Формы Якоби многих переменных и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Адлер Дмитрий Всеволодович

• Адлер Дмитрий Всеволодович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Адлер Дмитрий Всеволодович

1.1 Модулярные формы

1.2 Решётки корней

1.3 Формы Якоби

1.4 Модулярный дифференциальный оператор

1.5 Примеры

2 Формулировка результатов

3 Случай систем корней типа Оп

3.1 Построение формы

3.2 Построение формы

3.3 Построение формы <р_£1

3.4 Доказательство теоремы в случае решётки Оп

3.5 Башня Б2 < ... < В8

4 Случай систем корней типа

4.1 Инвариантные коэффициенты рядов Фурье

4.2 Построение образующих

4.3 Построение форм (р^12 3 и ^2

4.4 Умножение некоторых инвариантных многочленов

4.5 Построение формы <р%,2

4.6 Построение формы (р^2

4.7 Построение формы

4.8 Доказательство теоремы в случае решётки

5 Дифференциальные уравнения на формы Якоби для системы корней Оп

5.1 Уравнения на отдельные формы

5.2 Выражение уравнений в терминах оператора теплопроводности

5.3 Система на все три О(Оп)-инвариантные образующие индекса

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формы Якоби многих переменных и их приложения»

Введение

Особую роль в теории дискретных групп играют группы отражений. Наиболее простыми примерами этих групп являются конечные группы отражений или, как их ещё называют, группы Кокстера. Эти группы включают в себя как группы Вейля всех простых алгебр Ли, так и некоторые исключительные примеры. Но каждая из них может быть представлена как группа линейных отражений конечномерного вещественного аффинного пространства, фундаментальной областью в данном случае будет конус. Зачастую изучение дискретных групп неразрывно связано с теорией инвариантов - области математики, посвящённой функциям, инвариантным или почти инвариантным относительно действия соответствующих дискретных групп. В случае конечных групп отражений имеется классическая теорема Шевалле, которая показывает, что для таких групп инвариантные многочлены образуют свободную градуированную алгебру, порождённую п образующими, где п - размерность вещественного пространства, на котором действует группа.

Если мы добавим отражение относительно дополнительной гиперплоскости, то мы получим аффинные группы Вейля, а фундаментальной областью уже будет являться симплекс. В случае аффинных групп Вейля имеется аналогичный теореме Шевалле результат: алгебры инвариантов свободно порождены п образующими, но они уже являются тригонометрическими многочленами, так как дополнительно требуется инвариантность относительно сдвигов. Здесь снова п - размерность вещественного пространства, на котором действует группа.

Действие как групп Кокстера, так и аффинных групп Вейля переносится на комплексификацию вещественных пространств, на которых действовали группы. При этом фундаментальные области аффинных групп Вейля перестают быть компактными, и если мы хотим оставить условие компактности, то необходимо рассматривать уже комплексные кристаллографические группы Кокстера, а именно группы отражений комплексного пространства с компактной фундаментальной областью, такие что в некотором базисе матрицы, соответствующие элементам групп, вещественны. Эти группы были исследованы и описаны И.Н. Бернштейном и О.В. Шварцманом в [6], где было показано, что комплексные кристаллографические группы Кокстера классифицируются диаграммами Дын-кина и параметром т, принадлежащим верхней комплексной полуплоскости. Э. Лойенга заметил, что такие группы отражений согласованы с действием группы ВЬ2(Ъ), а потому можно рассмотреть их полупрямое произведение и получить группу, называемую группой Якоби.

При переходе к комплексным кристаллографическим группам Кокс-

тера, что было изучено в [6], [24], [25] и [23], теряет смысл поиск полностью инвариантных функций, так как факторпространство в таком случае - комплексный тор, на котором каждая голоморфная функция постоянна. Вместо этого нужно изучать действие комплексной кристаллографической группы на некотором подходящем расслоении и искать инвариантные сечения. В таком случае мы получим свободную алгебру, порождённую п + 1 тета-функцией.

Теория инвариантнов для форм Якоби впервые была затронута в книге М. Айхлера и Д. Загье [13], где был изучен случай решётки А1. Полный аналог теоремы Шевалле для форм Якоби был получен К. Виртмюл-лером в [32]. В его работе рассмотрены структуры алгебр слабых форм Якоби, связанных со всеми системами корней, кроме Е8. Система корней Е8 в данном контексте возникла в недавней статье Х. Ванга [31] и, как оказалось, в этом случае алгебра форм Якоби не является полиномиальной. Доказательство К. Виртмюллера не содержит прямого построения всех образующих соответствующих алгебр, однако их явный вид может быть крайне полезен в приложениях. Одним из таких приложений является построение плоских координат на подходящих фробениусовых многообразиях (см. [27], [28], [12] §4, [30], [3] и [4]). Так, например, в статьях М. Бертолы [3] и [4] были независимо разобраны случаи систем корней Ап, Вп и С2, а И. Сатаке в [30] был рассмотрен случай системы корней Еб.

На данный момент открытыми случаями оставались системы корней Сп, Оп и ^4, которым и посвящена эта диссертация. А именно, мы доказываем теорему Виртмюллера для этих систем корней и приводим явную конструкцию образующих соответствующих алгебр слабых форм Якоби. Оказывается, что все эти три типа систем корней тесно связаны между собой, и основной сложностью является конструкция трёх главных образующих индекса 1 и весов -4, -2 и 0 для систем корней типа Оп, а также построение образующих для . Помимо нового доказательства теоремы Виртмюллера, мы приводим примеры интересных дифференциальных уравнений, связывающих упомянутые образующие для систем корней

£>п.

Отметим также, что слабые формы Якоби, инвариантные относительно полной ортогональной группы для Оп с 2 ^ п ^ 8, соответствуют Д8-башне строго рефлективных модулярных форм на ортогональных группах О+(2и Ф Оп(-1)) (см. [17]). Строго рефлективные модулярные формы этой башни для ортогональных групп О+(2Ц Ф Дп(-1)) (3 < п < 8) определяют лоронцевы алгебры Каца-Муди, соответствующие БСОУ (Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa)-аналитическому кручению (см. [17, 33]).

Также существует Д8-башня рефлективных автоморфных дискриминантов, начинающаяся с модулярной формы Борчердса-Энриквеса

Ф4 € ы4(0+(и е и(2) е Е8(-2)),Х2) = м4(0+(и е и е Д8(- 1)),Х2),

которая является дискриминантом пространства модулей поверхностей Энриквеса (см. [7, 21] и [17, §5] или [18]).

Основные методы в нашей работе - построение образующих с использованием тета-функций Якоби, модулярных форм, а также модулярного дифференциального оператора. От образующих, которые мы строим, мы требуем более сильное условие, чем предполагает теорема Виртмюллера. А именно, мы строим их таким образом, чтобы они удовлетворяли так называемому "условию башни", то есть при ограничении всех образующих на решётку меньшего ранга мы должны получать также все образующие для соответствующей подрешётки (при этом некоторые исходные образующие обращаются в ноль). Построив образующие, обладающие таким условием, мы можем индуктивным образом доказать алгебраическую независимость и полноту набора полученных слабых форм Якоби, основываясь на базисном случае решётки А^, который был разобран ещё в [13]. Но мы также приводим своё короткое доказательство этого факта, основанное на изучении дивизоров предполагаемых образующих.

Данная диссертация организована следующим образом. Первая глава посвящена основным определениям и конструкциям, использующимся в работе. Так, в параграфе 1.1 мы приводим основные факты из теории модулярных форм. Параграф 1.2 отведён под определения и основные свойства систем и решёток корней, а в параграфе 1.3 мы перечисляем это для форм Якоби. В параграфе 1.4 мы вводим модулярный дифференциальный оператор, который является одним из ключевых инструментов в нашей работе. Наконец, в параграфе 1.5 мы даём примеры форм Якоби.

Вторая глава посвящена формулировкам основных теорем. Мы приводим формулировку теоремы Виртмюллера в общем виде, а также более подробно описываем конкретные результаты данной работы.

Третья глава данной диссертации отведена под построение образующих и доказательство полиномиальности соответствующих алгебр в случае систем корней типа Оп, а четвёртая глава для случая системы корней

В пятом параграфе мы приводим полученные нами дифференциальные уравнения на образующие индекса 1.

Работа основана на статьях

• Д. В. Адлер, Структура алгебры форм Якоби для системы корней

F4. Функц. анализ и его прил., 54:3 (2020), 8-25; Funct. Anal. Appl., 54:3 (2020), 155-168.

• D. Adler, V. Gritsenko, The D8-tower of weak Jacobi forms and applications. J. Geom. Phys., 150, Article ID 103616 (2020), 12 p.

Результаты диссертации были представлены на международных конференциях

• Partition Functions and Automorphic Forms, 28 January - 2 February 2018, BLTP JINR, Dubna, Russia. Talk "The ring of weak Jacobi forms for D8 root system".

• Modular Forms and Beyond, 21-26 May 2018, Euler International Mathematical Institute, St. Petersburg, Russia. Talk "The ring of weak Jacobi forms for D8 root lattice (and Dn)".

• Workshop on Automorphic Forms and Related Topics, 16-20 July 2018, Alfred Renyi Institute of Mathematics, Budapest, Hungary. Talk "Jacobi forms for Ds root system".

• Integrable systems and automorphic forms, 19-22 February, University of Lille, France. Talk "Constructive approach in the theory of Jacobi forms III: the root system Dn".

• Integrable Systems and Automorphic Forms, 24-28 February, Sirius Mathematics Center, Sochi. Talk "Jacobi forms and root systems".

1 Основные определения, конструкции и примеры

1.1 Модулярные формы

Сперва напомним некоторые основные факты и примеры из теории модулярных форм. Подробнее см., например, в [11].

Модулярной группой называется группа БЬ2(Ъ), состоящая из 2 х

2 матриц с единичным определителем. Эта группа порождается двумя матрицами:

С 1) и (0 "о1)

Данная группа действует дробно-линейными преобразованиями

(а Ь). ^ = ат + Ь (с (1](т) =

на элементы т, принадлежащие сфере Римана С = С и {ж}. Как можно проверить прямым вычислением,

'т^(т) = ^• ? = (« ^) €

что показывает, что группа действует на верхней полуплоскости

Н = {т € С | 1тт > 0}.

Определение 1.1. Пусть к - произвольное целое число. Мероморфная функция / : Н ^ С называется слабо модулярной функцией веса к, если

/(т(т)) = (ст + f (т) для 7 = (« ^ € и т € Н.

Модулярными формами называются голоморфные слабо модулярные функции, которые голоморфны ещё ив ж. Под голоморфностью в ж мы понимаем следующее.

В силу определения, любая слабо модулярная функция удовлетворяет условию периодичности /(т + 1) = /(т),а следовательно, более того, является Z-периодичной. Пусть V = {г € С| |г| < 1} - открытый единичный диск и V' = V \ {0}. Отображение т ^ е2пгт = г переводит верхнюю полуплоскость Н в проколотый диск V'. Тогда корректно определена функция д, соответствующая /:

д(д)=/ (!2Пг) и /(т)=д(^т).

причём если функция / голоморфна на верхней полуплоскости, то функция д голоморфна на проколотом диске и поэтому имеет разложение в ряд Лорана д(г) = а(п)гп. Соотношение |г| = е-2п 1тт показывает, что Г ^ 0 при 1тт ^ 0 и наоборот. Таким образом, голоморфность функции / в точке ж можно определить как голоморфность функции д в точке 0. Также в таком случае функция / будет иметь разложение в ряд Фурье вида

оо

/(т) = Е «п(/)гп, Г = е2пгт.

п=0

Таким образом, мы можем дать следующее определение модулярной формы.

Определение 1.2. Пусть к - целое число. Тогда функция / : Н ^ С называется модулярной формой, если она является слабо модулярной функцией веса к, а также голоморфна на Н ив точке ж. Множество всех модулярных форм веса к обозначается Мк (5Г2^)).

Определение 1.3. Пусть модулярная форма f веса к имеет разложение в ряд Фурье вида

f (т) = £ апи )дп = агд + ...,

п= 1

то есть свободный член в её разложении в ряд Фурье равен 0. Тогда такая форма называется параболической формой веса к. Множество всех параболических форм веса к обозначается Sk(SL2(Z)).

Одними из самых важных примеров в теории модулярных форм являются ряды Эйзенштейна. Ряд Эйзенштейна чётного веса к есть сумма ряда

Gk(Т) = ^ (m + ПТ)к'

(0,0)*(m,n)eZ (m + ПТ)

Этот ряд сходится абсолютно при к ^ 4, а потому в нём можно менять порядок суммирования. Используя это и прямую подстановку действия группы SL2(Z), нетрудно проверить, что при к ^ 4 данный ряд действительно является модулярной формой веса к. На практике зачастую удобнее работать с нормализованным разложением в ряд Фурье формы Gk(T ):

1 2 к Ek(t) = —Gk(т) = 1 - — У <jk-i(n)qn, кУ ' 2((к) kV ' Bk¿[

где Z(s) - это Z-функция Римана, Bk - это к-е число Бернулли, и

(n) = £ dk.

d\n

Важность рядов Эйзенштейна объясняется следующей теоремой.

Теорема 1.4. Кольцо модулярных форм M*(SL2(Z)) = ®kMk(SL2(Z)) является свободной алгеброй над C с двумя образующими:

M*(SL2(Z)) = C[E4,E6].

Как уже говорилось, при n = 2 определить ряд Эйзенштейна не удаётся, ввиду отсутствия абсолютной сходимости и, как следствие, отсутствия возможности изменения порядка суммирования. Но зафиксировав конкретный порядок суммирования, можно задать сходящийся ряд E2 (t) в виде разложения в ряд Фурье:

E2(T) = 1 - 24 £ Ui(n)qn

n= 1

Относительно модулярных преобразований Е2(т) меняется следующим образом:

Е2 () = (ст + а)^(т) + -с(ст + ¿). (1.1)

\ст + а) пг

Форма Е2 уже является квазимодулярной, а не модулярной. Вместе с рядами Эйзенштейна Е4 и Е6 форма Е2 порождает кольцо квазимодулярных форм М*(6Х2^)) = С[Е2,Е4,Е6]. Этот факт можно взять за определение квазимодулярных форм, однако существует более корректный подход, но, что касается определений, он довольно громоздок и не пригодится в нашей работе, подробнее о квазимодулярных формах см. в [5].

В силу теоремы 1.4, мы можем заключить, что

М4№(^)) = (ОД), Мв№(^)) = С(£б), М8(5Ь2(^)) = С(Е|), мю(^ь2(2)) = ОДЕб).

Однако пространство форм веса 12 уже двумерно и содержит Д-функцию Рамануджана:

Д(т) = (1 - ?п)24,

являющуюся параболической формой (то есть модулярной формой с нулевым свободным членом в разложении в ряд Фурье) наименьшего возможного веса. Как можно убедиться

Е3 - Е 2

^гёТ = Д(т) = П24(т),

где п(т) = ^24 Пп>1(1 - 9П) - это п-функция Дедекинда. Пространство модулярных форм

Мм№(^)) = С(Е|Еб) снова одномерно и не содержит параболических форм.

1.2 Решётки корней

В данном параграфе мы определяем системы и решётки корней, следуя [8]. Пусть V - евклидово пространство со скалярным произведением (•, •). Определим отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной некоторому вектору V е V, как

2(^х) х ^ аь (х) = х —-— V.

(V, V)

Как можно заметить, а2 является тождественным отображением. Если V коллинеарен х, то о<и (х) = -х, а если V перпендикулярен х, то о<и (х) = х.

Системой корней Я в V называется конечный набор векторов (корней), такой что: V является линейной оболочкой этих векторов; любые два коллинеарных корня а и в либо совпадают, либо а = -в; для каждого корня а система корней Я замкнута относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной а; для произвольных корней а и в:

2€ ж.

(а, а)

Дуальной к Я системой корней называется

Яу = {ту | г € Я}, где Г =

2г

(г, г)

Если Ь - решётка, порождённая системой корней (да и в целом произвольная решётка), то двойственная ей решётка определяется как

Ь = {X € Ь ® О | VI € Ь : (Х,1) € Ъ} ~ Нот(Ь, Ъ).

Решётка называется чётной, если длина каждого вектора этой решётки чётна относительно скалярного произведения (•, •). Максимальный корень системы корней Я будем обозначать а, а через а обозначим максимальный корень Яу.

Так как основным объектом, с которым мы будем работать далее, являются именно решётки корней, то, чтобы не перегружать обозначения, мы будем обозначать классические системы корней, классифицирующиеся диаграммами Дынкина, и соответствующие им решётки корней одними и теми же символами.

Зафиксируем £1 = (1,0,..., 0), ..., £п = (0,..., 0,1) - стандартный ор-тонормированный базис в Кп. Ниже мы приводим определения систем и решёток корней, а также некоторые их характеристики, которые потребуются далее.

Определение 1.5. Система корней Лп-1.

Рассмотрим гиперплоскость в Кп, ортогональную вектору

£1 + ... + £п = (1,1,..., 1).

Тогда векторы £г - £^ с г Ф ], принадлежащие этой гиперплоскости, образуют систему корней Лп-1 с базисом а1 = £1 - £2, ..., ап-1 = £п-1 - £п и порождают решётку

п

Лп-1 = {(х1,...,хп) € Ъп | £ хг = 0}.

г=1

Решётка Ап-1 чётна, её группа Вейля есть группа перестановок $п_1, а степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2, 3, ..., п - 1. Также отметим, что как системы корней Ап-1 и совпадают, максимальный корень равен а = а = е1 - еп и

а = £1 - £п = а1 + ... + ап_1. Определение 1.6. Система корней Вп.

Векторы ±ег и ±ег ± е^- с г Ф ] образуют в пространстве Кп систему корней Вп с базисом а1 = е1 -е2, ..., ап-1 = еп-1 -еп, ап = еп и порождают решётку

Вп =

Решётка Вп нечётна, её группа Вейля действует перестановками и сменой знака любого числа координат и равна £п к (Z/2Z)n, а степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2, 4, ..., 2п. Также отметим, что для Вп максимальный корень а = е1 + е2, но а = 2е1 и

ау = е1 = а1 + ... + ап. Определение 1.7. Система корней Сп.

Векторы ±2ег и ±ег ±е^- с г Ф образуют в пространстве Кп систему корней Сп с базисом а1 = е1 -е2, ..., ап-1 = еп-1 -еп, ап = 2еп и порождают решётку

п

Сп = {(хь...,хп) € Zn хг = 0 шоа2}.

г=1

Решётка Сп чётна, её группа Вейля действует перестановками и сменой знака любого числа координат и равна £п к (Z/2Z)n, а степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2, 4, ..., 2п. Также отметим, что для Сп максимальный корень а = 2е1, но а = е1 + е2 и

ау = е1 + е2 = а1 + 2а2 + ... + 2ап-1 + ап. Определение 1.8. Система корней Дп.

Векторы ±ег ± е^- с г Ф ] образуют систему корней Дп в Мп с базисом а1 = е1 - е2, ..., ап-1 = еп-1 - еп, ап = 2еп и порождают решётку

п

Дп = {(х1,...,хп) € Zn Хг = 0 ШОа2}.

г=1

Решётка Дп чётна, её группа Вейля действует перестановками и сменой знака чётного числа координат и равна £п к (Z/2Z)n_1, а степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2, 4, ...,

2п - 2, п. Также отметим, что Оп совпадает с максимальный корень а = а = £1 + £2 и

ау = £1 + £2 = а1 + 2а2 + ... + 2а,п-2 + а,п-1 + ап.

Замечание 1.9. Традиционно системы корней типа Бп рассматриваются для п ^ 4, так как Б3 ~ Л3, а при меньших рангах Бп не является неприводимой. Однако случай Б3 нам будет интересен отдельно от Л3, так как в данном случае решётка будет записана в другом базисе. Система корней Б2 также представляет интерес, хоть и не является неприводимой. Она изоморфна Л1 Ф Л1, и это крайне важное обстоятельство поможет нам провести индуктивное построение для серии решёток Бп, начиная с решётки Л1.

Выше мы дали определения и перечислили основные интересующие нас свойства систем корней, дающих бесконечные серии. Ниже мы рассмотрим исключительные системы корней.

Определение 1.10. Система корней Ев.

Рассмотрим подпространство в К8, заданное условием хв = х7 = -х8 на три последние координаты каждой точки. Тогда базисом системы корней Ев являются векторы

а1 = 1 (£1 + £8) - 1 (£2 + £з + £4 + £5 + £в + £7),

а2 = £1 + £2, а3 = £2 - £1, а4 = £3 - £2, а5 = £4 - £3, ав = £5 - £4.

Решётка Ев, порождённая данной системой корней, чётна, её группа Вейля имеет порядок 51840, а степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2, 5, 6, 8, 9, 12. Также отметим, что как системы корней Ев и Е^ совпадают, максимальный корень равен а = а = 2(£1 + £2 + £3 + £4 + £5 - £в - £7 + £8) и

ау = 1 (£1 + £2 + £3 + £4 + £5 - £в - £7 + £8) = а1 + 2а2 + 2а3 + 3а4 + 2а5 + ав. Определение 1.11. Система корней Е7.

Рассмотрим гиперплоскость в К8, ортогональную к £7 + £8. Тогда базисом системы корней Е7 являются векторы

а1 = 1 (£1 + £8) - 1 (£2 + £3 + £4 + £5 + £в + £7), а2 = £1 + £2, а3 = £2 - £1, а4 = £3 - £2, а5 = £4 - £3, ав = £5 - £4, а7 = £в - £5.

Решётка Е7, порождённая данной системой корней, чётна, её группа Вей-ля имеет порядок 2903040, а степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18. Также отметим, что как системы корней Е7 и совпадают, максимальный корень равен а = а = £8 - е7 и

ау = е8 - е7 = 2а1 + 2а2 + 3а3 + 4а4 + 3а5 + 2а6 + а7.

Определение 1.12. Система корней Е8.

Векторы ±ег ±е^- с г Ф ] и 1 ±ег с чётным числом плюсов (или минусов) образуют систему корней Е8 в М8 с базисом

а1 = 2 (£1 + £8) - 2 (£2 + £з + £4 + £5 + £6 + £7), а2 = £1 + £2,

аз = £2 - £1, а4 = £3 - £2, а5 = £4 - £3, аб = £5 - £4, а7 = £б - £5, а8 = £7 - £б.

Решётка Е8, порождённая данной системой корней, чётна и унимодуляр-на, то есть Е8 = Е|. Как можно проверить непосредственно, она является расширением решётки Д8 индекса 2 при помощи вектора (1,..., 2). Иначе говоря, мы имеем следующую диаграмму вложений решёток

Е8

-411-►

Группа Вейля для Е8 имеет порядок 696729600, а степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30. Также отметим, что как системы корней Е8 и совпадают, максимальный корень равен а = а = £7 + £8 и

ау = £7 + £8 = 2а1 + 3а2 + 4а3 + 6а4 + 5а5 + 4а6 + 3а7 + 2а8.

Определение 1.13. Система корней Е4.

Векторы ±£г, ±£г ±с г Ф ] и 2(±£1 ±£2 ±£3 ±£4) образуют систему корней в М4 с базисом

а1 = £2 - £3, а2 = £3 - £4, а3 = £4, а4 = ^(£1 - £2 - £3 - £4).

Решётка Е4, порождённая данной системой корней, нечётна, содержит Д4 как подрешётку и, более того, = Д8. Группа Вейля системы корней

Г4 равна полупрямому произведению группы перестановок 53 и группы Вейля Ш(£4) и является полной ортогональной группой 0(£4) решётки £>4.

Степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2, 6, 8, 12. Также отметим, что ^ состоит из векторов ±2£г, ±£г ± £^ и ±£1 ± £2 ± £3 ± £4), максимальный корень равен а = £1 + £2, но а = £1 и

ау = £1 = а1 + 2а2 + 3а3 + 2а4.

Определение 1.14. Система корней С2.

Рассмотрим гиперплоскость в К3, ортогональную вектору

£1 + £2 + £3 = (1,1,1).

Тогда векторы

±(£1 - £2), ±(£1 - £3), ±(£2 - £3),

±(2£1 - £2 - £3), ±(2£2 - £1 - £3), ±(2£3 - £1 - £2),

принадлежащие этой гиперплоскости, образуют систему корней С2 с базисом а1 = £1 -£2, а2 = -2£1 + £2 + £3 и порождают решётку С2. Она чётна, её группа Вейля есть группа диэдра порядка 12, а степени многочленов, инвариантных относительно группы Вейля, равны 2 и 6. Также отметим, что С^ состоит из ±а1, ±(а1 + а2), ±(2а1 + а2), ±|а2, ± 1 (3а1 + а2) и ±3(3а1 + 2а2), но максимальный корень равен а = а = -£1 - £2 + 2£3 и

ау = -£1 - £2 + 2£3 = 2а1 + а2.

Замечание 1.15. Как видно из приведённых определений, Вп и Сп дуальны как системы корней: Вп = Сп, поэтому их свойства довольно похожи. Однако в задаче, которую мы изучаем в данной работе, решающую роль играют именно решётки. Как видно опять же из определений, решётки для систем Сп и Бп совпадают и отличаются от Вп. Поэтому, как мы покажем далее, случаи Сп и Бп в нашей задаче будут практически идентичны. Более того, отметим здесь, что группа Вейля Ш(Сп) содержит группу Вейля Ш(Оп) в качестве подгруппы индекса 2 и при п + 4 является полной ортогональной группой для решётки Бп. В самом деле, группа Ш(Оп) сохраняет ориентацию векторов решётки Бп, а Ш(Сп) содержит элементы, которые её меняют. Таким образом, дальше в работе мы будем считать по умолчанию, что Ш(Сп) = 0(Бп) при п + 4, подразумевая здесь не системы корней, а решётки. Если же п = 4, то полная ортогональная группа 0(Б4) больше, чем С4 и, как уже упоминалось, равна Ш(Т4). В этом случае будет, удобно ввести обозначение 0'(Б4) = Ш(С4).

Замечание 1.16. Пусть Ь - решётка со скалярным произведением (•, •). Рассмотрим теперь те же векторы из Ь, но уже со скалярным произведением га(-, •). Мы снова получим решётку, будем обозначать её Ь(т).

Пример 1.17. По определению решётка А1 состоит из векторов (х, -х) с целочисленными координатами. Квадрат длины каждого такого вектора равен 2х2, поэтому А1 ~ Z(2). Как следует из определения 1.8, Дп -подрешётка Zn индекса 2. Поэтому также мы имеем

Дп(2) < Z(2)®n ~ А®п.

Пример 1.18. Рассмотрим решётку £4(2). Как можно показать, построив явный изоморфизм, эта решётка изоморфна решётке Д4 с обычным скалярным произведением.

Как уже упоминалось, группа Вейля для £4 является полной ортогональной группой для решётки Д4. Таким образом имеется следующее соответствие системам корней пар (решётка, группа):

£4 ~ (£>4, Ж (ДО), С ~ (£>4,О'(Д0), £ ~ (^4,0(^4)).

1.3 Формы Якоби

Пусть Ь - положительно определённая решётка со скалярным произведением (•, •). Группа Гайзенберга Н(Ь) для этой решётки есть центральное расширение (Ь х Ь) к Z

Н(Ь) = {Ь = [Л,^,г] : Л,^ € Ь,г € 1Z и г + 1 (Л,^) € Z},

с групповой операцией

Ь • Ь' = [Л, г] • [Л', г'] = [Л + Л', ^ + г + г' + 1 ((Л, - (Л', ^))].

Если Ь является также решёткой корней, то к группе Гайзенберга можно добавить инвариантность относительно действия группы Вейля и получить группу:

^ = Ж к Н(Ь) :

(ад, Ь) • (ад', Ь') = (ад • ад', [Л + адЛ',^ + ад^', г + г' + 1 ((Л,ад^') - (адЛ',^))]).

Наконец, при помощи группы 5"Ь2^) группу ^ можно расширить до группы Якоби

Г"7(Ь) = к ^ = к (Ж к Н(Ь))

с действием на Н1:

7.ш = ^ 7 = М € ^^

7.Ь = [¿Л - ф, -ЬЛ + а^, г] (7, ад, Ь) • (7', ад', Ь') = (7 • 7', ад • ад', Ь • (7.Ь')).

Данная группа действует на конусе Титса

П = Н е (Ь ® С) е С э (т,з,и)

следующим образом:

/ ат + Ь з с(з, 3) \ 7 (т, 3,и) = I--,--,и + 4 '

ст + ¿'ст + 2(ст + / '

3,и) = (т,^(3),и);

Ь(т,з,и) = |т,3 + Лт + + г - (Л,3) - ^т^ .

Как и в случае векторных пространств и групп Кокстера, возникает интерес изучения пространства орбит П/Г^(Ь) (например, для изучения специальных фробениусовых многообразий, см. [3]), а для этого полезно изучить алгебру инвариантных функций, аналогично изучению инвариантных относительно действия групп Кокстера многочленов. Подробнее про группу Якоби можно посмотреть в [3] и [10].

Для решётки Ь обозначим 3(М, Ь) = (стдля 7 € 6Ь2^) и 3(М, Ь) = 1 для [Л,^,г] € Н(Ь) - фактор автоморфности.

Определение 1.19. Слабой Ж-инвариантной формой Якоби веса к и индекса т (к, т € Z) для решётки корней Ь со скалярным произведением (•, •) называется голоморфная функция ^ : Н х (Ь® С) ^ С, если функция

) = р(т,з)е2™, £ € П

преобразуется как

£(М(£)) = 3(М,£)-к), М € ^(Ь) и р(т,3) имеет разложение в ряд Фурье вида:

£ а(п,/)дп<Л, д = е2™т,(л = е2™(л'г).

Однако это определение можно переписать в терминах явного действия подгрупп SL2(Z), H(L) и W группы Якоби и получить определение форм Якоби, с которым удобнее работать на практике.

Определение 1.20. Пусть L - положительно определённая решётка со скалярным произведением (■, ■), переменная т принадлежит верхней полуплоскости H, а многомерная переменная z = (zi,... ,zn) е L ® C. Тогда слабая форма Якоби веса к и индекса m для решётки L (где к е Z, m е Z^o) - это голоморфная функция рк,т ■ H х (L ® C) ^ C, удовлетворяющая следующим условиям:

( ^, -Ц ) = (ст + d)k enim ^ ^,т(т, z) для (acbd) е SL2(Z), \ет + d ст + dj

Щ,т(т,Ь + ^т + i) = e-2nim(x,i)-nim(M)r^к>т(т,z) для е L и функция <£к,т(т, z) имеет разложение в ряд Фурье вида

<рк,т(т, z) = Е Y,a(n>l)qn(1.

l€b* n^o

Здесь и далее q = e 2niT, Zl = e2ni(z>,l) для любого элемента l из L*.

Первое функциональное уравнение будем называть модулярным, а второе уравнением квазипериодичности.

Множество слабых форм Якоби имеет естественную структуру би-градуированного кольца и обозначается

j*w*(l)=0 jW^l).

к,т

Замечание 1.21. В зависимости от типа разложения в ряд Фурье функций, удовлетворяющих первым двум условиям из рассмотренного определения, выделяют ещё два типа форм Якоби.

Форма рк,т(т, z) называется голоморфной формой Якоби, если

<Рк,т(т,z) = Е Y,a(n,l)qnZ1

l€b* n

и a(n,l) + 0 ^ 2nm ^ (l,l). Множество таких форм обозначается

J*,*(L) = 0 JkAL).

к,т

Форма рк,т(т,z) называется параболической формой Якоби, если

<Рк,т(т, z) = Е Е a(n, l)qnZ1,

l€b* n

и а(п,/) + 0 ^ 2пт > (/,/). Множество таких форм обозначается

ЗДЬ) = 0 з>та(ь).

Как следует из определений,

Л%(Ь) с з*,*(ь) с з^(ь).

Отметим, что, следуя [13], голоморфные формы Якоби часто называются просто формами Якоби. Однако, во избежание путаницы, мы будем называть функцию формой Якоби, только если не имеет значения, является ли она слабой, голоморфной или параболической. Также заметим, что для голоморфных и параболических форм Якоби неверны аналоги основной теоремы 4.2 данной работы о полиномиальности соответствующих алгебр, о которой будет написано ниже.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Адлер Дмитрий Всеволодович, 2021 год

Список литературы

[1] Д. В. Адлер, Структура алгебры форм Якоби для системы корней F4. Функц. анализ и его прил., 54:3 (2020), 8-25; Funct. Anal. Appl.,

54:3 (2020), 155-168.

[2] D. Adler, V. Gritsenko, The D8-tower of weak Jacobi forms and applications. J. Geom. Phys., 150, Article ID 103616 (2020), 12 p.

[3] M. Bertola, Frobenius manifold structure on orbit space of Jacobi group; Part I. Differential Geom. Appl. 13 (2000), 19-41.

[4] M. Bertola, Frobenius manifold structure on orbit space of Jacobi group; Part II. Differential Geom. Appl. 13 (3) (2000), 213-233.

[5] J. H. Bruinier, G. van der Geer, G. Harder, and D. Zagier, The 1-2-3 of Modular Forms. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

[6] И.Н. Бернштейн, О.В. Шварцман, Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических кокстеровских групп. Функц. анализ и его прил., 12:4 (1978), 79-80.

[7] R.E. Borcherds, The moduli space of Enriques surfaces and the fake monster Lie superalgebra. Topology 35 (1996), 699-710.

[8] N. Bourbaki, Groupes et Algebres de Lie, Ch. 4, 5, 6. Masson, 1981.

[9] C. Chevalley, Invariants of finite groups generated by reflections. Amer. J. Math. 77 (1955), 778-782

[10] F. Clery, V. Gritsenko, Modular forms of orthogonal type and Jacobi theta-series. Abh. Math. Semin. Univ. Hambg 83 (2013), 187-217.

[11] F. Diamond, J. Shurman, A First Course in Modular Forms, Springer New York, 2005.

[12] B.N. Dubrovin, Geometry of 2D topological field theories in Integrable Systems and Quantum Groups. Montecatini, Terme 1993, ed. Francaviglia, M. and Greco, S.. Springer lecture notes in mathematics, 1620, SpringerVerlag 1996, 120-348.

[13] M. Eichler, D. Zagier, The theory of Jacobi forms. Progress in Mathematics 55. Birkhauser, Boston, Mass. (1985).

[14] В. Гриценко, Модулярные формы и пространства модулей абеле-вых и КЗ-поверхностей. Алгебра и Анализ 6 (1994), 65-102; English translation in St. Petersburg Math. J. 6 (1995), 1179-1208.

[15] V. A. Gritsenko, Blow up of Cohen-Kuznetzov operator and an automorphic problem of K. Saito. Proc. of RIMS Symposium Automorphic Representations, Automorphic Forms, L-functions, and Related Topics, Kokyuroki 1617 (2008), pp. 83-97.

[16] V. Gritsenko, Jacobi modular forms: 30 ans apres. Course of lectures on Coursera 2016-2021.

https://ru.coursera.org/learn/modular-forms-jacobi

[17] V. Gritsenko, Reflective modular forms and their applications. Russian Math. Surveys 73:5 (2018), 797-864.

[18] V. Gritsenko, Reflective modular forms in algebraic geometry. arXiv: 1005.3753.

[19] V. Gritsenko, V. Nikulin, Automorphic forms and Lorentzian Kac-Moody algebras. Part II. Internat. J. Math. 9 (1998), 201-275.

[20] V. A. Gritsenko, V. V. Nikulin, Igusa modular forms and "the simplest" Lorentzian Kac-Moody algebras. Mat. Sb., 187:11 (1996), 27-66; Sb. Math., 187:11 (1996), 1601-164.

[21] S. Kondo, The moduli space of Enriques surfaces and Borcherds products. J. Algebraic Geometry 11 (2002), 601-627.

[22] J. Kim, K. Lee, J. Park, On elliptic genera of 6d string theories. J. High Energ. Phys. 2018, 100 (2018).

[23] V. Kac, D. Peterson, Infinite-dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms. Adv. in Math., 53 (1984), 125-264.

[24] E. Looijenga, Root Systems and Elliptic Curves. Inv. Mathem. 38 (1976), 17-32.

[25] E. Looijenga, Invariant Theory for Generalized Root Systems. Inv. Mathem. 61 (1980), 1-32.

[26] D. Mumford, Tata lectures on theta I. Progress in Mathem. 28, Birkhauser, Boston, Mass., 1983.

[27] K. Saito, Extended Affine Root Systems I (Coxeter transformations). Publ. RIMS, 21 (1985), 75-179.

[28] K. Saito, Extended Affine Root Systems II (Flat Invariants). Publ. RIMS, 26 (1990), 15-78.

[29] K. Sakai, Jacobi forms and Seiberg-Witten curves. Commun. Number Theory Phys. 13 (2019), no. 1, 53-80.

[30] I. Satake Flat Structure for the Simple Elliptic Singularity of Type E6 and Jacobi Form. Proc. Japan Acad., 69, Ser. A (1993) No. 7, 247-251.

[31] H.Wang, Weyl invariant E8 Jacobi forms. arXiv:1801.08462

[32] K. WirthmUller, Root systems and Jacobi forms. Comp. Math. 82 (1992), 293-354.

[33] K.-I. Yoshikawa, Calabi-Yau threefolds of Borcea-Voisin, analytic torsion, and Borcherds products. "From probability to geometry IIAsterisque 328 (2009), 355-393.