Фрактальность сеточных систем мезодефектов металлических и кварцевых стекол в спектральном и древесно-графовом представлениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Писаренко, Татьяна Анатольевна

• Писаренко, Татьяна Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Писаренко, Татьяна Анатольевна

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

I КРУПНОМАСШТАБНЫЕ СИСТЕМНЫЕ

ДЕФЕКТЫ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ И КВАРЦЕВЫХ

СТЕКОЛ. КОНЦЕПЦИЯ ФРАКТАЛЬНОГО

МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ

§1.1 Сеточное строение аморфных планарных сред как модель аморфного упорядочения.

§1.2 Способы получения и особенности структуры кварцевых стекол.

§1.3 Процессы структурной релаксации в стеклообразном состоянии.

§1.4 Концепция фрактальной геометрии в физике разупорядоченных сред

§1.5П Элементы теории размерности.2^

II СТАТИСТИЧЕСКИМ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СЕТОЧНЫХ МЕЗОСТРУКТУР ДЕФЕКТОВ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ И КВАРЦЕВЫХ СТЕКОЛ В МОДЕЛИ

ПОТОКОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ГРАНИЦ СЕТКИ

§2.1 Статистическое исследование ячеистой мезоструктуры пленок Со-Р.

§2.2 Сравнительный статистический анализ металлических стекол Co-Gd, Со-Р в модели случайных потоков.

§2.3 Статистическая идентификация мезоструктур кварцевых стекол.

§2.4 Корреляционный анализ сеточной мезоструктуры металлических стекол типа ПМ-М и РЗ-ПМ в модели ППГС.

§2.4.1 Корреляционный анализ пленок Со-Р в модели ППГС.

§2.4.2 Корреляционный анализ сеточной мезоструктуры пленок Co-Gd в модели ППГС.

§2.4.3 Сравнительный корреляционный анализ АПС Со-Р и

Co-Gd на уровне мезомасштабной сеточной структуры.

§2.5 Корреляционный анализ сеточной структуры мезодефектов кварцевого стекла КУВИ-1.

§2.6П Статистические методы моделирования структуры стекол. Иерархическая модель фтороцирконатных стекол.7Sb

III МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ФРАКТОННОЙ РАЗМЕРНОСТИ СЕТОЧНЫХ СТРУКТУР МЕТАЛЛИЧЕСКИХ И КВАРЦЕВЫХ СТЕКОЛ

§3.1 Подобие спектральных оценок, дифракционных картин Фраунгофера.

§3.2 Классификация ячеистой мезоструктуры кварцевых стекол по спектральным оценкам.

§3.3 Фрактонная модификация метода Хентшеля - Прокаччо.

3.4 Оценки фрактонных характеристик структуры отдельно стей кварцевых стекол.

§3.5 Фрактонная кинетика АПС Со-№-Р при низкотемпературном изотермическом отжиге.

IV ФРАКТАЛЬНОСТЬ ДРЕВЕСНЫХ ГРАФОВ

КЕЙЛИ. ЗАДАЧА ПЕРКОЛЯЦИИ

ИНФОРМОДИНАМИЧЕСКИХ

ФУНКЦИОНАЛОВ НА ДЕРЕВЬЯХ КЕЙЛИ

§4.1 Отображение ячеистых структур в квазистохастические графы Кейли. Математические свойства деревьев Кейли

§4.2 Перколяция информационных мер на деревьях Кейли сеточных структур КС КУВИ-1 и МС Со-Р.

§4.3 Фрактальноподобные характеристики деревьев Кейли сеточных структур кварцевых и металлических стекол в ^представлении.

§4.4 Фрактальность деревьев Кейли для сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стекол в стримерном представлении.

§4.5 Фрактально-символьные оценки скорлупы Мандельброта деревьев Кейли для сеточных структур КУВИ-1 и Со-Р

V ИДЕНТИФИКАЦИЯ СЦЕНАРИЯ

ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ СЕТОЧНЫХ СТРУКТУР

КВАРЦЕВЫХ И МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СТЕКОЛ

5.1 Диагностика сценария перемежаемости с позиции статистик подчинения и командования в представлении древесных графов Кейли сеточных структур кварцевых и металлических сте

§5.2 Тангенциальная перемежаемость в древссно-графовом представлении сеточных структур кварцевого стекла КУВИ-1 и металлического стекла Со-Р.

§5.3 Сценарий перемежаемости в генерации сеточных структур в модели ППГС.

§5.411 Фрактальная размерность как энтропийная производная в смысле

Радона - Никодима.

ВЫВОДЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фрактальность сеточных систем мезодефектов металлических и кварцевых стекол в спектральном и древесно-графовом представлениях»

Объектом исследований является сеточная система мезодефектов металлических (ПМ-М и РЗ-ПМ) и кварцевых стекол, которая была на протяжении последних 15 лет под пристальным вниманием дальневосточных ученых [136, 145, 195, 196]. В этих работах была установлена сеточная структура мезоуровня на широком классе аморфных планарных сред (АПС), которая изучалась в спектральном представлении. Настоящая диссертация подводит итог восьмилетних изысканий в области фрактальной физики сеточных мезодефектов вышеупомянутых АПС. Исходными понятиями для оценки фрактальной размерности сеточных структур являются дифракционные картины Фраунгофера (ДКФ). С этих позиций мы говорим о фрактальности в д-пространстве (волновом), а не в координатном. Чтобы оттенить эту особенность, мы использовали термин фрактонная размерность, хотя интерпретация фрактона как квазичастицы нам известна, но мы этот термин трактуем как распределение энтропии спектральной меры (энергетического спектра) в д-пространстве размеров, длин волн.

Второй аспект диссертационного исследования состоит в авторской методике отображения ячеистых структур в древесно графовые формы [201], которые в общей теории графов известны как деревья Кейли (ДК). Надо отметить, что древесно-графовый подход систематически впервые был использован во фрактальной тематике в обзоре Олемского и Флата [107]. Одно из направлений этой работы, с этих позиций, состоит в использовании факта, что древесные графы обладают свойством топологической масштабной инвариантности (дерево состоит только, из поддеревьев-кустов), что позволяет интерпретировать ДК как фрактальные структуры. Поэтому второе направление настоящей диссертации состоит в разработке авторской методики оценки фрактальных характеристик сеточных мезодефектов металлических и кварцевых стекол (МС и КС) в древесно-графовом представлении. Предлагаемая нами методика (алгоритм, программа) расчета фракталь-ноподобных свойств ДК сеточных структур основана на редко применяемом теоретико-информационном формализме. При этом систематически используются энтропийные, энергетические, дивергентные функционалы, определяемые на перечисляющих полиномах (ПП) ДК. Главная проблема состоит в рассмотрении перколяции координации, смежностей по иерархии ДК. Необходимо найти, сформулировать критерий аморфности сеточных мезоструктур МС и КС в терминах информодинамики по иерархии ДК.

И, наконец, третий аспект диссертации состоит в поиске, идентификации универсального сценария генерации сеточных структур с позиций статистики потоков пересечений границ сетки, статистики ПП ДК, теории эффективного кодирования скорлупы Мандельброта ДК. Таким образом, настоящая диссертационная работа относится к области фрактальной физики разупорядоченных сред в спектральном и древесно-графовом представлениях. Задачами настоящего исследования являются:

1. Используя модель случайных потоков пересечений границ сетки МС и КС, провести статистический и корреляционный анализ сеточных мезоде-фектов в потоковом представлении.

2. Разработать методику оценки фрактонных характеристик сеточных структур МС и КС общего вида.

3. Построить алгоритм отображения сеточных структур в квазистохастические древесные графы Кейли. Предложить и разработать единую методику оценки фрактальных характеристик ДК, отображающих ячеистую структуру.

4. Решить задачу перколяции информодинамических функционалов: энтропии, энергии, дивергенции на квазистохастических ДК, синтезированных для соответствующих сеточных структур МС и КС. В терминах энтропийных, дивергентных функционалов сформулировать критерий аморфности на сеточном мезоуровне в древесном представлении.

5. Решить задачу идентификации, диагностики сценария генерации сеточных структур. Попытаться найти некоторые основополагающие универсальные принципы существования сеточных мезодефектов в МС и КС.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Писаренко, Татьяна Анатольевна

выводы

В результате проделанных исследований на сеточной системе мезодефектов МС и КС были получены следующие результаты: I. В модели случайных потоков ППГС.

Решена задача статистической идентификации распределения ячеек по размерам. Показано, что наиболее адекватной статистикой для таких унарных распределений является вейбулловская. Последнее означает, что распределение ячеек по размерам в сеточной системе мезодефектов МС, КС обладает "затянутым" характером, что описывает пространственное дальнодействие. Вейбулловские статистики можно считать универсальными, поскольку они справедливы для аморфных пленок Со-Р, Со-Сс1 и КС марок КИ, КУ-1, КУВИ-1. Главный показатель вейбулловости по своему физическому смыслу является характеристикой размерности в пространстве от-дельностей, ячеек, размеров. Для МС характерна двухкомпонентная вей-булловость, что приводит к существованию двух различных пространственных масштабов. Для обоих типов МС оказалось, что на КВ масштабах подобная размерность превосходит аналогичную для ДВ масштабов. Деструктивная компонента пленок Со-Р по размерности превосходит аналогичную характеристику для пленок Со-СсГ

В диссертации отработана методика автокорреляционного анализа знаковых функций, каковыми являются ППГС. Проведен анализ шумоподобной и осцилляторной компонент. Принципиальной особенностью рассматриваемой задачи фильтрации ППГС является использование спектра нулей корреляционной функции. Удалось показать, что пространственная структура сеток в модели ППГС сводится к двухкомпонентной по пространственным масштабам. Характер аналитики распределения нулей в обоих случаях экспоненциальный. Тем самым, нами установлено, что некоторая пространственная сеточная структура описывается двумя стохастическими, шумопо-добными состояниями. С точки зрения физической, эти две структурные компоненты можно рассматривать как два разнесенных стохастических автоосциллятора.

II. Систематически исследованы сеточные структуры МС и КС в спектральном представлении.

А) Доказано распространение принципа подобия на нестепенные спектральные оценки, ДКФ. Установлено, что огибающая ДКФ, указанных объектов, относится к экспоненциальному классу. Разработан алгоритм, программа оценки фрактонной размерности, и дано их математическое обобщение в терминах энтропии Реньи от спектральных мер и геометрической энтропии. Показано, что фрактонная размерность может трактоваться как отношение двух энтропий: спектральной энтропии Реньи и геометрической энтропии в волновом ()пространстве. Вышеуказанная методика была применена на КС: КС-4В, КВ, КУ, КУВИ-1. Наиболее полный результат выражается в построении поверхности фрактальных размерностей как е?(т, q). Подобная более общая топологическая характеристика позволяет оценить размерность пространства вложения: [т*] = 5. Таким образом, сеточные структуры будучи псевдоаттрактивными множествами требуют гладкого пространства пятимерной размерности. А другой характеристикой является д-плотность фрактонной размерности, которая обладает типичным асимптотическим поведением для фрактальных оценок. Эта характеристика dq const = ж* является некоторой фундаментальной константой, которая, фактически, является второй производной от энтропийных мер в q пространстве. По нашему мнению сеточные структуры с ДКФ нестепенного вида можно было бы назвать фракталами II рода. Б) В основе развитого нами фрактонного формализма лежит основополагающая система понятий, принадлежащих эргодической теории. Она состоит в формулировании двух видов энтропийных мер. Одна из них является геометрической энтропией: Sm(q) = mlgg, определенной в R(q)~ пространстве. Другая энтропийная мера определена от ДКФ, энергетических спектров (спектральных мер). Тогда их отношение или производная энтропии от энергетических мер по геометрической энтропии и является собственно фрактонной размерностью «¿(т, д) — в нашем случае это поверхность в целом непрерывная, гладкая, выпуклая по обоим аргументам. Если предварительно получить оценку га* — размерности пространства вложения, то с?(га*, д) является интегральной функцией распределения энтропийной плотности энергетических мер по д-размерам, длинам волн. Произво-Што(д) „—„д 7Г" и выражает дифференциальную функцию, дная dq const которая описывает приращение фрактонной размерности при переходах в д-иерархии.

Оказалось, что для МС и КС аморфный беспорядок сеточных структур в энергетическом (£, д) -представлении характеризуется равномерным дифференциальным распределением.

В) В Н(т, 5(д))-представлении рассматривался процесс структурной термической релаксации МС Co-Ni-P. Удалось показать, что при Т0тж = 448 К и t ~ 1.5 ч для сеточных структур выделяются KB и ДВ поддиапазоны. Полученные фрактонные характеристики минимальны на временах экспозиции i ~ 1ч, хотя картина микродифракции на всех трех этапах характерна типичной галодифракцией. Но при этом минимальная фрактонность указывает на наиболее аморфное, отрелаксированное состояние пленок Co-Ni-P.

Минимум фрактонной размерности в истинно аморфном состоянии соответствует, согласно предыдущему пункту, более низкой энтропии от энергетического спектра. В таком случае следует признать, что отрелаксированное аморфное состояние обладает большей упорядоченностью на мезомас-штабах, чем свежеприготовленное состояние.

III. Для исследования фрактальных свойств сеточных мезоструктур КС и МС впервые была развита методика древесно-графового отображения. Квазистохастические древесные графы Кейли автоматически обладают свойством топологического древесного подобия, что позволяет их считать фрактальными объектами в духе Мандельброта (кохоподобный фрактал). С другой стороны, это же свойство квазистохастических ДК передается в терминах ультраметрических симплициальных комплексов. Решена задача информодинамической перколяции координаций на ДК. Показано, что, в частности, энтропийные функционалы остаются инвариантными при перколяции координаций по иерархии ДК. Любопытным фактом является золотое отношение энтропии к внутренней энергии на обратном потоке ДК сеточных структур КС КУВИ-1 и МС Со-Р. Таким образом, критерий аморфности КС и МС выглядит как закон сохранения энтропий перечисляющих полиномов при течении по уровням иерархии ДК в прямом и обратном направлении. Существенна необратимость ДК, представляющих сеточные структуры КС и МС, в смысле различия прямых и обратных потоков перколяции.

В §§4.3 - 4.5 получены следующие оценки фрактальных характеристик ДК. Оказалось, что пропускная способность перколяции на ДК составляет в тангенциальном представлении 1.62; 1.53, а в стримерном 1.69; 1.62 соответственно для ДККС КУВИ-1 и МС Со-Р. Можно считать, что на уровне верхних оценок фрактальная проводимость достигает в среднем ~ 1.6, и, как и следует ожидать, это значение превосходит пропускную способность унарной ветви ДК.

Синтез скорлупы Мандельброта позволил использовать внутриуровневую связность ДК, что привело к существенному сжатию 20%) верхней оценки. Если теперь построить прямую сумму перколяционных потоков на ДК КС и МС в стримерном скорлупообразном представлениях, то такая суммарная размерность близка к 3. Это означает, что планарные ДК КС и МС по своим топологическим, координационным свойствам протекания являются сверхперколирующей структурой.

IV. Результатом Главы V является диагностика сценария перемежаемости сеточных структур КС и МС, исходя из древесно-графового и потокового пр едстав лений.

А) Корреляционные поля по дважды средним значениям статистик подчинения и командования для ДК КС и МС указывают на существование некоторого закона сохранения, инварианта аддитивного типа. Из этого обстоятельства можно сделать вывод, что, если увеличивать поток координации подчинения, то автоматически синхронно должен уменьшаться поток координаций командования. Очевидно, что такая процедура должна быть транс ляционно-инвариантной на сетке, вообще говоря, с квазислучайным периодом. Статистики 7г и ае относятся к классу экспоненциально-степенных, что позволило дать оценку одного из параметров через понятие эффективной температуры. Оказалось, что поток координаций подчинения более нагрет, тогда как обратный поток является более холодным. С нашей точки зрения это есть "плата" за отражение от бесконечного горизонта (аналог II начала термодинамики).

Б) Привлекая метод символьной динамики к скорлупе Мандельброта, была решена задача эффективного кодирования скорлупы Мандельброта как фраз некоторого языка. При нахождении эффективного кода использовалась методика кодовых деревьев Хаффмена, а затем корреляционной методикой исследовалась статистика скважностей наиболее вероятных букв. Для нашего семибуквенного алфавита была установлена парциальная тангенциальная периодичность, которая наиболее ярко выделяется на высоковероятных буквах и составляет: для букв а,б ~ 3, для буквы в ~ 7, для букв г-д ~ 11. Средний полупериод корреляционных функций 7Г!/2(а V б) около 5. В) Материал и результаты статистики корреляционного анализа ППГС сеточных мезоструктур КС и МС позволяет идентифицировать следующий тип сценария перемежаемости.

1) Автокорреляционные функции ППГС; спектр нулей корреляционных функций после применения ПАГФ выделили две квазипериодические компоненты, отличающиеся пространственными масштабами (КВ, ДВ).

2) Огибающие спектра нулей корреляционной функции КВ и ДВ компонент аппроксимируются одним экспоненциальным классом. Данное обстоятельство указывает, что мы имеем дело с двумя стационарными квазистохастическими состояниями одной и той же статистической природы.

3) Можно высказать гипотезу, что эти два квазистохастических стационарных состояния являются листами, компонентами стационарности некоторого аттрактивного образования. Тогда это триггерного типа аттракторы с двумя стационарными стохастическими авторежимами.

4) По терминологии Верже и др. [17] мы имеем дело с перемежаемостью III типа. По нашему мнению, переходы между листами аттрактора осуществляются строго квазидетерминированно посредством знаковых функций переключения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Писаренко, Татьяна Анатольевна, 2000 год

1. Айзерман M.А., Гусев JÏ.A., Петров C.B. и др. Динамический подход к анализу структур, описываемых графами (Основы гра-фодинамики) //Исследования по теории структур. Сб. науч. тр. ИПУ АН СССР. М., 1988. С.5

2. Александров К.С., Игнатченко В.А. Аморфные магнетики // Вестник АН СССР. 1983. №7. С.56-63.

3. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности.М.:Наука,Гл.ред.физ-мат.лит.,1973.576с.

4. Аморфные металлические сплавы. М.: Наука, 1984. 158с.

5. Аморфные металлические сплавы. Под.ред.Люборского Ф.Е. М.:Металлургия, 1987. 583 с.

6. Андреев Н.С.,Мазурин О.В.,Порай -Кошиц Е.А.,Роскова Г.П., Филипович В.Н. Явления ликвации в стеклах. JL: Наука, 1974.

7. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312с.

8. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, Гл.ред. физ-мат. лит., 1992. 640 с.

9. Бакай A.C. Поликристаллические аморфные тела. М.: Энерго-атомиздат, 1987. 192с,2 349

10. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.:Мир, 1978. Т.1. 408 с. Т.2. 400 с.

11. Бартенев Г.М., Сандитов Д.С. Релаксационные процессы в стеклообразных системах. Новосибирск: Наука, 1986. 238с.

12. Безрядин С.Н.,Егорова В.Л.,Пискунов Д.И. Электронно-микроскопический метод исследования поверхностного рельефа на атомном уровне // Поверхность. Физика, химия, механика. 1985. №2. С.85 93.

13. Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической физике. М.: Мир, 1985. 488с.

14. Белащенко Д.К. Топологические аспекты структуры аморфных веществ // Аморфные (стеклообразные) металлические материалы /РАН Ин-т металлургии. М., 1992. С.42-47.

15. Бенгус A.A. Связь физических свойств металлических стекол с их структурой // VIII Всесоюзное совещание по стеклообразному состоянию. Ленинград, 1986. С. 7 8.

16. Берж К. Теория графов и ее применение. М.: ИЛ, 1962. 310с.

17. Берже П.,Помо И.,Видаля К. Поток в хаосе.М.:Мир, 1991.368с.

18. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. 240с.

19. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.:Мир, 1974. Вып.1. 406 е.; Вып.2. 197 с.

20. Большаков И.А., Ракошиц B.C. Прикладная теория случайных потоков. М.:Сов.радио, 1978. 488с.

21. Большаков А.И. Статистические проблемы выделения потока сигналов из шума. М.:Сов.радио. 1969. 464 с.22 2324