

Разнообразие фаз обусловлено тем, что в рассматриваемой четверти фазовой плоскости спиновая система максимально фрустрирована — если хотя бы два обмена ненулевые, то одновременно все связи в гамильтониане (2.1) не могут быть насыщены полностью (что очевидно уже из простейших геометрических соображений). В остальных трех четвертях это неверно по отношению по крайней мере к одной из связей, и эти области гораздо менее разнообразны с точки зрения фаз. Фрустрированность приводит к появлению между антиферромагнитной и ферромагнитной фазами "компромиссной" страйп-фазы, а при 7з > 0 — еще и геликоидальных фаз.

Отметим, что в модели Зг32-З3 спиновые спирали возникают уже в классическом пределе, без нарушения центральной симметрии и без привлечения взаимодействия Дзялошинского-Мории. Причем для появления спиралей необходим учет по меньшей мере трех обменов, в модели Зу32 несоизмеримых состояний нет.

Примечательно также еще одно свойство. Как можно видеть из (2.4), (2.5), (2.6) и Рис. 2.2, для модели с более чем одним обменом положение управляющей точки я0 не позволяет однозначно восстановить соотношение обменных параметров, конкретному я0 соответствует целая линия на плоскости р - ф. Это означает, в частности, что в терминах модели с более чем одним обменом интерпретация нейтронного эксперимента лишь по положению брэгговского пика — без привлечения дополнительных энергетических соображений — неоднозначна.

Таким образом, в классическом пределе в модели с одним обменом возможны только две фазы — ферромагнитная (ФМ) и антиферромагнитная (АФМ). В модели Зг32 между ФМ и АФМ появляется полосатая (страйп) фаза. А в модели Зг 32-3% возникают еще три различных вида спиновых спиралей (геликоидов).

2.1.2 Квантовый случай S = 1/2

Опишем сначала кратко общие свойства J\-J2-J3 модели в квантовом пределе S = 1/2. При нулевой температуре ситуация качественно аналогична классическому пределу — возможны все перечисленные выше фазы с дальним порядком. Однако, кроме того, даже при Т = 0 возможны состояния без дальнего порядка (спиновая жидкость). На фазовой диаграмме они расположены между фазами с дальним порядком при условии наличия фрустрации. В рассматриваемой области параметров (Рис. 2.3) это верно для всех фазовых границ, то есть вблизи всех "классических" фазовых границ возникают неупорядоченные "прослойки" [63,68,82]. Строго говоря, описанная картина достоверно установлена лишь при 'ф = 0° (то ееть J3 = 0). Однако нет никаких основания полагать, что при 'ф = 0° ситуация может качественно измениться.

При Т = 0 в силу теоремы Мермина-Вагнера [38] дальний порядок невозможен при любых значениях параметров обмена, однако ближний порядок существенным образом перестраивается при движении по фазовой плоскости.

В большинстве разделов диссертации исследование свойств магнитных систем проводится в рамках сферически симметричного самосогласованного подхода для спиновых функций Грина (СССП). Его описание приведено в следующем разделе.

2.2 Сферически симметричный самосогласованный подход

Сферически симметричный самосогласованный подход для двух-временных запаздывающих спиновых функций Грина (СССП) [63, 75, 77-79] широко используется при изучении модели Гейзенберга (в том числе фрустрированной) [75,79,83,84], а также более сложных низкоразмерных спиновых моделей [62,76,85]. Альтернативное название метода

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Валиулин Валерий Эрижанович, 2019 год

Приложение Список использованных источников

1. Dzyaloshinsky, I. A thermodynamic theory of "weak" ferromag-netism of antiferromagnetics / I. Dzyaloshinsky // J. Phys. Chem. Solids. - 1958. - Vol. 4, no. 4. - Pp. 241-255. http://www. sciencedirect.com/science/article/pii/0022369758900763.

2. Moriya, T. New Mechanism of Anisotropic Superexchange Interaction / T. Moriya / / Phys. Rev. Lett. - 1960. - Vol. 4. - Pp. 228-230. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.4.228.

3. Moriya, T. Anisotropic Superexchange Interaction and Weak Ferromagnetism / T. Moriya // Phys. Rev. — 1960. — Vol. 120. — Pp. 91-98. https: //link. aps. org/doi/10.1103/PhysRev. 120.91.

4. Elementary excitations in the coupled spin-orbital model / J. van den Brink, W. Stekelenburg, D. Khomskii et al. // Phys. Rev. B. _ 1998. _ Vol. 58. - Pp. 10276-10282. https://link.aps.org/doi/ 10.1103/PhysRevB.58.10276.

5. Spin-orbital separation in the quasi-one-dimensional Mott insulator Sr2Cu03 / J. Schlappa, K. Wohlfeld, K. Zhou et al. // Phys. Rev. B. - 2012. - Vol. 485. https://doi.org/10.1038/naturel0974.

6. Andrzej, O. Spin-Orbital Physics in Transition Metal Oxides / O. Andrzej // Acta Phys. Pol. A. - 2009. - Vol. 115, na i _ pp_ 3(j 40. http://psjd.icm.edu.pl/psjd/element/ bwmetal.element.bwnjournal-article-appvll5nl006kz?q= bb3add49-le3c-458e-a60f-a6a85702ba512&qt=IN_PAGE

7. Moles, A. Fingerprints of spin-orbital entanglement in transition metal oxides / A. Moles // J. Phys.: Cond. Matt. - 2012. - Vol. 24, no 31 _ p 313201. https://doi.org/10.1088.

8. Standi, D. Spin Waves: Theory and Applications / D. Stancil, A Prabhakar. - 2009.

9. Golor, M. Quantum Nature of Edge Magnetism in Graphene / M. Golor, S. Wessel, M. Schmidt //Phys. Rev. Lett. - 2014. - Vol. 112. — P. 046601. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett. 112.046601.

10. Noriki, Y. Modified Spin-Wave Theory on Low-Dimensional Heisenberg Ferrimagnets: A New Robust Formulation / Y. Noriki, S. Ya-mamoto // Journal of the Physical Society of Japan. — 2017. — Vol. 86,

na 3 _ p. 034714. https://doi.org/10.7566/JPSJ.86.034714.

11. Arovas, D. Functional integral theories of low-dimensional quantum Heisenberg models / D. Arovas, A. Auerbach // Phys. Rev. B. — 1988. _ vol. 38. - Pp. 316-332. https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevB.38.316.

12. Functional renormalization group approach to SU(N) Heisenberg models: Real-space renormalization group at arbitrary N /

F. Buessen, D. Roscher, S. Diehl, S. Trebst // Phys. Rev. B. - 2018. -Feb. — Vol. 97. — P. 064415. https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB.97.064415.

13. Sachdev, S. The novel metallic states of the cuprates: Topological Fermi liquids and strange metals / S. Sachdev, D. Chowdhury // Progress of Theoretical and Experimental Physics. — 2016. — Vol. 2016, no i2. - P. 12C102. http://dx.doi.org/10.1093/ptep/ptwll0.

14. Anderson, P. Resonating valence bonds: A new kind of insulator? / P. Anderson // Materials Research Bulletin. — 1973. — Vol. 8, na 2. — Pp. 153 - 160. http://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/0025540873901670.

15. Resonating valence-bond theory of phase transitions and superconductivity in La2Cu04-based compounds / P. Anderson,

G. Baskaran, Z. Zou, T. Hsu // Physical review letters. — 1987. — Vol. 58. _ Pp 2790-2793.

16. Anderson, P. The Resonating Valence Bond State in La2Cu04 and Superconductivity / P. Anderson // Science. — 1987. — Vol. 235, no. 4793. — Pp. 1196-1198. http://science.sciencemag.org/ content/235/4793/1196.

17. Mann, A. High-Temperature Superconductivity at 25: Still in Suspense / A. Mann // Nature. - 2011. - Vol. 475. - Pp. 280-2.

18. Fractional excitations in the square-lattice quantum antiferro-magnet / D. Piazza, M. Mourigal, N. Christensen et al. // Nature Physics. - 2015. - Vol. 11.

19. Sandvik, A. Finite-Size Scaling of the Ground State Parameters of the Two-Dimensional Heisenberg Model / A. Sandvik // Physical Review B. - 1997. - Vol. 56.

20. Oitmaa, J. Series expansion for the J1-J2 Heisenberg antiferro-magnet on a square lattice / J Oitmaa, Zheng Weihong // Physical review. B, Condensed matter. — 1996. — Vol. 54. — Pp. 3022-3025.

21. Novel phases in a square-lattice frustrated ferromagnet : 1/3-magnetization plateau, helicoidal spin liquid, and vortex crystal / L. Seabra, P. Sindzingre, T. Momoi, N. Shannon /j Phys. Rev. B. — 2016. - Vol. 93. - P. 085132. https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB.93.085132.

22. Кашурпиков, В. Численные методы квантовой статистики / В. Кашурников, А. Красавин. — ФИЗМАТЛИТ, 2010. https : //www. ozon.ru/context/detail/id/5259449/.

23. Skyrmion dynamics in a frustrated ferromagnetic film and current-induced helicity locking-unlocking transition / X. Zhang, Y. Zhou, X. Liu, M. Ezawa // Nature Communications. — 2017. — Vol. 8. — P. 1717. https://doi.org/10.1038/s41467-017-01785-w.

24. Sutcliffe, P. Skyrmion Knots in Frustrated Magnets / P. Sut-cliffe // Phys. Rev. Lett. - 2017. - Vol. 118. - P. 247203. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.118.247203.

25. Leonov, A. Edge states and skyrmion dynamics in nanostripes of frustrated magnets / A. Leonov, M. Mostovoy /j Nature Communications. - 2017. — Vol. 8. — P. 14394. https://doi.org/10.1038/ ncomms 14394.

26. Vannimenus, J. Theory of the frustration effect. II. Ising spins on a square lattice / J. Vannimenus, G. Toulouse /j Journal of Physics C: Solid State Physics. - 2001. - Vol. 10. - P. 537.

27. Diep, H. Frustrated Spin Systems / H. Diep. — 2nd edition. — World Scientific, 2013. https://www.worldscientific.com/doi/ abs/10.1142/8676.

28. Balents, L. Spin liquids in frustrated magnets / L. Balents // Nature. - 2010. — Vol. 464, no. 199. https://doi.org/10.1038/ 35003143.

29. Kassan-Ogly, A. Frustrations and Ordering in Magnetic Systems of Various Dimensions / A. Kassan-Ogly, A. Proshkin /j Physics of the Solid State. - 2018. - Vol. 60. - Pp. 1090-1097.

30. Ramazanov, M. Phase transitions and critical properties in the antiferromagnetic Heisenberg model on a layered cubic lattice / M. Ramazanov, A. Murtazaev /j JETP Letters. — 2017. — Vol. 106. — Pp. 86-91.

31. Read, N. Spin-Peierls, valence-bond solid, and Néel ground states of low-dimensional quantum antiferromagnets / N. Read, S. Sachdev //

Phys. Rev. B. - 1990. - Vol. 42. - Pp. 4568-4589. https://link. aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.42.4568.

32. Sandvik, A. Computational Studies of Quantum Spin Systems / A. Sandvik // AIP Conference Proceedings. — 2011. — Vol. 1297.

33. Damascelli, A. Angle-resolved photoemission studies of the cuprate superconductors / A. Damascelli, Z. Hussain, Z. Shen // Rev. Mod. Phys. - 2003. - Vol. 75. - Pp. 473-541. https://link.aps. org/doi/10.1103/RevModPhys.75.473.

34. Resonant x-ray scattering study of charge-density wave correlations in YBa2Cu3O6+x / S. Blanco-Canosa, A. Frano, E. Schierle et al. // Phys. Rev. B. - 2014. - Vol. 90. - P. 054513. https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.90.054513.

35. V. VaVkov, V. Dynamical magnetic susceptibility in the spin-fermion model for cuprate superconductors / V V. Val'kov, D Dze-bisashvili // Theoretical and Mathematical Physics. — 2017. — Vol. 193. - Pp. 1853-1864.

36. Sachdev, S. Quantum Phase Transitions / S. Sachdev. — 2 edition. — Cambridge University Press, 2011.

37. Manousakis, E. The spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet on a square lattice and its application to the cuprous oxides / E. Manousakis // Reviews of Modern Physics. — 1991. — Vol. 63. _ pp. 1-62.

38. Mermin, N. Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one - or two - dimensional isotropic Heisenberg Models / N. Mermin, H. Wagner // Phys. Rev. Lett. — 1966. — Vol. 17, no. 22. — Pp. 1133-1136. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett. 17.1133.

39. Symmetry Breaking in the Collinear Phase of the J\ — J2 Heisenberg Model / R. Singh, W. Zheng, J. Oitmaa et al. // Phys. Rev. Lett. _ 2003. - Vol. 91. - P. 017201. https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevLett.91.017201.

40. Bethe, H. Zur Theorie der Metalle / H. Bethe // Zeitschrift fur Physik. - 1931. - Vol. 71, no. 3. - Pp. 205-226. https://doi.org/ 10.1007/BF01341708.

41. Li2VO(Si,Ge)04, a Prototype of a Two-Dimensional Frustrated Quantum Heisenberg Antiferromagnet / R. Melzi, P. Carretta, A. Las-cialfari et al. // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 85, no. 6. -

Pp. 1318-1321. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett. 85.1318.

42. Magnetic and thermodynamic properties of Li2V0Si04: A two-dimensional S =1/2 frustrated antiferromagnet on a square lattice / R. Melzi, S. Aldrovandi, F. Tedoldi et al. /j Phys. Rev. B. — 2001. - Vol. 64, no. 2. - P. 024409. http://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevB.64.024409.

43. High-temperature expansions for the J\ — J2 Heisenberg models: Applications to ab initio calculated models for Li2V0Si04 and Li2V0Ge0A / H. Rosner, R. R. P. Singh, W. H. Zheng et al. // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 67, no. 1. - P. 014416. http: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.67.014416.

44. Tranquada, J. Neutron scattering studies of antiferromagnetic correlations in cuprates / J. Tranquada // Handbook of High-Temperature Superconductivity / Ed. by J. Robert Schrieffer, James S. Brooks. — Springer New York, 2007. — Pp. 257-298. http://link.springer. com/chapter/10.1007/978-0-387-68734-6_6.

45. Evidence for a frustrated square lattice with ferromagnetic nearest-neighbor interaction in the new compound Pb2V0(P04)2 / E. Kaul, H. Rosner, N. Shannon et al. /j J. Magn. Magn. Mater. — 2004. — Vol. 272-276, Part 2. - Pp. 922-923. http://www.sciencedirect. com/science/article/pii/S0304885303013155.

46. Spin correlations in the frustrated square lattice Pb2V0(P04)2 / M. Skoulatos, J. Goff, N. Shannon et al. /j J. Magn. Magn. Mater. _ 2007. - Vol. 310, no. 2, Part 2. - Pp. 1257-1259. http://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S0304885306015873.

47. Frustration-driven structural distortion in VOMoO4 / P. Car-retta, N. Papinutto, C. Azzoni et al. /j Phys. Rev. B. — 2002. — Sep. - Vol. 66. - P. 094420. https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB.66.094420.

48. Spin correlations and exchange in square-lattice frustrated fer-romagnets / M. Skoulatos, J. Goff, C. Geibel et al. // Ewrophys. Lett. _ 2009. - Vol. 88, no. 5. - P. 57005. http://iopscience.iop.org/ 0295-5075/88/5/57005/fulltext/.

S = 1/2

trated Square Lattice: ( CuCl)LaNb207 / H. Kageyama, T. Kitano, N. Oba et al. // J. Phys. Soc. Jpn. - 2005. - Vol. 74, no. 6. -

Pp. 1702-1705. http://jpsj .ipap.jp/link?JPSJ/74/1702/.

50. Tsirlin, A. Extension of the spin-1/2 frustrated square lattice model: The case of layered vanadium phosphates / A. Tsirlin, H. Rosner // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 79, no. 21. - P. 214417. — Cal(BandStr) All vanadates, http://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB.79.214417.

51. Exploring the spin-1/2 frustrated square lattice model with high-field magnetization studies / A. Tsirlin, B. Schmidt, Y. Skours-ki et al. // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 80, no. 13. - P. 132407. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.80.132407.

52. Magnetic properties of BaCdV0(P04)2: A strongly frustrated spin-1/2 square lattice close to the quantum critical regime / R. Nath, A. Tsirlin, H. Rosner, C. Geibel // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 78, na q _ p 064422. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB. 78.064422.

53. Ferromagnetic coupling in nonmetallic Cu2+ compounds / S. Feldkemper, W. Weber, J. Schulenburg, J. Richter // Phys. Rev. B _ 1995. _ v0i. 52, no. 1. - Pp. 313-323. http://link.aps.org/ doi/10.1103/PhysRevB. 52.313.

54. Feldkemper, S. Generalized calculation of magnetic coupling constants for Mott-Hubbard insulators: Application to ferromagnetic Cr compounds / S. Feldkemper, W. Weber // Phys. Rev. B. — 1998. — Vol. 57, no. 13. - Pp. 7755-7766. http://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevB. 57.7755.

55. Observation of polarization-dependent x-ray absorption spectra arising from Cu3d — F2p hybridization in the two-dimensional ferro-magnets A2CuF4(A = K, Cs) / H. Manaka, T. Koide, T. Shidara, I. Ya-mada // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 68, no. 18. - P. 184412. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.68.184412.

56. Kasinathan, D. Origin of ferromagnetism in Cs2AgF4: The im-

A — F

Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73, no. 21. - P. 214420. http: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.73.214420.

57. 1/3 Magnetization plateau in spin-1/2 square lattice antiferro-magnet (CuBr)Sr2Nb3Oio / Y. Tsujimoto, Y. Baba, N. Oba et al. // JPSJ. - 2007. - Vol. 76, no. 6. - P. 063711. https://doi.org/10. 1143/JPSJ. 76.063711.

58. Magnetic correlation in the square-lattice spin system (CuBr)Sr2Nb3Oio: A neutron diffraction study / S. Yusuf, A. Bera, C. Ritter, Y. Tsujimoto Ц Phys. Rev. B. - 2011. - Vol. 84. - P. 064407. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.84.064407.

59. Ritter, C. Field-induced evolution of magnetic ordering in the quantum spin system (CuBr)Sr2Nb3010 with a 1/3 magnetization plateau / C. Ritter, S. Yusuf, K. Bera, Anup /j Phys. Rev. B. — 2013. _ v0i. 88. _ p. Ю4401.

60. Ashkin, J. Statistics of Two-Dimensional Lattices with Four Components / J. Ashkin, E. Teller /j Phys. Rev. — 1943. — Vol. 64.

— Pp. 178-184. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.64. 178.

61. Kugel, K. The Jahn-Teller effect and magnetism: Transition metal compounds / K. Kugel, D. Khomskii /j Sov. Phys. - Uspekhi. — 1982.

- Vol. 25, no. 4. - Pp. 231-256. http://ufn.ru/ru/articles/1982/ 4/с/.

62. Элементарные возбуждения в симметричной спин-орбитальной модели / М. Каган, К. Кугель, А. Михеенков, А. Барабанов // Письма в ЖЭТФ. - 2014. - Т. 100, № 3. - С. 207-212. http: //www. j etpletters. ас. ru/ps/2050/article_30870. shtml.

63. Barabanov, A. Frustrated quantum two-dimensional J1 — J2 — J3 antiferromagnet in a spherically symmetric self-consistent approach / A. Barabanov, A. Mikheyenkov, A. Shvartsberg // Theor. Math. Phys. - 2011. - Vol. 168, no. 3. - Pp. 1192-1215. http://www.springerlink.com/content/hp50h2j 71j 831p22/.

64. You, W. Entanglement driven phase transitions in spin orbital models / W. You, A. Moles, P. Horsch /j New Journal of Physics. — 2015. - Vol. 17, no. 8. - P. 083009. https://doi.org/10.1088.

65. Bengtsson, L Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement / I Bengtsson, K. Zy-czkowski. — Cambridge University Press, 2006. https://www. Cambridge.org/core/books/geometry-of-quantum-states/ 4BA9DCEED5BB16B222A917EAAAD17028.

66. Benenti, G. Principles of Quantum Computation and Information / G. Benenti, G. Casati, G. Strini. — World Scientific Publishing, 2007. https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10. 1142/5528.

67. Plaquette valence-bond crystal in the frustrated Heisenberg quantum antiferromagnet on the square lattice / M. Mambrini,

A. Lauchli, D. Poilblanc, F. Mila // Physical Review B - PHYS REV

B. - 2006. - Vol. 74.

68. Phase diagram of the spin-1/2 J\ — J2 — J3 Heisenberg model on the square lattice with ferromagnetic J\ / P. Sindzingre, L. Seabra, N. Shannon, T. Momoi // J. Phys.: Conf. Ser. - 2009. - Vol. 145. -P. 012048. http://iopscience.iop.Org/1742-6596/145/l/012048.

69. Rubin, P. Exact diagonalization study of the spin-1 two-dimensional Jy J3 Heisenberg model on a triangular lattice / P. Rubin, A. Sherman // Physics Letters A. - 2014. — Vol. 378.

70. Gelfand, M. Zero-temperature ordering in two-dimensional frustrated quantum Heisenberg antiferromagnets / M. Gelfand, R. Singh, D. Huse // Physical review. B, Condensed matter. — 1990. — Vol. 40.

- Pp. 10801-10809.

71. Dimer order with striped correlations in the J\ — J2 Heisenberg model / R. Singh, Z. Weihong, C. Hamer, J. Oitmaa // Phys. Rev. B. _ 1999. _ Vol. 60. - Pp. 7278-7283.

72. Chubukov, A. On the quantum effects in helimagnets / A. Chubukov // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1984. _ vol. 17, no. 36. - Pp. 991-995. https://doi.org/10. 10882F0022-37192F172F362F008.

73. Rastelli, E. Quantum fluctuations and phase diagram of Heisenberg models with competing interactions / E. Rastelli, L. Reatto, A. Tassi // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1986.

- Vol. 19, no. 33. - Pp. 6623-6633. https://doi.org/10. 10882F0022-37192F192F332F011.

74. Feldner, H. Ferromagnetic frustrated spin systems on the square lattice: Schwinger boson study / H. Feldner, D. Cabra, G. Rossini // Phys. Rev. B. - 2011. - Vol. 84. - P. 214406. https://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevB.84.214406.

75. Thermodynamics of the two-dimensional frustrated J\ — J2 Heisenberg ferromagnet in the collinear stripe regime: Susceptibility and correlation length / M. Härtel, J. Richter, O. Götze et al. // Phys. Rev. B. - 2013. - Vol. 87, no. 5. - P. 054412. http: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.87.054412.

76. Барабанов, А. Спиновый иолярон в двумерном антиферромагнетике - от локального синглета к сложной квазичастице / А. Барабанов, А. Михеенков, А. Белемук // Письма в ЖЭТФ. — 2002. — Т. 75, № 2. - С. 118-130. http://www.jetpletters.ac.ru/ps/596/.

77. Kondo, J. Green's-function formalism of the one-dimensional Heisenberg spin system / J. Kondo, K. Yamaji /j Prog. Theor. Phys. — 1972. - Vol. 47, no. 3. - Pp. 807-818. http://ptp.oxfordjournals. org/content/47/3/807.

78. Shimahara, H. Green's function theory of the two-dimensional Heisenberg model-spin wave in short range order / H. Shimahara, S. Takada /j J. Phys. Soc. Jpn. — 1991. — Vol. 60, no. 7. — Pp. 2394-2405. http://jpsj . ipap.jp/link?JPSJ/60/2394/.

79. Barabanov, A. Spin polaron in the cuprate superconductors: interpretation of the ARPES results / A. Barabanov, L. Maksimov, A. Mikheyenkov // Spectroscopy of High-Tc Superconductors / Ed. by N. M. Plakida. - London: Taylor к Francis, 2003. - Pp. 1-96.

80. Luttinger, J. Theory of dipole interaction in crystals / J. Luttinger, L. Tisza // Phys. Rev. - 1946. - Vol. 70. - Pp. 954-964. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.70.954.

81. Misguich, G. Two-dimensional quantum antiferromagnets / G. Misguich, C. Lhuillier // Frustrated spin systems. — World Scientific, 2005. — Pp. 229-306. http://www.worldscientific.com/doi/ abs/10.1142/9789812567819_0005.

82. Sindzingre, P. Phase diagram of the spin-1/2 J\ — J2 — J3 Heisenberg model on the square lattice / P. Sindzingre, N. Shannon, T. Momoi // J. Phys.: Conf. Ser. - 2010. - Vol. 200, no. 2. - P. 022058. http://iopscience.iop.org/1742-6596/200/2/022058.

83. Thermodynamics of Heisenberg ferromagnets with arbitrary spin in a magnetic field / I. Junger, D. Ihle, L. Bogacz, W. Janke /j Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 77, no. 17. - P. 174411. http://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevB.77.174411.

84. Thermodynamics of the one-dimensional frustrated Heisenberg ferromagnet with arbitrary spin / M. Härtel, J. Richter, D. Ihle et al. // Phys. Rev. B. - 2011. - Vol. 84, no. 10. - P. 104411. http://link, aps. org/doi/10.1103/PhysRevB. 84.104411.

85. Eremin, M. Dual features of magnetic susceptibility in superconducting cuprates: a comparison to inelastic neutron scattering /

M. Eremin, I. Shigapov, I. Eremin // Eur. Phys. J. B. — 2012. — Vol. 85, no 4 _ p 131 http://dx.doi.org/10.1140/epjb/e2012-20539-y.

86. Suzuki, F. Thermodynamics of low-dimensional Heisenberg fer-romagnets by the Green's function method / F. Suzuki, N. Shimata, C. Ishii //J. Phys. Soc. J'pn. - 1994. - Vol. 63, no. 4. - Pp. 1539-1547. http: //jpsj . ipap. jp/link?JPSJ/63/1539/.

87. Green-function theory of the Heisenberg ferromagnet in a magnetic field / I. Junger, D. Ihle, J. Richter, A. Klümper // Phys. Rev. B. _ 2004. - Vol. 70, no. 10. - P. 104419. http://link.aps.org/doi/ 10.1103/PhysRevB.70.104419.

88. Zwanzig, Robert. Memory Effects in Irreversible Thermodynamics / Robert Zwanzig // Phys. Rev. - 1961. - Vol. 124. - Pp. 983-992. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.124.983.

89. Mori, H. A Continued-Fraction Representation of the Time-Correlation Functions / H. Mori // Prog. Theor. Phys. — 1965. — Vol. 34, na 3 _ pp. 399-416. https://doi.org/10.1143/PTP.34.399.

90. Церковников, Ю. О методе решения бесконечных систем уравнений для двухвременных температурных функций Грина / Ю. Церковников // ТМФ. - 1981. - Т. 49. - С. 219-233. http://mi.mathnet.ru/tmf2468.

91. Vladimirov, A. Dynamic spin susceptibility in the t-J model / A. Vladimirov, D. Ihle, N. Plakida // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80, no. 10. - P. 104425. http://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB.80.104425.

92. Vladimirov, A. Dynamic spin susceptibility of superconducting cuprates: A microscopic theory of the magnetic resonance mode / A. Vladimirov, D. Ihle, N. Plakida // Physical Review B. — 2011. - Vol. 83, no. 2. - P. 024411. http://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB. 83.024411.

93. Rubin, P. The spin-1 two-dimensional J\ — J2 Heisenberg antiferromagnet on a triangular lattice / P. Rubin, A. Sherman, M. Schreiber // Phys. Lett. A. - 2010. - Vol. 374, no. 34. -Pp. 3567-3571. http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0375960110007978.

94. Rubin, P. Magnetic phase diagram of the spin-1 two-dimensional J\ — J3 Heisenberg model on a triangular lattice / P. Rubin, A. Sherman, M. Schreiber // Phys. Rev. A. - 2012. - Vol. 376.

95. Барабанов, А. Квантовый фазовый переход в двумерном фрустрпрованном магнетике в матричном проекционном подходе / А. Барабанов, А. Михеенков, Н. Козлов // Письма в ЖЭТФ. — 2015. - Т. 102. - С. 333-338. http://mi.mathnet.ru/jetpl4722.

96. Mikheyenkov, A. On the coexistence of different types of long-range order in the strongly frustrated two-dimensional Heisenberg model / A. Mikheyenkov, A. Barabanov, A. Shvartsberg /j Solid State Commun. - 2012. - Vol. 152, no. 10. - Pp. 831-834. http://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S0038109812001238.

97. Katayama, Y. A first-order liquid-liquid phase transition in phosphorus / Y. Katayama, T. Mizutani, U. Wataru /j Nature. — 2000.

- Vol. 403, no. 6766. - Pp. 170-173. https://doi.org/10.1038/ 35003143.

98. New Kinds of Phase Transitions: Transformations in Disordered Substances / V. Brazhkin, S. Buldyrev, V. Ryzhov, Eugene S. — Springer New York, 2002. http://link.springer.com/chapter/10. 1007/978-0-387-68734-6_6.

99. Ryltsev, R. Multistage structural evolution in simple monatomic supercritical fluids: Superstable tetrahedral local order / R. Ryltsev, N. Chtchelkatchev // Phys. Rev. E. - 2013. - Vol. 88. - P. 052101. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.88.052101.

100. Ryltsev, R. Universal self-assembly of one-component three-dimensional dodecagonal quasicrystals / R. Ryltsev, N. Chtchelkatchev // Soft Matter. - 2017. - Vol. 13, no. 29. - Pp. 5076-5082. https: //doi.org/10.1039/c7sm00883j.

101. Self-interaction of NPM1 modulates multiple mechanisms of liquid-liquid phase separation / D. Mitrea, A. Jaclyn, B. Christopher et al. // Nature Communications. — 2018. — Vol. 9, no. 1. https: //doi.org/10.1038/s41467-018-03255-3.

102. A liquid-liquid transition in supercooled aqueous solution related to the HDA-LDA transition / S. Woutersen, В Ensing, M. Hilbers et al. // Science. - 2018. - Vol. 359, no. 6380. - Pp. 1127-1131. https://doi.org/10.1126/science.aao7049.

103. Thermodynamic properties of the 2D frustrated Heisenberg model for the entire J\ — J2 circle / A. Mikheyenkov, A. Shvartsberg, V. Val-iulin, A. Barabanov // J. Magn. Magn. Mater. — 2016. — Vol. 419.

— Pp. 131-139. http://www.sciencedirect.com/science/article/

pii/S0304885316310186.

104. Plakida, N. Theoretical Models of High-Tc Superconductivity / N. Plakida // High-Temperature Cuprate Superconductors. — Springer Berlin Heidelberg, 2010. — Springer Series in Solid-State Sciences no. 166. — Pp. 377-478. http://link.springer.com/chapter/10.1007/ 978-3-642-12633-8_7.

105. Very-low-frequency excitations in frustrated two-dimensional S = 2 Heisenberg antiferromagnets / P. Carretta, R. Melzi, N. Pap-inutto, P. Millet // Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol. 88. - P. 047601. https: //link. aps. org/doi/10.1103/PhysRevLett. 88.047601.

106. NMR and ^SR study of spin correlations in SrZnV0(P0^2: An S = 2 frustrated magnet on a square lattice / L. Bossoni, P. Carretta, R. Nath et al. // Phys. Rev. B. - 2011. - Vol. 83. - P. 014412. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.83.014412.

107. Square-lattice magnetism of diaboleite Pt^C^OH^C^ / A. Tsirlin, O. Janson, S. Lebernegg, H. Rosner // Phys. Rev. B. — 2013. _ v0i. 87. _ p. 064404. https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB.87.064404.

108. Magnetic order and lattice anomalies in the ${J}_{l}\text{\ensuremath{-}}{J}_{2}$ model system $\math-rm{V}\mathrm{0}\mathrm{Mo}{\mathrm{0}}_{4}$ / A. Bom-bardi, L. Chapon, I. Margiolaki et al. // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 71, no. 22. - P. 220406. https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB.71.220406.

1/2

PbV03 / A. Tsirlin, A. Belik, R. Shpanchenko et al. // Phys. Rev. B _ 2008. - Vol. 77, no. 9. - P. 092402. https://link.aps.org/ doi/10.1103/PhysRevB.77.092402.

110. Richter, J. Quantum magnetism in two dimensions: From semi-classical Neel order to magnetic disorder / J. Richter, J. Schulenburg, A. Honecker // Quantum Magnetism. — Springer Berlin Heidelberg, 2004. — Lecture Notes in Physics no. 645. — Pp. 85-153. http://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0119592.

111. Thermodynamics of the frustrated J1-J2 Heisenberg ferromag-net on the body-centered cubic lattice with arbitrary spin / P. Muller, J. Richter, A. Hauser, D. Ihle // The European Physical Journal B. — 2015. - Vol. 88, no. 6. - P. 159. https://doi.org/10.1140/epjb/

e2015-60113-7.

112. Takahashi, M. Quantum Heisenberg ferromagnets in one and two dimensions at low temperature / M. Takahashi /j Progr. Theor. Phys. Su'ppl. - 1986. - Vol. 87. - Pp. 233-246. - The(Mod SW) J1 FM ID 2D. http: //ptps. oxfordj ournals. org/content/87/233.

113. Takahashi, M. Few-dimensional Heisenberg ferromagnets at low temperature / M. Takahashi /j Phys. Rev. Lett. — 1987. — Vol. 58, no. 2. - Pp. 168-170. http://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevLett.58.168.

114. Kopietz, P. Low-temperature behavior of the correlation length and the susceptibility of a quantum Heisenberg ferromagnet in two dimensions / P. Kopietz, S. Chakravarty /j Phys. Rev. B. — 1989. — Vol. 40, no. 7. - Pp. 4858-4870. http: //link. aps. org/doi/10.1103/ PhysRevB.40.4858.

115. Karchev, N. Renormalization-group approach to spin-wave theory of quantum Heisenberg ferromagnets / N. Karchev // Phys. Rev. B. _ 1997. _ Vol. 55j no. 10. - Pp. 6372-6376. http://link.aps.org/ doi/10.1103/PhysRevB.55.6372.

116. Thermodynamics of Heisenberg ferromagnets with arbitrary spin in a magnetic field / J. Juhäsz, D. Ihle, L. Bogacz, W. Janke // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 77, no. 17. - P. 174411. http://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevB.77.174411.

117. Manousakis, E. Monte Carlo study of the two-dimensional spin-1/2 quantum Heisenberg model: Spin correlations in La2Cu04 / E. Manousakis, R. Salvador // Phys. Rev. B. — 1989. — Vol. 39, no. 1. — Pp. 575-585. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.39. 575.

118. Chen, Y. Quantum Monte Carlo study of the spin-1/2 Heisenberg model / Y. Chen, H. Chen, F. Lee // Phys. Rev. B. — 1991. — Vol. 43, no. 13. - Pp. 11082-11087. http://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevB.43.11082.

119. Monte Carlo study of a two-dimensional quantum ferromagnet / P. Henelius, A. Sandvik, C. Timm, S. Girvin /j Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 61, no. 1. — Pp. 364-374. http://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevB. 61.364.

120. Thermodynamics of low-dimensional spin-1/2 Heisenberg ferromagnets in an external magnetic field within a Green function for-

malism / T. Antsygina, M. Poltavskaya, I. Poltavsky, K. Chishko // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 77, no. 2. - P. 024407. http: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.77.024407.

121. Finite temperature properties and frustrated ferromagnetism in a square lattice Heisenberg model / N. Shannon, B. Schmidt, K. Penc, P. Thalmeier // Eur. Phys. J. B. - 2004. - Vol. 38, no. 4. -Pp. 599-616. http://epjb.epj.org/articles/epjb/abs/2004/08/ b03682/b03682. html.

122. Shannon, N. Nematic Order in Square Lattice Frustrated Ferro-magnets / N. Shannon, T. Momoi, P. Sindzingre // Phys. Rev. Lett. —

2006. - Vol. 96, no. 2. - P. 027213. http://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevLett.96.027213.

123. Sindzingre, P. Nematic order in square lattice frustrated fer-romagnets / P. Sindzingre, N. Shannon, T. Momoi // J. Magn. Magn. Mater. - 2007. - Vol. 310, no. 2, Part 2. -Pp. 1340-1342. http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0304885306015654.

124. Schmidt, B. The frustrated J\ — J2 model in high magnetic fields / B. Schmidt, N. Shannon, P. Thalmeier //J. Phys.: Condens. Matter. - 2007. - Vol. 19, no. 14. - P. 145211. http: //iopscience.iop.org/0953-8984/19/14/145211.

125. Schmidt, B. Thermodynamic properties of the model at finite magnetic fields / B. Schmidt, N. Shannon, P. Thalmeier // J. Magn. Magn. Mater. - 2007. - Vol. 310, no. 2, Part 2. -Pp. 1231-1233. http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0304885306015630.

126. Viana, J. Anisotropy effects in frustrated Heisenberg antiferro-magnets on a square lattice / J. Viana, J. de Sousa // Phys. Rev. B. —

2007. - Vol. 75, no. 5. - P. 052403. http://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevB.75.052403.

127. Shindou, R. SU(2) slave-boson formulation of spin nematic states in S = 1/2 frustrated ferromagnets / R. Shindou, T. Momoi // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 80, no. 6. - P. 064410. http://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevB.80.064410.

128. Thermodynamics of a two-dimensional frustrated spin-1/2 Heisenberg ferromagnet / M. Härtel, J. Richter, D. Ihle, S. Drechsler // Phys. Rev. B. - 2010. - Vol. 81, no. 17. - P. 174421. - The(RGM).

http: //link. aps. org/doi/10.1103/PhysRevB. 81.174421.

129. Dmitriev, D. Two-dimensional frustrated Heisenberg model: Variational study / D. Dmitriev, V. Krivnov, A. Ovchinnikov /j Phys. Rev_ B _ 1997. _ v0i. 55? no. 6. - Pp. 3620-3626. http://link, aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.55.3620.

130. Magnetic susceptibility of frustrated spin-s J1-J2 quantum Heisenberg magnets: High-temperature expansion and exact diagonal-ization data / J. Richter, A. Lohmann, H. Schmidt, D. Johnston // J. Phys.: Conf. Ser. - 2014. - Vol. 529, no. 1. - P. 012023. http://iopscience.iop.org/1742-6596/529/1/012023.

131. Spin-spin correlation length in a two-dimensional frustrated magnet and its relation to doping / A. Mikheyenkov, V. Valiullin, A. Shvartsberg, A Barabanov // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 2015. - Vol. 121, no. 3. - Pp. 446-456. https://doi.org/10.1134/S1063776115090083.

132. Inui, M. Doping dependence of antiferromagnetic correlations in high-temperature superconductors / M. Inui, S. Doniach, M. Gabay // Phys. Rev. B. - 1988. - Vol. 38. - Pp. 6631-6635. https://link, aps. org/doi/10.1103/PhysRevB. 38.6631.

133. Numerical study of the two-dimensional Hubbard model for various band fillings / A. Moreo, D. Scalapino, R. Sugar et al. // Phys. Rev_ B _ i990. _ vol. 41. - Pp. 2313-2320. https://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevB.41.2313.

134. Mikheyenkov, A. Self-consistent spin susceptibility in 2D frustrated antiferromagnet / A. Mikheyenkov, A. Barabanov, N. Ko-zlov /j Physics Letters A. — 2006. — Vol. 354, no. 4. — Pp. 320 - 324. http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0375960106001496.

135. Mikheenkov, A. Spin susceptibility of cuprates in the model of a 2D frustrated antiferromagnet: Role of renormalization of spin fluctuations in describing neutron experiments / A. Mikheenkov, A. Barabanov // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2007. - Vol. 105, no. 2. - Pp. 347-359. https://doi.org/10.1134/ S1063776107080079.

136. Magnetic excitations in pure, lightly doped, and weakly metallic La2 CuO4 / B. Keimer, N. Belk, R. Birgeneau et al. // Phys. Rev. B. _ 1992. _ Vol. 46. - Pp. 14034-14053. https://link.aps.org/doi/

10.1103/PhysRevB.46.14034.

137. Dynalmic stripes and resonance in the superconducting and normal phases of YBa2Cu3O6.5 ortho-II superconductor / C. Stock, W. Buyers, R. Liang et al. // Phys. Rev. B. - 2004. - Vol. 69. - P. 014502. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.69.014502.

138. Aeppli, G. Nearly singular magnetic fluctuations in the normal

1997. - Vol. 278, no. 5342. - Pp. 1432-1435. https://doi.org/10. 1126/science.278.5342.1432.

139. Measurement of the q-dependent static spin susceptibility x'(q) in YBa2Cu3O6.9 / T. Imai, C. Slichter, A. Paulikas, B. Veal // Phys. Rev_ B _ 1993 _ Vol. 47_ _ Pp 9158-9I6I. https://link.aps.

org/doi/10.1103/PhysRevB.47.9158.

140. Monien, H. Collective excitations and sum rules for the Hubbard model in the spin-density-wave regime / H. Monien, K. Bedell // Phys. Rev_ B. - 1992. - Vol. 45. - Pp. 3164-3167. https://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevB.45.3164.

141. Mo,son, T. Spins in the vortices of a high-temperature superconductor / T. Mason // Science. — 2001. — Vol. 291, no. 5509. — Pp. 1759-1762. https: //doi. org/10.1126/science. 1056986.

142. Mert, G. The magnetic and thermodynamic properties of a spin-2 Heisenberg ferromagnetic system / G Mert // J. Magn. Magn. Mater. — 2015. — Vol. 374, no. Supplement C. — Pp. 258-263. http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S0304885314007045.

143. Brazovskiy, S. Phase transition of an isotropic system to a nonuniform state / S. Brazovskiy // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1975. — Vol. 41. — P. 85. http: //adsabs.harvard.edu/abs/1975JETP...41...85B.

144. Dzyaloshinsky, L Thermodynamical theory of "weak" ferromag-netism in antiferromagnetic substances / I. Dzyaloshinsky // Sov. Phys. jETP. - 1957. - Vol. 5, no. 6. - Pp. 1259-1272. http://www. sciencedirect.com/science/article/pii/0022369758900763.

145. Magnetic properties of nanoscaled paramelaconite Cu403 — x(x = 0.0 and 0.5) / D. Djurek, M. Prester, Dj. Drobac et al. // J. Magn. Magn. Mater. - 2015. - Vol. 373. - Pp. 183-187. https://doi.Org/10.1016/j.jmmm.2014.04.015.

146. Feng, H. Magnetism and electronic properties of BiFe03 under lower pressure / H. Feng // J. Magn. Magn. Mater. — 2010. — Vol. 322, no. 23. - Pp. 3755-3759. https://doi.Org/10.1016/j.jmmm.2010. 07.034.

147. Kwon, H. Effects of Dzyaloshinskii - Moriya interaction on magnetic stripe domains / H. Kwon, C. Won // J. Magn. Magn. Mater. _ 2014. — Vol. 351. — Pp. 8-15. http://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S0304885313007154.

148. Liu, G. Effect of Dzyaloshinskii - Moriya interaction on phase diagrams of spin - 1 Heisenberg - Ising alternating chains / G. Liu, J. Dou, P. Lu // J. Magn. Magn. Mater. - 2016. - Vol. 401. -Pp. 796-801.

149. Кугелъ, К. Кристаллическая структура и магнитные свойства веществ с орбитальным вырождением / К. Кугель, Д. Хом-ский // ЖЭТФ. - 1973. - Т. 64, № 4. - С. 1429-1439.

150. Magnetic phase diagram and quantum phase transitions in a two-species boson model / A. Belemuk, N. Chtchelkatchev, A. Mikheyenkov, K. Kugel // Phys. Rev. B. - 2017. - Vol. 96. — P. 094435. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.96. 094435.

151. Belemuk, A. Quantum phase transitions and the degree of non-identity in the system with two different species of vector bosons / A. Belemuk, N. Chtchelkatchev, K. Mikheyenkov, A aKugel // New J. Phys. - 2018. - Vol. 20, no. 6. - P. 063039. https://doi.org/10. 1088.

152. Lundgren, R. Entanglement entropy and spectra of the one-dimensional Kugel-Khomskii model / R. Lundgren, V. Chua, G. Fiete // Phys. Rev. B. - 2012. - Vol. 86, no. 22. - P. 224422. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.86.224422.

153. Pati, S. Alternating Spin and Orbital Dimerization and SpinGap Formation in Coupled Spin-Orbital Systems / S. Pati, R. Singh, D. Khomskii // Phys. Rev. Lett. - 1998. - Vol. 81, no. 24. -Pp. 5406-5409. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett. 81.5406.

154. Hoi, C. Phase diagram of a one-dimensional spin-orbital model / C. Itoi, S. Qin, I. Affleck // Phys. Rev. B. - 2000. - Vol. 61. -Pp. 6747-6756. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.61.

6747.

155. Spin-orbital entanglement and quantum phase transitions in a spin-orbital chain with SU(2) x SU(2) symmetry / Y. Chen, Z. Wang, Y. Li, F. Zhang // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 75. - P. 195113. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.75.195113.

156. Topological Phases Emerging from Spin-Orbital Physics / W. Brzezicki, C. Mario, F. Forte, A. Oles // Journal of Superconductivity and Novel Magnetism. — 2017. — Vol. 31.

157. You, W. von Neumann entropy spectra and entangled excitations in spin-orbital models / W. You, A. Oles, P. Horsch // Phys. Rev. B. _ 2012. - Vol. 86, no. 9. - P. 094412. http://link.aps.org/doi/ 10.1103/PhysRevB.86.094412.

158. Elementary excitations in the symmetric spin-orbital model / M. Kagan, K. Kugel, A. Mikheyenkov, A. Barabanov // JETP Letters. _ 2014. - Vol. 100, no. 3. - Pp. 187-191. http://link.springer. com/article/10.1134/S0021364014150089.

159. Thermodynamics of a one-dimensional frustrated spin-1/2 Heisenberg ferromagnet / M. Hartel, J. Richter, D. Ihle, S. Drechsler // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 78, no. 17. - P. 174412. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.78.174412.

160. Кугелъ, К. Орбитальное вырождение и некоторые одномерные двухспиновые модели / К. Кугель, Хомский Д. // Физика Низких Температур. - 1980. - Т. 60. - С. 207-219. https://fnt.ilt. kharkov.ua/join.phpfn=/fnt/pdf/6/6-2/f06-0207r.pdf.