Формирование ансамбля воздушных гидратов в ледниковых покровах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Долгирева, Юлия Анатольевна

• Долгирева, Юлия Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Долгирева, Юлия Анатольевна

Введение

1. Общие вопросы математического описания эволюции ансамбля 17 воздушных включений в ледниковых покровах

1.1. Ансамбли пузырьков воздуха и гидратов в полярных ледниковых 17 покровах.

1.2. Общие балансовые уравнения для функций распределения числа 27 воздушных включений.

1.3. Уравнения эволюции одиночных воздушных включений.

1.4. Уравнения для средних характеристик ансамблей пузырьков и 38 гидратов.

1.5. Кинетические модели зарождения воздушных гидратов.

2. Квазистационарные модели процесса превращения пузырьков 45 воздуха в гидраты в переходной зоне

2.1. Особенности образования гидратов в полярных ледниковых покровах.

2.2. Модель эволюции ансамбля пузырьков.

2.3. Модель формирования ансамбля гидратов.

2.4. Два режима превращения пузырьков в гидраты.

3. Численная реализация модели гидратообразования

3.1. Разностные схемы для расчета эволюции ансамбля пузырьков. Режим 1.

3.2. Исследование сходимости разностных схем для расчета эволюции ансамбля пузырьков. Режим 1.

3.3. Разностная схема для расчета эволюции ансамбля пузырьков. Режим II.

3.4. Разностные схемы для расчета процесса формирования ансамбля гидратов.

4. Исследование эволюции ансамбля пузырьков в центральной Антарктиде. Идентификация модели.

4.1. Эволюция ансамбля пузырьков на станции Восток. Режим 1.

4.2. Эволюция ансамбля пузырьков на станции Купол Фуджи. Режим 1.

4.3. Эволюция ансамбля пузырьков на станции Купол Фуджи. Режим II.

4.4. Эволюция ансамбля пузырьков на станции Восток. Режим II.

5. Исследование эволюции ансамбля гидратов. Вычислительные эксперименты

5.1. Идентификация модели на данных ледяного керна со станции Восток и Купол Фуджи. Режим 1.

5.2. Идентификация модели на данных ледяного керна со станции Восток и Купол Фуджи. Режим II.

5.3. Особенности образования ансамбля гидратов в различных климатических условиях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование ансамбля воздушных гидратов в ледниковых покровах»

Весь атмосферный воздух, захваченный в полярном ледниковом покрове, на границе замыкания пор снежно-фирновых отложений локализован в воздушных пузырьках, геометрические свойства которых (размер, количество) представляют собой генетические признаки льда и зависят от климатических условий его образования (скорости аккумуляции льда, температуры и т.д.) [1, 19, 7, 33, 34]. При низких температурах в более глубоких слоях ледника с ростом давления по мере погружения льда пузырьки воздуха превращаются в смешанные клатратные гидраты воздуха [36, 58]. Последние могут рассматриваться как твердые растворы газа (азота и кислорода) во льду, когда молекулы газа размещаются в метастабильной кристаллической решетке молекул воды, нестехиометрически заполняя полости решетки и формируя в совокупности устойчивую систему [59,66]. Кристаллографическая структура кристаллов гидрата воздуха в ледниковых покровах идентифицирована как структура Штакельберга II [21]. Превращение пузырьков воздуха в кристаллы гидратов представляет собой сложный гетерогенный процесс, который контролируется динамикой ледника и кинетикой зарождения клатратных кристаллов [58]. Формирование ансамбля гидратов сопровождается диффузионным перетоком газа [64, 65] через матрицу льда от пузырьков к сосуществующим гидратам и приводит к значительному фракционированию газовых компонент во льду [28,29,51]. Этот процесс продолжается десятки тысяч лет [48, 62, 64], и переходная зона в ледниковом покрове составляет несколько сотен метров.

В работе [58] впервые было предположено, что превращение пузырьков в гидраты контролируется кинетикой зарождения кристаллов гидратов. Экспериментальные исследования, выполненные в работах [1, 7, 28, 29, 34, 64] на ледяных кернах со станции Восток (Восточная Антарктида), а также теоретические исследования [48, 51] полностью подтвердили этот факт, но и выявили сложность этого явления. Основными особенностями является превращение пузырьков предпочтительно малых размеров в гидраты воздуха [34] и диффузионный перенос масс воздуха от пузырьков к гидратам приводящий к экстремальному фракционированию компонент воздуха (азота и кислорода) [28, 29] в переходной зоне. При этом предполагалось, что каждый пузырек превращается в один гидрат.

Дальнейшие исследования, выполненные в [39, 40] на ледяных кернах со станции Купол Фуджи (Восточная Антарктида) вскрыли ряд дополнительных особенностей процесса превращения пузырьков воздуха в клатратные гидраты в переходной зоне ледникового покрова. Так, первоначально однородное пространственное распределение пузырьков воздуха во льду выше переходной зоны сменяется существенно нерегулярным распределением гидратов, которые имеют тенденцию образовывать группы. Также анализ ледяных кернов со станции Купол Фуджи выявил заметно меньшее число гидратов в конце переходной зоны по сравнению с начальным числом воздушных включений. Отсюда авторы [40] сделали предположение, что некоторые из гидратов, и, прежде всего мелкие кристаллы в группах, зарождаются вне пузырьков.

Процессы образования газовых гидратов рассматривались в [4,32,59]. Имеется обширная литература, но не для условий ледниковых покровов. До настоящего времени механизмы образования гидратов в ледниках до конца не изучены и не поняты. Принципиально, что гидраты воздуха образуются в подвижной среде при погружении слоев льда в толщу ледника. Многочисленные данные свидетельствуют о существовании газовых гидратов в ледниковых покровах Гренландии [38, 41, 42] и Антарктиды [1, 7, 28, 34, 39, 40]. Однако систематические, наиболее полные и целенаправленные исследования образцов льда проведены только на двух станциях Восточной Антарктиды: Восток [1,7, 28, 34] и Купол Фуджи [30, 39,40].

Воздушные включения во льду привлекают внимание исследователей, потому что их физические и химические свойства являются важными палеоклиматическими индикаторами. Имеющиеся данные указывают на то, что формирующийся ансамбль кристаллов гидратов наследует климатически обусловленные характеристики ансамбля пузырьков воздуха [34]. В этом случае изменения геометрических свойств воздушных и газогидратных включений в ледниковом покрове можно рассматривать как ещё один источник информации о климате прошлого (палеоклиматический сигнал). Правильное понимание процесса превращения пузырьков воздуха в гидратную фазу, таким образом, имеет принципиальное значение для интерпретации состава и свойств воздушных включений в образцах льда, извлекаемых из ледников при глубоком бурении, и использовании получаемых при этом данных при реконструкции климата нашей планеты в прошлом. Изучение такого фундаментального природного явления как фазовый переход пузырьков воздуха в воздушные гидраты в движущейся матрице льда имеет и самостоятельное научное значение, позволяя понять физические свойства поликристаллического льда и механизмы диффузионного переноса растворенных в нем газов. Рассматриваемые процессы нельзя воспроизвести в лабораторных условиях в реальных временных масштабах, и их исследование возможно лишь на основе математического моделирования, что вместе с научно-прикладной важностью описанных выше явлений и определяет актуальность диссертационной работы.

Изложенное выше предопределяет цель диссертационной работы, заключающуюся в построении и исследовании общей математической модели эволюции ансамблей пузырьков воздуха и воздушных гидратов в переходной зоне ледниковых покровов, разработке численного алгоритма и компьютерной системы для идентификации модели, и интерпретации данных анализа ледяных кернов со станций Восток и Купол Фуджи в Восточной Антарктиде.

Диссертационная работа продолжает исследования Истомина В.А.[4], Липенкова В.Я.[34], Саламатина А.Н.[48, 52], HondohT. [22, 23], Ikeda-Fukazawa Т. [30], Kipfstuhl S. [30], Kuhs W.F. [32], Pauer F. [43], Price P.B [45].

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем. На основе конкретизации общих балансовых уравнений для функций распределения пузырьков и гидратов по их размерам и составу впервые сформулирована полная математическая модель эволюции ансамблей воздушных включений в переходной зоне ледникового покрова [53] при различных условиях формирования и течения льда. Разработан численный алгоритм и компьютерная система для проведения вычислительных экспериментов.

Выполнена идентификация и апробация модели [53,54,56] на экспериментальных данных изучения ледяных кернов со станции Восток

1,7,28,34] и Купол Фуджи [24,30,40]. Получены оценки кинетических параметров гидратообразования и коэффициентов диффузии воздуха во льду.

Исследованы возможные режимы формирования ансамбля гидратов. Установлено, что наиболее вероятным является общий случай, когда некоторая часть мелких пузырьков полностью исчезает вследствие диффузионного оттока газа к сосуществующим гидратам, в то время как определенная доля малых кристаллов гидратов зарождается вне пузырьков в матрице льда [54,56].

Подтвержден экспериментальный вывод о том, что вид начального распределения воздушных пузырьков по размерам и климатически обусловленные колебания их средних радиусов и количества с высокой степенью подобия наследуются ансамблем гидратов [3], формирующимся в конце переходной зоны в толще ледника.

Результаты вычислительных экспериментов использовалась в ГУ "Арктическом и Антарктическом научно-исследовательском институте" (г. Санкт-Петербург) и Институте Низких Температур (г. Саппоро, Япония) при исследовании процесса эволюции воздушных включений, изучения влияния различных физических факторов и внешних условий на формирование гидратов и интерпретации экспериментальных данных глубокого бурения ледникового покрова Антарктиды на станциях Восток и Купол Фуджи.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, 32 рисунков, 7 таблиц. Список использованной литературы содержит 66 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Долгирева, Юлия Анатольевна

Заключение

В диссертационной работе на основе конкретизации общих балансовых уравнений для функций распределения пузырьков и гидратов по их размерам и составу, а также уравнений сохранения массы компонент воздуха в одиночных пузырьках и гидратах, включающих диффузионные потоки азота и кислорода через матрицу льда между сосуществующими пузырьками и гидратами, построена общая математическая модель эволюции ансамблей пузырьков воздуха и воздушных гидратов в переходной зоне ледниковых покровов при различных условиях формирования и течения льда.

Разработан численный алгоритм и интерактивная компьютерная система для проведения вычислительных экспериментов. Выполнена идентификация и апробация модели на экспериментальных данных изучения ледяных кернов со станции Восток и Купол Фуджи, где в пределах переходных зон измерены детальные гистограммы распределений пузырьков и гидратов по размерам, а также их счетные концентрации, средние радиусы и газовый состав. Получены уточненные оценки кинетических параметров и коэффициентов диффузии воздуха во льду.

Исследованы два возможных режима образования гидратов: I) когда каждый пузырек превращается в один гидрат и общее количество включений остается постоянным, и II) когда некоторая часть мелких пузырьков полностью исчезает вследствие диффузионного оттока газа к сосуществующим гидратам в то время, как определенная доля малых кристаллов гидратов зарождается вне пузырьков в матрице льда. Сопоставление рассчитанных распределений пузырьков и гидратов по размерам и осредненных характеристик ансамблей воздушных включений с результатами анализа ледяных кернов со станций Восток и Купол Фуджи позволили сделать вывод о том, что режим II является наиболее вероятным.

Рассмотрены два предельных климатических сценария, когда (а) формирование льда и захват пузырьков воздуха происходит в холодный (ледниковый) период, а процесс гидратообразования протекает в тёплый период межледниковья и когда (б) лед с пузырьками воздуха образуется в теплый период, а гидратообразование происходит в холодных условиях. При любых климатических условиях подтверждается экспериментально установленный факт, что вид начального распределения воздушных пузырьков по размерам и климатически обусловленные колебания их средних радиусов с высокой степенью подобия наследуются формирующимися в конце переходной зоны соответствующими ансамблями гидратов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Долгирева, Юлия Анатольевна, 2009 год

1. Барков Н.И. Количественная характеристика структуры льда до глубины 1400 м в районе станции Восток в Антарктиде/ Н.И. Барков, В.Я. Липенков// Материалы гляциологических исследований. 1984. - №51. - С. 178-186.

2. Барков Н.И. Накопление снега в районе станции Восток, Антарктида, в 19701992 гг. /Н.И.Барков, В.Я. Липенков// Материалы гляциологических исследований. 1996. -№80. - С. 87-88.

3. Истомин В.А. Газовые гидраты в природных условиях/ В.А. Истомин, B.C. Якушев. М: Недра, 1992. - 235 с.

4. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика/ Д.Н. Зубарев. -М.: Наука, 1971.-415 с.

5. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Статистическая физика, часть 1. т.5/ Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1976. - 584 с.

6. Липенков В.Я. Образование и разложение гидратов воздуха в ледниковом льду/ В.Я. Липенков// Материалы гляциологических исследований. -1989. -№65. -С. 58-64.

7. Пасконов В.М. Численное моделирование процессов тепло и массообмена / В.М. Пасконов, В.И. Полежаев, Л.А. Чудов. - М.: Наука, 1984.- 288 с.

8. Положий Г.Н. Уравнения математической физики/ Г.Н. Положий М.: Высшая школа, 1964. 560 с.

9. Саламатин А.Н. Плотность ледникового льда и его реологические свойства/ А.Н. Саламатин, В.Я. Липенков, К.Е. Смирнов, Ю.В. Жилова // Антарктика. Докл. Комиссии. М: 1985. - Вып.24. - С .94-106.

10. Саламатин А.Н. Моделирование эволюции ансамбля пузырьков воздуха в процессе образования гидратов в ледниковых покровах/ А.Н. Саламатин,

11. Ю.А. Шешукова, В .Я. Липенков, Т. Хондо., X. Охно. // Материалы международной конференции «Криосфера земли как среда жизнеобеспечения» (Пущино, 26-28 мая 2003 г.). Москва, 2003. - С. 218219.

12. Цыганова Е А. Палеоклиматическая интерпретация изотопного состава и возраст ледяного керна со станции Восток, Центральная Антарктида/ Е.А. Цыганова, А.Н. Саламатин // Материалы гляциологических исследований. -2006. -№100.-С. 5-23.

13. Шешукова Ю.А. Моделирование процесса образования воздушных гидратов из пузырьков воздуха во льду /Ю.А. Шешукова// Тезисы докладов итоговой научной студенческой конференции. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 2000.- С. 97-98.

14. AgetaY. Deep ice-core drilling at Dome Fuji and glaciological studies in east Dronning Maud Land, Antarctica./ Y. Ageta, N. Azuma, Y. Fujii and 27 other members of Dome-F Deep Coring Group // Annals of Glaciology. -1998. -Vol. 27. -P. 333-337.

15. ChristensenR.M. Mechanics of Composite Materials/ R.M. Christensen // Transl. into Russian. -Moscow, 1982. 334 p.

16. Glicksman M.E. Diffusion in Solids: field theory, solid-state principles, and applications/ M.E. Glicksman. New York, 2000. - 472 p.

17. Goto K. Determination of diffusion coefficients of self-interstitials in ice with a new method of observing climb of dislocations by X-ray topography/ K. Goto, T. Hondoh, A. Higashi // Journ. Appl. Phys. Japan, 1986. - Vol. 25(3). - P. 351357.

18. Gow A.J. Bubbles and bubble pressures in Antarctic glacier ice/ A.J. Gow // Journ. Glaciol. 1968. - Vol. 7(50). -P. 167-182.

19. Hondoh T. Hyoshoshinbu ni okeru kurasureto suiwabutsu tankessho no seicho katei Growth process of clathrate-hydrate crystals in deep ice sheet./ T. Hondoh //

20. Nihon Kessho Seicho Gakkai Shi Journ. Crystalographic Soc. Jap.. Japan, 1989.-Vol. 16(2).-P. 149-161 [In Japaneese].

21. Hondoh T. Formation process of clathrate air-hydrate crystals in polar ice sheets/T. Hondoh, T. Uchida // Low Temperature Science. 1992. - Vol. .51. -P. 197-212.

22. Hondoh T. Clathrate hydrates in polar ice sheets/ T. Hondoh // In Second International Conference on Natural Gas Hydrates (Toulouse, 2-6 June 1996). -France, 1996.-P. 131-138.

23. Hondoh T. Depth-age and temperature predictions at Dome Fuji Station, East Antarctica/ T. Hondoh, H. Shoji, O. Watanabe, A.N. Salamatin, V.Ya. Lipenkov // Annals of Glaciology. 2002. - Vol. 35. - P. 384-390.

24. Hondoh T. Average time scale for Dome Fuji ice core, East Antarctica/ T. Hondoh, H. Shoji, O. Watanabe, E.A. Tsyganova, A.N. Salamatin, V.Ya. Lipenkov // Polar Meteorol. Glaciol. 2004. -Vol. 18. - P. 1-18.

25. Ikeda T. The effect of hydrostatic pressure on the formation of air-hydrate crystals / T. Ikeda., T. Uchida, S. Mae // Proc. NIPR Symp. Polar Meteorol. Glaciol. -1993.-Vol. 7.-P. 14-23.

26. Ikeda Т. Diffusion of air molecules in polar ice sheets / T. Ikeda, A.N. Salamatin, V.Ya. Lipenkov, T. Hondoh // Physics of Ice Core Records. Sapporo: Hokkaido University Press, 2000. - P. 393-421.

27. Ikeda-Fukazawa T. Variation in N2/02 ratio of occluded air in Dome Fuji antarctic ice/ T. Ikeda-Fukazawa., T. Hondoh, T. Fukumura, H. Fukazawa, S. Mae // Journ. of Geophysical Research. 2001. - Vol. 106 ( D16) . - P. 17799-17810.

28. Kipfstuhl S. Air bubbles and clathrate hydrates in the transition zone of the NGRIP deep ice core/ S. Kipfstuhl., F. Pauer, W.F. Kuhs, H. Shoji // Geophysical Research Letters. 2001. - Vol. 28 (4). -P. 591-594.

29. Kuhs W.F. Chemical physics of air clathrate hydrates/ W.F. Kuhs, A. Klapproth, B. Chazallon // Physics of Ice Core Records. Sapporo, Hokkaido University Press, 2000. -P. 373-392.

30. Lipenkov V.Ya. Air bubbles and air-hydrate crystals in the Vostok ice core / V.Ya. Lipenkov // Physics of Ice Core Records. Sapporo: Hokkaido University Press, 2000.-P. 327-358.

31. Markov I.V. Crystal Growth for Beginners: fundamentals of nucleation, crystal growth, and epitaxy / I.V. Markov. Singapore: World Scientivic Publishing Co., 1995.-422 p. ,

32. Miller S.L. Clathrate hydrates of air in Antarctic ice / S.L. Miller // Science. -1969. Vol. 165. - P. 489-490.

33. MunckJ. Computations of the formation of gas hydrates/ JMunck, S. Skjold-J0rgensen, P. Rasmussen // Chemical Engineering Science. 1988. - Vol. 43 (10). -P. 2661-2672.

34. Nakahara J. Raman spectra of natural clathrate in deep ice cores / J. Nakahara, Y. Shigesato, A. Higashi, T. Hondoh, C.C. Langway // Philos. Mag. 1988. -Vol. 57 (3).-P. 421-430.

35. PauerF. Raman spectroscopic study on the nitrogen/oxygen ratio in natural ice clathrates inthe GRIP ice core /F. Pauer, J. Kipfstuhl, W.E. Kuhs // Geophysical Research. Letters. 1995. - Vol. 22(8). - P. 969-971.

36. Pauer F. Air hydrate crystals from the GRIP deep ice core, Greenland: a number-, size- and shape-distribution study / F. Pauer, J. Kipfstuhl, W.E. Kuhs, H. Shoji // Journ. Glaciol. 1999. - Vol. 45(149). - P. 22-30.

37. Pauer F. Classification of air clathrates found in polar ice sheets / F. Pauer, S. Kipfstuhl, W.F. Kuhs, H. Shoji // Polarforschung. 2000. - Vol. 66 (3). - P. 3138.

38. Petit J.R. Climate and atmospheric history of the past 420,000 years from the Vostok ice core, Antarctica / J.R. Petit, J. Jouzel., D. Raynaud and 16 others // Nature. 1999. - Vol. 399. -P. 429-436.

39. Price P.B. Kinetics of conversion of air bubbles to air hydrate crystals in Antarctic ice / P.B. Price // Science. 1995. - Vol. 267. -P. 1802-1804.

40. Salamatin A.N. Vostok (Antarctica) climate record time-scale deduced from the analysis of a borehole-temperature profile / A.N. Salamatin, V.Ya. Lipenkov, K.V. Blinov // Annals of Glaciology. 1994. - Vol. 20. -P. .207-214.

41. Salamatin A.N. Bubbly-ice densification in ice sheets: I. Theory / A.N. Salamatin, V.Ya. Lipenkov, P. Duval // Journ. of Glaciology. 1997. - Vol. 43. - No. 145. -P. 387-396.

42. Salamatin A.N. Post-nucleation conversion of an air bubble to clathrate air-hydrate crystal in ice / A.N. Salamatin, T. Hondoh, T. Uchida, V.Ya. Lipenkov // Journ. of Crystal Growth. 1998. - Vol. 193. -P. 197-218.

43. Salamatin A.N. Simulated features of the air-hydrate formation process in the Antarctic ice sheet at Vostok / A.N. Salamatin, V.Ya. Lipenkov., T. Hondoh, T. Ikeda // Annals of Glaciology. 1999. - Vol. 29. - P. 191-201.

44. Salamatin A.N. Kinetics of air-hydarte nucleation in polar ice sheets / A.N. Salamatin, V.Ya. Lipenkov, T. Ikeda-Fukazawa, T. Hondoh // Journ. of Crystal Growth. 2001. - No. 223. - P. 285-305.

45. Sheshukova Yu.A. Modelling formation of air-hydrate ensemble in transition zone of Antarctic Ice Sheet / Yu.A. Sheshukova, H. Ohno, V.Ya. Lipenkov, A.N. Salamatin, T. Hondoh // Материалы гляциологических исследований. -M: 2004.-№97.-С. 71-79.

46. ShimadaW. In situ observation of the transformation from air bubbles to air clathrate hydrate crystals using a Mizuho ice core / W. Shimada, T. Hondoh // Journ. Crystal Growth. 2004. - No. 265. - P. 309-317.

47. Shoji H. Microscopic observations of the air hydrate-bubble trnsformation process in glacier ice / H. Shoji, C.C. Langway // Journal de Physique (Colloque CI, supplement au 3). 1987. - Vol. 48 . - P. Cl-551 - Cl-556.142

48. Sloan E.D. Clathrate Hydrates of Natural Gases, 2nd ed / E.D. Sloan. NewYork: Marcel Dekker Inc., 1997. - 705 p.

49. TakeyaS. Lattice constants and thermal expansion coefficient of air clathrate hydrate in deep ice cores from Vostok, Antarctica / S. Takeya, H. Nagaya, T. Matsuyama, T. Hondoh, V.Ya. Lipenkov// Journal Phys. Chem. 2000. -No. 104(4).-P. 668-670.

50. TsyganovaE.A. Non-stationary temperature field simulation along the ice flow line "Ridge В Vostok Station", East Antarctica / E.A. Tsyganova, A.N. Salamatin // Материалы гляциологических исследований. - 2004. -№. 97. - С. 57-70.

51. Uchida T. Effects of temperature and pressure on the transformation rate from air bubbles to air-hydrate crystals in ice sheets /Т. Uchida, T. Hondoh, S. Mae, P. Duval, V.Ya. Lipenkov // Annals of Glaciology. 1994. - Vol. 20. - P. 143147.

52. Uchida T. Air-hydrate crystals in deep ice-core samples from Vostok Station, Antarctica / T. Uchida, T. Hondoh, S. Mae, V.Ya. Lipenkov., P. Duval // Journal of Glaciology. 1994. - Vol. 40. - No. 134. - P. 79-86.

53. Uchida T. Air-hydrate crystals in deep ice-core samples from Vostok Station, Antarctica / T. Uchida, S. Mae, T. Hondoh, V.Ya. Lipenkov, P.Duval, J. Kawabata // Proc. NIPR Symp. Polar Meteorol. Glaciol. 1994. - Vol. 8. - P. 140-148.

54. Van der Waals J.H. Clathrate solutions / J.H. Van der Waals, J.C. Platteeuw // Adv. Chem. Phys. 1959. - Vol. 2. - No 1. - P. 1-57.