Фотонные топологические состояния в цепочках кубитов-трансмонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Степаненко Андрей Александрович

• Степаненко Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Степаненко Андрей Александрович

Оглавление

Стр.

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Топологические двухфотонные состояния,

индуцированные взаимодействиями

1.1 Связанные состояния в модели Бозе-Хаббарда

1.2 Топологический порядок в модели Бозе-Хаббарда с чередующимися связями

1.2.1 Один фотон в модели Су-Шриффера-Хигера

1.2.2 Взаимодействующие фотоны

1.3 Прямое двухфотонное туннелирование

1.3.1 Топологический переход

1.3.2 Влияние края системы на спектральную позицию

краевых состояний

1.4 Туннелирование, зависящее от числа фотонов

1.4.1 Модель

1.4.2 Дублонные топологические состояния

1.4.3 Топологический порядок

1.4.4 Реализация туннелирования, зависящего от числа возбуждений

1.5 Топологический переход, управляемый изменением квантовой статистики

1.5.1 Энионы и модель Хаббарда

1.5.2 Двухчастичные топологические состояния

1.5.3 Трехчастичные топологические состояния

1.6 Выводы

1.7 Положение

1.8 Положение

Глава 2. Извлечение свойств систем из временной динамики

Стр.

2.1 Спектр и собственные моды

2.2 Топологический инвариант

2.2.1 Однофотонный случай

2.2.2 Двухфотонный случай

2.3 Выводы

2.4 Положение

Глава 3. Топологические двухфотонные состояния высокого

порядка в модели кагоме

3.1 Квантовая электрическая сеть с гамильтонианом Бозе-Хаббарда

3.2 Топологический переход в модели кагоме

3.3 Топологический инвариант

3.4 Влияние беспорядка на двухфотонные краевые и угловые состояния

3.4.1 Беспорядок в модели сильной связи

3.4.2 Беспорядок в модели сети сверхпроводящих кубитов

3.5 Выводы

3.6 Положение

Заключение

Список литературы

Благодарности

Приложение А. Основные публикации автора по теме

диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фотонные топологические состояния в цепочках кубитов-трансмонов»

Реферат

Общая характеристика диссертации

Актуальность. Значительные успехи в развитии квантовых технологий открыли возможности для экспериментальной демонстрации квантового ускорения: превосходства квантовых процессоров в скорости решения ряда задач по сравнению с классическими вычислительными машинами [1 3]. Например, была продемонстрирована реализация работы неуниверсалыюго квантового процессора, решающего задачу бозонного сэмплинга (boson sampling) [4]. Изначально задача была сформулирована для линейного интерферометра и заключается в поиске выходного распределения фотонов. Спустя несколько лет был представлен детальный алгоритм реализации бозонного сэмплинга в сетях сверхпроводящих кубитов [5]. При этом параллельно экспериментальной демо-страции были предложены другие задачи, которые можно решить, используя бозонный сэмплинг. Например, в работе [6] обсуждается способ вычисления вибрационных спектров молекул. Также был предложен метод расчета молекулярных соединений (molecular doting) [7]. Кроме того, явная связь данного алгоритма с теорией графов позволяет эффективно вычислять перманент матрицы, что может применяться для вычисления полных паросочетаний (perfect matchings) [8].

В квантовых процессорах информация хранится и обрабатывается в ку-битах. В то время, как для построения универсальных квантовых компьютеров обычно ограничиваются рассмотрением двухуровневой системы, существует множество технологических платформ с различными физическими реализациями кубитов (многоуровневых систем), обладающими своими преимуществами и недостатками. Сверхпроводящие кубиты типа трансмон [9] и составленные из них квантовые электрические сети выглядят многообещающе, поскольку обладают большой величиной ангармонизма, позволяющей пренебрегать возбуждением верхних уровней, и позволяют проводить неразрушающие измерения [10] квантовых состояний, а также обладают большими временами дефазировки и декогеренции [11]. Хотя достигнутые результаты уже позволяют демонстрировать квантовое ускорение, для реализации практически применимых квантовых вычислительных машин необходимы более стабильные

квантовые устройства, в том числе устойчивые к шуму и реализующие исправление ошибок.

Одним из возможных путей дальнейшего развития является использование топологически защищенных фотонных состояний для повышения устойчивости квантовых корреляций [12]. В то время, как перспективная концепция топологических квантовых вычислений столкнулась со сложностью экспериментальной реализации мод Майорана [13; 14], топологические фотонные состояния представляют перспективный альтернативный подход.

Здесь важно отметить, что, хотя фотонные топологические состояния классического света хорошо изучены [15], работы, обсуждающие детали топологической защиты квантовых состояний, только стали появляться. Например, в работах [16 18] обсуждается экспериментальная реализация квантовых фаз сильновзаимодействующих фотонов в массивах сверхпроводящих кубитов. Кроме того, была показана топологическая защита квантовых корреляций бифотонных состояний [19] и запутанных фотонов при спонтанном параметрическом четырех-волновом смешивании [20] и спонтанном параметрическом рассеянии [21]. При этом многочастичные фотонные топологические состояния на сегодняшний день практически неисследованы.

Цель исследования. Исследование топологических состояний пар фотонов в массивах нелинейных резонаторов с эффективным фотон-фотонным взаимодействием на основе системы туннельно-связанных сверхпроводящих кубитов.

Научные задачи.

1. Исследование в одномерной квантовой системе топологического перехода, индуцированного взаимодействиями;

2. Изучение возможности реализации различных типов многофотонных взаимодействий в массивах сверхпроводящих ку битов;

3. Извлечение двухфотонного спектра, собственных мод и топологического инварианта квантовой системы из ее временной динамики;

4. Моделирование квантовой системы с учетом реальных свойств и параметров ку битов-трансмонов;

5. Исследование индуцированных взаимодействием топологических многофотонных состояний высокого порядка в двумерных системах с решеткой кагоме.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в ходе исследования использовались аналитические методы и модельные системы, включая:

1. Одномерные системы в двухфотонном режиме сводились к эффективной модели Су-Шриффера-Хигера, что позволило проводить оценку топологического порядка на основе анализа амплитуд эффективных связей.

2. Описание массивов нелинейных резонаторов и сверхпроводящих куби-тов строилось на основе модели Бозе-Хаббарда. При этом вводились расширения модели, позволяющие изменить топологический порядок дублонных состояний.

3. Для удобства вычислений и визуализации двухфотонная одномерная задача может быть сведена к одночастичной двумерной задаче с моделью сильной связи.

4. Для вычисления величины эффективных связей была использована теория возмущений. Кроме того, теория возмущений применялась при разработке связи, амплитуда которой зависит от количества возмущений.

5. Для точного определения топологического инварианта системы был использован метод расчета фазы Зака. А именно, был проведен расчет двухчастичного топологического инварианта для систем прямым двух-фотонным туннелированием и туннелированием, зависящим от числа возбуждений.

6. Для исследования влияния процессов релаксации на квантовые блуждания при извлечении топологического инварианта использовался метод матрицы плотности.

7. Топологическая фаза двумерного массива кубитов с решеткой каго-ме определялась посредством вычисления топологического инварианта (объемной поляризации), вычисляемого на основе симметрии собственных двухфотонных мод в высокосимметричных точках зоны Бриллюэна.

8. Для валидации аналитических результатов использовалось численное моделирование в программных пакетах Wolfram Mathematica, Matlab и программах, написанных автором на Python.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Введение нелинейных взаимодействий, включающих прямое двух-фотонное туннелирование или туннелирование, зависящее от числа частиц, в модель, описывающую одномерный массив нелинейных резонаторов, позволяет управлять топологической фазой двухфотонных состояний, не изменяя топологический порядок однофотонных мод.

2. Добавление вспомогательного резонатора между двумя кубитами позволяет сформировать искусственную связь с амплитудой, зависящей от числа возбуждений в кубитах, при условии, что отстройка частоты резонатора от частот кубитов превышает ангармонизм кубитов и их связи с резонатором по крайней мере в 2 раза.

3. Топологический инвариант двухфотонных состояний определяется средним значением от оператора хирального смещения. При этом приготовление начального состояния при определении математического ожидания такого оператора позволяет измерять топологическую фазу для различных типов двухфотонных состояний.

4. В массиве кубитов, образующих решетку кагоме, возникает индуцированная взаимодействиями двухфотонная топологическая фаза при условии, что часть связей содержит переходы Джозефсона, т.е. является нелинейными. Эта топологическая фаза проявляется в краевых и угловых состояниях высокого порядка.

Научная новизна. Впервые продемонстрировано изменение топологической фазы системы в двухфотонном режиме из-за изменения амплитуды туннели-рования, зависящей от количества фотонов, в одномерной цепочке связанных кубитов, описываемых расширенной моделью Бохе-Хаббарда. Предложен метод прямого измерения топологического инварианта двухфотонных зон из измерения квантовых блужданий пары фотонов в одномерном массиве сверхпроводящих кубитов, описываемых моделью Бозе-Хаббарда. Сформулирован способ применения предложенного метода извлечения топологического инварианта для определения топологического порядка разных типов двухфотонных состояний. Предсказана индуцированная взаимодействиями топологическая фаза высокого порядка связанных фотонов в двумерном массиве сверхпроводящих кубитов типа трансмон с геометрией решетки кагоме. Показана устойчивость топологических угловых состояний связанных пар, проявляющаяся в неизмен-

и

ности энергии состояния при наличии беспорядка в линейные соединяющие элементы.

Теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, важны с фундаментальной точки зрения для понимания особенностей топологической защиты квантовых многофотонных состояний в массивах сверхпроводящих кубитов и для описания новых эффектов, возникающих из-за топологической зонной структуры квантовых материалов.

Практическая значимость. Практическая значимость работы определяется возможностью использования состояний с топологической защитой в реализации квантовых вычислений и квантового моделирования (quantum simulation).

Достоверность. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением теоретических предсказаний с результатами численного моделирования и с экспериментальными данными для массивов сверхпроводящих кубитов, доступными в литературе.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на 11 всероссийских и международных конференциях и школах:

1. Winter school on photonics (Санкт-Петербург, Россия, 2022),

2. 16th International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena "Metamaterials 2022" (Сиена, Италия, 2022),

3. XI Конгресс молодых ученых (КМУ) (Санкт-Петербург, Россия, 2022),

4. Topological Matter School, Topological phenomena in twisted systems, HOTIs and fragile phases (онлайн, 2021),

5. 15th International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena "Metamaterials 2021" (онлайн, 2021),

6. METANANO 2021: VI International Conference on Metamaterials and Nanophotonics (онлайн, 2021),

7. Photonics Online Meet-up (POM) (онлайн, 2021),

8. METANANO 2020: V International Conference on Metamaterials and Nanophotonics (онлайн, 2020),

9. METANANO 2019: IV International Conference on Metamaterials and Nanophotonics (Санкт-Петербург, Россия, 2019),

10. Summer school on topological photonics (Санкт-Петербург, Россия, 2019),

11. Международная зимняя школа по физике полупроводников (Зелено-горек, Россия, 2019),

и на теоретических семинарах в Padova University (Падуя, Италия, 2022) и Harbin Engineering University (онлайн, 2023)

Личный вклад автора. Результаты, представленные в диссертации, получены лично автором, или с определяющим вкладом автора, в том числе: построение аналитических моделей для массивов нелинейных резонаторов и сверхпроводящих кубитов, разработка метода прямого извлечения двухфотон-ного топологического инварианта, модель, реализующая эффективную связь кубитов, зависящую от числа возбуждений, аналитические и численные расчеты величины связи в системе кубит-резонатор-кубит, построение численных моделей, в том числе для моделирования временной динамики двухфотонных квантовых блужданий на основе метода матрицы плотности, вычисление двумерного топологического инварианта (объемной поляризации) для сети кубитов с решеткой кагоме в случае двух возбуждений, анализ топологической защиты угловых двухфотонных состояний в модели двумерной сети сверхпроводящих кубитов. Также значительным был вклад автора в формулировку поставленных целей и задач, и выражался в активном участии, анализе литературы и задач, и выборе методов вычислений.

В основу диссертации входят 10 работ. При определяющем участии автора были подготовлены тексты рукописей семи работ с его первым соавторством, также автор принимал участие в подготовке всех материалов трех других работ. Выносимые на защиту научные положения отражают личный вклад соискателя.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 175 страниц, включая 29 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 133 наименования.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Степаненко Андрей Александрович

Заключение

В рамках данной работы были исследованы аспекты возникновения, управления и измерения двухфотонных топологических фаз в системах, описываемых расширенной моделью Бозе-Хаббарда в том числе массивы сверхпроводящих кубитов. Далее приводятся основные результаты:

1. Расширение модели Бозе-Хаббарда нелинейными взаимодействиями типа прямого двухфотонного туннелирования или туннелирования, зависящего от числа частиц, позволяет сформировать зоны связанных в пару фотонов с нетривиальной топологической фазой. Такой подход создает дополнительную степень свободы для независимого управления топологическим порядком дублонов, не затрагивая топологию однофотонных зон. Получены условия топологических переходов в двухфотонном режиме для модели с прямым двухфотонным тун-нелированием и туннелированием, зависящим от числа фотонов, что позволило построить топологические фазовые диаграммы, на которых показаны области параметров с двухфотонной нетривиальной топологической фазой. Комбинируя полученные результаты с известными условиями топологического перехода в однофотонном случае было показано, что формирование дублонного состояния может приводить к появлению краевых состояний или смене края локализации фотонного состояния.

2. Система из двух кубитов, соединенных с линейным резонатором отличающейся частоты, проявляет эффективное взаимодействие с амплитудой, зависящей от числа возбуждений. Амплитуда эффективной связи зависит от разницы частот резонатора и кубитов, а также величины ангармонизма кубитов. Используя подобную эффективную реализацию нелинейного взаимодействия, можно построить систему, поддерживающую дублонную топологическую фазу. Наблюдается изменение края локализации топологического краевого состояния, происходящее из-за введения второго фотона и формирования дублонов с отличающейся топологической фазой.

3. Квантовые блуждания двухфотонного состояния в одномерных системах, описываемых моделью Бозе-Хаббарда, могут быть использованы

для прямого измерения топологического инварианта различных типов двухфотонных состояний, включая связанные в пару фотоны, гибридные состояния, сформированные объемным и топологическим краевым состоянием, и квази-независимые состояния двух фотонов. Математическое ожидание оператора хирального смещения наблюдаемой величины имеет однозначную взаимосвязь с фазой Зака. Временная динамика квантовых блужданий зависит от выбора начального состояния, что позволяет определять топологический порядок различных типов двухфотонных состояний и измерять одночастичный топологический порядок.

4. Сверхпроводящий кубит-трансмон, состоящий из перехода Джозеф-сона и конденсатора, описываемый гамильтонианом Бозе-Хаббарда, может формировать системы с топологическим порядком. Массив таких кубитов, соединенных индуктивностями и переходами Джозефсона в решетку кагоме, поддерживает индуцированные взаимодействиями топологические состояния, в том числе краевые и угловые дублон-ные состояния высокого порядка. Показана топологическая защита двухфотонных угловых состояний, проявляющаяся в устойчивости спектральных позиций этих состояний к беспорядку, введенному в связи. При этом, в то время как наблюдается высокая устойчивость к введению беспорядка в параметры модели Бозе-Хаббарда, беспорядок в величинах элементов электрической сети (индуктивностях и переходах Джозефсона) оказывает заметное влияние на изменение спектральной позиции топологического углового состояния.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степаненко Андрей Александрович, 2023 год

Список литературы

1. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor / F. Arute |n ;ip.| // Nature. 2019. T. 574. C. 505-510.

2. Strong quantum computational advantage using a superconducting quantum processor / Y. Wu |n ;ip.| // arXiv: 2106.14734. 2021.

3. Quantum advantage in learning from experiments / H.-Y. Huang [h ,np.] // Science. 2022. T. 376, № 6598. C. 1182-1186.

4. Aaronson S., Arkhipov A. The Computational Complexity of Linear Optics // Theory of Computing. 2013. T. 9, № 1. C. 143-252.

5. Proposal for Microwave Boson Sampling / B. Peropadre [h ,np.] // Phys. Rev. Lett. 2016. T. 117. C. 140505.

6. Boson sampling for molecular vibronic spectra / J. Huh [h ,np.] // Nature Photonics. 2015. T. 9, № 9. C. 615-620.

7. Molecular docking with Gaussian Boson Sampling / L. Banchi [h ,np.] // Science Advances. 2020. T. 6, № 23. eaaxl950.

8. Gaussian boson sampling for perfect matchings of arbitrary graphs / K. Bradler [h ^p.] // Physical Review A. 2018. T. 98, № 3. C. 032310.

9. Charge-insensitive qubit design derived from the Cooper pair box / J. Koch |n ;ip.| // Phys. Rev. A. 2007. T. 76, m>m. 4. C. 042319.

10. Braginsky V. B., Vorontsov Y. /., Thome K. S. Quantum nondemolition measurements // Science. 1980. T. 209, № 4456. C. 547-557.

11. Superconducting qubits: Current state of play / M. Kjaergaard [h ,np.] // Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 2020. T. 11, № 1. C. 369-395.

12. Quantum topological photonics / Q. Yan [h ,np.] // Adv. Opt. Mater. 2021. T. 9, № 15. C. 2001739.

13. Pan H., Das Sarma S. Physical mechanisms for zero-bias conductance peaks in Majorana nanowires // Phys. Rev. Res. 2020. T. 2, Bbin. 1. C. 013377.

14. Das Sarma S. In search of majorana // Nat. Phys. 2023.

15. Topological photonics / T. Ozawa [h ,np.] // Rev. Mod. Phys. 2019. T. 91, № 1. C. 015006.

16. Spectroscopic signatures of localization with interacting photons in superconducting qubits / P. Roushan [h ,np.] // Science. 2017. T. 358, № 6367. C. 1175—1179.

17. Chiral ground-state currents of interacting photons in a synthetic magnetic field / P. Roushan [h pp.] // Nat. Phys. 2017. T. 13, № 2. C. 146 151.

18. Observation of Topological Magnon Insulator States in a Superconducting Circuit / W. Cai [h pp.] // Phys. Rev. Lett. 2019. T. 123, bmh. 8. C. 080501.

19. Topological protection of biphoton states / A. Blanco-Redondo [h ,np.] // Science. 2018. T. 362, № 6414. C. 568-571.

20. Mittal S., Goldschmidt E. A., Hafezi M. A topological source of quantum light // Nature. 2018. T. 561, № 7724. C. 502 506.

21. Topological protection of two-photon quantum correlation on a photonic chip / Y. Wang [h pp.] // Optica. 2019. T. 6, № 8. C. 955.

22. Berry M. V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes // Proc. R. Soc. Lond. 1984. T. 392, № 1802. C. 45-57.

23. Klitzing K. v., Dorda G., Pepper M. New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance // Phys. Rev. Lett. 1980. T. 45, m>m. 6. C. 494 497.

24. Kohmoto M. Topological invariant and the quantization of the Hall conductance // Ann. Phys. (N. Y.) 1985. T. 160, № 2. C. 343 354.

25. Kane C. L., Mele E. J. Quantum Spin Hall Effect in Graphene // Phys. Rev. Lett. 2005. T. 95, bmh. 22. C. 226801.

26. Bernevig B. A., Hughes T. L., Zhang S.-C. Quantum spin Hall effect and topological phase transition in HgTe quantum wells // Science. 2006. T. 314, № 5806. C. 1757-1761.

27. Hasan M. Z., Kane C. L. Colloquium: Topological insulators // Rev. Mod. Phys. 2010. T. 82, Bbin. 4. C. 3045-3067.

28. Kane C. L., Lubensky T. C. Topological boundary modes in isostatic lattices // Nat. Phys. 2014. T. 10, № 1. C. 39-45.

29. Huber S. D. Topological mechanics // Nat. Phys. 2016. T. 12, № 7. C. 621623.

30. Observation of unidirectional backscattering-immune topological electromagnetic states / Z. Wang |n ;ip.| // Nature. 2009. T. 461, № 7265. C. 772-775.

31. Lu L., Joannopoulos J. D.7 Soljacic M. Topological photonics // Nat. Photonics. 2014. T. 8, № 11. C. 821-829.

32. Khanikaev A. B., Shvets G. Two-dimensional topological photonics // Nat. Photonics. 2017. T. 11, № 12. C. 763-773.

33. Topological Acoustics / Z. Yang [h ,np.] // Phys. Rev. Lett. 2015. T. 114, Bbin. 11. C. 114301.

34. Direct measurement of the Zak phase in topological Bloch bands / M. Atala |n ;ip.| // Nat. Phys. 2013. T. 9, № 12. C. 795-800.

35. Measuring the Chern number of Hofstadter bands with ultracold bosonic atoms / M. Aidelsburger [h ^p.] // Nat. Phys. 2015. T. 11, № 2. C. 162— 166.

36. Cooper N. R., Dalibard J., Spielman I. B. Topological bands for ultracold atoms 11 Rev. Mod. Phys. 2019. T. 91, bmh. 1. C. 015005.

37. Josephs on B. D. Possible new effects in superconductive tunnelling / / Phys. Lett. 1962. T. 1, № 7. C. 251-253.

38. Photonic materials in circuit quantum electrodynamics / I. Carusotto [h ;ip.| // Nature Physics. 2020. T. 16, № 3. C. 268-279.

39. Gersch H. A., Knollman G. C. Quantum Cell Model for Bosons // Phys. Rev. 1963. T. 129, bmh. 2. C. 959-967.

40. Valiente M.. Petrosyan D. Scattering resonances and two-particle bound states of the extended Hubbard model //J. Phys. B. 2009. T. 42, № 12. C. 121001.

41. Menotti C., Minganti F., Recati A. Momentum-dependent pseudospin dimers of coherently coupled bosons in optical lattices // Phys. Rev. A. 2016. T. 93. C. 033602.

42. Bello M.. Creffield C. E., Platero G. Sublattice dynamics and quantum state transfer of doublons in two-dimensional lattices // Phys. Rev. B. 2017. T. 95. C. 094303.

43. Wang Y.-M.. Liang J.-Q. Repulsive bound-atom pairs in an optical lattice with two-body interaction of nearest neighbors // Phys. Rev. A. 2010. T. 81, вып. 4. С. 045601.

44. Pinto R. A., Nguenang J. P., Flach S. Boundary effects on quantum q-breathers in a Bose-Hubbard chain // Physica D. 2009. T. 238. C. 581.

45. Pinto R. A., Haque M.. Flach S. Edge-localized states in quantum one-dimensional lattices // Phys. Rev. A. 2009. T. 79. C. 052118.

46. Zhang J. M.. Braak D., Kollar M. Bound States in the Continuum Realized in the One-Dimensional Two-Particle Hubbard Model with an Impurity // Phys. Rev. Lett. 2012. T. 109, вып. И. С. 116405.

47. Zhang J. M.. Braak D., Kollar M. Bound states in the one-dimensional two-particle Hubbard model with an impurity // Phys. Rev. A. 2013. T. 87. C. 023613.

48. Longhi S., Valle G. D. Tamm-Hubbard surface states in the continuum //J. Phys. Condens. Matter. 2013. T. 25. C. 235601.

49. Topological two-body bound states in the interacting Haldane model / G. Salerno [и др.] // Phys. Rev. A. 2018. T. 97, вып. 1. С. 013637.

50. Interaction-induced lattices for bound states: Designing flat bands, quantized pumps, and higher-order topological insulators for doublons / G. Salerno [и др.] // Phys. Rev. Res. 2020. T. 2, вып. 1. С. 013348.

51. Topological Pumping of Photons in Nonlinear Resonator Arrays / J. Tangpanitanon [и др.] // Phys. Rev. Lett. 2016. T. 117, № 21. C. 213603.

52. Multiparticle Wannier states and Thouless pumping of interacting bosons / Y. Ke [и др.] // Phys. Rev. A. 2017. T. 95. C. 063630.

53. Lyubarov M.. Poddubny A. Exceptional points for photon pairs bound by nonlinear dissipation in cavity arrays // Opt. Lett. 2018. T. 43, № 24. C. 5917— 5920.

54. Two-body physics in the Su-Schrieffer-Heeger model / M. Di Liberto [и др.] // Phys. Rev. A. 2016. T. 94, вып. 6. С. 062704.

55. Gorlach M. A., Poddubny A. N. Topological edge states of bound photon pairs // Phys. Rev. A. 2017. T. 95, вып. 5. С. 053866.

56. Blanco-Redondo A. Topological Nanophotonics: Toward Robust Quantum Circuits // Proc. IEEE. 2020. T. 108, № 5. C. 837-849.

57. Topological excitations and bound photon pairs in a superconducting quantum metamaterial / I. S. Besedin [h ,np.] // Phys. Rev. B. 2021. T. 103, № 22. C. 224520.

58. Dauphin A., Goldman N. Extracting the Chern Number from the Dynamics of a Fermi Gas: Implementing a Quantum Hall Bar for Cold Atoms // Physical Review Letters. 2013. T. Ill, № 13. C. 135302.

59. Measuring the Chern number of Hofstadter bands with ultracold bosonic atoms / M. Aidelsburger [h ^p.] // Nature Physics. 2014. T. 11, № 2. C. 162— 166.

60. Detection of Zak phases and topological invariants in a chiral quantum walk of twisted photons / F. Cardano [h ,np.] // Nature Communications. 2017. T. 8, № 1. C. 15516.

61. Longhi S. Probing one-dimensional topological phases in waveguide lattices with broken chiral symmetry //Opt. Lett. 2018. T. 43, № 19. C. 4639.

62. Longhi S. Probing topological phases in waveguide superlattices // Opt. Lett. 2019. T. 44, № 10. C. 2530.

63. Topological characterization of chiral models through their long time dynamics / M. Maffei [h pp.] // New J. Phys. 2018. T. 20, № 1. C. 013023.

64. Direct Probe of Topological Invariants Using Bloch Oscillating Quantum Walks / V. V. Ramasesh [h ,np.] // Phys. Rev. Lett. 2017. T. 118, Bbin. 13. C. 130501.

65. Observing Topological Invariants Using Quantum Walks in Superconducting Circuits / E. Flurin [h pp.] // Phys. Rev. X. 2017. T. 7, Bbin. 3. C. 031023.

66. Topology-dependent quantum dynamics and entanglement-dependent topological pumping in superconducting qubit chains / F. Mei [h ,np.] // Phys. Rev. A. 2018. T. 98, Bbin. 3. C. 032323.

67. Mattis D. C. The few-body problem on a lattice // Rev. Mod. Phys. 1986. T. 58, Bbin. 2. C. 361-379.

68. Repulsively bound atom pairs in an optical lattice / K. Winkler [h ,np.] // Nature. 2006. T. 441, № 7095. C. 853-856.

69. Su W. P., Schrieffer J. R., Heeger A. J. Solitons in Polyacetylene // Phys. Rev. Lett. 1979. T. 42, Bbin. 25. C. 1698-1701.

70. Solitons in conducting polymers / A. J. Heeger [h ^p.] // Rev. Mod. Phys. 1988. T. 60, Bbin. 3. C. 781-850.

71. Observation of optical Shockley-like surface states in photonic superlattices / N. Malkova [h pp.] // Opt. Lett. 2009. T. 34, № 11. C. 1633-1635.

72. Schomerus H. Topologically protected midgap states in complex photonic lattices // Opt. Lett. 2013. T. 38, № 11. C. 1912-1914.

73. Subwavelength Topological Edge States in Optically Resonant Dielectric Structures / A. P. Slobozhanyuk [h ,np.] // Phys. Rev. Lett. 2015. T. 114, Bbin. 12. C. 123901.

74. Selective enhancement of topologically induced interface states in a dielectric resonator chain / C. Poli [h ,np.] // Nat. Commun. 2015. T. 6, № 1. C. 6710.

75. Topological Optical Waveguiding in Silicon and the Transition between Topological and Trivial Defect States / A. Blanco-Redondo [h ,np.] // Phys. Rev. Lett. 2016. T. 116, Bbin. 16. C. 163901.

76. Enhanced photonic spin Hall effect with subwavelength topological edge states / A. P. Slobozhanyuk [h ,np.] // Laser Photon. Rev. 2016. T. 10, № 4. C. 656-664.

77. Edge states and topological phase transitions in chains of dielectric nanoparticles / S. Kruk [h pp.] // Small. 2017. T. 13, № 11. C. 1603190.

78. Topological majorana states in zigzag chains of plasmonic nanoparticles / A. Poddubny [h pp.] // ACS Photonics. 2014. T. 1, № 2. C. 101-105.

79. Topological edge plasmon modes between diatomic chains of plasmonic nanoparticles / C. W. Ling [h AP-] // Opt. Express. 2015. T. 23, № 3. C. 20212031.

80. Topologically protected interface mode in plasmonic waveguide arrays / Q. Cheng [h pp.] // Laser Photon. Rev. 2015. T. 9, № 4. C. 392-398.

81. Mapping plasmonic topological states at the nanoscale / I. S. Sinev [h ,np.] // Nanoscale. 2015. T. 7, № 28. C. 11904-11908.

82. Lasing in topological edge states of a one-dimensional lattice / P. St-Jean [h pp.] // Nat. Photonics. 2017. T. 11, № 10. C. 651-656.

83. Stepanenko A. A., Gorlach M. A. Probing the topology of the two-photon bands via time-dependent quantum walks // Opt. Lett. 2021. T. 46, № 11. C. 2726-2729.

84. Stepanenko A. A., Lyubarov M. D., Gorlach M. A. Higher-Order Topological Phase of Interacting Photon Pairs // Phys. Rev. Lett. 2022. T. 128, Bbin. 21. C. 213903.

85. Benalcazar W. A., Bernevig B. A., Hughes T. L. Quantized electric multipole insulators // Science. 2017. T. 357, № 6346. C. 61-66.

86. A topological quantum optics interface / S. Barik [h ^p.] // Science. 2018. T. 359, № 6376. C. 666-668.

87. Quantum interference of topological states of light / J.-L. Tambasco [h ^p.] // Sci. Adv. 2018. T. 4, № 9. eaat3187.

88. Topological protection of photonic path entanglement / M. C. Rechtsman [h AP-] // Optica. 2016. T. 3, № 9. C. 925-930.

89. Mittal S., Orre V. V., Hafezi M. Topologically robust transport of entangled photons in a 2D photonic system // Optics Express. 2016. T. 24, № 14. C. 15631-15641.

90. Observation of topological transitions in interacting quantum circuits / P. Roushan |n ;ip.| // Nature. 2014. T. 515, № 7526. C. 241-244.

91. Quantum Electrodynamics in a Topological Waveguide / E. Kim [h ^p.] // Phys. Rev. X. 2021. T. 11, № 1. C. 011015.

92. Wendin G S. V. In Handbook of Theoretical and Computational Nanotechnology, Quantum and Molecular Computing, and Quantum Simulations. T. 3. Los Angeles: Am. Sci. Publ., 2006. C. 223-309.

93. SM G. In Quantum Machines: Measurement and Control of Engineered Quantum Systems, Proceedings of the 2011 Les Houches Summer School on Quantum Machines. Oxford, UK: Oxford Univ. Press, 2014. C. 113—256.

94. A quantum engineer's guide to superconducting qubits / P. Krantz [h ^p.] // Appl. Phys. Rev. 2019. T. 6, № 2.

95. Oliver W. D.7 Welander P. B. Materials in superconducting quantum bits // MRS Bull. 2013. T. 38, № 10. C. 816-825.

96. Introduction to the Bethe ansatz I / M. Karabach [m /j,p.] // Comput. Phys. 1997. T. 11, № 1. C. 36.

97. Stepanenko A. A., Gorlach M. A. Interaction-induced topological states of photon pairs // Phys. Rev. A. 2020. T. 102, Bbin. 1. C. 013510.

98. Zak J. Berry's phase for energy bands in solids j j Phys. Rev. Lett. 1989. T. 62, BI>III. 23. C. 2747 2750.

99. Jackiw R., Rebbi C. Solitons with fermion number \ j j Phys. Rev. D. 1976. T. 13, Bbin. 12. C. 3398 3409.

100. Hughes T. L., Prodan E., Bernevig B. A. Inversion-symmetric topological insulators // Phys. Rev. B. 2011. T. 83, № 24. C. 245132.

101. Stepanenko A. A., Lyubarov M. D.. Gorlach M. A. Topological States in Qubit Arrays Induced by Density-Dependent Coupling j j Phys. Rev. Appl. 2020. T. 14, Bbin. 6. C. 064040.

102. Superconducting qubits: Current state of play / M. Kjaergaard [m ;ip.] // Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 2020. T. 11, № 1. C. 369 395.

103. Photon Solid Phases in Driven Arrays of Nonlinearly Coupled Cavities / J. Jin [m aP.] // Phys. Rev. Lett. 2013. T. 110, Bbin. 16. C. 163605.

104. Tuneable hopping and nonlinear cross-Kerr interactions in a high-coherence superconducting circuit / M. Kounalakis [m ;ip.] // Npj Quantum Inf. 2018. T. 4, № 1.

105. Observation of the Crossover from Photon Ordering to Delocalization in Tunably Coupled Resonators / M. C. Collodo [m ;ip.] // Phys. Rev. Lett. 2019. T. 122, Bbin. 18. C. 183601.

106. Bir G. L., Pikus G. E. Symmetry and strain-induced effects in semiconductors. Keter Publishing House, Jerusalem, 1974.

107. Wilczek F. Quantum Mechanics of Fractional-Spin Particles j j Physical Review Letters. 1982. T. 49, № 14. C. 957 959. URL: https : //doi . org/ 10.1103/physrevlett.49.957.

108. Leinaas J. M., Myrheim J. On the theory of identical particles j j II Nuovo Cimento B Series 11. 1977. T. 37, № 1. C. 1 23. URL: https : //doi . org/ 10.1007/bf02727953.

109. Arovas D.. Schrieffer J. B.. Wilczek F. Fractional Statistics and the Quantum Hall Effect // Physical Review Letters. 1984. T. 53, № 7. C. 722 723. URL: https : //doi . org/10 .1103/physrevlett. 53.722.

110. Halperin B. I. Statistics of Quasiparticles and the Hierarchy of Fractional Quantized Hall States // Physical Review Letters. 1984. T. 52, № 18. C. 1583 1586. URL: https : //doi . org/10.1103/physrevlett. 52 .1583.

111. Tsui D. C., Stormer H. Ln Gossard A. C. Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit // Physical Review Letters. 1982. T. 48, № 22. C. 1559 1562. URL: https : / /doi . org/10 . 1103/physrevlett.48.1559.

112. Observation of a quarter of an electron charge at the v = 5/2 quantum Hall state / M. Dolev [m /7 Nature. 2008. Anp. T. 452, № 7189. C. 829 834. URL: https : //doi . org/10 .1038/nature06855.

113. Observation of the fractional quantum Hall effect in graphene / K. I. Bolotin [m AP-] /7 Nature. 2009. Hoh6. T. 462, № 7270. C. 196 199. URL: https : //doi.org/10.1038/nature08582.

114. Topological transitions driven by quantum statistics and their electrical circuit emulation / N. A. Olekhno [m /ip.] // Phys. Rev. B. 2022. T. 105, i3L.ui. 20. C. 205113. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.105. 205113.

115. Kundu A. Exact Solution of Double 5 Function Bose Gas through an Interacting Anyon Gas // Physical Review Letters. 1999. T. 83, № 7. C. 1275 1278.

116. Batchelor M. T., Guan X. - W.. Oelkers N. One-Dimensional Interacting Anyon Gas: Low-Energy Properties and Haldane Exclusion Statistics // Physical Review Letters. 2006. T. 96, № 21. C. 210402.

117. Longhi S., Voile G. D. Anyons in one-dimensional lattices: a photonic realization // Optics Letters. 2012. T. 37, № 11. C. 2160. URL: https : //doi.org/10.1364/ol.37.002160.

118. Thouless D. J. Electrons in disordered systems and the theory of localization // Physics Reports. 1974. T. 13, № 3. C. 93 142. URL: https: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370157374900295.

119. Topological edge states of interacting photon pairs emulated in a topolectrical circuit / N. A. Olekhno [h pp.] // Nat. Commun. 2020. T. 11, № 1. C. 1436.

120. Stepanenko A. A., Lyubarov M. D., Gorlach M. A. Two-photon topological States in the array of qubits caused by the effective photon-photon interaction // AIP Conf. Proc. 2020. T. 2300, № 1.

121. Lin S., Zhang X. Zn Song Z. Sudden death of particle-pair Bloch oscillation and unidirectional propagation in a one-dimensional driven optical lattice // Physical Review A. 2014. T. 90, № 6. C. 063411.

122. Stepanenko A., Gorlach M. Detection of the two-photon topological phase in the inversion-symmetric interacting dissipative systems // 2021 Fifteenth International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena (Metamaterials). NYC, NY, USA : IEEE, 2021.

123. Song Z., Fang Z., Fang C. (d — 2)-Dimensional Edge States of Rotation Symmetry Protected Topological States // Phys. Rev. Lett. 2017. T. 119, hum. 24. C. 246402.

124. Higher-order topological insulators / F. Schindler [h ,np.] // Science Advances.

2018. T. 4, № 6. eaat0346.

125. Topological protection of photonic mid-gap defect modes / J. Noh [h ,np.] // Nat. Photonics. 2018. T. 12, № 7. C. 408-415.

126. Benalcazar W. A., Bernevig B. A., Hughes T. L. Electric multipole moments, topological multipole moment pumping, and chiral hinge states in crystalline insulators // Phys. Rev. B. 2017. T. 96, bmh. 24. C. 245115.

127. Observation of a phononic quadrupole topological insulator / M. Serra-Garcia |n ;ip.| // Nature. 2018. T. 555, № 7696. C. 342-345.

128. A quantized microwave quadrupole insulator with topologically protected corner states / C. W. Peterson [h ,np.] // Nature. 2018. T. 555, № 7696. 0. 346-350.

129. Photonic quadrupole topological phases / S. Mittal [h ,np.] // Nat. Photonics.

2019. T. 13, № 10. C. 692-696.

130. Topolectrical-circuit realization of topological corner modes / S. Imhof [h ;ip.| // Nat. Phys. 2018. T. 14, № 9. C. 925-929.

131. Yurke В., Denker J. S. Quantum network theory // Phys. Rev. A. 1984. T. 29, вып. 3. С. 1419-1437.

132. Quantum fluctuations in electrical circuits / M. H. Devoret [и др.] // Les Houches, Session LXIII. 1995. T. 7, № 8. C. 133-135.

133. Stepanenko A., Lyubarov M.. Gorlach M. Quantum circuits with topological two-photon phases induced by interactions // 2022 Sixteenth International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena (Metamaterials). Siena, Italy : IEEE, 2022.